ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 5, с. 410-420

ЯДРА

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ

КОНФИГУРАЦИЙ ДЛЯ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

Поступила в редакцию 17.02.2021 г.; после доработки 17.02.2021 г.; принята к публикации 01.04.2021 г.

В рамках ядерной квантовой теории многих тел рассмотрена микроскопическая модель учета

квазичастично-фононного взаимодействия в магических ядрах, которая представляет интерес для

микроскопической теории пигми- и гигантских мультипольных резонансов, прежде всего, для описа-

ния их тонкой структуры. Работа является продолжением и развитием предыдущей статьи авторов [1].

Подтвержденыосновные физические результаты этой статьи и полученыновые результаты: 1) найдены

и использованы точные (а не приближенные, как в [1]) выражения для первой и второй вариации от

вершины в поле фонона, 2) получено новое уравнение для главной величины в теории конечных ферми-

систем — вершины, содержащее не только известное эффективное взаимодействие, но и полную

амплитуду частично-дырочного взаимодействия, 3) последний результат позволил получить необхо-

димые двухфононные конфигурации. Новейшее уравнение для вершины теперь содержит сложные

как 1p1h ⊗ фонон-, так и двухфононные конфигурации вместе с многочисленными корреляциями в

основном состоянии.

DOI: 10.31857/S0044002721050093

1. ВВЕДЕНИЕ

учитывать связь с фононами, или квазичастично-

фононное взаимодействие (КФВ) в дополнение к

В последние десятилетия в области теоретиче-

стандартным методам хаотических фаз (МХФ) и

ской ядерной физики низких энергий предпринима-

квазичастичному МХФ. Эта задача подробно об-

лись большие усилия для единообразного описания

суждалась в теории, однако существует большое

характеристик как основного, так и возбужденных

пространство для улучшения существующих под-

состояний до энергий 30-35 МэВ [2-6], прежде

ходов. Мы думаем, что развитие в рамках по-

всего, характеристик пигми-дипольного и гигант-

следовательного метода многих тел, прежде всего,

ских мультипольных резонансов (ПДР и ГМР).

метода квантовых функций Грина (ФГ) на базе

Главный тренд развития состоял в применении и

обобщения самосогласованной Теории Конечных

развитии самосогласованных подходов, основан-

Ферми-Систем (ТКФС) [12-14] является много-

ных на использовании энергетического функцио-

обещающим подходом. Это есть общая цель нашей

нала плотности. Это позволило единообразно и в

работы и, возможно, нескольких будущих работ.

целом достаточно успешно описывать указанные

В области самосогласованного описания ха-

характеристики с помощью небольшого количе-

рактеристик основного и нескольких низколежа-

ства параметров, см. обзоры [3-5]. Однако в связи

щих коллективных состояний большая работа бы-

с активным развитием экспериментальной базы в

ла выполнена группой Курчатовского института,

этой области [4, 7, 8], особенно в энергетической

так что можно говорить о втором этапе развития

области ПДР, появляются все новые вопросы к

ТКФС [5, 15, 16]. Здесь использовался в основ-

микроскопической теории [3, 9], например, объ-

ном метод эффективного функционала плотности

яснение загиба радиационной силовой функции в

с параметрами Фаянса [15]. Было показано, что

области 1-3 МэВ [8]. Особенно следует отме-

во всех рассмотренных многочисленных задачах

тить проблему описания тонкой структуры ПДР и

роль КФВ достаточно велика и необходима для

ГМР [7], в которой важны любые детали теории,

объяснения экспериментальных данных. Важной

приводящие к перераспределению силы [10, 11].

причиной этих успехов, по мнению авторов, было

использование квантового метода многих тел, точ-

С физической точки зрения задача понимае-

нее, метода ФГ.

ма, но только в принципе: необходимо надежно

Одновременно с указанными работами метод

ФГ применялся для описания ПДР и ГМР, как

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

институт”, Москва, Россия.

в рамках несамосогласованных [6, 17,

18], так

^*E-mail: kamerdzhiev_sp@nrcki.ru

и самосогласованных [19, 20] подходов. Отличие

410

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

411

между [17] и [18] состояло в том, что в [18] недо-

к вершине. Как мы увидим, такой подход позволяет

статок метода [17] был исключен, именно, был

прояснить ситуацию с учетом КФВ, по крайней

предложен приближенный метод хронологическо-

мере, в широких рамках обобщения стандартной

го разделения диаграмм (МХРД), или (исполь-

ТКФС.

зуя более современную терминологию) приближе-

В этой статье рассматриваются только 1p1h ⊗

ние временного блокирования (ПВБ). Указанный

⊗ фонон- и двухфононные конфигурации в маги-

недостаток был не важен для объяснения свойств

ческих ядрах. Как обычно, мы используем факт

M 1-резонанса, находящегося в области энергий

существования малого g²-параметра. Очень ча-

ПДР [21, 22]. Более того, фактически ранее он при-

сто мы символически записываем наши формулы,

менялся в рамках Теории Ядерных Полей (ТЯП) и

большая часть которых представляется в виде диа-

для электрических ГМР [23, 24] с использованием

грамм Фейнмана, так что окончательные формулы

параметра усреднения 600 кэВ. Позднее этот метод

могут быть легко получены.

