ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 5, с. 382-401

ЯДРА

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

УПРУГОГО ПРОТОН-ЯДЕРНОГО РАССЕЯНИЯ

Поступила в редакцию 28.12.2020 г.; после доработки 09.03.2021 г.; принята к публикации 09.03.2021 г.

Предложена эмпирическая аппроксимация дифференциальных сечений упругого протон-ядерного

рассеяния в широком диапазоне энергий и для всех ядер-мишеней. В области малых энергий

дифференциальное сечение упругого pp-рассеяния уточнено в рамках теории прямых ядерных реакций

с учетом интерференции электромагнитной и ядерной амплитуд рассеяния.

DOI: 10.31857/S0044002721040127

1. ВВЕДЕНИЕ

ядро, тем, что прямые процессы быстрые и про-

текают за время порядка 10-22 с, а резонансные

Обычно при моделировании упругого ядерного

компаунд-системы могут существовать значитель-

рассеяния предполагается, что из-за кулоновско-

но большее время. Универсальный ТПР-подход

го барьера вклад ядерной амплитуды рассеяния

позволяет с помощью t- и u-каналов ядерного

мал по сравнению с электромагнитной амплитудой,

рассеяния описывать периферические процессы,

так что ограничиваются использованием формулы

а с помощью s-канального взаимодействия—ре-

Резерфорда для описания углового распределения

акции, идущие с образованием компаунд-ядра и

упругого рассеяния. Это справедливо для отно-

учитывающие взаимодействие вторичных частиц в

сительно невысоких энергий и только для сред-

конечном состоянии. Эмпирический подход с от-

них и тяжелых ядер, но в случае pp-рассеяния и

носительно небольшим числом параметров выгля-

рассеяния протонов на легких ядрах при энергиях,

дит удобным средством для практически необходи-

начиная со 100 кэВ, дифференциальное сечение

мой аппроксимации, востребованной в протонной

упругого рассеяния может существенно отличаться

терапии, ускорительной технике и астрофизиче-

от резерфордовского, поскольку сильное взаимо-

ских расчетах. Были получены эмпирические ап-

действие вносит заметный вклад в сечение рассе-

яния на большие углы.

проксимации экспериментальных данных диффе-

ренциальных сечений упругих протон-протонного

Для описания дифференциальных угловых рас-

и протон-ядерного рассеяний, а затем в области

пределений традиционно используют оптические

малых энергий выполнена уточняющая парамет-

модели [1], зависящие от большого числа па-

ризация углового распределения сечения упругого

раметров: как самого оптического релятивистски

pp-рассеяния на основе ТПР, учитывающая интер-

не инвариантного потенциала, так и радиального

ференцию электромагнитной и ядерной амплитуд

распределения плотности ядра. Однако к ионам

рассеяния.

водорода, особенно к pp-рассеянию, применить

оптическую модель не представляется возмож-

При взаимодействии ядер существует кулонов-

ным. Альтернативой оптической модели служит

ский барьер реакции, для описания которого ис-

полуэмпирическая теория прямых ядерных реак-

пользуется величина, называемая энергией Гамова

ций (ТПР) [2, 3], основанная на использовании

и определяемая как [6, 7]

релятивистски инвариантных мандельстамовских

переменных [2, 4], а также амплитуд и фаз со-

E_g = 2μ(παzZ)² ,

(1)

ответствующих им каналов ядерного рассеяния,

хорошо зарекомендовавшая себя при описании

где μ =m·Mm+M — приведенная масса, m, M и z,

(α, n)-реакций [5]. Прямые ядерные реакции отли-

Z —массы и заряды налетающей частицы и ядра-

чаются от резонансных, идущих через компаунд-

мишени, а α — постоянная тонкой структуры. Для

¹⁾Всероссийский Научно-исследовательский институт ав-

реакции упругого pp-рассеяния E_g = 0.493 МэВ.

томатики им. Н.Л. Духова, Москва, Россия.

^*E-mail: AAGalyuzov@vniia.ru

Энергия Гамова используется в факторе Гамо-

^**E-mail: Kosov@vniia.ru

ва [7], описывающем вероятность проницаемости

382

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

383

кулоновского барьера

При использовании известного из ядерной ки-

( √

)

нематики выражения [4]

E_g

P = exp

(2)

dσ

T_CM

· |A|²

(10)

64π · s · p

где TLS/CM — кинетические энергии в лаборатор-

дифференциального сечения через полную ком-

ной системе/системе центра масс, связанные меж-

плексную амплитуду рассеяния A можно записать:

ду собой как

dσ

A2R

m+M

· (ℏc)² .

(11)

T_CM = T_LS · M ·

≈T_LS ·

(3)

64π · s · p²

m+M

Чтобы перейти от (11) обратно к (9), нужно вос-

поскольку в нерелятивистском пределе s = m² +

пользоваться тем, что якобиан перехода от^dσ кdΩ

+ 2(m + T_LS)M + M² ≈ (m + M)² — мандельста-

dσ

мовская переменная, имеющая смысл квадрата

имеет вид^π

d(-t)

p²

полной энергии реакции в системе центра масс.

Резерфордовское дифференциальное сечение

Из (3) следует, что в случае pp-рассеяния в нере-

рассеяния тождественных частиц с массой m,

лятивистском пределе T_CM =TLS2^.

зарядом z и спином S имеет вид [10]

Для того чтобы рассчитать полную амплитуду

dσ_R

рассеяния, необходимо знать выражение электро-

(12)

магнитной (резерфордовской) амплитуды рассея-

dΩ_CM

⎛

ния налетающего ядра на ядре-мишени. Амплиту-

ду резерфордовского рассеяния можно определить

C_z

⎜

(

)₂

как

4p^2CM

^⎝ sin4θCM₂ +

cos4θC

√s

A_R = -16πμαzZ ·

(4)

(

))

⎞

cos

ln tg2θCM

(-1)2S

β^r

⎟

где t — мандельстамовская переменная, имеющая

⎠,

смысл квадрата переданного в упругом рассеянии

S+¹²

sin2θCM2cos2θ2

импульса:

(

)₂

θ_CM

где C_z =

mαℏcz²

. В оригинальном выраже-

-t = 2p^2CM · (1 - cos θ_CM) = |t_max| · sin²

(5)

нии (12) в [10] использовалась нерелятивистская

Импульс в системе центра масс реакции выра-

величина приведенной массы μ и βrCM =pCMμ^.В[8]

жается через p_LS — импульс налетающего ядра в

рассматривалось, в частности, кулоновское рас-

лабораторной системе как

сеяние релятивистских заряженных частиц, для

которых предлагалось применять релятивистское

p_LS · M

p_CM =

(6)

обобщение приведенной массы (8) и точное выра-

√s

жение β

= √ p^CM

, которые и были исполь-

p²

+μ²

θ_CM — угол рассеяния в системе центра масс и

зованы в настоящей работе. Первый член в (12)

квадрат максимального переданного импульса:

соответствует вкладу в дифференциальное сечение

|t_max| = 4p^2CM.

(7)

t-канального рассеяния, второй — u-канального,

так как мандельстамовская переменная u в случае

В (4) и везде далее используется релятивистское

упругого рассеяния выражается как

обобщение приведенной массы [8]

-u = 2p^2CM · (1 + cos θ_CM) =

(13)

m·M

μ=

(8)

θ_CM

√s.

= |t_max| · cos²

Дифференциальное сечение резерфордовского

а третий — их интерференции.

рассеяния полностью ионизированных ядер опре-

Для удобства дальнейшего использования мож-

деляется выражением [9]

но упростить выражение (12) следующим образом:

dσ_R

⁽ 2μαzZ)2

· (ℏc)² ,

(9)

dσ_R

dΩ_CM

(14)

dΩ_CM

(

где

элемент

телесного

угла

dΩ_CM =

C_z

θ_CM

(-1)2S

θ_CM

= -dφ · d(cos θ_CM), φ — азимутальный угол, а ℏc ≈

1 + tg⁴

· tg²

≈ 200 МэВ фм.

t²

S+¹²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

384

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

(

)))

θ_CM

лабораторной системе, так и в системе центра

× cos

ln tg²

βrCM

масс, причем сечение и угол рассеяния могут

приводиться в разных системах. Это потребовало

В приближении высоких энергий α ≪ βrCM коси-

скрупулезного изучения каждой работы и приведе-

нус в последнем слагаемом правой части выраже-

ния данных к единому виду в системе центра масс

(

)

ния (14) обращается в единицу, однако при малых

θ_CM,^dσ

, где θ — угол рассеяния в градусах, а

dΩ_CM

энергиях его вклад оказывается существенным, в

dσ

связи с чем при аппроксимации эксперименталь-

— дифференциальное сечение в мбн/ср.

dΩ

ных дифференциальных сечений упругого рассея-

Ниже описываются непрерывная по энергии

ния использовалась точная формула (14).

