ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 1, с. 45-52

ЯДРА

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСЧЕТЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА

МЕЖДУ ОДНОФОНОННЫМИ 3-1- И 2⁺¹-СОСТОЯНИЯМИ

В ИЗОТОПАХ Sn

Поступила в редакцию 16.05.2021 г.; после доработки 01.07.2021 г.; принята к публикации 09.07.2021 г.

Самосогласованный метод изучения ангармонических эффектов второго порядка в рамках квантовой

теории многих тел впервые применяется для расчета вероятностей переходов между низколежа-

щими однофононными состояниями в ядрах со спариванием. Используемый подход содержит учет:

1) самосогласования между средним ядерным полем и эффективным взаимодействием, основанного

на использовании метода энергетического функционала плотности с зарекомендовавшими себя

параметрами функционала Фаянса DF3-a, 2) трехквазичастичных корреляций в основном состоянии и

3) эффектов поляризуемости ядра. В работе изучались E1-переходы между однофононными 3-1- и 2⁺¹-

уровнями в полумагических изотопах олова118-124Sn. Получено хорошее согласие с экспериментом.

Показано, что трехквазичастичные корреляции в основном состоянии дают значительный вклад в

изучаемую величину. Рассмотрены специфика данной задачи в ядрах со спариванием и эффекты

спиновых составляющих амплитуды рождения фононов.

DOI: 10.31857/S0044002722010123

1. ВВЕДЕНИЕ

модели (КФМ) [2], теории конечных ферми-систем

(ТКФC) [3] как без самосогласования [4], так и с

Для надежного предсказания свойств ядер на

самосогласованием [5] и c самосогласованием на

современном уровне микроскопической теории яд-

основе квазичастичного приближения временной

ра необходимо выполнение как минимум двух усло-

блокировки [6]. Методы, основанные на ТКФС,

вий. Во-первых, следует использовать подход с

базируются на факте существования в магических

соотношением самосогласования между средним

и полумагических ядрах малого параметра g² —

полем и эффективным взаимодействием, в котором

обезразмеренного квадрата амплитуды рождения

среднее поле ядра определяется первой производ-

ной функционала по ядерной плотности, а эф-

фонона. Мы называем это приближением g².

фективные частично-дырочное (ph-) и частично-

Последовательный метод изучения ангармони-

частичное (pp-) взаимодействия являются второй

ческих эффектов в ядрах без спаривания в рамках

производной этого же функционала. Это позволяет

метода квантовых функций Грина был развит в

использовать только один набор параметров для

работах [5, 7]. Этот метод уже применялся для

эффективного взаимодействия и среднего поля.

расчетов характеристик магических и полумагиче-

Самосогласованность и отсутствие подгоняемых

ских ядер в нескольких работах: для расчета ста-

параметров принципиально улучшает предсказа-

тистических квадрупольных моментов первых 2⁺-

тельную силу теории. Во-вторых, необходимо учи-

состояний в работе [8], для расчета вероятностей

тывать одночастичный континуум, что особенно

однофононных переходов в магических ядрах [9] и

важно для описания ядер с малыми энергиями

для расчета квадрупольных моментов первых 3^--

отрыва.

состояний [10] в полумагических ядрах. Во всех

К этим условиям также необходимо добавить

этих работах самосогласованная схема основы-

учет квазичaстично-фононного взаимодействия

валась на методе энергетического функционала

(КФВ), см., например, недавний обзор [1]. Эта

плотности Фаянса [11, 12] DF3-a [13]. Следует

проблема долгое время изучалась в рамках

отметить, что для описания фононов в них исполь-

нескольких подходов: в квазичастично-фононной

зовался обычный метод хаотических фаз (МХФ)

для магических ядер или квазичастичный МХФ

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

(КМХФ) для ядер со спариванием.

институт”, Москва, Россия.

²⁾АО “Наука и инновации”, Москва, Россия.

В работах [8-10] было показано, что новые,

^*E-mail: shitov_mi@nrcki.ru

так называемые трехквазичастичные корреляции

ШИТОВ и др.

в основном состоянии (КОС), названные так по

Выражение для амплитуды перехода между од-

аналогии с хорошо известными двухквазичастич-

нофононными состояниями s и s^′ в ядрах без спа-

ными корреляциями в обычном методе хаотических

ривания имеет следующий вид [7] (подробнее см.,

фаз, объясняют до половины величины эффекта,

например, [14]):

а вторую половину обеспечивает учет эффектов

M_ss′ = V Gg_sGg_s′ G + V GGδ_sFGGg_s′ .

