ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 5, с. 447-457

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В МЁЛЛЕРОВСКОМ РАССЕЯНИИ

ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТА PRad В JLab

Поступила в редакцию 03.03.2021 г.; после доработки 29.03.2021 г.; принята к публикации 01.04.2021 г.

С применением нескольких методов устранения инфракрасной расходимости рассчитаны электро-

магнитные радиационные поправки к низкоэнергетическому мёллеровскому рассеянию в условиях

эксперимента PRad в Лаборатории Джефферсона.

DOI: 10.31857/S0044002721050172

1. ВВЕДЕНИЕ

дородной мишени, позволил получить с беспреце-

дентной точностью значение одного из важнейших

В своей работе [1] К. Мёллер (Chr. Møller) впер-

параметров СМ — синуса угла Вайнберга s_W [7].

вые рассчитал в рамках квантовой электродинами-

Аналогичный эксперимент следующего поколения

ки (КЭД) сечение упругого электрон-электронного

MOLLER [8] с пучком 11 ГэВ, который планирует-

рассеяния (впоследствии в его честь оно полу-

ся осуществить в скором будущем в JLab, позволит

чило название “мёллеровское рассеяние”, МР).

измерить наблюдаемую асимметрию на еще более

С экспериментальной точки зрения МР является

высоком уровне чувствительности 0.73 × 10-9, что

очень “чистым” процессом с хорошо выраженной

позволит существенно улучшить точность измере-

возможностью формирования начальных частиц,

ния и слабого заряда электрона (до 2.3%), и синуса

детектирования конечных частиц, а также легко

угла Вайнберга. Обсуждаемые поляризационные

подавляемым фоном. По этим причинам МР пред-

явления, изучающиеся на экспериментах типа E-

ставляет особый интерес в современной физике:

158 и MOLLER, имеют электрослабую природу,

в поляриметрии, прецизионном определении па-

что приводит к необходимости изучения электро-

раметров Стандартной модели (СМ), в поисках

слабых поправок к МР [9-12].

Новой физики и т. д.

Электрон-электронная (мёллеровская) мода

Под мёллеровской поляриметрией понимается

может быть осуществлена и в работе будущего

экспериментальная реализация изучения процесса

лептонного коллайдера ILC/CLIC/FCC/CEPC.

мёллеровского рассеяния для точного определения

Как и при более низких энергиях в экспериментах

поляризации электронного пучка. Она осуществ-

E-158/MOLLER, она может быть интересна как

лялась, например, в экспериментах: SLC, E-143

для прецизионных тестов и измерений СМ, так и

и E-154 в SLAC, в нескольких экспериментах в

для поисков Новой физики [13]. Как одна из есте-

JLab и MIT-Bates. При энергиях вышеупомянутых

ственных опций высокоэнергетичных линейных

экспериментов для обеспечения требуемой точно-

коллайдеров типа ILC в электрон-электронном

сти достаточно было знать однопетлевые элек-

режиме рассматривается проект фотонного кол-

тромагнитные поправки (ЭМП), которые впервые

лайдера, на котором энергия и светимость имеют

оценены с помощью ковариантного метода [2] в

тот же масштаб, что и у исходных электронных

работе [3]. Другой расчет был предпринят в [4, 5],

пучков. При столкновении фотонов будут рождать-

где основное внимание уделено исследованию эф-

ся хиггсовские бозоны и любые новые заряженные

фектов зависимости от экспериментальных огра-

частицы. Электрослабые радиационные поправки

ничений на неупругость (или потерянную массу).

к МР при коллайдерных энергиях изучались в

Эксперимент E-158 в SLAC [6], в котором изу-

работах [14-16].

чалось МР поляризованных электронов с энергия-

Зарядовый протонный радиус (ЗПР, proton

ми 45-48 ГэВ на неполяризованных электронах во-

charge radius, root-mean-square charge radius)

является одним из фундаментальных структурных

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

Россия.

параметров протона. Его точное знание чрезвы-

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

чайно важно для понимания как КХД — теории

ны, Гомель, Беларусь.

сильных взаимодействий, которая, по современ-

^*E-mail: zykunov@cern.ch

ным представлениям, претендует на корректное

447

448

ЗЫКУНОВ

описание структуры нуклонов, так и важных

были получены из анализа спектра мюонного во-

тестов КЭД (например, лэмбовского сдвига в

дорода, см., например, [23]. Данные прецизионного

атоме водорода). ЗПР непосредственно зависит от

эксперимента PRad-II [20], возможно, наконец по-

электрического формфактора протона при малых

ставят точку в проблеме размера протона.

передачах, поэтому традиционно ЗПР определяет-

Заявленная точность, однако, требует учета си-

ся в упругом e^-p-рассеянии. Как оказалось, экспе-

стематических неопределенностей, в первую оче-

риментальной точности такого рода экспериментов

редь радиационных поправок. Впервые ЭМП к

для прецизионных тестов КХД и КЭД не вполне

упругому e^-p-рассеянию (только к лептонному

достаточно.