эмпирическая аппроксимация дифференциального

При низких энергиях ядра экранированы элек-

сечения упругого pp-рассеяния, а также непрерыв-

тронной оболочкой, поэтому на больших межъ-

ная по энергии и атомному весу A эмпирическая

ядерных расстояниях, соответствующих по соотно-

аппроксимация протон-ядерного рассеяния, полу-

шению неопределенности малым квадратам пере-

ченные в результате обработки большого объе-

данного импульса |t| и малым углам рассеяния θ_CM,

ма экспериментальных данных. Эмпирической ап-

для сходимости интеграла от резерфордовского

проксимация называется потому, что она проводи-

лась при использовании в качестве фитирующей

дифференциального сечения рост¹

при стремле-

t²

нии t к нулю обрезается не зависящим от энер-

функции суммы функций вида C · f^′(-t) · ef(-t),

гии налетающей частицы параметром электронной

где C — нормировочная константа, а f(x) — поли-

экранировки μ_S . Резерфордовское сечение ста-

ном x. Очевидно, что каждый такой член разло-

жения элементарно интегрируется, что упрощает

новится пропорциональным фактору

, то

(t-μ2S )²

розыгрыш угла рассеяния с помощью случайного

есть принимает вид полюсного t-канального чле-

числа. В рамках такого подхода невозможно было

на, который возникает, например, при обмене π⁰-

учесть интерференцию электромагнитной и ядер-

мезоном:

ной амплитуд рассеяния, а их вклады в дифферен-

циальное сечение представлялись независимыми

(15)

(t - m²

)²

аддитивными членами и вклад электромагнитного

π⁰

рассеяния, которое обычно учитывается в форме

где m_π0 ≈ 135 МэВ — масса π⁰-мезона (напомним,

многократного рассеяния, вычитался из диффе-

что t = -|t| — неположительная величина, изме-

ренциального сечения. Это позволяло по получен-

няющаяся согласно (5) от -|t_max| до 0). Если

ным параметризующим дифференциальные сече-

бы была учтена электронная экранировка, то все

ния формулам элементарно вычислять интеграль-

ные сечения, а простота получающихся функций

sin2θCM2^{,согласно(5)пропорциональныемандель-}

делала возможным с высокой производительно-

стамовской переменной t, надо было бы заме-

стью проводить розыгрыш с помощью случайных

нить на sin2θCM2

4p²

, а все cos2θCM2^{,пропорци-}

чисел угловых распределений этих сечений в про-

цессе численного моделирования.

. Эффект элек-

ональные u, — на cos2θCM2

4p²

После построения глобальной pA-формулы,

тронной экранировки учитывался при эмпириче-

ориентированной на высокие энергии, в которой

ской аппроксимации экспериментальных диффе-

резерфордовское рассеяние можно было выделить

ренциальных сечений упругих протон-протонного и

как независимый процесс, с целью сравнения с

протон-ядерного рассеяний. В процессе парамет-

полученной эмпирической аппроксимацией упру-

ризации углового распределения сечения упругого

гого pp-рассеяния приводится аппроксимация того

pp-рассеяния на основе ТПР было установлено,

же упругого сечения в области малых энергий,

что вклад электронной экранировки в электромаг-

выполненная на основе ТПР и учитывающая

нитную амплитуду рассеяния пренебрежимо мал,

интерференцию электромагнитной и ядерной ам-

поэтому в аппроксимации на основе ТПР она никак

плитуд рассеяния.

не учитывалась.

Большая часть экспериментальных данных

2. АППРОКСИМАЦИЯ

дифференциальных сечений упругих протон-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

протонного и протон-ядерного рассеяний бра-

УПРУГИХ ПРОТОН-ПРОТОННОГО

лась из базы ядерных данных EXFOR [11]. Во

И ПРОТОН-ЯДЕРНОГО РАССЕЯНИЙ

время подготовки экспериментальных данных

2.1. Описание дифференциального сечения

для аппроксимации пришлось столкнуться с су-

упругого pp-рассеяния

щественной трудностью, состоящей в том, что

в экспериментальных работах данные об угле

Дифференциальное сечение упругого pp-рас-

и дифференциальном сечении приведены как в

сеяния требуется при моделировании рассеяния

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

385

Таблица 1. Коэффициенты, использовавшиеся в эмпирической аппроксимации (16) дифференциального сечения

упругого pp-рассеяния

6.24

2.78

105

A_e

1.71 +

B_e

10 lnp +

p³

√p

74 + 3 (lnp - 5)²

0.2/p² + 17p

8p0.055

A_d

B_d

1 + 3.4/p⁵

p⁴ + 0.001√p

1 + 3.64/p³

4000

1.2 × 10

A_m

5 × 10-5 +

B_m

0.46 +

p⁴ + 1500p

p⁴ + 3.5 × 10⁶/√p

3.4 × 10⁶

A_h

5 × 10-5 +

B_h

1.1 +

p⁸ + 8.5 × 10⁸p² + 10¹⁰

p⁴ + 6.8 × 10⁶

протонов на атомах водорода в составе органиче-

минимумы в силу ферми-движения и флуктуаций

ских материалов, в частности при прецизионном

плотности (например, кластеризации) вовсе не так

расчете упругого pp-рассеяния при низких энер-

глубоки, как предсказывает оптическая модель, и

гиях, необходимом для моделированиия эффекта

даже на самых тяжелых ядрах проявляются всего

радиационной терапии, а также в различных аст-

один-два вторичных максимума, а остальное уг-

рофизических приложениях. Для этих целей была

ловое распределение представляется усредненной

бы очень полезна непрерывная в широком диапа-

экспоненциально спадающей кривой (A_h, B_h).

зоне кинетических энергий налетающего протона

Все члены выражения (16) (за исключением

аппроксимация дифференциального сечения упру-

описывающего дифракционный конус (A_d, B_d),

гого pp-рассеяния.

Эмпирическая формула дифференциального

где интеграл равенAdB_d ,иAd^{имеетсмыслзна-}

сечения упругого pp-рассеяния имеет вид

чения дифференциального сечения при рассеянии

на нулевой угол) нормированы так, что коэффи-

√-t

dσ

A_eB_ee-Be

циент A соответствует интегралу этого члена по

(16)

2√-t

-t от нуля до бесконечности. В действительно-

сти интегрирование надо производить в ограни-

+ A_deBdt + 2A_mB2m(-t)e-(-Bmt)2 +

ченном диапазоне от нуля до значения |tmax| =

(√

)

+ A_hB_heBht + (t ↔ u) ,

= 2m_p p² + m2p - m_p , совпадающего по вели-

где зависимости используемых параметров от

чине с (7) и которое можно получить, если записать

импульса p налетающего протона в лабораторной

выражение (5) для ядра-мишени. Нормировки не

системе в МэВ/с приведены в табл. 1. Член (t ↔ u)

было сделано для члена (A_d, B_d), описывающего

означает, что из-за тождественности протонов

дифракционный конус, поскольку при малых энер-

необходимо прибавить такое же выражение, где -t_(√)

гиях, которые сейчас рассматриваются, B_d прак-

заменено на -u = 2m_p · p² + m2p - m_p

+ t, а

тически обращается в нуль, и A_d приобретало бы

неадекватно большую величину. При малых энер-

m_p — масса протона.

гиях членом первого дифракционного максимума

Первый член (A_e, B_e) в (16) соответствует

(A_m, B_m) и эффективной экспонентой, аппрокси-

электромагнитному рассеянию с учетом электрон-

мирующей высшие максимумы (A_h, B_h), можно

ной экранировки. В процессе аппроксимации бы-

пренебречь. Таким образом, было очевидно, что

ло опытным путем получено, что в отличие от

при малых энергиях эта общая формула требует

резерфордовского рассеяния, дифференциальное

усовершенствования.

сечение которого ∼t-2, наилучшее качество па-

раметризации дифференциального сечения упру-

Полученная эмпирическая аппроксимация по-

гого pp-рассеяния обеспечивает использование в

казана на рис. 1. Здесь и далее угловые распреде-

первом члене (A_e, B_e) квадратного корня из -t.

ления представлены для средней энергии исполь-

Второе слагаемое в (16) описывает дифракционный

зованных данных. Различные наборы данных, со-

конус. Третий член (A_m, B_m) соответствует пер-

ответствующие одной и той же средней кинетиче-

вому, а четвертый — последующим одновременно

ской энергии налетающего протона в лабораторной

аппроксимируемым дифракционным максимумам,

системе, изображены различными типами марке-

поскольку подробно описать все дифракционные

ров. При рассеянии тождественных частиц диф-

максимумы высших порядков не представляется

ференциальное сечение симметрично относительно

возможным, а также потому, что дифракционные

величин |t_max|/2, соответствующих углу рассеяния

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

386

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

dσ/dt, мбн/ГэВ²

10⁵

8.02 МэВ

9.8 МэВ

13.5 МэВ

49.8 МэВ

10⁴

10³

10²

203 МэВ

361.6 МэВ

530.1 МэВ

664.5 МэВ

10¹

10²

10¹

796.8 МэВ

959.3 МэВ

1.21 ГэВ

1.61 ГэВ

10⁰

10²

10¹

10⁰

2.1 ГэВ

2.82 ГэВ

3.97 ГэВ

4.84 ГэВ

10^-3

10^-1

10⁰

10^-3

10^-1

10⁰

10^-3

10^-1

10⁰

10^-3

10^-1

10⁰

-t, ГэВ²

Рис. 1. Дифференциальные сечения упругого pp-рассеяния из работ [14-16, 114, 115, 117, 119-143], описанные

формулой (16). Штриховая прямая — резерфордовское дифференциальное сечение (14).

θ_CM = 90^◦ в системе центра масс, поэтому эти зна-

ние дифференциального сечения совпадает с ре-

чения мандельстамовской переменной на рисунках

зерфордовской кривой. Вероятно, это связано с

обозначены вертикальными линиями, относитель-

тем, что из-за кулоновского барьера при малых

но которых сечение симметрично.

