ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 1, с. 88-102

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ

СКОРОСТИ РЕАКЦИИ ПЕРЕДАЧИ МЮОНА

С ПРОТОНА НА КИСЛОРОД

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21.05.2021 г.; после доработки 18.06.2021 г.; принята к публикации 18.06.2021 г.

Представлены результаты расчета скорости реакции передачи мюона из состояния 1s мезоатома

водорода на ядро свободного атома кислорода в интервале энергий столкновения от 10-4 до 10 эВ.

Расчет выполнен в рамках предложенного ранее варианта метода возмущенных стационарных состо-

яний с учетом электронного экранирования во входном канале реакции. Предсказано существование

p-волнового резонанса в скорости реакции при энергии столкновения около 0.1 эВ. Этот результат

представляет интерес в связи с планируемым лазерным экспериментом по прецизионному измерению

энергии сверхтонкого расщепления состояния 1s мезоатома водорода.

DOI: 10.31857/S0044002722010111

1. ВВЕДЕНИЕ

два порядка меньше размеров атомов. В этом отно-

шении он подобен нейтрону. Реакция (1) является

В настоящей работе рассматривается реакция

прямой передачи отрицательного мюона μ из ос-

экзоэнергетической с энерговыделением порядка

новного состояния 1s мезоатома водорода μp(1s)

нескольких кэВ. Как известно [1], при малых энер-

на ядро кислорода O:

гиях столкновения, когда основную роль играет s-

волна, сечение такой реакции обратно пропорци-

μp(1s) + O → μO^∗ + p,

(1)

онально относительной скорости: σ(E) ∝ 1/v. В

p — протон, μO^∗ — мезоатом кислорода в воз-

этом случае скорость реакции q(E) не зависит от

бужденном состоянии. Обозначим через E энергию

энергии, а скорость λ(T ) не зависит от темпера-

столкновения и введем скорость реакции q(E) =

туры. Экспериментально реакция (1) изучалась в

= N_Hvσ(E). По традиции скорость отнесена к

атомной плотности жидкого водорода N_H = 4.25 ×

работе [2] в газовых смесях водорода и кислоро-

√

× 10²² см-3; v =

2E/M — скорость относитель-

да, находившихся при комнатной температуре и

ного движения во входном канале, M — приведен-

давлении от 3 до 15 бар. Относительная концен-

ная масса канала, σ(E) — полное сечение реак-

трация кислорода составляла несколько промил-

ции, просуммированное по всем конечным состоя-

ле. Наблюдалась зависимость от времени скоро-

ниям мезоатома кислорода. При эксперименталь-

сти счета запаздывающих рентгеновских квантов,

ном изучении реакций типа (1) в плотных газовых

излучаемых мезоатомами кислорода. Было обна-

смесях измеряется скорость λ(T ) передачи мюона

ружено, что эта зависимость не является чисто

с термализованных мезоатомов. Она зависит от

экспоненциальной. Этот факт интерпретировался

температуры смеси T и, будучи также приведена к

как проявление зависимости скорости реакции от

плотности N_H , получается в результате усреднения

энергии столкновения в надтепловой области энер-

скорости q(E) по распределению относительных

гий E = 0.1-0.2 эВ. Для того чтобы количественно

скоростей во входном канале реакции. В частности,

описать наблюдаемые результаты, было выполнено

при передаче мюона на ядро свободного атома

моделирование кинетики замедления мезоатомов

усреднение выполняется по распределению Макс-

водорода в газовых смесях с учетом передачи мюо-

велла.

нов на кислород. Предполагалось, что зависимость

Мезоатом водорода представляет собой элек-

скорости реакции от энергии столкновения име-

трически нейтральный объект, размер которого на

ет форму ступеньки. Было найдено, что наилуч-

^*E-mail:

Romanov_SVi@nrcki.ru;serguei.romanov@

шее согласие с опытными данными обеспечивается

yandex.ru

функцией q(E) следующего вида:

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

{

8.5(2) × 10¹⁰ с-1, E < 0.12 эВ;

(

)

q(E) =

(2)

+0.5

3.9

× 10¹¹ с-1,

0.12 < E < 0.22 эВ.

-1.3

Верхнее значение есть скорость передачи с мезо-

моделирования, проведенного в работе [4], при

атомов, термализованных при комнатной темпера-

давлении 40 бар, комнатной температуре и началь-

туре, нижнее соответствует надтепловой области

ной энергии мезоатома порядка 20 эВ характерное

энергий. Как видно, скорость реакции в надтеп-

время замедления до тепловых скоростей состав-

ловой области почти в пять раз больше. В связи

ляет 150 нс. Характерное время переворота спина

с этим результатом в работе [3] было предложено

на порядок меньше — 10-15 нс. Таким образом,

использовать реакцию передачи мюона на кисло-

после термализации практически все мезоатомы

род в лазерном эксперименте по прецизионному

находятся в нижнем состоянии сверхтонкой струк-

измерению энергии сверхтонкого расщепления со-

туры. Если теперь пропустить через газ лазерный

стояния 1s мезоатома водорода. Рассмотрим идею

импульс, настроенный на частоту перехода между

этого эксперимента.

сверхтонкими компонентами, то часть мезоатомов

Как и в обычном атоме водорода, уровень энер-

окажется в верхнем состоянии с полным моментом

гии состояния 1s мезоатома расщеплен на две ком-

F = 1. Сталкиваясь с молекулами водорода, эти

поненты, характеризующиеся значениями полного

мезоатомы снова переходят в состояние с F = 0.

углового момента F = 0 и 1. Меньшую энергию

В каждом таком столкновении энергия перехода

имеет состояние с F = 0. Энергия расщепления

0.18 эВ делится между мезоатомом и молекулой.

ΔE1s определяется в основном поправкой первого

С учетом отношения масс и возможности пере-

порядка теории возмущений по взаимодействию

ходов между вращательными состояниями моле-

магнитных моментов частиц. В случае атома во-

кулы водорода можно утверждать, что мезоатом

дорода соответствующий результат хорошо изве-

получает дополнительную кинетическую энергию

стен [1]. Заменяя в нем магнитный момент элек-

около 0.1 эВ. Таким образом, после прохождения

трона на магнитный момент мюона и учитывая

лазерного импульса в газе имеются мезоатомы в

приведенную массу мезоатома водорода, получа-

состоянии с F = 0, часть из которых по-прежнему

ем ΔE1s ≈ 0.18 эВ. Длина волны перехода между

термализована, а часть ускорена до надтепловых

сверхтонкими компонентами составляет 6.8 мкм.

энергий. Очевидно, что зависимость количества

Что касается времени жизни состояния 1s, то в

надтепловых мезоатомов от частоты лазерного из-

водороде с небольшой примесью кислорода оно

лучения имеет резонансный характер. По виду этой

определяется в основном распадом мюона и реак-

зависимости можно определить энергию сверх-

цией передачи мюона на кислород. Скорость мю-

тонкого расщепления. Если для детектирования

распада равна 4.5 × 10⁵ с-1. Следуя результату (2),

надтепловых мезоатомов водорода использовать

примем для оценки, что скорость реакции передачи,

реакцию передачи мюона на ядро более тяжелого

отнесенная к плотности жидкого водорода, порядка

элемента, то передача с термализованных мезо-

атомов образует нежелательный фон. Наиболее

10¹¹ с-1. Тогда, например, при давлении 40 бар,

подходящей является реакция, скорость которой

комнатной температуре и относительной концен-

резко возрастает при переходе от тепловых энер-

трации кислорода 0.1 промилле скорость реак-

гий к надтепловым. Этому требованию как раз

ции передачи становится порядка скорости мю-

удовлетворяет реакция передачи мюона на кис-

распада и время жизни состояния 1s составляет

лород. В данном случае наблюдаемой величиной

примерно 1 мкс.

является количество запаздывающих рентгенов-

Мезоатом водорода в состоянии 1s образуется

ских квантов, излучаемых мезоатомами кислорода.

