ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 6, с. 462-481
ЯДРА
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗОТОПОВ ВОДОРОДА
© 2021 г. А. А. Галюзов1)*, М. В. Косов1)**
Поступила в редакцию 21.05.2021 г.; после доработки 21.05.2021 г.; принята к публикации 24.05.2021 г.
Дифференциальные сечения упругого рассеяния изотопов водорода используются при моделировании
установок, в которых инициируются реакции синтеза, и в астрофизических приложениях. На основе
теории прямых ядерных реакций в области низких энергий получены аппроксимации эксперимен-
тальных дифференциальных сечений упругого рассеяния изотопов водорода с учетом интерференции
амплитуд электромагнитного и сильного взаимодействия.
DOI: 10.31857/S0044002721060040
1. ВВЕДЕНИЕ
state interaction), где она уже неприменима, не
позволяет провести аппроксимацию с единым рас-
Моделируя упругое ион-ионное рассеяние при
пределением плотности нуклонов в ядре. В еще
низких энергиях, обычно предполагают, что из-за
большей мере ограничения применимости опти-
кулоновского барьера вклад ядерной амплитуды в
ческих моделей возникают для рассеяния мало-
сечение рассеяния мал по сравнению с вкладом
нуклонных систем, в которых трудно говорить об
электромагнитной амплитуды, поэтому ограничи-
оптическом потенциале взаимодействия. Помимо
ваются использованием формулы Резерфорда для
использования оптических моделей для описания
описания его углового распределения. Это спра-
дифференциальных сечений ядерных реакций ши-
ведливо для тяжелых ядер, но в случае рассея-
роко применяется метод фазового анализа [2, 3].
ния изотопов водорода при энергиях даже поряд-
Однако не удается найти плавную энергетическую
ка сотни кэВ дифференциальное сечение упругого
зависимость параметров фазового анализа, да и
рассеяния на большие углы отличается от резер-
формулы фазового анализа весьма громоздки, а
фордовского, поскольку сильное взаимодействие
иногда и неоднозначны. В данной работе в качестве
вносит заметный вклад в сечение, что существен-
теоретической основы для параметризации диффе-
но, например, в случае моделирования обратного
ренциальных сечений упругого рассеяния была вы-
пыления из мишени при ее облучении ускоренны-
брана теория прямых ядерных реакций (ТПЯР) [4,
ми ионами водорода. Для уточнения моделирова-
5], основанная на использовании релятивистски
ния процессов рассеяния в мишенях нейтронных
инвариантных мандельстамовских переменных [4,
генераторов необходимо было провести аппрок-
6], а также амплитуд и фаз соответствующих им
симацию экспериментальных дифференциальных
каналов ядерного рассеяния. Взаимодействия в
сечений упругого рассеяния изотопов водорода в
начальном и конечном состояниях в этой модели
рамках единой модели при энергиях от сотни кэВ
аппроксимируются в виде гладких аналитических
до десятков МэВ.
функций, зависящих от энергии реакции в системе
Для описания угловых распределений сечений
центра масс. Эти взаимодействия на больших рас-
традиционно используют оптические модели [1],
стояниях естественно включаются в s-канальные
зависящие от большого числа параметров: как са-
амплитуды, а в амплитудах периферических t-
мого оптического релятивистски не инвариантно-
и u-каналов взаимодействий, учитывающих вер-
го потенциала, так и радиального распределения
шинные формфакторы и пропагаторы обменных
плотности ядра, однако трудность учета начального
частиц, они учитываются в виде коэффициентов,
взаимодействия (ISI — initial state interaction) на
зависящих от энергии реакции в системе центра
расстояниях, где оптическая модель еще непри-
масс TCM. Ввиду своей простоты при меньшем, чем
менима, и конечного взаимодействия (FSI — final
в оптических моделях и методе фазового анали-
за, числе параметров для аппроксимации экспе-
1)Всероссийский Научно-исследовательский институт ав-
томатики им. Н.Л. Духова, Москва, Россия.
риментальных данных дифференциальных сечений
*E-mail: AAGalyuzov@vniia.ru
упругого рассеяния изотопов водорода был выбран
**E-mail: Kosov@vniia.ru
ТПЯР-подход, который хорошо зарекомендовал
462
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
463
себя при описании (α, n)-реакций [7]. Предвари-
фактор BR имеет размерность квадрата массы. Для
тельное применение ТПЯР-аппроксимации с ис-
того чтобы сравнивать резерфордовскую константу
пользованием только s-канала сильного взаимо-
с безразмерными энергетически зависимыми ко-
действия было проведено в работе [8].
эффициентами сильных амплитуд, рассматривает-
Кулоновский барьер реакции определяется
ся безразмерный резерфордовский коэффициент
энергией Гамова [9, 10]
CR =BR
= 16παzZ mM
, где mπ0
— масса π0-
m2
m2
π0
π0
Eg = 2μ (παzZ)2 ,
(1)
мезона, так что
CR
где приведенная масса μ =
, m, M и
AR =
(5)
√s
m+M
|t|/m2
π0
z, Z — массы и заряды налетающей частицы и
ядра-мишени, α — постоянная тонкой структу-
Дифференциальное сечение резерфордовского
ры, мандельстамовская переменная s, имеющая
рассеяния полностью ионизированных ядер опре-
смысл квадрата полной энергии реакции в системе
деляется выражением [11]
центра масс, рассчитывается как s = m2 + 2(m +
dσR
( 2μαzZ)2
+TLS)M + M2 ≈ (m + M)2, а TLS — кинетическая
=
(ℏc)2 .
(6)
dΩCM
t
энергия налетающей частицы в лабораторной си-
стеме. Для реакции упругого pp-рассеяния Eg =
Резерфордовское сечение упругого рассеяния
= 0.493 МэВ, для pd-рассеяния — 0.658 МэВ, для
тождественных частиц с массой m, зарядом z и
pt-рассеяния — 0.74 МэВ, для dd-рассеяния —
спином S имеет вид [12]
0.986 МэВ, для dt-рассеяния — 1.183 МэВ и для
dσR
( 2μαℏcz2 )2
tt-рассеяния — 1.477 МэВ.
=
×
(7)
Энергия Гамова используется в так называемом
dΩCM
t
(
факторе Гамова [10], подавляющем сечения силь-
θCM
(-1)2S
θCM
ного взаимодействия при уменьшении энергии
×
1 + tg4
+
tg2
×
(
√
)
2
S+12
2
1
Eg
(
(
)))
P =
exp
-
,
(2)
μα
θCM
TCM
TCM
× cos
ln tg2
pCM
2
(
√
)
Eg
Первый член в (7) соответствует вкладу в диф-
где величина exp
-
описывает проницае-
TCM
ференциальное сечение t-канального рассеяния,
мость кулоновского барьера, а кинетическая энер-
второй — симметричного первому u-канального
гия в системе центра масс TCM связана с энергией
рассеяния, а третий — их интерференции. Более
TLS частицы (m), налетающей в лабораторной си-
подробно кинематические переменные этой фор-
стеме на ядро-мишень (M), соотношением
мулы приведены в [8]. Если в [8] формула (7)
m+M
M
применялась только для тождественных протонов
TCM = TLSM
≈TLS
(3)
s
m+M
со спином S =12 , т.е. интерференция была деструк-
тивной, то в этой работе она применяется и к dd-
Приближенные выражения для μ, s и TCM при-
(S = 1, конструктивная интерференция), и к tt-
ведены в нерелятивистском пределе. При аппрок-
рассеяниям (S =12 ).
симации на основе ТПЯР используются точные
выражения, позволяющие экстраполировать полу-
При ТПЯР-аппроксимации s-канальное рассе-
ченные формулы и в область б ´ольших энергий. В
яние с комплексной амплитудой
√
случае нерелятивистского рассеяния тождествен-
As = Bseiφs
P,
(8)
ных частиц из (3) следует часто используемое
TCM = TLS/2.
где P определено формулой (2), и φs отсчитывает-
ся от чисто упругой резерфордовской амплитуды,
Для того чтобы рассчитать полную амплитуду
соответствует изотропному распаду промежуточ-
рассеяния, необходимо знать выражение электро-
√
магнитной (резерфордовской) амплитуды рассея-
ной компаунд-системы. Фактор
P выделялся,
ния налетающего ядра на ядре-мишени. Амплиту-
чтобы уменьшить степень зависимости амплиту-
ду резерфордовского рассеяния можно определить
ды от энергии и аппроксимировать Bs гладкой
как
дробно-рациональной функцией, широко применя-
емой в численных методах, поскольку дополни-
BR
AR =
,
(4)
тельные аналитические свойства и их учет мето-
|t|
дом Чини-Лоэба [13] позволяет находить един-
где BR = 16πmMαzZ. Поскольку AR в системе
ственные решения. Описание t-канального рассе-
единиц, где ℏ = c = 1, — величина безразмерная,
яния осуществлялось периферической диаграммой
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
464
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
с t-канальным обменом фотоном (резерфордов-
В резерфордовской амплитуде и амплитуде t-
ское рассеяние) или пионом (однопионный обмен).
