ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2021, том 84, № 6, с. 524-534

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

НА ФОРМУ Z-РЕЗОНАНСА В ПРОЦЕССЕ РОЖДЕНИЯ НЕЙТРИНО

Поступила в редакцию 29.04.2021 г.; после доработки 29.04.2021 г.; принята к публикации 30.05.2021 г.

Рассчитаны однопетлевые электрослабые радиационные поправки к полному сечению четырехферми-

онного процесса с конечным нейтринным состоянием в окрестности Z-резонанса. Результат приведен

к форме, позволяющей анализировать резонансное поведение новых (за рамками Стандартной

модели) бозонов. Сделан численный анализ полученных результатов.

DOI: 10.31857/S0044002721060106

1. ВВЕДЕНИЕ

типах нейтрино только в том случае, если их

масса больше половины массы Z-бозона. Хотя

Изучение энергетического распределения Z-

такая ситуация кажется маловероятной, следует

бозона, имеющего вид резонансной кривой (т.е. за-

понимать, что существование “тяжелых” нейтрино

висимости числа распадов от энергии), с шириной,

может проявиться при энергиях, до сих пор недо-

которая отражает неопределенность значения мас-

ступных современным ускорителям и может быть

сы Z-бозона и определяет его время жизни, позво-

обнаружено при изучении резонансного поведения

ляет приблизиться к ответу на важнейший вопрос

энергетического спектра Новых бозонов: хиггсов-

современной физики о количестве существующих в

ского, Z^′, темного фотона и т.п., например, на

природе поколений фундаментальных фермионов.

будущих электрон-позитронных коллайдерах но-

Z-бозон имеет адронный, лептонный и нейтринный

вого поколения. К ним относятся Международный

(прямо не наблюдаемый, невидимый) каналы рас-

линейный коллайдер (International Linear Collider,

пада, каждый канал уменьшает его время жизни.

ILC) c планируемой энергией 1 ТэВ (до 2 ТэВ после

Образование Z-бозонов удобно осуществлять на

модернизации) и параллельно развивающийся с

встречных пучках в реакции e⁺e^--аннигиляции,

ним проект — Компактный линейный коллайдер

где, по сравнению с адронными столкновениями,

(Compact Linear Collider, CLIC) с проектируемой

распределение энергии контролируется с превос-

энергией 3 ТэВ. Новый проект “Будущий цикли-

ходной точностью. Именно в такой постановке экс-

ческий коллайдер” (Future Circular Collider, FCC)

перимента на Стэнфордском линейном коллайдере

с энергией пучков в лептонном режиме (FCC-ee)

(SLAC) и на большом электронно-позитронном

от 45 до 175 ГэВ направлен на точное изучение

коллайдере (LEP) в CERN была получена оцен-

ка числа возможных типов нейтрино (n = 2.982 ±

свойств нового скалярного (хиггсовского) бозона

± 0.013), которая показала, что поколений всего

в продолжение открытия LHC коллаборациями

три. Все они к настоящему времени хорошо извест-

ATLAS [1] и CMS [2] и также интересен с этой

ны, это электронное, мюонное и тау-нейтрино.

точки зрения.

Следует сказать, что полностью исключить

Для того чтобы получить надежную инфор-

существование следующих (четвертого и т.д.)

мацию из экспериментальных данных, необходи-

поколений нейтрино нельзя. Во-первых, при

мо точно учесть эффекты высших порядков в

анализе данных предполагается так называемая

СМ — электрослабые радиационные поправки

лептонная универсальность: заряженных лептонов

(ЭСП). Включение ЭСП на уровне по крайней ме-

e-μ-τ и нейтринная ν_e-ν_μ-ν_τ . Во-вторых, не

ре одной петли является неотъемлемой частью лю-

вступая в противоречие с экспериментальными

бого современного эксперимента. Одним из первых

данными SLAC и LEP, можно говорить о других

расчетов электромагнитных радиационных попра-

вок (включая жесткие фотоны) к четырехферми-

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

онному процессу аннигиляции был проделан в [3].

Россия.

Влияние электромагнитных радиационных попра-

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

ны, Гомель, Беларусь.

вок второго порядка на форму резонансной кривой

^*E-mail: zykunov@cern.ch

было впервые исследовано в [4].

524

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

525

p₁

p₃

Для нужд коллайдеров LEP и SLC потребо-

валось систематическое включение слабой части

поправок. Влияние ЭСП на наблюдаемые в обла-

Z(q)

сти резонанса впервые изучено в [5-7] (там бы-

ли установлены малость эффектов электрослабых

боксов и слабая зависимость от масс хиггсовского

бозона и t-кварка). Решение задачи точного со-

-p₂

-p₄

ответствия экспериментальным возможностям де-

текторов потребовало разработки соответствую-

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма процесса e^-e⁺ →

щего программного обеспечения: BHM и WOH [8-

→ νμνμ в борновском приближении.

10], TOPAZ0 [11], ZFITTER [12], а также резуль-

таты группы SANC [13, 14] и KKMC [15, 16], где

используются электрослабые библиотеки DIZET

из ZFITTER. Вышеназванным группам удалось

γ, Z

достичь впечатляющих результатов по согласова-

нию, во многом благодаря чему экспериментальные

данные LEP и SLC были беспрецедентно успешно

обработаны.

