ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 2, с. 146-158

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

С ЗАРЯЖЕННЫМ ТОКОМ

Поступила в редакцию 25.09.2021 г.; после доработки 27.10.2021 г.; принята к публикации 03.11.2021 г.

С применением нового метода рассчитан вклад в сечение четырехфермионного процесса диаграмм

двухбозонного обмена (боксов) с одной и двумя комплексными массами бозонов в канале заряженного

тока с учетом поляризации начальных частиц. Показана независимость полных электрослабых

поправок от нефизических параметров. Сделан численный анализ полученных результатов, продемон-

стрировано согласие с полученными асимптотическими выражениями для областей энергий ниже и

выше W -резонанса.

DOI: 10.31857/S0044002722020106

1. ВВЕДЕНИЕ

является неотъемлемой частью процедуры ради-

ационной поправки данных (рождение одиночных

В работе [1] было показано, как эффективно

W -бозонов в адронных столкновениях, глубоконе-

рассчитать вклад двухбозонного обмена (ДО) в

упругое рассеяние лептонов на нуклонах в канале

поляризационном четырехфермионном процессе в

заряженного тока и др.). Кроме этого, изучение

канале нейтрального тока с комплексными масса-

двухбозонного обмена представляет интерес в

ми без сложностей, связанных с представлением

мезонной физике, так как в рамках Стандартной

через комплекснозначные дилогарифмы и приме-

модели некоторые кварковые процессы и распады

нением продвинутых адаптивных техник интегри-

в лидирующем порядке возможны только в виде

рования. Полученный там аналитический результат

боксовской диаграммы.

прост, удобен для программирования, анализа и

План работы следующий: в разд. 2 дано общее

применения для конкретной интерпретации в фи-

описание четырехфермионного процесса с заря-

зическом эксперименте, что было проиллюстриро-

женным током, в разд. 3 приведены выражения для

вано на примере реакции Дрелла-Яна на экспери-

сечения процесса с ДО, с использованием новой

менте CMS LHC. Далее в работе [2] описываемый

техники проделан расчет 4-точечных функций: для

метод был применен для расчета однопетлевых

γW(Wγ)-бокса (разд. 4) и для ZW(WZ)-боксов

электрослабых радиационных поправок в четы-

(разд. 5). Асимптотическое поведение вклада бок-

рехфермионном процессе в канале нейтрального

сов в режиме низких и высоких энергий показано

тока с конечным нейтринным состоянием. Также в

в разд. 6. Выводы сделаны в разд. 7. Технические

работах [1, 2] приведена мотивационная часть, т.е.

детали вынесены в Приложения.

описание необходимости поиска новых, точных и

математически не перегруженных методов расчета

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

сложных диаграмм высших (следующих за борнов-

В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

ским) порядков.

Дадим общее описание четырехфермионного

В настоящей работе разработанная техника

процесса с продольной поляризацией началь-

применяется для расчета вклада ДО в поляриза-

ных частиц. Для определенности рассмотрим в

ционном четырехфермионном процессе в канале

начальном состоянии кварки, а в конечном —

заряженного тока. Точный расчет диаграмм двух-

лептоны (пользуясь элементарными заменами,

бозонного обмена (боксов) с заряженным током

можно использовать все полученные формулы для

произвольной фермионной конфигурации):

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

d(p₁) + u(p₂) → W^-(q) →

(1)

Россия.

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

→ l^-(p₃) + ν_l(p₄).

ны, Гомель, Беларусь.

³⁾Белорусский торгово-экономический университет потре-

Учтем в расчете поляризацию частиц, имея в виду,

бительской кооперации, Гомель, Беларусь.

что в экспериментах на будущих адронных кол-

^*E-mail: zykunov@cern.ch

лайдерах, описание которых входит в круг задач,

146

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

147

p₁

p₃

бозоны обозначим малыми латинскими буква-

ми: a, b, c, ... = γ, Z, W . Пропагатору a-бозона

(в калибровке Фейнмана) отвечает выражение

W(q)

-ig^αβ D_a(q), где

D_a(q) =

(4)

q² - m²

-p₂

-p₄

а q — 4-импульс передачи в пропагаторе. Исполь-

зуется правило так называемых комплексных масс

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма процессаqq → l^-ν_l

в борновском приближении. Волнистой линией обо-

m2a → m2a - iϵ_a,

(5)

значен W-бозон.