в результате каскадного захвата мюона. При этом

Поскольку оно пропорционально количеству ме-

заселяются обе компоненты сверхтонкой струк-

зоатомов, то также должно резонансным образом

туры, а кинетическая энергия мезоатома может

зависеть от частоты лазерного излучения.

варьироваться в широких пределах. При движении

через газ мезоатом замедляется, теряя энергию в

С целью выбора оптимальных условий для ла-

столкновениях с молекулами водорода. При этом

зерного эксперимента в работах [5, 6] были вы-

взаимодействие магнитных моментов мюона и про-

полнены новые измерения скорости реакции (1).

тонов молекул приводит к перевороту спина мюона,

Авторы поставили перед собой задачу определить

в результате чего мезоатом оказывается в нижнем

вид энергетической зависимости скорости реакции

по энергии состоянии сверхтонкой структуры с

для тепловых и надтепловых энергий. Для того

полным моментом F = 0. Согласно результатам

чтобы избежать неопределенностей, связанных с

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

РОМАНОВ

начальным распределением мезоатомов водорода

Таблица

1. Экспериментальные значения скорости

по кинетическим энергиям, экспериментально изу-

λ(T ) передачи мюона с термализованных мезоатомов

чалась температурная зависимость скорости λ(T )

водорода на кислород при различных температурах

передачи мюона с термализованных мезоатомов.

(ошибки приведены в виде ±σ₁ ± σ₂, где σ₁ включает

Газовая смесь водорода с кислородом находи-

в себя ошибки статистики и систематические ошиб-

ки, связанные с вычитанием фона из энергетического

лась под давлением 41 бар, относительная кон-

спектра рентгеновского излучения, σ2 — остальные

центрация кислорода составляла 0.19 промилле,

систематические ошибки)

температура смеси менялась от 104 до 300 К.

Как и в работе [2], наблюдался временной спектр

λ(T ), 10¹⁰ с-1

рентгеновских квантов, излучаемых мезоатомами

T,K

кислорода. Для определения скорости реакции ис-

[5]

[6]

пользовалась часть спектра, отстоящая от момента

104

3.25 ± 0.10 ± 0.07

3.07 ± 0.29 ± 0.07

образования мезоатомов кислорода на время боль-

шее одной микросекунды. Полученные результаты

153

5.00 ± 0.11 ± 0.10

5.20 ± 0.33 ± 0.10

представлены в табл. 1. Первоначально они были

201

6.38 ± 0.10 ± 0.13

6.48 ± 0.32 ± 0.13

опубликованы в препринте [5], а затем, после неко-

торой корректировки, в статье [6]. Новые значе-

240

7.62 ± 0.12 ± 0.16

8.03 ± 0.35 ± 0.16

ния скорости реакции при комнатной температуре

272

8.05 ± 0.12 ± 0.17

8.18 ± 0.37 ± 0.17

хорошо согласуются с результатом (2). Обращает

на себя внимание быстрый рост скорости реакции

300

8.68 ± 0.12 ± 0.18

8.79 ± 0.39 ± 0.18

при увеличении температуры. Это означает, что

для энергий столкновения, соответствующих рас-

сматриваемому интервалу температур, закон 1/v

температуре, представлены в табл. 3. Все они,

для сечения реакции не работает. Для того чтобы

за исключением результатов работы [12], неплохо

воспроизвести наблюдаемую температурную зави-

согласуются с экспериментом. Сложнее обстоит

симость, в препринте [5] была предложена квадра-

дело с энергетической зависимостью скорости ре-

тичная аппроксимация энергетической зависимо-

акции. В работе [7] передача мюона на “голое” яд-

сти скорости реакции, которая, как полагают авто-

ро кислорода рассматривалась в модели Ландау-

ры, справедлива в интервале энергий столкновения

Зинера. При учете вклада только s-волны было

0.01 < E < 0.1 эВ:

получено, что при увеличении энергии столкнове-

ния скорость реакции сначала постоянна, а затем

q(E) = p₁ + p₂E + p₃E².

(3)

начинает убывать. Такая же зависимость была

Значения коэффициентов p_i приведены в табл. 2.

предсказана в работе [8]. Соответствующий расчет

Они были получены усреднением функции (3) по

был выполнен на основе уравнений Фаддеева для

распределению Максвелла и подгонкой получив-

энергий столкновения E ≤ 0.5 эВ. Как и в [7],

шегося результата под экспериментальные данные,

рассматривалась передача мюона на “голое” ядро

представленные в табл. 1. Если взять центральные

кислорода и учитывался вклад только s-волны.

значения коэффициентов, то максимальное значе-

Важный шаг был сделан в работе [9], авторы

ние функции (3) достигается при энергии 0.097 эВ и

которой включили в рассмотрение парциальные

составляет 1.74 × 10¹¹ с-1, что качественно согла-

волны с отличными от нуля значениями орби-

суется с результатом (2) для надтепловых энергий.

тального момента. Использовалось приближение

Рассмотрим теперь результаты имеющихся рас-

двух состояний и модель Ландау-Зинера в более

четов скорости реакции [7-12]. Следует отметить,

рафинированном варианте, чем в работе [7]. Кроме

того, учитывалось электронное экранирование во

что в реакции (1) мюон передается на ядро мо-

входном канале реакции. В результате было пред-

лекулы кислорода. В расчетах, выполненных до

настоящего времени, молекулярные эффекты не

сказано существование d-волнового резонанса в

скорости реакции при энергии столкновения около

учитывались, хотя они, по-видимому, могут быть

существенны при небольших энергиях столкно-

0.19 эВ. Ширина резонанса и пиковое значение

скорости качественно согласуются с эксперимен-

вения. Расчеты выполнялись для передачи мю-

тальным результатом (2) для надтепловых энергий.

она либо на “голое” ядро кислорода, лишенное

электронной оболочки, либо на ядро свободного

В дальнейшем роль парциальных волн с ненуле-

атома. В последнем случае в потенциале поля-

выми орбитальными моментами изучалась в рабо-

ризационного взаимодействия мезоатома водорода

тах [10, 11]. Расчет скорости реакции был выпол-

с атомом кислорода учитывалось экранирование

нен в рамках метода гиперсферических эллипти-

заряда ядра атомными электронами. Результаты,

ческих координат; электронное экранирование не

полученные для скорости передачи мюона с мезо-

учитывалось. Результаты расчета резко отличают-

атомов водорода, термализованных при комнатной

ся от результатов работы [9]. Было получено, что

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

при энергиях столкновения 2 × 10-3 < E < 1 эВ

основан на значительной разнице энергий отно-

основной вклад в скорость реакции дает p-волна.