кинетических энергиях и углах рассеяния ядерная

амплитуда мала по сравнению с электромагнит-

Как видно из рис. 1, за исключением кинети-

ной амплитудой рассеяния. Однако при увеличении

ческих энергий налетающих протонов T_LS = 49.8

угла рассеяния вклад резерфордовского сечения

и 203 МэВ, разработанная эмпирическая аппрок-

падает ∼t-2, и упругое дифференциальное сечение

симация дифференциального сечения упругого pp-

начинает определяться вкладом ядерной амплиту-

рассеяния хорошо описывает экспериментальные

ды рассеяния. На рис. 1 это проявляется посто-

данные. При меньших энергиях она так же хорошо,

янной величиной дифференциального сечения при

как и на рис. 1, согласуется с экспериментальными

больших углах рассеяния, что соответствует диа-

данными, а при росте энергий в ГэВную область

грамме изотропного распада компаунд-ядра. При

отлично совпадает с ними.

кинетической энергии, большей 100 МэВ, диффе-

Помимо аппроксимирующей функции (16) на

ренциальные сечения упругого pp-рассеяния из-

рис. 1 для каждой кинетической энергии налета-

мерялись в области, где резерфордовское сечение

ющего протона изображена соответствующая ей

дает малый вклад.

кривая резерфордовского рассеяния тождествен-

ных частиц (14), где переход отdσdΩ

к dσdt осу-

2.2. Описание дифференциального сечения

ществляется с помощью якобиана перехода^π

упругого протон-ядерного рассеяния

p²

Как видно из рис. 1, при малых энергиях в об-

Для описания дифференциальных угловых рас-

ласти малых углов рассеяния угловое распределе- пределений традиционно используют оптические

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

387

модели [1], зависящие от большого числа пара-

+ Ad (B_d - 2C_dt)eBdt-Cdt² + 3A_mB_mt²eBmt³ +

метров как самого оптического потенциала, так и

+A_hB_heBht + A_uB_ueBut,

радиального распределения плотности ядра. Су-

ществуют и другие модели расчета дифференци-

√-t

e^-Be

где^dσ

=A_eB_e

альных угловых распределений, но большинство из

√-t^{изависимостииспользуе-}

них все равно сводится к параметризации сечений.

мых параметров от импульса p налетающего про-

В этом смысле простая и удобная для моделиро-

тона в лабораторной системе в МэВ/с и атомного

вания эмпирическая параметризация дифференци-

веса ядра-мишени A в атомных единицах массы

альных сечений ничем не хуже модельной со срав-

приведены в табл. 2.

нимым числом свободных параметров. Главным

вопросом остается предсказательная сила такой

Первый членdσedt^{,такжекакидляпротон-}

эмпирической параметризации, поскольку экспе-

ной мишени, приблизительно описывает диффе-

ренциальное сечение электромагнитного рассея-

риментальные данные дифференциальных сечений

имеются для ограниченных энергетических диапа-

ния с учетом электронной экранировки. Главным

вкладом ядерного упругого рассеяния является ди-

зонов и относительно небольшого набора ядерных

фракционный конус рассеяния, описываемый вто-

мишеней. Понять то, насколько надежной можно

считать экстраполяцию или интерполяцию разра-

рым членом с нормировочным коэффициентом A_d.

ботанной эмпирической параметризации, описыва-

Аппроксимация параметров дифракционного ко-

ющей упругое сечение в области энергий и для ион-

нуса наиболее сложна, поскольку она фактически

ионных пар, для которых нет экспериментальных

выражает зависимость упругого протон-ядерного

данных, можно оценивая качество параметриза-

дифференциального сечения от энергии налетаю-

ции дифференциальных сечений при непрерывной

щего иона и атомного веса ядра-мишени. Третий

аппроксимации параметров фитирующей функции

член (A_m, B_m) описывает первый и единственный

как функций начальной кинетической энергии T_LS

дифракционный максимум, а четвертый A_h — ап-

налетающей частицы и атомного веса ядра-мишени

проксимирует вклад всех старших дифракционных

максимумов, которые чаще всего из-за недостаточ-

ного разрешения измерительной установки слива-

При упругом рассеянии протонов может иметь

ются в одну падающую экспоненту. Наконец, ядер-

место t-канальное рассеяние, примером которого

является кулоновское рассеяние с t-канальным

ную глорию описывает последний член A_u. Если

обменом виртуальным γ-квантом, а также мо-

отвлечься от множителя p², то в аппроксимации

жет наблюдаться u-канальное рассеяние, когда

вклада в сечение ядерной глории A_u выделяются

налетающая частица подхватывает A - 1 нукло-

два члена. Первый имеет вид гамма-функции, сна-

нов ядра-мишени, где A — массовое число ядра,

чала степенным образом возрастая, а потом экспо-

и сама превращается в ядро-мишень с числом

ненциально падая. Он вносит определяющий вклад

нуклонов A. Эффект подхвата A - 1 нуклонов

при малых энергиях, но становится пренебрежимо

ядра-мишени налетающим ядром также называет-

малым уже при импульсе 200 МэВ/с (кинетическая

ся “ядерной глорией” и при низких энергиях может

энергия протона T_LS ≈ 21 МэВ), по порядку со-

иметь достаточно большую вероятность. Очевид-

ответствующим импульсу Ферми нуклонов в ядре.

но, что в системе центра масс при u-канальном

Второй член степенным образом убывает с возрас-

обмене протон как бы рассеивается назад, причем

танием импульса. Он дает небольшой, но более-

при приближении угла рассеяния к 180^◦ сечение

менее постоянный вклад при малых энергиях и,

не убывает, а растет. Понятно, что никакие оп-

несмотря на то что степенным образом убывает,

тические потенциалы не способны воспроизвести

при импульсах протона больше импульса Ферми

этот эффект, а при свободной форме фитирующей

нуклонов в ядре является определяющим фактором

функции его описать возможно. Наиболее ярко

при описании u-канального рассеяния. Ядерная

u-канальное рассеяние протонов наблюдается на

глория на фоне быстро падающего с возрастанием

трех ядрах: дейтерии (нуклонный обмен),³He (дей-

величины -t дифференциального сечения приве-

тронный обмен) и⁴He (тритиевый обмен). Данные

дена на рис. 2 до кинетической энергии протона

для ядра трития не рассматриваются, поскольку в

порядка 900 МэВ, но в [12] сечение рассеяния

физических детекторах такой ядерной мишени не

назад протона на дейтроне измерено вплоть до

существует.

энергии 2.7 ГэВ.

Была найдена единая эмпирическая параметри-

Для более тяжелых ядер вклад рассеяния назад

зация дифференциального сечения упругого рассе-

мал, поэтому будет использоваться другая пара-

яния протонов на легких ядрах с A < 7:

метризация, не учитывающая u-канального рас-

dσ

dσ_e

сеяния, но хорошо воспроизводящая не только

(17)

первый, но и второй дифракционный максимумы.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

389

Все члены аппроксимирующей формулы (17)

не менее, экспериментально эффект ядерной гло-

записаны в таком виде, что они легко могут быть

рии отчетливо проявляется вплоть до кинетической

проинтегрированы по -t от нуля до величины (7),

энергии 86 МэВ, что значительно больше импуль-

чтобы получить интегральные сечения. Следует

са Ферми, а начинает быть заметным с энергии

также заметить, что здесь использованы больш ´ие

всего 2.6 МэВ. Как видно из рис. 3, начиная с

степени атомного веса A только для того, чтобы

кинетической энергии протона примерно 0.5 МэВ

дать удовлетворительное описание дифференци-

отличие упругого дифференциального сечения от

ального сечения для изотопа⁶Li, более точная

резерфордовской кривой существенно, а с ростом

аппроксимация для которого может быть найдена в

энергии только увеличивается.

специальных библиотеках физического программ-

Рассеяние протонов на ядрах основного изотопа

ного пакета CHIPS-TPT [13] (Свидетельство Ро-

гелия исследовано значительно подробнее, чем на

спатент № 2014611928).

ядрах³He. Дифференциальные сечения упругого

Рассеяние протонов на ядрах дейтерия изучено

pα-рассеяния, измеренные при достаточно малых

достаточно подробно как при низких, так и при

энергиях [16, 40, 50, 51, 55-74], показаны на

высоких энергиях. Эмпирическая параметризация

рис. 4. Вклад ядерной глории, наложенный на

(17) экспериментальных упругих дифференциаль-

первый дифракционный максимум, виден уже с

ных сечений pd-рассеяния, измеренных при малых

T_LS = 1.6 МэВ. Принимая во внимание неполное

кинетических энергиях налетающего протона [14-

исследование дифференциальных сечений, можно

43], показана на рис. 2, на каждой из частей кото-

предположить, что при взаимодействии протонов

рого кинетическая энергия указана в лабораторной

с гелием амплитуды ядерного упругого рассеяния

системе. Заметим, что при больших T_LS вплоть до

начинают доминировать в упругом рассеянии на

900 ГэВ разработанная параметризация работает

большие углы, начиная с энергии 1 МэВ. Как и в

гораздо лучше, чем при низких энергиях. Из рис. 2

случае p³He-рассеяния, отличие углового распре-

видно, что эффект ядерной глории проявляется

деления сечения упругого рассеяния от резерфор-

начиная с самых малых энергий. Обращает на себя

довской кривой заметно с T_LS порядка сотни кэВ,

внимание то, что при сохранении характера зависи-

а при росте энергии только увеличивается. Следу-

мости дифференциального сечения от релятивист-

ет также упомянуть про подробнейшие измерения

ски инвариантной мандельстамовской переменной

упругого pα-рассеяния, проведенные в [74], начи-

(5), имеющей смысл квадрата переданного импуль-

ная с энергии 0.8 ГэВ вплоть до 1.3 ГэВ, т. е. вплоть

са, граница распределения растет с увеличением

до рассеяния назад, которые позволяют предполо-

энергии налетающего протона. Именно при макси-

жить, что подобные реакции лежат за пределами

мальном квадрате переданного импульса, который

области применимости оптических моделей [1] и

соответствует углу рассеяния в системе центра

метода искаженных волн DWA [75].

