ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 6, с. 535-552

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

С КОМПЛЕКСНЫМИ МАССАМИ

Поступила в редакцию 9.12.2020 г.; после доработки 22.01.2021 г.; принята к публикации 22.01.2021 г.

Описан новый метод расчета вклада в сечение четырехфермионного процесса диаграмм двухбозонного

обмена (боксов) с одной и двумя комплексными массами бозонов. Сделан подробный численный

анализ полученных результатов и их сверка с асимптотическими выражениями для областей энергий

ниже и выше Z-резонанса.

DOI: 10.31857/S0044002721050160

1. ВВЕДЕНИЕ

108. Принципиальной трудностью является также

то, что предлагаемое представление приводит к

Нетривиальная задача расчета вклада диаграмм

неточностям при расчете в некоторых проблем-

двухбозонного обмена (ДО) возникла как часть

ных кинематических областях из-за возникающих

задачи учета однопетлевых электромагнитных ра-

численных “псевдонеопределенностей” вида ∞ -

диационных поправок в экспериментах физики вы-

- ∞,^∞∞,⁰⁰, либо их более сложной комбинации.

соких энергий. На первом этапе эта задача в ос-

Определенные успехи в упрощении были достигну-

новном решалась аналитически. Одним из пер-

ты, например, в работе [4] (там результат состоит

вых методически последовательных аналитических

из “всего 16 функций Спенса”) и в работе [5],

расчетов ДО для случая двух фотонов была работа

где получены простые аналитические выражения

Дж. Кахане (J. Kahane) [1]. Ключом для упроще-

для нейтральных s-канальных боксов, но только в

ния вычислений в [1] стала догадка скомбиниро-

области m2f ≪ s ≤ 2Rem2a.

вать инфракрасно-расходящиеся 3- и 4-точечные

функции в инфракрасно-конечное выражение. Хо-

По прошествии времени, с развитием компью-

тя это выражение более сложно по форме в сравне-

терных технологий, появилось большое число про-

нии с простым скалярным 4-точечным интегралом

граммных комплексов, позволяющих эффектив-

(из-за наличия в числителе комбинации, квадра-

но рассчитывать диаграммы не только в одно-

тичной по 4-импульсу переменной интегрирова-

петлевом приближении (например, коды FF [6],

ния), однако рассчитывается проще, так как из-за

LoopTools [7]), но и в высших порядках (в насто-

инфракрасной конечности учет инфинитезималь-

ящий момент до четырехпетлевого уровня). По-

скольку стандартным приемом остается объеди-

ной массы фотона λ в нем не требуется.

нение знаменателей с помощью приема Фейнма-

Далее, Г. ’т Хоофтом и М. Велтманом в работе

на (так называемый Feynman’s trick [8], см. ни-

[2] был предложен общий метод аналитического

же), то усилия в основном были сосредоточе-

расчета скалярных многоточечных интегралов. Для

ны на эффективном интегрировании по фейнма-

3-точечных функций метод приводит к выражению,

новским параметрам. Среди разработанных с тех

состоящему из не более чем 12 дилогарифмов (или

пор программ-интеграторов необходимо упомянуть

функций Спенса [3], см. Приложение А). Если для

программу 1978 г. VEGAS [9] (автор — П. Лепаж

3-точечных функций метод [2] хорошо работает

[P. Lepage]). Этот код задал высочайший уро-

при произвольных массах и значениях энергии,

вень качества подобных программ и до сих пор

то для 4-точечных функций в случае комплекс-

весьма продуктивно используется. Из популярных

ных масс (характерных для s-канальных амплитуд)

в настоящее время интеграторов следует назвать

сложность выражения существенно увеличивает-

библиотеку программ Cuba [10] (автор — Т. Хан

ся, например, количество слагаемых возрастает до

[T. Hahn]). В нее, кроме кода VEGAS, входят также

алгоритмы Cuhre, Divonne и Suave. Библиотека

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

Cuba лежит в основе ряда современных программ

Россия.

многопетлевых вычислений, стоит упомятуть такие

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

ны, Гомель, Беларусь.

эффективные пакеты как, например, FIESTA [11] и

^*E-mail: zykunov@cern.ch

SECDEC [12].

535

536

ЗЫКУНОВ

p₁

p₃

Не стояли на месте и аналитические методы

расчета многопетлевых диаграмм. Так, давно хоро-

шо изученными функциями, наряду с упоминаемы-

c(q)

ми дилогарифмами, стали так называемые кратные

полилогарифмы (multiple polylogarithms) [13], с по-

мощью которых выражаются результаты для неко-

торых классов многопетлевых диаграмм (напри-

-p₂

-p₄

мер, для вычисления боксов пакетами XLOOPS-

GiNaC [14]). Активно идет работа по изучению

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма процесса qq →

→ l^-l⁺ вборновскомприближении.Волнистойлинией

эллиптических полилогарифмов [15], которые по-

обозначены фотон или Z-бозон.

могают в ряде случаев при расчете тех высших

диаграмм, которые не выражаются через кратные

полилогарифмы.

Фейнмановская диаграмма, соответствующая

В настоящей работе будет показано, как точно и

процессу (1) в борновском приближении, при-

быстро рассчитать вклад ДО в канале нейтрально-

ведена на рис.

1. Обозначения на диаграмме

го тока с комплексными массами без сложностей,

следующие:

связанных с представлением через комплексно-

значные дилогарифмы и применением продвинутых

• p₁ —4-импульс первого кварка с ароматом

адаптивных техник интегрирования. Другими сло-

q и массой m_q;

вами, полученный аналитический результат прост,

удобен для программирования, анализа и примене-

• p₂ —4-импульс второго антикварка (с тем

ния для конкретной интерпретации в физическом

же ароматом и массой);

эксперименте (это будет проиллюстрировано на

примере реакции Дрелла-Яна на эксперименте

• p₃ —4-импульс конечного лептона l^- с аро-

CMS LHC). План работы следующий: в разд. 2

матом l и массой m_l;

дано общее описание четырехфермионного процес-

са, в разд. 3 приведены выражения для сечения

• p₄ —4-импульс конечного антилептона l⁺ (с

процесса с ДО, в разд. 4 с использованием но-

тем же ароматом и массой);

вой техники проделан расчет 4-точечных функций:

для γZ-бокса (разд. 4.1), для ZZ- и W W -боксов

• q = p1 +p₂ = p3 +p4 — 4-импульс c-бозона

(разд. 4.2). Численный анализ проведен в разд. 5.