(3)

поляризуемости ядра. Кроме того, в работе [9]

было обнаружено, что, в отличие от E2-переходов,

Графическое представление данного выражения

величина вероятности перехода в которых опре-

показано на рис. 1. Для полумагических ядер, в ко-

делялась суммой эффектов поляризуемости и уче-

торых также существует параметр малости g² [15],

та КОС, вероятности E1-переходов определялись

следует учесть эффект спаривания. Это означает,

разностью этих двух больших чисел. Это делает

что необходимо дополнить нашу картину графика-

их крайне чувствительными к самосогласованности

ми, содержащими интегралы от четырех функций

применяемого метода.

Грина G, G^h, F⁽¹⁾, F⁽²⁾.

Таким образом, к настоящему времени у нас

есть самосогласованная микроскопическая теория,

G₁(ε) = Gh1(-ε) =

(4)

которая имеет высокую предсказательную силу

u²¹

v²¹

благодаря использованию небольшого набора хо-

ε - E₁ + iδ

ε + E₁ - iδ

рошо известных параметров для расчета ядер-

ных характеристик. Это дает эффективный ин-

F⁽¹⁾¹(ε) = F⁽²⁾¹(ε) =

струмент для расчетов и теоретического анализа.

[

]

Изучение вероятностей переходов между однофо-

Δ₁

нонными состояниями представляет собой хоро-

2E₁

ε - E₁ + iδ

ε + E₁ - iδ

ший полигон для микроскопических методов, по-

скольку “дальнейшее развитие ядерной спектро-

где

√

скопии в значительной мере связано с изучени-

E₁ = (ε₁ - μ)² + Δ²¹,

(5)

ем γ-переходов между возбужденными состояни-

ями” [2].

u²¹ = 1 - v² = (E₁ + ε₁ - μ)/2E₁,

Вполне естественно сделать следующий шаг в

и нижние индексы представляют собой наборы

рамках вышеописанного подхода и рассмотреть

квантовых чисел 1 ≡ (n₁, l₁, j₁, m₁).

вероятности E1-переходов между однофононными

состояниями в ядрах со спариванием. Цель насто-

В ядрах со спариванием для описания фононов

ящей работы состоит в применении самосогласо-

необходимо использовать уравнения КМХФ, ко-

ванного метода функций Грина для расчета вероят-

торые содержат (ph, hp, pp, hh)-каналы и четыре

ностей E1-переходов между однофононными 3-1-

эффективных поля V , V^h, d⁽¹⁾ и d⁽²⁾ [3]. Как и

во всех наших предыдущих работах [8-10], мы

и 2+1 -состояниями в ряде полумагических изотопов

пренебрегаем изменениями спаривательной щели

олова.

во внешнем поле d⁽¹⁾ и d⁽²⁾. Тогда вместо первого

слагаемого в выражении (3) рис. 1, получаются 8

2. НЕКОТОРЫЕ РАННИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

слагаемых, к каждому из которых следует, вообще

говоря, добавить по 2 слагаемых, содержащих δ_sF

В самосогласованной теории конечных ферми-

и δ_sF^ξ, где F^ξ — pp-взаимодействие. Однако, как

систем [3, 5] эффективное поле V

— вершина,

было показано ранее при расчетах квадрупольных

определяющая эффект ядерной поляризуемости

моментов [8], учет δF и δ_sF^ξ дает очень небольшой

при наложении внешнего поля V⁰ с энергией ω,

вклад, поэтому в данной работе мы ограничились

описывается уравнением

рассмотрением только восьми основных графиков,

V (ω) = e_qV ⁰(ω) + F A(ω)V (ω),

(1)

показанных на рис. 2.

Таким образом, вместо формулы (3) мы имеем

где F

— эффективное взаимодействие, A(ω) =

∫

сумму из 8 членов вида (6) для каждой из амплитуд

G(ε +ω2 )G(ε -ω2 )dε2πi — частично-дырочный

перехода M(i)ss′, представленных на рис. 2, например

пропагатор, а e_q — локальный заряд квазичастиц в

поле.