току) и МР были рассмотрены в работе [21] с

Долгое время одним из актуальных вопросов

применением ковариантной схемы устранения ин-

современной физики было разрешение загадки

фракрасной расходимости (ИКР) [2]. Требуемая

протонного радиуса (proton radius puzzle) — зна-

высокая точность побудила авторов [21] удержать в

чительное (более 4% на момент возникновения

расчете массу электрона. Был рассмотрен один тип

проблемы) несовпадение между измерениями ра-

экспериментальных ограничений — на неупругость

(потерянную массу). Важность проблемы требу-

диуса протона в обычном (электронном) и мюонном

(PSI [17, 18]) водородах. Независимое измерение

ет независимого расчета обсуждаемых радиацион-

электрического формфактора протона (а, следова-

ных эффектов. Точному учету этих эффектов для

тельно, ЗПР) было предложено в JLab [19] (PRad

процесса МР в точном соответствии с условиями

эксперимента PRad (в соответствии с ограничени-

experiment): начальные неполяризованные элек-

ями, накладываемыми возможностями детектора,

троны рассеиваются на жидководородной мишени

fiducial cuts) посвящена настоящая работа.

и детектируются калориметром PrimEx HYCAL.

Сечение упругого e^-p-рассеяния нормализуется

План работы следующий: в разд. 2 дано общее

на сечении неполяризационного мёллеровского

описание процесса в борновском приближении, в

разд. 3 приведены выражения виртуальных од-

рассеяния. Процессы e^-p и e^-e^- в PRad из-

нопетлевых ЭМП, в разд. 4 подробно разобран

меряются одновременно и независимо, так как

электроны, которые рассеются на протонном ядре,

вклад тормозного излучения. Численный анализ

и мёллеровские электроны, которые рассеются на

проведен в разд. 5. Технические детали расчета

электронах водорода, попадают в непересекающи-

фазового объема тормозного излучения вынесены

еся области детектора. Такая постановка (норма-

в Приложение.

лизация сечения e^-p к сечению e^-e^-) существенно

улучшает учет интегральной светимости при сборе

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

статистики и позволяет достичь очень высокой

В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

точности определения ЗПР в PRad. Проведенный

эксперимент [19] (закончен в 2016 г.) показал

Реакция поляризационного мёллеровского рас-

совпадение с измерением в мюонном водороде, но

сеяния

все еще остается существенная разница (на 5.8%

e^-(p₁) + e^-(p₂) → e^-(p₃) + e^-(p₄)

(1)

меньше) с другими электронными измерениями (и,

соответственно, с рекомендациями CODATA), так

в борновском приближении описывается фей-

что планируется новый, более точный эксперимент

нмановскими диаграммами, изображенными на

PRad-II [20].

рис.

1. Приведем стандартный набор лоренц-

инвариантных переменных Мандельштама:

Разногласие между экспериментальными дан-

ными привело к интенсивному изучению проблемы

s = (p₁ + p₂)², t ≡ q2t = (p₁ - p₃)²,

(2)

(см. ссылки в работе [21]). Предлагались новые

u ≡ q2u = (p₃ - p₂)²,

подходы к точному учету двухбозонного обмена,

варианты усложненной протонной структуры, по-

которые сформированы из 4-импульсов начальных

правки, обусловленные эффектами атомной физи-

(p₁ и p₂) и конечных (p₃ и p₄) частиц. В работе

ки (atomic physics corrections). Рассматривались и

используется пропагаторная структура:

варианты Новой физики: новые векторые и скаляр-

ные частицы, которыми могут обмениваться мю-

D^r =

(3)

он и протон, “темные” (массивные) фотоны (dark

q2r

photons).

Индекс r перебирает каналы реакции: r = t, u.

Наконец, последние два года принесли измене-

Полная амплитуда борновского процесса пред-

ние ситуации: недавние наиболее точные и продви-

ставляет собой разность t-канальной и u-каналь-

нутые эксперименты и по измерению спектра обыч-

ной частей:

ного атома водорода, и по электрон-протонному

M₀ = M0,t - M0,u

(4)

рассеянию [22], дают результаты близкие к тем, что

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В МЁЛЛЕРОВСКОМ РАССЕЯНИИ

449

p₁

p₃

p₁

p₃

q_t

q_u

p₄

p₂

p₄

p₂

Рис. 1. Фейнмановские диаграммы мёллеровского процесса e^-e^- → e^-e^- с безрадиационной кинематикой: а — t-

канальная, б — u-канальная.

(знак минус обусловлен тождественностью ферми-

3. ОДНОПЕТЛЕВОЙ ВИРТУАЛЬНЫЙ

онов рассматриваемой реакции). Амплитуды t- и

ВКЛАД

u-канала связаны простой заменой 4-импульсов

Вклад дополнительных виртуальных частиц

(это имеет место как для борновских диаграмм, так

представлен тремя классами диаграмм: собствен-

и для диаграмм высших порядков, см. ниже)

ными энергиями бозонов (boson self energies,

M0,u = M0,t|p3↔p₄,

(5)

BSE), вершинными функциями (vertices, Ver) и

которая проявляется в симметрии конечного вы-

двухфотонным обменом или боксами (boxes, Box).