Представляется важным провести ревизию пре-

Рис. 2. Фейнмановские диаграммы вкладов бозонных

цизионного изучения формы резонансной кривой

собственных энергий в процесс e^-e⁺ → νμνμ.

процесса образования нейтрино на лептонных кол-

лайдерах нового поколения, которая была проде-

лана в настоящей работе: сделан новый независи-

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

мый расчет однопетлевых ЭСП к полному сечению

В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

нейтринного канала e⁺e^--аннигиляции, включая

Нас интересует четырехфермионный процесс

жесткое тормозное излучение. Двумя способами

с неполяризованными электроном и позитро-

показана независимость физического результата от

ном в начальном состоянии и парой нейтрино-

расчетных параметров (массы фотона и раздели-

антинейтрино в конечном (пользуясь элементарны-

теля области энергии мягкого и жесткого фотона).

ми заменами, можно использовать все полученные

Пользуясь методикой работы [17], получена форма,

формулы для произвольной фермионной конфигу-

пригодная для применения результатов к анализу

рации):

резонансного поведения новых (за рамками Стан-

дартной модели) бозонов.

e^-(p₁) + e⁺(p₂) → Z(q) → ν_μ(p₃) + ν_μ(p₄).

(1)

Другим возможным приложением результатов

Фейнмановская диаграмма, соответствующая про-

настоящей работы являются адронные реакции.

цессу (1) в борновском приближении, приведена на

Так, в столкновения адронов (например, при изу-

рис. 1. Обозначения на диаграмме следующие:

чении процесса Дрелла-Яна — рождения дилеп-

тонной пары) имеются ненаблюдаемые нейтринные

• p1 — 4-импульс начального электрона с

моды, которые принято брать в расчет в контек-

массой m;

сте так называемой потерянной поперечной энер-

гии (MET, missing E_T , missing transverse energy).

• p2 — 4-импульс начальногопозитрона(с той

Улучшение качества формирования адронных пуч-

же массой);

ков и детекторной аппаратуры повышают требо-

вания к теоретической составляющей эксперимен-

• p3 — 4-импульс конечного нейтрино ν с

тальной программы. Полученные здесь аналити-

нулевой массой (и, для определенности, с

ческие выражения помогут уточнить аспект MET

ароматом μ);

в действующей программе LHC и планируемых

адронных машин.

• p4 —4-импульсконечногоантинейтрино ν(с

План работы следующий: в разд. 2 дано общее

тем же ароматом и массой);

описание четырехфермионного процесса, в разд. 3

приведены выражения для амплитуд и сечений

• q = p₁ + p₂ — 4-импульс Z-бозона с массой

процесса с учетом виртуальных вкладов в ЭСП.

m_Z.

В разд. 4 разобрана структура тормозного излуче-

ния, приведены необходимые амплитуды и сечения.

Промежуточные массивные бозоны в работе ин-

Численный анализ проведен в разд. 5.

дексируются так: a = Z, W .

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

526

ЗЫКУНОВ

γ, Z

Рис. 3. Фейнмановские диаграммы вкладов электронных и нейтринных вершин в процесс e^-e⁺ → νμνμ.

p₁

p₃

p₁

p₃

Z, W

p₁- k

p₃- k

p₁- k

k- p₄

Z, W

-p₂

−p₄

-p₂

-p₄

Рис. 4. Фейнмановские диаграммы двухбозонныхвкладов в процесс e^-e⁺ → νμ νμ: а — прямой бокс, б — перекрестный

бокс.

Приведем стандартный набор лоренц-инвари-

используется схема с фиксированной шириной, а

антных переменных Мандельштама:

для численных оценок выбрано Γ_Z = 2.4952 ГэВ.

Для сравнения приведем значение для парциаль-

s = q² = (p₁ + p₂)²,

(2)

ной ширины распада Z-бозона по нейтринному

t = (p₁ - p₃)², u = (p₂ - p₃)²,

каналу: Γ_Z = 0.166 ГэВ, треть от так называемой

невидимой ширины Γ(invisible) = 0.499 ГэВ.

которые сформированы из 4-импульсов частиц.

В работе применяется ультрарелятивистское при-

Фермионный (электронный) пропагатор выгля-

ближение (УРП):

дит так (тут p — 4-импульс передачи, также везде

используется сокращенная запись p = γ^μp_μ):

s,|t|,|u| ≫ m2f.

(3)

p+m

Также будем пользоваться общими фермионным

iS(p) = i

(5)

p² - m²

f = q,e и лептонным l = e,ν индексами.

Для расчета дифференциального сечения dσ⁰

Вершине взаимодействия фермиона f с калибро-

процесса (1) применяется стандартная диаграмм-

вочным бозоном a соответствует выражение

ная техника. Прежде всего сформируем амплиту-

ieγ_μΓ^af, где Γ^af = v^af - a^afγ₅.

