ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 2, с. 113-119

ЯДРА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМИРОВОЧНЫХ

КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕМ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ

Поступила в редакцию 18.10.2021 г.; после доработки 18.10.2021 г.; принята к публикации 28.10.2021 г.

Обсуждается метод определения асимптотических нормировочных коэффициентов (АНК) путем

аналитического продолжения экспериментальных дифференциальных сечений ядерных реакций пе-

редачи в точку полюса амплитуды реакции по переменной cos θ, где θ — угол рассеяния. В рамках

этого метода с использованием экспериментальных данных по дифференциальному сечению реакции

¹²C(0⁺; 0 МэВ)(d, p)¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) определен АНК для канала¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) →

→¹²C(0⁺; 0 МэВ) + n. При определении АНК учитывались поправки, вызванные кулоновским

взаимодействием в начальном, конечном и промежуточном состояниях реакции. Показано, что эти

поправки существенно влияют на извлекаемое значение АНК.

DOI: 10.31857/S0044002722020039

1. ВВЕДЕНИЕ

различных подходов существенно зависят от ис-

пользуемой теоретической модели. При этом АНК

Асимптотические нормировочные коэффици-

оказываются заметно более чувствительными к

енты (АНК) определяют асимптотику волновых

модели, чем такие величины, как энергии связи или

функций связанных ядерных состояний a в би-

среднеквадратичные радиусы. Это обстоятельство

позволяет использовать сравнение рассчитанных

нарных каналах b + c и выражаются через вычет

и экспериментальных значений АНК для оценки

по энергии парциальной амплитуды упругого bc-

рассеяния в полюсе, отвечающем энергии связи

качества теоретических моделей.

системы a [1]. АНК являются фундаментальными

Из вышесказанного следует важность знания

ядерными характеристиками, важными как в

АНК и включения их в число важных ядерных

физике ядерных реакций, так и в физике структуры

характеристик наряду с такими величинами, как

ядра. АНК — это наблюдаемые on-shell величины,

энергии связи, вероятности электромагнитных пе-

в отличие от часто используемых спектроскопи-

реходов и др. АНК не могут быть непосредствен-

ческих факторов, которые являются величинами

но измерены в эксперименте, для их определения

вне энергетической поверхности и не могут быть

нужно проводить специальный анализ экспери-

надежно извлечены из экспериментальных данных.

ментальных данных.

Роль АНК особенно велика при определении се-

АНК могут быть определены из анализа сечений

чений ядерных реакций с заряженными частицами

периферических реакций передачи в рамках метода

при низких энергиях, недоступных для прямого

искаженных волн. Этот способ определения АНК

измерения из-за большого кулоновского барьера.

основан на утверждении, что сечения перифериче-

Важнейшим классом таких процессов являются

ских реакций следует параметризовать в терминах

астрофизические ядерные реакции, протекающие в

АНК, а не спектроскопических факторов [4]. Зна-

ядрах звезд, включая Солнце. Важная роль АНК

чения АНК могут быть также извлечены из данных

в ядерной астрофизике была впервые отмечена

по реакциям радиационного захвата при низких

в работе [2], в которой было показано, что АНК

энергиях [2, 6].

определяют общую нормировку сечений перифери-

Cуществуют подходы, специально разрабо-

ческих реакций радиационного захвата (см. также

танные для определения АНК без использова-

работы [3-5]). Результаты расчетов АНК в рамках

ния предположений, основанных на конкретных

ядерных моделях. Одним из таких подходов

¹⁾Институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Мос-

ковского государственного университета имени М.В. Ло-

является метод, основанный на аналитическом

моносова, Москва, Россия.

продолжении по энергии парциальных амплитуд

^*E-mail: blokh@srd.sinp.msu.ru

упругого рассеяния, определенных из фазового

113

114

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

¹¹B

¹²C

¹³C*

Рис. 1. Диаграммы Фейнмана для реакции A + x → B + y.