ражения для сечения в виде кроссинговой замены

Соответствующее сечение выглядит как сумма всех

t ↔ u. Фазовый объем реакции МР имеет вид

вкладов:

d³p₃ d³p₄

σ^V = σ^BSE + σ^Ver + σ^Box.

(13)

dΦ₂ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄)

(6)

2p₃₀ 2p₄₀

Фейнмановские диаграммы, соответствующие вир-

После преобразований и снятия интегралов полу-

туальным однопетлевым вкладам, изображены на

чим в с.ц.м.

рис. 2 (t-канальные диаграммы BSE, кружком на

π|p₃|

них обозначены все варианты, возможные в рам-

dΦ₂ =

d cos θ₃.

(7)

ках КЭД, и t-канальные вершинные диаграммы) и

4p₄₀

рис. 3 (t-канальные боксовские диаграммы). Обо-

Квадрируем амплитуды, используя стандартную

значения 4-импульсов те же, что на борновских

технику, домножаем получившееся выражение на

диаграммах рис. 1.

фазовый объем и множитель

и получаем сече-

8π²s

Сечение, соответствующее BSE-вкладам, не

ние неполяризационного МР в ультрарелятивист-

содержит ИКР и имеет следующий вид (снова явно

ском приближении (УРП)

виден кроссинг):

πα

u³ - s³

σ⁰ =

+ (t ↔ u) = σ0t + σ0u.

(8)

σ^BSE = 2σ0tt · ReD^γγtS + (t ↔ u).

(14)

t²u

Здесь комбинации

Для записи сечения используется сокращенная за-

пись:

D^ijrS = -D^ir Σ^ijT(r)D^jr

(15)

dσ

dσ^C

σ^C ≡

≡

(9)

d cos θ₃

связаны с выражениямиΣijT(r), которые представ-

ляют собой поперечные части перенормированных

где θ₃ — угол рассеяния детектируемого электрона

бозонных собственных энергий, в данном случае:

с 4-импульсом p₃ в с.ц.м. начальных электронов, а

i = γ, j = γ. Используется схема перенормировки

индексом C обозначается тип вклада в сечение.

на массовой поверхности [24].

В упрощенном виде сечение выглядит так:

Для того чтобы рассчитать вклад в сечение МР

πα

s⁴ + t⁴ + u⁴

σ⁰ =

(10)

от электронных вершинных функций, используют-

t²u²

ся формфакторные обозначения в духе работы [24].

В с.ц.м. инварианты t и u имеют вид

Сечение, соответствующее вершинным вкладам,

имеет следующий вид:

t=-

(1 - cos θ₃), u = -

(1 + cos θ₃),

(11)

σ^Ver =

σ0t · Λ₁(t,m²) + (t ↔ u).

(16)

тогда

(

)₂

2πα

3 + cos2 θ₃

Функция Λ₁ описывает вклад треугольной диа-

σ⁰ =

(12)

sin⁴ θ₃

граммы с фотонным обменом. Действительная

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

450

ЗЫКУНОВ

Рис. 2. Фейнмановские t-канальные диаграммы вкладов BSE (а) и вершинных вкладов (б, в) в процесс МР. Волнистой

линией на этих и последующих диаграммах обозначены фотоны.

часть первой функции содержит коллинеарный

Посредством разделения области интегрирова-

логарифм, в УРП в t-канале она имеет вид

ния на две: p₀ < ω и p₀ > ω, где p₀ — энергия

(

)

тормозного фотона в с.ц.м. начальных электро-

-t

ReΛγ1 = -2 ln^-t

-1

(17)

нов, а ω — параметр, разделяющий области, по-

λ²

m²

лучаем два сечения — соответствующие “мягким”

-t

и “жестким” фотонам. В сумме сечение процес-

+ ln

+ ln²

π² - 4.

са (1) с дополнительным виртуальным фотоном и

m²

сечение мягкого ТИ представляют инфракрасно-

Сечение, соответствующее вкладам двухфотон-

конечную величину, однако эта сумма содержит до-

ного обмена (см. рис. 3), имеет следующий вид:

полнительный параметр — максимальную энергию

(

)

(мягкого) тормозного фотона ω. Описанный метод

σ^Box =

σ0t ·

2l_su ln

-l2su

-π²

(18)

носит название метода Мо-Тсаи [26].

λ²

)

Следуя расчетной технологии работы [27], по-

⁽1

δ^Tγγ +

δ^U

γγ

+ (t ↔ u),

лучаем хорошо известный результат (см. [14]) для

s t

сечения процесса с мягкими фотонами

где

(

[

]

2ω

σ^soft =

4 ln

-1 -

(21)

3s² + u

δ^Tγγ = l²

-l_tus - l_stu -

(19)

m²s

[

]₂

)

π²

s² + 3u

− ln

-1

+1-

+l²

σ⁰.