(6)

ды, используя правила Фейнмана из [18], и кратко

опишем их. Входящему фермиону с 4-импульсом

Векторные и аксиально-векторные константы свя-

p соответствует биспинорная амплитуда u(p), вы-

зи фермиона аромата f с фотоном и Z-бозоном

ходящему — биспинорная амплитуда u(p). Пропа-

имеют вид:

гатору бозона (в калибровке Фейнмана) отвечает

v^γf = -Q_f, a^γf = 0,

выражение -ig^αβ D_a(q), где

I3f - 2Q_f s^2W

I3f

v^Zf =

a^Zf =

;

D_a(q) =

(4)

2s_Wc_W

q² - m2a + im_aΓ_a

векторные и аксиально-векторные константы свя-

а q — 4-импульс передачи в пропагаторе. Фо-

зи с участием нейтрино равны:

тонная масса m_γ ≡ λ равна нулю везде, кроме

специально отмеченных случаев, где она исполь-

v^Weν = a^Weν =

√

v^Zν = a^Zν =

(7)

зуется как инфинитезимальный параметр, который

2s_W

4s_Wc_W

регуляризует инфракрасную расходимость. Масса

Z-бозона обозначена как m_Z , величина Γ_Z — это

Используются следующие параметры Стандарт-

его полная ширина. Существуют разные схемы для

ной модели (СМ): Q_f — электрический заряд f-

корректного учета ширины, в настоящей работе

частицы в единицах протонного заряда e, третья

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

527

компонента слабого изоспина для конкретного ти-

3. ВИРТУАЛЬНЫЙ ВКЛАД В ЭСП

па фермиона:

Для учета в сечении однопетлевых ЭСП к квад-

рату борновской амплитуды добавляется слагае-

I3ν = +

I3e = -

I3u = +

I3d = -

(8)

мое порядка O(α³):

M₀M⁺⁰ + 2ReM_NLOM⁺⁰,

а s_W (c_W) — синус (косинус) угла Вайнберга,

которые связаны с массами Z- и W -бозона в

где однопетлевая амплитуда имеет вид

рамках СМ следующим образом:

M_NLO = M_BSE + M_EZV +

(17)

√

m_W

+M_NZV +M_NGV.

c_W =

s_W =

1-c^2W.

(9)

m_Z

Амплитуда M_BSE обусловлена бозонной соб-

Запишем сечение в стандартном виде

ственной энергией, диаграммы которой изображе-

ны на рис. 2. Кружком на них обозначены все

dσ =

|M|²dΦ₂,

(10)

вклады собственных энергий в однопетлевом при-

8π²s

ближении, возможные в рамках СМ. Нетрудно

построить M_BSE из борновской амплитуды и блока

где M — амплитуда процесса, а фазовый объем

реакции имеет вид

Σab

— перенормированной поперечной части вкла-

да диаграмм собственных энергий Z-бозона и γZ-

d³p₃ d³p₄

dΦ₂ = δ(q - p₃ - p₄)

≈

dt.

(11)

смешивания:

∑

2p₃₀ 2p₄₀

M_BSE = -M₀

D_a(q)ΣaZT(s).

(18)

Записанная по правилам Фейнмана амплитуда

a=γ,Z

процесса (1) выглядит так:

Для всехΣabT используем выражения из [18], расчет

M₀ = ie²D_Z(q)u(-p₂)γ_μΓ^Zeu(p₁) ×

(12)

был проведен по схеме перенормировки на массо-

вой поверхности с применением ренормализацион-

× u(p₃)γ^μΓ^Zν u(-p₄).

ных условий [10].

Квадрируя борновскую амплитуду и используя

Амплитуда M_EZV соответствует электронной

коммутационные свойства гамма-матриц, находим

вершинной функции, диаграммы которой изобра-

в УРП

жены на рис. 3а:

[

]

M_EZV = ie²D_Z(q) ×

(19)

M₀M⁺⁰ =

γ_μ(Γ^Ze)² p₁γ_ν p₂

(13)

(

)

× u(-p₂)γ_μ

u(p₁) ×

[

]

vFZe - aeZ γ5

× Sp

γ^μ(Γ^Zν)² p₄γ^ν p₃

D_Z(q)D^∗Z(q).

× u(p₃)γ^μΓ^Zν u(-p₄),

Вычисляя следы, получим дифференциальное бор-

где электронные вершинные формфакторы имеют

новское сечение в виде

вид

(

4πα

(

dσ⁰ =

C⁰D_Z(q)D^∗Z(q)dt,

(14)

v^ZeΛγ1,e + v^Ze

(v^Ze )² + 3(a^Ze )²) ×

(20)

vFZe =

s²

4π

)

где комбинацию электронных констант связи и

3c_W

инвариантов t, u, характерную для борновского се-

×ΛZ2 +

ΛW2 -

Λ^W

8s^3Wc_W

4s³

чения, удобно представлять в форме:

(

C⁰ = g^ZZV,eg^ZZV,ν(t² + u²) + g^ZZA,eg^ZZA,ν(u² - t²).

aFZe

a^ZeΛγ1,e + a^Ze

3(v^Ze )² + (a^Ze )²)×

4π

)

Встречающиеся комбинации констант связи имеют

3c_W

×ΛZ2 +

ΛW2 -

Λ^W

вид

8s^3Wc_W

4s³

g^abV,f = v^afv^bf + a^afa^bf , g^abA,f = v^afa^bf + a^afv^bf.