сительного движения в каналах реакции. Реакция

С ростом энергии скорость проходит через ши-

передачи мюона на кислород как раз удовлетворяет

рокий максимум при тепловых энергиях, достигая

этому условию. Анализ энергетического спектра

значения около 8 × 10¹⁰ с-1, а затем монотонно

запаздывающих рентгеновских квантов, проведен-

убывает вплоть до энергии 2 эВ. Таким образом,

ный в работе [2], показал, что в реакции (1) мюон

расчет, выполненный в работах [10, 11], хорошо

передается в состояния мезоатома кислорода с

воспроизводит значение скорости реакции для тер-

главным квантовым числом n ≤ 6. В этом случае

мализованных мезоатомов, но его результаты про-

кинетическая энергия разлета продуктов реакции

тиворечат экспериментальному факту увеличения

составляет как минимум 2.4 кэВ, что значитель-

скорости для надтепловых энергий. Наконец, еще

но больше указанных выше энергий столкновения

один расчет был выполнен в работе [12]. Использо-

во входном канале. Очевидно, что в этом случае

необходимо в первую очередь асимптотически пра-

вался один из вариантов метода гиперсферических

функций, причем вычисления были сделаны для

вильно описать входной канал. Поэтому волно-

передачи мюона как на “голое” ядро кислорода, так

вая функция трехчастичной системы (мюон, протон

и ядро кислорода) строилась в виде разложения

и на ядро свободного атома с учетом электронного

по собственным функциям задачи двух кулонов-

экранирования. В обоих случаях было предсказано

ских центров, которая выделялась в трехчастичном

существование широкого p-волнового максимума

в энергетической зависимости скорости реакции,

гамильтониане, записанном в координатах Якоби

однако его положение и высота оказались очень

входного канала. Поскольку метод расчета был по-

чувствительны к электронному экранированию. В

дробно рассмотрен в работе [13], в разд. 2 дан лишь

случае передачи мюона на “голое” ядро максимум

его краткий обзор. Некоторые детали расчета ско-

также располагался при тепловых энергиях, но его

рости реакции обсуждаются в разд. 3. Результаты и

высота получилась в восемь раз большей, чем в

выводы приведены в разд. 4. В дальнейшем, если не

работах [10, 11]. При учете электронного экраниро-

оговорено особо, всюду будет использоваться ме-

вания кривая энергетической зависимости сильно

зоатомная система единиц: ℏ = e = m_μ = 1. Здесь

проседала вниз при энергиях столкновения E <

e — заряд протона, m_μ — масса мюона; единица

< 0.1 эВ. В результате максимум смещался к энер-

длины равна 2.56 × 10-11 см, единица энергии —

гии 0.11 эВ и становился менее резким. Значе-

5.63 кэВ.

ние скорости реакции в максимуме получилось

равным примерно 1.3 × 10¹¹ с-1. Этот результат

качественно согласуется с наблюдаемым увели-

2. МЕТОД РАСЧЕТА

чением скорости реакции в надтепловой области

Реакция прямой передачи мюона на кислород

энергий. Что касается скорости передачи с терма-

является частным случаем реакции перезарядки

лизованных мезоатомов, то расчет воспроизводит

при столкновении мезоатома изотопа водорода H в

ее экспериментальное значение не очень хорошо.

состоянии 1s с ядром элемента с номером Z > 1:

Скорость, рассчитанная для передачи мюона на

μH(1s) + Z → μZ^∗ + H,

(4)

“голое” ядро кислорода, получилась примерно в

три раза большей. Электронное экранирование

μZ^∗ — мезоатом элемента Z в возбужденном со-

оказалось в этом случае еще более заметным.

стоянии. Введем координаты Якоби входного кана-

Его учет понизил скорость реакции почти в шесть

ла этой реакции: вектор r, проведенный от ядра H

раз до половины экспериментального значения.

к мюону, и вектор R, соединяющий центр масс C₂

Таким образом, результаты расчетов, выполнен-

мезоатома водорода μH с ядром Z (рис. 1). Центр

ных в работах [9-12], показывают важность учета

масс C₃ трехчастичной системы расположен на

парциальных волн с ненулевыми орбитальными

векторе R. Обозначим через r₁ вектор, проведен-

моментами и электронного экранирования. Одна-

ный из центра масс мезоатома водорода к мюону,

ко энергетические зависимости скорости реакции,

через r₂ расстояние между мюоном и ядром Z,

предсказанные в этих работах, заметно отличаются

и через RHZ расстояния между ядрами. Запишем

друг от друга.

нерелятивистский трехчастичный гамильтониан в

В связи с неоднозначностью рассмотренных вы-

системе центра масс:

ше теоретических результатов в настоящей работе

был проведен расчет скорости реакции (1) для

энергий столкновения 10-4 ≤ E ≤ 10 эВ. Исполь-

Ĥ₌ -¹

Δ_R +Ĥμ +Z .

(5)

RHZ

зовался один из вариантов метода возмущенных

стационарных состояний, предложенный в рабо-

Первое слагаемое есть оператор кинетической

те [13]. Ранее он применялся для расчета скорости

энергии относительного движения мезоатома во-

передачи мюона с водорода на неон [14]. Метод

дорода и ядра Z, M — приведенная масса ядра Z

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

РОМАНОВ

Таблица 2. Коэффициенты трехчлена (3), аппроксимирующего энергетическую зависимость скорости реакции в

интервале энергий столкновения 0.01 < E < 0.1 эВ [5]

p₁, с-1

p₂, с-1 эВ-1

p₃, с-1 эВ-2

(-1.32 ± 0.61) × 10¹⁰

(3.85 ± 0.54) × 10¹²

(-1.98 ± 0.65) × 10¹³

по отношению к мезоатому:

Азимутальный угол ϕ лежит в плоскости, прове-

денной через точку M_R перпендикулярно R. Рас-

M-1 = (M_H + 1)-1 + M-1Z,

(6)

смотрим задачу на собственные значения и соб-

ственные функции двухцентрового гамильтониана

M_H и M_Z — массы ядер. СлагаемоеĤμ — гамиль-

тониан мезоатома водорода с добавлением потен-

ĥ_μ:

циальной энергии взаимодействия мюона с ядром

ĥ_μψ_jm(ξ,η;R)exp√±imϕ) =

(15)

2π

Ĥ_μ = -

Δ_r -

(7)

exp(±imϕ)

2mμH

r₂

= ε_jm(R)ψ_jm(ξ,η;R)

√

2π

mμH — приведенная масса мезоатома водорода:

Здесь в явном виде выделена зависимость от угла

m-1μH = M-1H + 1.

(8)

ϕ; квантовое число m принимает неотрицатель-

ные целые значения; индексом j обозначен на-

Последнее слагаемое в (5) описывает кулоновское

бор остальных квантовых чисел. Для связанных

отталкивание ядер H и Z.

состояний это либо число узлов n_ξ и n_η по со-

Выделим в трехчастичном гамильтониане двух-

ответствующим переменным, либо параболические

центровую задачу. Для этого перепишем слагаемое

квантовые числа n₁ и n₂ в пределе R → ∞ [16].

Ĥ_μ в следующем виде [15]:

Двухцентровая задача (15) решается при фиксиро-

ванном расстоянии R, которое входит в собствен-

Ĥ_μ = mμH ·ĥμ,

(9)

ные функции и собственные значения ε_jm(R) в

качестве параметра. Функции ψ_jm(ξ, η; R) с одина-

Z^′

ĥ_μ = -1Δs -

(10)

ковыми m и различными наборами i и j остальных

r₁

r₂

квантовых чисел ортонормированы и могут быть

Вектор s соединяет середину вектора R (точка M_R

выбраны действительными. Ортонормированность

√

на рис. 1) с мюоном:

по m обеспечивается факторами exp(±imϕ)/

2π.

Очевидно, что решения задачи (15) являются так-

s=r₁ -

r₁ = mμH · r.

(11)

же собственными функциями гамильтонианаĤμ с

собственными значениями mμH · ε_jm(R).

Величина Z^′ равна:

Как известно [16], двухцентровая задача допус-

Z^′ =

(12)

кает разделение переменных в вытянутых сферои-

mμH

дальных координатах: функция ψ_jm(ξ, η; R) пред-

ставляет собой произведение радиальной и угловой

Операторĥμ представляет собой гамильтониан

функций, первая из которых зависит только от ξ,

мюона в поле двух неподвижных кулоновских цен-

а вторая только от η. Решение двух дифференци-

тров, заряды которых равны единице и Z^′. Еди-

альных уравнений для этих функций с соответству-

ничный заряд расположен в центре масс мезоатома

ющими граничными условиями позволяет найти

водорода, заряд Z^′ находится в той же точке, что и

собственное значение ε_jm(R), константу разделе-

ядро Z. Для реакции передачи мюона с протона на

ния и в конечном итоге построить сами функции.

кислород имеем:

Как и в предыдущем расчете скорости передачи

mμH = 0.899, Z^′ = 8.90.

