ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 4, с. 348-368

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

В ПРОЦЕССЕ ДРЕЛЛА-ЯНА ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ

ИНВАРИАНТНЫХ МАССАХ ДИЛЕПТОНА

Поступила в редакцию 04.10.2020 г.; после доработки 12.12.2020 г.; принята к публикации 12.12.2020 г.

Рассчитаны однопетлевые электрослабые и КХД радиационные поправки в процессе Дрелла-Яна при

сверхвысоких энергиях и инвариантных массах лептонной пары. Произведен рефакторинг программы

READY, оптимизированы процедура интегрирования и реализация кинематических условий и огра-

ничений. С помощью READY впервые сделан подробный численный анализ эффектов радиационных

поправок к наблюдаемым сечениям и асимметрии вперед-назад для эксперимента CMS в режиме

Run3/HL Большого адронного коллайдера.

DOI: 10.31857/S0044002721040292

1. ВВЕДЕНИЕ

фермионы и бозоны, а также супергравитацию

(описание гравитации на языке SUSY). Имеются

В своих работах [1, 2] физики С. Дрелл и Д. Ян

и другие интересные идеи, например, струнная тео-

впервые изучили жесткий процесс рождения леп-

рия, рассматривающая элементарные частицы как

тонной пары в адронных столкновениях (примерно

объекты, совершающие колебания в многомерном

в это же время появилась работа [3] советских

пространстве и обладающие (супер)симметрией

ученых на сходную тему). Этот процесс, впослед-

бозон-фермион (суперструны). В струнной тео-

ствии названный именами Дрелла и Яна, впервые

рии получила развитие идея Калуцы-Кляйна о

был экспериментально исследован в BNL [4]. В

сворачивании пространственных измерений. В

результате кварк-партонная модель (КПМ) по-

результате объединения теории струн и супер-

лучила подтверждение и, более того, квантовая

симметрии впоследствии сформировалась пер-

хромодинамика (КХД) заявила о себе как о теории,

спективная теория миров на бранах (M-теория).

адекватно описывающей сильные взаимодействия

Приоритеты будущей экспериментальной физи-

и согласующейся с принципами КПМ.

ки высоких энергий сосредоточены также на

В настоящее время тестирование нового энер-

прецизионном изучении свойств бозона Хиггса

гетического масштаба (тысячи ГэВ) в идущих пол-

(Хиггс-фабрики, Higgs-factories), исследовании

ным ходом экспериментах на Большом адронном

ароматовой и фундаментальных симметрий (flavour

коллайдере (Large Hadron Collider, LHC), т.е. по-

symmetry, fundamental symmetries), поиске частиц-

иск на нем явлений Новой физики (НФ), который

кандидатов на темную материю (dark matter), ак-

является одной из главных задач современной фи-

сионов (axions, аксионы — это частицы, введение

зики, будет во многом осуществлено с помощью

которых в теорию объясняет эксперименталь-

исследования наблюдаемых величин (сечений и

но подтвержденное отсутствие нарушения CP -

асимметрии вперед-назад) процесса Дрелла-Яна

симметрии в КХД) и ультраслабо взаимодей-

при больших инвариантных массах лептонной па-

ствующих частиц (ultra weakly [feebly] interacting

ры (дилептона) l^-l⁺.

particles).

Среди сценариев Новой физики, существующих

на настоящий момент, следует выделить теорию

В начале 2022 г. на LHC начнется этап Run3

великого объединения (лептоны и кварки рас-

(предположительно он продлится до конца 2024 г.),

сматриваются в рамках единой группы симмет-

в котором будет реализована максимальная за-

√

рии), суперсимметрию (SUSY), объединяющую

планированная энергия протонов

S = 14 ТэВ (в

системе их центра масс), собрана статистика до

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

300 фбн-1 и промерена область по инвариантной

Россия.

массе пары 4.6-5.2 ТэВ. После технологическо-

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

ны, Гомель, Беларусь.

го перерыва (Long Shutdown 3, 2025-2027) с

^*E-mail: zykunov@cern.ch

2027 по 2038 г. (предположительно последний год

348

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

349

работы LHC) планируется собрать статистику в

3000 фбн-1 — этот этап работы будет называться

h_A

l ^-

High-Luminosity (HL) LHC — и промерить об-

γ, Z

ласть 5.6-6.2 ТэВ.

Энергия, которая будет достигнута на Run3/HL

LHC, с одной стороны, соответствует пределам

h_B

l⁺

применимости СМ, а с другой — современным воз-

можностям экспериментальной техники. Несмотря

на то, что пока весь существующий набор экспе-

Рис. 1. Процесс Дрелла-Яна. На линиях указаны

названия частиц.

риментальной информации находится в надежном

согласии с предсказаниями СМ, существуют ука-

зания на то, что в этом диапазоне энергий должна

Для описания партонных процессов

проявиться Новая физика, причем НФ, по всей

видимости, проявится не через обнаружение но-

q(p₁) + q(p₂) → a(q_s) → l^-(p₃) + l⁺(p₄),

(2)

вых частиц и/или новых явлений, а по небольшим

q(p₁) + q(p₂) → a(q_s) → l^-(p₃) + l⁺(p₄)

(3)

отклонениям от предсказаний СМ. Обнаружение

новых физических явлений по такому сценарию

будем пользоваться обычными обозначениями 4-

возможно только в ходе крайне точного (прецизи-

импульсов для s-канала и бозонным индексом a =

онного) сравнения полученных экспериментальных

= γ,Z. Фейнмановские диаграммы, соответствую-

данных с предсказаниями теории.

щие процессам (2), (3) в борновском приближении,

Все вышесказанное требует соответствующего

приведены на рис. 2. Обозначения на диаграмме

улучшения точности теоретического описания ис-

рис. 2а следующие: p₁ — 4-импульс первого квар-

следуемых процессов, протекающих в микромире,

ка с ароматом q и массой m_q; p₂ — 4-импульс

и обеспечения экспериментов на Run3/HL LHC

второго кварка (с тем же ароматом и массой); их

надежными и прецизионными программами учета

сумма: q_s = p₁ + p₂; p₃ (p₄) — 4-импульс конеч-

не только лидирующего порядка теории возму-

ного лептона l^-(l⁺) с массой m; qs1 = p₃ + p₄ —

щений, но и более высоких ее порядков (назо-

4-импульс a-бозона с массой m_a (инвариантная

вем их радиационными эффектами или эффектами

√

масса дилептонной пары M =

q2s1), для опреде-

радиационных поправок). К настоящему момен-

ленности будем рассматривать в качестве лептона

ту имеется большое количество разнообразных,

взаимодополняющих друг друга программ и ком-

мюон, т.е. l = μ. Для безрадиационной кинематики

пьютерных кодов, посвященных этой проблеме, их

нет различия между q_s и qs1 , в этой ситуации

помним, что q = q_s = qs1 .

обзор сделан, например, в работе [5]. В настоящей

работе приведено физическое содержание одной из

Будем рассматривать общий случай продольно

таких программ — READY (Radiative corrEctions

поляризованных адронов и частный случай непо-

to lArge invariant mass Drell-Yan process), раз-

ляризованных адронов. В ультрарелятивистском

работанной автором. Для общности все формулы

приближении (УРП) векторы продольной поляри-

даны с учетом продольной поляризации началь-

зации адронов связаны с 4-векторами соотношени-

ных частиц. Последняя версия компьютерного кода

ями:

(READY 7.0), которая является результатом про-

P_A

P_B

веденного рефакторинга, соответствует бесполя-

η^AN = p^A

η^BN = p^B

(4)

^Nm_N

m_N

ризационной версии приведенного в данной работе

описания.

Здесь вводятся p^AN , p^BN — степени поляризации

первого и второго адрона соответственно, которые

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

принимают значения ±1. В случае неполяризован-

Процесс Дрелла-Яна — рождение лептонной

ного адрона p^A,BN = 0.

пары в столкновении адронов h_A и h_B (см.

Вектор поляризации адрона и вектор поляриза-

рис. 1) — описывается формулой

ции партона со спиральностью r1,2, участвующего

h_A + h_B → l^- + l⁺ + X,

(1)

в реакции, связаны соотношениями:

где начальные адроны имеют 4-импульсы P_A (пер-

ηr1 = r₁ · η^AN , ηr2 = r₂ · η^BN ,

(5)

вый) и P_B (второй); они имеют равные массы

благодаря которым [и с учетом (4)] получаем про-

m_N. Будем использовать адронный инвариант S =

стое правило:

= (P_A + P_B)², в с.ц.м. адронов (будем ее сокра-

p₁

p₂

щенно обозначать “с.ц.м.а.”) полная энергия реак-

√

ηr1 = r₁p^AN ·

ηr2 = r₂p^BN ·

(6)

m_q

ции равна, соответственно,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

350

ЗЫКУНОВ

Символом “ˆ” (шляпка) обозначен оператор за-

p₁

p₃

-p₁

p₃

мены аргументов по правилам КПМ (7). Индексом

V (virtual) обозначаются вклады, соответствующие

безрадиационной кинематике: борновский и вир-

туальные однопетлевые. Множитель¹³ называется

“цветовым” фактором и учитывает тот факт, что

только три из девяти вариантов пар цветов кварков

(одна треть) смогут прореагировать, чтобы образо-

-p₂

-p₄

p₂

-p₄

вать бесцветный дилептон.