где знак мнимой части задает направление обхода

полюса. В настоящей работе используется схема с

которые возможно решить предлагаемым в работе

фиксированной шириной распада промежуточного

методом, обсуждается возможность поляризовать

бозона, для которой величина ϵ_a выглядит следую-

адроны.

щим образом:

Фейнмановская диаграмма, соответствующая

процессу (1) в борновском приближении, при-

ϵ_a = m_aΓ_a,

(6)

ведена на рис.

1. Обозначения на диаграмме

где Γ_a — это ширина a-бозона. Фотонная масса

следующие:

m_γ ≡ λ равна нулю везде, кроме специально отме-

• p₁ — 4-импульс первого кварка с ароматом

ченных случаев, где она используется как инфини-

d и массой m_d;

тезимальный параметр, который регуляризует ин-

фракрасную расходимость (ИКР). Мнимая часть

• p₂ — 4-импульс второго антикварка (с аро-

знаменателя пропагатора в случае фотона ϵ_γ → +0

матом u и массой m_u);

служит для обхода полюса.

Фермионный пропагатор выглядит так:

• p₃

— 4-импульс конечного заряженного

лептона l^- с ароматом l и массой m_l;

p+m

iS(p) = i

(7)

p² - m²

• p₄ — 4-импульс конечного антинейтрино ν_l

(с тем же ароматом и нулевой массой);

где p — 4-импульс передачи и используется сокра-

щенная запись p ≡ γ^μp_μ. Вершине взаимодействия

• q=p₁ +p₂ =p₃ +p₄

— 4-импульс W^--

фермиона f с калибровочным бозоном a соответ-

бозона с массой m_W .

ствует выражение

Будем пользоваться общим кварковым индексом

ieγ_μΓ^af, где Γ^af = v^af - a^afγ₅.

(8)

q = u,d; общим лептонным индексом l = e,μ,τ

Векторные и аксиально-векторные константы свя-

и общим фермионным индексом f = q,l. Из 4-

зи фермиона аромата f с фотоном и Z-бозоном:

импульсов частиц формируется стандартный на-

бор (r = s, t, u) лоренц-инвариантных переменных

v^γf = -Q_f, a^γf = 0,

Мандельштама:

I3f - 2Q_f s^2W

I3f

s = q² = (p₁ + p₂)²,

(2)

v^Zf =

a^Zf =

;

2s_Wc_W

t = (p₁ - p₃)², u = (p₂ - p₃)².

константы связи фермионов с W -бозоном:

В работе применяется ультрарелятивистское при-

ближение (УРП):

v^Wf = a^Wf =

√

(9)

2s_W

|r| ≫ m2f .

(3)

Константы связи выражаются через параметры

Стандартной модели (СМ): Q_f — электрический

Для расчета дифференциального сечения dσ⁰

заряд f-частицы в единицах протонного заряда

процесса (1) применяется стандартная диаграмм-

e и s_W (c_W) — синус (косинус) угла Вайнберга,

ная техника с применением правил Фейнмана

которые связаны в СМ с массами Z- и W -бозона

из [3]. Приведем те из них, которые оказались

соотношениями:

необходимы. Входящему фермиону с 4-импульсом

√

m_W

p соответствует биспинорная амплитуда u(p),

c_W =

s_W =

1-c^2W.

(10)

выходящему — амплитуда u(p). Промежуточные

m_Z

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

148

ЗЫКУНОВ

Третья компонента слабого изоспина для конкрет-

В результате имеем удобное представление диф-

ного типа фермиона принимает значения:

ференциального борновского сечения в следующей

форме:

I3ν = +

I3e = -

(11)

u²

dσ⁰ = 4πα²W_λΠ^WW

dt.

(19)

I3u = +

I3d = -

Интегрируя дифференциальное сечение, полу-

чаем наблюдаемое сечение

Амплитуда процесса (1) в вышеприведенных

правилах Фейнмана выглядит так:

∫

dσ^C

σ^C =

dt,

(20)

M₀ = ie²D_W (q) · u(-p₂)γ_μΓ^Wq u(p₁) ×

(12)

−s

× u(p₃)γ^μΓ^Wl u(-p₄).