анализа экспериментальных данных, в точку по-

фиксированной энергии соударения амплитуда

люса, расположенную в нефизической области

этой диаграммы имеет полюс по z = cos θ, где θ —

отрицательных энергий (см., например, работы [7,

угол между направлениями импульсов частиц x

8] и ссылки в них). Однако достаточно точных

и y в системе центра масс. Полюс z = z_p лежит

результатов фазовых анализов в опубликованных

в нефизической области z_p > 1 и определяется

источниках не так много, что ограничивает область

выражением [1]:

применимости этого метода. В настоящей работе

√

для определения АНК используется метод, также

z_p = [(1 + g²)E + ε_BAc - g²ε_xyc]/(2g

EE^′).

(2)

основанный на аналитическом продолжении, но

не парциальных амплитуд по энергии, а экспе-

Здесь E(E^′) — относительная кинетическая

риментальных дифференциальных сечений (ДС)

энергия в начальном (конечном) состоянии, E^′ =

ядерных реакций передачи по переменной z =

= E + Q, Q = m_A + m_x - m_B - m_y, ε_ijk = m_j +

= cos θ, где θ — угол рассеяния в системе центра

+ m_k - mi —энергия связи ядра i в канале j + k,

масс. В дальнейшем будем использовать для ДС

g² = m_ym_A/(m_xm_B), m_i — масса ядра i.

обозначение σ(E, z).

Статья организована следующим образом.

Ввиду вклада механизма, отвечающего диа-

В разд. 2 излагается общий формализм исполь-

грамме 1a, ДС σ(E, z) реакции (1) имеет полюс

зуемого метода. Раздел 3 посвящен применению

второго порядка при z = z_p. Введем величину

этого метода для определения АНК для конкретной

ϕ(E, z) = (z - z_p)²σ(E, z).

(3)

ядерной системы. Полученные результаты кратко

обсуждаются в разд. 4.

ϕ(E, z) имеет конечный предел при z → z_p и поэто-

В статье используется система единиц, в кото-

му может быть аппроксимирована в виде

рой ℏ = c = 1.

∑

ϕ(E, z) =

c_n (E) P_n (z) ,

(4)

2. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ

n=0

2.1. Формализм метода для короткодействующего

где P_n(z) — некоторые полиномы. В частности, в

взаимодействия

качестве P_n(z) можно взять просто zⁿ. Идея ме-

Для лучшего понимания используемого под-

тода, который мы будем называть методом про-

хода изложим сначала его формализм в отсут-

должения в полюс (МПП), состоит в том, что

ствие дальнодействующего кулоновского взаимо-

коэффициенты c_n(E) в (4) подгоняются по экс-

действия. Учет кулоновских эффектов, которые

периментальным значениям ϕ(E, z) в физической

могут быть существенными, будет рассмотрен в

области -1 ≤ z ≤ 1 методом χ², после чего ап-

последующих разделах.

проксимированная величина ϕ(E, z) аналитически

Идея метода восходит к работе Д.Ф. Чью [9], в

продолжается в нефизическую область значений

которой было указано, что экстраполяция по cos θ

z вплоть до z = z_p. В точке z = z_p вклад непо-

ДС упругого NN-рассеяния в полюс, отвечающий

люсных механизмов в ϕ(E, z) обращается в нуль

виртуальному пиону, может быть использована

ввиду наличия в определении (3) множителя (z -

для определения константы пион-нуклонной связи.

- z_p)², а оставшийся вклад полюсного механиз-

В нашем случае речь идет о бинарной ядерной

ма рис. 1a выражается через АНК, отвечающие

реакции

вершинам x → y + c и A + c → B. Для этих АНК

A+x→B+y

(1)

в данной работе мы будем использовать обозна-

с передачей частицы c, вклад в амплитуду которой

чения C_xyc(L_xS_x) и C_BAc(L_BS_B), где L_x (L_B) и

дает полюсная диаграмма Фейнмана (рис. 1a),

S_x (S_B) — орбитальный угловой момент и спин в

которую мы будем называть диаграммой 1a. При

канале y + c (A + c).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМИРОВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

115

Общее выражение для вклада полюсного меха-

Из (7) следует, что значению q_Ac = 0 отвечает

низма в ДС реакции (1) для произвольной диаграм-

значение z = z₀,

мы 1a, выраженное через так называемые вершин-

p² + (m_A/m_B)²p′2

ные константы, приведено в [1]. Оно упрощается в

z₀ =

(8)