Рис. 2. Фейнмановские диаграммы процессов qq →

Символом

q (x) обозначаются функции пар-

→ l^-l⁺ и qq → l^-l⁺. Внутренней волнистой линией

тонных распределений (parton distribution function,

на этой и последующих диаграммах обозначены фотон

PDF), которые имеют следующий (вероятностный)

или Z-бозон.

смысл:

q (x)dx — это вероятность нахождения в

адроне h кварка аромата q со спиральностью r и

Полученные выражения работают в рамках КПМ,

долей импульса от x до x + dx. Стоящее в адрон-

согласно ей 4-импульсы адрона и партона пропор-

ном сечении суммирование по q предполагает все

циональны:

шесть ароматов: q = u, d, s, c, b, t (по нарастанию

p₁ = x₁P_A, p₂ = x₂P_B.

(7)

массы), однако (слишком массивный) t-кварк в

расчет не берется. Следует заметить, что в функци-

Коэффициенты пропорциональности — это так на-

ях партонных распределений имеется также явная

зываемые доли импульса, которые забирают пар-

зависимость от Q² — энергетического масштаба

тоны от своего (родительского) адрона.

(resolution scale) реакции. Для краткости записи

его часто опускают, так что можно эквивалентно

3. КОНВОЛЮЦИЯ

записать

Чтобы получить в рамках КПМ сечение процес-

f^r,hq(x) ≡ f^r,hq(x,Q²).

(9)

са Дрелла-Яна, нужно просуммировать все воз-

Обычно Q² определяют так: Q² = q2s для s-

можности образования дилептона из адронов, т.е.

учесть все возможные подпроцессы (допустимые

канальных реакций, Q² = -q2t для t-канальных.

законами сохранения заряда, момента и т.д.) и

Для процесса Дрелла-Яна естественный выбор

√

отобрать те конфигурации, которые возможны ки-

для Q такой: Q =

(p₃ + p₄)² = M.

нематически. Таким образом становится возмож-

ным применение подхода, использующегося при

формулировке теоремы полной вероятности, кото-

4. БЕЗРАДИАЦИОННАЯ КИНЕМАТИКА

рая в применении к данной физической ситуации

называется конволюционной формулой (или про-

Определим набор переменных Мандельштама

сто конволюцией) и имеет следующий вид:

для партонного субпроцесса (партонные инвариан-

∑

ты). Даже в безрадиационном случае для последу-

dσ^hV =

dx₁dx₂ · Θ ×

(8)

ющего корректного перехода к адронному сечению

следует различать все шесть инвариантов, приве-

q=u,d,s,... r1,r2

(

дем их для полноты изложения:

× fr1,Aq(x₁)fr2,B¯q(x₂)dσ^qqV +

s = (p₁ + p₂)², t = (p₁ - p₃)²,

(10)

)

+ fr1,A¯q(x₁)fr2,Bq(x₂)dσqqV ,

u = (p₂ - p₃)²,

s₁ = (p₃ + p₄)² = M², t₁ = (p₂ - p₄)²,

(11)

где dσ^hV — сечение процесса (1), dσ^qqV — сечение

u₁ = (p₁ - p₄)².

процесса (2), dσ^qqV — сечение процесса (3).

Все сечения в (8) приведены в полностью диф-

Под действием оператора замены переменных со-

ференциальной форме. Чтобы получить наблюда-

гласно КПМ (7) партонные инварианты в УРП

емое сечение, нужно проинтегрировать по необ-

приобретают вид:

ходимым переменным с учетом фактора Θ, ко-

торый отвечает за определение области фазового

ŝ=

t=t

û=

(12)

x₁x₂

x₁

x₂

объема допускаемой кинематикой реакции. Ма-

тематически он представляет собой произведение

θ-функций, каждая из которых будет подробно

ŝ₁ = M²,

t₁ =t1

û₁ =

u₁ .

(13)

обсуждаться ниже.

x₂

x₁

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

351

Кроме этого, будем иметь в виду очевидное простое

p₃

соотношение

ŝ = S.

(14)

P_A

P_B

p_z

Найдем все нужные величины (энергии, углы и т.

p₄

п.) в с.ц.м.а. с применением УРП. Поступаем так:

сначала вычисляем нужную комбинацию инвари-

антов в системе центра масс кварков (обозначаем

Рис. 3. Конфигурация 3-импульсов дилептонной пары

ее как “с.ц.м.к.”), затем делаем переход в нужную

в с.ц.м.а. в условиях безрадиационной кинематики.

систему, в данном случае в с.ц.м.а., с помощью

замен (7). Итак, в с.ц.м.к.:

t-û

t + u = -2(p₁ + p₂)p₃ =

(15)

p3z = p₃₀ cos θ =

√ ,

(21)

= -4p₁₀p₃₀ = -2√s · p30,

û₁ - t₁

t₁ + u₁ = -2(p₁ + p₂)p₄ =

p4z = p₄₀ cos α =

√

= -4p₁₀p₄₀ = -2√s · p40.

Для вычисления быстроты пары (pair rapidity)

Тогда энергии конечных частиц такие:

в с.ц.м.а. нужны выражения для суммарной энер-

t+u

гии E = p₃₀ + p₄₀

и продольной компоненты 3-

p₃₀ = -

(16)

импульса пары (см. рис. 3):

2√s,

p_z = p₃₀ cosθ + p₄₀

cos α =

(22)

t₁ + u₁

p₄₀ = -

2√s(вс.ц.м.к.),

√

(t- û - t₁ + û₁).

t+û

p₃₀ = -

√ ,

(17)

С учетом вычисленных выше выражений получим

для быстроты пары

t₁ + û₁

p₄₀ = -

√ (в с.ц.м.а.).

E+p_z

t₁ + û

(23)

E-p_z

ˆ+û1

Теперь вычислим нужные углы (обозначения

В случае безрадиационного процесса имеем: t = t₁,

приведены на рис. 3). В с.ц.м.к. имеют место урав-

u = u₁, так что выражение для быстроты пары

нения:

существенно упрощается:

t = -2p₁p₃ = -2p₁₀p₃₀(1 - cosθ) =

x₁(t₁ + u)

(24)

= (t + u)(1 - cos θ)/2,

x₂(t + u₁)

x₂

u₁ = -2p₁p₄ = -2p₁₀p₄₀(1 - cos α) =

Зная p_z, нетрудно найти p_T — поперечную со-

= (t₁ + u₁)(1 - cos α)/2,

ставляющую 3-импульса пары (в безрадиационном

случае она равна нулю, это хорошо видно на рис. 3):

решая которые, получим углы:

p2T = |p₃ + p₄|² - p2z

(25)

u-t

cos θ =

(18)

u+t

= (p₃₀ + p₄₀)² - M² - p2z =

t₁ - u₁

cos α =

(в с.ц.м.к.),

(t+ û₁)(t₁ + û)

t₁ + u₁

-M².

û-t

cos θ =

(19)

Наконец, рассчитаем величины, нужные для

û+t

A_FB — асимметрии вперед-назад. Стандартным

t₁ - û₁

образом асимметрия A_FB

определяется как от-

cos α =

(в с.ц.м.а.).

ношение разности сечений рассеяния дилептона

t₁ + û₁

вперед и назад к их сумме (см., например, формулы

Теперь нетрудно получить поперечные и продоль-

(35)-(38) из [6]). Ключевая формула для угла

ные компоненты 3-импульсов в с.ц.м.а.:

вылета пары в системе Коллинза-Сопера (покоя

√

дилептона) имеет вид [7]

p3T = p₃₀ sinθ =

tû/ŝ,

(20)

|p_z|

√

cos θ^∗ =

√

(26)

p4T = p₄₀ sinα =

t₁û₁/ŝ,

p_z M M2 + p²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

352

ЗЫКУНОВ

[

]

p⁺(l^-)p^-(l⁺) - p^-(l^-)p⁺(l⁺)

получим

где

∑

dσqq0 =πα2

Π^acR^aacq · dt.

(32)

p^±(l^-) =

√

(p₃₀ ± p3z),

(27)

a,c=γ,Z

Функция R_q (обозначавшаяся в [12], как S_ss,

p^±(l⁺) =

√

(p₄₀ ± p4z).

теперь уберем несущественное более обозначение

канала [других каналов, кроме s, нет] и введем

После подстановки и упрощения получим

индекс “q”) получается из расчета такой комби-

нации (расчет делается в УРП, индексы a и b

cos θ^∗ = sgn[x₂(t + u₁) - x₁(t₁ + u)] ×

(28)

различаются для будущего использования в BSE

tt₁ - uu₁

√

и вершинном вкладах ЭСП, для борновского и

s(u + t₁)(u₁ + t)

боксовского вкладов они равны):

[

]

В безрадиационном случае выражение для cos θ^∗

R^abcq = Sp γ_μΓ^aqU₁Γcq+γνU2

(33)

приобретает особенно простой вид

[

]

u-t

× Sp γ_μΓ^blU₄Γcl+γνU3

cos θ^∗ = sgn[x₁ - x₂]

(29)

[

]

= sgn[x₂ - x₁] cos θ.

= Sp γ_μ

(v^acqλ - a^acγ5)p1γν p2

qλ

[

]

Теперь покажем, какие значения принимает

× Sp γ_μ(v^bcl - a^bcγ5)p4γν p3

асимметрия вперед-назад при характерных огра-

ничениях эксперимента CMS LHC. На рис. 4 пока-

= 2t²(v^acqλv^bcl - a^acqλa^bcl) + 2u²(v^acqλv^bcl + a^acqλa^bcl).