был значительно модифицирован и для задач в

ядрах со спариванием был назван квазичастичным

ПВБ [25-27]. Однако главное физическое содер-

2. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

жание этого метода, т.е. включение КФВ только в

САМОСОГЛАСОВАННОЙ ТКФС

частично-дырочный пропагатор (на языке ТКФС),

сохранялось всегда, несмотря на тот факт, что при

В стандартной ТКФС основной величиной в за-

выводе использовался другой подход, основанный

дачах, связанных с взаимодействием ядра и внеш-

на уравнении Бете-Солпитера.

него поля V⁰(ω) с энергией ω, является эффек-

В статье [1] был рассмотрен новый подход в

тивное поле (вершина) V , описывающее ядерную

теории ПДР и ГМР, основанный на последователь-

поляризуемость и удовлетворяющее уравнению в

ном включении эффектов КФВ в ТКФС с целью

символической форме [12]:

ее обобщения в область энергий ПДР и ГМР

V = e_qV ⁰ + FAV,

(1)

для магических ядер. В этой работе учитывались

только сложные конфигурации с фононами вида

где

∫

1p1h ⊗ фонон. Несмотря на ограниченность такого

A₁₂(ω) = G₁(ε)G₂(ε - ω)dε.

(2)

подхода, например, отсутствие двухфононных кон-

фигураций, см. [28], удалось получить ряд новых

эффектов: динамический эффект тэдпола, фонон-

Полная амплитуда частично-дырочного взаимо-

обменное эффективное взаимодействие, обуслов-

действия Γ удовлетворяет уравнению

ленное обменом фононами в различных каналах,

Γ = F + FAΓ.

(3)

первая и вторая вариации эффективного взаимо-

действия в поле фонона. В [1] использовалось

Амплитуда рождения g фонона в ТКФС удовле-

существенное предположение для первой δ⁽¹⁾V и

творяет однородному уравнению (в символическом

второй δ⁽²⁾V вариаций вершины в поле фононов,

виде) [12]:

именно, учитывались лишь свободные члены урав-

g = FAg.

(4)

нений для этих вариаций вершин. Это приближение

привело к учету только сложных конфигураций

В уравнениях (1), (3) и (4) F — эффективное вза-

1p1h ⊗ фонон. В настоящей работе мы отказыва-

имодействие Ландау-Мигдала, которое в само-

емся от этого приближения, т.е. получаем и исполь-

согласованной ТКФС [15] определяется как вто-

рая вариационная производная по плотности от

зуем точные выражения для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V и с их

функционала, A — частично-дырочный пропага-

помощью получаем новые уравнения для вершины.

тор, представляющий собой интеграл от двух ФГ.

В работе [1] был получен в некотором смысле

Эти уравнения соответствуют обычному МХФ для

неожиданный результат: благодаря одной из двух

магических ядер, сформулированному на языке ФГ.

использованных g²-поправок к вершине, которая

Нижние индексы означают набор одночастичных

содержала амплитуду рождения фонона g, новая

квантовых чисел 1 ≡ (n₁, j₁, l₁, m₁) ≡ λ₁.

вершина зависела от энергетической переменной

ε₁, т.е. зависела от ε₁ не на массовой поверхно-

В работах [13, 29, 30] была введена величина,

сти ε₁ = ελ1 . Такая зависимость интересна сама

которую мы назвали фононным тэдполом [31]. Эта

по себе и не содержится в главных наблюдаемых

величина, вообще говоря, представляет собой ва-

характеристиках — энергиях и вероятностях пере-

риацию амплитуды рождения фонона g₁ с момен-

ходов. Однако представляется полезным упростить

том L₁ в поле другого фонона g₂ с моментом L₂,

задачу и изучить модель, в которой эта зависимость

но в фононный тэдпол, по определению, входит g₁₂

отсутствует. Это есть “модельность” нашей моде-

c L₁ = L₂ = L. Уравнение для амплитуды рожде-

ли, т.е. использование одной (и главной!) поправки

ния двух фононов g₁₂ получается варьированием

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

412

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

V '

+ 2

V '

V⁰

Рис. 1. Уравнение для вершины V^′, содержащее простейший пропагатор с КФВ [17, 21]. Прямые и волнистые линии

соответствуют ФГ G и D, кружки с одной волнистой линией — амплитуда рождения фонона g. Прямоугольник —

эффективное взаимодействие F .

уравнения (4) для амплитуды рождения фонона g₁

введении в соответствующее уравнение функции

в поле фонона g₂:

Хевисайда. Обобщенный МХРД-пропагатор имеет

довольно сложный вид и подробно описан в [6].

g₁₂ = δ₁FAg₂ + F(δ₁A)g₂ + FAg₁₂,

(5)

На рис. 1 диаграммы без фононов соответству-

где

ют МХФ, сформулированному на языке стандарт-

δ₁A = Gg₁GG + GGg₁G.

(6)

ной ТКФС, т.е. уравнению (1) с пропагатором (2).