(13)

мюона на неон [14], в данной работе использовался

алгоритм, основанный на стандартных разложени-

В системе координат с началом в точке M_R и

ях радиальной и угловой функций в бесконечные

полярной осью, направленной вдоль вектора R,

ряды [17-19]. Собственное значение ε_jm(R) и кон-

положение мюона задается вытянутыми сферои-

станта разделения определялись на основе метода,

дальными координатами ξ, η и ϕ [16]:

предложенного в работе [20] и модифицированного

r₁ + r₂

r₁ - r₂

для случая, когда коэффициенты разложения не

ξ=

η=

(14)

являются монотонными функциями их номера.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

r₂

r₁

C₃

M_R

C₂

R_HZ

Рис. 1. КоординатыЯкоби входногоканала реакции передачи мюона μ с водорода H на ядро элемента с номеромZ. C2 —

центр масс мезоатома водорода, C3 — центр масс трехчастичной системы, MR — середина вектора R.

Исходная система координат, в которой рас-

в (15), представляет собой модуль проекции пол-

сматривается движение трех частиц, имеет фикси-

ного орбитального момента трехчастичной системы

рованные оси и начало в центре масс C₃. Гамиль-

на направление вектора R.

тониан

Ĥ коммутирует с операторомĴ2 квадрата

Рассмотрим стационарное уравнение Шредин-

орбитального момента трехчастичной системы и с

гера для трехчастичной волновой функции с кван-

оператором

J_z его проекции на ось z исходной

товыми числами J, M и P :

системы координат. Кроме того,^Ĥ коммутирует с

^ĤΨ^JPM =^EΨ^JPM.

(17)

операторомP инверсии пространственных коор-

динат всех частиц. В качестве базисных функций,

Энергия системы равна:

E = EμH(1s) + E, где

по которым разлагается волновая функция трехча-

EμH(1s) = -mμH/2 — энергия основного состо-

стичной системы, удобно взять собственные функ-

яния мезоатома водорода, E — энергия столкно-

ции этих операторов. Потребуем также, чтобы они

вения. Будем искать решение в виде разложения

являлись решениями двухцентровой задачи (15).

по базисным функциям (16):

Поскольку координаты мюона в этой задаче “при-

∑

вязаны” к вектору R, введем полярный угол Θ и

Ψ^JPM = Ψ^JPMjm.

(18)

азимутальный угол Φ, задающие ориентацию R по

отношению к осям исходной системы координат.

Тогда конфигурация системы трех частиц опреде-

Подстановка этого разложения в уравнение и ин-

ляется шестью независимыми координатами R, Θ,

тегрирование по переменным Θ, Φ, ξ, η, ϕ с уче-

Φ, ξ, η, ϕ и базисные функции имеют вид:

том ортонормированности базисных функций дает

систему связанных дифференциальных уравнений

Ψ^JPMjm(R,Θ,Φ,ξ,η,ϕ) =

(16)

второго порядка для радиальных функций χ^JPjm(R).

χ^JPjm(R)

Эти уравнения приведены в работе [13]. На прак-

Υ^JPMm(Φ,Θ,ϕ)ψ_jm(ξ,η;R).

тике в разложении учитывается вклад конечного

числа двухцентровых состояний. Решение полу-

Здесь χ^JPjm(R) — радиальная функция, завися-

чившейся системы уравнений с соответствующими

щая от указанных в индексах квантовых чисел;

граничными условиями позволяет вычислить пол-

Υ^JPMm(Φ,Θ,ϕ) — собственная функция операторов

ное сечение реакции (4).

Ĵ²,

J_z иP с собственными значениями J(J + 1),

Как уже отмечалось, основная идея обсуждае-

M и P. Явный вид этих функций приведен в рабо-

мого метода состоит в том, чтобы асимптотически

те [13]. Неотрицательное целое число m, введенное

правильно описать входной канал реакции при

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

РОМАНОВ

больших значениях расстояния R. В пределе R →

было показано, что учет этого обстоятельства дает

→ ∞ решения двухцентровой задачи (15) распа-

поправку к поляризуемости, которая в сумме с

даются на две группы. Состояния одной из них

величиной β₀ в точности равна β. Таким образом,

локализованы вблизи левого центра, который име-

использование только одного состояния левого

ет единичный заряд и расположен в центре масс

центра уже обеспечивает хорошее описание вход-

мезоатома μH. Состояния другой группы лока-

ного канала реакции при больших R: получает-

лизованы вблизи правого центра Z^′. Простейший

ся правильный предел диссоциации, не возникают

способ описания входного канала состоит в учете

ложные степенные потенциалы (по крайней мере

вклада только одного состояния левого центра. Его

в слагаемых вплоть до R-4), значение поляри-

асимптотические квантовые числа равны:

зуемости мезоатома воспроизводится с точностью

1%. Именно это описание будет использоваться в

m = n₁ = n₂ = 0, n = 1.

(19)

дальнейшем. Кроме того, из-за близости значений

n₁ и n₂ — параболические квантовые числа, n =

β и β₀ в качестве асимптотического потенциала,

= n1 +n2 +m+1 —главное квантовоечисло. Бу-

определяющего относительное движение во вход-

дем отмечать все величины, относящиеся к этому

ном канале при больших R, будет использоваться

состоянию, индексом 0. В рассматриваемом преде-

поляризационный потенциал с точным значением

ле собственная функция ψ₀ и собственное значение

β:

ε₀(R) двухцентровой задачи равны:

βZ

ψ₀ ∝ exp(-mμH · r),

(20)

U_p(R) = -

(24)

2R⁴

ε₀(R → ∞) = -

В рассматриваемом подходе канал передачи

Таким образом, двухцентровая функция переходит

мюона описывается состояниями правого центра.

в волновую функцию основного состояния мезо-

В пределе R → ∞ они соответствуют мезоатому

атома водорода с правильным значением приве-

μZ^′ с бесконечно тяжелым ядром, но не реальному

денной массы. Это объясняется тем, что левый

мезоатому μZ. В частности, волновые функции

центр расположен в центре масс мезоатома во-

этих состояний вообще не содержат приведенную

дорода; аргумент экспоненты в функции ψ₀ есть

массу конечного мезоатома. Кроме того, уравнения

расстояние от этого центра до мюона. Cобственное

для радиальных функций относительного движения

значение гамильтонианаĤμ стремится к правиль-

в канале передачи остаются связанными даже при

ному пределу диссоциации:

бесконечно большом расстоянии R. Причина этих

mμH · ε₀(R → ∞) = EμH(1s).

(21)

трудностей состоит в том, что канал передачи опи-

сывается в несвойственных ему координатах Якоби

При больших R относительное движение во

входного канала. Очевидно, что в этом случае

входном канале определяется потенциалом U₀(R),

невозможно вычислить сечения передачи мюона в

который представляет собой среднее значение

отдельные состояния мезоатома μZ. Тем не ме-

трехчастичного гамильтониана по состоянию ψ₀.

нее, поскольку асимптотически состояния правого

В работе [13] было рассмотрено разложение этого

центра локализованы вблизи ядра Z, положение

потенциала по степеням R-1. Ведущее слагаемое

которого совпадает с положением заряда Z^′, неко-

в этом разложении пропорционально R-4 и соот-

торая группа этих состояний в целом описывает

ветствует поляризационному притяжению между

перетекание зарядового облака мюона с H на Z, т.е.

мезоатомом водорода и ядром Z:

перезарядку. Поэтому можно вычислить полное се-

чение передачи мюона на ядро Z. Эта возможность

β₀Z

U₀(R) = -

(22)

основана на том факте, что при больших R ба-

2R⁴

зисные волновые функции, описывающие входной

Для поляризуемости мезоатома было получено

канал и канал передачи мюона, локализованы на

следующее значение:

разных центрах и слабо перекрываются. Поэтому

[

]

с ростом R матричные элементы трехчастичного

β₀ = β

(23)

гамильтониана, связывающие уравнения для ра-

(M_H + 1)²

диальных функций этих каналов, экспоненциально

где β = 9/(2m3μH) — точное значение поляризуе-

убывают. В результате при R → ∞ система ради-

мости. Хотя β₀ не совпадает с β, их значения очень

альных уравнений распадается на две группы, одна

близки. Для протона β₀ ≈ 0.99β . Различие этих ве-

из которых описывает входной канал, а другая —

личин связано с тем, что кулоновское отталкивание

канал передачи. В простейшем приближении, когда

ядер (последнее слагаемое в гамильтониане (5)) не

учитывается единственное состояние левого центра

диагонально в двухцентровом базисе. В работе [13]

с квантовыми числами (19), входной канал асимп-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

тотически описывается одним уравнением:

то при переходе с терма на терм при каждом ква-

[

зипересечении значение n′2 последовательно уве-

d²χ^J

J (J + 1)

+ k² -

(25)

личивается на единицу от 3 до 6. Это соответ-

dR²

R²

ствует общему правилу [16], согласно которому в

]

квазипересечениях участвуют термы, отличающи-

- 2MU_p(R) χJ0 = 0,

еся на единицу значением числа n_η. Имеются еще

два квазипересечения, не показанные на рис. 2.