где индекс C означает вклад в сечение C =

Сечение процесса записывается по общему прави-

= 0, γW, ZW, ..., NLO, значение всех использу-

лу для случая реакции 2 → 2

ющихся индексов будет объяснено ниже. Дадим

определение относительной поправки к борнов-

dσ =

|M|²dΦ₂,

(13)

скому интегральному сечению для определенного

8π²s

вклада (вкладов):

где M — амплитуда процесса, а фазовый объем

реакции имеет вид

σ^C

δ^C =

(21)

σ⁰

d³p₃ d³p₄

dΦ₂ = δ⁽⁴⁾(p₁ + p₂ - p₃ - p₄)

(14)

2p₃₀ 2p₄₀

Наконец, отметим два существенных момента:

В УРП фазовый объем после снятия четырех инте-

1. амплитуду следует домножить на соот-

грирований с помощью δ-функции и интегрирова-

ветствующий элемент матрицы Кабиббо-

ния по азимутальному углу антинейтрино нетрудно

Кобаяси-Маскавы |V_ud| ≈ 0.97427,

преобразовать к выражениюπ2s dt.

Квадрируя амплитуду (12), получим борновское

2. сечение следует умножить на цветовой

сечение в виде

фактор¹³ (коэффициент, происходящий от

πα

усреднения по цветам кварков).

dσ⁰ =

Π^WW R^Wq dt.

(15)

s²

С учетом сказанного во всех формулах для сечений

Выражение R^Wq есть произведение следов матриц

удобно сделать следующее переопределение:

[

]

R^Wq = Sp γ_μΓ^Wq U₁ΓWq+γνU2

(16)

W_λ =

|V_ud|²(1 - λ₁)(1 + λ₂)(v^Wf )⁴.

(22)

[

]

× Sp γ_μΓ^Wl U₄ΓWl+γνU3 ,

Как видно из формулы (22), сечение процесса

где U1,2 — спиновые матрицы плотности, U3,4 —

(1) имеет простую зависимость от степеней поля-

ризации начальных частиц: сечения с поляризаци-

проекционные операторы:

ями кратны неполяризационному, это выполняется

U₁ = u(p₁)u(p₁), U₂ = u(-p₂)u(-p₂),

как на борновском уровне, так и для следующе-

∑

го порядка исследуемого процесса. Выполняются

U₃ =

u(p₃)u(p₃), U₄ =

u(-p₄)u(-p₄).

следующие соотношения между сечениями с кон-

кретной поляризацией:

Пропагаторы бозонов образуют комбинацию

dσ0LR = 4dσ⁰⁰⁰, dσ0L0 = dσ00R = 2dσ⁰⁰⁰,

(23)

Π^WW = D_W (q)D^∗W (q).

(17)

dσ0RL = dσ0LL = dσ0RR = dσ0R0 = dσ00L

= 0.

Коммутационные свойства гамма-матриц поз-

воляют произвести факторизацию степеней про-

Индекс L означает левую поляризацию λ1,2 = -1;

дольной поляризации начальных частиц (λ₁ и λ₂),

индекс R — правую поляризацию λ1,2 = +1; ин-

так что: R^Wq = 4u²W_λ, где комбинация степеней

декс 0 означает отсутствие поляризации (в этом

случае либо просто зануляем спиральности: λ1,2 =

поляризации и констант связи лептонного дублета

= 0, либо, что равнозначно, после дважды сде-

с W-бозоном выглядит так:

ланного усреднения получаем: dσ⁰⁰⁰ =¹⁴ (dσ0LR

W_λ = 4(1 - λ₁)(1 + λ₂)(v^Wf )⁴.