Уравнение (5) есть интегральное уравнение с дву-

мя свободными членами. Оно решалось только в

3. ТОЧНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРВОЙ

координатном представлении в указанных рабо-

И ВТОРОЙ ВАРИАЦИЙ ВЕРШИНЫ δ⁽¹⁾V

тах группы Курчатовского института. В остальных

И δ⁽²⁾V

работах группы использовалась реалистическая

Чтобы получить g²-поправку для вершины V

оценка для величины g₁₁, определяющей тэдпол.

Она была основана на предположении для величи-

(1), мы используем, как и в [1], следующее выра-

жение:

ны δ₁F ≡ δF , входящей в уравнение (5):

)

V = V + ΔV (g,V ),

(8)

⁽δF

δF =

Ag.

(7)

δρ

где, согласно нашей модели,

ΔV = δ⁽²⁾V D.

(9)

Как говорилось во Введении, физическое со-

держание предыдущих работ, использующих метод

Здесь δ⁽²⁾V — вариация второго порядка в поле

ФГ, состоит в том, что g²-поправка была включена

фонона от вершины V (1), она показана на рис. 2.

только в частично-дырочный пропагатор (2). Если

Прежде всего получим величину δ⁽²⁾A для на-

пользоваться языком ТКФС, то это означало, что

решалось уравнение для вершины V^′, показанное

шего случая одинаковых фононов в δ⁽²⁾V . Чтобы не

на рис. 1. Физически оно также соответствует

спутать индекс фононов в величине g с одночастич-

подходу в рамках ТЯП [23, 24] для ГМР. Здесь

ными индексами, введем для фононов обозначение

и в дальнейшем цифра 2 перед графиком или

1.Внашемслучае 1= 2(рис.2),чтосоответствует

соответствующей формулой означает, что имеются

δ⁽²⁾V

= δ¹δ¹V . Варьируя величину δ⁽²⁾A, получаем

два однотипных графика или формулы. Для более

пять слагаемых, показанных на рис. 3:

точного описания необходимо использовать рецепт

улучшения такого подхода, предложенный в ра-

δ⁽²⁾A = δ¹δ¹G₁G₂ = 2G₁g_˜1G₄g_˜1G₃G₂ +

(10)

боте [18], т.е. МХРД, или ПВБ, основанный на

+ 2G₁g_˜1˜1G₃G₂ + G₁g_˜1G₃G₂g_˜1G₄.

Уже отсюда видно, что график в центре соответ-

ствует будущему эффекту тэдпола, которого нет на

рис. 1.

ΔV =

Величины δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V получаются варьирова-

нием уравнения (1) в поле фонона [1]:

Рис. 2. g²-поправка (9) для вершины V (1).

δ⁽¹⁾V = δ⁽¹⁾FAV + Fδ⁽¹⁾AV + FAδ⁽¹⁾V,

(11)

δ⁽²⁾V = δ⁽¹⁾δ⁽¹⁾V = Fδ⁽²⁾AV +

+ 2δ⁽¹⁾F δ⁽¹⁾AV + 2δ⁽¹⁾F Aδ⁽¹⁾V +

δ⁽²⁾A = 2

+ 2

+ 2F δ⁽¹⁾Aδ⁽¹⁾V + δ⁽²⁾F AV + F Aδ⁽²⁾V.

В [1] величины δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V учитывались

Рис. 3. Выражение (10) в диаграммном виде.

приближенно, именно, рассматривались только

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

413

δV =

dΓ

+ 2

δ⁽²⁾V =

+ 2

dΓ

+ 2

dΓ

d⁽²⁾Γ

Рис. 4. Точные выражения для первой и второй вариаций вершины V δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V в фононном поле. Прямоугольники с

Γ, dΓ и d⁽²⁾Γ обозначают величины Γ (4), dΓ (14) и d⁽²⁾Γ (17).

свободные члены уравнений (11). Это приближе-

δ⁽²⁾V = Γδ(2)AV + 2dΓδAV + 2dΓAδ(1)V +

ние привело к учету только конфигураций 1p1h ⊗

+ 2ΓδAδ⁽¹⁾V + d⁽²⁾ΓAV,

⊗ фонон.

В настоящей статье мы отказываемся от такого

которые содержат уже Γ и dΓ вместо F и δF . Мы

приближения и преобразуем уравнения (11) к точ-

вводим новую величину

ным выражениям для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V .

d⁽²⁾Γ = δ⁽²⁾F + FAd⁽²⁾Γ,

(17)

Перепишем уравнения (11) для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V в

следующем виде (символически, как обычно):

или

d⁽²⁾Γ = (1 - FA)-1δ⁽²⁾F.

(18)

(1 - F A)δ⁽¹⁾V = (δ⁽¹⁾V )₀,

(12)

(1 - F A)δ⁽²⁾V = (δ⁽²⁾V )₀,

Полученные точные выражения для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V

показаны на рис. 4.

где (δ⁽¹⁾V )₀ и (δ⁽²⁾V )₀ — свободные члены уравне-

Следует отметить, что “точность” для δ⁽¹⁾V и

ний (11). Или в другой форме:

δ⁽²⁾V состоит в том, что они содержат именно

δ⁽¹⁾V = (1 - F A)-1(δ(1)V )0,

(13)

величины ТКФС: для вершины V (1), амплитуды Γ

δ⁽²⁾V = (1 - F A)-1(δ(2)V )0.