канального пионного обмена формфакторы ядер
Вклад пропагатора пиона t-канального взаимодей-
не учитывались, поскольку рассматривались лег-
ствия выделялся в аппроксимации в виде
чайшие ядра
— изотопы водорода. Вклад u-
√
канального рассеяния c обменом ядерным фраг-
Bteiφt
P
At =
(9)
ментом в ТПЯР представляется как
1 + |t|/m2
π0
√
iφu
Bu
Pe
Au =
(
).
(10)
(1 + (|tmax| - |t|) /μ2u)
1 + (|tmax| - |t|)/μ2
uf
Здесь μu — очень большая величина, приблизи-
и тому же углу в лабораторной системе соответ-
тельно равная массе обменного ядерного фрагмен-
ствуют два угла рассеяния в системе центра масс,
та, — при pd- и dt-рассеяниях это масса нейтро-
которые разделяются в лабораторной системе по
на, а при pt-рассеянии — масса двух нейтронов,
энергии рассеянных частиц. При рассеянии тож-
поэтому первый член в знаменателе (10) может
дественных частиц в (11) следует брать только
отличаться от единицы только при высоких энер-
знак “+” перед корнем. Условие неотрицательно-
гиях. Зато второй член соответствует вершинному
сти подкоренного выражения в нерелятивистском
формфактору, который определяется ψ-функцией
пределе приводит к классическому результату [11]:
обменного ядерного фрагмента в большем из рас-
при m > M максимальный угол рассеяния в лабо-
сеиваемых ядер. Параметр μuf рассматривался как
раторной системе составляет θmaxLS = arcsinMm .
свободный параметр аппроксимации, не зависящий
Для перевода в систему центра масс дифферен-
от энергии реакции.
циального сеченияdσdΩ
= dσdΩ
d cos θLS использо-
CM
LS
d cos θCM
Б ´ольшая часть экспериментальных данных
валось соотношение
дифференциальных сечений упругого рассеяния
d cos θLS
изотопов водорода при различных значениях
=
(12)
кинетической энергии налетающих частиц бралась
d cos θCM
из базы ядерных данных EXFOR [14]. Данные
γ + acosθCM
(
)
=
(
)3/2 .
были представлены в виде
θ,dσdΩ
, где θ — угол
1 - cos2 θCM + (γ cosθCM + a)2
рассеяния в градусах, аdσdΩ — дифференциальное
сечение в мбн/ср. Угол рассеяния θ мог быть
В случае рассеяния нерелятивистских тожде-
представлен как в лабораторной системе, так и в
ственных частиц связь углов рассеяния в системе
системе центра масс. Дифференциальное сечение
центра масс и лабораторной системе задается со-
упругого рассеянияdσdΩ в различных работах также
отношением θCM = 2θLS, и выражение (12) упро-
давалось как в системе центра масс, так и в лабо-
щается до [15]
раторной системе. В связи с этим необходимо было
d cos θLS
1
переводить величины из лабораторной системы в
=
sec θLS.
(13)
d cos θCM
4
систему центра масс.
В случае рассеяния различных частиц углы рас-
В случае, если какие-либо из величин были при-
сеяния в системе центра масс и в лабораторной си-
ведены в лабораторной системе, по ним вычисля-(
)
стеме связаны получающимся из общеизвестного
лись значения cos θCM,dσ
и получались набо-
dΩCM
выражения tg θLS
cos θCM+a
соотношением
(
)
dσ
ры релятивистски инвариантных величин
-t,
dt
cos θCM =
(11)
В статье получены аппроксимации угловых рас-
√
-aγ tg2 θLS ±
1 + tg2 θLS (γ2 - a2)
пределений сечений рассеяния различных изото-
=
,
пов водорода только для упругих pd-, pt- и dt-
1 + tg2 θLS
рассеяний. Поскольку аппроксимация ведется в
√(
)2
системе центра масс, то дифференциальные сече-
m
, a=
√s
M
+ pLSs , а ELS = m +
ния dp-, tp- и td-рассеяний совпадают с ними в си-
+ TLS и pLS — полная энергия и импульс налета-
стеме центра масс как сечения в антилабораторной
ющего ядра в лабораторной системе. Т.е. одному
системе.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
465
2. АППРОКСИМАЦИЯ
Для рассеяния протонов с зарядом z = 1 и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
спином S =12 согласно (7) получается следующее
УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗОТОПОВ
выражение дифференциального сечения:
ВОДОРОДА
dσR
( 2μαℏc)2
=
×
(14)
2.1. Аппроксимация дифференциального сечения
dΩCM
t
упругого pp-рассеяния
(
θCM
θCM
4
× 1 + tg
- tg2
×
В процессе аппроксимации на основе ТПЯР
2
2
(
(
)))
дифференциальных сечений упругого pp-рассеяния
μα
θCM
было установлено, что вплоть до кинетических
× cos
ln tg2
pCM
2
энергий налетающего протона примерно 500 МэВ
они хорошо описываются при использовании од-
ного лишь s-канала упругого ядерного рассеяния,
Принимая во внимание (4), амплитуду резер-
без использования периферического t-канального
фордовского pp-рассеяния можно представить в
рассеяния.
виде
√
(
(
))
θCM
θCM
μα
θCM
Ap-pRtot = AR
1 + tg4
- tg2
cos
ln tg2
,
(15)
2
2
pCM
2
которая и использовалась в качестве резерфордов-
линиями на рисунках аппроксимации фазы здесь
ской амплитуды при аппроксимации.
и далее изображаются значения, кратные π/2, где
значения фазы 2nπ соответствуют конструктивной,
Запишем действительную и мнимую части пол-
ной амплитуды упругого pp-рассеяния A, в которой
(2n + 1) π
— деструктивной интерференции, а
(
)
интерферируют ее электромагнитная и сильная со-
n+12
π — ее отсутствию. Как видно из рисунка,
ставляющие, в виде
отличия двух аппроксимаций в области низких
энергий незначительны, но в новой аппроксимации
Re(A) = Ap-pRtot + As cos(φs),
(16)
мы учли данные выше энергии 100 МэВ, и это зна-
чительно изменило ее экстраполяцию к большим
Im(A) = As sin(φs),
(17)
энергиям. Расширение энергетического диапазона
где в выражении (16) для Re(A) первый член
было связано с тем, что фазовый анализ допускает
соответствует амплитуде резерфордовского рассе-
изотропное сильное S-волновое рассеяние [16]
яния, а члены с As в (16), (17) обозначают вклад
только до энергии 1 МэВ [17, 18]. В случае же
s-канальной амплитуды рассеяния. Амплитуда s-
ТПЯР-аппроксимации оказалось, что с учетом
канального рассеяния рассчитывалась по форму-
изменяющейся фазы интерференции изотропного
ле (8), в которой аппроксимировалась величина
рассеяния с резерфордовским, которая из де-
структивной с увеличением энергии становится все
Bs(TCM) с размерностью МэВ2 . Чтобы учесть
более конструктивной, изотропного s-канального
дополнительное резкое падение фактора Гамова
рассеяния оказывается достаточно для аппрокси-
при уменьшении энергии, надо домножить Bs(TCM)
√
мации сечений упругого pp-рассеяния даже при
на
P. Тогда получится безразмерная величина
энергиях выше 100 МэВ. Как видно из (15), из-
√
Cs(TCM) = Bs(TCM)
P, которую можно сравни-
за интерференционного члена резерфордовская
вать с безразмерным резерфордовским коэффици-
амплитуда помимо очевидной пропорциональности
1
ентом CR в (5).
в AR имеет дополнительную зависимость от угла
|t|
Зависимости Cs(TCM) и φs(TCM) показаны
рассеяния. Чтобы ее исключить, будем сравнивать
на рис. 1. Штрихпунктирной кривой показана
сильную и электромагнитную амплитуды при
аппроксимация в нашей предыдущей работе [8],
угле рассеяния θCM =π2 . Тогда тангенс в
(15)
где при фитировании экспериментальных данных
обращается в 1, логарифм — в 0, и косинус — в 1.
вычленялся не фактор Гамова, а лишь прони-
На рис. 1а точечная кривая соответствует величине
цаемость кулоновского барьера реакции в виде
CR в (5), умноженной на квадратный корень из (15)
(
√
)
exp
-
Eg/TCM
. Горизонтальными штриховыми
с косинусом, равным 1. Видно, что при 100 кэВ
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
466
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
Cs
103
а
102
φs
3
б
2
1
10-1
100
101
102
TCM, МэВ
√
Рис. 1. Зависимости амплитудного коэффициента Cs = Bs
P (а) и фазы φs (б) s-канальной амплитуды от энергии TCM.
Штрихпунктирной кривой показана аппроксимация работы [8]. Точечная прямая на рис. 1а обозначает величину CR для
θCM =π
2
сильная амплитуда при рассеянии на угол θCM =π2
резерфордовского рассеяния. Такой же эффект
остается еще в 5 раз больше, чем резерфордов-
снижения резерфордовской амплитуды будет и для
ская амплитуда, т.е. при важности рассеяния на
tt-рассеяния, а для dd-рассеяния интерференция
большие углы, например, в случае моделирования
будет конструктивной, и резерфордовская ампли-
пыления из мишени, сильное взаимодействие ионов
туда может приблизиться к сильной амплитуде, что
существенно даже при самых малых энергиях.
и будет продемонстрировано.