(18)

+ dσ0RL + dσ0LL + dσ0RR).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

149

[

3. ВКЛАД В СЕЧЕНИЕ ОТ ДИАГРАММ

× Sp γ_βΓ^W (p₁ - k)γ_μ ×

ДВУХБОЗОННОГО ОБМЕНА

]

Дифференциальное сечение вклада ДО (с обме-

× Γ^a(1 + λ₁γ₅)p₁γ_νΓ^W(1 - λ2γ5)p2

ном бозонами a и W ) удобно представить разбитым

[

]

на вклады от прямых (direct, D, соответствует

× Sp γ^μΓ^a(p₃ - k)γ^βΓ^W p₄γ^ν Γ^W

p₃ ,

рис. 2а) и перекрестных (crossed, C, соответствует

рис. 2б) диаграмм:

M^WbCMW0+ =

(26)

dσ^aWD =

M^aWD MW0+dt,

(24)

∫

2³πs²

d⁴k

dσ^aWC =

M^aWC MW0+dt.

= 4Cs iπ2DW(k-q)Db(k)×

2³πs²

[

Аналогичные формулы имеют место и для обрат-

Sp γ_μΓ^b(k - p₂)γ_β ×

^× (k2 - 2p₂k)(k2 - 2p₃k)

ной конфигурации (W b) с тем исключением, что в

]

случае конфигурации γW существует (то есть раз-

× Γ^W(1 + λ₁γ₅)p₁γ_νΓ^W(1 - λ2γ5)p2

решен законами сохранения) только прямой бокс,

[

]

а в случае Wγ — только перекрестный.

× Sp γ^μΓ^b(p₃ - k)γ^β Γ^W p₄γ^ν Γ^W

p₃ ,

Произведения боксовских прямой и перекрест-

ной амплитуд с борновской амплитудой в УРП

выглядят так:

где C_s = 4πα³D^∗W (q).

∫

d⁴k

M^aWD MW0+ =1Cs

D_a(k) ×

(25)

Четырехточечные скалярный, векторный и тен-

iπ²

зорный интегралы, присутствующие в прямом бок-

× D_W(q - k)

се (25), обозначим так:

(k² - 2p₁k)(k² - 2p₃k)

∫

d⁴k

1, k_α, k_αk_β

Iab0,α,αβ =

(

)(

(27)

iπ²

k² - m2a

(k - q)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

где векторный и тензорный интегралы раскладыва-

получим:

ются на простые (векторные и тензорные соответ-

ственно) структуры (в духе работы [4]):

M^WbCMW0+ = 8C_sW_λ(v^bu + a^bu)(v^bl + a^bl) ×

(31)

[

I^abα = a₁p1α + a₂p3α + a₃q_α,

(28)

× (I₀ - a₁ - a₂ + 2b₄)u - 8b₀ +

]

I^abαβ = b₀g_αβ + b₁p1αp1β + b₂p3αp3β +

(29)

+ 2(a₃ - b₃ - b₅ - b₆)s .

+ b₃q_αq_β + b₄(p1αp3β + p3αp1β) +

Для вычисления следов гамма-матриц полезным

+ b₅(p1αq_β + q_αp1β) + b₆(p3αq_β + q_αp3β).

оказывается свойство коммутативности матриц ти-

Выражения для четырехточечных интегралов пе-

па A + Bγ₅ (здесь A и B — константы).

рекрестного бокса получаются из (27), (28), (29)

Далее следуем методу работы [1], коротко опи-

заменой p₁ → p₂.

шем его основные этапы в применении к насто-

Подставляя выражения (28), (29) в (25), полу-

ящему расчету. Последовательно объединяя со-

чим для прямой диаграммы:

множители в знаменателе 4-точечного интеграла

(так называемая параметризация Фейнмана [5]) с

M^aWD MW0+ = 8C_sW_λ ×

(30)

[

]

помощью формул

× (v^ad + a^ad)(v^al + aal )

(a₁ + a₂ - I₀ - b₄)t + 2b₀

∫1

nxn-1dx

Во всех коэффициентах I₀, a1,..., b0,... подразуме-

(32)

ваются верхние индексы aW , как в левой части

AⁿB

(Ax + Bx)n+1

уравнений (28), (29). Аналогично, для выражения

n∈N,

x = 1 - x,

(26), соответствующего перекрестной диаграмме,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

150

ЗЫКУНОВ

p₁

p₃

p₁

p₃

a(k)

a(q - k)

- k

p₃ - k

k - p₂

p₃ - k

b(k)

b(q - k)

-p₂

-p₄

-p₂

-p₄

Рис. 2. Диаграммы двухбозонных вкладов в процесс qq → l-l+: а — прямой бокс, б — перекрестный бокс. Волнистой

линией обозначен фотон, Z-бозон или W-бозон.