- (l2tu + π²)

m²

Суммируя члены V -вклада

s² + u²

δ^Uγγ = l²

- l_tus - (l2tu + π²)

^st t

σ^Vλ = σ^V - σ^V (λ →

√s)



_x



и сечение мягких фотонов, содержащие ИКР, по-

l_xy = ln^

.

лучим результат, свободный от нее, но логариф-

мически зависящий от ω и содержащий двойные

коллинеарные логарифмы:

(

[

]

4. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В МР

2ω

σ^Vλ + σ^soft =

4 ln

-1 -

Чтобы устранить ИКР, требуется учет процесса

√s^ln

m²s

)

тормозного излучения (ТИ):

[

]₂

π²

- ln

-1

+1-

+l²

σ⁰.

e^-(p₁) + e^-(p₂) → e^-(p₃) + e^-(p₄) + γ(p),

(20)

m²

который “сопровождает” исследуемый процесс (1)

В сумме с Λ₁-членами из вершинного вклада кол-

и неотличим от него в постановке эксперимента,

линеарные логарифмы сводятся до первой степени:

когда тормозной фотон не детектируется [25]. Фей-

α⁽

s )

нмановские t-канальные диаграммы радиационно-

Λ₁(λ² → s) - ln²

m²

го процесса (20) приведены на рис. 4. Кроме того,

(

)

-t

-ts

даже без предположений о постановке экспери-

ln²

- ln²

мента, неотличимость процессов совершенно оче-

m²

m⁴

видна при малых энергиях тормозного фотона; та-

Вернемся к общему описанию процесса ТИ в

кой процесс будем называть мягким тормозным из-

МР. Введем лоренц-инварианты, описывающие ра-

лучением. Кинематика мягкого ТИ, соответствен-

диационный процесс (радиационные инварианты):

но, неотличима от кинематики безрадиационного

процесса (1).

z₁ = 2p₁p, v₁ = 2p₂p,

(22)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В МЁЛЛЕРОВСКОМ РАССЕЯНИИ

451

Рис. 3. Фейнмановские t-канальные диаграммы боксов в процессе МР: а — прямой бокс, б — перекрестный бокс.

z = 2p₃p, v = 2p₄p,

форме с зависимостью от четырех (радиационных)

инвариантов (см. [29]):

которые обращаются в нуль при p → 0 и не яв-

ляются независимыми: так, благодаря законам со-

dΦ₃ =

√ dtdz₁dv₁dv,

(28)

хранения они связаны с уже введенными инвари-

16s

-Δ₄

антами (s, t и u) следуюшими кинематическими

где Δ₄ = Δ₄(p₁, p₂, p₃, p₄) — определитель Грама.

соотношениями:

На рис. 6 изображены физические области из-

z₁ + v₁ = z + v, s + t + u = v + 4m².

(23)

менения инвариантов, соответствующие фазовому

объему (28): а — диаграмма Далица [30] и б —

Вводятся также три вспомогательных инварианта:

диаграмма Чу-Лоу [31]. Величина Q² определяет-

s₁ = (p₃ + p₄)², t₁ = (p₂ - p₄)²,

(24)

ся так:

u₁ = (p₁ - p₄)².

Q² =

(1 - cos θ₃),

Следует сказать, что из шести инвариантных вели-

т. е. равна абсолютному значению борновского

чин (s, t, u, s₁, t₁, u₁) все, кроме s, зависят от cos θ₃,

инварианта t. Точками на диаграммах обозначе-

причем по-разному в безрадиационном и радиаци-

ны события, разыгранные с помощью программы

онном случаях. Определение радиационных инва-

VEGAS [32].

риантов и их связь с входными параметрами (E_lab

и cos θ₃) в УРП приведены в табл. 1. Инвариант

Форма (28) была использована, например, в

t в радиационном случае свяжем в с.ц.м. с углом

работе [28], где рассчитан вклад жесткого ТИ в

рассеяния (см. рис. 5), приведем точный вид этой

условиях эксперимента MOLLER. Следует при-

связи

знать, что, несмотря на внешнюю простоту и лег-

(

кость программирования, вид фазового объема

4m² - s + v +

(25)

(28) представляет значительную трудность при ин-

√

тегрировании. Чтобы добиться необходимой ско-

)

√

+ cos θ₃

(s - v)² - 4m²s

Таблица 1. Инварианты для безрадиационного и радиа-

ционного случаев в УРП

инвариант u определяется сходной формулой, но с

противоположным знаком при cos θ₃.