заны результаты измерений асимметрии (так назы-

ваемые “Born unfolded measurements”, unfolding —

Пропагаторы бозонов образуют следующие ком-

это процедура последовательной коррекции дан-

бинации:

√

ных), собранные при энергии

S = 7 ТэВ со

Π^ac = D_a(q)D^∗c(q).

светимостью 5 фбн-1 [8] (наложены четыре стан-

Используем коммутационные свойства гамма-

дартных набора ограничений на быстроту μ⁺μ^--

матриц и подберем удобную сокращенную форму

пары). Были использованы: программа READY и

записи констант связи и степеней поляризации.

партонные распределения [9] и [10] (видно, что для

Лептонные комбинации v_l и a_l связаны с представ-

асимметрии влияние выбора распределений незна-

ленными ниже выражениями (46) так:

чительно, поскольку они входят сходно в числитель

и знаменатель и подавляются в отношении).

v^bcl = vγbc0, a^bcl = aγbc0.

Обобщим эти формулы на произвольный фермион

5. СЕЧЕНИЯ ПАРТОННЫХ

(f = q, l):

ПОДПРОЦЕССОВ В ВЕДУЩЕМ

ПРИБЛИЖЕНИИ

v^bcf = v^bf v^cf + a^bf a^cf, a^bcf = a^bfv^cf + v^bfa^cf .

(34)

Для расчета dσ^qqV — сечения процесса (2), изоб-

В кварковом случае предоставляется возможность

собрать вместе также степени поляризации обоих

раженного на левой диаграмме рис. 2 [cечение dσ^qqV

кварков:

от (3) обсудим ниже] — применяется стандартная

техника: записываем амплитуды, используя прави-

v^acqλ = v^acq(1 - λ₁λ₂) - a^acq(λ₁ - λ₂),

(35)

ла Фейнмана из [11], затем квадрируем. Получим

a^acqλ = a^acq(1 - λ₁λ₂) - v^acq(λ₁ - λ₂).

результат в духе работ [12, 13], в котором следует

различить фермионные индексы f = (q, l), где q —

Возможна и другая форма записи:

кварк в начальном состоянии, l — лептон в конеч-

ном состоянии. Кроме этого следует осуществить

R^abcq = T^abcq + U^abcq,

(36)

замену:

где функции T_q и U_q выглядят так:

λ₁ → r₁p^AN, λ₂ → r₂p^BN.

(30)

(

)

T^abcq = 2t²

[1 - λ₁λ₂]f^abcq- + [λ₁ - λ₂]g^abcq-

(37)

Тогда, используя фазовый объем двухчастичного

(

)

U^abcq = 2u²

[1 - λ₁λ₂]fabcq+ - [λ₁ - λ₂]gabcq+

конечного состояния, выраженный через инвари-

ант t,

а комбинации констант связи и степеней поляриза-

√

ций имеют вид

π|p₃|

dΦ₂ =

d cos θ =

dt,

(31)

4p₄₀

f^abcq± = λacq+λbcl+ ± λ^acq-λ^bcl-,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

353

A_FB

READY, CT10

READY, MHHT14

0.15

READY, MHHT14

0.3

CMS: 1.0 < |y| < 1.5

CMS: |y| < 1.0

0.10

0.2

0.1

0.05

-0.1

-0.05

100

200

100

200

M, ГэВ

A_FB

READY, CT10

0.4

READY, CT10

0.4

READY, MHHT14

CMS: 1.25 < |y| < 1.5

0.3

CMS: 1.5 < |y| < 2.4

0.3

0.2

0.1

-0.1

−0.2

100

200

100

200

M, ГэВ

√

Рис. 4. Измерения асимметрии A_FB (unfolded, борновский уровень) при энергии

S = 7 ТэВ и светимости 5 фбн-1 и

соответствующие предсказания кода READY.

g^abcq± = λacq+λ^bcl- ± λ^acq-λbcl+.

где

Видно, что теперь (по сравнению с [12]) использу-

Π^abc = -D_a(q)ΣabT(s₁)D_b(q)D^∗c(q)

ются новые обозначения для комбинаций констант

связи (вместо g_V,A теперь λf+,f- с фермионным

содержит перенормированную поперечную часть

индексом f):

собственных энергий бозоновΣabT. Все существен-

ные моменты касательно ее расчета содержатся

λabf+ = v^afv^bf + a^afa^bf , λ^abf- = v^afa^bf + a^afv^bf.

(38)

в [11].

6. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ БЕЗРАДИАЦИОННЫЕ

Сечение вершинных вкладов (V = Ver) (см.

ВКЛАДЫ

рис. 5б, 5в) имеет вид

Сечение вклада бозонных собственных энергий

dσqqVer

2πα²

∑

(

)

(V = BSE) (см. рис. 5a) получаем по методике, уже

Π^ab

RFaabq + RaFabq

(40)

использованной для борновского вклада, в виде

s²

a,b=γ,Z

dσqqBSE

2πα²

∑

Π^abcR^abcq,

(39)

где снова используются перенормированные вер-

s²

a,b,c=γ,Z

шинные формфакторы в качестве эффективных

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

354

ЗЫКУНОВ

констант связи. Лептонные и кварковые вершин-

aabc0,f = a^afa^bf a^cf + a^afv^bfv^cf + v^afa^bf v^cf + v^afv^bfa^cf .

ные формфакторы приведены в [11].

Наконец, перед пропагаторными структурами фак-

Все сказанное в двух предыдущих разделах ка-

торизуются трехточечные функции (см. [12]):

салось кваркового подпроцесса с начальной кон-

фигурацией qq. Пересчитывать соответствующие

Πab3(q_s) =

(47)

сечения процесса с конфигурацией qq не нужно,

= Ha0(p₁,p₃)D_b(q_s) + D_a(q_s)Hb0(p₁,p₃),

достаточно произвести очевидную кроссинговую

замену p₁ ↔ p₂, которая приведет в случае безра-

Πab4(q_s) = Ha0(p₁,p₄)D_b(q_s) + D_a(q_s)Hb0(p₁,p₄).

диационной кинематики к замене инвариантов t ↔

↔ u, а также поменять поляризации: λ₁ ↔ λ₂.

Сечение, соответствующее γγ-боксу, получа-

Вклады в сечение от различных боксов (V =

ется подстановкой индекса ab = γγ в выражения

= Box = γγ, γZ, ZZ, W W ) (см. рис. 6) определя-

(42), (43) [естественно, они работают при любых

ются общей формулой:

энергиях]. Нетрудно убедиться, что сумма (42) и

(43) не содержит фермионных масс, а ИКР со-

∑

(

)

dσqqBox

средоточена в последних слагаемых (причина этого

MBoxs,D + M^Box

Mcs+.

(41)

s,C

2³πs²

подробно объяснена в [12]). Выпишем в явном виде

c=γ,Z

ИКР-части γγ-бокса:

Поступаем для начала так, как было сделано

M^γγs,DMc+s|^IR =

(48)

в [12], — найдем выражения для общего случая

(ab = γγ, γZ, ZZ, W W ) в приближении малых

= -16πα³Q_qQ_l · D_γ(q)D^∗c(q) · R^γcq · tHγ0(p₁,p₃),

масс бозонов. Получим для прямых s-канальных

боксов:

M^γγs,CMc+s|^IR =

M^abs,DMcs+ =

(42)

= +16πα³Q_qQ_l · D_γ(q)D^∗c(q) · R^γcq · uHγ0(p₁,p₄),

[

2C_s

2Cabc3+4,ql_stsu + Cabc3,ql2st(3t² + u²) +

где “борновское” R_q (аналог S_ss из [12]) имеет вид

[

]

R^acq = 2

Caγc3,q(u² + t²) + Caγc4,q(u² - t²)

(49)

+ Cabc4,q l2st(u² - t²)

- 2C_stΠab3 (q_s)H^abcss,q,

ИКР-части γZ-бокса такие же по форме, как

для перекрестных s-канальных боксов:

выражения (48):

M^abs,CMcs+ =

(43)

M^γZs,DMc+s|^IR =

(50)

[

2C_s

Cabc3,ql2su(t² + 3u²) + Cabc4,ql2su(u² - t²) +

= -8πα³Q_qQ_l · D_Z(q)D^∗c(q) · R^Zcq · tHγ0(p₁,p₃),

]

M^γZs,CMc+s|^IR =

+ 2Cabc3-4,ql_sust

+ 2C_suΠab4 (q_s)H^abcss,q.

= +8πα³Q_qQ_l · D_Z(q)D^∗c(q) · R^Zcq · uH₀

(p₁, p₄).

Как видно, эти выражения представляют собой

модифицированный вариант формул из [12] — до-

Понятно, что IR-части Zγ-бокса дадут такой же

бавлен существенный теперь кварковый индекс q.

вклад (при k → q, как объяснено в [12]) и, следо-

Используются обозначения для логарифмов:

вательно, в сумме удвоение.

Выражения (42) и (43) дают возможность по-

|r|

|r₁|

L_rf = ln

lr1r₂ = ln

(44)

лучить асимптотический результат для всех боксов

m2f

|r₂|

в HE-режиме, достаточно подставить вместо ab

и следующие сокращения:

необходимый индекс (γZ, ZZ или W W ). Инте-

(

)

Z,W

гралы H₀

в УРП приведены в работе [12]. Не

Cabc3,q =

vabc1,q + λ₂aabc1,q

vabc0,l,

(45)

(

)

забываем выключить в случае W W -боксов те диа-

Cabc4,q =

aabc1,q + λ₂vabc1,q

aabc0,l,

граммы, которые запрещены законом сохранения

[

]

электрического заряда: для процессов с начальным

H^abcss,q = 2

Cabc3,q(u² + t²) + Cabc4,q(u² - t²)

состоянием uu

dd нет прямых боксов, а для про-

в которых константы связи и степени поляризации

цессов с конфигурацией

d и uu нет перекрестных

“упакованы” немного сложнее, чем в [12] — снова

боксов.