получим выражение

Введем три полезных для дальнейшего расчета

коэффициента A, B, C, которые связаны с комби-

∫

нацией P² - Δ соотношением:

= 3! dx dy dz yz²

(33)

ABCD

E⁴

P² - Δ = (Az + B - iC)z.

(36)

где

E = Axyz + Bxyz + Cyz + Dz =

(34)

= k² - 2Pk + Δ.

4. ПРЯМОЙ γW -БОКС

Ключевой момент метода работы [1] — выбор

порядка сомножителей A, B, C, D в знаменателе

Приступаем к расчету 4-точечной функции IγW0 .

(33), так как величины P и Δ критически зави-

сят от выбранной последовательности. Выбранный

В силу ее инфракрасной расходимости требуется

порядок объединения сомножителей и результат

предварительное преобразование: cкомбинируем

для различных конфигураций бозонов показан в

(в духе работы [6]) 3- и 4-точечные функции, чтобы

табл. 1. При записи комплексных масс использу-

аналитически выделить ИКР, для чего введем 4-

ется правило (5).

точечный инфракрасно конечный интеграл:

Интегрирование по 4-вектору k произведем,

пользуясь известными формулами (см., например,

Y γW0 = (q² - m2W)IγW0 - Hγ0 + FW0.

(37)

[6]):

3-точечные функции Hγ0 (инфракрасно расходяща-

∫

d⁴k

1; k_α; k_αk_β

яся) и FW0

(инфракрасно конечная) определяются и

(35)

γW

iπ² [k² - 2Pk + Δ]⁴

рассчитываются в Приложении А. Интеграл Y

после приведения к общему знаменателю подынте-

1; P_α; P_αP_β - g_αβ (P²

− Δ)/2

грального выражения приобретает вид

(P² - Δ)²

∫

d⁴k

2kq

YγW0 =

(

)(

(38)

iπ² k²

(k - q)² - m2W

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

Объединяем знаменатели по формуле (33), за-

сле сокращения в дроби z² получаем

тем снимаем интеграл по k, пользуясь (35), тогда

∫

γW

Y₀

=q²

dx y(1 + xy)dy ×

(40)

∫1

∫

2Pq

Y γW0 = dx ydy z²dz

(39)

(P² - Δ)²

∫1

zdz

(Az + B - iC)²

Упрощая, получим 2Pq = q²(1 + xy)z. Далее, по-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

151

Таблица 1. Выражения A, B, C, D, P, Δ для различных конфигураций бозонов

γW, прям. (Wγ, перекр.)

ZW(WZ), прям.

ZW(WZ), перекр.

(k - q)² - m2W

(k - q)² - m2W(Z)

(k - q)² - m2Z(W)

k² - 2p₃k

k² - m2Z(W)

k² - m2W(Z)

k² - 2p₁₍₂₎k

k² - 2p₁k

k² - 2p₂k

k² - m2γ

k² - 2p₃k

(yp₁₍₂₎ + xyp₃ + xyq)z

yzp₁ + zp₃ + xyzq

yzp₂ + zp₃ + xyzq

[(

)

]

[(

)

]

(q² - m2W )xyz

q² - m2W(Z)

x-m2Z(W)x

q² - m2Z(W)

x-m2W(Z)x

где

Таким же образом, но используя разложение

A = (yp₁ + xyp₃ + xyq)²,

(41)

(29), вычисляем тензорный интеграл I^γWαβ . Объеди-

няем знаменатели и интегрируем по формуле (35):

B = (m2W - q²)xy, C = ϵ_Wxy.

∫

∫1

Заметим, что A > 0 (так как q — времениподобный

I^γWαβ = dx ydy ×

(46)

4-вектор, q² > 0) во всей области интегрирования

по параметрам Фейнмана.

Теперь нетрудно снять аналитически интеграл

∫1

P_αP_β - g_αβ(P² - Δ)/2

по z (все нужные интегралы подобного типа при-

× z²dz

ведены в Приложении Б):

(P² - Δ)²

∫

Интегрируем по z и сравниваем коэффициенты

YγW0 =q²

dx y(1 + xy)Y_S dy.