(3), амплитуды рождения фонона g (4) и dΓ (14), т.е.

в этом смысле все полностью соответствует исход-

Следуя [30], введем величину dΓ (чтобы избе-

ным идеям ТКФС [12]. Принципиальное отличие от

жать смешивания с обычной вариацией для Γ (3),

[1] в том, что далее используются точные выраже-

мы переопределили ее вместо δΓ в [30]):

ния (16) для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V , рис. 4, вместо свободных

dΓ = δ⁽¹⁾F + F AdΓ.

(14)

членов уравнений (11) для них. Выражения (16),

рис. 4, представляют первый главный результат

Далее используем следующие символические

нашей работы.

выражения, полученные из уравнений (3) и (14):

Γ = (1 - FA)-1F,

(15)

4. НОВОЕ УРАВНЕНИЕ

dΓ = (1 - F A)-1δ⁽¹⁾F.

ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ

Подставляя свободные члены (δ⁽¹⁾V )₀ и (δ⁽²⁾V )₀

4.1. 1p1h ⊗ фонон-конфигурации и полная

уравнений (11) в (13) и используя (15), получаем

амплитуда взаимодействия Γ

точные выражения для δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V :

Рассмотрим нашу исходную формулу для вер-

δ⁽¹⁾V = dΓAV + ΓδAV,

(16)

шины (8). Можно видеть, что выражение (8) есть

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

414

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

первая итерация следующего уравнения (если V (1)

+ 2δF DGgG

V +2δFDGGΓGgG

V +

является нулевой итерацией):

+ δFDGGdΓG

V +δ⁽²⁾FG

V =V +ΔV(g

V ),

(19)

Это уравнение содержит 10 интегральных сла-

где ΔV (g

V) содержит уже новую вершин

V в

гаемых вместо 12 в уравнении (16) в [1] (заметим,

величинах δ⁽¹⁾V и δ⁽²⁾V из (16). Тогда, используя

что в его аналитической форме мы пишем цифру

(1) и (19), можно получить

4 в третьей линии уравнения (21) вместо цифры 2

V =V⁰ +F

V +(1-FA)ΔV(g

V ).

(20)

в его графическом представлении). Уравнение (21)

можно записать в диаграммном виде. Однако для

Подставим в (20) точные выражения δ⁽¹⁾V и

нашей цели включения двухфононных конфигура-

δ⁽²⁾V (16) (которые уже содержа

V ) и используем

ций лучше использовать не величину dΓ в урав-

соотношения (15) и (18). В результате получаем

нении (21), а амплитуду Γ. Поэтому преобразуем

новое уравнение дл

уравнение для dΓ (14) в выражение для него:

V =e_qV⁰ +F

V +2FGgDGgG

V +

(21)

dΓ = δF + ΓAδF = δF + ΓGGδF.

(22)

+FGgGDGg

V +2FGg_˜1˜1DG

V +

Подставляя (22) в (21), получаем уравнение дл

+ 4F GGgGΓGDgG

V +2FGgGGDdΓG

V + которое содержит только δF и Γ:

V =e_qV⁰ +F

V +2FGgDGgG

V +FGgGDGg

V +

(23)

+ 2F Gg_˜1˜1DG

V +

+ 4F GGgGΓGDgG

V +2FGGgDGδFG

V +

+ 2δF DGgG

V +2FGGgDGΓGGδFG

V +

+ 2δF DGGΓGgG

V +δFDGGδFG

V +

+ δFDGGΓGGδFG

V +δ⁽²⁾FG

Оно показано на рис. 5.

δF (как в [1]), у нас появилось пять слагаемых,

содержащих полную амплитуду взаимодействия

Уравнение (23), рис. 5, есть второй главный

Γ. Это дает возможность получить двухфононные

результат нашей статьи.

конфигурации, см. следующий раздел.

Мы получили существенное обобщение уравне-

ния (16), рис. 6 в [1]. Сравним это с полученным

уравнением (23), рис. 5. Для простоты пронумеруем

4.2. 1p1h ⊗ фонон- и двухфононные конфигурации

наши формулы в соответствии с их линиями в

Уравнение (23) дает возможность ввести двух-

уравнении (23) и рис. 5:

фононные конфигурации, если воспользоваться

V¹

Vtad

V2n

V3n

V4n

V5n,

(24)

разложением амплитуды Γ по фононам:

∑

где верхний индекс означает только линии в урав-

g^sg^s∗

Γ(ω) =

(25)

нении (23), рис. 5. Нижний индекс n в четырех

ω-ω_s

слагаемых означает, что эти слагаемые содержат

новые части по сравнению с [1].

где g^s удовлетворяет уравнению (4). Это разло-

жение годится именно для расчетов ПДР и ГМР,

1. Мы получили полное совпадение с [1] в линии

поскольку в них, как правило, используется огром-

1ивлинии2дляслагаемог

Vtad.