для M(1)ss′:

∑

(1)

M_s

〈1|V |2〉〈2|gs′ |3〉〈3|g^s|1〉 ×

(6)

Амплитуда рождения фононов с энергией ω_s в

s^′

123

поле V (ω) подчиняется уравнению

∫

g_s = FA(ω_s)g_s.

(2)

× G₁(ε)G₂(ε + ω)G₃(ε + ω_s)dε,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСЧЕТЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА

Mss' =

δ_SF

Рис. 1. Графическое представление для амплитуды (3) перехода между однофононными состояниями в ядрах без

спаривания. Линии со стрелками — функции Грина G, кружки — амплитуды рождения фонона gs с энергией ωs.

Mss' =

M₃

M₇

M₂

M₄

M₆

M₈

Рис. 2. Диаграммы для амплитуды перехода M_ss′ в ядрах со спариванием. Двойные стрелки отвечают аномальным

функциям Грина F. Графики c аномальными функциями Грина отделены вертикальной штриховой линией.

]

где ω = ω^′s - ω_s и суммирование производится по

+ (-1)L+Is A^(76)123 + (-1)L+Is′ A^(58)123 .

уровням одночастичной схемы до 100 МэВ.

Здесь для приведенных матричных элемен-

тов вершины и фононов введены обозначения

3. ПРИВЕДЕННАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

ПЕРЕХОДА В ЯДРАХ СО СПАРИВАНИЕМ

〈1||V ||2〉 = V₁₂, 〈3||g^s||1〉 = gs31 и 〈2||gs′ ||3〉 = gs′23,

в первом приближении мы использовали для

После отделения угловых переменных и сумми-

амплитуды рождения фонона выражение g_s =

рования по магнитным квантовым числам получаем

следующую формулу для приведенной вероятности

= gIs0YIsM и для сокращения формулы (8) исполь-

зованы свойства симметрии шаровой функции (см.

перехода I_s → I_s′ с энергией ω = ω_s′ - ω_s:

разд. 4). При этом

B(E_L) =

|〈I_s||M_L||I_s′ 〉|²,

(7)

2I_s + 1

M_ss′ = M(12)ss′ + M(34)ss′ + M(76)ss′ + M(58)ss′,

(9)

где приведенный матричный элемент 〈I_s||M_L||I_s′ 〉

суммирование производится по уровням одноча-

определяется выражением

стичной схемы до 100 МэВ (см. следующий раз-

⎧

⎫

дел).

∑

⎬

^⎨I_s I_s′ L

〈I_s||M_L||I_s′ 〉 =

(8)

Величины A(ik) = A(i) + A(k) представляют со-

⎩

⎭

123

j₂

j₁

j₃

бой суммы двух пропагаторов — интегралов от

[

трех ФГ (формула (6)), соответствующих одному из

×V₁₂gs31gs′

A^(12)123 + A^(34)123 +

восьми графиков на рис. 2.

2(E₁₃E₂₃ + ω_sω_s′ )

A^(12)123 = A⁽¹⁾¹²³ + A⁽²⁾¹²³ =

(u²¹u²²v²³ - v²¹v²²u²³) +

(10)

(E²¹³ - ω2s)(E²²³ - ω2s′ )

2(E₃₂E₁₂ + ωω_s′ )

2(E₃₁E₂₁ - ωω_s)

(u²¹v²²u²³ - v²¹u²²v²³) +

(v²¹u²²u²³ - u²¹v²²v²³),

(E²³² - ω2s′ )(E²¹² - ω²)

(E²³¹ - ω2s)(E²²¹ - ω²)

A^(34)123 = A⁽³⁾¹²³ + A⁽⁴⁾¹²³ =

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ШИТОВ и др.

(

)

Δ₁Δ₂

2(E₁₃E₂₃ + ω_sω_s′ )

2(E₃₂E₁₂ + ωω_s′ )

2(E₃₁E₂₁ - ωω_s)

(u²³ - v²³)

4E₁E₂

(E²¹³ - ω2s)(E²²³ - ω2s′ )

(E²³² - ω2s′ )(E²¹² - ω²)

(E²³¹ - ω2s)(E²²¹ - ω²)

A^(76)123 = A⁽⁷⁾¹²³ + A⁽⁶⁾¹²³ =

(

)

Δ₁Δ₃

2(E₁₃E₂₃ + ω_sω_s′ )

2(E₃₂E₁₂ - ωω_s′ )

2(E₃₁E₂₁ + ωω_s)

(u²² - v²²)