(15)

Функция Λγ1,e описывает вклад треугольной диа-

∫₀

граммы с фотонным обменом и содержит инфра-

Интегрируя по углу, получим с учетом

t²dt =

-s

красную расходимость в виде зависимости от λ,

∫₀

u²dt = s³/3 и некоторых упрощений (комби-

которой предстоит сократиться в сумме с вкладами

-s

тормозного излучения (см. раздел 4). Функция Λ₂

нация при g^ZZA не дает вклада) полное борновское

описывает вершинный вклад с обменом массив-

сечение в виде

ным бозоном — Z или W , а Λ₃ — с трехбо-

πα²s

1 - 4s^2W + 8s^4W

зонной вершиной — W W γ или W W Z. Выраже-

σ⁰ =

(16)

(s - m2Z )² + m2Z Γ²

48s^4Wc^4W

ния для вершинных функций приводятся в [10].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

528

ЗЫКУНОВ

Благодаря простой форме амплитуды (19) при

Для прямого ZZ-бокса выражения C0,1 и B0,4

квадрировании получаем вещественную комбина-

имеют следующий вид:

цию D_Z (q)D_Z (q)^∗, так что только реальная часть

функций Λ1,2,3 даст вклад в сечение. Отмеченное

CD0 = -y²Y_S, BD0 = -

yY_A,

свойство имеет место также для вкладов от M_NZV

[

]

CD1 = x(1 - x)y³Y_B, BD4 = y(1 - y)

Y_S - Y_B

и M_NGV, которые обусловлены нейтринными вер-

шинами. Соответствующие этим амплитудам диа-

Выражения Y_A,B,S выглядят так:

граммы изображены на рис. 3б:

(

)

ReY_A =

A+CG_A -BG_L ,

MNZV/NGZ = ie²D_Z/γ(q) · u(-p₂)γ_μ ×

(21)

A²

(

)

× Γ^Z/γeu(p₁) · u(p₃)γ^μvνZ/γ(1 - γ₅)u(-p₄),

ImY_A =

BG_A + CG_L ,

A²

где нейтринные вершинные формфакторы имеют

1⁽

A+B⁾

ReY_B =

2ReY_A -

вид (в соответствии с [10] в них были добавлены

вклады нейтринных собственных энергий, которые

1⁽

C⁾

имеются в схеме перенормировки на массовой по-

ImY_B =

2ImY_A -

верхности):

)

(

1 (

A(A + B)

ReY_S =

+G_L ,

A²

vFZν =

ΛZ2 +

(22)

)

4π 4s_Wc_W

4s^2Wc²

1 (

)

ImY_S =

-G_A .

2s^2W - 1

3c^2W

A²

ΛW2 +

Λ^W

2s^2W

s²

Используются следующие сокращения:

(

)

D = (A + B)² + C², G_L =

(25)

vνγ =^α

Λ^W

B² + C²

4π

4s²

A+B

G_A = arctg

- arctg

Сечение от вклада двухбозонного обмена здесь

получено согласно методу работы [17]. Так, для aa-

где выражения для коэффициентов A, B, C имеют

боксов (a = Z, W ), диаграммы которых изображе-

вид

ны на рис. 4, оно имеет вид

A = t(1 - y) - sx(1 - x)y²,

∫1

B = -t(1 - y) + m2Zy, C = m_ZΓ_Zy.

2α

dσ^aa =

dxdyReD^∗Z (q) ×

(23)

s²

Выражения для W W -боксов получаются из

(

)

формул для aa-случая заменой индекса a → W

× CaaZ3[KD3 + KC3] + CaaZ4[KD4 + KC4]

· dt,

в константах связи и пропагаторах (кроме этого,

требуется “выключить” прямой бокс, запрещенный

где константы связи собраны в двух комбинациях:

законами сохранения).

Cabc3 = v^abcev^abcν,

4. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

v^abcf = v^afv^bf v^cf + v^afa^bfa^cf + a^afv^bfa^cf + a^afa^bf v^cf,

Позаботимся об устранении инфракрасной рас-

Cabc4 = a^abcea^abcν,

ходимости, для чего учтем процесс тормозного из-

a^abcf = a^afa^bf a^cf + a^afv^bfv^cf + v^afa^bf v^cf + v^afv^bfa^cf ,

лучения (ТИ):

(

)₂

e^-(p₁) + e⁺(p₂) → Z(q₁) + γ(p) →

(26)

нетрудно установить, что v^aaZν ≡ a^aaZν = 4

v^aν

v^Zν.

→ ν_μ(p₃) + ν_μ(p₄) + γ(p),

Коэффициенты в (23) выглядят так:

т.е. процесс, который “сопровождает” исследуе-

KD3 = CD0t(t² + u²) + 2BD0(4t² + u²) -

(24)

мый процесс (1) и неотличим от него в инклю-

- 2CD1 st² - BD4 t(2t² + u²),

зивной постановке эксперимента, когда тормоз-

ной фотон (с 4-импульсом p) не детектируется.

KD4 = CD0t(u² - t²) + 2BD0(u² - 4t²) +

Фейнмановские диаграммы, описывающие радиа-

+ 2CD1 st² + BD4 t(2t² - u²),

ционный процесс (26), приведены на рис. 5, они

соответствуют излучению из начального состояния

KC3 = -KD3|_t↔u, KC4 = +KD4|_t↔u.

(ISR, initial state radiation).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

529

Рис. 5. Фейнмановские диаграммы процесса e^-e⁺ → νμ νμγ.

Обсуждаемая выше неотличимость процессов

где

совершенно очевидна при малых энергиях тормоз-

p-p₁ -m

ного фотона, такой процесс называется мягким

(ΓZ3 )^μρ = γ^μΓ^Z

γ^ρ +

z₁

тормозным излучением. Кинематика мягкого ТИ,

-p+p₂ -m

соответственно, неотличима от кинематики безра-

+γ^ρ

γ^μΓ^Ze.