Заметим, что в случае pp-рассеяния интерферен-
ция в (15) деструктивна, что снижает амплитуды
Коэффициент Bs аппроксимировался в виде:
(
(
)2.72)
TCM
2840
1+
90
Bs = (
)(
)(
(18)
(
)0.2
(
)2.52
(
)2).
TCM
TCM
0.35
1+
1+
1+
6.83
129
TCM
Фаза s-канала описывалась функцией
сделано предположение чисто деструктивной фазы
при самых малых энергиях, где вклад сильного вза-
φs =
(19)
(
)(
)
имодействия пренебрежимо мал. Кроме того, для
(
)8.93
(
)1.55
TCM
TCM
описания фазы при самых малых энергиях было
π
1+
1+
0.25
33
введено целых четыре параметра (первые скобки в
=
(
)(
(
)9
(
)1.94)
числителе и знаменателе).
TCM
TCM
1+
1+
На рис. 2 аппроксимация дифференциального
0.241
46.2
сечения упругого pp-рассеяния (сплошная кривая),
Величина TCM в этих формулах измеряется в еди-
полученная по формулам (16), (17), в которых
ницах МэВ. Заметим, что в аппроксимации фазы
использованы параметрические зависимости (18) и
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
467
dσ/dt, мбн/ГэВ2
108
499.2 кэВ
991.9 кэВ
1.397 МэВ
1.87 МэВ
2.42 МэВ
3.04 МэВ
106
107
3.27МэВ
3.53 МэВ
3.9 МэВ
4.02 МэВ
4.98 МэВ
6.97 МэВ
106
105
106
9.69 МэВ
9.85 МэВ
13.6 МэВ
14.16 МэВ
50.06 МэВ
98 МэВ
105
103
142 МэВ
190 МэВ
239.9 МэВ
255.2 МэВ
270.8 МэВ
286.7 МэВ
102
302
.9 МэВ
319
.4 МэВ
336
.2 МэВ
353
.2 МэВ
370
.5 МэВ
389 МэВ
102
10-4
10-2
10-4
10-2
10-4
10-2
10-4
10-2
10-4
10-2
10-4
10-2
−t, ГэВ2
Рис. 2. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого pp-рассеяния [15, 17-29] на основе ТПЯР. Сплошная
кривая — разработанная параметризация, штриховая - резерфордовское дифференциальное сечение pp-рассеяния,
точечная — эмпирическая аппроксимация из [8].
C
104
103
а
б
102
φ
4
в
г
2
0
10-1
100
101
102
10-1
100
101
102
TCM, МэВ
Рис. 3. Энергетические зависимости параметров упругого dd-рассеяния: а, б — Ct и Cs, в, г — φt и φs. Точечная прямая
на рис. 3а и 3б обозначает величину CR для θCM =π2 .
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
468
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
(19), сравнивается с доминирующим при малых -t
аппроксимации. Значения параметров при TCM <
резерфордовским рассеянием (штриховая кривая).
< 200 кэВ были получены путем аппроксимации
Для каждого из распределений указана энергия
энергетической зависимости сечений рассеяния на
в лабораторной системе, которая превышает TCM
угол θCM = 90◦ в области самых малых энергий,
вдвое. Точечной кривой показан результат дифрак-
рассматриваемой в разд. 2.7. В соответствии с
ционной эмпирической формулы работы [8], ориен-
базой данных [30] в исследуемую область дают
тированной на приложения при большой энергии,
вклад широкие резонансы E = 24.25 МэВ (TddCM =
а потому не претендующей на резерфордовский
= 0.4 МэВ), Γ = 6.1 МэВ (1-); E = 27.42 МэВ
ход дифференциального сечения при самых ма-
(TddCM = 3.57 МэВ), Γ = 8.69 МэВ
(2+); E =
лых углах рассеяния. Видно, что при лаборатор-
ной энергии порядка 100 МэВ дифракционная ап-
= 28.31 МэВ (TddCM = 4.46 МэВ), Γ = 9.89 МэВ
проксимация значительно уступает новой ТПЯР-
(1+); E = 28.39 МэВ (TddCM = 4.54 МэВ), Γ =
аппроксимации и отличается от данных на десят-
= 8.75
МэВ (2-) и E = 29.89 МэВ (TddCM =
ки процентов. Горизонтальные распределения по
= 6.04 МэВ), Γ = 9.72 МэВ (2+), где E — энергия
квадрату переданного импульса |t| в той области,
возбуждения4He, Γ — его ширина и TddCM — энер-
где вкладом резерфордовской амплитуды можно
гия реакции dd-рассеяния в системе центра масс,
пренебречь, свидетельствуют об изотропии силь-
ного упругого pp-рассеяния.
а также более узкие резонансы E = 28.37 МэВ
(TddCM = 4.52 МэВ), Γ = 3.92 МэВ
(1-); E =
= 28.64 МэВ (TddCM = 4.79 МэВ), Γ = 4.89 МэВ
2.2. Аппроксимация дифференциального сечения
упругого dd-рассеяния
(0-) и E = 28.67 МэВ (TddCM = 4.82 МэВ), Γ =
= 3.78 МэВ (2+). Широкие уровни (27.42, 28.31,
Аппроксимация экспериментальных дифферен-
28.39 и 29.89 МэВ) показаны на фазе s-канала
циальных сечений упругих dd- и tt-рассеяний на
рис. 3г низкими толстыми стрелками, а относи-
основе ТПЯР была выполнена с использованием
тельно узкие (28.37, 28.64 и 28.64 МэВ) — высо-
четырех параметрических зависимостей — ампли-
кими тонкими стрелками. Заметим, что найденная
туд и фаз s-канала и t-канала ядерного рассеяния,
нами энергетическая зависимость Cs не падает
совпадающего с u-каналом. Амплитуды ядерного
к нулю сразу при уменьшении энергии, как это
рассеяния представлялись в виде
√
ожидалось бы исходя из фактора Гамова, но имеет
Bt
P
√
плечо, которое может быть связано с широким
At =
, As =Bs
P,
(20)
1 + |t|/m2
1--резонансом при энергии TddCM = 400 кэВ и
π0
шириной Γ = 6.1 МэВ (Γd = 150 кэВ). Это важный
где коэффициенты Bt и Bs, а также соответству-
эффект, который требует дополнительного экспе-
ющие фазы использовались в качестве свободных
риментального исследования, поскольку благодаря
параметров при аппроксимации эксперименталь-
ему сильное взаимодействие оказывается суще-
ных данных.
ственным значительно ниже 100 кэВ, т.е. может
Найденные безразмерные коэффициенты Ct =
√
√
сказаться даже на астрофизических расчетах.
=Bt
P и Cs =Bs
P, а также фазы φs и φt,
полученные при ТПЯР-аппроксимации упругого
Для рассеяния дейтронов с зарядом z = 1 и
dd-рассеяния, показаны на рис.
3. На этом
спином S = 1 амплитуду резерфордовского dd-
рисунке показано больше точек, чем значений
рассеяния можно представить в виде, аналогичном
энергии на рис. 4, представляющем результат
резерфордовской амплитуде pp-рассеяния:
√
(
(
))
θCM
2
θCM
μα
θCM
Ad-dRtot = AR
1 + tg4
+
tg2
cos
ln tg2
,
(21)
2
3
2
pCM
2
где AR задается выражением (4).
однопионным обменом. По аналогии с амплитудой
резерфордовского рассеяния (21) запишем полную
В отличие от формально точечных протонов для
дейтронов возможны периферические реакции с амплитуду t-канала dd-рассеяния в виде
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
469
dσ/dt, мбн/ГэВ2
960 кэВ
1.49 МэВ
2.01 МэВ
2.51 МэВ
3.02 МэВ
107
106
106
3.5 МэВ
4.46 МэВ
6 МэВ
8 МэВ
9.8 МэВ
105
10 МэВ
10.5 МэВ
10.8 МэВ
12.31 МэВ
13.2 МэВ
105
104
14.2 МэВ
25.3 МэВ
36.9 МэВ
50 МэВ
51.5 МэВ
105
104
103
5
10
60 МэВ
70 МэВ
77.5 МэВ
85 МэВ
231.8 МэВ
104
103
102
101
100
10-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-1
-t, ГэВ2
Рис. 4. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого dd-рассеяния [26, 31-45] (cплошная кривая), штриховая
кривая — резерфордовское дифференциальное сечение dd-рассеяния.
√
(
(
))
2
μα
Attot = At
1+
tg4 θCM
+
t˜
g2 θCM
cos
ln
t˜
g2 θCM
,
(22)
2
3
2
pCM
2
где
значены на рисунке стрелками. Поскольку ампли-
θCM
туда t-канала при θCM =π2 включает такой же
sin2
+ m2π0/|tmax|
2
t˜
g2 θCM
=
(23)
корень (22), как и для резерфордовской амплитуды
2
(21), величина Ct сравнивается с CR из (5). По-
cos2θCM2+mπ0/|tmax|
этому сравниваемая резерфордовская величина на
Коэффициент t-канала ядерного рассеяния Bt
рис. 3а несколько ниже умноженной на интерфе-√
аппроксимировался в виде
8
(
ренционный корень (
) величины на рис. 3б. В
(
)1.62)
3
TCM
1691.6
1+
результате во всем исследованном нами диапазоне
1.27
энергий за счет t-канального рассеяния сильная
Bt = (
)(
(24)
(
)1.92
(
)9).