(42)

при одинаковых тензорах с выражением (29), в

результате получаем

В полученном виде интеграл не имеет особенностей

∫

и областей, проблемных с точки зрения возможной

b₀ = -

dxdyyY_A.

(47)

потери точности. Итак, зная YγW0 из (42), Hγ0 из

(П.2) и FW0 из (П.8), получим

(

)

Коэффициенты b₁ и b₂ не входят в ультрареляти-

IγW0 = D_W (q) YγW0 + Hγ0 - F^W

(43)

вистское выражение для сечения (они приведены в

[1]). Наконец, остальные тензорные коэффициенты

Векторный интеграл I^αW , разложенный как

имеют вид

(28), инфракрасно конечен, для его расчета доста-

∫

точно объединения знаменателей и интегрирова-

ния. Воспользуемся формулой (35):

b₃ =

dxdyx²y³Y_B,

(48)

∫1

∫

P_α

∫

I^γWα = dx ydy z²dz

(44)

(P² - Δ)²

b₄ =

dxdyxy² yY_B,

затем интегрируем по z и сравниваем коэффициен-

∫

ты при одинаковых 4-векторах с выражением (28).

В результате получим

b₅ =

dxdyxy² yY_B,

∫1

∫

a₁ =

dxdyyyY_S ,

(45)

∫

b₆ =

dxdyxxy³Y_B.

∫1

∫

a₂ =

dxdyxy²Y_S , a₃ =

dxdyxy²Y_S .

Явные выражения для Y_A,B приведены в Приложе-

нии Б.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

152

ЗЫКУНОВ

∫

∫1

5. ПРЯМОЙ ZW -БОКС

b₆

dxdyxy² yY_B.

Для расчета вклада диаграмм с двумя массив-

ными бозонами применяем технику, использован-

ную выше. В случае бозонов с массами, значи-

Выражения для Y_A,B,S,P приведены в Приложе-

тельно превышающими фермионные, достаточно

нии Б.

получить ультрарелятивистский результат. Прене-

Можно легко убедиться, что комбинации коэф-

брежем фермионными массами, тогда коэффици-

фициентов, присутствующие в сечении, существен-

енты в знаменателе подынтегральной функции 4-

но упрощаются в сумме, например, комбинация

точечных интегралов I^ZW выглядят так:

∫

A = ty- sxxy²,

(49)

I₀ - a₁ - a₂ =

dxdyy²Y_S

(52)

B = -ty+ m2Zxy + m2Wxy,

C = ϵ_Zxy + ϵ_Wxy.

теряет зависимость от Y_P . Другая комбинация

∫

Приведем выражения, полученные после про-

a₃ - b₃ - b₅ - b₆ =

dxdyxxy³Y_B

(53)

цедуры интегрирования, которые требуются для

вычисления сечения. Скалярный интеграл имеет

вид

теряет зависимость от Y_S .

∫1

∫

Коэффициенты, необходимые для расчета W Z-

боксов, получаются из формул для ZW -случая

IZW0 =

dxdyyY_P .

(50)

заменой индексов Z ↔ W в константах связи и

пропагаторах. Непосредственной заменой p₁ → p₂

из выражений для прямых боксов получаются вы-

Векторный интеграл I^ZWα , разложенный согласно

ражения для перекрестных (такая замена означает

(28), имеет следующие векторные коэффициенты:

перестановку t → u).

∫1

∫

a₁ =

dxdyy(Y_P - Y_S ),

(51)

6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

ВКЛАДА БОКСОВ В РЕЖИМЕ НИЗКИХ

∫¹

∫1

И ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

a₂ =

dxdyyyY_S ,

Будем пользоваться следующими сокращения-

ми:

∫1

∫

1. LE-режим (от “low energies”, низкие энер-

a₃ =

dxdyxy²Y_S .