√

где k =

2ME — асимптотический импульс отно-

Одно из них расположено при R ≈ 24.3. Для него

сительного движения, χJ0 — радиальная функция

число n′2 увеличивается с 6 до 7. Наконец, самое

входного канала. Верхний индекс P у нее опущен,

далекое квазипересечение лежит при R ≈ 66. В нем

поскольку при m = 0 четность однозначно опре-

участвуют состояние правого центра с n′2 = 7 и

деляется квантовым числом J: P = (-1)^J . Реше-

состояние ψ₀, для которого число узлов n_η = 8.

ние системы уравнений для радиальных функций

Предположим, что мезоатом водорода нахо-

со стандартными граничными условиями позволя-

дится на очень большом расстоянии R от ядра

ет найти диагональный элемент S-матрицы, соот-

кислорода. Соответствующая этому случаю функ-

ветствующий входному каналу, и полное сечение

ция ψ₀ локализована вблизи протона и практиче-

реакции σ(E). Это сечение совпадает с полным

ски совпадает там с волновой функцией основно-

сечением передачи мюона, поскольку при рассмат-

го состояния изолированного мезоатома водорода.

риваемых энергиях столкновения канал передачи

Все 8 узлов этой функции расположены вблизи

является единственным неупругим каналом.

ядра кислорода, где ψ₀ экспоненциально мала.

При уменьшении R такая картина сохраняется до

первого квазипересечения с состоянием правого

3. НЕКОТОРЫЕ ДЕТАЛИ РАСЧЕТА

= 7. После про-

центра с квантовым числом n′2

Рассмотрим, как метод, описанный в предыду-

хождения узкой области квазипересечения распре-

щем разделе, применяется к расчету скорости пе-

деление заряда мюона в этих состояниях резко

редачи мюона с протона на кислород. При больших

меняется. В состоянии ψ₀ зарядовое облако мюона

межатомных расстояниях входной канал реакции

перемещается к кислороду и становится экспо-

описывается одним состоянием левого центра ψ₀

ненциально малым вблизи протона. В состоянии с

с квантовыми числами (19). При выборе состоя-

n′2 = 7 заряд, наоборот, перетекает к протону, а все

ний правого центра воспользуемся общеприняты-

7 узлов волновой функции оказываются в области

ми представлениями, согласно которым передача

вблизи ядра кислорода, где волновая функция экс-

мюона с водорода на ядро более тяжелого элемен-

поненциально мала. Аналогичная картина наблю-

та обусловлена в основном квазипересечениями

дается при прохождении других квазипересечений,

адиабатических термов, соответствующих каналам

которые происходят глубоко под потенциальным

реакции. Будем характеризовать состояния право-

барьером, разделяющим кулоновские ямы двух-

го центра параболическими квантовыми числами

центровой задачи. В этом случае в промежутках

n′1, n′2 и главным квантовым числом n^′ = n′1 +

между узкими областями квазипересечений можно

+ n′2 + m + 1. Как известно [16], квазипересечения

говорить о локализации зарядового облака мюона

возможны только для термов с одинаковыми зна-

вблизи одного из центров и считать, что при умень-

чениями чисел m и n₁. Поскольку для состояния

шении R состояния правого центра с последова-

ψ₀ эти числа равны нулю, рассмотрим состояния

тельно уменьшающимися на единицу значениями

правого центра с m = n′1 = 0. Волновые функции

квантового числа n′2 описывают мезоатом водорода

этих состояний не имеют узлов по переменной ξ,

в поле ядра кислорода. В частности, в области

а различаются числом узлов n_η по переменной η.

13 < R < 24 это состояние с n′2 = 6. Тот факт, что

В дальнейшем нас будут интересовать состояния

оно действительно соответствует мезоатому водо-

с 3 ≤ n′2 ≤ 6. Согласно приведенным в моногра-

рода в поле кислорода, подтверждается расчетом

фии [16] правилам связи между n_η и n′2 , при

адиабатического потенциала, равного сумме соб-

Z^′ = 8.90 для этих состояний n_η = n′2. Зависимо-

ственного значения mμH · ε_j (R) гамильтонианаĤμ,

сти собственных значений ε_j двухцентровой зада-

отсчитанного от энергии EμH(1s) изолированного

чи (15) от межатомного расстояния R для указан-

мезоатома водорода, и среднего значения кулонов-

ных выше состояний показаны на рис. 2 (индекс j

ского отталкивания ядер. При R = 24 этот потен-

сейчас сводится к паре чисел n′1 и n′2). Квазипере-

циал совпадает с поляризационным потенциалом с

сечения термов имеются в следующих интервалах

точностью около двух процентов. При дальнейшем

расстояний: R = 4-6, 7-8 и 12-13. Если начать с

уменьшении R квазипересечения происходят все

терма с n′2 = 3 и двигаться в сторону увеличения R,

ближе и ближе к вершине потенциального барьера,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

РОМАНОВ

ε_j(R)

067

-1.0

146

056

146

-1.5

135

045

-2.0

135

124

-2.5

034

124

-3.0

-3.5

034

Рис. 2. Зависимости собственных значений εj(R) двухцентровой кулоновской задачи от расстояния R между центром

масс мезоатома водорода и ядром кислорода для состояний правого центра с m = 0. Все величины даны в мезоатомных

единицах. Каждая кривая помечена значениями параболических квантовых чисел n′1, n′2 и n^′. Сплошные кривые —

состояния с n′1 = 0, штриховые — с n′1 = 1. На каждой кривой черным кружком отмечено значение R, при котором

состояние пересекает вершину потенциального барьера, разделяющего кулоновские ямы двухцентровой задачи.

области квазипересечений размываются и утвер-

центра с квантовыми числами m = n′1 = 0 и n′2 =

ждение о локализации мюона вблизи одного из

= 3-6. В работе [7] было отмечено, что некото-

ядер теряет смысл. В нашем случае у вершины

рую роль могут играть состояния с m = 0 и n′1 =

потенциального барьера происходят квазипересе-

= 1. Поэтому в расчет были включены три таких

чения при R = 4-6 и 7-8.

состояния правого центра с квантовым числом

n′2 = 2-4. Зависимости собственных значений ε_j

Согласно общепринятой трактовке, реакция пе-

двухцентровой задачи от межатомного расстояния

редачи мюона обусловлена в основном не слишком

R для этих состояний также показаны на рис. 2.

далекими квазипересечениями, лежащими вблизи

Их двухцентровые волновые функции имеют один

вершины потенциального барьера. Например, в

узел по переменной ξ; число узлов по переменной

работах [7, 9] передача мюона на кислород бы-

η равно n′2. Таким образом, используемый базис

ла рассмотрена на основе анализа термов задачи

состоял из семи состояний правого центра с m =

двух кулоновских центров с зарядами 1 и 8. Было

= 0. Для удобства квантовые числа этих состояний

выяснено, что основной вклад в скорость реакции

собраны в табл. 4.