амплитуда в смысле нашего сравнения оказывает-
TCM
TCM
1+
1+
10.17
113.66
ся значительно больше электромагнитной, т.е. су-
щественна при моделировании процесса пыления
Заметим, что максимумы в энергетической зави-
из мишени нейтронного генератора.
симости коэффициентов Cs и Ct на рис. 3 несо-
мненно связаны с наличием широких резонансов в
Зависимость коэффициента Bs от энергии ап-
компаунд-системе4He∗, положения которых обо-
проксимировалась в виде
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
470
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
(
(
)2.47)(
(
)1.23)
TCM
5
19.55
1+
1+
0.54
TCM
Bs =
(
)(
(25)
(
)3
(
)3.52)
TCM
TCM
1+
1+
8.46
68.46
Энергетическая зависимость фазы φt задавалась
сложности создания тритиевой мишени, данных
формулой
по упругому tt-рассеянию гораздо меньше, чем
для любого другого изотопа водорода. Угловые
0.255
φt =
(
)3 +
(26)
распределения упругого tt-рассеяния аппрокси-
TCM
1+
мировались, как и в случае dd-рассеяния, че-
0.22
тырьмя параметрами — двумя амплитудными B-
2.7 × 10-3 · T5CM
коэффициентами и двумя фазами s- и t-каналов.
+
(
)(
)
(
)5
(
)
9
На рис. 5 показана энергетическая зависимость
TCM
TCM
1+
1+
амплитудных коэффициентов Ct и Cs, а также
2.98
83
изменение с энергией фаз φt и φs.
и фазы φs — трехпараметрической формулой
Имеющиеся шесть дифференциальных угловых
распределений сечений упругого tt-рассеяния, из-
3.57
φs =
(
)0.63 .
(27)
меренных при различных значениях кинетической
0.029
1+
энергии налетающего тритона, удалось описать
TCM
с использованием всего семи независимых пара-
Видно, что φt практически во всем диапазоне энер-
метров. Амплитудные B-коэффициенты t- и s-
гий остается более или менее конструктивной и
каналов аппроксимировались всего тремя пара-
только в резонансной области мнимая часть t-
метрами:
канальной амплитуды несколько возрастает. Фаза
Bt = 16870T0.344CM,
(30)
φs при малых энергиях тоже конструктивна, а в
резонансной области становится деструктивной.
Bs = 14900.
(31)
Обозначим действительную и мнимую части
А энергетические зависимости соответствующих
полной амплитуды рассеяния как
фаз описывались формулами:
Re(A) = Ad-dRtot +
(28)
π
φt =
(
)1.13 ,
(32)
+ As cos(φs) + At tot cos(φt),
TCM
1+
2.38
Im(A) = As sin(φs) + Attot sin(φt).
(29)
2π
φs =
(
)0.454 .
(33)
Полученная параметризация дифференциаль-
TCM
1+
ного сечения упругого dd-рассеяния с парамет-
80
рами (24)-(27) представлена на рис. 4. В отли-
В (30)-(33) величина TCM имеет размерность МэВ.
чие от pp-рассеяния, где фаза s-канала изменя-
На изображающем фазу s-канала рис. 5г стрелка-
ется от деструктивной при самых малых энергиях
ми показаны известные резонансы компаунд-ядра
до конструктивной при увеличении энергии, фа-
6He∗ [30]: E = 14.6 МэВ (TttCM = 2.3 МэВ), Γ =
за s-канала dd-рассеяния, наоборот, меняется от
конструктивной к деструктивной. Что касается t-
= 7.4 МэВ (1-) и E = 23.3 МэВ (TttCM = 11 МэВ),
канала, то обращает на себя внимание то, что сила
Γ = 14.8 МэВ, но из-за ограниченности экспе-
взаимодействия в начальном и конечном состо-
риментальных данных невозможно сделать вы-
яниях соответствует энергетической зависимости
вод о связи этих широких резонансов с энер-
амплитуды s-канала и на качественном уровне
гетической зависимостью амплитуд ядерного tt-
определяется резонансами компаунд-ядра4He.
рассеяния. Можно отметить рост с энергией вклада
t-канальной амплитуды и изменение характера t-
канальной фазы от деструктивного к конструктив-
2.3. Аппроксимация дифференциального сечения
ному, а s-канальной амплитуды наоборот — от
упругого tt-рассеяния
конструктивного к деструктивному.
Ввиду радиоактивности трития, трудности орга-
Для рассеяния тритонов с зарядом z = 1 и спи-
низации с ним экспериментов и принципиальной
ном S =12 получаются такие же выражения (14),
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
471
C
104
а
б
103
102
φ
6
в
г
4
2
0
1
10
1
10
TCM, МэВ
Рис. 5. Энергетические зависимости параметров упругого tt-рассеяния: а, б — Ct и Cs, в, г — φt и φs. Точечная прямая
на 5а, 5б обозначает величину CR для θCM =π2 .
dσ/dt, мбн/ГэВ2
1.582 МэВ
1.687 МэВ
1.8 МэВ
106
105
1.89 МэВ
2.013 МэВ
57.5 МэВ
106
105
104
103
10-3
10-2
10-1
10-3
10-2
10-1
10-3
10-2
10-1
-t, ГэВ2
Рис. 6. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого tt-рассеяния [46-48]. Сплошная кривая — ТПЯР-
аппроксимация, штриховая — резерфордовское дифференциальное сечение.
(15), как и в случае pp-рассеяния, где μ и pCM
величин C-коэффициентов следует, что при tt-
должны определяться c использованием массы
рассеянии можно ожидать существенного вклада
тритона. Уровни CR одинаковы для t- и s-каналов,
сильных взаимодействий в упругое рассеяние даже
поскольку при θCM =π2 корень в (15) в случае pp- и
при самых малых энергиях. Это особенно инте-
tt-рассеяний обращается в единицу. Из сравнения
ресно, поскольку в реакции t(t, 2n)α выделяется
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
472
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
C
104
103
102
101
а
б
в
φ
6
е
4
г
д
2
0
100
101
102
103
100
101
102
103
100
101
102
103
TCM, МэВ
Рис. 7. Энергетические зависимости параметров упругого pd-рассеяния: а-в — C-коэффициентов амплитуд и г-е —
фаз t-, s- и u-каналов. Точечная прямая на а-в — CR.
dσ/dt, мбн/ГэВ2
107
448 кэВ
653 кэВ
895 кэВ
1.98 МэВ
3.07 МэВ
3.49 МэВ
106
105
6
10
4.21 МэВ
5.31 МэВ
6.43 МэВ
7.64 МэВ
8.96 МэВ
10.39 МэВ
105
104
18.06 МэВ
21.08 МэВ
30
.2 МэВ
104
103
11.91 МэВ
13.54 М
эВ
16.18 М
эВ
104
115.7 МэВ
144.3 МэВ
175
.4 МэВ
103
102
39.75 МэВ
48.33 МэВ
66.69 МэВ
101
103
102
101
0
10
203.2 МэВ
250.5 МэВ
270.4 МэВ
58 5Мэ
В
797.2 МэВ
890.7 МэВ
10-1
10-2
10-3
10-1
10-3
10-1
10-3
10-1
10-3
10-1
10-3
10-1
10-3
10-1
-t, ГэВ2
Рис. 8. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого pd-рассеяния [33, 49-76]. Сплошная кривая — ТПЯР-
аппроксимация, штриховая — резерфордовское сечение, точечная — эмпирическая дифракционная аппроксимация
упругого pd-рассеяния из [8].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
473
энергия 11.33 МэВ, поэтому такую реакцию можно
от кинетической энергии в системе центра масс
рассматривать в ряду возможных реакций для ней-
TCM (МэВ) имели вид
тронных генераторов.
Bt =
(35)
(
)(
)
Полученная аппроксимация эксперименталь-
(
)1.76
(
)2
TCM
TCM
ных данных по упругому tt-рассеянию [46-48]
4953.1
1+
1+
195.7
914
с использованием (28), (29) показана на рис. 6.
=
(
)(
,
(
)0.8
(
)3.76)
Первые пять наборов данных взяты из работы [46],
0.03
TCM
1+
1+
TCM
721.4
где сечения были измерены с большими (15%)
погрешностями, в результате чего, например, при
(
)
(
)1.5
энергии
1.8
МэВ видно, что при малых углах
TCM
5090.9
1+
рассеяния значения измеренных величин лежат
16
Bs =
(
(36)
систематически выше резерфордовского диффе-
(
)2)(
),
TCM
ренциального сечения. В этом же диапазоне (1.8
1+
1+0.8
5.19
TCM
и 1.9 МэВ) было произведено более точное (3%)
измерение сечения рассеяния на угол 30◦ в системе
5690T0.35CM
центра масс [47]. Оно показано черным квадратом
Bu =
(
)1.64 ,
(37)
(ошибка меньше размера маркера) и находится
TCM
1+
11
значительно ближе к резерфордовскому сечению.
Поэтому весьма вероятно, что нахождение экспе-
4.63
0.125TCM
риментальных значений сечений в работе [46] при
φt =
(
)1.2 +
,
(38)
малых углах рассеяния существенно выше резер-
TCM
1+TCM
1+
54
15.2
фордовского сечения обусловлено лишь большими
систематическими погрешностями измерений.