с массой m_c.

Технические детали вынесены в Приложения, в

частности, в Приложении Г приведен упрощенный

Промежуточные бозоны везде в работе будут обо-

вариант формул, пригодных для расчета ДО с

значаться малыми латинскими буквами: a, b, c, ... =

комплексными массами в произвольной кинемати-

= γ,Z,W.

ческой области.

Приведем стандартный набор лоренц-инвари-

антных переменных Мандельштама:

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

s = q² = (p₁ + p₂)², t = (p₁ - p₃)²,

(2)

В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

u = (p₂ - p₃)²,

Дадим общее описание четырехфермионного

которые сформированы из 4-импульсов частиц.

процесса с продольной поляризацией началь-

В работе применяется ультрарелятивистское при-

ных частиц. Для определенности рассмотрим в

ближение (УРП):

начальном состоянии кварки, а в конечном —

лептоны (пользуясь элементарными заменами,

s,|t|,|u| ≫ m2f.

(3)

можно использовать все полученные формулы для

произвольной фермионной конфигурации):

Также будем пользоваться общим фермионным

индексом f = q, l.

q(p₁) + q(p₂) → c(q) → l^-(p₃) + l⁺(p₄).

(1)

Для расчета dσ⁰ — дифференциального сечения

Поляризацию полезно удержать в расчете, так

процесса (1), изображенного на рис. 1, — применя-

как в планируемых экспериментах на будущем

ется стандартная техника. Прежде всего, сформи-

электрон-позитронном коллайдере, описание ко-

руем амплитуды, используя правила Фейнмана из

торых входит в круг задач, которые возможно ре-

[5], и кратко опишем их. Входящему фермиону с 4-

шить предлагаемым в этой работе методом, наме-

импульсом p соответствует биспинорная амплитуда

чается поляризовать по крайней мере электрон.

u(p), выходящему — биспинорная амплитуда u(p).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

537

Пропагатору бозона (в калибровке Фейнмана) от-

Амплитуда процесса (1) выглядит так:

вечает выражение -ig^αβ D_a(q), где

Mc0 = ie²D_c(q) · u(-p₂)γ_μΓ^cu(p₁) ×

(11)

D_a(q) =

(4)

× u(p₃)γ^μΓ^cu(-p₄).

q² - m2a

Сечение формируется по общему правилу

а q —4-импульс передачи в пропагаторе. Исполь-

зуется общее правило так называемых комплекс-

dσ =

|M|²dΦ₂,

(12)

ных масс

8π²s

m2a → m2a - iϵ_a.

(5)

где M — амплитуда процесса, а фазовый объем

реакции имеет вид

Фотонная масса m_γ ≡ λ равна нулю везде, кроме

специально отмеченных случаев, где она исполь-

dΦ₂ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄) ×

(13)

зуется как инфинитезимальный параметр, который

d³p₃ d³p₄

регуляризует инфракрасную расходимость. Масса

≈

dt.

Z-бозона обозначена как m_Z , величина Γ_Z — это

2p₃₀ 2p₄₀

его ширина. Мнимая часть знаменателя пропага-

Квадрируя суммарную амплитуду для обмена

тора в случае фотона ϵ_γ → 0 служит для обхода

фотоном и Z-бозоном, получим борновское сече-

полюса. В случае массивного Z-бозона могут быть

ние в виде

использованы разные схемы для корректного учета

∑

ширины. В настоящей работе используется схема с

πα²

dσ⁰ =

Π^acR^aacq · dt.

(14)

фиксированной шириной, для которой величина ϵ_Z

s²

a,c=γ,Z

выглядит следующим образом:

ϵ_Z = m_ZΓ_Z.

(6)

Функция R_q получается из расчета произведения

следов матриц:

Фермионный (электронный) пропагатор выгля-

[

]

дит так (тут p — 4-импульс передачи, также везде

R^abcq = Sp γ_μΓ^aqU₁Γcq+γνU2

(15)

используется сокращенная запись p = γ^μp_μ):

[

]

p+m

× Sp γ_μΓ^blU₄Γcl+γνU3

iS(p) = i

(7)

p² - m²

где U1,2 — матрицы плотности, U3,4 — проекцион-

Вершине взаимодействия фермиона f с калибро-

ные операторы:

вочным бозоном a соответствует выражение

U₁ = u(p₁)u(p₁), U₂ = u(-p₂)u(-p₂),

ieγ_μΓ^af, где Γ^af = v^af - a^afγ₅.

(8)

∑

U₃ =

u(p₃)u(p₃), U₄ =

u(-p₄)u(-p₄).

Векторные и аксиально-векторные константы свя-

зи фермиона аромата f с фотоном и Z-бозоном:

Пропагаторы бозонов образуют комбинации:

Π^ac = D_a(q)D^∗c(q).

v^γf = -Q_f, a^γf = 0,

Используем коммутационные свойства гамма-

I3f - 2Q_f s^2W

I3f

матриц и подберем удобную сокращенную форму

v^Zf =

a^Zf =

;

2s_Wc_W

записи констант связи и степеней продольной по-

ляризации начальных частиц (λ₁ и λ₂):

константы связи фермионов с W -бозоном:

R^abcq = T^abcq + U^abcq

(16)

v^Wf = a^Wf =

√

2s_W

где функции T_q и U_q выглядят так:

(

)

Используются следующие параметры Стандарт-

T^abcq = 2t²

[1 - λ₁λ₂]f^abcq- + [λ₁ - λ₂]g^abcq-

(17)

ной модели (СМ): Q_f — электрический заряд f-

(

)

частицы в единицах протонного заряда e, третья

U^abcq = 2u²

[1 - λ₁λ₂]fabcq+ - [λ₁ - λ₂]gabcq+

компонента слабого изоспина для конкретного ти-

а комбинации констант связи и степеней поляриза-

па фермиона:

ций имеют вид

I3ν = +

I3e = -

I3u = +

I3d = -

(9)

f^abcq± = λacq+λbcl+ ± λ^acq-λ^bcl-,

а s_W (c_W) —синус (косинус) угла Вайнберга, ко-

g^abcq± = λacq+λ^bcl- ± λ^acq-λbcl+.

торые связаны с массами Z- и W -бозона согласно

Используются следующие обозначения для произ-

правилам СМ:

√

ведений констант связи:

m_W

c_W =

s_W =

1-c^2W.

(10)

m_Z

λabf+ = v^afv^bf + a^afa^bf , λ^abf- = v^afa^bf + a^afv^bf.