дают квазипересечения, для которых расстояние

между кулоновскими центрами лежит в интерва-

При использовании указанного выше двухцен-

ле 8-9. Следуя этим представлениям, в настоя-

трового базиса в области, лежащей слева от ква-

щей работе в разложении трехчастичной волновой

зипересечения при R ≈ 24.3, имеется система семи

функции учитывались четыре состояния правого

связанных уравнений для радиальных функций. В

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

Таблица 3. Экспериментальное λ_exp и расчетные λ_th

ные квазипересечения, лежащие при R ≈ 24.3 и 66,

значения скорости λ(T) передачи мюона с термализо-

полностью игнорировались. Канал передачи мюона

ванных мезоатомов водорода на кислород при комнат-

в этой области R описывался шестью радиальными

ной температуре (все скорости приведены в единицах

уравнениями для остальных состояний, приведен-

10¹⁰ с-1; скорость, полученная в работе [7], пересчитана

ных в табл. 4.

на значение плотности N_H = 4.25 × 10²² см-3; число,

Представленное выше рассмотрение соответ-

заимствованное из работы [8], есть значение скорости

ствует передаче мюона на “голое” ядро кислорода.

q(E) при средней тепловой энергии столкновения E =

В действительности мезоатом водорода сталкива-

= 0.04 эВ; остальные скорости получены усреднением

ется с молекулой. Ввиду сложности этого процесса

по распределению Максвелла; два значения, взятые из

рассмотрим столкновение мезоатома со свободным

работы [12], соответствуют передаче мюона на “голое”

атомом кислорода. Даже в этом упрощенном слу-

ядро кислорода (верхнее значение) и на ядро свободного

чае анализ динамики электронной оболочки при

атома с учетом электронного экранирования (нижнее))

столкновении представляет собой сложную задачу,

поскольку энерговыделение в реакции передачи

λ_exp

λ_th

мюона составляет несколько кэВ и более чем до-

[2]

[7]

[8]

[9]

[10, 11]

[12]

статочно для электронного возбуждения. Простей-

шее предположение состоит в том, что в процессе

8.5 ± 0.2

6.8

7.7 ± 0.5

8.4

7.77

23.2

столкновения электронная оболочка остается в ос-

4.42

новном состоянии. В этом случае ее роль сводит-

ся к экранированию кулоновского взаимодействия

между тяжелыми частицами в каналах реакции.

Таблица 4. Параболические квантовые числа n′1 и n′2

Естественно ожидать, что из-за малых энергий

базисных состояний правого центра с m = 0 в преде-

столкновения экранирование наиболее существен-

ле R → ∞ (n^′ = n′1 + n′2 + m + 1 — главное квантовое

но во входном канале. В настоящей работе экрани-

число; в области 13 < R < 24 состояние, отмеченное

рование учитывалось в уравнении (25), описываю-

звездочкой, описывает мезоатом водорода в поле ядра

щем входной канал при R ≥ 24. Вместо поляриза-

кислорода и при R ≈ 24 соответствует входному каналу

ционного потенциала U_p(R) использовался новый

реакции; остальные состояния описывают канал пере-

сферически симметричный потенциал U_e(R), метод

дачи мюона)

построения которого был предложен в работе [21].

Этот потенциал может быть записан в виде суммы

n′1

n′2

n^′

двух слагаемых:

^∗0

U_e(R) = U_s(R) + U_f(R).

(26)

Первое слагаемое представляет собой экрани-

рованный поляризационный потенциал:

βZ2a(R)

U_s(R) = -

(27)

2R⁴

Z_a(R) = Z - Z_e(R).

Z_e(R) — абсолютная величина электронного за-

ряда в сфере радиуса R с центром на ядре атома,

интервале 13 < R < 24 состояние правого центра

Z_a(R) — полный заряд атома в этой сфере. Второе

с квантовыми числами m = n′1 = 0 и n′2 = 6 опи-

слагаемое U_f (R) возникает из-за конечного разме-

сывает мезоатом водорода в поле ядра кислорода.

ра мезоатома водорода; его можно рассматривать

Матричные элементы, связывающие уравнение для

как контактное взаимодействие мезоатома с элек-

тронной оболочкой:

радиальной функции этого состояния с остальными

уравнениями, экспоненциально убывают с ростом

2π

U_f(R) =

〈r2μH〉ρ_e(R).

(28)

R. Поэтому при R ≈ 24 уравнение отделяется от

прочих и соответствует входному каналу реакции.

При этом, как уже отмечалось, адиабатический

〈r2μH〉 — средний квадрат зарядового радиуса ме-

потенциал в этом уравнении совпадает с поля-

зоатома в основном состоянии, вычисленный отно-

ризационным потенциалом с процентной точно-

сительно его центра масс:

стью. При R ≥ 24 для описания входного канала

(

)

использовалось уравнение (25) с поляризацион-

〈r2μH〉 = -

(29)

mμH

M_H

ным потенциалом U_p(R), т.е. глубоко подбарьер-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

РОМАНОВ

q(E), 10¹⁰ c^-1

R, не превышающих электронного боровского ра-

диуса (≈200 мезоатомных единиц). Например, при

R = 24 потенциал U_s = -2.92 эВ и на порядок

превосходит слагаемое U_f . Так как электронная K-

оболочка атома кислорода имеет примерно такой

же радиус, то экранирование в потенциале U_s уже

заметно: заряд Z_a = 7.45. При R ≈ 105 потенциалы

U_s и U_f сравниваются и дают в сумме прибли-

зительно -8.5 × 10-3 эВ, т.е. величину порядка

тепловых энергий при температуре 100 K. При

R = 200 слагаемое U_s составляет только 9% от

потенциала U_f . В этом случае U_e = 1.69 × 10-3 эВ,

что соответствует тепловым энергиям при темпе-

ратуре 20 K. Отметим еще одно обстоятельство,

связанное со слагаемым U_f . Учет электронного

экранирования ослабляет поляризационное притя-

жение, так что при всех R выполняется неравен-

ство |U_s| < |U_p|. Добавление слагаемого U_f приво-

дит к тому, что при R > 115 новый потенциал U_e

по абсолютной величине становится больше, чем

U_p: |U_e| > |U_p|. Поскольку U_e убывает экспоненци-

ально, а U_p по степенному закону, то при R > 600

знак неравенства меняется на противоположный.

10^-3

10^-2

10^-1

10⁰

10¹

Значение потенциалов в этой точке уже очень ма-

E, эВ

ло — примерно -8 × 10-6 эВ, что соответствует

температуре около 0.1 К.

Рис. 3. Зависимостискоростиреакциипередачимюона

q(E) от энергии столкновения E. Сплошные кривые —

Для выяснения роли электронного экраниро-

результаты расчетов в вариантах A, B и C. На каждой

вания расчеты скорости рассматриваемой реак-

кривой черным кружком отмечено значение энергии E,

ции были выполнены для трех вариантов A, B и

равное высоте барьера в эффективной потенциальной

C, отличающихся потенциалом в уравнении (25),

энергии для p-волны (табл. 6). Точечная кривая —

экспериментальная зависимость q(E), рассчитанная

асимптотически описывающем входной канал.

по формуле (3) с центральными значениями коэффи-

циентов из табл. 2.

A) Электронное экранирование вообще не учи-

тывалось, что соответствует передаче мюона

на “голое” ядро кислорода. В этом случае в

Квадрат зарядового радиуса отрицателен, так как

уравнении (25) использовался неэкраниро-

основной вклад в него дает отрицательно заря-

ванный поляризационный потенциал U_p(R).

женный мюон. Функция ρ_e(R) есть абсолютная

величина электронной плотности на расстоянии R

B) Вместо U_p(R) подставлялся экранирован-

от ядра Z. Она нормирована условием

ный потенциал U_s(R), то есть учитывалось

∫∞

экранирование заряда ядра атомными элек-

4π ρ_e(R)R²dR = Z.

(30)

тронами. Такой способ применялся в рабо-

тах [9, 12].

Значения потенциалов U_s(R) и U_f (R) для ря-

C) В уравнении (25) использовался потенци-

да межатомных расстояний приведены в табл. 5.