диационного процесса (1). Сечение мягкого ТИ,

v₁

следовательно, пропорционально борновскому и

С учетом уравнения Дирака получаем следующее

выглядит так:

упрощение

(

dσ^soft = δ_softdσ⁰,

(27)

pγ^ρ - 2p1ρ

(Γa3)^μρ = γ^μ

(31)

z₁

где “мягкая” поправка, рассчитанная в Приложе-

)

нии, имеет в УРП вид

-γ^ρ p+ 2p2ρ

[

]

γ^μ Γ^Ze = Γμρ3Γ^Ze.

2ω

L²

π²

v₁

δ_soft =

2 ln

(L - 1) + L -

(28)

Квадрируя и используя e_ρ(p)e_ρ′ (p) = -g_ρρ′ , по-

лучаем в УПР:

Коллинеарная сингулярность излучения из началь-

∑

ного состояния сосредоточена в так называемом

|R₃|² = -

Q2lD_Z(q₁)D^∗Z(q₁) ×

коллинеарном логарифме (или “большом логариф-

ме”, поскольку s в настояшем расчете соответству-

[

× Sp

Γμρ3Γ^Ze p₁ΓZe+Γνρ3+ p₂]Sp^[γ_μΓ^Zν p₄ΓZν+γ_ν p₃].

ет характерному энергетическому масштабу реак-

ции — области Z-резонанса s ∼ m2Z ):

Вычисляя следы произведения гамма-матриц, по-

лучим выражение:

L = ln

(29)

∑

m²

∗

|R₃|² = 8Q2lD_Z (q₁)D

(q₁) ×

(32)

(

)

В сумме сечение процесса (1) и сечение мягкого

× g^ZZV,eg^ZZV,νI_V +g^ZZA,eg^ZZ

IA ,

ТИ представляют инфракрасно-конечную величи-

A,ν

ну, однако эта сумма содержит дополнительный

где

параметр (вообще говоря, нефизический) — мак-

m²

симальную энергию (мягкого) тормозного фотона

I_V =

V₁ +

V₂ +

V₃ +

V₄ +

V₅,

ω. Квадраты коллинеарных логарифмов L в (28)

z²¹

v²¹

z₁v₁

z₁

v₁

сокращаются в сумме со слагаемыми из вершинно-

m²

го вклада, содержащими Λ₁.

I_A =

A₁ +

A₂ +

A₃ +

z²¹

v²¹

z₁v₁

Дифференциальное сечение процесса (26) имеет

вид

A₄ +

A₅ + A₆.

z₁

v₁

∑

dσ_R =

|R₃|²dΦ₃,

(30)

Выражения V_i выглядят так (используем сокраще-

π²s

ние w_± = t ± u + z):

где

^∑ |R₃|² — квадрированные амплитуды, про-

V₁ = (s - v₁)w₊ + 2u(t + z),

(33)

суммированные и усредненные по поляризациям.

V₂ = (s - z₁)w₊ + 2t(u + z),

Амплитуда, соответствующая диаграммам рис. 5,

имеет вид

V₃ = -2stu - sz(t + u) - s²w₊,

R₃ = -iQ_ee_ρ(p)D_Z(q₁) ×

V₄ = (s - v₁/2)w₊ + tu - t² + uz,

× u(-p₂)(ΓZ3 )^μρu(p₁)u(p₃)γ_μΓZν u(-p₄),

V₅ = (s - z₁/2)w₊ + tu - u² + tz,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

530

ЗЫКУНОВ

а выражения A_i имеют следующий вид:

Лоренц-инварианты, описывающие радиацион-

ный процесс (радиационные инварианты)

A₁ = (v₁ - s)w_-,

(34)

z₁ = 2p₁p, v₁ = 2p₂p,

(42)

A₂ = (z₁ - s)w_-,

z = 2p₃p, v = 2p₄p,

A₃ = s²(t - u),

благодаря законам сохранения связаны кинемати-

A₄ = v₁w_-/2 - s(t - w_-),

ческими соотношениями

A₅ = s(u - w_-) + z₁w_-/2,

z₁ + v₁ = z + v, s + t + u = v + 2m².

(43)

A₆ = t - u.

Выразим через энергию, азимутальный и полярный

Фазовый объем реакции 2 → 3 имеет вид

углы фотона радиационные инварианты:

d³p₃ d³p₄ d³p

z₁ = 2p₀p₁₀ - 2|p||p₁|cos θ_p,

(44)

dΦ₃ = δ(q - q₁ - p)

(35)

2p₃₀ 2p₄₀ 2p₀

v₁ = 2p₀p₂₀ + 2|p||p₂|cos θ_p,

q₁ = p₃ + p₄.

z = 2p₀p₃₀ + 2|p||p₃|A,

Последовательность расчета такого фазового объ-

v = 2p₀(√s - p30) - 2|p||p3|A.

ема, пределы интегрирования и необходимые кине-

Заметим, что во всех формулах различаются p₀

матические соотношения подробно описаны в [19]

и |p|: в них удерживается масса фотона λ (т.е.