(18)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

538

ЗЫКУНОВ

3. ВКЛАД В СЕЧЕНИЕ ОТ ДИАГРАММ

где C_s = 4πα³D^∗c(q). Приведем выражения U1-4 в

ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

УРП:

Сечение вклада ДО (с обменом бозонами a и b)

Uabc1,4 = Γ^aΓ^bΓ^cU1,4 = (vabc0 - aabc0γ₅)U1,4,

(22)

имеет вид

∑

(

)

U₂ =

(1 - λ₂γ₅)p₂, U₃ = p₃.

dσ^ab

M^abD + M^ab

Mc0+.

(19)

2³πs²

c=γ,Z

Упрощая, получаем:

Произведения боксовских прямой (соответствует

Uabc1 =

(vabc1,q - aabc1,qγ₅)p₁,

(23)

рис. 2а) и перекрестной (соответствует рис. 2б)

амплитуд с борновской выглядят так:

∫

Uabc4 = (vabc0,l - aabc0,lγ₅)p₄,

M^abDMc0+

= +C_s

D_a(k) ×

(20)

vabc1,f = vabc0,f - λ₁aabc0,f,

iπ²

vabc0,f = v^afv^bf v^cf + v^afa^bfa^cf + a^afv^bfa^cf + a^afa^bf v^cf,

× D_b(q - k)

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₃k)

[

]

aabc1,f = aabc0,f - λ₁vabc0,f,

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abc

γ_νU₂

aabc0,f = a^afa^bf a^cf + a^afv^bfv^cf + v^afa^bf v^cf + v^afv^bfa^cf .

[

]

× Sp γ^μ(p₃ - k)γ^β Uabc4γ^νU3 ,

Как выяснится ниже, в сечение ДО константы

∫

связи входят только в двух комбинациях:

M^abCMc0+

= -C_s

D_a(k) ×

(21)

(

)

iπ²

Cabc3 =

vabc1,q + λ₂aabc1,q

vabc0,l,

(24)

(

)

× D_b(q - k)

Cabc4 =

aabc1,q + λ₂vabc1,q

aabc0,l.

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₄k)

[

]

× Sp γ_β(p₁ - k)γ_μU^abc

γ_νU₂

Как видно из (20), нужно уметь рассчитывать

[

]

четырехточечные скалярный, векторный и тензор-

× Sp γ^β(p₄ - k)γ^μUabc4γ^νU3 ,

ный интегралы, для прямого бокса они имеют вид

∫

1, k_α, k_αk_β

Iab0,α,αβ =

(

)(

(25)

iπ²

k² - m2a

(k - q)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

[

Векторный и тензорный интегралы для прямого

+ 4Cabc4 (a₁ + a₂ - I₀)t(u² - t²) +

бокса представляются в виде

+ 2b₀(u² - 4t²) +

I^abα = a₁p1α + a₂p3α + a₃q_α,

(26)

]

+ 2(a₃ - b₃ - b₅ - b₆)st² + b₄t(2t² - u²) .

I^abαβ = b₀g_αβ + b₁p1αp1β + b₂p3αp3β +

(27)

+ b₃q_αq_β + b₄(p1αp3β + p3αp1β) +

Во всех коэффициентах I₀, a1,..., b0,... подразумева-

+ b₅(p1αq_β + q_αp1β) + b₆(p3αq_β + q_αp3β).

ются верхние индексы ab, как в левой части урав-

нений (26), (27). Аналогично, произведение следов

Выражения для перекрестного бокса получаются

для перекрестного бокса (21) такое:

из формул (25), (26), (27) заменой p₃ → p₄.

[

]

[

]

Подставляя выражения (26), (27) в (20), полу-



-Sp

→

(29)

чим для произведения следов гамма-матриц:

[

]

[

]



→ 4C^abc

-(a₁ + a₂ - I₀)u(u² + t²) -

+Sp

→

(28)

[

- 2b₀(4u² + t²) +

→ 4Cabc3 (a₁ + a₂ - I₀)t(t² + u²) +

]

+ 2(a₃ - b₃ - b₅ - b₆)su² + b₄u(2u² + t²) +

+ 2b₀(4t² + u²) -

]

[

− 2(a₃ - b₃ - b₅ - b₆)st² - b₄t(2t² + u²) +

+ 4Cabc4 (a₁ + a₂ - I₀)u(t² - u²) +

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

539

p₁

p₃

p₁

p₃

a(k)

p₁ - k

- k

p₁ - k

k - p₄

b(q - k)

−p₂

-p₄

-p₂

−p₄

Рис. 2. Диаграммы двухбозонных вкладов в процесс qq → l^-l⁺. Волнистой линией обозначен фотон, Z-бозон или

W -бозон.

+ 2b₀(t² - 4u²) +

E = A · xyz + B · xyz + C · yz + D · z.

]

+ 2(a₃ - b₃ - b₅ - b₆)su² + b₄u(2u² - t²) .

Пользуясь (31), преобразуем подынтегральное

выражение 4-точечных функций I^ab. Существу-

Отметим, что коэффициенты I₀, a1,..., b0,... для пря-

ет 4! = 24 способа выбрать последовательность

мых и перекрестных боксов разные, связь между

множителей в знаменателе. Оказывается, только

ними объяснена выше.

3! из них (если D = k² - m2a) дают возможность

Сведение (редукция) четырехточечных вектор-

факторизовать результат в целях его дальнейшего

ных и тензорных интегралов к скалярным (так

упрощения в случае a = γ. Выбирая один из таких

называемое векторное и тензорное инте-

вариантов:

грирование) обычно осуществляется методом

A = (k - q)² - m2b, B = k² - 2p₃k,

(32)

Вельтмана-Пассарино

[16], это довольно тру-

доемкая процедура. В настоящей работе будет

C = k² - 2p₁k, D = k² - m2a,

предложен другой, как полагает автор, более

простой путь.

получим для произвольного случая:

E = k² - 2Pk + Δ,

4. РАСЧЕТ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНЫХ

P = (y· p₁ + xy · p₃ + xy · q)z,

ФУНКЦИЙ

Δ = -m2a · z+ (q² - m2b) · xyz.

Для начала рассмотрим прямой бокс. Приведем

Для дальнейшего нам понадобится квадрат 4-

формулы, позволяющие объединить произведение

вектора P:

в знаменателе 4-точечного интеграла [8],

P² = A · z²,

(33)

∫

(30)

где коэффициент A не зависит от индексов бокса ab

(Ax + Bx)²

при условии такого же порядка выбора последова-

тельности A, B, C, D (заметим, что A > 0 во всей

∫

области интегрирования):

2xdx

A²B

(Ax + Bx)³

A=m2q

· y(1 - xy) +

(34)

+ m2l · xy(1 - xy) - t · xyy+ s · xy.