ал U_e(R) = U_s(R) + U_f (R), то есть к экра-

Плотность ρ_e(R) и заряд Z_e(R) вычислялись с

нированному поляризационному потенциалу

помощью аналитических волновых функций одно-

добавлялось контактное взаимодействие ме-

электронных орбит атома кислорода, полученных

зоатома водорода с электронной оболочкой

методом Хартри-Фока-Рутана [22]. Оба потенци-

атома кислорода. Вариант C является самым

ала U_s(R) и U_f (R) являются потенциалами при-

реалистическим, поскольку учитывает влия-

тяжения и экспоненциально убывают с ростом R.

ние атомных электронов наиболее полно.

Так как U_s(R) пропорционален квадрату заряда

Z_a(R) и содержит дополнительный фактор R-4, то

Во всех вариантах расчета для ненулевых значе-

он убывает быстрее. В результате этот потенциал

ний орбитального момента J в эффективном потен-

оказывается существенным лишь на расстояниях

циале, входящем в уравнение (25), имеется барьер.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

Таблица 5. Атомный заряд Z_a и потенциальные энергии взаимодействия мезоатома водорода с атомом кислорода

как функции межатомного расстояния R (значения R и Z_a даны в мезоатомных единицах, потенциальные энергии —

в электронвольтах; в скобках указаны порядки чисел)

Z_a

U_p

U_s

U_f

U_e

7.45

-3.36

-2.92

-1.97 (-1)

-3.11

7.20

-1.38

-1.12

-1.26 (-1)

-1.24

6.82

-4.36 (-1)

-3.17 (-1)

-6.09 (-2)

-3.77 (-1)

6.50

-1.79 (-1)

-1.18 (-1)

-3.05 (-2)

-1.49 (-1)

5.99

-3.53 (-2)

-1.98 (-2)

-7.89 (-3)

-2.77 (-2)

100

5.61

-1.12 (-2)

-5.49 (-3)

-4.41 (-3)

-9.89 (-3)

125

5.17

-4.57 (-3)

-1.91 (-3)

-3.45 (-3)

-5.36 (-3)

150

4.65

-2.20 (-3)

-7.44 (-4)

-2.74 (-3)

-3.48 (-3)

175

4.08

-1.19 (-3)

-3.09 (-4)

-2.10 (-3)

-2.41 (-3)

200

3.50

-6.97 (-4)

-1.34 (-4)

-1.56 (-3)

-1.69 (-3)

250

2.47

-2.86 (-4)

-2.73 (-5)

-8.19 (-4)

-8.46 (-4)

300

1.67

-1.38 (-4)

-6.03 (-6)

-4.19 (-4)

-4.25 (-4)

400

0.715

-4.36 (-5)

-3.48 (-7)

-1.09 (-4)

-1.10 (-4)

500

0.291

-1.79 (-5)

-2.35 (-8)

-2.95 (-5)

-2.96 (-5)

600

0.115

-8.61 (-6)

-1.79 (-9)

-8.27 (-6)

700

0.0455

-4.65 (-6)

-1.50 (-10)

-2.40 (-6)

Таблица 6. Положение R_b вершины потенциального барьера и его высота U_b для нескольких значений орбитального

момента J в вариантах расчета A, B и C (R_b — в мезоатомных единицах, U_b — в электронвольтах)

Вариант

J =1

J =2

J =3

J =4

расчета

R_b

U_b

R_b

U_b

R_b

U_b

R_b

U_b

60.5

0.0832

34.9

0.749

24.7

3.00

19.1

8.32

51.4

0.126

32.4

0.943

23.8

3.43

18.7

9.07

55.9

0.102

33.5

0.841

24.1

3.24

18.8

8.77

Положение вершины барьера R_b и его высота U_b

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА И ВЫВОДЫ

приведены в табл. 6 для J ≤ 4. Для этих значений

Результаты расчета скорости реакции передачи

J, вершина барьера, лежит либо в области R ≥ 24,

мюона q(E) представлены на рис. 3 и 4. При

где входной канал реакции описывается одним

малых энергиях столкновения основной вклад дает

уравнением (25), либо недалеко от этой области

s-волна, сечение реакции пропорционально v-1

и скорость реакции практически постоянна. При

слева. При малых энергиях столкновения E ≪ U_b

E > 0.01 эВ определяющим становится быстро

барьер препятствует проникновению соответству-

растущий вклад p-волны. В результате на кривых

ющей парциальной волны в область взаимодей-

зависимости q(E) имеются ярко выраженные резо-

ствия термов и ее вклад в сечение передачи мюона

нансные максимумы. Их положение и максималь-

мал. С ростом энергии столкновения парциальное

ная скорость реакции для вариантов расчета A,

сечение передачи возрастает и при E ∼ U_b стано-

B и C приведены в табл. 7. Положение и фор-

вится сопоставимо с вкладами волн с меньшими

ма максимумов существенным образом зависят от

орбитальными моментами.

способа учета электронного экранирования. Наи-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

100

РОМАНОВ

Таблица 7. Положение E_m резонансных максиму-

барьера в p-волне. При дальнейшем увеличении

мов в энергетической зависимости скорости передачи

энергии столкновения электронное экранирование

мюона при энергиях столкновения E < 1 эВ (q_m —

становится менее существенным, и при E > 1 эВ

максимальное значение скорости; последняя строка —

кривые, полученные в трех вариантах расчета, идут

результат аппроксимации, предложенной в работе [5]

очень близко друг к другу. В этой области имеет-

(формула (3) с центральными значениями коэффициен-

ся еще один максимум при E ≈ 2.4 эВ. Значение

тов из табл. 2))

скорости реакции в этой точке составляет около

5 × 10¹⁰ с-1. Максимум обусловлен резонансным

Вариант

E_m, эВ

q_m, 10¹¹ с-1

поведением парциального вклада g-волны (рис. 4).

расчета

Интересно отметить, что высота потенциального

0.0640

3.32

барьера в g-волне составляет около 9 эВ (табл. 6),

так что резонанс является глубоко подбарьерным.

0.167

1.23

На рис. 3 приведена также экспериментальная

0.112

1.82

кривая зависимости q(E), полученная в работе [5]

[5]

0.0972

1.74

в результате обработки данных по температурной

зависимости скорости реакции. Кривая рассчита-

на по формуле (3) с центральными значениями

Таблица 8. Экспериментальные λ_exp и расчетные λ_th

коэффициентов из табл. 2. Положение и высота

значения скорости λ(T) передачи мюона с термализо-

максимума этой кривой приведены в табл. 7. В

ванных мезоатомов водорода на кислород при различ-

области E > 0.015 эВ расчетная кривая, получен-

ных температурах (все скорости приведены в единицах

ная в варианте C, хорошо совпадает c эксперимен-

10¹⁰ с-1; экспериментальные значения заимствованы

тальной кривой. Расчетные и экспериментальные

из работы [6]; ошибки вычислены по формуле σ =

√

значения положения максимума и максимальной

σ²¹ + σ²², где σ₁ и σ₂ приведены в табл. 1; значения

скорости реакции также близки. При уменьшении

λ_th получены в вариантах расчета A, B и C)

энергии согласие ухудшается. Например, при E ≈

≈ 0.01 эВ расчетная кривая уже выходит на гори-

λ_exp

λ_th

T,K

зонтальный участок, тогда как экспериментальные

[6]

значения скорости реакции продолжают убывать.

Возможно, что это различие обусловлено влиянием

104

3.07 ± 0.30

7.47

3.16

4.33

молекулярных эффектов. В связи с этим следует

153

5.20 ± 0.34

10.6

3.48

5.19

отметить два обстоятельства.

201

6.48 ± 0.35

13.4

3.85

6.12

1. Логика выполненного расчета такова, что

240

8.03 ± 0.38

15.2

4.17

6.87

реакция передачи мюона происходит на

272

8.18 ± 0.41

16.4

4.44

7.47

межатомных расстояниях R, не превышаю-

300

8.79 ± 0.43

17.3

4.68

7.95

щих 24 мезоатомные единицы. Эта величина

составляет примерно одну десятую элек-

тронного боровского радиуса, что заметно

более ярко максимум выражен в варианте А (пе-

меньше размеров молекулы кислорода. При

редача мюона на “голое” ядро кислорода). Здесь

больших значениях R мезоатом водорода

максимальное значение скорости реакции достига-

движется в сферически симметричном поле

ется при энергии столкновения, несколько мень-

свободного атома кислорода. Реально в

шей высоты потенциального барьера в p-волне.