гии): m_f ≪

√s ≪ m_W ,

2. RE-режим (“R” от “resonanсe”, W -резо-

Тензорный интеграл I^ZWαβ , который задается через

нанс):

√s ∼ m_W ,

разложение (29), имеет такие коэффициенты:

3. HE-режим (от

“high energies”, высокие

∫

∫1

энергии):

√s ≫ m_W,Z.

b₀ = -

dxdyyY_A,

Формулы содержат три типа логарифмов (напом-

ним, что r = r1,2 = s, t, u):

∫¹

∫1

b₃ =

dxdyx²y³Y_B,

1. коллинеарные логарифмы (collinear logarithms)

L_rf = ln^|r|

m²

∫1

∫

b₄ =

dxdyyy(Y_S - Y_B),

2. судаковские логарифмы (Sudakov logarithms)

L_ra = ln^|r| ,

m2a

∫1

∫

3. логарифм отношения двух инвариантов

b₅ =

dxdyxy²(Y_S - Y_B),

|r₁|

lr1r₂ = ln

|r₂|

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

153

Чтобы получить LE-формулы для γW -бокса,

и раскладывая в ряд по α, получим асимптотиче-

нужно воспользоваться общим выражением через

ское выражение, которое воспроизводит формулу

коэффициенты и занулить все, кроме b₀ и интеграла

(30) из [8], полученную там другим способом:

Hγ0 из I₀ (это доказано, например, в [7], см. также

]

1^[π²

ссылки там). Для b₀ (прямого бокса) используем

HW0 (p₁,p₃) ≈

ln² α + α ln α +

(61)

асимптотическое выражение:

(

)

Сечение прямых ZW - и W Z-боксов в HE-

bγW,LE0 = -

3 + 2L_Wt

(54)

8m²

режиме выглядит так:

Для бокса ZW -типа важен только тензорный ко-

dσZW+WZ,HED =

(62)

[

эффициент b₀:

dσ⁰ (v^Zd + a^Zd )(v^Zl + a^Zl ) +

]

bZW,LE0 =

m_W .

(55)

2(m2Z - m2W )

m_Z

+ (v^Zu + a^Zu )(v^Zν + a^Zν ) ×

(

)

Чтобы получить HE-формулы, воспользуемся

t² + u²

2π²

× l²

+l_st

L2Zt -

L²

асимптотическими выражениями для прямых бок-

2u²

сов из [7] (они работают для всех случаев: ab =

Сечение перекрестных ZW - и W Z-боксов в HE-

= γW,Wγ,ZW,WZ), тогда:

режиме такое:

(

t² + u²

dσγW,HED =αdσ0QlQd l2

(56)

dσZW+WZ,HEC =

(63)

2u²

[

])

dσ⁰ (v^Zd + a^Zd )(v^Zν + a^Zν ) +

+l_st

-t

Hγ0(p₁,p₃) + HW0 (p₁,p₃)

]

+ (v^Zu + a^Zu )(v^Zl + a^Zl ) ×

Для перекрестных боксов получим:

(

)

2π²

dσWγ,HEC =αdσ0QlQu -l2su +

(57)

× -l2su +

L2Zu +

L²

)

[

]

Hγ0(p₂,p₃) + HW0 (p₂,p₃)

Для иллюстрации работы метода и рассчитан-

ного асимптотического поведения выбрана реакция

В форме записи (56), (57) явно выделена

du → μ^-ν_μ с неполяризованными кварками. Для

точечная функция Hγ0, ответственная за ИКР.

численного интегрирования по двум оставшимся

Приведем расчет 3-точечной функции в HE-

фейнмановским параметрам используем Монте-

режиме, стартуя с выражения (П.8). Где это воз-

Карло интегратор VEGAS [9].

можно, применяется УРП.