∫

3x²dx

A³B

(Ax + Bx)⁴

4.1. Расчет γZ-бокса

Параметр Фейнмана с чертой традиционно означа-

Приступаем к расчету 4-точечной функции IγZ0

ет:

(случай Zγ отдельно не рассматривается в силу

x = 1 - x,

y=1-y,

z=1-z.

очевидной симметрии результата: Zγ = γZ). По

Последовательно применяя формулы (30), получим

причине инфракрасной расходимости IγZ0 нельзя

занулить массу фотона в общем выражении. Для

∫

∫1

начала поступим в духе работы [1] — скомбиниру-

yz²

= 3! dx dy

(31)

ем 3- и 4-точечные функции, чтобы аналитически

ABCD

E⁴

выделить инфракрасную расходимость (ИКР), для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

540

ЗЫКУНОВ

этого введем 4-точечный инфракрасно-конечный

функциям. Итак, зная YγZ0 (40), Hγ0 (П.2) и FZ0

интеграл:

(П.8), получим IγZ0 :

(

)

Y γZ0 = (q² - m2Z)IγZ0 - Hγ0 + FZ0 .

(35)

IγZ0 =

YγZ0 +Hγ0 -F

(41)

q² - m²

3-точечные функции Hγ0 и FZ0 определяются и

рассчитываются в Приложении А. Интеграл YγZ0

Займемся векторным интегралом

(26), он

после приведения к общему знаменателю подынте-

инфракрасно-конечен, так что перекомбинаций

грального выражения приобретает вид

делать не нужно. Объединим знаменатели и

YγZ0 =

(36)

проинтегрируем по формуле (37):

∫

2kq

∫

(

)(

P_α

iπ² k²

(k - q)² - m2Z

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

I^γZα = dx ydy z²dz

(42)

(P² - Δ)²

Объединяем знаменатели по формулам (32), за-

тем снимаем интеграл по k, пользуясь известными

Интегрируя по z и сравнивая коэффициенты при

выражениями:

одинаковых 4-векторах с выражением (26), полу-

∫

чим

1; k_α; k_αk_β

(37)

∫

iπ² [k² - 2Pk + Δ]⁴

a₁ =

dx yyY_S dy,

(43)

1; P_α; P_αP_β - g_αβ (P² - Δ)/2

(P² - Δ)²

∫

тогда

a₂ =

xdx y²Y_S dy,

∫1

∫

2Pq

Y γZ0 = dx ydy z²dz

(38)

∫

(P² - Δ)²

a₃ = xdx y²Y_Sdy.

Упрощая, получим 2Pq = q²(1 + xy)z. Далее, с

учетом (5) и после сокращения в дроби z² получаем

Теперь вычислим тензорный интеграл (27), он

∫

также инфракрасно-конечен. Объединяем знаме-

YγZ0 =q²

dx y(1 + xy)dy ×

(39)

натели и интегрируем по формуле (37):

∫

∫1

zdz

I^γZαβ = dx ydy ×

(44)

(Az + B - iC)²

∫

P_αP_β - g_αβ(P² - Δ)/2

где

× z²dz

(P² - Δ)²

B = (m2Z - q²)xy, C = ϵ_Zxy.

Теперь нетрудно снять аналитически интеграл по z

Снова интегрируем по z и сравниваем коэффици-

(все нужные интегралы подобного типа приведены

енты при одинаковых тензорах с выражением (27),

в Приложении Б):

в результате получаем

∫

YγZ0 =q²

dx y(1 + xy)Y_S dy.

(40)

b₀ = -

dx yY_Ady.

(45)

Коэффициенты b₁ и b₂ не входят в ультрареля-

В полученном виде (40) интеграл Y γZ0 не имеет

тивистское выражение для сечения, тем не менее

особенностей и областей, сложных с точки зре-

приведем их:

ния возможной потери точности. Другими сло-

вами, представляется возможность интегрировать

∫

Y γZ0 численно, не затрачивая усилий на сведение

b₁ = dx yy²Y_Bdy,

(46)

результата к дилогарифмам и трансцендентным

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

541

A_Σ

Σ₀₀, пбн⁰

0.8

10⁴

10³

0.6

10²

0.4

10¹

10⁰

0.2

10^-1

-2

100

500

1000

100

500

1000

s, ГэВ

Рис. 3. Борновские полное сечение и поляризационная интегральная асимметрия в зависимости от энергии.

∫1

∫

стью A = k² - m2Z , B = (k - q)² - m2Z , C = k² -

b₂ =

x²dx y³Y_Bdy.

- 2p₃k, D = k² - 2p₁k, получим

P = z· p₁ + yz · p₃ + xyz · q,

Наконец, остальные тензорные коэффициенты

Δ = (q² · x - m2Z)yz.

имеют вид

В случае бозонов с массами, значительно превы-

∫1

∫

шающими фермионные, достаточно получить уль-

b₃ = x²dx y³Y_Bdy,

(47)

трарелятивисткий результат. Пренебрежем фер-

мионными массами, тогда выражения в подын-

тегральной функции 4-точечных интегралов I^ZZ

∫1

∫

выглядят снова P² - Δ = z(Az + B - iC) (мы ис-

b₄ =

xdx y² yY_Bdy,

пользуем то же обозначение коэффициентов, что

и в предыдущем разделе, но сами коэффициенты

другие):

∫1

∫

b₅ = xdx y²yY_Bdy,

A = t · y- s · xxy²,

(48)

B = -t · y+ m2Z · y, C = ϵ_Z · y.

∫1

∫

Приведем выражения, требующиеся для вычис-

b₆ = xxdx y³Y_Bdy.

ления сечения (28): скалярный интеграл

∫

Выражения Y_A,B приведены в Приложении Б.

IZZ0 = dx yY_Pdy,

(49)

Мы получили выражения для скалярных, век-

торных и тензорных коэффициентов для случая

векторные коэффициенты

прямого γZ-бокса. Нетрудно сообразить, что

∫

непосредственной заменой p₃ → p₄ из них получа-

ются выражения для коэффициентов перекрестно-

a₁ = dx y(Y_P - Y_S)dy,

(50)

го γZ-бокса (такая замена означает перестановку

t ↔ u).