масс 180^◦, и возникает эффект ядерной глории.

Чем тяжелее ядро мишени, тем уже дифракци-

Дейтрон — достаточно рыхлая система, и эф-

онный конус рассеяния, и тем больше дифракцион-

фект подхвата нейтрона налетающим протоном не

ных максимумов возникает в спектре. При началь-

кажется маловероятным, однако в системе цен-

тра масс это приводит к кажущемуся рассеянию

ной кинетической энергии протона больше 1 ГэВ

налетающего протона назад, тогда как, подхватив

насчитывается до десяти вторичных дифракцион-

нейтрон мишени, он продолжает лететь вперед, а

ных максимумов. Аппроксимировать все максиму-

назад летит протон-спектатор из состава дейтрона

мы не представляется возможным, поскольку даже

мишени. При кинетической энергии ниже 0.6 МэВ

для одного ядра и одной энергии положение всех

кулоновский барьер ядерной реакции сводит ве-

максимумов не удается описать с помощью теории

роятность u-канального рассеяния практически к

рассеяния Глаубера (релятивистской оптической

нулю, и ожидаемая ядерная глория практически

модели) [76], варьируя параметры плотности ядра

отсутствует, а резкий максимум в области малых

как свободные параметры. С практической точки

углов практически полностью описывается резер-

зрения в этом и нет необходимости, поскольку

фордовским рассеянием, как это показано, напри-

в области больших переданных импульсов, где

мер, для начальной кинетической энергии 448 кэВ.

возникают старшие максимумы, доминирует ква-

зисвободное рассеяние с выбиванием нуклона из

На рис. 3 показано использование параметри-

ядра или сильным ядерным возбуждением, поэтому

зации (17) для описания дифференциальных сече-

старшие максимумы при высокой энергии можно

ний упругого рассеяния протонов на ядре³He, из-

описать единой экспоненциально падающей функ-

меренных в [16, 24, 33, 40, 44-54]. Отчетливо про-

цией.

являющийся эффект ядерной глории соответствует

u-канальному обмену ядром дейтерия — подхвату

Начиная с A = 7 (⁷Li) ядра становятся доста-

протоном рыхлого ядра дейтерия как целого. Тем

точно велики, и аппроксимирующую формулу при-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

390

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

dσ/dt, мбн/ГэВ²

448 кэВ

653 кэВ

895 кэВ

1.98 МэВ

3.07 МэВ

3.49 МэВ

10⁶

10⁵

10⁶

4.21 МэВ

5.31 МэВ

6.43 МэВ

7.64 МэВ

.96 МэВ

10.

39 МэВ

10⁵

10⁴

18.06 МэВ

8 МэВ

30.2 МэВ

10⁴

10³

11.91 МэВ

13.54 МэВ

16.

18 МэВ

115.7 МэВ

3 МэВ

175.4 МэВ

10³

10²

10¹

39.75 МэВ

48.33 МэВ

66.

6 М

10²

10¹

10⁰

10^-1

203

.2 МэВ

250

.5 МэВ

270

.4 МэВ

585 Мэ

797.2

эВ

890.7 МэВ

-2

10^-3

10^-21

0^-1100 10-310-210-1 100 10-31

0^-210^-1

10⁰

10^-310^-210^-1 10⁰

10^-310^-21

0^-11

0⁰

10^-310^-21

0^-11

0⁰

−

Гэ

В²

Рис. 2. Диффер

ен

циал

ьные сечения

пругого pd-расс

ея

ни

я из работ [1

4-43], описанны

фо

рму

лой (17).

трихо

вая

прямая — резерфордов

ское диффе

ренциа

льное сечен

ие (9).

ходится модифици

ровать:

в работах [54, 77-107]. В левом верхнем углу

пунктиром показан вклад квазиупругого рассеяния

dσ

dσ_e

(18)

протона, рассчитанного по оптической модели, и

видно, что при его учете подробное описание стар-

+ A_d(B_d - 2C_dt)eBdt-Cdt² + 5A_mDt⁴eDt5 +

ших максимумов не имеет смысла. Аналогичные

кривые приведены и для энергий больше 0.5 ГэВ,

+ 7A_sF t⁶eFt7 + A_hHe^Ht,

и там также видно, что старшие дифракционные

√-t

максимумы лежат в тени квазиупругого рассея-

и зависимости используе-

гдеdσedt=Ae^Bee 2√

-t

ния, имеющего собственные большие погрешности,

мых параметров от импульса p налетающего про-

превосходящие масштаб нерегулярностей в упру-

тона в лабораторной системе в МэВ/с и атомного

гом рассеянии на большие углы. Таким образом,

веса ядра-мишени A в атомных единицах массы

существенной оказывается аппроксимация только

приведены в табл. 3. В (18) первые два члена

первого и второго дифракционного максимума.

имеют тот же смысл, что и в (17), третий член

(A_m, D) описывает первый, а четвертый (A_s, F ) —

Из рис. 5 видно, что при малых углах рассея-

второй дифракционные максимумы, и все старшие

ния упругое дифференциальное сечение совпадает

дифракционные максимумы сливаются в единую

с резерфордовской кривой. Однако при увеличе-

экспоненту, аппроксимирующуюся с помощью па-

нии T_LS отличие вблизи θ_CM = 180^◦ увеличивает-

раметров A_h и H.

ся. Наконец, при энергиях порядка десятков ГэВ

На рис. 5 в качестве примера показано ис-

в рассматриваемом диапазоне -t полное упругое

пользование эмпирической параметризации (18)

дифференциальное сечение везде на 2-3 поряд-

для описания дифференциальных сечений упру-

ка превышает резерфордовское дифференциаль-

гого рассеяния протонов на свинце, измеренных

ное сечение. Это может быть связано с тем, что

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

391

dσ/dt, мбн/ГэВ²

307 кэВ

448 кэВ

653 кэВ

895 кэВ

2.61 МэВ

4.02 МэВ

10⁶

10⁵

6.43 МэВ

6.54 МэВ

6.78 МэВ

10⁵

4.4 МэВ

4.6 МэВ

5.53 МэВ

8.96 МэВ

9.52 МэВ

9.8 МэВ

10⁵

10⁴

7.52 МэВ

8.29 МэВ

8.56 МэВ

10⁵

27.54 МэВ

31.71 МэВ

37.5

2 МэВ

10⁴

10³

10.39 МэВ

11.14 МэВ

20.25 МэВ

10²

10³

10²

10¹

10⁰

46.8 МэВ

85.7 МэВ

100.2 МэВ

585 МэВ

797.2 МэВ

1 ГэВ

10^-1

10^-3 10^-2 10^-1

-t, ГэВ²

Рис. 3. Дифференциальные сечения упругого p³He-рассеяния из работ [16, 24, 33, 40, 44-54], описанные формулой (17).

Штриховая прямая — резерфордовское дифференциальное сечение (9).

из-за большого заряда ядра свинца (Z = 82) при

от формулы (17), использовавшейся для легких

небольших значениях кинетической энергии нале-

ядер, теперь вклад электромагнитного рассеяния

тающего протона высокое значение кулоновского

в полное сечение вообще не зависит от материала

барьера подавляет ядерную амплитуду рассеяния,

мишени и степенным образом уменьшается при

а при росте T_LS и преодолении кулоновского ба-

росте величины начального импульса.

рьера сильная амплитуда рассеяния становится

Найденная аппроксимирующая формула (18)

значительно больше резерфордовской, особенно в

была использована для всех ядер мишеней фи-

области больших углов рассеяния.

зических детекторов с A > 6, но рамки статьи не

Сравнивая формулу (18) с выражением (17) для

позволяют привести большое количество получен-

легких ядер, можно отметить, что в ней исчез по-

ных аппроксимаций. В области легких ядер (A < 7)

следний член, описывавший u-канальное рассея-

аппроксимация (17) была проведена для сечений

ние, но зато появился член A_s, аппроксимирующий

упругого рассеяния протонов на полном наборе

второй дифракционный максимум. Это, однако, не

изотопов:¹H,²H,³H,³He,⁴He,⁶Li.

означает, что при совсем низких энергиях (18) не

описывает максимум в рассеянии назад. Оказы-

вается, что параметров второго дифракционного

2.3. Аппроксимация дифференциального сечения

максимума вполне достаточно, чтобы описать этот

упругого pp-рассеяния в области низких энергий

эффект, который значительно шире, чем узкий мак-

на основе теории прямых ядерных реакций

симум ядерной глории на легких ядрах. Дело в том,

что по мере снижения начальной энергии уменьша-

В процессе аппроксимации экспериментальных

ется и верхний предел аппроксимации (7), который

данных выяснилось, что для pp-рассеяния t/u-

соответствует рассеянию назад, и рассеяние назад

канальные амплитуды много меньше s-канальной

перемещается в область второго дифракционно-

амплитуды рассеяния, поэтому мы ими пренебре-

го максимума. Примечательно то, что в отличие

гали, хотя при очень больших энергиях, когда до-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

392

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

dσ/dt, мбн/ГэВ²

512 кэВ

852 кэВ

1.61 МэВ

1.98 МэВ

2.99 МэВ

3.49 МэВ

10⁶

10⁵

4.02 МэВ

4.5 МэВ

5 МэВ

5.85 МэВ

7.26 МэВ

8.02 МэВ

10⁵

10⁴

10⁵

9.23 МэВ

9.65 МэВ

9.94 МэВ

10.97 МэВ

11.59 МэВ

12.06 МэВ

10⁴

10⁵

.54 МэВ

13.03 МэВ

.38 МэВ

.08 МэВ

16.72 МэВ

17.47 МэВ

10⁴

10²

10⁰

10^-2

10^-4

.18 Мэ

89.