2(m_A/m_B)pp^′

случае, когда спин передаваемой частицы c равен

0 или 1/2. В этом случае, используя формулы

C другой стороны, в точке полюса вершинные

работы [1] и известную связь между вершинными

формфакторы на диаграмме 1a выходят на мас-

константами и АНК, можно получить соотношение

совую поверхность, т.е. в полюсе q2Ac = -κ2BAc,

∑

κ_BAc =

^√2μ_Acε_BAc. Поэтому из (7) следует, что

C² (L_xS_x)

C² (L_BS_B) =

(5)

полюсное значение z = z_p может быть записано в

Lx,Sx

L_B,S_B

виде

(2J_A + 1)(2J_c + 1)

p² + (m_A/m_B)²p′2 + κ2BAc

= 16

g⁴m²

EE^′R (E) .

z_p =

(9)

2J_B + 1

^cp^′

2(m_A/m_B)pp^′

В (5) J_i — спин частицы i, p (p^′) — относительный

Из сравнения (8) и (9) легко увидеть, что z_p

импульс частиц в начальном (конечном) состоя-

> z₀ > 1. Следовательно, при продолжении функ-

нии, p² = 2μ_xAE, p′2 = 2μ_yB E^′, μ_ij = m_im_j/(m_i +

ции ϕ (E, z) (3) из физической области в точку z =

= zp вкладполюсногомеханизмавϕ(E,z)сначала

+ m_j) —приведенная масса частиц i и j. Множи-

обращается в нуль в точке z = z₀ и лишь потом

тель R(E) определен как

полностью определяет ϕ (E, z) при z = z_p. Такое

R(E) = lim ϕ (E, z) =

(6)

поведение интересующего нас полюсного вклада

z→zp

крайне сложно воспроизвести путем аналитиче-

= lim [(z - z_p)² σ(E, z)].

ской аппроксимации функции ϕ (E, z) в физиче-

z→zp

ской области. Возможный способ решения этой

проблемы обсуждается в Приложении.

Найдя на основе экспериментальных данных ве-

личину R(E), можно определить стоящее в левой

части (5) произведение квадратов АНК. Если при

2.2. Учет кулоновских эффектов

этом значения АНК для одной из вершин известны

Дальнодействующее кулоновское взаимодей-

(например, если это вершина d → n + p), то из (5) и

ствие существенно влияет на аналитические

(6) будет получена информация об АНК для второй

свойства амплитуд процессов, рассчитанных с

вершины.

учетом лишь короткодействующих сил. Изменения,

Следует отметить одно обстоятельство, которое

которые вносит кулоновское взаимодействие в

может осложнить практическое применение опи-

характеристики особых точек амплитуд диаграмм

санного выше МПП в случае, когда основной (или

Фейнмана по переменной z = cos θ для бинарной

единственный) вклад хотя бы в одну из вершин

реакции (1), рассмотрены в работах [10-12]. В этих

диаграммы 1a дают АНК с ненулевыми значениями

работах показано, что включение кулоновского

углового момента L. Дело в том, что вершинные

взаимодействия между частицами на диаграмме,

формфакторы для трехлучевой вершины a ↔ b + c

в отличие от короткодействующих сил, не меняет

положения собственных особенностей диаграмм,

содержат множитель q^Lbc , где q_bc — относительный

но меняет характер и мощность этих особенностей.

импульс частиц b и c. Поэтому, если L > 0, то при

В случае полюсного механизма (диаграмма 1a)

q_bc = 0 соответствующий формфактор обращается

учет кулоновского взаимодействия в начальном,

в нуль. Рассмотрим конкретную ситуацию, когда на

конечном и промежуточном состояниях и в вер-

диаграмме 1a в вершине x → y + c L_yc = 0, а в вер-

шинах диаграммы приводит к тому, что полюсная

шину A + c → B вклад дает единственное значение

особенность превращается в точку ветвления. Для

L_Ac > 0. При q_Ac = 0 вершинный формфактор в

трехлучевых вершин на диаграмме 1a включение

вершине A + c → B обращается в нуль и, следова-

кулоновского взаимодействия между y и c и между

тельно, обращается в нуль вклад полюсного меха-

A и c приводит к появлению в вершинных форм-

низма в сечение σ(E, z) и в величину ϕ (E, z). Из

факторах дополнительных множителей (z - z_p)ηxyc

закона coхранения импульса в вершинах диаграмм

и (z - z_p)ηBAc , где η_ijk — кулоновский параметр

Фейнмана следует, что q_Ac = -p + (m_A/m_B)p^′,

(параметр Зоммерфельда) для связанного состо-

откуда

яния:

q2Ac = p² + (m_A/m_B)²p′2 - 2(m_A/m_B)pp^′z,

(7)

η_ijk = Z_jZ_ke²μ_jk/κ_ijk,

(10)

√

z = pp^′/pp^′ = cosθ.

κ_ijk =

2μ_jkε_ijk.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

116

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

В результате в выражении для вклада диаграммы

моментами, отсутствует. Небольшая примесь D-

1a в сечение реакции (1) множитель (z - z_p)-2

состояния в дейтроне роли не играет. Отметим, что

рассматриваемый АНК важен для астрофизики.

переходит в множитель (z - z_p)-2(1-ηxyc-ηBAc). Так

как величины η_ijk положительны, то такая заме-

Для анализа использовались эксперименталь-

на ослабляет сингулярное поведение полюсного

ные ДС из работ [14-18], отвечающие энергии

вклада в сечение при z → z_p; при η_xyc + η_BAc > 1

налетающего дейтрона в лабораторной системе

этот вклад вообще обращается в нуль в точке z =

E_d = 3.7, 5.03, 9.0, 12.0 и 30.0 МэВ. Значения

= z_p. Это обстоятельство заметно усложняет при-

измеренных в этих работах ДС брались из базы

менение МПП для реакций передачи заряженной

данных [19]. Экспериментальные значения величи-

частицы. Ниже мы будем рассматривать реакцию

ны ϕ (E, z) в передней полусфере аппроксимиро-

(d, p), в которой передаваемой частицей c на диа-

вались согласно (4), где в качестве P_n(z) брались

грамме 1a является нейтрон, поэтому кулоновские

полиномы Чебышева. Коэффициенты c_n подгоня-

эффекты в вершинах диаграммы 1a отсутствуют.

лись по экспериментальным данным методом χ².

При этом оставшиеся кулоновские поправки, ко-

Полученные выражения аналитически продолжа-

торые мы будем рассматривать, не меняют множи-

лись в точку z = z_p. После этого значения АНК

тель (z - z_p)-2 в выражении для сечения реакции.

C для вершины¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) →¹²C(0⁺;

Реально речь идет о поправках, обусловленных

0 МэВ) + n находились с помощью формул (5)_∑

кулоновским взаимодействием частиц A + x (B +

и (6). Для величиныLd,S_d C²(^Ld^Sd^{),характе-}

+ y) в начальном (конечном) состоянии, а также

ризующей вершину d → n + p, бралось значение

о кулоновском взаимодействии в промежуточном

0.7715 фм-1 [20].

состоянии. Взаимодействие в промежуточном со-

стоянии определяется суммой диаграмм бесконеч-

Результаты расчетов представлены в табл. 1

ного ряда перерассеяния в системе трех тел A, y

и 2. Таблица 1 носит вспомогательный характер.

и c, на которых 4-лучевые вершины отвечают чи-

В первой строке этой таблицы приведены значения

сто кулоновскому рассеянию. Первая из диаграмм

энергии дейтрона в Л-системе E_d, соответствую-

этого ряда приведена на рис. 1б. Амплитуды всех

щие использованным экспериментальным данным,

диаграмм такого ряда имеют полюс в той же точке

а во второй — отвечающие этим энергиям значения

z = z_p, что и диаграмма 1a, и фактически приводят

положения полюса z_p. C ростом энергии значе-

к перенормировке вычета в этом полюсе [10-12].