(
(
)3)(
)
TCM
6.62
1+
1+TCM
9.5
230
φs =
(
,
(39)
(
)3) (
)
2.4. Аппроксимация дифференциального сечения
TCM
1+
1+TCM
упругого pd-рассеяния
8
500
Аппроксимация угловых распределений сече-
(
)
ний упругих pd-, pt- и dt-рассеяний на осно-
2.5
1+TCM
10
φu =
(
)3
(40)
ве ТПЯР выполнялась с использованием ше-
TCM
сти энергетических зависимостей
— трех B-
1+
7
коэффициентов амплитуд и трех фаз t-, s- и u-
каналов ядерного рассеяния и одного не зависяще-
Полученные зависимости амплитудных коэффици-
√
го от энергии свободного параметра μ2uf . Амплиту-
ентов (Ct = Bt
P, аналогично для s- иu-каналов)
ды каналов ядерного рассеяния представлялись в
изображены на рис. 7.
виде
Значение свободного параметра μ2uf , определя-
√
Bt
ющего вклад ядерного формфактора в u-канальное
At =
P,
(34)
рассеяние, получилось равным
1 + |t|/m2
π0
√
μ2uf = 4.76 × 10-3 ГэВ2.
(41)
As = Bs
P,
√
Bu
Обозначим действительную и мнимую части
Au =
(
)
P,
полной амплитуды рассеяния как
(1 + |u|/μ2u)
1 + |u|/μ2
uf
Re(A) = AR + As · cos(φs) +
(42)
где фактор Гамова P определяется выражением (2),
+ At · cos(φt) + Au · cos(φu),
иμ2u = (md - mp)2 делаетвнерелятивистскомпре-
Im(A) = As · sin(φs) +
(43)
деле величину |u|/μ2u пренебрежимо малой поправ-
кой, зато величина μ2uf , определяемая формфак-
+ At · sin(φt) + Au · sin(φu),
тором дейтрона, становится дополнительным сво-
где AR определяется выражением (4) и первый
бодным параметром, использовавшимся при фи-
член в (42) соответствует резерфордовскому рас-
тировании экспериментальных данных рассеяния
сеянию, а соответствующие члены в (42),
(43)
назад.
определяют вклад t-, s- и u-каналов ядерного
Найденные аппроксимации зависимости ампли-
рассеяния. Полученная при использовании (42),
туд и фаз различных каналов ядерного рассеяния
(43) аппроксимация дифференциального сечения
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
474
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
C
104
103
а
б
в
102
φ
6
4
г
д
е
2
0
1
10
1
10
1
10
TCM, МэВ
Рис. 9. Энергетические зависимости параметров упругого pt-рассеяния: а-в — C-коэффициентов амплитуд и г-е —
фаз t-, s- и u-каналов. Точечная прямая на а-в — CR.
dσ/dt, мбн/ГэВ2
708 кэВ
990 кэВ
1.108 МэВ
1.236 МэВ
1.45 МэВ
107
106
105
106
1.678 МэВ
1.9 МэВ
2.12 МэВ
2.335 МэВ
2.54 МэВ
105
106
2.74 МэВ
3.07 МэВ
3.25 МэВ
3.5 МэВ
3.83 МэВ
105
4.17 МэВ
4.6 МэВ
4.8 МэВ
6.43 МэВ
7.1 МэВ
105
104
8.34 МэВ
9.9 МэВ
12 МэВ
13.6 МэВ
16.23 МэВ
105
104
103
10-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-1
-t, ГэВ2
Рис. 10. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого pt-рассеяния [33, 77-82]. Сплошная кривая — ТПЯР-
аппроксимация, штриховая — резерфордовское сечение pt-рассеяния, точечная — эмпирическая дифракционная
аппроксимация упругого pd-рассеяния из [8].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
475
C
б
105
104
а
в
103
102
φ
6
4
д
г
е
2
10-1
100
101
10-1
100
101
10-1
100
101
TCM, МэВ
Рис. 11. Энергетические зависимости параметров упругого dt-рассеяния: а-в — C-коэффициентов амплитуд и г-е —
фаз t-, s- и u-каналов. Точечная прямая на а-в — CR.
упругого pd-рассеяния представлена на рис. 8. По-
нимумов в экспериментальных дифференциальных
грешности экспериментальных точек скрыты раз-
сечениях, например, при 16.18 МэВ может объяс-
мерами изображающих их маркеров.
няться угловым разрешением экспериментальной
установки. Когда при больших энергиях подробно
На рис. 8 начиная с самых малых энергий
измеренное дифференциальное сечение принимает
отчетливо виден характерный подъем при при-
отчетливую дифракционную форму, например при
ближении угла рассеяния к 180◦ — эффект так
энергии 585 МэВ, возможно, надо пользоваться
называемой ядерной глории, который по своей су-
дифракционной аппроксимацией. При этом надо
ти соответствует именно u-канальному рассеянию.
иметь в виду, что при больших энергиях экспери-
На самом деле, дейтрон — слабо связанная си-
ментаторы очень часто приводят данные с вычтен-
стема, и эффект подхвата нейтрона налетающим
ным электромагнитным (резерфордовским) сече-
протоном не кажется маловероятным, однако в
нием, вычитая его с помощью различных оптиче-
системе центра масс это приводит к кажущемуся
ских моделей, поэтому превышение полного диф-
рассеянию налетающего протона назад, тогда как,
ференциального сечения, предсказанного ТПЯР-
подхватив нейтрон мишени, он продолжает лететь
аппроксимацией, над экспериментальными данны-
вперед, а назад летит протон-спектатор из состава
ми может быть связано именно с этой их формой
дейтрона мишени. На рис. 8 точечной кривой по-
представления. При том, что в аппроксимации на
казана найденная в [8] эмпирическая дифракцион-
основе ТПЯР используется примерно в 3 раза
ная параметризация дифференциального сечения
меньше независимых параметров, чем в эмпири-
упругого рассеяния протонов на легких ядрах с
ческой дифракционной, в области малых энергий
A < 7. В целом эмпирическая дифракционная и
до пары сотен МэВ ее использование однозначно
ТПЯР-параметризации достаточно хорошо опи-
предпочтительнее.
сывают меняющееся на несколько порядков экс-
периментально измеренное сечение, и лишь при
энергии в сотни МэВ аппроксимации начинают
2.5. Аппроксимация дифференциального сечения
расходиться, не в последнюю очередь потому, что
упругого pt-рассеяния
эмпирическая дифракционная аппроксимация, со-
зданная для применения в физике высоких энергий,
Аппроксимация углового распределения сече-
не претендует на описание резерфордовского хода
ния упругого pt-рассеяния на основе теории пря-
сечения при самых малых углах, что отчетливо
мых ядерных реакций, как и в случае pd-рассеяния,
видно в диапазоне от 115 до 175 МэВ. Можно
была выполнена с использованием шести энерге-
отметить, что отсутствие узких и глубоких ми-
тических зависимостей — трех B-коэффициентов
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
476
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
dσ/dt, мбн/ГэВ2
568 кэВ
735 кэВ
900 кэВ
1.07 МэВ
1.20 МэВ
107
106
105
106
1.46 МэВ
1.97 МэВ
2.21 МэВ
2.46 МэВ
2.71 МэВ
105
2.99 МэВ
3.22 МэВ
3.77 МэВ
4.38 МэВ
4.98 МэВ
105
6.98 МэВ
8.3 МэВ
105
104
5.38 МэВ
5.6 МэВ
5.9 МэВ
105
104
103
10.2 МэВ
12.3 МэВ
13.85 МэВ
14.4 МэВ
37 МэВ
10-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-110-4 10-3
10-2
10-1
10-4 10-3
10-2
10-1
-t, ГэВ2
Рис. 12. Аппроксимация дифференциальных сечений упругого dt-рассеяния [33, 83-89] на основе теории прямых
ядерных реакций. Сплошная кривая — ТПЯР-аппроксимация, штриховая — резерфордовское дифференциальное
сечение.
6.3298
амплитуд и трех фаз t-, s- и u-каналов ядерного
φs =
,
(48)
рассеяния, а также свободного параметра μ2uf .
1+TCM
46.2
Рассмотрим зависимость этих величин от ки-
5.16
нетической энергии TCM (МэВ) рассеивающихся
φu =
(
(49)
(
)1.3)(
).
частиц в системе центра масс. Амплитуды кана-
TCM
1+
1+0.35
11.81
TCM
лов ядерного рассеяния параметризовались в виде
(34), где в случае pt-рассеяния квадрат эффектив-
Определяющий формфактор параметр μ2uf по-
ной обменной массы в u-канале μ2u = (mt - mp)2 и
лучился в случае pt-рассеяния равным
11282 T1.28CM
Bt =
(
)1.77 ,
(44)
μ2uf = 2.65 × 10-2 ГэВ2,
(50)
TCM
1+
2
что в 5.57 раз больше параметра, полученного для
pd-рассеяния (4.76 × 10-3 ГэВ2). На качественном
4
2.3 × 10
уровне u-канальную диаграмму можно рассматри-
Bs =
(
)0.43 ,
(45)
TCM
вать как последовательный подхват двух нейтро-
1+
1.8
нов, что может приводить к уширению формфакто-
(
ра вершинной функции.