4E₁E₃

(E²¹³ - ω2s)(E²²³ - ω2s′ )

(E²³² - ω2s′ )(E²¹² - ω²)

(E²³¹ - ω2s)(E²²¹ - ω²)

A^(58)123 = A⁽⁵⁾¹²³ + A⁽⁸⁾¹²³ =

(

)

Δ₂Δ₃

2(E₁₃E₂₃ + ω_sω_s′ )

2(E₃₂E₁₂ - ωω_s′ )

2(E₃₁E₂₁ + ωω_s)

(u²¹ - v²¹)

4E₂E₃

(E²¹³ - ω2s)(E²²³ - ω2s′ )

(E²³² - ω2s′ )(E²¹² - ω²)

(E²³¹ - ω2s)(E²²¹ - ω²)

Формула (8) в предельном случае I_s = I^′s соответ-

процедура определения максимальной энергии, до

ствует формулам, полученным для величин квад-

которой следует суммировать в (8) для достижения

рупольных моментов [8, 10]; в предельном случае

сходимости. Как было показано в работах [8, 10],

Δ_i = 0 она переходит в формулу для EL-переходов

достаточная точность достигается при суммиро-

в магических ядрах [9].

вании до 100 МэВ. Такой предел суммирования

фактически обеспечивает учет непрерывного од-

Первый член каждого из слагаемых A(ik)123 пол-

ночастичного спектра, что является хорошим ана-

ностью соответствует формуле для приведенной

логом координатного представления. Тот же базис

вероятности переходов между однофононными со-

использован в расчетах по формулам (7)-(10).

стояниями в задаче со спариванием в работе [16],

Амплитуда рождения фонона рассматривалась

в которой решалась аналогичная задача для ¹²⁰Sn

в виде суммы двух компонент со спинами S = 0 и

на базе КФМ [2]. Второй и третий члены каж-

S = 1:

дого из слагаемых A(ik) являются уникальными

g_s = gs0(r)Tss0(n,α) + gs1(r)Tss1(n,α),

(11)

для нашего метода слагаемыми и соответствуют

трехквазичастичным корреляциям в основном со-

где T_JLS — обычные спин-угловые тензоры (по-

стоянии. Более подробно КОС обсуждались в [9].

дробнее см. [17]). Спин-орбитальное взаимодей-

Насколько мы знаем, для рассматриваемой задачи

ствие в уравнении для амплитуды рождения фо-

переходов между однофононными состояниями они

нонов не учитывалось, так как оно значительно

не учитываются в работах за пределами метода

усложняет решение уравнения, но не оказывает

функций Грина. Как было получено ранее для муль-

принципиального влияния на исследуемые величи-

типольных моментов [8, 10] в полумагических ядрах

ны [18]. Нашей же целью было оценить в первую

и однофононных переходов [9] в магических ядрах,

очередь степень прямого влияния спина в дан-

и как будет показано далее в этой работе, КОС

ной задаче. Рассчитанные характеристики фононов

вносят количественно большой вклад в результи-

приведены в табл. 1. Таблица фононов приведена

рующую величину вероятности.

для полного расчета со спином. Как видно из

таблицы, получено достаточно разумное описание

энергий фононов и, что особенно важно для нашей

4. МЕТОД РАСЧЕТОВ. РЕЗУЛЬТАТЫ

задачи расчета характеристик пропорциональных

И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

g², хорошее описание приведенных вероятностей

Как упоминалось выше, во всех расчетах, как

B(EL). Необходимо отметить, что вклад компо-

для эффективного поля, так и для эффективного

ненты g₁ в нормировку фононной вершины мал

взаимодействия и амплитуд рождения фононов ис-

для всех исследованных в рамках работы изотопов.

пользовались хорошо известные параметры функ-

Для иллюстрации на рис. 3 показаны вклады двух

ционала Фаянса DF3-a [13]. Детали метода расчета

составляющих амплитуды g в¹¹⁸Sn.

характеристик однофононных состояний в рамках

Результаты расчетов приведенной вероятно-

самосогласованной ТКФС описаны в [5].