∫

a₂ =

dx yyY_S dy,

4.2. Расчет ZZ- и W W -боксов

∫

Для расчета вклада диаграмм с двумя массив-

ными бозонами применяем технику, использован-

a₃ =

xdx y²Y_S dy

ную выше. Выбирая вариант с последовательно-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

545

γZ

δ₊

δ_ZZ

0.04

0.001

0.02

-0.001

-0.002

-0.02

exact

-0.003

−0.04

-0.004

-0.06

100

500 1000

100

500 1000

s, ГэВ

δ_WW

0.05

-0.05

-0.10

-0.15

exact

-0.20

-0.25

100

500 1000

s, ГэВ

Рис. 7. Относительные поправки к полному сечению γZ-, ZZ-, WW-боксов в зависимости от энергии.

∫1

∫

будет означать степени поляризации), где c = cos θ,

b₅ =

xdx y²(Y_S - Y_B)dy,

θ —угол рассеяния мюона в с.ц.м. начальных ча-

стиц, а индекс C означает происхождение вкла-

да. Вторая наблюдаемая — полное сечение (см.

∫1

рис. 3а):

b₆ =

xdx y² yY_Bdy.

∫

dσC00

ΣC00 =

· dc,

(53)

Выражения Y_A,B,S,P приведены в Приложении Б.

−1

Выражения для W W -боксов можно получить

из формул для ZZ-случая заменой индекса Z → W

третья наблюдаемая величина — поляризационная

в константах связи и пропагаторах, кроме этого,

интегральная асимметрия (см. рис. 3б):

требуется “выключить” прямой бокс, запрещенный

законом сохранения электрического заряда.

Σ^CL - Σ^CR

ACLRΣ =

(54)

Σ^CL + Σ^CR

5. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ

сформированная из аналогичных (53) сечений

Для иллюстрации работы метода была выбрана

реакция uu → μ^-μ⁺ с продольно поляризованны-

∫

ми кварками. Электрослабые параметры и мас-

dσ^C

dσCR0

Σ^CL =

· dc, Σ^CR =

· dc.

сы частиц взяты из [17] (масса u-кварка: m_u =

= 0.06983 ГэВ [18]), масса фотона: λ = 10-7 ГэВ.

−1

-1

Рассмотрены три наблюдаемых величины. Пер-

Будут рассмотрены три относительных поправ-

с неполяри-

ки — к дифференциальному сечению без поляри-

зованными начальными частицами (нижний индекс зации и две поправки к комбинациям полного се-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

546

ЗЫКУНОВ

δ_-

γZ

δ_ƵZ

exact

0.005

exact

0.5

-0.005

-0.5

-0.010

-1.0

-0.015

100

500

1000

100

500 1000

s, ГэВ

δ_-

exact

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

100

500

1000

s, ГэВ

Рис. 8. Относительные поправки δ- для γZ-, ZZ-, WW-боксов в зависимости от энергии.

чения:

относительных поправок она не превышает про-

милле в исследованной кинематической области.

dσC00

Σ^CL ± Σ^CR

δ^C =

δ^C± =

(55)

На рис. 4-6 приведены относительные поправ-

dσ⁰⁰⁰

Σ0L ± Σ⁰

ки к дифференциальному сечению для случаев C =

Последние две формируют поправку к поляризаци-

= γZ,ZZ,WW в зависимости от энергии и угла

онной интегральной асимметрии:

рассеяния, на рис. 7 и рис. 8 в таком же стиле

показаны поправки δ_±. Изображены три кривые:

ACLRΣ - A^0LRΣ

δ^C- - δC+

точный (exact) расчет по новой технологии этой

δ^CA =

(56)

A^0LRΣ

1+δ^C

работы, асимптотический расчет для LE-режима

и асимптотический расчет для HE-режима. Все

Будем пользоваться следующими сокраще-

асимптотические формулы для LE- и HE-режимов

ниями:

приведены в Приложении В. Видно превосходное

согласие точных и асимптотических результатов и

1. LE-режим (от “low energies”, низкие энер-

нетривиальное поведение точного результата в RE-

гии): m_f ≪

√s ≪ m_W ,

режиме: в областях

√s ∼ m_Z,W и√s ∼ 2m_Z,W . В

HE-режиме хорошо видны известные закономер-

2. RE-режим (от

“resonanсe”, Z-резонанс):

ности поведения [19]: сечение W W -бокса пропор-

√s ∼ m_Z,

ционально второй степени судаковского логарифма

(СЛ), сечения γZ- и ZZ-боксов пропорциональны

3. HE-режим (от

“high energies”, высокие

первой степени СЛ (из-за сокращения прямых и

энергии):

√s ≫ m_Z.

перекрестных вкладов), в точке θ = 90^◦ (где t = u)

нейтральные боксы не зависят от СЛ.

Анализ показал, что мнимая часть от всех интегра-

Отдельное исследование по сверке боксов для

лов заметна только в RE-режиме, но и там для всех HE-режима с результатами групп SANC [20] и

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

547

δ_M

0.1

0.01

-0.1

-0.2

−0.01

-0.3

γγ + γZ

-0.02

-0.4

−0.03

-0.5

100

120

140

160

180

200

500

1000

2000

5000

M, ГэВ

δ_M

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 9. Относительные поправки δM к дифференциальномусечению процесса Дрелла-Яна в зависимости от инвариант-

ной массы димюона: а — вклады боксов в LE- и RE-режимах, б — вклады боксов в HE-режиме, в — полная ЭСП.

ZGRAD [21] было проделано в [19], как видно

ния эксперимента CMS (в частности, для рис. 10

из приведенных здесь результатов, согласие с ре-

применялось ограничение на быстроту димюона

зультатами этих групп распространяется и на RE-

|y| < 2.5). Сравнивая оценки READY с результа-

режим. На рис. 9 показаны относительные поправ-

тами аналогичных расчетов, проведенных други-

ки

ми группами, приведенных в работе [23], можно

убедиться в хорошем согласии во всех изученных

dσCDY/dM

δ^CM =

областях.

dσ^0DY/dM

к дифференциальному сечению процесса Дрелла-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Яна в зависимости от инвариантной массы димю-

В работе описана новая техника расчета вклада

она M: а — вклады боксов в LE- и RE-режимах,

в сечение процесса с произвольными поляризован-

б —боксы в HE-режиме, в —полная электросла-

ными фермионами диаграмм двухбозонного обмена

бая поправка (ЭСП). Наконец, на рис. 10 приве-

как части ЭСП. Проведена успешная сверка по-

дены асимметрия вперед-назад A_FB в борновском

лученных результатов с асимптотическими выра-

приближении, A_FB с учетом ЭСП и их разница

жениями для энергий ниже и выше Z-резонанса.