(
)2.38)
TCM
20884
1+
Как видно из рис. 9г, фаза t-канала в области
3.7
больших и малых энергий полностью конструктив-
Bu = (
)(
(46)
(
)2
(
)0.38).
TCM
TCM
на, доходя до величины π/2, свидетельствующей об
1+
1+
2.33
1900
отсутствии ее интерференции с резерфордовской
амплитудой в районе 1.5-5 МэВ. Примерно в
Энергетические зависимости фаз описывались
этой же области находятся резонансы компаунд
как
4He∗ ядра, изображенные стрелками на графике
1.7
φt =
(
)(
(47)
фазы s-канала (рис. 9д), которая непрерывно
(
)3.4
(
)4.4),
TCM
0.77
уменьшается с ростом энергии от конструктив-
1+
1+
9.4
TCM
ного значения 2π до отсутствия интерференции
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
477
Rdd
а
1
Rdt
б
1
10-2
10-1
TCM, МэВ
Рис. 13. Аппроксимация дифференциальных сечений упругих dd- (а) и dt-рассеяний (б) [33, 83-89] на основе ТПЯР в
области самых малых энергий. Сплошные кривые — разработанные аппроксимации, различными маркерами показаны
экспериментальные данные работ [83, 90-92].
3π/2. Из пятнадцати резонансов компаунд4He∗
может быть связано с упомянутой попыткой в
ядра на рис. 9д изображены восемь, имеющие
некоторых работах “вычесть” дифференциальное
распад на протон в исследуемом энергетическом
сечение электромагнитного рассеяния из измерен-
диапазоне: E = 21.84 МэВ (ECM = 2.03 МэВ),
ных величин. Это связано с тем, что при моделиро-
Γ = 2.01
МэВ (2-); E = 23.33 МэВ (ECM =
вании в большинстве программ электромагнитное
рассеяние учитывается в виде многократного
= 3.52 МэВ), Γ = 5.01 МэВ (2-); E = 23.64 МэВ
рассеяния, а сильное рассеяние рассматривается
(ECM = 3.83 МэВ), Γ = 6.2 МэВ
(1-); E =
как независимый дополнительный процесс.
= 24.25 МэВ (ECM = 4.44 МэВ), Γ = 6.1 МэВ
(1-); E = 25.28 МэВ (ECM = 5.47 МэВ), Γ =
= 7.97
МэВ
(0-); E = 25.95 МэВ (ECM =
2.6. Аппроксимация дифференциального сечения
= 6.14 МэВ), Γ = 12.66 МэВ (1-); E = 27.42 МэВ
упругого dt-рассеяния
(ECM = 7.61 МэВ), Γ = 8.69 МэВ (2+) и E =
= 28.31 МэВ (ECM = 8.5 МэВ), Γ = 9.89 МэВ
Угловое распределение реакции упругого dt-
(1+), где E — энергия возбуждения уровня, а Γ —
рассеяния представляет интерес для вопросов тер-
его ширина. Относительно широкие резонансы
моядерного синтеза. Аппроксимация дифференци-
показаны толстыми низкими, а узкие — тонкими
ального сечения упругого dt-рассеяния на основе
высокими стрелками. Фаза u-канала (е), начина-
ТПЯР, как и в случаях pd- и pt-рассеяний, была
ясь при малых энергиях с деструктивного значения
выполнена с использованием шести энергетиче-
π, при больших энергиях стремится к значению
ских зависимостей — амплитудных коэффициен-
π/2, соответствующему отсутствию интерферен-
тов и фаз t-, s- и u-каналов рассеяния, изображен-
ции. Амплитуда s-канала (б) монотонно падает с
ных на рис. 11. Необходимо отметить, что на этом
ростом энергии. На графике амплитуды t-канала
рисунке присутствует больше точек, чем значений
(а) в области резонансов наблюдается характер-
энергии на рис. 12, где показана итоговая аппрок-
ный максимум, который, вероятно, обусловлен их
симация экспериментальных данных по угловому
наличием в компаунд4He∗ ядре.
распределению упругого dt-рассеяния. Значения
параметров в области самых малых TCM были по-
Полученная аппроксимация дифференциаль-
лучены путем дополнительной аппроксимации экс-
ного сечения упругого pt-рассеяния в форме (34)
периментальных значений в области самых малых
и (42), (43) представлена на рис. 10. Заметим,
энергий, описанной ниже в разд. 2.7.
что до энергии
5
МэВ преимущество ТПЯР-
аппроксимации очевидно. При б ´ольших энергиях
На рис. 11 представлены энергетические зави-
заметно отличие при самых малых углах, которое симости шести основных параметров.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
478
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
Амплитудные B-коэффициенты каналов ядерного рассеяния аппроксимировались в виде (34):
25820 T0.455CM
Bt =
(
)3.6 ,
(51)
TCM
1+
23.13
(
(
)5)
0.06
28000 T0.554CM
1+
TCM
Bs =(
),
(52)
(
)1.652)2(
(
)
4.446
TCM
0.042
1+
1+
17.33
TCM
(
(
)3.05)(
(
)8.4)
TCM
0.06
45300 T1.2CM
1+
1+
10.64
TCM
Bu =
(
)(
(53)
(
)4.25
(
)7.2)
TCM
0.0406
1+
1+
10.64
TCM
Энергетическая зависимость фаз описывалась функциями:
(
(
)4.22)(
(
)1.8)
TCM
0.13
4.37
1+
1+
2.3
TCM
φt =
(
)(
,
(54)
(
)4.22
(
)1.8)
TCM
0.114
1+
1+
2.44
TCM
φs =
(55)
(52+); E = 21.64 МэВ (ECM = 4.85 МэВ), Γ =
(
(
)4.47)(
(
)5)
1
= 4.03
МэВ
(
+); E = 23.97 МэВ (ECM =
TCM
0.085
2
1.53
1+
1+
2.56
TCM
7
= 7.18 МэВ), Γ = 5.44 МэВ (
+) и E = 24.06 МэВ
=
(
)(
,
2
(
)4.47
(
)5)
TCM
0.073
(ECM = 7.27 МэВ), Γ = 5.23 МэВ (52-). Из рис. 11
1+
1+
2.843
TCM
видно, что амплитуды всех каналов имеют усиления
в области резонансов компаунд-ядра 5He. Что же
(
)2.88
T
CM
касается фаз рассеяния, то они слабо меняются
4.95
0.9
φu =
(
)3.6 +
(
)2.88 .
(56)
с увеличением энергии. Тем не менее можно
TCM
TCM
отметить, что конструктивные фазы t- и u-каналов
1+
1+
1.515
1.65
в резонансной области приближаются к 3/2π, а
деструктивная фаза s-канала — к π/2.
Входящий в формфактор параметр μ2uf в ре-
При использовании выражений (42), (43) по-
зультате аппроксимации получился равным
лучающаяся аппроксимация экспериментальных
μ2uf = 1.85 × 10-3 ГэВ2,
(57)
дифференциальных сечений упругого dt-рассеяния
[33, 83-89] представлена на рис. 12. Угловое рас-
что меньше соответствующего параметра нейтрон-
пределение упругого dt-рассеяния представляет
ного обмена при pd-рассеянии (4.76 × 10-3 ГэВ2).
особый интерес при моделировании процессов
На рис. 11б стрелками изображены резонансы
термоядерного синтеза, в которых существенны
компаунд
5He∗ ядра: E = 16.84 МэВ (ECM =
даже относительно малые поправки к резер-
= 48 кэВ), Γ = 0.075 МэВ (32+); E = 19.14 МэВ
фордовскому рассеянию. Полученные поправки
позволят уточнить также и процессы пыления в
(ECM = 2.35 МэВ), Γ = 3.56 МэВ
(52+); E =
мишенях нейтронных генераторов.
= 19.26 МэВ (ECM = 2.47 МэВ), Γ = 3.96 МэВ
(32+); E = 19.31 МэВ (ECM = 2.52 МэВ), Γ =
2.7. Описание дифференциальных сечений
= 3.02
МэВ
(72+); E = 19.96 МэВ (ECM =
при малых энергиях
= 3.17 МэВ), Γ = 1.92 МэВ (32-); E = 21.25 МэВ
Для моделирования нейтронных генераторов
(ECM = 4.46 МэВ), Γ = 4.61 МэВ
(32+); E =
необходимо оценить, насколько хорошо получен-
= 21.39 МэВ (ECM = 4.6 МэВ), Γ = 3.95 МэВ
ные ТПЯР-аппроксимации описывают отношение
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
479
R дифференциальных сечений упругих dd- и
энергий найдены непрерывные и гладкие аппрок-
dt-рассеяний к резерфордовскому сечению при
симации дифференциальных сечений упругого рас-
самых малых энергиях. С этой целью был выбран
сеяния изотопов водорода, полученные на осно-
угол θCM = 90◦, для которого имеются экспери-
ве теории прямых ядерных реакций. Найденные
ментальные данные. На рис. 13 для dd- и dt-
аппроксимации дифференциальных сечений могут
рассеяний показана энергетическая зависимость
быть использованы для уточнения моделирования
отношения R в районе 100 кэВ, как измеренная
процесса пыления при облучении мишени ней-
в экспериментах [83, 90-92], так и предсказанная
тронного генератора, а также при моделировании
ТПЯР-аппроксимациями.