следует различать индексы q и l (используем f =

Соответствующие сечения процесса с кон-

= q,l):

фигурацией qq, в принципе, можно не пересчи-

тывать, а подобрать соответствующие замены в

vabc1,f = vabc0,f - λ₁aabc0,f, aabc1,f = aabc0,f - λ₁vabc0,f,

(46)

q q-выражениях: очевидную кроссинговую замену

vabc0,f = v^afv^bf v^cf + v^afa^bfa^cf + a^afv^bfa^cf + a^afa^bf v^cf,

p₁ ↔ p₂ (что даст t ↔ u), поменять поляризации:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

355

Рис. 5. Фейнмановские диаграммы вкладов BSE и вершин в процесс qq → l^-l⁺.

(

)

λ₁ ↔ λ₂ и сменить топологию диаграммы (прямую

× f^Aq(x₁)fB¯q(x₂)dσ^qqV,u + fA¯q(x₁)f^Bq(x₂)dσ^qq

V,u

с перекрестной). Понятно, что это чрезвычайно

запутывает результат и усложняет программи-

где запись

рование, поэтому автор предпочел пересчитать

∑

f^hq(x) =

f^r,hq(x) = f+,hq(x) + f^-,hq(x)

конфигурацию qq в уже апробированных и, как

кажется, удобных обозначениях. Результат пре-

взошел ожидание — оказывается, для того чтобы

означает функцию распределения неполяризован-

из qq-случая получить qq-случай, требуется всего

ных кварков; нижний индекс “u” в кварковом сече-

лишь заменить знак перед C₃:

нии означает отсутствие поляризации у начальных

адронов (unpolarized hadrons) и требует выпол-

dσqqBox = dσqqBox|C3→-C₃ .

нения операции λ1,2 → 0. Аналогичным образом

строятся сечения в случае поляризованных адро-

Численный анализ наблюдаемых величин на

нов, очевидно, что при суммировании по кварковым

партонном уровне важен, поскольку позволяет по-

нять структуру и масштаб радиационных поправок

спиральностям возникает и вторая комбинация

партонных распределений:

в отсутствии неопределенности, связанной с функ-

∑

циями распределения кварков. Для этого было

Δf^hq(x) =

rf^r,hq(x) = f+,hq(x) - f^-,hq(x)

проделано отдельное исследование [14] (с исполь-

зованием одинаковых предписаний и параметров

СМ), в ходе которого получено хорошее согласие

- функция распределения продольно поляризо-

с результатами ZGRAD [6] и SANC [15] для всех

ванных кварков.

вкладов в ЭСП.

Перейдем к адронному сечению, сначала ис-

пользуем самый общий вид — трижды дифферен-

циальное сечение (fully differential cross section).

7. АДРОННОЕ СЕЧЕНИЕ

БЕЗРАДИАЦИОННЫХ ВКЛАДОВ

Задача: осуществить замену переменных

(x₁, x₂, t) → (M, y, C),

В случае неполяризованных начальных адро-

нов, применяя конволюционную формулу и сумми-

где C = cos θ в с.ц.м.а. (для этой системы ис-

руя по спиральностям (далее рассматриваем толь-

пользуется заглавная C). Данный переход легко

ко этот случай), получаем более простое выраже-

осуществить с помощью якобиана J_N :

ние:

∑

dx₁dx₂dt = |J_N | · dMdydC.

(52)

dσ^hV =

dx₁dx₂ · Θ ×

(51)

Сначала получим из (12) и (14) уравнение x₁x₂ =

= s/S, а из (24) уравнение x₁/x₂ = exp(2y). Решая

их в системе, получим известные соотношения, со-

ответствующие безрадиационной кинематике (на-

помним, что в этом случае s = s₁ = M²):

x₁ =

√

e^y, x₂ =

√

e^-y.

(53)

Кварковый инвариант t выражается из уравнений

(12) и (24) так:

Рис. 6. Диаграммы двухбозонных вкладов в процесс

M²(1 - C)

qq → l^-l⁺. Волнистой линией обозначен фотон, Z-

t=-

(54)

бозон или W-бозон.

1 - C + (1 + C)e-2y

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

356

ЗЫКУНОВ

Вычисляя частные производные и затем опреде-

× u(-p₁)(Γa5)^μρu(p₂) · u(p₃)γ_μΓ^au(-p₄),

литель, получим якобиан, соответствующий безра-

Rqq,a4 = -ie_ρ(p)Q_lD_a(q_s) ×

диационной кинематике, в виде

)^μρu(-p₄),

× u(-p₁)γ_μΓ^au(p₂) · u(p₃)(Γa4

D(x₁, x₂, t)

J_N =

(55)

D(M, y, C)

где (Γa5)^μρ = (Γa3)^μρ|p1↔p₂ .



∂x₁

∂x

Дифференциальное сечение процесса (57) имеет



∂M

∂y

∂C



вид



∂x₂



∂M

∂y

∂C



∑



∂t

dσ^qqR =α3

R^qq,ajRqq,bk+dΦ₃,

(59)

 ∂t



∂M

∂y

∂C

π²s

a,b=γ,Z j=3 k=3

4M³e

где dΦ₃ — фазовый объем реакции. Сечение про-

S[1 + C + (1 - C)e2y]²

цесса (58) строится аналогично, достаточно в обо-

В результате трижды дифференциальное сечение

значениях произвести замену: q ↔ q.

от безрадиационных вкладов в процесс Дрелла-

Выражения для квадрированных амплитуд за-

Яна с неполяризованными адронами приобретает

пишем в виде

вид

d³σ^hV

Rqq,a3Rqq,b3+ = -Q2q · D_a(qs1)D^∗b(qs1 )T₃₃,

(60)

(56)

[

]

[

]

dMdydC

μρ

T₃₃ = Sp

Uab1Γνρ3+U₂

γ_μUab4γ_νU₃

(

∑

dσ^qqV,u

|J_N |Θ

f^Aq(x₁)fB¯q(x₂)

Rqq,a4Rqq,b4+ = -Q2l · D_a(q_s)D^∗b(q_s)T₄₄,

(61)

[

]

[

]

T₄₄ = Sp

Γ^μρ

Uab4Γνρ4+U₃

γ_μUab1γ_νU₂

)

dσ_V

+ fA¯q (x₁)fBq (x₂)

Rqq,a3Rqq,b4+ = -Q_qQ_l · D_a(qs1)D^∗b(q_s)T₃₄

(62)

[

]

[

]

T₃₄ = Sp

Γμρ3Uab1γ_νU₂

γ_μUab4Γνρ4+U₃

8. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В

Rqq,a4Rqq,b3+ = -Q_qQ_l · D_a(q_s)D^∗b(qs1 )T₄₃,

(63)

ПРОЦЕССЕ ДРЕЛЛА-ЯНА

[

]

[

]

μρ

T₄₃ = Sp

Uab4γ_νU₃

γ_μUab1Γνρ3+U₂

При расчете вклада тормозного излучения в

процессе Дрелла-Яна будем последовательно

Выражения U из этих формул выведены в [13], их

пользоваться результатами, полученными в ра-

можно использовать сразу в УРП:

боте [13]. Теперь нужно удерживать в фотонной

[

]

вершине заряд: Q_q — в случае излучения из

Uab1 =

λabq+(1 + λ₁γ₅) - λ^abl-(λ₁ + γ₅)

p₁,

(64)

кварковой линии, и Q_l — в случае излучения из

лептонной, и позаботиться об обеих ситуациях: qqи

)

qq. Так, процессы с излучением тормозного фотона

U₂ =

1-γ₅λ₂

p₂,

на кварковом уровне имеют вид

(

)

U₃ = p₃, Uab4 =

λabl+ - λ^abl-γ₅

p₄.

q(p₁) + q(p₂) → l^-(p₃) + l⁺(p₄) + γ(p),

(57)

q(p₁) + q(p₂) → l^-(p₃) + l⁺(p₄) + γ(p).

(58)

Для конфигурации qq квадрированные амплиту-

ды выглядят так:

Фейнмановские диаграммы подпроцессов

(57)

приведены на рис. 7. Диаграммы а и б на нем

Rqq,a3Rqq,b3+ = -Q2q · D_a(qs1)D^∗b(qs1) ×

формируют амплитуду Rqq,a3, а диаграммы в и г,

[

]

[

]

× Sp

Γμρ5Uab2Γνρ5+U₁

γ_μUab4γ_νU₃

соответственно, дают Rqq,a4:

qq,a

R₄

Rqq,b4+ = -Q2l · D_a(q_s)D^∗b(q_s) ×

Rqq,a3 = -ie_ρ(p)Q_qD_a(qs1) ×

[

]

[

]

× u(-p₂)(Γa3)^μρu(p₁) · u(p₃)γ_μΓ^au(-p₄),

× Sp

Γμρ4Uab4Γνρ4+U₃

γ_μUab2γ_νU₁

Rqq,a4 = -ie_ρ(p)Q_lD_a(q_s) ×

Rqq,a3Rqq,b4+ = -Q_qQ_l · D_a(qs1 )D^∗b(q_s) ×

[

]

[

]

× u(-p₂)γ_μΓ^au(p₁) · u(p₃)(Γa4)^μρu(-p₄),

× Sp

Γμρ5Uab2γ_νU₁

γ_μUab4Γνρ4+U₃

где (Γa3)^μρ и (Γa4)^μρ берем из [13]. Аналогично

Rqq,a4Rqq,b3+ = -Q_qQ_l · D_a(q_s)D^∗b(qs1) ×

формируются амплитуды для qq-случая:

[

]

[

]

μρ

× Sp

Uab4γ_νU₃

γ_μUab2Γνρ5+U₁

Rqq,a3 = -ie_ρ(p)Q_qD_a(qs1) ×

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

357

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₃ + p₄

p₁ + p₂

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

−p₂

-p₄

-p₂

-p₄

Рис. 7. Фейнмановские диаграммы процесса qq → l^-l⁺γ.