62 МэВ

301 Мэ

499.6 М

эВ

584.6 МэВ

788.4 МэВ

10^-6

10^-3

10^-21

0^-1 10⁰ 10^-310^-21

0^-1 10⁰ 10^-310^-2

10^-1 10⁰ 10^-310^-210^-1 10⁰ 10^-310^-210^-1 10⁰

t, ГэВ²

Рис. 4. Диффере

нциальные се

чен

ия упругого pα-

ра

ссеяния из рабо

т[

6, 40, 50, 51, 55

4], описанные ф

ормулой (17).

Штриховая

пря

ая — резерфордов

ское дифференциа

льное сечение (9).

стигаются з

нач

ения -t ≫ m2π0 ,

они и могу

ока-

Дл

рассеяния п

тонов с зар

ом z = 1

заться необ

ход

мыми. Мы

сознательно н

рас-

спино

S = ¹² согласно (14) получаетс

следующее

сматривали

это

диапазон э

нергий, посколь

ку для

выражение дифферен

иального сече

я:

него существует устоявшаяся т

еория [108], исп

оль-

зующая модель

однобозонного обмена (OBE

M—

dσ_R

⁽ 2μαℏc)2

One-Boson Ex

change Model)

[109], являющую-

(19)

dΩ_CM

ся обобщением

хорошо извест

ной модели о

но-

(

пионного обмена (OPEM — O

ne-Pion Excha

nge

θ_CM

× 1 + tg⁴

- tg²

Model) [110]. Для аппроксимаци

и отбирались д

ан-

ные эксперимент

ов с кинетичес

кой энергией п

ро-

(

))

)

θ_CM

тонов в лабораторной системе не более 200 М

эВ.

× cos

ln tg²

В процессе аппроксимации дифференциальных

се-

βrCM

чений упругого pp-рассеяния было установлено,

что получающееся значение параметра электр

он-

ной экранировки μ_s мало и в рассматриваемом диа-

пазоне -t не оказывает влияния на получающуюся

Принимая во внимание (4), амплитуду резер-

аппроксимацию, в связи с чем эффект электронной

фордовского pp-рассеяния можно представить в

экранировки не учитывался.

виде

√

(

))

θ_CM

Ap-pRtot = A_R ·

1 + tg⁴

- tg²

· cos

ln tg²

(20)

βrCM

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

393

dσ/dt, мбн/ГэВ²

10⁷

10⁶

10⁵

10⁴

10³

15.98 МэВ

21.1 МэВ

25.4 МэВ

30.4 МэВ

35.1 МэВ

10²

10⁶

10⁵

10⁴

10³

40 МэВ

46.7 МэВ

55 МэВ

63.1 МэВ

81.6 МэВ

10¹

10⁰

10⁵

10³

10¹

-1

95.4 МэВ

121.1 МэВ

157.9 МэВ

181.8 МэВ

199.6 МэВ

10^-3

10⁷

10⁵

10³

10¹

10^-1

10^-3

200.7 МэВ

299.7 МэВ

336.3 МэВ

399.5 МэВ

499.6 МэВ

10^-5

10⁵

10³

10¹

10^-1

-3

648.8 МэВ

796.8 МэВ

1.02 ГэВ

69.1 ГэВ

174.1 ГэВ

10^-5

10-3 10-2 10-1

-t, ГэВ²

Рис. 5. Дифференциальные сечения упругого рассеяния протонов на ядрах свинца из работ [54, 77-107], описанные

формулой (18). Штриховая прямая — резерфордовское дифференциальное сечение (9). Точечная кривая — фоновое

квазиупругое протон-нуклонное рассеяние для ядра свинца.

Тогда резерфордовское сечение рассеяния про-

зависимости от кинетической энергии протонов в

тона на протоне будет определяться выражением

системе центра масс T_CM показаны на рис. 6 и 7.

(11), где в качестве амплитуды рассеяния следу-

Безразмерная амплитуда s-канала, показанная

ет использовать Ap-pRtot. Запишем действительную

на рис. 6, аппроксимировалась как

(

)

и мнимую части полной амплитуды упругого pp-

(

)0.957

T_CM

рассеяния A, в которой интерферируют ее электро-

2670.5 ·

24.4

√

магнитная и сильная составляющие, в виде

A_s =₍

) (

(

)₂) ·

(23)

0.188

Re(A) = Ap-pRtot + A_s · cos(φ_s),

(21)

1+TCM

1.22

Im(A) = A_s · sin(φ_s),

(22)

где проницаемость кулоновского барьера P , вхо-

дящая в фактор Гамова и снижающая сильную ам-

где в выражении (21) для Re(A) первый член соот-

плитуду при уменьшении T_CM, определяется фор-

ветствует амплитуде резерфордовского рассеяния,

мулой (2).

а члены с A_s в (21), (22) обозначают вклад s-

Фаза s-канала, изображенная на рис. 7, описы-

канальной амплитуды рассеяния.

валась функцией

Для упругого pp-рассеяния непрерывная по ки-

(

)

(

)

(

)9.2

(

)₂

нетической энергии налетающего протона аппрок-

T_CM

π·

симация дифференциального сечения на основе

0.255

47.0

φ_s =

(

)

(

(24)

теории прямых ядерных реакций была выполнена с

(

)9.262

(

)₃) .

T_CM

использованием двух параметрических зависимо-

0.246

62.3

стей — амплитуды (A_s) и фазы (φ_s) s-канала. Их

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

395

Таблица 3. Окончание

g₂

10-5A² + 2 × 10¹⁴A-16

h₁

20A-1/2

1.2 × 10-11A²

7000A

g₃

h₂

1 + 1.5 × 10¹⁹A-12

A1/2 + 1

0.016A3/2

900A1/2

g₄

h₃

1 + 5 × 10¹⁶A-16

1 + 500A³

d₁p-d2 + d₃p-d4

Погрешности данных на рис. 7, как и на рис. 6,

Эмпирическая аппроксимация

(16) углового

не видны, так как находятся в пределах размера

распределения упругого pp-рассеяния показана

маркеров. Кинетическая энергия в системе центра

на рис. 8 точечной кривой. Ее преимуществом

масс T_CM измеряется в МэВ. При ее стремлении

является то, что она выполнена в широком диа-

к нулю фаза становится полностью деструктивной

пазоне энергий. Однако, как видно из рис. 8, в

(φ_s = π), что отчетливо проявляется в первой точ-

рассматриваемой области небольших кинетиче-

ке (T_LS = 499.2 кэВ), а при больших энергиях —

ских энергий налетающего протона разработанная

полностью конструктивной (φ_s = 0). Как видно из

аппроксимация на основе ТПР обеспечивает

рис. 7, точки с T_LS = 14.16 и 50.06 МэВ недоста-

существенно лучшее описание экспериментальных

точно хорошо описываются функцией (24), хотя это

данных (при кинетической энергии налетающего

и не сказывается на качестве итоговой аппрокси-

протона T_LS = 499.2 кэВ, а также больше 10 МэВ).

мации, изображенной на рис. 8.

При уменьшении кинетической энергии налета-

Гипотеза деструктивной интерференции при ма-

ющих протонов ниже 0.5 МэВ (наименьшая ки-

лых энергиях не оказывает большого влияния на

нетическая энергия, экспериментальные диффе-

упругие дифференциальные сечения, поскольку из-

ренциальные сечения упругого pp-рассеяния для

за фактора Гамова сильная амплитуда A_s экс-

которой имеются в базе данных EXFOR, состав-

поненциально падает при уменьшении энергии.

ляет 499.2 кэВ) отличие полученной аппрокси-

Тенденция в последней точке по энергии (T_LS =

мации дифференциального сечения упругого pp-

= 190 МэВ) к уменьшению фазы позволила пред-

рассеяния от резерфордовской кривой сокращает-

положить, что при б `ольших энергиях можно ожи-

ся. Например, при 100 кэВ наибольшее отличие

дать стремления фазы к конструктивному значе-

наблюдается при θ_CM = 90^◦ — максимальном угле

нию, однако, поскольку для столь больших T_LS

рассеяния тождественных частиц — и составляет

надо также использовать t/u-канальные ампли-

всего 2%, а при θ_CM < 90^◦ — еще меньше, т. е.

туды рассеяния, этот вопрос требует дальнейшего

является пренебрежимо малым.

исследования при необходимости продления ап-

Отметим, что обычно изучается только силь-

проксимации в область б `ольших энергий.