ное количество фононов, так что разложение (25)

2. Однако имеются значительные отличия. Как и

исчерпывает почти всю амплитуду Γ. В принципе,

следовало ожидать, слагаемые, которые содержат

следовало добавить регулярную часть амплитуды

сначала амплитуду g, у нас не наблюдаются из-

Γ. Однако такой подход приводит к значительным

за отсутствия первой g²-поправки к вершине вида

усложнениям, связанным с задачей нахождения

gGDδ⁽¹⁾V . Но кроме слагаемых, содержащих F и регулярной части амплитуды, и является на данном

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

415

e_qV⁰

+ 2

δF

δ⁽²⁾F

Рис. 5. Графическое изображение уравнения (23).

этапе неконструктивным. Он будет рассмотрен в

что показано на рис. 6.

ближайшем будущем.

Для получения нового уравнения для вершины

Подставляя разложение

(25) в величину

V необходимо подставить выражение (25) во все

2gGDΓGg, которая играет роль фонон-обменного

пять членов уравнения (23), рис. 5, которые содер-

взаимодействия, имеем (символически):

жат амплитуду Γ. Получаем результат, показанный

gDGΓGg = gGgDDgGg,

(26)

на рис. 7:

V =e_qV⁰ +F

V +2FGgDGgG

V +FGgGDGg

V +

(27)

+ 2F Gg_˜1˜1DG

V +

+ 4F GGgGgDDgGgG

V +2FGGgDδFG

V +

+ 2δF DGgG

V +2δFDGGδFG

V +

+δ⁽²⁾FDG

V +δFGGgDDgGGδFG

V +

+ 2F GGgGgDDgGGδF G

V +

+ 2δF GGgDDgGgG

Линии уравнения (27) и рис. 7 соответствуют друг

Рисунок 7, уравнение (27), есть третий глав-

другу.

ный результат нашей статьи.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

417

5. ОБСУЖДЕНИЕ НОВОГО УРАВНЕНИЯ

слагаемые и далее рассмотрим только слагаемые c

ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛ

V^32phon, см. следующий раздел. Мы получим общие

5.1. Общее описание. Сравнение со статьей [1]

формулы для них, но прежде всего и в более

детальной форме рассмотрим новые двухфононные

Используя стандартную диаграммную технику,

фонон-обменные взаимодействия, обусловленные

можно видеть, что уравнение (27), рис. 7, содержит

обменом двух фононов, которые играют роль но-

как 1p1h ⊗ фонон-конфигурации во всех линиях,

вого эффективного взаимодействия между нукло-

кроме МХФ-части уравнения (1) в линии 1, так

нами.

и двухфононные конфигурации в линиях 3, 6, 7,

5.2. Слагаемы

V32phon (линия 3). Двухфононные

8 уравнения (27). Это также можно понять, если

конфигурации. Сравнение с моделью ПВБ

мысленно сделать поперечные разрезы слагаемых

на рис. 7.

Двухфононные слагаемые в линии 3 имеют вид

Пронумеруем слагаемые уравнения (27), рис. 7

в соответствии с их линиями:

V +

(30)

V¹

Vtad

V^32phon +

(28)

V⁴

V⁵

V^62phon

V^72phon

V^82phon,

Здесь мы ввели двухфононные фонон-обменные

где верхние индексы 1-8 означают только номер

. Для первого из

линии в уравнении (27), рис. 7. Нижние индексы

двухфононных графиков на рис. 7:

2phon означают, что эти слагаемые содержат двух-

фононные конфигурации. Некоторые члены в (28)

(F^2phononind)_{1234_1}(ε₁, ε₃, ω) =

(31)

включают два слагаемых.

∑

′

1. Мы получили полное совпадение между урав-

= gs15gs∗63gs52

gs′∗₄₆I56ss′_{_1}δ(ε₁ - ε₂ + ε₄ - ε₃),

нением (16), рис. 6, в [1] и уравнением (27), рис. 7,

56ss^′

в линии 1 и в линии 2 для слагаемы

Vtad.

∫

2. Четыре слагаемых в линиях 4 и 5 совпадают

I56ss′_{_1}(ε₁,ε₃) =

G₅(ε₁ - ω₁) ×

(32)

со слагаемыми в линиях 4 и 6 на рис. 6 в [1], там

они были получены и обсуждены.

× G₆(ε₃ - ω₁)D_s(ω₁)D_s′(ω₁ - ω)dω₁,

3. Слагаемые в линиях 6, 7, 8, т.е.

V^62phon +

где мы ввели (ε₁ - ε₂) = (ε₃ - ε₄) = ω. Результат

V^72phon

V^82phon, cодержат двухфононные конфи-

интегрирования дается формулой (35).

гурации и величины (δF )²g² и δF g³.

Для второго F^2phononind, который входит в “пере-

Все слагаемые в линиях 4-8 содержат величи-

крестный” график на линии 3, рис. 7:

ны δF . Эта величина выражается через амплиту-

ду трехквазичастичного эффективного взаимодей-

(F^2phononind)_{1234_2}(ε₁, ε₄, ω) =

(33)

ствия [13]:

∑

I56ss′_{_2}δ(ε₁ - ε₂ + ε₄ - ε₃),

δ_sF = WGg_sG.