Безрадиацион-

Радиацион-

Дифференциальное сечение процесса (20) вы-

Инвариант

ный случай

глядит так:

∑

s = (p₁ + p₂)²

2mE_lab

dσ_R =

|R|²dΦ₃,

(26)

π²s

t = (p₁ - p₃)²

-s(1 - cosθ₃)/2 (v - s)(1 - cosθ₃)/2

где

^∑ |R|² — квадрированные амплитуды, долж-

u = (p₂ - p₃)²

-s(1 + cosθ₃)/2 (v - s)(1 + cosθ₃)/2

ным образом просуммированные и усредненные по

z₁ = 2pp₁

z₁

поляризациям (точный вид в УРП можно найти

в [28]), а фазовый объем реакции 2 → 3 имеет вид

v₁ = 2pp₂

v₁

dΦ₃ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄ - p) ×

(27)

z = 2pp₃

z₁ + v₁ - v

d³p₃ d³p₄ d³p

v = 2pp₄

2p₃₀ 2p₄₀ 2p₀

s₁ = (p₃ + p₄)²

s-z₁ -v₁

Существует несколько возможностей преобра-

t₁ = (p₂ - p₄)²

t-v+v₁

зования фазового объема (27). Простой и мате-

u₁ = (p₁ - p₄)²

u-v+z₁

матически ясный способ — это приведение его к

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

452

ЗЫКУНОВ

p₁

p₃

p₄- p₂

p₁- p₃

p₄- p₂

p₂

p₄

p₁- p₃

Рис. 4. Фейнмановские t-канальные диаграммы процесса МР с излучением тормозного фотона с 4-импульсом p.

рости сходимости интеграла в таком подходе, на-

R-вклада принимает вид

пример, в работе [28] были предприняты зна-

∫

чительные усилия в преобразовании (факториза-

α³

|p|²

σ^R = -

d|p| ×

(29)

ции) подынтегрального выражения, комбинирова-

4πs

p₀

нии результата в виде относительных поправок δ_±,

предварительном разбиении результата по типам

2π

∫

∑

вкладов, удобных для программирования интегри-

dϕ_p|p₃|

× dcosθ_p

|R|².

рования, и пр.

p₄₀F

-1

Чтобы построить программу, позволяющую

Уже в таком виде численное интегрирование

учесть ЭМП с произвольным набором ограничений

(будем использовать Монте-Карло-интегратор

на условия детектирования, удобно осуществить

VEGAS [32]) осуществляется без проблем, если

преобразование фазового объема (27) в с.ц.м.

позаботиться о сгущении точек в области малых

начальных частиц [33]. Не приводя детали расчета

|p|. Однако имеется возможность представить

(см., например, [34]), дадим в Приложении конеч-

результат в более изящном виде. Сначала перейдем

ный результат в обозначениях настоящей статьи.

к интегралу по фотонной энергии, используя

Используя полученные там выражения для фазо-

равенство |p|d|p| = p₀dp₀, тогда

вого объема, снимем интеграл по азимутальному

∫

углу детектируемого электрона ϕ₃, тогда сечение

|p|²

d|p|... =

|p|dp₀...,

(30)

где Ω — максимальная энергия тормозного фотона.

p₁

Заметим, что такое преобразование дает возмож-

ность представить сечение мягкого ТИ в виде (про-

p₃

изведем также некоторые очевидные упрощения)

p₄

∫

α³

θ₃

θ₅

σ^soft

|p|dp₀ ×

(31)

p₅

⁼-4πs

ϕ₅

∫

2π

∑

× dcosθ_p dϕ_p

|R|².

-1

Рис. 5. Конфигурация 3-импульсов при интегрирова-

нии по фазовому пространству тормозного фотона в

Наконец, применив замену переменной (похо-

с.ц.м. начальных частиц.

жая замена использовалась, например, в [35] для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В МЁЛЛЕРОВСКОМ РАССЕЯНИИ

453

v/s

s₁/s

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z/s

Q²/s

Рис. 6. Диаграммы Далица (a) и Чу-Лоу (б) при E_lab = 1.1 ГэВ, Q² = 5 × 10-4 ГэВ², λ = 0.05√s (значение массы

фотона искусственно завышено в целях лучшей иллюстрации формы области).

выделения зависимости сечения от минимальной

W -метод весьма удобен для вычислений подоб-

энергии фотона)

ного рода, поскольку он не содержит нефизических

параметров, кроме фиктивной массы фотона λ,

p₀ = λ1-xΩ^x,

(32)

которая естественным образом регуляризует ИКР.

что дает

С методической точки зрения W -метод хорош тем,

что вообще не оперирует такими терминами, как

dp₀

= ln

dx,

“мягкий фотон”, “жесткий фотон”, “параметр, раз-

p₀

деляющий мягкую и жесткую области”, не требует-

получим сечение в виде

ся также отвлекающая в какой-то мере от сути дела

проверка на независимость от этого параметра.

∫

Не стоит забывать также о том, что расчет по

σ^R = -

dx|p|p₀ ×

(33)

области мягких фотонов в традиционном подходе

4πs

Мо-Тсаи — это приближенное вычисление, и оно

2π

принципиально содержит ошибку расчета, кото-

∫1

∫

∑

|p₃|

рую довольно сложно контролировать, расчет же в

× dcosθ_p dϕ_p

|R|².