ния z_p уменьшаются и приближаются к границе

Оценка кулоновских поправок к сечению для

физической области z = 1; при этом предельное

полюсного механизма была проведена в работах

значение z_p при E → ∞ равно 1.05. Для сравнения

[10-12] путем исследования асимптотики парци-

в третьей строке указано положение ближайшей

альных амплитуд f_l(E) реакции (1) по переменной

к z_p особенности z_t aмплитуды рассматриваемой

углового момента l и использования однозначной

реакции. В нашем случае z_t является собствен-

связи между видом асимптотики f_l(E) по l и пове-

ной особенностью диаграммы рис. 1в. Значения z_t

дением полной амплитуды реакции f(E, z) вблизи

были рассчитаны с помощью общих формул для

ее ближайшей особенности по z [13]. Получен-

положения собственных особенностей произволь-

ные для этих поправок аналитические выражения

ной треугольной диаграммы Фейнмана [21]. Ин-

весьма громоздки, и мы их здесь не приводим,

формация о ближайшей к z_p особенности важна,

отсылая читателя к формулам (61)-(71) обзора

так как если эти особенности близки друг к дру-

[12]. Обсуждаемые поправки будут использованы

гу, то полиномиальная аппроксимация (4) может

при применении МПП к конкретной реакции.

быть неоправданной. Отметим, что при наличии

двух близко расположенных особых точек для

повышения точности аналитического продолжения

3. ПРИМЕНЕНИЕ МПП К РЕАКЦИИ

функции из физической области в ближайшую из

¹²C(0⁺; 0 МэВ)(d, p)¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ)

них используется метод оптимального конформ-

ного отображения переменной, по которой прово-

В данном разделе МПП применяется для опре-

дится продолжение [22, 23]. В нашем случае, как

деления АНК для вершины¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) →

видно из табл. 1, величина z_t - 1, характеризующая

→¹²C(0⁺;

МэВ) + n путем аналитического

расстояние от z_t до границы физической области,

продолжения ДС реакции

¹²C(0⁺;

МэВ)(d,

для всех энергий более чем на порядок превышает

p)¹³C(1/2⁺;

3.09

МэВ). На диаграмме 1a для

соответствующее значение z_p - 1, так что в кон-

этой реакции A =¹²C, x = d, B =¹³C, y = p. При

формном отображении нет необходимости. Так как

этом в обеих вершинах на диаграмме 1a угловые

обсуждаемые кулоновские поправки определяются

моменты L_yc и L_Ac равны нулю, так что описанная

в основном значениями кулоновских параметров в

выше проблема, связанная с ненулевыми угловыми

начальном (η_i) и конечном (η_f ) состояниях, то в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМИРОВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

117

Таблица 1. Положение особых точек амплитуды реак-

значение полученного нами АНК есть C = 1.86 ±

ции d +¹²C → p +¹³C^∗

± 0.16 фм-1/2.

E_d, МэВ

3.7

5.03

9.0

12.0

30.0

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

z_p

1.34

1.27

1.18

1.16

1.11

В данной работе МПП использован для опре-

z_t

14.88

11.15

6.54

5.15

2.69

деления АНК для канала¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) →

η_i + η_f

1.24

1.06

0.78

0.69

0.43

→¹²C(0⁺; 0 МэВ) + n на основе эксперименталь-

ных данных по дифференциальным сечениям реак-

ции¹²C(0⁺; 0 МэВ)(d, p)¹³C(1/2⁺; 3.09 МэВ) при

Таблица 2. Рассчитанные значения АНК

различных энергиях налетающего дейтрона. Суще-

ственно новым элементом является учет поправок,

E_d,

C₀,

β_t

Литература

обусловленных кулоновским взаимодействием в

МэВ

фм-1/2 фм-1/2

начальном, конечном и промежуточном состояниях

реакции. Показано, что эти поправки сильно вли-

3.7

0.0822

0.0853

0.543

1.858

[14]

яют на извлеченные значения АНК, особенно при

5.03

0.156

0.162

0.783

1.948

[15]

низких энергиях. С учетом этих поправок получено

9.0

0.357

0.369

1.320

2.174

[16]

значение АНК C = 1.86 ± 0.16 фм-1/2. В работе

[6] из анализа данных по радиационному захвату

12.0

0.469

0.484

1.238

1.780

[17]

. Аналити-

¹²C(n, γ)¹³C найдено C = 1.61 фм-1/2

30.0

0.776

0.797

1.379

1.543

[18]

ческое продолжение по энергии данных фазового

анализа упругого рассеяния нейтронов на¹²C дает

существенно более высокое значение C = 2.07 ±

последней строке табл. 1 для справки приведена

величина η_i + η_f , убывающая с ростом энергии

± 0.13 фм-1/2 [8]. Таким образом, полученное в

соударения.