ное взаимодействие протонов, а электромагнитное

На рис. 8 аппроксимация дифференциального

считается тривиальным фактором, который иногда

сечения упругого pp-рассеяния (сплошная кривая),

даже вычитается из экспериментальных значений

полученная по формулам (10) и (21)-(22), в кото-

сечений. Кроме того, долгое время общепринятым

рых использованы параметрические зависимости

являлось мнение об изотропном сильном упругом

(23) и (24) — амплитуда и фаза s-канала, сравни-

рассеянии при малых энергиях. На рис. 8 это

вается с доминирующим при малых -t резерфор-

выражается практически постоянной величиной^dσdt

довским рассеянием (штриховая кривая). Боль-

при больших величинах -t, где сильная амплитуда

шая часть экспериментальных данных работ [111-

доминирует. В рамках ТПР это передается не за-

119] взята из базы ядерных данных EXFOR [11].

висящей от величины t s-канальной амплитудой A_s

Погрешности экспериментальных точек не пре-

(диаграмма изотропного распада компаунд-ядра),

вышают размера изображающих их маркеров. На

а в потенциальных моделях типа OBEM (One-

рис. 8 переменная -t изменяется от 0 до величины

Boson Exchange Model) [109] — S-волновым рас-

|t_max|/2 из-за того, что рассеивающиеся частицы

сеянием. Существенным эффектом является то, что

тождественные, а значит, распределение^dσdt сим-

при малых кинетических энергиях вместо того, что-

метрично относительно этой величины, соответ-

бы складываться с резерфордовской амплитудой

ствующей согласно (5) углу рассеяния θ_CM = 90^◦ в

(20), сильная амплитуда A_s вычитается из нее (де-

системе центра масс.

структивная фаза φ_s = π при малых T_CM на рис. 7),

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

397

dσ/dt, мбн/ГэВ²

10⁸

499.2 кэВ

991.9 кэВ

1.855 МэВ

1.881 МэВ

2.42 МэВ

10⁷

10⁶

10⁵

10⁷

2.425 МэВ

3.037 МэВ

3.04 МэВ

3.27 МэВ

3.527 МэВ

10⁶

10⁵

3.53 МэВ

3.899 МэВ

4.978 МэВ

6.968 МэВ

9.69 МэВ

10⁶

10⁵

98 МэВ

142 МэВ

190 МэВ

10⁴

10³

14.16 МэВ

50.06 МэВ

10²

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1

-t, ГэВ²

Рис. 8. Аппроксимация в области низких энергий экспериментальных дифференциальных сечений упругого pp-

рассеяния из работ [111-119] на основе теории прямых ядерных реакций (сплошная кривая). Штриховая прямая —

резерфордовское дифференциальное сечение (11), точечная кривая — эмпирическая аппроксимация (16).

что доказывает несостоятельность независимого

ядерной амплитуд рассеяния, от дифференци-

моделирования многократного резерфордовского

ального сечения стандартного резерфордовского

и сильного упругого рассеяния в области низких

рассеяния может быть существенно. Особенно-

энергий.

стью разработанных эмпирических аппроксимаций

является то, что они очень легко интегрируются и

могут быть использованы для вычисления полных

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

упругих сечений, а простота фитирующих функ-

ций позволяет с высокой производительностью

В результате обработки большого количества

разыгрывать полученные угловые распределения

экспериментальных данных в широком диапазоне

в процессе численного моделирования.

энергий разработаны непрерывная по энергии

эмпирическая аппроксимация дифференциального

сечения упругого pp-рассеяния, а также непрерыв-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ная по энергии налетающего протона и атомному

весу ядра-мишени эмпирическая аппроксимация

1. M. V. Ivanov, J. R. Vignote, R. Alvarez-Rodriguez,

протон-ядерного рассеяния. В области малых

and J. M. Udias, Nucl. Theory 30, 116 (2011).

энергий получена аппроксимация дифференциаль-

2. I. S. Shapiro, Nucl. Phys. 28, 244 (1961).

ного сечения упругого pp-рассеяния на основе тео-

3. I. S. Shapiro, V. M. Kolybasov, and G. R. Augst,

рии прямых ядерных реакций, а также приведено

Nucl. Phys. 61, 353 (1965).

сравнение качества описания экспериментальных

4. P. Zyla et al. (Particle Data Group), PTEP 2020,

данных с помощью нее и разработанной эмпириче-

083C01 (2020).

ской аппроксимации. Показано, что отличие угло-

5. M. V. Kosov and D. I. Savin, Phys. At. Nucl. 81, 656

вых распределений упругих сечений, являющихся

(2018).

результатом интерференции электромагнитной и

6. G. Gamow, Z. Phys. A 51, 204 (1928).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

398

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

W. A. Fowler, G. R. Caughlan, and B. A. Zim-

27.

A. E. Borzakovskij and S. V. Romanovskij, Ukr. Fiz.

merman, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 5,

525

Zh. 22, 2056 (1977).

(1967).

28.

W. Gr ¨uebler, V. K ¨onig, P. A. Schmelzbach, B. Jenny,

M. Boschini, C. Consolandi, M. Gervasi,

H. R. B ¨urgi, P. Doleschall, G. Heidenreich, H. Roser,

S. Giani, D. Grandi, V. Ivanchenko, S. Pensotti,

F. Seiler, and W. Reichart, Phys. Lett. B 74, 173

P. G. Rancoita, and M. Tacconi, in Proceedings of

(1978).

the 12th ICATPP Conference (2010).

29.

G. Rauprich, H. J. H ¨ahn, M. Karus, P. Nießen,

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика (Наука,

K. R. Nyga, H. Oswald, L. Sydow, H. P. gen Schieck,

Москва, 1988).

and Y. Koike, Few-Body Syst. 5, 67 (1988).

10.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая ме-

30.

M. Sawada, S. Seki, K. Furuno, Y. Tagishi,

ханика. Нерелятивистская теория (Наука,

Y. Nagashima, J. Schimizu, M. Ishikawa,

Москва, 1989).

T. Sugiyama, L. S. Chuang, W. Gr ¨uebler, et

11.

N. Otuka, E. Dupont, V. Semkova, B. Pritychenko,

al., Phys. Rev. C 27, 1932 (1983).

A. Blokhin, M. Aikawa, S. Babykina, M. Bossant,

31.

R. O. Kerman and R. Nilson, Phys. Rev. 107, 200

G. Chen, S. Dunaeva, et al., Nucl. Data Sheets 120,

(1957).

272 (2014).

32.

D. O. Caldwell and J. R. Richardson, Phys. Rev. 98,

12.

P. Berthet, R. Frascaria, M. P. Combes,

28 (1955).

C. F. Perdrisat, B. Tatischeff, J. Banaigs, J. Berger,

33.

C. C. Kim, S. M. Bunch, D. W. Devins, and

A. Codino, J. Duflo, L. Goldzahl, et al., J. Phys. G

H. H. Forster, Nucl. Phys. 58, 32 (1964).

8, L111 (1982).

34.

J. H. Williams and M. K. Brussel, Phys. Rev. 110,

136 (1958).

13.

P. V. Degtyarenko, M. V. Kossov, and H.-P. Wellisch,

35.

H. Shimizu, K. Imai, N. Tamura, K. Nisimura,

Eur. Phys. J. A 8, 217 (2000).

K. Hatanaka, T. Saito, Y. Koike, and Y. Taniguchi,

14.

J. C. Allred, A. H. Armstrong, R. O. Bondelid, and

Nucl. Phys. A 382, 242 (1982).

L. Rosen, Phys. Rev. 88, 433 (1952).

36.

K. Ermisch, H. R. Amir-Ahmadi, A. M. van den

15.

V. I. Grancev, V. I. Konfederatenko, V. A. Kornilov,

Berg, R. Castelijns, B. Davids, E. Epelbaum, E. van

O. F. Nemets, R. G. Ofengenden, B. A. Rudenko,

Garderen, W. Gl ¨ockle, J. Golak, M. N. Harakeh, et

M. V. Sokolov, and B. G. Struzhko, Ukr. Fiz. Zh. 28,

al., Phys. Rev. C 68, 051001 (2003).

506 (1983).

37.

H. Rohdjeß, W. Scobel, H. O. Meyer, P. V. Pancella,

16.

E. T. Boschitz, W. K. Roberts, J. S. Vincent,

S. F. Pate, M. A. Pickar, R. E. Pollock, B. v.

M. Blecher, K. Gotow, P. C. Gugelot, C. F. Perdrisat,

Przewoski, T. Rinckel, F. Sperisen, et al., Phys. Rev.

L. W. Swenson, and J. R. Priest, Phys. Rev. C 6, 457

C 57, 2111 (1998).

(1972).

38.

J. Golak, W. Gl ¨ockle, H. Kamada, H. Witala,

17.

E. Huttel, W. Arnold, H. Berg, H. H. Krause,

R. Skibi ´nski, and A. Nogga, Phys. Rev. C 65,

J. Ulbricht, and G. Clausnitzer, Nucl. Phys. A 406,

044002 (2002).

435 (1983).

39.

H. Sakai, K. Sekiguchi, H. Witala, W. Gl ¨ockle,

18.

C. R. Brune, W. H. Geist, H. J. Karwowski,

M. Hatano, H. Kamada, H. Kato, Y. Maeda,

E. J. Ludwig, K. D. Veal, M. H. Wood, A. Kievsky,

A. Nogga, T. Ohnishi, et al., Phys. Rev. Lett. 84,

S. Rosati, and M. Viviani, Phys. Rev. C 63, 044013

5288 (2000).

(2001).

40.

J. Fain, J. Gardes, A. Lefort, L. Meritet, J. F. Pauty,

19.