Новое выражение Uab2 из этих формул в УРП имеет

FSR-слагаемые такие же по форме и присутству-

вид

ющей симметрии:

]

Uab2 =

λabq+(1 - λ₂γ₅) - λ^abl-(-λ₂ + γ₅)

p₂.

(65)

T⁽¹⁾⁴⁴ = -T⁽⁴⁾⁴⁴ =

(68)

(2ts₁t₁ - ts₁v₁ - s₁t₁z₁) +

Таким образом видно, что случаи qq и qq от-

личаются лишь заменами: p₁ ↔ p₂, λ₁ ↔ -λ₂. Так

как результат содержит только две комбинации

(-tu + tt₁ - t₁z₁) +

(tt₁ - tv₁ - t₁u₁) +

степеней поляризаций:

+ 8I₃(-tt₁ + t₁z₁) + 8I₄(-tt₁ + tv₁) + (p₁ ↔ p₂),

P-1 = λ₁ - λ₂, P-2 = 1 - λ₁λ₂,

T⁽²⁾⁴⁴ = -T⁽³⁾⁴⁴

(69)

то на результат в УРП вторая замена не влияет. Ре-

зультат представляется в виде (других комбинаций

(-2ts₁t₁ + ts₁v₁ + s₁t₁z₁) +

констант связи в УРП нет)

(

)

(-tt₁ + t₁z₁) +

(-tt₁ + tv₁) +

T_i = P-2 λabq+λabl+ · T(1)i + λ^abq-λ^abl- · T⁽²⁾

(

)

+ 8I₃(tt₁ - t₁z₁) + 8I₄(tt₁ - tv₁) - (p₁ ↔ p₂).

+P-1 λabq+λ^abl- ·T(3)i +λ^abq-λabl+ ·T⁽⁴⁾

Интерференционные слагаемые имеют противопо-

где индекс i пробегает значения: i = (33, 44, 34, 43).

ложную симметрию:

Непосредственным расчетом можно показать

T⁽¹⁾³⁴ = -T⁽⁴⁾³⁴ =

(sts₁ - stt₁ -

(70)

равенство интерференционных вкладов T₃₄ = T₄₃,

z₁z

это поможет ускорить численное интегрирование.

− 2sut₁ - suu₁ - ss₁t₁ + ss²¹ + s²s₁ +

Выражения T_i довольно громоздки, но есть воз-

можность их представить в более-менее обозри-

+ tuu₁ - ts₁t₁ - tt²¹ - t²t₁ - us₁u₁ -

мом виде, поскольку они содержат симметричные

комбинации. Приведем их в УРП, замечая, что

- 3ut₁u₁ - 2s₁t₁u₁) +

(stt₁ + sus₁ +

z₁v

массу требуется сохранять только в следующих

комбинациях:

+ 2sut₁ + suu₁ - ss₁u₁ - ss²¹ - s²s₁ +

m2q

m2l

+ 2tus₁ + 3tut₁ + ts₁t₁ - tt₁u₁ + us₁u₁

I₁ =

I₂ =

I₃ =

I₄ =

z²¹

v²¹

z²

v²

+ uu²¹ + u²u1) - (p1 ↔ p2),

Итак, ISR-слагаемые имеют вид:

T⁽²⁾³⁴ = -T⁽³⁾³⁴ =

(sts₁ - stt₁ +

(71)

z₁z

T⁽¹⁾³³ = -T⁽⁴⁾³³ =

(2tt₁ + tv + t₁z) -

(66)

z₁v₁

+ 2sut₁ - suu₁ + 3ss₁t₁ + ss²¹ + s²s₁ +

+ tuu₁ - ts₁t₁ - tt²¹ - t²t₁ - us₁u₁ +

(tt₁ - 2tu₁ + uu₁ + uv + t₁z) -

z₁

+ ut₁u₁ + 2s₁t₁u₁) +

(-stt₁ + 3sus₁ +

- 8I₁(tt₁ + uu₁ + uv + t₁z) + (p₁ ↔ p₂),

z₁v

+ 2sut₁ - suu₁ + ss₁u₁ + ss²¹

+s²s₁ +

T⁽²⁾³³ = -T⁽³⁾³³ = -4s (2tt₁ + tv + t₁z) +

(67)

z₁v₁

+ 2tus₁ + tut₁ - ts₁t₁ + tt₁u₁ - us₁u₁ -

- uu²¹ - u²u₁) + (p₁ ↔ p₂).

(tt₁ - uu₁ - uv + t₁z) +

z₁

Наконец, используя конволюцию, запишем вы-

+ 8I₁(tt₁ - uu₁ - uv + t₁z) - (p₁ ↔ p₂).

ражение для сечения процесса Дрелла-Яна с из-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

358

ЗЫКУНОВ

лучением одного тормозного фотона:

сумме сокращается, т.е. ИКР устраняется. Дока-

∑

жем это, применив тождественное преобразование:

dσ^hR =

dx₁dx₂ · Θ_R ×

(72)

[

]

σ≡

σ-σ|_λ→√s

+ σ|_λ→√s = σ^IR + σ^F .

q r₁,r₂

(

Тогда вершинная IR-часть выглядит так:

× fr1,Aq(x₁)fr2,B¯q(x₂)dσ^qqR +

)

dσqq,IRVer

α³

+ fr1,A¯q(x₁)fr2,Bq(x₂)dσqqR ,

(76)

2s²

∑

(

)

где фактор Θ_R отвечает за определение области

Π^abR^acq

Q2qΛγ,IR1,q + Q2lΛγ,IR1,l

фазового объема, допускаемой (радиационной) ки-

a,c=γ,Z

нематикой реакции.

где

(

)

γ,IR

= Λγ1,f - Λγ1,f|_λ→√s = -2ln^s

L_sf - 1

8.1. Вклад мягких фотонов

1,f

λ²

Отдельно вычислим сечение тормозного излуче-

IR-часть боксовских диаграмм такая:

ния мягких фотонов в партонной реакции, которое

имеет вид

dσqq,IRBox

2α³

Q_qQ_l ×

(77)

s²

dσqqsoft

[

]

∑

=δ^qq dσ0qsoft

(73)

Π^abR^ac

tHγ,IR0(p₁,p₃) - (t ↔ u) ,

где

a,c=γ,Z

∫

[

)

d³p

⁽ pρ1

pρ2

где

δqqsoft = -α

Q_q

(74)

2π²

2p₀

pp₁

pp₂

-t

tHγ,IR0(p₁,p₃) = ln^s

|p|<ω

λ²

m_qm_l

)]₂

⁽ pρ3

pρ4

Складываем вершинный и боксовский вклады, по-

-Q_l

pp₃

pp₄

лучаем:

здесь p — 4-импульс тормозного фотона, прочие

dσqq,IRV

(78)

обозначения и методические приемы вычислений

такие же, как в [13]. Снимаем интеграл, тогда

α dσqq0

λ² [

(

)

поправка (74), содержащая массу фотона λ и мак-

Q2q

L_sq - 1

симальную энергию тормозного фотона ω в с.ц.м.к.,

π dt

]

(

)

приобретает вид

+Q2l

L_sl - 1

+ 2Q_qQ_ll_tu .

(

4ω² [

(

)

δqqsoft =^α

Q2q

L_sq - 1

(75)

Видно, что в сумме с вкладом мягкого фотонного

λ²

]

излучения (73) параметр λ сокращается.

(

)

+Q2l

L_sl - 1

+ 2Q_qQ_ll_tu

Попутно убеждаемся, что в сумме виртуальной и

(

)

мягкой частей отсутствуют двойные коллинеарные

π²

логарифмы (остается только первая степень), а

+Q2q L_sq -

L2sq -

кварковая коллинеарная сингулярность, приводя-

(

)

щая в силу неопределенности кварковой массы к

π²

неудовлетворительному результату, выделяется в

+Q2l L_sl -

L2sl -

точности в том виде, который позволяет адсор-

(

[

бировать ее в функции партонных распределений

t^]

u^]))

+ 2Q_qQ_l Li₂ -

- Li₂ -

в полном соответствии, например, с MS-схемой

КХД [16]. Этот вопрос будет рассмотрен подробно

Обратим внимание на знак перед интерференцион-

ниже в разд. 9.