рамках W -метода такой ошибки не содержит.

p₄₀F

-1

Видно, что использование преобразования (30)

5. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ И ВЫВОДЫ

дает дополнительные степени свободы для расчета:

Основным объектом исследования будут отно-

сительные поправки к дифференциальному сече-

• мягкое ТИ теперь можно считать либо по

нию, которые определяются выражением

предварительно упрощенной формуле (21),

либо по формуле (31), используя технику

σ^C

Монте-Карло (а лучше и по той, и по другой,

δ^C =

(34)

σ⁰

чтобы дополнительно свериться);

Если верхний индекс отсутствует, то имеется в виду

• имеется возможность вовсе не разделять

полная ЭМП: δ ≡ δ^NLO.

ТИ на мягкое и жесткое, а пользоваться

формулой (29) [или (33)], в которой содер-

Установим независимость полученных резуль-

жится полностью все тормозное излучение;

татов от нефизических параметров. Для этого в

использование этого нового и, как показы-

табл. 2 приведены относительные поправки к се-

вает практический опыт, полезного свойства

чению, рассчитанные с помощью W -метода при

назовем W -методом (от “whole” — полный,

различных λ и с помощью метода Мо-Тсаи при

цельный, без разделения).

различных ω в кинематике эксперимента PRad

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

454

ЗЫКУНОВ

Таблица 2. Структура относительных поправок к сечению, рассчитанных разными методами (левая часть

таблицы — W -метод, правая — метод Мо-Тсаи), в условиях PRad (E_lab = 1.1 ГэВ, θ₃ = 90^◦, Ω = 0.01√s)

λ/√s

V +R

ω/√s

V +S

V +S+H

10-9

-0.9777

0.8010

-0.1767

10-9

-1.0706

0.8936

-0.1770

10-8

-0.8497

0.6732

-0.1765

10-8

-0.9426

0.7658

-0.1768

10-7

-0.7218

0.5455

-0.1763

10-7

-0.8147

0.6381

-0.1766

10-6

-0.5938

0.4177

-0.1761

10-6

-0.6867

0.5103

-0.1764

10-5

-0.4658

0.2900

-0.1759

10-5

-0.5587

0.3826

-0.1761

10-4

-0.3379

0.1623

-0.1756

10-4

-0.4308

0.2549

-0.1759

10-3

-0.2099

0.0440

-0.1659

10-3

-0.3028

0.1272

-0.1756

JLab. Рассмотрена кинематическая точка E_lab =

MOLLER, относительная поправка воспроизводит

= 1.1 ГэВ, θ₃ = 90^◦, Ω = 0.01√s. Эта же относи-

известное значение δ^NLO,soft = -0.1144 из табл. 3

тельная поправка, рассчитанная в мягкофотон-

работы [12].

ном приближении, равна -0.1748 (хорошее согла-

Проведенный анализ позволил установить со-

сие обусловлено выбранным небольшим значением

кращение зависимости от λ (W -метод) и ω (метод

максимальной энергии фотона). В табл. 2 также от-

Мо-Тсаи). Оставшаяся слабая зависимость имеет

ражена структура относительных поправок, видны

логарифмические зависимости V , R-вкладов от λ

порядок O(m2s)lnλ (приElab=1.1ГэВэтодает

для относительной поправки ошибку Δδ ∼ 10-4).

(W -метод) и V + S, H-вкладов от ω (метод Мо-

Для достижения большей точности результата в

Тсаи).

условиях небольших энергий PRad требуется по-

В табл. 3 и 4 показаны относительные поправ-

следовательно удержать в расчете массовые сла-

ки к сечению при различных энергиях, рассчи-

гаемые, как это было сделано в [21].

танные соответственно с по√щью W -метода и

На рис. 7 и 8 приведены относительные по-

метода Мо-Тсаи с Ω = 0.05

s. Приведено так-

правки к сечению в условиях PRad в зависимости

же значение относительной поправки, рассчитан-

от Q² при разных ограничениях на неупругость

ной в мягкофотонном приближении, при энер-

и на максимальное значение фотонной энергии.

гии E_lab = 11 ГэВ, соответствующей эксперименту

-0.05

-0.1

-0.10

-0.2

-0.15

v_cut = 10^-4 ГэВ²

p₀ < 0.10

-0.3

v_cut = 10^-5 ГэВ²

-0.20

p₀ < 0.05

p₀ < 0.01

v_cut = 10^-6 ГэВ²

-0.4

−0.25

−3

10^-6

10^-5

10^-4

10^-3

10^-5

10^-4

Q², ГэВ²

Рис. 7. Относительные поправки к сечению в условиях

Рис. 8. Относительные поправки к сечению в условиях

PRad в зависимости от Q² при разных ограничениях на

неупругость.