(см. также [20]). Приведем здесь финальное вы-

ражение с учетом конфигурации частиц настоящей

p²⁰ - |p|² = λ² → 0), которая в дальнейшем будет

работы:

использована как инфинитезимальный параметр

для регуляризации инфракрасной расходимости.

|p₃|

d³p

dΦ₃ =

d cos θ₃dϕ₃

(36)

Инвариант t в радиационном случае связан в

4p₄₀F

2p₀

с.ц.м. с углом рассеяния следующим соотношением

(

d³p = |p|²d|p|dcos θ_pdϕ_p,

2m² - s + v +

(45)

что дает после упрощений (и снятия очевидных

√

интегралов)

)

4m²

+ cos θ₃(s - v)

πp₃₀|p|

dΦ₃ =

d cos θ₃dp₀d cos θ_pdϕ_p,

(37)

4p₄₀F

инвариант u определяется сходной формулой, но

где F выражается через углы и энергии так:

с противоположным знаком при cos θ₃. Наконец,

приведем обозначения оставшихся инвариантов:

p₃₀(1 - A|p|/|p₃|)

F =1+

√

(38)

s₁ = q²¹ = (p₃ + p₄)²,

(46)

p₃₂₀

− 2A|p||p₃| + |p|²

t₁ = (p₂ - p₄)², u₁ = (p₁ - p₄)².

а выражение A имеет вид

A = cos(−p, p3) =

(39)

= -sinθ3 sinθp cosϕ_p - cosθ3 cosθ_p.

5. АНАЛИЗ И ВЫВОДЫ

После сделанных преобразований дальнейшее

Используем массы частиц и электрослабые па-

интегрирование осуществляется численно, бу-

раметры из [22]. Для начала установим незави-

дет использоваться Монте-Карло-интегратор

симость полученных результатов от нефизических

VEGAS [21].

параметров. В табл. 1 приведены относительные

поправки к сечению, рассчитанные с помощью W -

Для энергии конечного нейтрино с 4-импульсом

метода [19] при различных λ и с помощью метода

p₃ получаем

Мо-Тсаи [23] для λ = 10-30

√s при различных ω.

p₃₀ = |p₃| =

(40)

Относительные поправки к полному сечению опре-

s + 2p²⁰ - 3p₀

√s + Ap₀(√s - 2p₀)

деляются выражением

·p₁₀.

s - 2p₀

√s + p20(1 - A2)

σ^C

δC =

(47)

Векторы конечных частиц в с.ц.м. выглядят так:

σ⁰

(если верхний индекс отсутствует, то имеются в

p₃ = (|p₃|sin θ₃,0,|p₃|cos θ₃),

(41)

виду полные ЭСП, так что δ ≡ δ^NLO). Рассмотрена

p = (|p|sinθp cosϕ_p,|p|sinθp sinϕ_p,|p|cosθ_p),

кинематическая точка положения максимума резо-

p₄ = -p₃ - p.

нансной кривой борновского сечения

√s = m_Z.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

531

Таблица 1. Структура относительных поправок к сечению в точке Z-резонанса, рассчитанных разными методами

(левая часть таблицы — W -метод, правая — метод Мо-Тсаи)

λ/√s

V +R

ω/√s

V +S

V +S+H

10-30

-6.7379

6.4130

-0.3250

10-20

-4.8140

4.4890

-0.3250

10-20

-4.2579

3.9329

-0.3250

10-15

-3.5740

3.2490

-0.3250

10-10

-1.7779

1.4529

-0.3250

10-10

-2.3340

2.0090

-0.3250

10-8

-1.2819

0.9570

-0.3250

10-5

-1.0940

0.7690

-0.3250

10-7

-1.0339

0.7099

-0.3240

10-4

-0.8460

0.5211

-0.3249

10-6

-0.7859

0.4770

-0.3089

10-3

-0.5980

0.2737

-0.3243

10-5

-0.5379

0.2851

-0.2528

10-2

-0.3500

0.0518

-0.2982

10-4

-0.2899

0.1422

-0.1478

10-1

-0.1020

0.0005

-0.1015

В табл. 1 отчетливо отражена структура отно-

Последние два пункта ясно иллюстрируются

сительных поправок: видны логарифмические за-

рис. 6б, где приведена зависимость относительной

висимости V - и R-вкладов от λ (W -метод) и V +

поправки к полному борновскому сечению энергии

+ S- и H-вкладов от ω (метод Мо-Тсаи). Про-

реакции. В области резонанса указанная поправка

веденный анализ позволил установить сокращение

уменьшается с уменьшением

√s и растет с его

зависимости от λ (W -метод) и ω (метод Мо-

ростом, этот рост тем не менее не повышает по-

Тсаи). Видна стабильность численных результатов

правленное сечение, так как борновский результат

при обоих подходах, несмотря на то, что в рас-

резко падает с ростом энергии реакции. Штриховой

чете мягкой части по методу Мо-Тсаи a priori

линией обозначен КЭД-вклад, т.е. вклад, обуслов-

имеется неустранимая неточность, W -метод такого

ленный только дополнительными фотонами. Как

недостатка лишен в принципе. Выявлена область

уже говорилось, установлено, что чисто слабые эф-

изменения λ и ω (см. Приложение), в которой

фектны на форму резонанса влияют незначительно.

отсутствует заметная разница между результатами

(относительная ошибка двух методов лучше чем

На рис. 7 эффекты ЭСП иллюстрируются во

10-4).