сти B(E1) перехода между первыми 3^-- и 2⁺-

Уравнения для эффективного поля V и ампли-

состояниями представлены в табл. 2. Сначала мы

туды рождения фонона g решались в координатном

использовали для расчета приведенных матричных

представлении с использованием самосогласован-

элементов амплитуды рождения фонона простое

ного базиса ЭФП Фаянса DF3-a. Поскольку сум-

выражение g_s = gIs0YIsM . Получено хорошее

ма в выражении (8) некогерентна, то выполнялась

согласие с экспериментом. Экспериментальные

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСЧЕТЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА

Таблица 1. Характеристики фононов в изотопах Sn: энергии (МэВ) первых 3^-(ω₃)-, 2⁺(ω₂)-состояний и E1-

переходов (ω_L) между ними, приведенные вероятности переходов B(EL) ↑ (e²b^L)(экспериментальные данные

взяты из [19, 20])

Ядро

ω₃

ω^exp3

B(E3) B(E3)^exp

ω₂

ω^exp2

B(E2) B(E2)^exp

ω_L

ωexpL

¹¹⁸Sn

3.072

2.324

0.106

0.115(10)

1.217

1.229

0.172

0.208(9)

1.855

1.095

¹²⁰Sn

3.069

2.400

0.112

0.115(15)

1.241

1.171

0.152

0.200(4)

1.828

1.229

¹²²Sn

3.112

2.492

0.107

0.092(10)

1.290

1.140

0.158

0.192(4)

1.822

1.352

¹²⁴Sn

3.208

2.602

0.103

0.073(10)

1.350

1.131

0.147

0.165(6)

1.858

1.471

g_p

, МэВ

118

Sn g

g₁

r, фм

−2

Рис. 3. Протонная составляющая амплитуды рождения 2⁺-фонона g(r) в¹¹⁸Sn, рассчитанная в самосогласованной

ТКФС. Штриховая кривая отвечает составляющей S = 1.

данные взяты из работ экспериментаторов Курча-

¹²⁰Sn и было получено хорошее согласие с экспе-

товского института [21, 22]. Для оценки влияния

риментом, однако для его достижения потребова-

отдельных эффектов на рассчитываемую величину

лось смешивание одно- и двухфононной компонент

в таблице также приведены результаты расчетов

волновых функций низкоэнергетических фононов,

без учета эффектов поляризуемости ядра и без

что означает выход за рамки предположения об

учета КОС. Как видно из таблицы, также как и

однофононности изучаемых 3^-- и 2⁺-уровней.

в работе [9] для магических ядер, учет поляри-

зуемости уменьшает B(E1) (колонки 2 и 3), но

4.1. Специфика учета спаривания в

это уменьшение (примерно в 3 раза) не такое

рассматриваемой задаче

большое, как в [9] для магических ядер (там —

на порядок величины). Это можно объяснить

Представляет интерес оценить вклад графиков

спецификой учета спаривания, см. следующий

M(1)-(8) на рис. 2, включая прежде всего графики

раздел. Учет эффектов КОС увеличивает величину

с аномальными ФГ.

B(E1) больше чем на порядок (колонки 2 и 4),

Для этого приведена табл. 3. В ее столбцах ука-

в то время как учет эффектов поляризуемости

зан вклад в полную амплитуду M_ss′ как суммарных

уменьшает ее почти на порядок (колонки 4 и 5) и

протонных M^p и нейтронных Mⁿ составляющих,

приводит к хорошему согласию с экспериментом.

так и отдельных групп графиков в нейтронную

Таким образом, хорошее согласие с экспериментом

составляющую амплитуды перехода Mⁿ. Видно,

получено за счет разности двух больших эффек-

что сумма M_ss′ = M^p + Mⁿ складывается из двух

тов, что подчеркивает важность используемой

слагаемых с разными знаками, где M^p пример-

самосогласованной схемы. В работе [16] также

но в два раза больше, чем Mⁿ. Отличие знаков

выполнялся расчет вероятности перехода B(E1)

отражает отличие знаков в затравочных кинема-

между первыми 3^-- и 2⁺-фононами для изотопа

тических зарядах e^q = (A - Z)/Ae и e^nq = -Z/Ae.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ШИТОВ и др.

Таблица 2. Приведенные вероятности перехода между первыми 3^-- и 2⁺-фононами B(E1), e² фм² для изотопов

олова (в колонке 2 приведены результаты расчетов без учета поляризуемости и без КОС; в колонке 3 — с

поляризуемостью, но без КОС; в колонке 4 — без поляризуемости, но с КОС; в колонке 5 — окончательные

результаты с поляризуемостью и КОС; в колонке 6 — эксперимент)

V =e_qV

(0)

V =V_pol

V =e_qV⁽⁰⁾

V =V_pol

Ядро

Эксп.