ным слагаемым: он отличается от приведенного в

предыдущих работах автора, так как в них рассмат-

ривался процесс с противоположным конечным

8.2. Радиационная кинематика процесса

состоянием (l^-l⁺ ↔ l⁺l^-). Отличие (при безради-

Дрелла-Яна

ационной кинематике) проявляется в кроссинговой

Лоренц-инварианты, описывающие радиацион-

перестановке t ↔ u, которая и дает разницу в зна-

ный процесс, имеют вид

ке.

z₁ = 2p₁p, v₁ = 2p₂p,

(79)

Не составляет труда сложить инфракрасно-

расходящиеся части сечений и проверить, что λ в

z = 2p₃p, v = 2p₄p,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

359

√

)

а s₁, t₁, u₁ описываются формулами (10). Соот-

4m2q √

ношения, которые их связывают, отличаются лишь

+ cos θ ·

(s - v)² - 4m2ls

тем, что массы частиц конечного и начального

состояний не одинаковы:

Радиационный u выглядит так же, но с другим

z₁ + v₁ = z + v,

(80)

знаком при cos θ.

s + t + u = 2m2q + 2m2l + v.

Интересно и такое соотношение:

9. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КВАРКОВОЙ

МАССОВОЙ СИНГУЛЯРНОСТИ

s₁ + t₁ + u₁ = 2m2q + 2m2l - v.

(81)

Инвариант s в радиационном случае следует

Теперь нужно решить проблему кварковой мас-

совой сингулярности, т.е. добиться независимости

пересчитать, так как для процесса Дрелла-Яна

он не является заданным параметром реакции, а

результатов от кварковых масс. Для этого исполь-

определяется из других соображений. Рассмотрим

зуем MS-схему [16] и процедуру линеаризации,

в с.ц.м.к. связь между партонными инварианта-

которая была обоснована в работе [15]. После всех

ми s₁ = s - z₁ - v₁, откуда получим соотношение

предписанных манипуляций часть дифференциаль-

M² = s - 2√sp0. Решаем его относительно s, то-

ного сечения, которую следует вычесть для реше-

гда, отбрасывая нефизический корень, получим

ния проблемы, имеет вид (аббревиатура QS озна-

(

√

)₂

чает “кварковая сингулярность”, quark singularity)

s= p₀ + p²⁰ +M²

(82)

1^∑

dσ_QS =

dx₁dx₂ ×

(86)

В каком-то смысле это ключевая формула, она

показывает, что кварковый инвариант s при данном

1-2ω

M зависит только от энергии фотона и не зависит

∫

[(

от полной энергии реакции и x1,2. Хотя, как и

q(x₁)Δq(x₂, η) +

прежде, имеет место соотношение s = x₁x₂S, но

надо понимать, что именно комбинация x₁x₂ “под-

]

)

страивается” под s и S по формуле x₁x₂ = s/S.

+ Δq(x₁,η)q(x₂)

dσqq0 + (q ↔ q) · Θ · dη.

Используя эту формулу и соотношение (23) [оно

введено в начале раздела, но легко модифицирует-

Используются следующие сокращенные обозначе-

ся в случае радиационной кинематики, так как p_z

ния для функций партонных распределений:

вычисляется в случае радиационной кинематики по

той же формуле (22)]:

q(x) ≡ q(x, Q²) ≡ f_q(x, Q²)

t₁ + û

x₁(z₁ + M²)

и вводится нетривиальная комбинация:

t+û1

x₂(v₁ + M²)

Δq(x,η) =

(87)

получим

[

]

)

√

⁽x

(

)

√

Q²

,M²

θ(η - x) - q

x,M^2sc

p₀ +

p²⁰ + M²

v₁ + M

2π

^q η

x₁ =

√

e^y,

(83)

z₁ + M²

(

)

1+η²

M²

√

^sc - 2 ln(1 - η) - 1

p₀ +

p²⁰ + M²

z₁ + M

1-η

m2q

x₂ =

√

e^-y.

v₁ + M²

где M_sc — масштаб факторизации (factorization

scale) [16].

Якобиан, соответствующий радиационной кине-

матике, имеет вид

√

D(x₁, x₂)

p₀ +

p²⁰ + M²

10. РАДИАЦИОННЫЕ КХД-ПОПРАВКИ

J_R =

√

(84)

D(M, y)

p²⁰

+M²

Кратко опишем происхождение и структуру од-

Интегрирование по углу рассеяния лептона оста-

нопетлевых радиационных КХД-поправок (NLO

ется в фазовом объеме Φ₃, который вычисляется

QCD corrections) для процесса Дрелла-Яна.

в [13]. Наконец, инвариант t в радиационном случае

Существуют два типа диаграмм, первый из них

в с.ц.м.к. вычисляется по формуле

(

(по терминологии КХД — процесс qq-типа, идущий

в несинглетном канале) приведен на рис. 8. Резуль-

2m2q + 2m2l - s + v +

(85)

тат для этой части может быть получен из вклада

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

360

ЗЫКУНОВ

соответствующих диаграмм с фотоном с использо-

для экспериментов на детекторе CMS ζ^∗ и

ванием замены постоянной тонкой структуры α на

y(l)^∗ принимают значения:

константу сильного взаимодействия α_s:

y(l)^∗ = 2.5, ζ^∗ ≈ 0.986614;

(90)

∑

N² - 1

для l⁺ используются такие же ограничения;

Q2qα →

t^at^aα_s =

Iα_s →

α_s,

(88)

a=1

7. используется второе стандартное экспери-

где 2ta- матрицы Гелл-Мана, а N = 3 — число

ментальное ограничение детектора CMS:

поколений кварков. Процессы второго типа (qg-

p_T (l^±) ≥ 20 ГэВ;

типа, так называемый синглетный канал) обыч-

но называются инверсным глюонным излучением

8. применяется так называемая чистая схе-

(IGE, inverse gluon emission), они приведены на

ма (“bare” setup) требований идентификации

рис. 9. Вклад первого типа рассчитан автором в

лептонов: не принимается во внимание “раз-

работе [17], а второго — в работе [18].

мазывание” (smearing) и не учитываются

условия рекомбинации детектируемого леп-

тона и радиационного фотона (“calo” setup).

11. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Для численных оценок этой работы принимает-

Фактор Θ, который отвечает за определение об-

ся набор предписаний, соответствующий экспери-

ласти фазового объема, допускаемой кинематикой

ментальной постановке CMS LHC [19]:

реакции в соответствии с геометрией детектора,

представляет собой произведение θ-функций, опи-

исследуемая реакция (1) с начальными непо-

шем его подробнее:

ляризованными протонами суммарной энер-

√

Θ = Θ(ζ^∗ - cosθ)Θ(ζ^∗ + cosθ) ×

(91)

гии

S = 14 ТэВ (с.ц.м. протонов, Run3/HL

× Θ(ζ^∗ - cos α)Θ(ζ^∗ + cos α) ×

LHC) и конечными состояниями μ^-μ⁺ и

e^-e⁺;

× Θ(p_T (l^-) - pminT)Θ(p_T (l⁺) - pminT).

Все величины из этого выражения приведены вы-

электрослабые параметры СМ, лептонные

ше, использовать их нужно в зависимости от кине-

массы и массу хиггсовского бозона СМ, ко-

матики (безрадиационная или радиационная).

торые соответствуют современным значени-

ям из [20];

Будут рассматриваться три варианта сечений:

учитываем все ароматы валентных и “мор-

1. дважды дифференциальные сечения (по пе-

ских” кварков в протоне, кроме t;

ременным M и y)^dσdMdy ,

разделитель мягких и жестких фотонов ω =

2. дифференциальные сечения по инвариант-

= 0.1 ГэВ; массы кварков как регуляторов

ной массе дилептона^dσdM , проинтегрирован-

коллинеарной сингулярности полагаем m_q =

ные в заданном интервале по переменной y,

= m_u (тесты независимости результата от

параметров ω и m_q проводятся аналитически

3. полные сечения σ, проинтегрированные в

и численно);

заданном интервале по M и y.

набор функций кварковых распределений

CT10 [9];

По прочим переменным, входящим в сечения, так-

же делается интегрирование в пределах согласую-

стандартные экспериментальные ограниче-

щихся с кинематическими условиями CMS LHC,

ния на угол вылета детектируемого лептона

как описано в этом разделе выше. Так как рас-

l-: -ζ∗ ≤ cos θ ≤ ζ∗ [используется обозначе-

пределение по y симметрично относительно нуля в

ние: ζ = cos θ] или на его быстроту: |y(l)| ≤

случае процесса протон-протонных столкновений,

будет показана область только положительных y.

≤ y(l)^∗; связь между этими переменными

В эксперименте [21] используется факт симметрии

этого распределения, а именно — для уменьшения

статистической ошибки измеряется распределение

y(l) = - ln tan

;

(89)

по абсолютной величине |y|.

1-A

Численное интегрирование осуществляется с

ζ =

A=e-2y(l);

1+A

помощью программы VEGAS [22]. Значительную

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

361

Рис. 8. Фейнмановские диаграммы для процесса с глюонной вершинной функцией и глюонным тормозным излучением

для начального состояния qq.

Рис. 9. Фейнмановские диаграммы процессов инверсного глюонного излучения с начальным состоянием gq (а и б) и qg

(в и г).

трудность для интегрирования представляет пико-

также программы FEWZ [25] (считается офици-

вое поведение сечения жесткого тормозного излу-

альной программой CMS LHC) проделано в [26].