максимальную энергию тормозного фотона.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В МЁЛЛЕРОВСКОМ РАССЕЯНИИ

455

Таблица 3. Относительные поправки к сечению при

поправок, установленные в работе [21]: падение с

различных энергиях (W -метод, Ω = 0.05√s)

ростом Q², стремление к нулю при Q² → 0, наличие

минимума в области больших Q², качественно пра-

E_lab, ГэВ

вильную зависимость от v_cut — значения v, которое

λ/√s

ограничивает область интегрирования: см. гори-

1.1

2.2

зонтальную верхнюю границу (было использовано

10-9

-0.0898

-0.0983

-0.1086

-0.1186

v_cut = 0.9v_max) на диаграмме Далица на рис. 6а.

10-8

-0.0896

-0.0982

-0.1085

-0.1185

Схожее поведение демонстрируют и относитель-

10-7

-0.0894

-0.0980

-0.1085

-0.1185

ные поправки рис. 8. Для более детальной вза-

имной сверки в целях получения точного согласия

10-6

-0.0892

-0.0979

-0.1085

-0.1185

требуется отдельное совместное с авторами [21]

10-5

-0.0890

-0.0978

-0.1084

-0.1184

исследование (включающее выяснение необходи-

10-4

-0.0887

-0.0976

-0.1082

-0.1182

мости удерживать массовые слагаемые в расчете,

10-3

-0.0876

-0.0961

-0.1054

-0.1129

роль высших поправок и анализ в точном соответ-

ствии с возможностями детектора), которое будет

δ^soft

-0.0854

-0.0942

-0.1046

-0.1144

осуществлено в ближайшем будущем.

Таблица 4. Относительные поправки к сечению при

Работа выполнена при поддержке Государ-

различных энергиях (метод Мо-Тсаи, Ω = 0.05√s)

ственной программы научных исследований Рес-

публики Беларусь “Конвергенция-2025” (подпро-

E_lab, ГэВ

грамма “Микромир и Вселенная”). Автор при-

ω/√s

знателен И.В. Акушевичу, Ю.М. Быстрицкому и

1.1

2.2

А.Н. Ильичеву за обсуждение результатов работы.

10-9

-0.0899

-0.0983

-0.1086

-0.1185

10-8

-0.0897

-0.0982

-0.1086

-0.1185

Приложение

10-7

-0.0894

-0.0981

-0.1085

-0.1185

10-6

-0.0892

-0.0980

-0.1085

-0.1185

ФАЗОВЫЙ ОБЪЕМ ТИ

10-5

-0.0890

-0.0979

-0.1084

-0.1185

10-4

-0.0887

-0.0977

-0.1083

-0.1184

Изобразим в с.ц.м. векторы конечных частиц

(см. рис. 5), используя вспомогательный вектор

10-3

-0.0879

-0.0969

-0.1076

-0.1176

p₅ = -p. Для энергии конечного электрона с 4-

δ^soft

-0.0854

-0.0942

-0.1046

-0.1144

импульсом p₃ получаем

√

s³ + 2p²⁰

√s - 3p₀s + Ap₀s_q

Рассмотрены две опции энергии начальных элек-

p₃₀ =

(П.1)

2s - 4p₀

√s + 2p20(1 - A2)

тронов PRad (1.1 и 2.2 ГэВ). Рисунок 7 воспро-

изводит основные закономерности относительных

где

√

s_q = s(√s - 2p0)2 + 4m2[p20(A2 - 1) + 2p0√s - s],

С учетом вышесказанного получим фазовый

объем в виде

A = cos(p5,p3) =

(П.2)

|p₃|

d³p

= sin θ₃ sin θ₅ cos ϕ₅ + cos θ₃ cos θ₅ =

dΦ₃ =

d cos θ₃dϕ₃

(П.3)

4p₄₀F

2p₀

= -sinθ3 sinθp cosϕ_p - cosθ3 cosθ_p.

Интегрирование по азимутальному углу ϕ₃ дает 2π

В УРП выражение для энергии приобретает ком-

из-за симметрии относительно поворота системы

пактный вид

вокруг оси пучка, а

√s

√s - 2p₀

p₃₀ =

p₃₀(1 - A|p|/|p₃|)

√s - p₀(1 + A)

F =1+

√

(П.4)

p₃₂₀

- 2A|p||p₃| + |p|²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021

456

ЗЫКУНОВ

Далее переходим к интегрированию по p:

13.

C. A. Heusch, Int. J. Mod. Phys. A 15, 2347 (2000).

d³p = |p|²d|p|dcos θ_pdϕ_p, θ_p = π - θ₅,

14.

A. Denner and S. Pozzorini, Eur. Phys. J. C 7, 185

(1999); hep-ph/9807446.

ϕp = π + ϕ5.

15.

В. А. Зыкунов, ЯФ 72, 1540 (2009) [Phys. At. Nucl.

С использованием p₅ векторы конечных частиц в

72, 1486 (2009)].

с.ц.м. выглядят так:

p₃ = (|p₃|sin θ₃,0,|p₃|cos θ₃),

(П.5)

16.

А. Г. Алексеев, С. Г. Барканова, В. А. Зыкунов, ЯФ

75, 231 (2012) [Phys. At. Nucl. 75, 209 (2012)].

p₅ = (|p|sin θ₅ cos ϕ₅,|p|sin θ₅ sin ϕ₅,|p|cos θ₅),

17.