КОС = 0

¹¹⁸Sn

0.00044

0.00011

0.00939

0.00202

0.0017 ± 0.0004

¹²⁰Sn

0.00044

0.00012

0.00901

0.00199

0.0020 ± 0.0001

¹²²Sn

0.00047

0.00014

0.00899

0.00199

0.0018 ± 0.0002

¹²⁴Sn

0.00041

0.00012

0.00785

0.00180

0.0020 ± 0.0002

Также видно, что величина вклада Mn58 на порядок

спинами S = 0 и S = 1, формула (11). Тогда, выде-

больше вклада в Mⁿ от двух других слагаемых

ляя разные составляющие gsIs0иgIs1^{ииспользуя}

с аномальными ФГ, что обусловлено близостью

ряд формул для приведенного матричного элемента

энергии E1-перехода к энергиям 2⁺-фононов (см.

тензорного оператора, зависящего от спина [23],

табл. 1 и формулу (5)). Отличающийся от других

можно переписать формулу (7):

⎧

⎫

нейтронных составляющих знак в Mn58 обусловлен

∑

⎬

фазой (см. формулу (8)).

^⎨I_s I_s′ L

〈I_s||M_L||I_s′ 〉 =

(12)

На рис. 4 показаны рассчитанные функции

⎩

⎭

123

j₂

j₁

j₃

V^n,p(r). Хорошо заметна изовекторная природа

(

поля E1: вершины V^p и Vⁿ имеют противополож-

×V₁₂

〈3||gs0||1〉〈2||gs′0 ||3〉 + 〈3||g¹||1〉〈2||g1′ ||3〉 -

ные фазы, хотя они и не полностью симметричны

относительно нулевой линии раздела. Последнее

)

отражает отсутствие полной изовекторности, ко-

- 〈3||gs0||1〉〈2||gs′1 ||3〉 - 〈3||g¹||1〉〈2||g0′ ||3〉

торая реализуется лишь при N = Z. На рис. 4

[

точные вершины принимают большие значения при

× A^(12)123 +A^(34)123 +

r > R (R — радиус ядра), но это компенсируется

]

в соответствующих интегралах V₁₂ в (7) малыми

+ (-1)L+Is A^(76)123 + (-1)L+Is′ A⁽⁵⁸⁾

значениями одночастичных волновых функций при

123

r>R.

Результаты расчета вероятности перехода

Вследствие изовекторности поля V (r) протон-

B(E1) с учетом спиновой компоненты амплитуды

ная составляющая амплитуды перехода M(12),p и

рождения фонона приведены в табл. 4. Как можно

ее нейтронная составляющая M(12),n близки по

видеть, учет спина заметно влияет на итоговую

величине, но противоположны по знаку. При этом

величину. Этот факт является одним из результатов

спаривательная щель в протонных уровнях для

данной работы. Характер же этого влияния нужда-

магических по протонам изотопов олова прене-

ется в дальнейшем уточнении, так как учет спина

брежимо мала, и соответственно пренебрежимо

явно улучшает согласие с экспериментом в случае

малы вклады графиков M⁽³⁴⁾, M⁽⁷⁶⁾ и M⁽⁵⁸⁾ в

¹¹⁸Sn и¹²²Sn, но ухудшает в случае¹²⁰Sn и¹²⁴Sn.

протонную составляющую Mpss′ . Так как B(E1) ∼

Можно предположить, что это может объясняться

∼ (M^p + Mⁿ)², то нейтронная составляющая вкла-

тем, что экспериментальные данные говорят о

наличии примеси M2-переходов к непосредствен-

да графиков M⁽⁵⁸⁾ оказывает большое влияние на

но измеряемым величинам в экспериментах [22].

результирующую величину B(E1), составляя около

Однако, как уже упоминалось выше, в данных

половины величины полной амплитуды перехода

расчетах не учитывалось спин-орбитальное взаи-

M_ss′ (табл. 3). Это еще раз показывает важность

модействие при решении уравнения для амплитуды

и эффективность самосогласования в расчетах по-

рождения фонона, что также может послужить

лумагических ядер.

объяснением данного эффекта.