чения. Для иллюстрации пикового поведения на

Для сравнения были выбраны те же условия детек-

рис. 10 показано сечение (59) процесса (57). В

тирования частиц и электрослабых параметров, что

формуле (59) для простоты взято только одно

и в [23] (они в основном совпадают с приведенными

слагаемое, соответствующее так называемому z-

выше). Относительные поправки к сечениям опре-

пику (ситуация, в которой фотон излучается почти

деляются следующим образом:

коллинеарно лептону и в которой инвариант z мал).

∑∑∑

σ^hC

Конкретно в (59) сделана замена

RR⁺ →

δ^C =

C = EW, QCD, NLO,

(92)

σ^h

→ szv. Взяты реальные значения лептонных масс и

кинематических переменных, соответствующих об-

NLO = EW + QCD

ласти сверхвысоких инвариантных масс. Рассмот-

(приведена запись для полных сечений, для диф-

рены два случая: а) M = 1 ТэВ,

√s = 1001.15 ГэВ,

ференциальных сечений относительные поправки

p₀ = 1.15 ГэВ и б) M = 5 ТэВ,

√s = 5001.61 ГэВ,

определяются аналогично). Полученные резуль-

p₀ = 1.60 ГэВ [связь величин согласно форму-

таты для относительных поправок (l = μ, “bare”

ле (82)]. Полярные углы излучающего лептона и

setup) от всех перечисленных программ совпадают

фотона равны 60^◦, сечение жесткого тормозного

с точностью примерно 1%.

излучения построено в зависимости от азимуталь-

ного угла фотона ϕ_p в окрестности нулевого угла

Следует сказать, что подходы к расчету элек-

трослабых и КХД-поправок в вышеперечисленных

(θ_p = 0^◦) (именно под таким углом рассеивается

программных комплексах в основном совпадают.

лептон). Видно, что в случае меньшей массы лепто-

Используются схема переномировки на массовой

на (электрон легче мюона примерно на три поряд-

поверхности, схема “с постоянной шириной”, фик-

ка) происходит резкое сужение пика и увеличение

сированный угол смешивания, использование эф-

его высоты. Этот факт экстремально повышает

фективных кварковых масс при учете поляризации

внимание к вопросу точности численного инте-

вакуума, полный учет излучения жестких фотонов

грирования в случае рождения диэлектрона при

(в программе FEWZ применяется оригинальный

сверхвысоких энергиях и инвариантных массах.

метод — так называемый метод секторной деком-

Сравнение оценок READY с результатами ана-

позиции [sector decomposition]) и т.д. В основе

логичных расчетов, проведенных другими группами

используемых технических приемов программиро-

(приведенных в работе [23]) для полного сечения,

вания также лежит один метод — метод Монте-

дифференциальных сечений и асимметрии вперед-

Карло, хотя активно используются и приемы ана-

назад в области M до 2 ТэВ, рассчитанных с помо-

литического интегрирования, что дает возможность

щью программных комплексов ведущих мировых

построить некоторые важные дифференциальные

групп: HORACE [24], SANC [15], ZGRAD2 [6], а

распределения (в READY, например, имеются все

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

362

ЗЫКУНОВ

σ, пбн/ГэВ2

σ, пбн/ГэВ²

μ^-μ⁺

10⁶

μ^-μ⁺

e^-e⁺

10⁵

10³

10¹

10^-1

10^-3

-0.10

-0.05

0.05

0.10

-0.10

-0.05

0.05

0.10

ϕ_p, град

Рис. 10. Зависимость сечения жесткого тормозного излучения от азимутального угла фотона ϕp при фиксированных

полярных углах излучающего лептона и фотона 60^◦: а — M = 1 ТэВ, б — M = 5 ТэВ. Cлучай излучения фотона из

мюона (электрона) обозначен толстой (тонкой) линией.

dσ

-1

, пбн ГэВ

dMdy

dσ/dM, пбн/ГэВ

10^-3

10^-7

10^-5

10^-10

10^-7

10^-13

10^-9

−11

10^-16

0.5

1.0

1.5

0.5

M, ТэВ

Рис. 11. а — дважды дифференциальное сечение^dσ

в зависимости от y при различных значениях M (в ТэВ,

dMdy

обозначены цифрами на рисунке). б — дифференциальное сечение по инвариантной массе^dσ

в зависимости от M.

четыре опции для анализа — от полного до трижды

достаточно больших M ≥ 0.5 ТэВ (с ростом M

дифференциального сечения). Однако уникальной

точность, естественно, улучшается).

особенностью и ключевым преимуществом про-

На рис. 11 показаны борновские дифференци-

граммы READY является концентрация на области

альные сечения процесса Дрелла-Яна для экс-

больших инвариантных масс. Так, при учете слабой

перимента CMS LHC с конечными состояния-

поправки автором использовался асимптотический

ми μ^-μ⁺ и e^-e⁺ (на борновском уровне в УРП

метод [14] для выделения СЛ из важнейшей по

различие между этими состояниями незначитель-

величине эффекта боксовской части: этот подход

но). Интервал изменения переменных на этом и

чрезвычайно сильно упрощает формулы и ускоряет

всех последующих рисунках соответствует области

Run3/HL LHC. Рисунок 11а иллюстрирует два-

счет за счет быстрой сходимости интегралов, но

начинает удовлетворительно работать только при

жды дифференциальные сечения^dσdMdy в зависи-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

363

EW, e^-e⁺

δEW, μ-μ+

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-0.6

-1.0

−0.8

−1.2

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

Рис. 12. Относительные электрослабые поправки к дважды дифференциальному сечению^dσ

в зависимости от y при

dMdy

различных M: а — случай рождения димюона, б — диэлектрона.

δ^qq

IGE

2.0

-0.03

-0.04

1.5

-0.05

1.0

−0.06

-0.07

0.5

-0.08

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

Рис. 13. Относительные КХД-поправки к дважды дифференциальномусечению^dσ

в зависимости от y при различных

dMdy

M: а —случай с начальным кварковым состоянием,б— случай инверсного глюонногоизлучения.

мости от y при разных M, а рис. 11б — диффе-

ренциальным (по переменным M и y) сечениям

ренциальное сечение по инвариантной массе^dσdM .

процесса Дрелла-Яна. Рисунок 12а иллюстрирует

Сечения резко уменьшаются с ростом как M, так и

случай конечного состояния μ^-μ⁺, а рис. 12б —

случай конечного состояния e^-e⁺. Относительные

y, этот факт говорит о сложности эксперименталь-

ного измерения на краю кинематической области.

поправки отрицательны во всей исследованной об-

ласти и весьма значительны по абсолютной вели-

Тем не менее НФ может проявиться именно там,

чине, на краю области (с ростом как M, так и y) она

поэтому ее прецизионное изучение представляется

крайне необходимым.

быстро растет. Значительная разница масс элек-

трона и мюона обуславливает отличие в эффектах

На рис. 12 приведены относительные электро-

электромагнитной части электрослабой поправки

слабые радиационные поправки к дважды диффе- для разных конечных состояний: поправка в случае

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

364

ЗЫКУНОВ

δNLO, μ-μ+

δNLO, e-e+

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

Рис. 14. Полные относительные электрослабые и КХД-поправки к дважды дифференциальному сечению^dσ

dMdy

зависимости от y при различных M: а — случай рождения димюона, б — диэлектрона.

δ^NLO

1.0

EW, μ⁺μ^-

μ⁺μ^-

0.40

EW, e⁺e^-

e⁺e^-

0.35

IGE

0.5

0.30

0.25

0.20

0.15

−0.5

0.10

M, ГэВ

Рис. 15. Относительные поправки к дифференциальному сечению по инвариантной массе^dσ

в зависимости от M: а —

электрослабые и QCD-поправки, б — полные однопетлевые поправки.

диэлектрона по сравнению с димюоном более зна-

альным (по переменным M и y) сечениям процесса

чительно понижает сечение. Так, при M = 2 ТэВ

Дрелла-Яна: на рис. 13а учтены вклады от про-

разница между ними находится в интервале от

цессов qq-типа, на рис. 13б — вклады инверсно-

-0.06 (в центральной области по y) до -0.3 (на

го глюонного излучения. Относительные поправки

краю области по y). С ростом M эта разница

от вкладов первого типа положительны во всей

немного увеличивается, так, при M = 6 ТэВ она

исследованной области и весьма значительны по

лежит в интервале от -0.11 (в центральной области

абсолютной величине, на краю области (с ростом

по y) до -0.31 (на краю области по y).

как M, так и y) она быстро растет. Относитель-

Рисунок 13 иллюстрирует относительные КХД

ные поправки от IGE отрицательны и значительно

радиационные поправки к дважды дифференци- меньше по абсолютной величине, на краю области

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

365

1.0

EW, μ^-μ⁺

EW, e^-e⁺

QCD

0.5

-0.5

M, ГэВ

1.0

EW, μ^-μ⁺

1.0

EW, e^-e⁺

QCD

0.5

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

M, ГэВ

Рис. 16. Относительные поправки к полному сечению в условиях CMS LHC процесса Дрелла-Яна для четырех

стандартных интервалов по быстроте пары y: а — |y| < 1, б — 1 < |y| < 1.25, в — 1.25 < |y| < 1.5, г — 1.5 < |y| < 2.5.

по y есть существенный рост. Наконец, на рис. 14а

значения -0.12. Имеются изменения направления

и 14б изображены полные однопетлевые относи-

выпуклости линий для обоих случаев μ^-μ⁺ и e^-e⁺,

тельные радиационные поправки к дважды диф-

более выражена эта черта в случае рождения ди-

ференциальным (по переменным M и y) сечениям

электрона.