всей области

√s: на рис. 7а, где изучается область

На рис. 6а приведены зависимости борновского

ниже Z-резонанса, видно, что при

√s ∼ 50 ГэВ

сечения и сечения с учетом полной ЭСП от

√s

эффект меняет знак, а рис. 7б для больших

√s

в окрестностях Z-резонанса. Хорошо видны ос-

вплоть до ∼5 ТэВ показывает плавный спад по-

новные характерные черты влияния ЭСП на резо-

правленного сечения.

нансную кривую (см., например, график на стр. 231

В работе рассчитаны полные однопетлевые

из [10]):

электрослабые радиационные поправки к сечению

процесса электрон-позитронной аннигиляции с

1. понижение величины сечения в максимуме

конечным нейтринным состоянием в окрестности

примерно на 32.5%,

Z-резонанса и за его пределами. Аналитический

результат представлен в форме, позволяющей при-

2. смещение точки максимума сечения вправо

менить его к анализу поведения сечения в области

(так называемый эффект “возврата на резо-

резонанса от бозона с новыми свойствами, т.е. с

нанс”),

произвольно заданными векторными и аксиально-

3. умеренное понижение сечения в области ле-

векторными константами связи. Вышесказанное

вее Z-резонанса,

относится к моделям Новой физики, например тем,

в которых присутствует дополнительный бозон (Z^′,

4. значительное повышение сечения в области

W^′, “тяжелый” фотон и т.д). Результаты настоящей

правее Z-резонанса.

работы будут полезны в приложении к учету

ненаблюдаемых нейтринных мод с учетом ЭСП в

Понижение сечения в точке резонанса определяет-

контексте MET при изучении процесса Дрелла-

ся известным фактором [10], зависящим от ширины

Яна в действующей программе LHC и проекти-

4α

m_Z

руемых адронных машин, а также к планируемым

экспериментам на будущем электрон-позитронном

Γ_Z

коллайдере.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

532

ЗЫКУНОВ

σ, нбн

2.0

1.5

1.0

0.5

0.1

-0.5

-1.0

100

s, ГэВ

Рис. 6. а — Зависимость полного сечения от

√s в окрестностях Z-резонанса (штриховая линия — борновское сечение,

сплошная — сечение с учетом электрослабых поправок), б — относительная поправка к полному сечению в зависимости

от

√s (сплошная линия — полный вклад ЭСП, штриховая — КЭД-вклад).

σ, нбн

10^-1

10⁰

10^-2

10^-3

10^-4

-6

100

200

500

1000

2000

5000

s, ГэВ

Рис. 7. Зависимость полного сечения от

√s: а — в области ниже Z-резонанса, б — при больших√s. Штриховые

линии — борновские сечения, сплошные — сечения с учетом электрослабых поправок.

Работа выполнена при поддержке Государ-

Приложение

ственной программы научных исследований Рес-

публики Беларусь

“Конвергенция-2025” (под-

МЯГКОЕ ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

программа

“Микромир и Вселенная”). Автор

признателен коллегам по группе RDMS CMS и

Цель приложения — получить точное (без пред-

Ю.М. Быстрицкому за обсуждение.

положений о малости параметров) выражение для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ПОПРАВОК

533

поправки (27), которая факторизуется перед бор-

Второе условие является более сильным, чем λ ≪

новским сечением, и выяснить точное соответствие

≪ ω, которое обычно предполагается в литературе.

между масштабами параметров ω, m и λ. Все вы-

Обратим на это внимание, приведя следующий

кладки делаем в с.ц.м. В пределе p → 0 из (30) для

пример: в условиях настоящей работы 2m/√s ∼

δ_soft получим

∼ 10-5, следовательно, для достижения промилль-

∫

)₂

ной точности требуется, чтобы параметр λ был

d³p

⁽ pρ1

pρ2

δ_soft = -

= (П.1)

меньше ω по крайней мере на восемь порядков.

4π²

p₀

pp₁

pp₂

Интеграл L₂₂ рассчитывается аналогично и

|p|<ω

(

)

приводит к тому же значению: L₂₂ = L₁₁. Для

m²L₁₁ + m²L₂₂ - 2p₁p₂L₁₂

расчета L₁₂ применим прием Фейнмана (так

4π²

называемый Feynman’s trick

[24]), объединяя

где “мягкий” мастер-интеграл имеет форму:

знаменатели, тогда

∫

d³p

∫

L_ij =

(П.2)

d³p

p0 (ppi)(ppj)

L₁₂ = dx

(П.6)

p0 (ppx)2

|p|<ω

Для расчета L₁₁ перейдем из декартовой в

где p_x = xp₁ + (1 - x)p₂.

сферическую систему координат: (p_x, p_y, p_z) →

Нетрудно вычислить квадрат последнего 4-вектора:

→ (|p|, θ_γ , ϕ_γ ), тогда

∫ω

p2x = m²(x² + x²) + 2p₁p₂xx.

(П.7)

|p|²d|p|

L₁₁ =

√

Видно, что искомый интеграл можно считать по

|p|² + λ²

уже примененной выше схеме, т.е.:

∫1

∫

2π

∫

d cos θ_γ

4π

dϕ_γ .