(29)

56ss^′

Как известно, роль этого взаимодействия в це-

где

лом невелика. Поэтому можно думать, что коли-

∫

чественный вклад этих слагаемых мал. Для задачи

I56ss′_{_2}(ε₁,ε₄) =

G₅(ε₁ - ω₁) ×

(34)

изучения статических характеристик это было по-

казано прямым расчетом с использованием форму-

× G₆(ε₄ + ω₁)D_s(ω₁)D_s′(ω₁ - ω)dω₁,

лы (7) в [16]. Поэтому мы не будем обсуждать эти

(1 - n₅)n₆

I56ss′_{_1} =

(35)

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₁ - ε₅ - ω_s)(ε₁ - ε₅ - ω - ω^′s)

n₅(1 - n₆)

−

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₁ - ε₅ + ω_s)(ε₁ - ε₅ - ω + ω^′s)

(1 - n₅)n₆

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₃ - ε₆ + ω_s)(ε₃ - ε₆ - ω + ω^′s)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

418

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

n₅(1 - n₆)

(1 - n₅)(1 - n₆)

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₃ - ε₆ - ω_s)(ε₃ - ε₆ - ω - ω^′s)

(ε₁ - ε₅ - ω_s)(ε₃ - ε₆ - ω_s)(ω_s + ω^′s - ω)

n₅n₆

(1 - n₅)(1 - n₆)

(ε₁ - ε₅ + ω_s)(ε₃ - ε₆ + ω_s)(ω_s + ω^′s + ω)

(ε₁ - ε₅ - ω - ω^′s)(ε₃ - ε₆ - ω - ω^′s)(ω_s + ω^′s + ω)

n₅n₆

(ε₁ - ε₅ - ω + ω^′s)(ε₃ - ε₆ - ω + ω^′s)(ω_s + ω^′s - ω)

(1 - n₅)(1 - n₆)

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₁ - ε₅ - ω_s)(ε₁ - ε₅ - ω - ω^′s)

n₅n₆

−

(ε₃ + ε₅ - ε₆ - ε₁)(ε₁ - ε₅ + ω_s)(ε₁ - ε₅ - ω + ω^′s)

(1 - n₅)n₆

n₅(1 - n₆)

(ε₁ - ε₅ - ω_s)(ε₃ - ε₆ - ω_s)(ω_s + ω^′s - ω)

(ε₁ - ε₅ + ω_s)(ε₃ - ε₆ + ω_s)(ω_s + ω^′s + ω)

(1 - n₅)n₆

n₅(1 - n₆)

(ε₁ - ε₅ + ω_s)(ε₃ - ε₆ + ω_s)(ω_s + ω^′s + ω)

(ε₁ - ε₅ - ω_s)(ε₃ - ε₆ - ω_s)(ω_s + ω^′s - ω)

и аналогично для I56ss′_{_2}. Мы видим, что двухфо-

(1 - nλ5 )n₆

нонные знаменатели [ω ± (ω_s + ω^′s)]-1 входят как

(ε₃ - ελ6 + ω_s)(ε₃ - ελ6 - ω + ω^′s)

)

в pp (nλ5 nλ6), hh (1 - nλ5 )(1 - nλ6 ), так и в hp

nλ5(1 - n₆)

−

((1 - nλ5 )nλ6 ), ph (nλ5 (1 - nλ6 ))-члены, где pp(hh)

(ε₃ - ελ6 - ω_s)(ε₃ - ελ6 - ω - ω^′s)

соответствуют двум частицам (дыркам) выше (ни-

же) поверхности Ферми и hp(ph) соответствуют

(ε₁ - ελ5 + ω_s)(ε₃ - ελ6 + ω_s)(ω_s + ω^′s + ω)

дырке и частице, находящимся по разную сторону

от поверхности Ферми.

(ε₁ - ελ5 - ω_s)(ε₃ - ελ6 - ω_s)(ω_s + ω^′s - ω)

Двухфононные слагаемые на линии 3 в формуле

(35) содержат сложные 1p1h ⊗ фонон- и двухфо-

нонные конфигурации. Эти конфигурации, включая

I56ss′_{_2}(ε₁,ε₄,ω) =

× (37)

те, которые соответствуют корреляции в основном

(ε₄ + ε₁ - ελ6 - ελ5 )

(

состоянии (КОС), можно увидеть, если мысленно

1-nλ5

сделать поперечные сечения соответствующих гра-

(ε₁ - ελ5 - ω_s)(ε₁ - ελ5 - ω - ω^′s)

фиков. Наши двухфононные конфигурации также

nλ5

содержат двухфононные КОС со знаменателями

(ε₁ - ελ5 + ω_s)(ε₁ - ελ5 - ω + ω^′s)

[ω + (ω_s + ω^′s)]-1. Таким образом, кроме линии 1,

(1 - nλ5 )(1 - n₆)

1p1h ⊗ фонон-конфигурации присутствуют и в ли-

−

нии 3 на рис. 7, т.е. мы получили значительное

(ελ6 - ε₄ + ω_s)(ελ6 - ε₄ - ω + ω^′s)

)

усложнение по сравнению с [1].

nλ5 n

Формула (35) содержит как 1p1h ⊗ фонон-, так

(ελ6 - ε₄ - ω_s)(ελ6 - ε₄ - ω - ω^′s)

и двухфононные конфигурации, и является весь-

ма громоздкой. Чтобы упростить ее и сравнить с

(ε₁ - ελ5 + ω_s)(ε₄ - ελ6 - ω_s)(ω_s + ω^′s + ω)