4.2. Учет спиновых составляющих в амплитуде

рождения фононов

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как уже было сказано выше, амплитуда рожде-

В настоящей работе с использованием само-

ния фонона описывается суммой двух компонент со

согласованного подхода на основе функционала

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСЧЕТЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДА

Таблица 3. Вклад отдельных групп графиков (рис. 2) в полную амплитуду перехода M_ss′ , см. формулу (9) (Mⁿ,

M^p — нейтронная и протонная составляющие амплитуды M_ss′, e фм)

Mⁿ

M^p

Ядро

Полная M_ss′

M⁽¹²⁾

M⁽³⁴⁾

M⁽⁷⁶⁾

M⁽⁵⁸⁾

полная Mⁿ

M⁽¹²⁾

¹¹⁸Sn

-0.185

-0.008

-0.007

0.073

-0.126

0.245

0.119

¹²⁰Sn

-0.174

-0.006

0.067

-0.119

0.237

0.118

¹²²Sn

-0.170

-0.004

-0.006

0.064

-0.116

0.234

0.118

¹²⁴Sn

-0.149

-0.001

-0.004

0.048

-0.107

0.219

0.112

V(1^-), фм

118

Sn E1

V_p

V_n

12 r, фм

−2

-4

−6

Рис. 4. Вершина V (r) для E1-перехода в¹¹⁸Sn, рассчитанная в самосогласованной ТКФС.

плотности Фаянса DF3-a впервые рассчитаны ве-

ческих эффектов [5, 7] получена общая форму-

роятности B(E1) изовекторных переходов в ряде

ла, которая позволяет единообразно рассчитывать

статические мультипольные моменты низколежа-

изотопов олова. Как и в предыдущих работах [8-

щих возбужденных однофононных состояний и пе-

10], хорошее согласие с экспериментом достига-

реходы между однофононными состояниями как в

ется благодаря учету двух существенных эффек-

магических ядрах, так и в ядрах со спариванием

тов: ядерной поляризуемости и трехквазичастич-

в предположении, что эти состояния описываются,

ных корреляций в основном состоянии. Эти эффек-

соответственно, методом хаотических фаз или ква-

ты в значительной мере компенсируют друг друга,

зичастичным методом хаотических фаз. Впервые

приводя к хорошему согласию с эксперименталь-

ными данными даже в таком чувствительном слу-

найдена весьма специфическая роль отдельных

слагаемых с аномальными ФГ в общей формуле

чае, как запрещенный в модели идеальных бозонов

для приведенной вероятности E1-перехода. Эти

изовекторный E1-переход.

слагаемые по модулю составляют около половины

В рамках последовательной теории ангармони-

величины полной амплитуды перехода M_ss′ .

Получены указания на заметную роль в данной

задаче спиновой составляющей амплитуды рожде-

Таблица 4. Влияние учета спиновых составляющих в

ния фонона. Однако, поскольку спин-орбитальные

амплитуде рождения фонона на величину приведенной

силы не учитывались, эта проблема далека от пол-

вероятности перехода B(E1), e²фм²

ного решения. Можно надеяться что роль неучтен-

ных эффектов не должна быть значительной и это

Ядро Без спина Со спином

Эксп.

подтверждается разумным согласием для вероят-

¹¹⁸Sn

0.0020

0.0016

0.0017 ± 0.0004

ностей переходов между однофононными состоя-

ниями в табл. 2.

¹²⁰Sn

0.0020

0.0016

0.0020 ± 0.0001

Важным результатом работы является исполь-

¹²²Sn

0.0020

0.0017

0.0018 ± 0.0002

зование самосогласования при анализе двух ос-

¹²⁴Sn

0.0018

0.0015

0.0020 ± 0.0002

новных составляющих в расчетах вероятностей пе-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022

ШИТОВ и др.

реходов B(E1) между однофононными состояния-

10.

С. П. Камерджиев, Д. А. Войтенков, Э. Е. Сапер-

ми — поляризуемости ядра и трехквазичастичными

штейн, С. В. Толоконников, Письма в ЖЭТФ 108,

корреляциями в основном состоянии. Несмотря на

155 (2018) [JETP Lett. 108, 155 (2018)].

неполноту такого самосогласования, очевидно, что

11.

А. В. Смирнов, С. В. Толоконников, С. А. Фаянс,

такой подход обладает значительной предсказа-

ЯФ 48, 1661 (1988)

[Sov. J. Nucl. Phys. 48, 995

тельной силой, поскольку в нем не используется

(1988)].

никаких подгоночных параметров.

12.