данной работе значение АНК C лежит между зна-

чениями, приведенными в работах [6] и [8].

Основные результаты расчетов представлены в

табл. 2. Во втором и третьем столбцах табл. 2 при-

МПП имеет некоторые принципиальные пре-

ведены рассчитанные кулоновские поправки β и β_t.

имущества перед другими методами определения

β вычислялась с учетом только взаимодействия в

АНК на основе экспериментальных данных. Он не

начальном и конечном состояниях, а β_t дополни-

опирается на использование каких-либо ядерных

тельно учитывает еще и кулоновское взаимодей-

моделей, как при определении АНК из анализа ре-

ствие в промежуточном состоянии. Значения β и

акций передачи в рамках метода искаженных волн.

β_t близки, откуда можно заключить, что основной

В отличие от метода, основанного на аналитиче-

вклад в поправки вносит кулоновское взаимодей-

ском продолжении по энергии данных фазового

ствие в начальном и конечном состояниях. Реально

анализа, МПП использует лишь непосредствен-

учет кулоновских поправок при определении АНК

но измеряемую величину — ДС реакции. Точность

выражается в том, что коэффициент β_t (или β)

определения АНК с помощью МПП определяет-

должен быть добавлен в виде множителя в левую

ся в основном наличием достаточно аккуратных

часть (5). В четвертом и пятом столбцах табл. 2

экспериментальных данных по дифференциальным

приведены значения АНК, рассчитанные без учета

сечениям при малых углах рассеяния.

(C₀) и с учетом (C) кулоновских поправок. АНК

МПП и близкий к нему метод вычитания син-

C связан с C₀ соотношением: C = C₀/√βt. Для

гулярности [24] использовался в ряде работ [24-

каждого значения энергии дейтрона число слагае-

27] для определения выражающихся через АНК

мых в разложении (4) и значения коэффициентов

ядерных вершинных констант для нескольких лег-

c_n находились методом χ². В последнем столбце

чайших и легких ядер. Однако в этих работах не

табл. 2 даются ссылки на экспериментальные ра-

учитывались рассмотренные в настоящей статье

боты, результаты которых были использованы для

кулоновские поправки, а также игнорировались

определения АНК.

проблемы, связанные с ненулевыми орбитальными

угловыми моментами в вершинах полюсной диа-

Из сравнения значений C и C₀ следует, что рас-

граммы. Эти обстоятельства заставляют относить-

сматриваемые кулоновские поправки существенно

ся с осторожностью к полученным в указанных

влияют на значения АНК, полученные с помощью

работах результатам.

МПП. Это влияние особенно заметно при низких

энергиях. Из представленных в табл. 2 значе-

Отметим, что если вклад в вершинные функции

ний АНК C, полученных из анализа различных

полюсной диаграммы 1a дают более одного АНК,

экспериментальных данных, следует, что среднее

то информацию об отношениях этих АНК можно в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

118

БЛОХИНЦЕВ, САВИН

B₁ (z) - B₁ (z₀)

принципе получить, применяя МПП к поляризаци-

= A(z) + (z - z_p)

онным наблюдаемым.

z-z₀

Обозначив левую часть (П.7) через ϕ₂(z), перепи-

Приложение

шем (П.7) в виде

Как отмечено выше в разд. 2, при продолжении

ϕ₂(z) = A(z) + (z - z_p)B₂(z),

(П.8)

в полюс функции ϕ (E, z) в случае, когда хотя бы

B₁ (z) - B₁ (z₀)

в одной из вершин диаграммы 1a орбитальный мо-

B₂(z) ≡ (z - z_p)

z-z₀

мент L > 0, возникает проблема, так как функция

в этом случае имеет вид (аргумент E для краткости

Положив в (П.8) z = z_p, получаем нужную нам

опускаем):

величину A(z_p), которая выражается через АНК.