молекуле это поле устроено значительно

В варианте B учет электронного экранирования

сложнее. В частности, оно не является

в поляризационном потенциале уменьшает притя-

сферически симметричным. Естественно

жение во входном канале реакции. В результате

ожидать, что этот факт должен как-то

максимум смещается в сторону больших энергий и

проявляться при уменьшении энергии столк-

его высота уменьшается. В наиболее реалистиче-

новения.

ском варианте C учет дополнительного притяже-

ния, обусловленного контактным взаимодействи-

2. Ядра кислорода в молекуле участвуют во

ем мезоатома водорода с электронной оболочкой

внутреннем

колебательно-вращательном

атома кислорода, сдвигает максимум обратно в

движении. В частности, при любой тем-

сторону меньших энергий и увеличивает его высоту.

пературе имеются нулевые колебания. Их

В вариантах B и C максимум достигается при энер-

учет может оказаться важным при малых

гиях, несколько больших высоты потенциального

энергиях столкновения.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ

101

q(E), c^-1

λ(T), 10¹⁰ c^-1

10¹¹

10¹⁰

10⁹

100

150

200

250

300

T, K

10^-3

10^-2

10^-1

10⁰

10¹

E, эВ

Рис. 5. Зависимости скорости λ(T) передачи мюона

с термализованных мезоатомов водорода от темпера-

туры T, рассчитанные в вариантах A, B и C. Черные

Рис. 4. Зависимости парциальных скоростей реакции

кружки — экспериментальные значения, полученные в

передачи мюона от энергии столкновения E, рассчи-

работе [6] (табл. 8).

танные в варианте C. Сплошная кривая — полная ско-

рость q(E), точечные кривые — вклады парциальных

волн от s до g. На каждой точечной кривой черным

В заключение подведем некоторые итоги.

кружком отмечено значение энергии E, равное высоте

барьера в эффективной потенциальной энергии для

соответствующей парциальной волны (табл. 6).

1. В области энергий столкновения 0.015 <

< E < 0.1 эВ расчетные значения скорости

реакции хорошо согласуются с результа-

Рассмотрим теперь температурную зависимость

тами, полученными при обработке экспе-

скорости λ(T ) передачи мюона с термализован-

риментальных данных. В частности, расчет

ных мезоатомов водорода. Для столкновения ме-

предсказывает существование p-волнового

зоатома со свободным атомом кислорода эта ве-

резонанса при энергии E ≈ 0.1 эВ. Этот

личина получается усреднением скорости q(E) по

результат представляется важным в кон-

максвелловскому распределению скоростей отно-

тексте планируемого лазерного эксперимен-

сительного движения во входном канале реакции.

та по прецизионному измерению энергии

сверхтонкого расщепления состояния 1s ме-

Результаты представлены в табл. 8 и на рис. 5. Во

зоатома водорода.

всех вариантах расчета скорость реакции монотон-

но возрастает с увеличением температуры, что яв-

2. При температурах 150 < T < 300 К расчет-

ляется следствием роста скорости q(E) при тепло-

ные значения скорости реакции передачи

вых энергиях столкновения. Наилучшее согласие

мюона с термализованных мезоатомов также

с экспериментальными значениями получается в

хорошо согласуются с экспериментальными

варианте C. При T > 150 К расчетная кривая идет

значениями.

несколько ниже экспериментальных точек, откло-

няясь от них не более чем на 15%. При уменьше-

3. Результаты расчета весьма чувствительны к

нии температуры согласие ухудшается. Расчетные

электронному экранированию. Хорошее со-

значения становятся больше экспериментальных

гласие с экспериментальными данными до-

и при T = 104 K превышают последние на 40%.

стигается только при его надлежащем учете.

Этот факт также может служить указанием на

необходимость учета молекулярных эффектов при

4. При уменьшении энергии столкновения до

малых энергиях столкновения.

0.01 эВ и уменьшении температуры до 100 К

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

102

РОМАНОВ

согласие между расчетными и эксперимен-

9. V. I. Savichev and R. Bl ¨umel, Eur. Phys. J. D 21, 3

тальными значениями ухудшается. Возмож-

(2002).

ной причиной может быть влияние молеку-

10. A. Dupays, Phys. Rev. Lett. 93, 043401 (2004).

лярных эффектов.

11. A. Dupays, B. Lepetit, J. A. Beswick, C. Rizzo, and

D. Bakalov, Phys. Rev. A 69, 062501 (2004).

12. Anh-Thu Le and C. D. Lin, Phys. Rev. A 71, 022507

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(2005).

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

13. S. V. Romanov, Eur. Phys. J. D 28, 11 (2004).

ка (Наука, Москва, 1989), с. 693, 581.

14. С. В. Романов, ЯФ 77, 3 (2014) [Phys. At. Nucl. 77,

A. Werthm ¨uller, A. Adamczak, R. Jacot-Guillarmod,

1 (2014)].

F. Mulhauser, L. A. Schaller, L. Schellenberg,

15. K. Kobayashi, T. Ishihara, and N. Toshima, Muon Cat.

H. Schneuwly, Y.-A. Thallman, and S. Tresch,

Fusion 2, 191 (1988).

Hyperf. Interact. 116, 1 (1998).

16. И. В. Комаров, Л. И. Пономарев, С. Ю. Славянов,

A. Adamczak, D. Bakalov, K. Bakalova, E. Polacco,

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные

and C. Rizzo, Hyperf. Interact. 136, 1 (2001).

функции (Наука, Москва, 1976), с. 15-17, 171-

D. Bakalov, A. Adamczak, M. Stoilov, and A. Vacchi,

178, 190-196.

Phys. Lett. A 379, 151 (2015).

17. G. Jaff ´e, Z. Phys. 87, 535 (1934).

FAMU Collab. (E. Mocchiutti et al.), arXiv:

18. W. G. Baber and H. R. Hass ´e, Proc. Cambr. Phil. Soc.

1905.02049 v1 [nucl-ex].

31, 564 (1935).

E. Mocchiutti, A. Adamczak, D. Bakalov,

19. D. R. Bates and T. R. Carson, Proc. Roy. Soc. A 234,

G. Baldazzi, R. Benocci, R. Bertoni, M. Bonesini,

207 (1956).

V. Bonvicini, H. Cabrera Morales, F. Chignoli,

20. Gis `ele

Hadinger, M. Aubert-Fr ´econ, and

M. Clemenza, L. Colace, M. Danailov, P. Danev,

Gerold Hadinger, J. Phys. B 22, 697 (1989).

A. de Bari, C. De Vecchi, et al., Phys. Lett. A 384,

21. A. V. Kravtsov, A. I. Mikhailov, and N. P. Popov, J.

126667 (2020).

Phys. B 19, 1323 (1986).

С. С. Герштейн, ЖЭТФ 43, 706 (1962).

R. A. Sultanov and S. K. Adhikari, Phys. Rev. A 62,

22. E. Clementi and C. Roetti, At. Data Nucl. Data Tables

022509 (2000).

14, 177 (1974).

ON THE ENERGY DEPENDENCE OF THE MUON TRANSFER RATE

FROM PROTON TO OXYGEN

S. V. Romanov¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

The results of calculations of the muon transfer rate from the 1s state of muonic protium to the nucleus of

a free oxygen atom are presented in the interval of collision energies from 10-4 to 10 eV. The calculations

were performed within a variant of the perturbed stationary states method suggested before. The electron

screening in the entrance channel of the transfer reaction was taken into account. The p-wave resonance

in the transfer rate is predicted at collision energies of about 0.1 eV. This result is important in the context

of the planned laser experiment on precise measurements of the hyperfine splitting energy of the 1s state of

muonic protium.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022