M. H. Wood, C. R. Brune, B. M. Fisher,

G. Peynet, M. Querrou, F. Vazeille, and B. Ille, Nucl.

H. J. Karwowski, D. S. Leonard, E. J. Ludwig,

Phys. A 262, 413 (1976).

A. Kievsky, S. Rosati, and M. Viviani, Phys. Rev. C

41.

G. N. Velichko et al., Sov. J. Nucl. Phys. 47, 755

65, 034002 (2002).

(1988).

20.

D. C. Kocher and T. B. Clegg, Nucl. Phys. A 132,

42.

F. Irom, G. J. Igo, J. B. McClelland, C. A. Whitten,

455 (1969).

Jr., and M. Bleszynski, Phys. Rev. C 28, 2380

21.

F. Lahlou, R. J. Slobodrian, P. Bricault,

(1983).

S. S. Dasgupta, R. Roy, and C. Rioux, J. Phys.

43.

Winkelmann,

Bevington,

France 41, 485 (1980).

M. W. McNaughton, H. B. Willard, F. H. Cverna,

22.

A. S. Wilson, M. C. Taylor, J. C. Legg, and

E. P. Chamberlin, and N. S. P. King, Phys. Rev. C

G. C. Phillips, Nucl. Phys. A 130, 624 (1969).

21, 2535 (1980).

23.

K. Sagara, H. Oguri, S. Shimizu, K. Maeda,

44.

H. Berg, W. Arnold, E. Huttel, H. H. Krause,

H. Nakamura, T. Nakashima, and S. Morinobu,

J. Ulbricht, and G. Clausnitzer, Nucl. Phys. A 334,

Phys. Rev. C 50, 576 (1994).

21 (1980).

24.

J. E. Brolley, T. M. Putnam, L. Rosen, and

45.

T. A. Tombrello, C. M. Jones, G. C. Phillips, and

L. Stewart, Phys. Rev. 117, 1307 (1960).

J. L. Weil, Nucl. Phys. 39, 541 (1962).

25.

S. Kistryn, J. Lang, J. Liechti, H. Luscher, T. Maier,

46.

D. G. McDonald, W. Haeberli, and L. W. Morrow,

R. Muller, M. Simonius, J. Smyrski, J. Sromicki,

Phys. Rev. B 133, 1178 (1964).

and W. Haeberli, Phys. Lett. B 219, 58 (1989).

47.

T. B. Clegg, A. C. L. Barnard, J. B. Swint, and

26.

R. Gr ¨otzschel, B. K ¨uhn, H. Kumpf, K. M ¨oller, and

J. L. Weil, Nucl. Phys. 50, 621 (1964).

J. M ¨osner, Nucl. Phys. A 174, 301 (1971).

48.

R. H. Lovberg, Phys. Rev. 103, 1393 (1956).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

399

49.

B. T. Murdoch, D. K. Hasell, A. M. Sourkes, W. T. H.

73.

H. Courant, K. Einsweiler, T. Joyce, H. Kagan,

van Oers, P. J. T. Verheijen, and R. E. Brown, Phys.

Y. I. Makdisi, M. L. Marshak, B. Mossberg,

Rev. C 29, 2001 (1984).

E. A. Peterson, K. Ruddick, T. Walsh, et al., Phys.

50.

L. G. Votta, P. G. Roos, N. S. Chant, and R. Woody,

Rev. C 19, 104 (1979).

Phys. Rev. C 10, 520 (1974).

74.

J. Fong, T. S. Bauer, G. J. Igo, G. Pauletta,

51.

J. S. Wesick, Tech. Rep. PhD. Thesis, University of

R. Ridge, R. Rolfe, J. Soukup, C. A. Whitten, Jr.,

Maryland (1983).

G. W. Hoffmann, et al., Phys. Lett. B 78, 205 (1978).

52.

N. P. Goldstein, A. Held, and D. G. Stairs, Can.

75.

D. H. Madison and W. N. Shelton, Phys. Rev. A 7,

J. Phys. 48, 2629 (1970).

499 (1973).

53.

M. Geso, A. Azizi, K. Amos, P. K. Deb, G. Igo,

76.

R. J. Glauber, in Lectures in Theoretical Physics,

K. Jones, J. B. Mclelland, G. Westen, R. Whitney,

Ed. by W. E. Brittin et al. (Intersci. Publ., New York,

and C. Whitten, Phys. Rev. C 65, 034005 (2002).

1959), Vol. 1, p. 315.

54.

G. D. Alkhazov, S. L. Belostotsky, E. A. Damas-

77.

W. Makofske, G. W. Greenlees, H. S. Liers, and

G. J. Pyle, Phys. Rev. C 5, 780 (1972).

kinsky, Y. V. Dotsenko, O. A. Domchenkov,

N. P. Kuropatkin, D. Legrand, V. N. Nikulin,

78.

R. L. Varner, W. J. Thompson, T. L. McAbee,

E. J. Ludwig, and T. B. Clegg, Phys. Rep. 201, 57

O. E. Prokof’ev, M. A. Shuvaev, et al., Phys. Lett.

(1991).

B 85, 43 (1979).

79.

W. T. H. van Oers, H. Haw, N. E. Davison,

55.

A. V. Dobrovolsky et al., Tech. Rep. LENI-88-1454,

A. Ingemarsson, B. Fagerstr ¨om, and G. Tibell, Phys.

LENI (1988).

Rev. C 10, 307 (1974).

56.

L. Kraus and I. Linck, Nucl. Phys. A 224, 45 (1974).

80.

B. W. Ridley and J. F. Turner, Nucl. Phys. 58, 497

57.

A. C. L. Barnard, C. M. Jones, and J. L. Weil, Nucl.

(1964).

Phys. 50, 604 (1964).

81.

D. W. Devins, H. H. Forster, and G. G. Gigas, Nucl.

58.

P. D. Miller and G. C. Phillips, Phys. Rev. 112, 2043

Phys. 35, 617 (1962).

(1958).

82.

W. T. Wagner, G. M. Crawley, G. R. Hammerstein,

59.

W. E. Kreger, W. Jentschke, and P. G. Kruger, Phys.

and H. McManus, Phys. Rev. C 12, 757 (1975).

Rev. 93, 837 (1954).

83.

J. E. Finck, G. M. Crawley, J. A. Nolen, Jr., and

60.

T. M. Putnam, J. E. Brolley, Jr., and L. Rosen, Phys.

R. T. Kouzes, Nucl. Phys. A 407, 163 (1983).

Rev. 104, 1303 (1956).

84.

T. Stovall and N. M. Hintz, Phys. Rev. B 135, B330

61.

J. Sanada, J. Phys. Soc. Jap. 14, 1463 (1959).

(1964).

62.

R. Freemantle, T. Grotdal, W. Gibson,

85.

L. N. Blumberg, E. E. Gross, A. V. D. Woude,

R. McKeague, D. Prowse, and J. Rotblat, The

A. Zucker, and R. H. Bassel, Phys. Rev. 147, 812

London, Edinburgh, and Dublin Philosophical

(1966).

Magazine and Journal of Science 45, 1090 (1954).

86.

K. Yagi, T. Ishimatsu, Y. Ishizaki, and Y. Saji, Nucl.

63.

B. Cork and W. Hartsough, Phys. Rev. 96, 1267

Phys. A 121, 161 (1968).

(1954).

87.

C. B. Fulmer, J. B. Ball, A. Scott, and M. L. Whiten,

64.

J. H. Williams and S. W. Rasmussen, Phys. Rev. 98,

Phys. Rev. 181, 1565 (1969).

56 (1955).

88.

H. Sakaguchi, M. Nakamura, K. Hatanaka,

65.

D. C. Dodder, G. M. Hale, N. Jarmie, J. H. Jett,

A. Goto, T. Noro, F. Ohtani, H. Sakamoto,

P. W. Keaton, Jr., R. A. Nisley, and K. Witte, Phys.

H. Ogawa, and S. Kobayashi, Phys. Rev. C 26, 944

Rev. C 15, 518 (1977).

(1982).

66.

K. W. Brockman, Phys. Rev. 108, 1000 (1957).

89.

H. Sakaguchi, M. Nakamura, K. Hatanaka,

67.

D. Garreta, J. Sura, and A. Tarrats, Nucl. Phys. 132,

T. Noro, F. Ohtani, H. Sakamoto, H. Ogawa, and

204 (1969).

S. Kobayashi, Phys. Lett. B 99, 92 (1981).

68.

S. M. Bunch, H. H. Forster, and C. C. Kim, Nucl.

90.

A. Nadasen, P. Schwandt, P. P. Singh, W. W. Jacobs,

Phys. 53, 241 (1964).

A. D. Bacher, P. T. Debevec, M. D. Kaitchuck, and

69.

M. Yoshimura, M. Nakamura, H. Akimune, I. Daito,

J. T. Meek, Phys. Rev. C 23, 1023 (1981).

T. Inomata, M. Itoh, M. Kawabata, T. Noro,

91.

G. Gerstein, J. Niederer, and K. Strauch, Phys. Rev.

H. Sakaguchi, H. Takeda, et al., Phys. Rev. C 63,

108, 427 (1957).

034618 (2001).

92.

V. Comparat, R. Frascaria, N. Marty, M. Morlet, and

70.

O. Chamberlain, E. Segr `e, R. D. Tripp, C. Wiegand,

A. Willis, Nucl. Phys. A 221, 403 (1974).

and T. Ypsilantis, Phys. Rev. 102, 1659 (1956).

93.