термоядерных установок и в астрофизических рас-
четах.
На рис. 13а отношение R, измеренное в работах
[90, 91] для упругого dd-рассеяния, сравнивается
с ТПЯР-аппроксимацией при угле рассеяния в
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
системе центра масс θCM = 90◦. Видно, что при
1.
M. V. Ivanov, J. R. Vignote, R. Alvarez-Rodriguez,
уменьшении энергии отношение монотонно при-
and J. M. Udias, Nucl. Theory 30, 116 (2011).
ближается к единице. Экспериментальные данные
2.
F. Nichitiu, Phase Shift Analysis in Physics (Acad.
свидетельствуют о том, что уже при 30 кэВ отличие
Publ., Bucharest, 1980).
между упругим и резерфордовским дифференци-
3.
S. B. Dubovichenko, Phase Shift Analysis in
альными сечениями практически исчезает, в то вре-
Nuclear Astrophysics (Lambert Acad. Publ.,
мя как ТПЯР-аппроксимация медленнее сходится
Germany, 2015).
к резерфордовскому сечению и даже при TCM =
4.
I. S. Shapiro, Nucl. Phys. 28, 244 (1961).
= 10 кэВ сохраняет расхождение примерно в 5%.
5.
I. S. Shapiro, V. M. Kolybasov, and G. R. Augst, Nucl.
Phys. 61, 353 (1965).
Аналогичное отношение для упругого dt-
6.
P. A. Zyla et al. (Particle Data Group), PTEP 2020,
рассеяния показано на рис. 13б. Стрелкой показан
083C01 (2020).
резонанс с энергией TCM = 48 кэВ. Горизонталь-
7.
М. В. Косов, Д. И. Савин, ЯФ 81, 603 (2018) [Phys.
ной линией сверху в логарифмическом масштабе
At. Nucl. 81, 656 (2018)].
показана его ширина, составляющая 74.5 кэВ.
8.
А. А. Галюзов, М. В. Косов, ЯФ 84, 382 (2021)
Как видно из рисунка, в области резонанса, ис-
[Phys. At. Nucl. 84, no. 5 (2021)].
пользующегося в нейтронных генераторах, упругое
9.
G. Gamow, Z. Phys. A 51, 204 (1928).
дифференциальное сечение dt-рассеяния на θCM =
10.
W. A. Fowler, G. R. Caughlan, and B. A. Zimmerman,
= 90◦ ниже резерфордовского на 40%, в отличие от
Ann. Rev. Astron. Astrophys. 5, 525 (1967).
11.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика (Наука,
dd-рассеяния, причем отрицательное отклонение
Москва, 1988).
примерно соответствует ширине резонанса.
12.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-
Хорошее совпадение с экспериментальными
ка. Нерелятивистская теория (Наука, Москва,
значениями неудивительно, поскольку значения
1989).
параметров амплитуд и фаз t- и s-каналов ядерного
13.
E. W. Cheney and H. L. Loeb, J. SIAM Numer. Anal.
упругого dd-рассеяния при TCM < 200 кэВ были
Ser. B 1, 11 (1964).
получены с учетом экспериментальных точек из
14.
N. Otuka, E. Dupont, V. Semkova, B. Pritychenko,
работ [90, 91] на рис. 13а. Аналогично, в случае
A. I. Blokhin, M. Aikawa, S. Babykina, M. Bossant,
dt-рассеяния значения параметров амплитуд и фаз
G. Chen, S. Dunaeva, et al., Nucl. Data Sheets 120,
t-, s- и u-каналов ядерного рассеяния при TCM <
272 (2014).
15.
J. M. Blair, G. Freier, E. E. Lampi, W. Sleator, Jr., and
< 750 кэВ (за исключением точек, соответствую-
J. H. Williams, Phys. Rev. 74, 553 (1948).
щих самым малым энергиям на рис. 12) были по-
16.
G. Breit, H. M. Thaxton, and L. Eisenbud, Phys. Rev.
лучены путем аппроксимации экспериментальных
55, 1018 (1939).
данных, показанных на рис. 13б.
17.
H. R. Worthington, J. N. Mcgruer, and D. E. Findley,
Таким образом, показано, что и в области са-
Phys. Rev. 90, 899 (1953).
мых малых энергий ТПЯР-аппроксимации угло-
18.
D. J. Knecht, P. F. Dahl, and S. Messelt, Phys. Rev.
вых распределений сечений упругих dd- и dt-
148, 1031 (1966).
рассеяний являются фактически усреднением дан-
19.
H. Wassmer and H. Muehry, Helv. Phys. Acta 46, 626
ных [83, 90-92] с экстраполяцией сечений к мень-
(1973).
шим углам рассеяния.
20.
K. Imai, K. Nisimura, N. Tamura, and H. Sato, Nucl.
Phys. A 246, 76 (1975).
21.
L. H. Johnston and D. E. Joung, Phys. Rev. 116, 989
(1959).
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
22.
S. Kikuchi, J. Sanada, S. Suwa, I. Hayashi,
В результате обработки большого количества
K. Nisimura, and K. Fukunaga, J. Phys. Soc. Jpn. 15,
экспериментальных данных в широком диапазоне
9 (1960).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
480
ГАЛЮЗОВ, КОСОВ
23.
A. Berdoz, F. Foroughi, and C. Nussbaum, J. Phys. G
46.
D. M. Holm and H. V. Argo, Phys. Rev. 101, 1772
12, L133 (1986).
(1956).
24.
A. E. Taylor, E. Wood, and L. Bird, Nucl. Phys. 16,
47.
N. Jarmie and R. C. Allen, Phys. Rev. 111, 1121
320 (1960).
(1958).
25.
M. Mahjour-Shafiei, J. C. S. Bacelar, M. D. Cozma,
48.
A. A. Yukhimchuk, V. V. Perevozchikov, V. A. Apasov,
M. J. van Goethem, M. N. Harakeh, M. Hoefman,
V. S. Aryutkin, Y. I. Vinogradov, M. D. Vikharev,
H. Huisman, N. Kalantar-Nayestanaki, H. L ¨ohner,
N. S. Ganchuk, A. N. Golubkov, S. K. Grishechkin,
J. G. Messchendorp, et al., Phys. Rev. C 70, 024004
A. M. Demin, et al., Nucl. Instrum. Methods A 513,
(2004).
439 (2003).
26.
J. C. Allred, A. H. Armstrong, R. O. Bondelid, and
49.
J. C. Allred, A. H. Armstrong, R. O. Bondelid, and
L. Rosen, Phys. Rev. 88, 433 (1952).
L. Rosen, Phys. Rev. 88, 433 (1952).
27.
N. Jarmie, J. H. Jett, J. L. Detch, Jr., and
50.
V. I. Grancev, V. I. Konfederatenko, V. A. Kornilov,
R. L. Hutson, Phys. Rev. C 3, 10 (1971).
O. F. Nemets, R. G. Ofengenden, B. A. Rudenko,
28.
D. Albers, F. Bauer, J. Bisplinghoff, R. Bollmann,
M. V. Sokolov, and B. G. Struzhko, Ukr. Fiz. Zh. 28,
K. Buesser, M. Busch, R. Daniel, O. Diehl,
506 (1983).
F. Dohrmann, H. P. Engelhardt, et al., Eur. Phys.
51.
E. T. Boschitz, W. K. Roberts, J. S. Vincent,
J. A 22, 125 (2004).
M. Blecher, K. Gotow, P. C. Gugelot, C. F. Perdrisat,
29.
K. Yasuda, T. Hotta, M. Kato, M. Kawabata,
L. W. Swenson, and J. R. Priest, Phys. Rev. C 6, 457
Y. Maeda, N. Matsuoka, T. Matsuzuka, Y. Mizuno,
(1972).
M. Nomachi, T. Noro, et al., Nucl. Phys. A 684, 400
52.
E. Huttel, W. Arnold, H. Berg, H. H. Krause,
(2001).
J. Ulbricht, and G. Clausnitzer, Nucl. Phys. A 406,
30.
D. R. Tilley, H. R. Weller, and G. M. Hale, Nucl. Phys.
435 (1983).
A 541, 1 (1992).
53.
C. R. Brune, W. H. Geist, H. J. Karwowski,
31.
J. M. Blair, G. Freier, E. Lampi, W. Sleator, Jr., and
E. J. Ludwig, K. D. Veal, M. H. Wood, A. Kievsky,
J. H. Williams, Phys. Rev. 74, 1594 (1948).
S. Rosati, and M. Viviani, Phys. Rev. C 63, 044013
32.
A. S. Wilson, M. C. Taylor, J. C. Legg, and
(2001).
G. C. Phillips, Nucl. Phys. A 126, 193 (1969).
54.
M. H. Wood, C. R. Brune, B. M. Fisher,
H. J. Karwowski, D. S. Leonard, E. J. Ludwig,
33.
J. E. Brolley, T. M. Putnam, L. Rosen, and L. Stewart,
A. Kievsky, S. Rosati, and M. Viviani, Phys. Rev. C
Phys. Rev. 117, 1307 (1960).
65, 034002 (2002).
34.
H. B. Burrows, W. M. Gibson, and J. Rotblat, Proc.
Roy. Soc. London A 209, 489 (1951).
55.
D. C. Kocher and T. B. Clegg, Nucl. Phys. A 132, 455
(1969).