процесса Дрелла-Яна с конечными состояниями

Рисунок 16 иллюстрирует относительные ЭСП-

μ^-μ⁺ и e^-e⁺ соответственно (разница в величине

и КХД-поправки к полному сечению (проинтегри-

поправок для случаев объяснена выше).

рованному в пределах 500 ГэВ-ного бина по M)

при характерных ограничениях эксперимента CMS

На рис. 15 приведены относительные радиаци-

LHC в режиме Run3/HL. Наложены четыре стан-

онные поправки к дифференциальному (по пере-

дартных набора ограничений на быстроту лептон-

менной M) сечению процесса Дрелла-Яна. Ри-

ной пары: |y| < 1, 1 < |y| < 1.25, 1.25 < |y| < 1.5,

сунок 15а соответствует электрослабому вкладу и

1.5 < |y| < 2.5. Поведение всех поправок сходно по

КХД-вкладу, рис. 15б иллюстрирует полную одно-

характеру, наблюдается плавный, практически ли-

петлевую поправку. Интегрирование по y произ-

нейный рост абсолютной величины с увеличением

ведено по всей области CMS LHC. Рассмотрены

границ интегрирования по M.

оба случая конечных состояний (μ^-μ⁺ и e^-e⁺),

Наконец, на рис. 17 и 18 показаны числен-

разница между ними при M = 1 ТэВ порядка -

ные предсказания для асимметрии вперед-назад

-0.05, видно, что она довольно плавно увеличи-

A_FB с учетом ЭСП- и КХД-поправок при харак-

вается с ростом M и при M = 6 ТэВ достигает

терных ограничениях эксперимента CMS LHC в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

366

ЗЫКУНОВ

A_FB

0.30

0.55

0.50

0.25

0.45

Born

0.40

0.20

QCD

NLO

0.35

M, ГэВ

A_FB

0.55

0.50

0.45

Born

0.40

QCD

0.40

NLO

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

M, ГэВ

Рис. 17. Асимметрия вперед-назад A_FB в условиях CMS LHC процесса Дрелла-Яна с рождением димюона. Обозначе-

ния такие же, как на рис. 16.

режиме Run3/HL. Для обоих случаев (как рож-

подробный численный анализ эффектов радиаци-

дения дилептона, так и диэлектрона) характерны

онных поправок к наблюдаемым сечениям и асим-

следующие закономерности влияния эффектов ра-

метрии вперед-назад для эксперимента CMS в

диационных поправок на асимметрию. Электро-

режиме Run3/HL Большого адронного коллайде-

слабые поправки понижают асимметрию, а КХД-

ра. Полученные теоретические эффекты однопет-

поправки — повышают. Полная однопетлевая по-

левых электрослабых и КХД радиационных попра-

правка, являясь результатом частичной компенса-

вок (безотносительно к величине статистических и

ции электрослабых и КХД-эффектов, тем не менее

систематических [экспериментальных] погрешно-

существенно понижает асимметрию вперед-назад

стей, которые ожидаются быть такого же уровня,

для обоих случаев, особенно эффект заметен при

что и теоретические) необходимо будет учитывать в

больших M и |y| < 1.

предстоящей экспериментальной программе CMS

LHC в режиме Run3/HL.

Работа выполнена при поддержке Государ-

12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ственной программы научных исследований Рес-

В работе приведен детальный расчет однопет-

публики Беларусь “Конвергенция” (подпрограмма

левых электрослабых и КХД радиационных по-

“Микромир, плазма и Вселенная”). Автор при-

правок в процессе Дрелла-Яна при сверхвысо-

знателен коллегам по группе RDMS CMS за

ких энергиях и инвариантных массах дилептона.

обсуждение и магистранту М.П. Бугаевской за

С помощью программы READY впервые сделан

тестирование кода READY. Численный расчет

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

ЭФФЕКТЫ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

367

A_FB

0.30

0.55

0.50

0.25

0.45

Born

0.40

0.20

QCD

NLO

0.35

NLO

M, ГэВ

A_FB

0.55

0.50

0.45

Born

0.40

QCD

0.40

NLO

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

M, ГэВ

Рис. 18. Асимметрия вперед-назад A_FB

в условиях CMS LHC процесса Дрелла-Яна с рождением диэлектрона.

Обозначения такие же, как на рис. 16.

наблюдаемых величин в режиме Run3/HL LHC

7. J. C. Collins and D. E. Soper, Phys. Rev. D 16, 2219

проведен на Гетерогенной платформе HybriLIT

(1977).

Лаборатории информационных технологий ОИЯИ.

8. S. Chatrchyan et al. (CMS Collab.), Phys. Lett. B

718, 752 (2013); CMS-EWK-11-004, CERN-PH-

EP-2012-187; arXiv: 1207.3973.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

9. J. Gao, M. Guzzi, J. Huston, Hung-Liang Lai, Z. Li,

P. Nadolsky, J. Pumplin, D. Stump, and C.-P. Yuan,

1. S. D. Drell and T. M. Yan, SLAC-PUB-0755 (1970),

Phys. Rev. D 89, 033009 (2014)

[arXiv: 1302.6246

Phys. Rev. Lett. 25, 316, 902 (Erratum) (1970).

[hep-ph]].

2. S. D. Drell and T. M. Yan, Ann. Phys. (N. Y.) 66, 578

(1971).

10. L. A. Harland-Lang, A. D. Martin, P. Motylinski, and

3. В. А. Матвеев, Р. М. Мурадян, А. Н. Тавхелидзе,

R. S. Thorne, Eur. Phys. J. C 75, 204 (2015) [arXiv:

Препринт №Р2-4543, ОИЯИ (Дубна, 1969).

1412.3989 [hep-ph]].

4. J. H. Christenson, G. S. Hicks, L. M. Lederman,

11. M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

P. J. Limon, B. G. Pope, and E. Zavattini, Phys. Rev.

Phys. 34, 687 (1986).

D 8, 2016 (1972).

12. А. Г. Алексеев, С. Г. Барканова, Ю. М. Быстрицкий,

5. В. А. Зыкунов, ЯФ 82, 177 (2019) [Phys. At. Nucl.

В. А. Зыкунов, ЯФ 83, 159 (2020) [Phys. At. Nucl.

82, 183 (2019)].

83, 307 (2020)].

6. U. Baur, O. Brein, W. Hollik, C. Schappacher, and

13. А. Г. Алексеев, С. Г. Барканова, Ю. М. Быстрицкий,

D. Wackeroth, Phys. Rev. D 65, 033007 (2002) [hep-

В. А. Зыкунов, ЯФ 83, 246 (2020) [Phys. At. Nucl.

ph/0108274].

83, 463 (2020)].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021

368

ЗЫКУНОВ

14. V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 75, 073019 (2007) [hep-

22. P. G. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

ph/0509315].

23. C. Buttar, J. D’Hondt, M. Kramer, G. Salam,

15. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko,

M. Wobisch, N. E. Adam, V. Adler, A. Arbuzov,

P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, and W. von

D. Bardin, U. Baur, A. A. Bhatti, S. Bondarenko,

Schlippe, Comput. Phys. Commun. 174, 481 (2006)

V. Buge, J. M. Butterworth, and M. Cacciari,

[hep-ph/0411186].

in Proceedings of the Workshop on Physics at

16. W. A. Bardeen, A. J. Buras, D. W. Duke, and T. Muta,

TeV Colliders, Les Houches, 2007, p. 121 [arXiv:

Phys. Rev. D 18, 3998 (1978).

0803.0678 [hep-ph]].

17. В. А. Зыкунов, ЯФ 73, 1269 (2010) [Phys. At. Nucl.

73, 1229 (2010)].

24. C. M. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini,

18. В. А. Зыкунов, ЯФ 74, 72 (2011) [Phys. At. Nucl.

and A. Vicini, JHEP 0710, 109 (2007)

[arXiv:

74, 72 (2011)].

0710.1722 [hep-ph]].

19. G. L. Bayatian et al. (CMS Collab.), J. Phys. G 34,

25. R. Gavin, Ye Li, F. Petriello, and S. Quackenbush,

995 (2007).

Comput. Phys. Commun. 182, 2388 (2011) [arXiv:

20. P. A. Zyla et al. (Particle Data Group), Prog. Theor.

1011.3540 [hep-ph]].

Exp. Phys. 083C01, 1 (2020).

26. Е. В. Дыдышко, В. Л. Ермольчик, В. А. Зыкунов,

21. S. Chatrchyan et al. (CMS Collab.), JHEP 1312,

Х. Г. Суарес, С. В. Шматов, ЭЧАЯ 49, 1267 (2018)

030 (2013); CMS-SMP-13-003, CERN-PH-EP-

[Phys. Part. Nucl. 49, 722 (2018)].

2013-168; arXiv: 1310.7291.

EFFECTS OF RADIATIVE CORRECTIONS IN THE DRELL-YAN PROCESS

AT ULTRA-HIGH INVARIANT MASS OF DILEPTON

V. A. Zykunov^1),2)

¹⁾JINR, Dubna, Moscow region, Russia

²⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

One-loop electroweak and QCD radiative corrections in the Drell-Yan process at ultra-high energies

and invariant mass of lepton pair are calculated. The refactoring of code READY is implemented. The

integration procedure,the kinematical requirement and restrictionrealization are optimized. Using READY

for the first time the detailed numerical analysis of radiative corrections effects to observable cross sections

and forward-backward asymmetry for CMS experiment at Run3/HL regime of Large Hadron Collider is

performed.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№4

2021