ϕ(z) ≡ (z - z_p)² σ (z) = (z - z₀)2L A(z) + (П.1)

Эту процедуру в принципе можно проделать и для

L > 1, повторив ее нужное число раз.

+ (z - z₀)^L (z - z_p) B (z) + (z - z_p)² D (z) .

Изложенная выше процедура позволяет фор-

Информация об АНК содержится в функции A(z),

мально решить проблему аналитического продол-

однако получить сколько-нибудь надежное зна-

жения в полюс для L > 0. Однако для ее прак-

чение A(z_p) путем прямого продолжения ϕ(z) из

тического применения необходимо установить с

физической области в точку z = z_p практически

хорошей точностью поведение ϕ(z) в окрестности

невозможно, так как 1 < z₀ < z_p, и поэтому слага-

z = z₀. Как видно из (П.4) и (П.7), для рассмот-

ренного примера с L = 1 для определения A(z_p)

емое в (П.1), содержащее A(z), обращается в нуль

в процессе продолжения. Можно, однако, пред-

фактически требуется знание не только ϕ(z₀), но

ложить подход, позволяющий (по крайней мере, в

и первой (ϕ⁽¹⁾(z₀)) и второй (ϕ⁽²⁾(z₀)) производ-

принципе) решить эту проблему. Рассмотрим его на

ных ϕ(z) в точке z = z₀. Для L > 1 потребуется

примере L = 1. В этом случае

знание еще большего числа производных ϕ(n)(z₀).

ϕ(z) = (z - z₀)² A(z) +

(П.2)

Возможность достаточно аккуратного определения

указанных величин предъявляет весьма высокие

+ (z - z₀) (z - z_p) B (z) + (z - z_p)² D (z) .

требования к полноте и точности эксперименталь-

ных ДС. Имеющиеся в настоящее время в лите-

Положив z = z₀, получим

ратуре экспериментальные данные вряд ли удовле-

ϕ(z₀)

творяют этим требованиям.

D (z₀) =

(П.3)

(z₀ - z_p)²

Авторы благодарны А.М. Мухамеджанову за

полезные обсуждения. Работа поддержана Рос-

С учетом (П.3) нетрудно получить соотношение

сийским фондом фундаментальных исследований,

ϕ(z) -(z-zp)²

ϕ(z₀)

грант № 19-02-00014.

(z₀-zp)²

= (z - z₀)A(z) + (П.4)

z₀ - z_p

D(z) - D(z₀)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

+ (z - z_p)B(z) + (z - z_p)²

z-z₀

1. Л. Д. Блохинцев, И. Борбей, Э. И. Долинский,

ЭЧАЯ 8, 1189 (1977) [Sov. J. Part. Nucl. 8, 485

Отметим, что левая часть (П.4) не имеет особен-

(1977)].

ностей в точке z = z₀. Обозначив для краткости

2. А. М. Мухамеджанов, Н. К. Тимофеюк, ЯФ 51, 679

левую часть (П.4) через ϕ₁(z), перепишем (П.4) в

(1990).

виде

3. H. M. Xu, C. A. Gagliardi, R. E. Tribble,

A. M. Mukhamedzhanov, and N. K. Timofeyuk,

ϕ₁(z) = (z - z₀)A(z) + (z - z_p)B₁(z), (П.5)

Phys. Rev. Lett. 73, 2027 (1994).

D(z) - D(z₀)

4. A. M. Mukhamedzhanov and R. E. Tribble, Phys. Rev.

B₁(z) ≡ B(z) + (z - z_p)

z-z₀

C 59, 3418 (1999).

5. A. M. Mukhamedzhanov, C. A. Gagliardi, and

Проведем еще одно преобразование. Положив в

R. E. Tribble, Phys. Rev. C 63, 024612 (2001).

(П.5) z = z₀, получим

6. J. T. Huang, C. A. Bertulani, and V. Guimar ˜aes, At.

ϕ₁(z₀)

Data Nucl. Data Tables 96, 824 (2010).