для процесса Дрелла-Яна в зависимости от ин-

Преимущества нового метода:

вариантной массы димюона: а, в — в LE- и RE-

режимах, б, г — в HE-режиме. Расчет произве-

1. для вклада ДО получены простые аналити-

ден с помощью программы автора READY (вер-

ческие выражения без особенностей, поз-

сия 9.0). Были использованы партонные распре-

воляющие получить точную оценку, которая

деления [22], “bare” setup, стандартные ограниче-

надежно контролируется,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

548

ЗЫКУНОВ

A_FB

0.15

0.30

0.10

0.25

0.05

0.20

Born

NLO

0.15

−0.05

100

120

140

160

180

200

500

1000

2000

5000

M, ГэВ

NLO

A_FB

- A_FB

A_F

- A_F

0.020

-0.005

0.015

-0.010

0.010

-0.015

0.005

-0.020

−0.005

-0.025

−0.010

100

120

140

160

180

200

500

1000

2000

5000

M, ГэВ

Рис. 10. Асимметриявперед-назад в борновском приближениии с учетом ЭСП для процессаДрелла-Яна в зависимости

от инвариантной массы димюона: а — в LE- и RE-режимах, б — в HE-режиме. Разница между асимметрией вперед-

назад с учетом ЭСП и асимметрией вперед-назад в борновском приближении для процесса Дрелла-Яна в зависимости

от инвариантной массы димюона: в — в LE- и RE-режимах, г — в HE-режиме.

2. в явном виде представлены действительная и

которых присутствует дополнительный бозон (Z

^′,

мнимая части,

W^′, “тяжелый” фотон и т.д.).

3. в расчете не возникают ультрафиолетовые

Недостатком подхода является то, что по двум

расходимости, которые появляются при

фейнмановским параметрам x и y нужно безаль-

редукции Вельтмана-Пассарино [16] в 2-

тернативно интегрировать численно. Тем не ме-

точечных функциях,

нее, как показал численный анализ, полученные

выражения точно и быстро численно рассчиты-

4. может быть распространена на взаимодей-

ваются во всей доступной экспериментам обла-

ствие, отличное от стандартно-модельного

сти энергий и углов. Можно использовать любой

V -A типа: контактное (скалярное) взаимо-

алгоритм численного интегрирования (например,

действие, присутствие аномальных вершин,

метод прямоугольников или метод Симпсона). Вы-

Z^′-бозона, W^′-бозона и другое.

бор тем не менее был оставлен за Монте-Карло

техникой, поскольку она удобна для применения в

Указанные преимущества полезны в круге

конкретной обстановке физического эксперимента

физических задач, ограниченных одной петлей и s-

(в работе сделано приложение к расчету реакции

каналом: фермион-антифермионная аннигиляция

Дрелла-Яна на эксперименте CMS LHC). Итак,

(в том числе в канале с заряженным током),

используя Монте-Карло интегратор VEGAS [9],

процесс Дрелла-Яна, рождение одиночных W -

получаем относительную точность интегрирования

бозонов в протонных столкновениях, расчета

порядка 10-4 при затраченном времени ∼0.1 с

распадов мезонов и т.д. Вышесказанное относится

работы процессора с тактовой частотой 1.2 ГГц на

и к моделям Новой физики, например тем, в

одну кинематическую точку.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

549

Работа выполнена при поддержке Государ-

(

)(

ственной программы научных исследований Рес-

k² - m2Z

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

публики Беларусь

“Конвергенция-2020” (под-

Выбирая A = k² - m2Z , B = k² - 2p₁k, C = k² -

программа

“Микромир и Вселенная”). Автор

- 2p₃k, получим

признателен коллегам по группе RDMS CMS

и Ю.М. Быстрицкому за обсуждение. Числен-

∫

ный расчет относительных поправок к процессу

HZ0 = 2

dx ydy

(П.5)

Дрелла-Яна с помощью READY проведен на

iπ² E³

Гетерогенной платформе HybriLIT Лаборатории

E = (Ax + Bx)y + Cy.

информационных технологий ОИЯИ.

После преобразований получим

Приложение A

E = k² - 2Pk + Δ,

P = xy · p₁ + y· p₃, Δ = -m2Z · xy.

РАСЧЕТ 3-ТОЧЕЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Квадрат 4-вектора P положителен в любой точке

области интегрирования:

Скалярная 3-точечная функция H₀, встречаю-

щаяся в (35), определяется так:

P² = m2q · xy(1 - xy) +

(П.6)

Ha0 = Ha0 (p₁,p₃) =

(П.1)

+ m2l · y(1 - xy) - t · xyy.

∫

Снимая интеграл по известной формуле

(

)(

∫

iπ²

k² - m2a

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

1; k_α

(П.7)

iπ² [k² - 2Pk + Δ]³

Расчет интегралов такого типа нетрудно осуще-

ствить методом ’т Хоофта-Велтмана [2] (подроб-

1; P_α

ное вычисление можно найти, например, в [18]).

P² - Δ

Для случая a = γ в УРП получаем компактное

получим

выражение, симметричное относительно замены

∫

m_q ↔ m_l:

ydy

(

HZ0 = - dx

(П.8)

-t

E - iϵ_Z · xy

Hγ0 (p₁,p₃) =1

(П.2)

λ²

m_qm_l

)

E = P² + m2Z · xy.

-t

m_q

−

- ln²

π²

В результате получим компактные выражения

m2q

m2l

m_l

∫1

∫

E·y

Аналогичная формула для Hγ0 (p₁, p₄) получается

Re HZ0 = - dx

заменой t → u.

E² + ϵ2Z · x²y²

Скалярная 3-точечная функция F₀ из (35) опре-

∫

деляется так:

ϵ_Z · xy²

∫

Im HZ0

E² + ϵ2Z · x²y²

Fb0 =

(П.3)

iπ²

Для сравнения представим здесь аналитический

(

)(

результат, полученный методом [2] (подробный вы-

(k - q)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

вод приведен в [18]). В конечном счете (максималь-

Заменой k → k + q ее нетрудно привести к виду

но имеем шестикратную вложенность выражений)

(П.1) (так доказывается, что Fb0 = Hb0), затем рас-

он зависит от шести параметров

считать по технологии [2]. Результатом (для b =

a = m2q, b = m2q + m2l - 2p₁p₃,

= Z) будет нетривиальная комбинация 12 дилога-

рифмов. Покажем здесь, как методом, применен-

c = -2m2q + 2p₁p₃,

ным для 4-точечных интегралов, получить простые

d = -f = -m2Z + iϵ_Z, e = 0

формулы и в случае 3-точечной функции.