L₁₂ =

(П.8)

(p₁₀p₀ - |p₁||p| cos θ_γ)²

px20 - |p_x|²

-1

(

√

)

Снимая интеграл по азимутальному и полярному

2ω

β_x

ω(

β2x - 1 + β_x)

× ln

√

углам, получаем:

β2x - 1

ω² + λ²β

∫

где

4π

|p|²

L₁₁ =

d|p|√

, (П.3)

m²

p_x

|p|² + λ² |p|² + λ²β²

β2x =

(П.9)

px20 - |p_x|²

p₁₂₀

β² =

p₁₂₀

m²

4m²

m²(x² + x²) + 2p₁p₂xx

Интегрируем по последней переменной, тогда

(

√

Легко убедиться, что при любых x выполнение

4π

ω+

ω² + λ²

L₁₁ =

(П.4)

условия инфинитезимальности λ ≪^√mω позволит

m²

√

произвести упрощения, приводящие в УРП к из-

)

ω(

β² - 1 + β)

вестному виду вычисляемого интеграла:

√

(

)

β² - 1

ω² + λ²β²

2π

2ω

L₁₂ =

4 ln

L-L² -

π²

(П.10)

Чтобы интеграл L₁₁ приобрел простую (привыч-

ную, известную в литературе) форму

Собирая полученные L₁₁, L₂₂ и L₁₂ в форму-

(

)

ле (П.1), получим выражение (28).

4π

2ω

L₁₁ =

-L ,

(П.5)

m²

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

требуется наложение двух условий:

1. ATLAS Collab. (G. Aad et al.), Phys. Lett. B 716, 1

(2012); arXiv: 1207.7214 [hep-ex].

1. β² ≫ 1 — ультрарелятивистское приближе-

2. CMS Collab. (S. Chatrchyan et al.), Phys. Lett. B

ние (√s ≫ 2m),

716, 30 (2012); arXiv: 1207.7235 [hep-ex].

3. F. A. Berends, K. J. F. Gaemers, and R. Gastmans,

2. λβ ≪ ω — условие инфинитезимальности

Nucl. Phys. B 57, 381 (1973); Nucl. Phys. B 75, 546

массы фотона λ ≪^√mω.

(Erratum) (1974).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021

534

ЗЫКУНОВ

F. A. Berends, G. J. H. Burgers, and W. L. Van

14. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko,

Neerven, Phys. Lett. B

185,

395

(1987);

P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, and W. von

F. A. Berends, W. L. Van Neerven, and G. J.

Schlippe, Comput. Phys. Commun. 174, 481 (2006);

H. Burgers, Nucl. Phys. B 297, 429 (1988); Nucl.

hep-ph/0411186.

Phys. B 304, 921 (Erratum) (1988).

15. S. Jadach, B. F. L. Ward, and Z. Was, Comput. Phys.

G. Burgers, CERN-TH 5119/88 (1988).

Commun. 130, 260 (2000).

S. Jadach, J. H. K ¨uhn, R. G. Stuart, and Z. Was,

16. S. Jadach, B. F. L. Ward, and Z. Was, Phys. Rev. D

Z. Phys. C 38, 609 (1988).

63, 113009 (2001).

J. H. K ¨uhn and R. G. Stuart, Phys. Lett. B 200, 360

17. В. А. Зыкунов, ЯФ 84, 447 (2021) [Phys. At. Nucl.

(1988).

84, №5 (2021)].

M. B ¨ohm and W. Hollik, Nucl. Phys. B 204, 45

(1982).

18. M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

M. B ¨ohm and W. Hollik, Z. Phys. C 23, 31 (1984).

Phys. 34, 687 (1986).

10.

W. F. L. Hollik, Fortschr. Phys. 38, 165 (1990).

19. В. А. Зыкунов, Пертурбативные расчеты в

11.

G. Montagna, O. Nicrosini, F. Piccinini, and

физике высоких энергий (ГГУ им. Ф. Скорины,

G. Passarino, Comput. Phys. Commun. 117, 278

Гомель, 2020).

(1999); hep-ph/9804211.

20. В. А. Зыкунов, ЯФ 80, 388 (2017) [Phys. At. Nucl.

12.

D. Bardin, M. Bilenky, P. Christova, M. Jack,

80, 699 (2017)].

L. Kalinovskaya, A. Olchevski, S. Riemann, and

21. P. G. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

T. Riemann, Comput. Phys. Commun. 133, 229

22. Particle Data Group (P. A. Zyla et al.), Prog. Theor.

(2001); hep-ph/9908433.

Exp. Phys. 083C01, 1 (2020).

13.

A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova,

23. L. W. Mo and Y. S. Tsai, Rev. Mod. Phys. 41, 205

L. Kalinovskaya, and G. Nanava, ЭЧАЯ 34, 1125

(1969).

(2003)

[Phys. Part. Nucl. 34, 577 (2003)]; hep-

ph/0207156.

24. R. P. Feynman, Phys. Rev. 76, 769 (1949).

INFLUENCE OF ELECTROWEAK CORRECTIONS ON Z-RESONANCE

SHAPE IN NEUTRINO PRODUCTION PROCESS

V. A. Zykunov1),2)

¹⁾JINR, Dubna, Moscow region, Russia

²⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

One-loop electroweak radiative corrections to total cross section of four-fermionic process with the final

neutrino state in the vicinity of Z resonance are calculated. The result has a form which enables one to

analyze the resonance behavior of new (beyond standard model) bosons. The detailed numerical analysis of

results is done.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 84

№6

2021