ПВБ [19, 32], мы попытались (безуспешно!) приве-

сти их с помощью компьютера к виду, содержаще-

му только члены с [ω ± (ω_s + ω^′s)]-1. Результат пре-

(ε₁ - ελ5 - ω_s)(ε₄ - ελ6 + ω_s)(ω_s + ω^′s - ω)

образования обеих формул имеет вид (36) и (37),

Здесь можно видеть значительное отличие от

двухфононной версии работ с ПВБ [19, 32]. С

I56ss′_{_1}(ε₁,ε₃,ω) =

× (36)

(ε₃ + ελ5 - ελ6 - ε₁)

одной стороны, наш метод введения двухфононных

(

конфигураций, рис. 7, дает более сложную зави-

1-nλ5

симость от ω и позволяет включить как 1p1h ⊗

(ε₁ - ελ5 - ω_s)(ε₁ - ελ5 - ω - ω^′s)

⊗ фонон, так и двухфононные конфигурации. С

nλ5

другой стороны, в 3-й линии мы получили есте-

−

(ε₁ - ελ5 + ω_s)(ε₁ - ελ5 - ω + ω^′s)

ственное для нашей модели усложнение графиков

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЧЕТА СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

419

1-й линии: график F GGgDg в линии 1 дополняется

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

графиком F GGF^2phonind, т.е. обмен одним фононом

S. P. Kamerdzhiev and M. I. Shitov, Eur. Phys. J. A

56, 265 (2020).

дополняется обменом двумя фононами. Однако со-

ответствующие формулы в линии 3, формула (30),

D. Savran, T. Aumann, and A. Zilges, Prog. Part.

будут очень громоздкими. Поэтому прежде всего

Nucl. Phys. 70, 210 (2013).

необходимо рассмотреть другие модели включения

N. Paar, D. Vretenar, E. Khan, and G. Colo, Rep.

1p1h ⊗ фонон- и двухфононных конфигураций в

Prog. Phys. 70, 691 (2007).

уравнение для вершины.

A. Bracco, E. G. Lanza, and A. Tamii, Prog. Part.

Nucl. Phys. 106, 360 (2019).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С. П. Камерджиев, О. И. Ачаковский, С. В. То-

локонников, М. И. Шитов, ЯФ

82,

320

Настоящая работа выполнена в рамках ядерной

(2019)

[S. P. Kamerdzhiev, O. I. Achakovskiy,

квантовой теории многих тел, точнее, метода кван-

S. V. Tolokonnikov, and M. I. Shitov, Phys. At. Nucl.

товых функций Грина и является продолжением

82, 366 (2019)].

и развитием статьи [1]. Изучена модель, в кото-

S. Kamerdzhiev, J. Speth, and G. Tertychny, Phys.

рой использовалась только одна, но главная g²-

Rep. 393, 1 (2004).

поправка для вершины V — основной величины в

A. Tamii, I. Poltoratska, P. von Neumann-Cosel,

ТКФС. (В этом заключается “модельность” нашей

Y. Fujita, T. Adachi, C. A. Bertulani, J. Carter,

работы.) Как и в [1], подтвердилась, т.е. получе-

M. Dozono, H. Fujita, K. Fujita, K. Hatanaka,

на, как частный случай, предыдущая модель учета

D. Ishikawa, M. Itoh, T. Kawabata, Y. Kalmykov,

сложных конфигураций [17] и модель ПВБ [18]

A. M. Krumbholz, et al., Phys. Rev. Lett. 107, 062502

(последняя — при условии, что будет использован

(2011).

рецепт ПВБ, если необходимо). Вместе с этим

A. C. Larsen, J. E. Midtbø, M. Guttormsen,

естественно подтвердились новый динамический

T. Renstrøm, S. N. Liddick, A. Spyrou, S. Karam-

эффект тэдпола и наличие слагаемых, содержащих

pagia, B. A. Brown, O. Achakovskiy, S. Kamerdzhiev,

вариации эффективного взаимодействия в поле

D. L. Bleuel, A. Couture, L. Crespo Campo,

фонона δF , полученные ранее в [1]. Этими двумя

B. P. Crider, A. C. Dombos, R. Lewis, et al., Phys.

последними эффектами наш подход отличается от

Rev. C 97, 054329 (2018).

всех предыдущих моделей и методов. В работе по-

A. Repko, V. O. Nesterenko, J. Kvasil, and

лучены следующие новые результаты: 1) В отличие

P.-G. Reinhard, Eur. Phys. J. A 55, 242 (2019).

от [1], получены и использованы не приближенные,

10.

N. Ryezayeva, T. Hartmann, Y. Kalmykov, H. Lenske,

а точные выражения для двух вариаций вершины в

P. von Neumann-Cosel, V. Yu. Ponomarev, A. Richter,

поле фонона. 2) Это позволило получить уравнение

A. Shevchenko, S. Volz, and J. Wambach, Phys. Rev.

Lett. 89, 272502 (2002).

для вершин

V , которое содержит не только обыч-

ное эффективное взаимодействие F в ТКФС, но

11.