D. A. Hutcheon, W. C. Olsen, H. S. Sherif,

71.

G. A. Moss, L. G. Greeniaus, J. M. Cameron,

R. Dymarz, J. M. Cameron, J. Johansson,

D. A. Hutcheon, R. L. Liljestrand, C. A. Miller,

P. Kitching, P. R. Liljestrand, W. J. McDonald,

G. Roy, B. K. S. Koene, W. T. H. van Oers,

C. A. Miller, et al., Nucl. Phys. A 483, 429 (1988).

A. W. Stetz, et al., Phys. Rev. C 21, 1932 (1980).

94.

L. Lee, T. E. Drake, S. S. M. Wong, D. Frekers,

72.

S. M. Sterbenz, D. Dehnhard, M. K. Jones,

R. E. Azuma, L. Buchmann, A. Galindo-Uribarri,

S. K. Nanda, C. E. Parman, Y.-F. Yen, K. W. Jones,

J. D. King, R. Schubank, R. Abegg, et al., Phys.

and C. L. Morris, Phys. Rev. C 45, 2578 (1992).

Lett. B 205, 219 (1988).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

400

ГАЛЮЗОВ, КОСОВ

95.

D. K. McDaniels, J. R. Tinsley, J. Lisantti,

116.

S. Kikuchi, J. Sanada, S. Suwa, I. Hayashi,

D. M. Drake, I. Bergqvist, L. W. Swenson,

K. Nisimura, and K. Fukunaga, J. Phys. Soc. Jpn.

F. E. Bertrand, E. E. Gross, D. J. Horen,

15, 9 (1960).

T. P. Sjoreen, et al., Phys. Rev. C 33, 1943 (1986).

117.

A. Berdoz, F. Foroughi, and C. Nussbaum, J. Phys.

96.

C. Djalali, N. Marty, M. Morlet, and A. Willis, Nucl.

G 12, L133 (1986).

Phys. A 380, 42 (1982).

118.

A. E. Taylor, E. Wood, and L. Bird, Nucl. Phys. 16,

97.

F. E. Bertrand, E. E. Gross, D. J. Horen, R. O. Sayer,

320 (1960).

T. P. Sjoreen, D. K. McDaniels, J. Lisantti,

119.

M. Mahjour-Shafiei, J. C. S. Bacelar, M. D. Cozma,

J. R. Tinsley, L. W. Swenson, J. B. McClelland, et

M. J. V. Goethem, M. N. Harakeh, M. Hoefman,

al., Phys. Rev. C 34, 45 (1986).

H. Huisman, N. Kalantar-Nayestanaki, H. L ¨ohner,

98.

R. E. Richardson, W. P. Ball, C. E. Leith, Jr., and

J. G. Messchendorp, et al., Phys. Rev. C 70, 024004

B. J. Moyer, Phys. Rev. 86, 29 (1952).

(2004).

99.

A. M. Mack, N. M. Hintz, D. Cook, M. A. Franey,

120.

R. J. Slobodrian, H. E. Conzett, E. Shield, and

J. Amann, M. Barlett, G. W. Hoffmann, G. Pauletta,

W. F. Tivol, Phys. Rev. 174, 1122 (1968).

D. Ciskowski, and M. Purcell, Phys. Rev. C 52, 291

121.

N. Jarmie, J. H. Jett, J. L. Detch, Jr., and

(1995).

R. L. Hutson, Phys. Rev. Lett. 25, 34 (1970).

100.

G. W. Hoffmann, L. Ray, M. L. Barlett, R. Fergerson,

122.

N. Jarmie, J. H. Jett, J. L. Detch, Jr., and

J. McGill, E. C. Milner, K. K. Seth, D. Barlow,

R. L. Hutson, Phys. Rev. C 3, 10 (1971).

M. Bosko, S. Iverson, et al., Phys. Rev. Lett. 47,

123.

N. Jarmie and J. H. Jett, Phys. Rev. C 10, 54 (1974).

1436 (1981).

101.

G. W. Hoffmann, L. Ray, M. Barlett, J. McGill,

124.

A. Johansson, U. Svanberg, and P. E. Hodgson, Ark.

G. S. Adams, G. J. Igo, F. Irom, A. T. M. Wang,

Fys. (Sweden) 19, 541 (1961).

C. A. Whitten, Jr., et al., Phys. Rev. C 21, 1488

125.

M. Avan, A. Baldit, J. Castor, G. Chaigne,

(1980).

A. Devaux, J. Fargeix, P. Force, G. Landaud,

102.

G. S. Blanpied, B. G. Ritchie, M. L. Barlett,

G. Roche, J. Vicente, et al., Phys. Rev. C 30, 521

G. W. Hoffmann, J. A. McGill, M. A. Franey, and

(1984).

M. Gazzaly, Phys. Rev. C 32, 2152 (1985).

126.

B. A. Ryan, A. Kanofsky, T. J. Devlin, R. E. Mischke,

103.

N. M. Hintz, D. Cook, M. Gazzaly, M. A. Franey,

and P. F. Shepard, Phys. Rev. D 3, 1 (1971).

M. L. Barlett, G. W. Hoffmann, R. Fergerson,

127.

EDDA Collab., Eur. Phys. J. A 22, 125 (2004).

J. McGill, G. Pauletta, R. L. Boudrie, et al., Phys.

128.

M. G. Albrow, S. Andersson/Almehed,

Rev. C 37, 692 (1988).

B. Bo ˇsnjakovic, C. Daum, F. C. Ern ´e, J. P. Lagnaux,

104.

M. M. Gazzaly, N. M. Hintz, G. S. Kyle, R. K. Owen,

J. C. Sens, and F. Udo, Nucl. Phys. B 23, 445

G. W. Hoffmann, M. Barlett, and G. Blanpied, Phys.

(1970).

Rev. C 25, 408 (1982).

129.

K. Yasuda, H. Akiyoshi, T. Hotta, K. Imai,

105.

G. D. Alkhazov et al., Sov. J. Nucl. Phys. 26, 357

M. Kato, M. Kawabata, Y. Maeda, N. Matsuoka,

(1977).

T. Matsuzuka, Y. Mizuno, et al., Phys. Rev. Lett.

106.

R. Bertini, R. Beurtey, F. Brochard, G. Bruge,

82, 4775 (1999).

H. Catz, A. Chaumeaux, J. M. Durand, J. C. Faivre,

130.

A. J. Simon, G. Glass, M. W. McNaughton,

J. M. Fontaine, D. Garreta, et al., Phys. Lett. B 45,

T. Noro, K. H. McNaughton, P. J. Riley, E. G ¨ulmez,

119 (1973).

C. A. Whitten, Jr., V. R. Cupps, et al., Phys. Rev. C

107.

A. Schiz, L. A. Fajardo, R. Majka, J. N. Marx,

48, 662 (1993).

P. N ´emethy, L. Rosselet, J. Sandweiss,

131.

G. W. Hoffmann, M. L. Barlett, R. W. Fergerson,

A. J. Slaughter, C. Ankenbrandt, M. Atac, et

J. A. Marshall, J. A. McGill, E. C. Milner, L. Ray,

al., Phys. Rev. D 21, 3010 (1980).

and J. F. Amann, Phys. Rev. C 37, 397 (1988).

108.

R. B. Norman, F. Dick, J. W. Norbury, and

132.

G. N. Velichko, Sov. J. Exp. Phys. 33, 615 (1981).

S. R. Blattnig, Tech. Rep. NASA/TP-2009-215565,

NASA Center for Aero Space Information (2009).

133.

P. Baillon, C. Bricman, M. Ferro-Luzzi, P. Jenni,

109.

S. Huber and J. Aichelin, Nucl. Phys. A 573, 587

J. M. Perreau, R. D. Tripp, T. Ypsilantis, Y. Declais,

(1994).

and J. Seguinot, Nucl. Phys. B 105, 365 (1976).

110.

V. Suslenko and I. Gaisak, Sov. J. Nucl. Phys. 43,

134.

A. V. Dobrovolsky, A. V. Khanzadeev, G. A. Korolev,

252 (1986).

E. M. Maev, V. I. Medvedev, G. L. Sokolov,

111.

H. Wassmer and H. Muhry, Helv. Phys. Acta 46, 626

N. K. Terentyev, Y. Terrien, G. N. Velichko,

(1973).

A. A. Vorobyov, et al., Nucl. Phys. B 214, 1 (1983).

112.

H. R. Worthington, J. N. Mcgruer,and D. E. Findley,

135.

D. T. Williams, I. J. Bloodworth, E. Eisenhandler,

Phys. Rev. 90, 899 (1953).

W. R. Gibson, P. I. P. Kalmus, L. C. Y. L. C. Kwong,

113.

J. M. Blair, G. Freier, E. E. Lampi, W. Sleator, Jr.,

G. T. J. Arnison, A. Astbury, S. Gjesdal, E. Lillethun,

and J. H. Williams, Phys. Rev. 74, 553 (1948).

et al., Nuovo Cimento A 8, 447 (1972).

114.

K. Imai, K. Nisimura, N. Tamura, and H. Sato, Nucl.

136.

J. K. Ahn, H. Akikawa, J. Arvieux, B. Bassalleck,

Phys. A 246, 76 (1975).

M. S. Chung, H. En’yo, T. Fukuda, H. Funahashi,

115.

L. H. Johnston and D. E. Joung, Phys. Rev. 116, 989

S. V. Golovkin, A. M. Gorin, et al., Nucl. Instrum.

(1959).

Methods A 457, 137 (2001).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021