S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and

Авторы признательны Л.И. Говору за интерес к

работе и обсуждение экспериментальных данных.

D. Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).

Расчеты частично выполнены на ВК НИЦ КИ.

13.

С. В. Толоконников, Э. Е. Саперштейн, ЯФ 73,

Настоящее исследование финансировалось

1731 (2010) [Phys. At. Nucl. 73, 1684 (2010)].

Российским фондом фундаментальных исследова-

14.

С. П. Камерджиев, А. В. Авдеенков, Д. А. Войтен-

ний, проект № 19-32-90186.

ков, ЯФ 74, 1509 (2011) [Phys. At. Nucl. 74, 1478

(2011)].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15.

А. В. Авдеенков, С. П. Камерджиев, ЯФ 62, 563

1. С. П. Камерджиев, О. И. Ачаковский, С. В. Толо-

(1999) [Phys. At. Nucl. 62, 563 (1999)].

конников, М. И. Шитов, ЯФ 82, 320 (2019) [Phys.

16.

V. Yu. Ponomarev, Ch. Stoyanov, N. Tsoneva, and

At. Nucl. 82, 366 (2019)].

M. Grinberg, Nucl. Phys. A 635, 470 (1998).

2. В. Г. Соловьев, Теория атомного ядра: квази-

частицы и фононы (Энергоатомиздат, Москва,

17.

Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79, 703

1989).

(2016) [Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

3. А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1965;

18.

S. A. Fayans, E. L. Trykov, and D. Zawischa, Nucl.

Wiley, N. Y., 1967).

Phys. A 568, 523 (1994).

4. P. Ring and J. Speth, Nucl. Phys. A 235, 315 (1974).

19.

R. H. Spear, At. Data Nucl. Data Tables 42, 55

5. V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rep. 92, 183

(1989).

(1982).

20.

https://www.nndc.bnl.gov/ensdf

6. V. I. Tselyaev, Phys. Rev. C 75, 024306 (2007).

7. В. А. Ходель, ЯФ 24, 704 (1976) [Sov. J. Nucl. Phys.

21.

Л. И. Говор, А. М. Демидов, О. К. Журавлев, И.

24, 367 (1976)].

В. Михайлов, Е. Ю. Шкуратова, ЯФ 54, 330 (1991)

8. D. Voitenkov, S. Kamerdzhiev, S. Krewald,

[Sov. J. Nucl. Phys. 54, 196 (1991)].

E. E. Saperstein, and S. V. Tolokonnikov, Phys.

Rev. C 85, 054319 (2012).

22.

Л. И. Говор, А. М. Демидов, И. В. Михайлов, ЯФ

9. С. П. Камерджиев, Д. А. Войтенков, Э. Е. Сапер-

53, 3 (1991) [Sov. J. Nucl. Phys. 53, 1 (1991)].

штейн, С. В. Толоконников, М. И. Шитов, Письма

23.

О. Бор, Б. Моттельсон, Структура атомного

в ЖЭТФ 106, 132 (2017)

[JETP Lett. 106, 139

(2017)].

ядра (Мир, Москва, 1971), т. 1.

SELF-CONSISTENT CALCULATIONS OF TRANSITION PROBABILITIES

BETWEEN ONE-PHONON 3-1- AND 2⁺¹-STATES IN Sn ISOTOPES

M. I. Shitov¹⁾, D. A. Voitenkov²⁾, S. P. Kamerdzhiev¹⁾, S. V. Tolokonnikov¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

²⁾JSC “Science and Innovations”, Moscow, Russia

The self-consistent method to study second-order anharmonic effects, formulated within the framework of

nuclear many-body quantum theory, is used for the first time for calculations of probabilities of transitions

between low-lying one-phonon states in nuclei with pairing. The approach used includes accounting

for: 1) self-consistency between the mean field and effective interaction based on the use of the energy

density functional method with the known parameters of Fayans functional DF3-a, 2) the so-called

three-quasiparticle correlations in the ground state and 3) nuclear polarizability effects. In this work,

E1-transitions between one-phonon 3-1- and 2⁺¹-states in semi-magic tin isotopes118-124Sn have been

calculated. Good agreement with experiment has been obtained. It is shown that three-quasiparticle

correlations in the ground state give a significant contribution to the value under study. The specificity

of this problem in nuclei with pairing and effects of the spin components of the phonon creation amplitude

are considered.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№1

2022