Н. А. Люторович, В. И. Целяев, О. И. Ачаков-

и полную амплитуду частично-дырочного взаимо-

ский, С. П. Камерджиев, Письма в ЖЭТФ 107,

действия Γ. 3) Используя разложение этой ампли-

699 (2018)

[N. A. Lyutorovich, V. I. Tselyaev,

туды по МХФ-фононам, получено новое уравнение

O. I. Achakovskiy, and S. P. Kamerdzhiev, JETP Lett.

107, 659 (2018)].

для

V , которое содержит сложные как 1p1h ⊗

12.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

⊗ фонон-, так и двухфононные конфигурации. Эти

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1965;

результаты принципиально важны для дальнейше-

Intersci., New York, 1967).

го развития обобщенной ТКФС. Однако получен-

ные слагаемые с двухфононными конфигурациями

13.

V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rep. 92, 183

оказались весьма громоздкими для окончательного

(1982).

анализа, не говоря уже о расчетах. Это означа-

14.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем

ет, что наша рассмотренная модель нуждается в

и свойства атомных ядер, 2-е изд. (Наука,

дополнительном анализе, который предполагается

Москва, 1983).

выполнить в ближайшее время.

15.

Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

Мы благодарны В.А. Ходелю и В.И. Целяеву

(2016)

[E. E. Saperstein and S. V. Tolokonnikov,

за полезные обсуждения. С.К. благодарит доктора

Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

С. Ларсен (A.C. Larsen) и группу из Осло за

16.

D. Voitenkov, S. Kamerdzhiev, S. Krewald,

продуктивное сотрудничество в области ПДР. Ис-

E. E. Saperstein, and S. V. Tolokonnikov, Phys.

следование выполнено при финансовой поддержке

Rev. C 85, 054319 (2012).

РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-90186

17.

С. П. Камерджиев, ЯФ

38,

316

(1983)

и поддержано Российским научным фондом, про-

[S. P. Kamerdzhiev, Sov. J. Nucl. Phys. 38,

188

ект № 16-12-10155.

(1983)].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

420

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

18.

В. И. Целяев, ЯФ 50, 1252 (1989)

[V. I. Tselyaev,

26. V. Tselayev, N. Lyutorovich, J. Speth, and

Sov. J. Nucl. Phys. 50, 780 (1989)].

P.-G. Reinhard, Phys. Rev. C 97, 044308 (2018).

19.

V. Tselyaev, Phys. Rev. C 75, 024306 (2007).

27. E. Litvinova and P. Schuck, Phys. Rev. C 100, 064320

20.

A. Avdeenkov, S. Goriely, S. Kamerdzhiev, and

(2019).

S. Krewald, Phys. Rev. C 83, 064316 (2011).

28. V. G. Soloviev, Theory of Atomic Nuclei: Quasi-

21.

S. P. Kamerdzhiev and V. N. Tkachev, Z. Phys. A 334,

Particles and Phonons (Institute of Physics, Bristol

19 (1989).

and Philadelphia, USA, 1992).

22.

S. P. Kamerdzhiev and V. N. Tkachev, Phys. Lett. B

29. V. A. Khodel, A. P. Platonov, and E. E. Saperstein,

142, 225 (1984).

J. Phys. G: Nucl. Phys. 6, 1199 (1980).

23.

P. F. Bortignon and R. A. Broglia, Nucl. Phys. A 371,

405 (1981).

30. В. А. Ходель, ЯФ 24, 704 (1976) [V. A. Khodel, Sov.

24.

P. F. Bortignon, R. A. Broglia, G. F. Bertsch, and

J. Nucl. Phys. 24, 367 (1976)].

J. Pacheco, Nucl. Phys. A 460, 149 (1986).

31. S. P. Kamerdzhiev and E. E. Saperstein, Eur. Phys.

25.

С. П. Камерджиев, А. В. Авдеенков, О. И. Ача-

J. A 37, 333 (2008).

ковский, ЯФ 77, 1367 (2014)

[S. P. Kamerdzhiev,

32. E. Litvinova, P. Ring, and V. Tselyaev, Phys. Rev. C

A. V. Avdeenkov, and O. I. Achakovskiy, Phys. At.

Nucl. 77, 1303 (2014)].

88, 044320 (2013).

MICROSCOPIC MODEL OF ACCOUNTING FOR COMPLEX

CONFIGURATIONS FOR PYGMY AND GIANT RESONANCES

S. Kamerdzhiev¹⁾, M. Shitov¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

Within the framework of nuclear quantum many-body theory, a microscopic model of accounting for

the quasiparticle-phonon interaction in magic nuclei has been considered, which is of interest for the

microscopic theory of pygmy- and giant multipole resonances, primarily for describing their fine structure.

The article is continuation and further development of the previous article written by the same authors [1].

The main physical results of [1] have been confirmed and the new results have been obtained: 1) the exact

(not approximate, as in [1]) expressions for the first and second variations of the main quantity in the Theory

of Finite Fermi System, i.e. the vertex, in the phonon field have been found and used, 2) a new equation for

the vertex has been derived; it contains not only the effective interaction, but also the full particle-hole

interaction amplitude, 3) this result made it possible to add the necessary two-phonon configurations. The

new vertex equation now contains complex configurations, 1p1h ⊗ phonon and two-phonon, including

numerous ground-state correlations.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021