и представляется в виде комбинаций дилогариф-

Итак, после замены переменной интегрирования

мов:

интеграл выглядит так:

∫

∑

H^Z0

F(i)1,

(П.9)

HZ0 =

(П.4)

iπ²

i=1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

550

ЗЫКУНОВ

α_i

β_i

α_i

β_i

∫

F(i)

= Li₂

- Li₂

+ Li₂

- Li₂

zdz

y^-i

y+i

y⁺

Y_S =

(Az + B - iC)²

Дилогарифм — частный случай полилогариф-

ма — определяется при z ∈ C так:

∫

∫z

Y_P =

ln(1 - t)

(Az + B - iC)²

Li₂(z) = -

dt.

(П.10)

Приведем вычисленные выражения:

)

Расчет значений дилогарифма с необходимой точ-

1 (

ReY_A =

A+CG_A -BG_L ,

(П.13)

ностью проводят через разложение в ряд: Li₂(z) =

A²

∑_∞zk

)

1 (

. Чтобы аргумент z попал в область

k=1 k²

ImY_A =

BG_A +CG_L ,

сходимости, обычно сводят дилогарифм к какой-

A²

либо комбинации дилогарифма с другим аргумен-

1⁽

A+B⁾

ReY_B =

2ReY_A -

том и других функций, пользуясь одним из многих

имеющихся тождеств, например:

1⁽

C⁾

ImY_B =

2ImY_A -

⁽1⁾

Li₂(z) = -Li₂

ln²(-z) -

π². (П.11)

)

1 (

A(A + B)

ReY_S =

+G_L

В выражении (П.9) β = c + 2αb, а остальные

A²

)

коэффициенты такие:

1 (

ImY_S =

-G_A ,

α₁ = β₂ = 1 - α - y₀, α₂ = β₃ = -y₀,

A²

B(A + B) - C²

d + αe

ReY_P =

α₃ = β₁ = -α - y₀, y₀ = -

(B² + C²)D

(A + 2B)C

Выражение α выбирается двузначно, конечный ре-

ImY_P =

зультат от выбора знака не зависит:

(B² + C²)D

√

Используются следующие сокращения:

-c ∓

c² - 4ab

α=

D = (A + B)² + C², G_L =

(П.14)

B² + C²

Выражения y^±i являются корнями уравнения

A+B

A_iy² + B_iy + 1 = 0 с коэффициентами, зависящи-

G_A = arctg

- arctg

ми от K₀ и γ (K₀ = by²⁰ + ey₀ + f, γ = 2by₀ + e), так

что

В точке резонанса q² = m2Z получаем:

√

A₁K₀ = b,

A² + C²

B = 0, G_L = ln

G_A = - arctg

A₂K₀ = b +

A₃K₀ = b +

1-α

-α

Приложение В

B₁K₀ = γ + c + 2bα,

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

B₂K₀ = γ + y₀

B₃K₀ = γ + y₀

ДЛЯ LE- И HE-РЕЖИМОВ

1-α

-α

Чтобы получить LE-формулы для γZ-бокса,

Приложение Б

нужно воспользоваться общим выражением через

коэффициенты и занулить все, кроме b₀ и интеграла

H₀

из I₀ (это доказано, например, в [18], см. также

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

ссылки там). Для b₀ (прямого бокса) используем

В расчете встретились следующие интегралы:

асимптотическое выражение:

)

∫¹

⁽3

zdz

bγZ,LE0 = -

+ log

(П.15)

Y_A =

(П.12)

4m²

−t

Az + B - iC

Для ZZ-бокса важен только тензорный коэффи-

∫1

циент b₀:

z²dz

Y_B =

(Az + B - iC)²

bZZ,LE0 = -

(П.16)

4m²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

РАСЧЕТ ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

551

Чтобы получить HE-формулы, воспользуем-

такая:

ся асимптотическими выражениями для прямых

dσ^BoxIR

2α³

боксов (они работают для всех случаев: ab =

Q_qQ_l ×

(П.24)

s²

= γγ,γZ,ZZ,WW):

∑

[

]

[

Π^acR^aac

tHγ,IR0(p₁,p₃) - (t ↔ u) ,

2C_s

M^abDMc0+ = +

Cabc3l2st(3t² + u²) + (П.17)

a,c=γ,Z

]

где

+ Cabc4l2st(u² - t²) + 2Cabc3+4l_stsu -

-t

tHγ,IR0(p₁,p₃) = ln^s

λ²

m_qm_l

- 2C_stΠab3 (q)H^abcss.

Для перекрестных боксов получим:

Приложение Г

[

2C_s

СВОДКА СОКРАЩЕННЫХ ФОРМУЛ

M^abCMc0+ = -

Cabc3l2su(t² + 3u²) + (П.18)

]

Дадим для справочных целей упрощенный вари-

ант формул для действительной части сечения ДО:

+ Cabc4l2su(u² - t²) + 2Cabc3-4l_sust

∫

+ 2C_suΠab4 (q)H^abcss.

dσ^ab

2α³

dx dyRe ×

(П.25)

s²

Здесь C^abci±j = C^abci ± C^abcj, также используются

∑

(

)

следующие сокращения:

D^∗c(q) Cabc3[KD3 + KC3] + Cabc4[KD4 + KC4] ,

[

]

H^abcss = 2

Cabc3(u² + t²) + Cabc4(u² - t²)

, (П.19)

c=γ,Z

|r₁|

где коэффициенты в сечении (их происхождение

lr1r₂ = ln

|r₂|

легко проследить по тексту статьи) выглядят так:

KD3 = CD0t(t² + u²) + 2BD0(4t² + u²) - (П.26)

Перед пропагаторными структурами факторизуют-

ся трехточечные функции:

- 2CD1 st² - BD4 t(2t² + u²),

Πab3,4(q) = Ha0(p₁,p3,4)D_b(q) +

(П.20)

KD4 = CD0t(u² - t²) + 2BD0(u² - 4t²) +

+ Hb0(p₁,p3,4)D_a(q).

+ 2CD1 st² + BD4 t(2t² - u²),

KC3 = -KD3|_t↔u, KC4 = +KD4|_t↔u.