R. Pohl et al., Nature 466, 213 (2010).

p₄ = p₅ - p₃.

√

18.

A. Antognini et al., Science 339, 417 (2013).

Ясно, что энергия p₄₀ =

m² + |p₄|² может быть

19.

A. Gasparian, D. Dutta, H. Gao, and M. Khandaker,

вычислена из системы (П.5).

Jefferson Laboratory Experiment E12-11-106 (2011).

Теперь выразим через энергию, азимутальный и

полярный углы фотона все радиационные инвари-

20.

A. Gasparian, H. Gao, D. Dutta, N. Liyanage,

анты [28]:

E. Pasyuk, D. W. Higinbotham, C. Peng, K. Gnanvo,

I. Akushevich, A. Ahmidouch, C. Ayerbe, X. Bai,

z₁ = 2p₀p₁₀ - 2|p||p₁|cos θ_p,

(П.6)

H. Bhatt, D. Bhetuwal, J. Brock, V. Burkert, et al.,

v₁ = 2p₀p₂₀ + 2|p||p₂|cos θ_p,

arXiv: 2009.10510v1 [nucl-ex].

z = 2p₀p₃₀ + 2|p||p₃|A,

21.

I. Akushevich, H. Gao, A. Ilyichev, and M. Meziane,

Eur. Phys. J. A 51, 1 (2015).

v = 2p₀(√s - p30) - 2|p||p3|A.

22.

W. Xiong, A. Gasparian, H. Gao, D. Dutta,

Заметим, что во всех формулах различаются p₀

M. Khandaker, N. Liyanage, E. Pasyuk, C. Peng,

и |p|: в них удерживается масса фотона λ (т. е.

X. Bai, L. Ye, K. Gnanvo, C. Gu, M. Levillain, X. Yan,

p²⁰ - |p|² = λ² → 0), которая в дальнейшем будет

D. W. Higinbotham, M. Meziane, et al., Nature 575,

использована как инфинитезимальный параметр

147 (2019).

для регуляризации инфракрасной расходимости.

23.

S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, and S. I. Eidelman,

Phys. Part. Nucl. Lett. 16, 514 (2019).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

24.

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

1. Chr. Møller, Ann. Phys. 406, 531 (1932).

Phys. 34, 687 (1986).

2. D. Yu. Bardin and N. M. Shumeiko, Nucl. Phys. B

127, 242 (1977).

25.

F. Bloch and A. Nordsieck, Phys. Rev. 52, 54 (1937).

3. N. M. Shumeiko and J. G. Suarez, J. Phys. G 26, 113

26.

L. W. Mo and Y. S. Tsai, Rev. Mod. Phys. 41, 205

(2000).

(1969).

4. A. N. Ilyichev and V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 72,

27.

G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 153, 365

033018 (2005); hep-ph/0504191.

(1979).

5. A. Afanasiev, Eu. Chudakov, A. Ilyichev, and

V. Zykunov, Comput. Phys. Commun. 176, 218

28.

В. А. Зыкунов, ЯФ 78, 489 (2015) [Phys. At. Nucl.

(2007); JLAB-PHY-06-456, hep-ph/0603027.

78, 453 (2015)].

6. P. L. Anthony et al. (SLAC E158 Collab.), Phys. Rev.

29.

Е. Бюклинг, К. Каянти, Кинематика элементар-

Lett. 95, 081601 (2005); hep-ex/0504049.

ных частиц (Мир, Москва, 1975).

7. J. Erler and M. J. Ramsey-Musolf, Phys. Rev. D 72,

30.

R. H. Dalitz, Phil. Mag. 44, 1068 (1953).

073003 (2005); hep-ph/0409169.

31.

G. F. Chew and F. E. Low, Phys. Rev. 113, 1640

8. MOLLER Collab. (J. Benesch et al.); arXiv:

(1959).

1411.4088 [nucl-ex].

9. A. Czarnecki and W. J. Marciano, Phys. Rev. D 53,

32.

P. G. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

1066 (1996).

33.

В. А. Зыкунов, ЯФ 80, 388 (2017) [Phys. At. Nucl.

10. Frank J. Petriello, Phys. Rev. D 67, 033006 (2003);

80, 699 (2017)].

hep-ph/0210259.

34.

В. А. Зыкунов, Пертурбативные расчеты в

11. В. А. Зыкунов, ЯФ 67, 1366 (2004) [Phys. At. Nucl.

физике высоких энергий (ГГУ им. Ф. Скорины,

67, 1342 (2004)].

Гомель, 2020).

12. A. Aleksejevs, S. Barkanova, A. Ilyichev, and

35.

MINAMI-TATEYA Group Collab. (T. Ishikawa et

V. Zykunov, Phys. Rev. D 82, 093013 (2010); arXiv:

1008.3355 [hep-ph].

al.), KEK-92-19.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№5

2021