35.
O. F. Nemec, V. V. Ostashko, V. N. Urin, and
A. M. Jasnogorodskij, Ukr. Fiz. Zh. 30, 328 (1985).
56.
F. Lahlou, R. J. Slobodrian, P. Bricault,
S. S. Dasgupta, R. Roy, and C. Rioux, J. Phys.
36.
L. Rosen, F. K. Tallmadge, and J. H. Williams, Phys.
France 41, 485 (1980).
Rev. 76, 1283 (1949).
37.
J. C. Allred, K. W. Erickson, J. L. Fowler, and
57.
A. S. Wilson, M. C. Taylor, J. C. Legg, and
G. C. Phillips, Nucl. Phys. A 130, 624 (1969).
E. J. Stovall, Jr., Phys. Rev. 76, 1430 (1949).
38.
N. Jarmie and J. H. Jett, in Proceedings of
58.
K. Sagara, H. Oguri, S. Shimizu, K. Maeda,
H. Nakamura, T. Nakashima, and S. Morinobu, Phys.
the Conference on Few-Particle Problems (Los
Rev. C 50, 576 (1994).
Angeles, 1972), p. 659.
39.
A. Okihana, N. Fujiwara, H. Nakamura-Yokota,
59.
S. Kistryn, J. Lang, J. Liechti, H. Luscher, T. Maier,
T. Yanabu, K. Fukunaga, T. Ohsawa, and S. Tanaka,
R. Muller, M. Simonius, J. Smyrski, J. Sromicki, and
J. Phys. Soc. Jpn. 46, 707 (1979).
W. Haeberli, Phys. Lett. B 219, 58 (1989).
60.
R. Gr ¨otzschel, B. K ¨uhn, H. Kumpf, K. M ¨oller, and
40.
H. Itoh, Prog. Theor. Phys. 39, 1361 (1968).
J. M ¨osner, Nucl. Phys. A 174, 301 (1971).
41.
W. T. H. van Oers, H. Arnold, and K. W. Brockman,
Jr., Nucl. Phys. 46, 611 (1963).
61.
A. E. Borzakovskij and S. V. Romanovskij, Ukr. Fiz.
42.
O. O. Beliuskina, V. I. Grantsev, K. K. Kisurin,
Zh. 22, 2056 (1977).
S. E. Omelchuk, G. P. Palkin, Y. S. Roznyuk,
62.
W. Gr ¨uebler, V. K ¨onig, P. A. Schmelzbach, B. Jenny,
B. A. Rudenko, V. S. Semenov, L. I. Slusarenko, and
H. R. B ¨urgi, P. Doleschall, G. Heidenreich, H. Roser,
B. G. Struzhko, Vopr. Atomn. Nauki i Tekhn., Ser.
F. Seiler, and W. Reichart, Phys. Lett. B 74, 173
Yad. Fiz. Issled. 5, 10 (2011).
(1978).
43.
C. Alderliesten, A. Djaloeis, J. Bojowald, C. Mayer-
63.
G. Rauprich, H. J. H ¨ahn, M. Karus, P. Nießen,
Boericke, G. Paic, and T. Sawada, Phys. Rev. C 18,
K. R. Nyga, H. Oswald, L. Sydow, H. P. gen Schieck,
2001 (1978).
and Y. Koike, Few-Body Syst. 5, 67 (1988).
44.
H. Brueckmann, E. L. Haase, W. Kluge, and
64.
M. Sawada, S. Seki, K. Furuno, Y. Tagishi,
L. Schaenzler, Z. Phys. 230, 383 (1970).
Y. Nagashima, J. Schimizu, M. Ishikawa,
45.
A. M. Micherdzinska, P. V. Pancella,
T. Sugiyama, L. S. Chuang, W. Gr ¨uebler, et al.,
E. J. Stephenson, A. D. Bacher, C. E. Allgower,
Phys. Rev. C 27, 1932 (1983).
A. C. Fonseca, C. M. Lavelle, H. Nann, J. Olmsted,
65.
R. O. Kerman and R. Nilson, Phys. Rev. 107, 200
M. A. Pickar, et al., Phys. Rev. C 75, 054001 (2007).
(1957).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
481
66.
D. O. Caldwell and J. R. Richardson, Phys. Rev. 98,
78. R. S. Claassen, R. J. S. Brown, G. D. Freier, and
28 (1955).
W. R. Stratton, Phys. Rev. 82, 589 (1951).
67.
C. C. Kim, S. M. Bunch, D. W. Devins, and
79. C. Manduchi, G. Moschini, G. Tornielli, and
H. H. Forster, Nucl. Phys. 58, 32 (1964).
G. Zannoni, Nuovo Cimento B 57, 340 (1968).
68.
J. H. Williams and M. K. Brussel, Phys. Rev. 110, 136
80. R. Kankowsky, J. C. Fritz, K. Kilian, A. Neufert, and
(1958).
D. Fick, Nucl. Phys. A 263, 29 (1976).
69.
H. Shimizu, K. Imai, N. Tamura, K. Nisimura,
K. Hatanaka, T. Saito, Y. Koike, and Y. Taniguchi,
81. J. L. Detch, Jr., R. L. Hutson, N. Jarmie, and
J. H. Jett, Phys. Rev. C 4, 52 (1971).
Nucl. Phys. A 382, 242 (1982).
70.
K. Ermisch, H. R. Amir-Ahmadi, A. M. van den
82. N. Jarmie and J. H. Jett, Phys. Rev. C 10, 57 (1974).
Berg, R. Castelijns, B. Davids, E. Epelbaum, E. van
83. M. Kaoua, M. Allab, C. Gerardin, and R. Seltz, Nuovo
Garderen, W. Gl ¨ockle, J. Golak, M. N. Harakeh,
Cimento A 54, 321 (1979).
et al., Phys. Rev. C 68, 051001 (R) (2003).
84. W. R. Stratton, G. D. Freier, G. R. Keepin, D. Rankin,
71.
H. Rohdjeß, W. Scobel, H. O. Meyer, P. V. Pancella,
and T. F. Stratton, Phys. Rev. 88, 257 (1952).
S. F. Pate, M. A. Pickar, R. E. Pollock,
B. V. Przewoski, T. Rinckel, F. Sperisen, et al.,
85. M. Ivanovich, P. G. Young, and G. G. Ohlsen, Nucl.
Phys. Rev. C 57, 2111 (1998).
Phys. A 110, 441 (1968).
72.
J. Golak, W. Gl ¨ockle, H. Kamada, H. Witala,
86. T. A. Tombrello, R. J. Spiger, and A. D. Bacher, Phys.
R. Skibi ´nski, and A. Nogga, Phys. Rev. C 65, 044002
Rev. 154, 935 (1967).
(2002).
87. J. C. Allred, A. H. Armstrong, A. M. Hudson,
73.
J. Fain, J. Gardes, A. Lefort, L. Meritet, J. F. Pauty,
R. M. Potter, E. S. Robinson, L. Rosen, and
G. Peynet, M. Querrou, F. Vazeille, and B. Ille, Nucl.
E. J. Stovall, Jr., Phys. Rev. 88, 425 (1952).
Phys. A 262, 413 (1976).
74.
Г. Н. Величко, А. А. Воробьев, О. Г. Гребенюк,
88. B. Struzhko, Ukr. Fiz. Zh. 45, 1154 (2000).
Г. А. Королев, Ж. Содинос, А. В. Ханзадеев, ЯФ 47,
89. O. Belyuskina, V. Grantsev, V. Davydovskyy,
1185 (1988).
K. Kisurin, S. Omelchuk, G. Palkin, Y. Roznyuk,
75.
F. Irom, G. J. Igo, J. B. McClelland, C. A. Whitten,
B. Rudenko, L. Saltykov, V. Semenov, et al., Ukr.
Jr., and M. Bleszynski, Phys. Rev. C 28, 2380 (1983).
Fiz. Zh. 45, 1154 (2000).
76.
E.
Winkelmann,
P.
R.
Bevington,
90. E. H. Marlinghaus, H. Genz, G. Pospiech, A. Richter,
M. W. McNaughton, H. B. Willard, F. H. Cverna,
and G. Schrieder, Nucl. Phys. A 255, 13 (1975).
E. P. Chamberlin, and N. S. P. King, Phys. Rev. C 21,
91. J. Niewisch and D. Fick, Nucl. Phys. A 252, 109
2535 (1980).
(1975).
77.
A. Hemmendinger, G. A. Jarvis, and R. F. Taschek,
Phys. Rev. 76, 1137 (1949).
92. I. G. Balashko and I. I. Barit, JETP 7, 715 (1958).
AN APPROXIMATION OF DIFFERENTIAL CROSS SECTIONS
OF ELASTIC SCATTERING OF HYDROGEN ISOTOPES
A. A. Galyuzov1), M. V. Kosov1)
1)Dukhov Automatics Research Institute, Moscow, Russia
Differential cross sections of elastic scattering of hydrogen isotopes are used in modelling of setups,
in which the fusion reactions ignition takes place, and in astrophysical applications. At small energy
approximations of experimental differential cross sections of elastic scattering of hydrogen isotopes based
on the direct nuclear reactions theory are obtained taking into account an interference of electromagnetic
and nuclear scattering amplitudes.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84
№6
2021