Выпишем в явном виде ИКР-части γγ-бокса:

Формулы (П.25), (П.26) работают для всех слу-

M^γγDMc+0|^IR = -16πα³Q_qQ_l ×

(П.21)

чаев (γZ и ZZ), коэффициенты же C0,1 и B

0,4

× D_γ(q)D^∗c(q) · R^γγcq · tHγ0 (p₁,p₃),

разные, приведем их. Для прямого γZ-бокса C0,1 и

B0,4 выглядят так:

M^γγCMc+0|^IR = +16πα³Q_qQ_l ×

[

]

CD0 = y

1 - xy - (1 + xy) · sD_Z

Y_S -

× D_γ(q)D^∗c(q) · R^γγcq · uHγ0(p₁,p₄),

[

]

-D_Z Hγ0 +

где “борновское” R_q [см. формулу (15)] связано с

E² + ϵ2Zx2y2

комбинациями C3,4 соотношениями:

[

]

[

]

BD0 = -

yY_A, CD1 = xy²

Y_S + (1 - 2xy)Y_B

Q_qQ_lR^aacq = 2

Caγc3(u² + t²) + Caγc4(u² - t²)

(П.22)

BD4 = xy²yY_B.

ИКР-части γZ-бокса такие же по форме, как

Для прямого ZZ-бокса выражения C0,1 и B0,4

выражения (П.21):

такие:

M^γZDMc+0|^IR = -8πα³Q_qQ_l ×

(П.23)

CD0 = -y²Y_S, BD0 = -

yY_A,

[

]

× D_Z(q)D^∗c(q) · R^ZZcq · tHγ0(p₁,p₃),

CD1 = xxy³Y_B, BD4 = yy

Y_S - Y_B

M^γZCMc+0|^IR = +8πα³Q_qQ_l ×

Выражение Hγ0 определяется формулой (П.2), E —

формулой (П.8). Выражения Y_A,B,S приведены в

× D_Z(q)D^∗c(q) · R^ZZcq · uHγ0 (p₁,p₄).

Приложении Б. Они зависят от значений коэф-

Понятно, что IR-части Zγ-бокса дадут такой же

фициентов A, B, C, которые приведены в табл. 1

вклад и, следовательно, в сумме удвоение. В ре-

для различных конфигураций бозонов в прямой

зультате IR-часть сечения от боксовских диаграмм

диаграмме.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

552

ЗЫКУНОВ

Таблица 1. Коэффициенты A, B, C для различных конфигураций бозонов в прямом боксе

Случай

γZ

(m2q · y + m2l · xy)(1 - xy) - t · xyy + s · xy

(m2Z - s) · xy

ϵ_Z · xy

t · y- s · xxy²

-t · y + m2Z · y

ϵ_Z · y

t · y- s · xxy²

-t · y + m2W · y

ϵ_W · y

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

16.

G. Passarino and M. Veltman, Nucl. Phys. B 160, 151

(1979).

J. Kahane, Phys. Rev. B 135, 975 (1964).

G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 153, 365

17.

Particle Data Group (P. A. Zyla et al.), Prog. Theor.

(1979).

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

W. Spence, An Essay on the Theory of the Various

Orders of Logarithmic Transcendants (London,

18.

В. А. Зыкунов, Пертурбативные расчеты в

London and Edinburgh, 1809).

физике высоких энергий (ГГУ им. Ф. Скорины,

A. Denner, U. Nierste, and R. Scharf, Nucl. Phys. B

Гомель, 2020).

367, 637 (1991).

19.

V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 75, 073019 (2007); hep-

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

Phys. 34, 687 (1986).

ph/0509315.

G. J. van Oldenborgh and J. A. M. Vermaseren,

20.

A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko,

Z. Phys. C 46, 425 (1990).

P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, and W. von

T. Hahn and M. P ´erez-Victoria, Comput. Phys.

Schlippe, Comput. Phys. Commun. 174, 481 (2006);

Commun. 118, 153 (1999); hep-ph/9807565.

hep-ph/0411186.

R. P. Feynman, Phys. Rev. 76, 769 (1949).

P. G. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

21.

U. Baur, O. Brein, W. Hollik, C. Schappacher, and

10.

T. Hahn, Comput. Phys. Commun. 168, 78 (2005);

D. Wackeroth, Phys. Rev. D 65, 033007 (2002); hep-

hep-ph/0404043.

ph/0108274.

11.

A. V. Smirnov and M. N. Tentyukov, Comput. Phys.

22.

Jun Gao, Marco Guzzi, Joey Huston, Hung-Liang

Commun. 180, 735 (2009); arXiv: 0807.4129 [hep-

Lai, Zhao Li, Pavel Nadolsky, Jon Pumplin, Daniel

ph]

12.

S. Borowka, G. Heinrich, S. P. Jones, M. Kerner,

Stump, and C.-P. Yuan, Phys. Rev. D 89, 033009

J. Schlenk, and T. Zirke, Comput. Phys. Commun.

(2014); arXiv: 1302.6246[hep-ph].

196, 470 (2015); arXiv: 1502.06595v2 [hep-ph].

23.

C. Buttar, J. D’Hondt, M. Kr ¨amer, G. Salam,

13.

E. Remiddi and J. A. M. Vermaseren, Int. J. Mod.

M. Wobisch, N. E. Adam, V. Adler, A. Arbuzov,

Phys. A 15, 725 (2000); hep-ph/9905237.

D. Bardin, U. Baur, A. A. Bhatti, S. Bondarenko,

14.

C. Bauer and H. S. Do, Comput. Phys. Commun.

V. Buge, J. M. Butterworth, M. Cacciari,

144, 154 (2002); hep-ph/0102231.

M. Campanelli, et al., in Proceedings of the

15.

J. Broedel, C. Duhr, F. Dulat, B. Penante, and

Workshop on Physics at TeV Colliders (Les

L. Tancredi, JHEP

1905,

120

(2019);

arXiv:

1902.09971[hep-ph].

Houches, 2007), p. 121; arXiv: 0803.0678[hep-ph].

CALCULATION OF TWO-BOSON EXCHANGE WITH COMPLEX MASSES

V. A. Zykunov^1),2)

¹⁾JINR, Dubna, Moscow region, Russia

²⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

New technique for calculation of two-boson-exchange diagram (boxes) contribution to four-fermion cross

section with one and two complex masses is described. The detailed numerical analysis of results and

comparison with asymptotic estimations for energy regions below and above Z resonance is done.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021