B₁ (z₀) =

(П.6)

7. L. D. Blokhintsev, A. S. Kadyrov, A. M. Mukha-

z₀ - z_p

medzhanov, and D. A. Savin, Phys. Rev. C 98, 064610

Отсюда по аналогии с (П.4) следует соотношение

(2018).

8. L. D. Blokhintsev, A. S. Kadyrov, A. M. Mukha-

ϕ₁(z₀)

−zp

medzhanov, and D. A. Savin, Phys. Rev. C 100,

(П.7)

z-z₀

024627 (2019).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМИРОВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

119

9. G. F. Chew, Phys. Rev. 112, 1380 (1958).

M. H. Tanaka, M. Tanifuji, T. Terasawa, and M. Yasue,

10. Е. И. Долинский, А. М. Мухамеджанов, ЯФ 3, 252

Nucl. Phys. A 448, 205 (1986).

(1966).

19. Универсальная электронная система инфор-

11. E. I. Dolinsky and A. M. Mukhamedzhanov, Czech. J.

мации по атомным ядрам и ядерным реакциям

Phys. B 32, 302 (1982).

ЦДФЭ НИИЯФ МГУ,

12. Л. Д. Блохинцев, А. М. Мухамеджанов,

http://cdfe.sinp.msu.ru/services/unifsys/index.html

А. Н. Сафронов, ЭЧАЯ 15, 1296 (1984) [Sov.

20. V. A. Babenko and N. M. Petrov, Phys. At. Nucl. 74,

J. Part. Nucl. 15, 580 (1984)].

352 (2011).

13. В. С. Попов, ЖЭТФ 47, 2229 (1964).

21. L. D. Blokhintsev, E. I. Dolinsky, and V. S. Popov,

14. Huang Binguin et al., 74 SHANGH, 89, 1974

Nucl. Phys. 40, 117 (1963).

(Conference on Nuclear Physics, Lanzhou, 1974).

15. Mao Zhenlin et al., 72 LANZH, 3, 1972 (Conference

22. R. F. Cutkosky and B. B. Deo, Phys. Rev. 174, 1859

on Low Energy Nuclear Physics, Shanghai, 1972).

(1968).

16. M. Takai, T. Kambara, K. Tada, M. Nakamura, and

23. S. Ciulli, Nuovo Cimento A 61, 787 (1969).

S. Kobayashi, J. Phys. Soc. Jpn. 43, 17 (1977).

24. I. Borb ´ely, Nucl. Phys. A 262, 244 (1976).

17. J. Lang, J. Liechti, R. M ¨uller, P. A. Schmelzbach,

25. I. Borb ´ely, Phys. Lett. B 49, 325 (1974).

J. Smyrski, M. Godlewski, L. Jarczyk, A. Strał-

26. S. Dubni ˇcka and O. V. Dumbrajs, Nucl. Phys. A 235,

kowski, and H. Witała, Nucl. Phys. A 477, 77 (1988).

417 (1974).

18. H. Ohnuma, N. Hoshino, O. Mikoshiba, K. Ray-

27. I. Borb ´ely, Lett. Nuovo Cimento 12, 527 (1975).

wood, A. Sakaguchi, G. G. Shute, B. M. Spicer,

DETERMINATION OF ASYMPTOTIC NORMALIZATION COEFFICIENTS

BY ANALYTIC CONTINUATION OF DIFFERENTIAL CROSS SECTIONS

L. D. Blokhintsev¹⁾ and D. A. Savin¹⁾

¹⁾Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University, Russia

A method is discussed for determining the asymptotic normalization coefficients (ANC) using the analytic

continuation of experimental differential cross sections for nuclear transfer reactions to the pole point of

the reaction amplitude with respect to the variable cos θ, where θ is the scattering angle. Within the

framework of this method, using experimental data on the differential cross section for the reaction¹²C(0⁺;

0 MeV)(d, p)¹³C(1/2⁺; 3.09 MeV)the ANC for the channel¹³C(1/2⁺; 3.09 MeV) →¹²C(0⁺; 0 MeV)+ n

was determined. When determining the ANC, corrections caused by the Coulomb interaction in the initial,

final and intermediate states of the reaction were taken into account. It is shown that these corrections

significantly affect the extracted ANC value.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022