Электрослабые параметры, массы и ширины

∫1

частиц взяты из [10]. Для масс кварков использу-

HW0 (p₁,p₃) ≈ - dx dy

≈

(58)

ем значения: m_u = 0.06983 ГэВ, m_d = 0.06984 ГэВ

[7]. Кварковые массы встречаются во вкладе соб-

ственных энергий и во всех инкфракрасно расхо-

∫1

∫

дящихся вкладах, рассмотренных здесь. Что ка-

≈ - dx

сается последнего, то в сумме соответствующие

2p₁p₃ xyy + m2W xy

коллинеарные логарифмы сводятся, как и следует,

к первой степени и их вид в точности тот, который

Введем новую переменную α = -m2W /t, в HE-

в применении к физической ситуации (например,

режиме α → +0. Снимая интегралы по параметрам

для протон-протонного рождения одиночных W -

Фейнмана, получим:

бозонов) позволяет адсорбировать коллинеарную

сингулярность в функции партонных распреде-

HW0 (p₁,p₃) ≈

(59)

лений в полном соответствии, например, с MS-

[

⁽1^)]

схемой КХД [11]. Таким образом, физический ре-

≈

ln²

α - ln(1 - α)lnα + Li₂

зультат не зависит от масс кварков и поэтому в

этой работе мы ограничимся вышеприведенными

Наконец, применяя преобразование дилогарифма

стандартными “эффективными значениями” m_u и

Спенса:

m_d, которые выбраны такими, чтобы обеспечить

⁽1⁾

сдвиг постоянной тонкой структуры, обусловлен-

Li₂(x) = -Li₂

ln² x +

π², x > 0

(60)

ный поляризацией вакуума адронами (с учетом

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

154

ЗЫКУНОВ

δγW,F

δ^ZW

0.4

0.1

exact

0.3

-0.1

0.2

-0.2

0.1

exact

-0.3

−0.4

−0.1

50 100

5001000

5000

50 100

5001000

5000

s, ГэВ

Рис. 3. Зависимости от энергии: а — относительных поправок к инфракрасно конечной части интегрального сечения

γW- и Wγ-боксов, б — относительных поправок к интегральному сечению ZW- и WZ-боксов.

пяти кварковых ароматов): Δα^(5)had(m2Z ) = 0.02757

кроме инфракрасно конечного вклада собственных

[12], где

энергий W -бозона) и вклада мягкого тормозного

∑

(

излучения (сюда входят вклады излучения из фер-

5⁾

Δα^(5)had(s) =^α

Q²

(64)

мионных линий из Приложения В, инфракрасно

3π

m2q

конечный вклад излучения из W -бозона опущен,

q=u,d,s,c,b

для значения максимальной энергии мягкого фото-

Использование фиксированных кварковых масс

на выбрано ω = 0.01√s). Устранение ИКР в сумме

как численных параметров является одним из воз-

виртуального и мягкого тормозного вкладов [13] на

можных вариантов описания вкладов в ЭСП, обу-

современном уровне развития расчетных методов

словленных поляризацией вакуума адронами. Аль-

и компьютерных мощностей является не только

тернативно можно, например, применить аппарат

непременным условием правильности результата,

дисперсионных соотношений и непосредственную

но и удобным средством для контроля на пути тео-

экспериментальную информацию о сечении реак-

ретических вычислений и отладки компьютерной

ции e⁺e^- → адроны.

программы.

На рис. 3 приведены относительные поправки

На рис. 4 приведены зависимости от энергии:

к дифференциальному сечению в зависимости от

а — борновского сечения (LO) и сечения с учетом

энергии для двух случаев: а) C = γW + W γ, б)

ЭСП (NLO), б — относительной ЭСП (учтены все

C = ZW + WZ. Для каждого случая изображе-

инфракрасно расходящиеся вклады). Видно пико-

ны три кривые: точный (exact) расчет по новой

вое поведение относительной поправки в областях

технологии этой работы, асимптотический расчет

для LE-режима и асимптотический расчет для HE-

Таблица 2. Структура относительных поправок к сече-

режима. Оказывается, в канале заряженного тока

нию при разных энергиях (LE, в точке W -резонанса,

для бокса γW -типа довольно значительный вклад

HE) при ω/√s = 0.01

дают коэффициенты a₁, a₂, они также учтены при

изображении асимптотической линии, представ-

√s, ГэВ λ/√s

V +R

ленной на рис. 3а. Видно превосходное согласие

точных и асимптотических результатов и нетриви-

10-15

-1.79332

1.59534

-0.19799

альное поведение точного результата в RE-режиме

50.0

10-10

-1.06956

0.87158

-0.19798

(в областях

√s ∼ m_W и√s ∼ m_Z + m_W , точки

обозначены вертикальными линиями).

10-5

-0.34580

0.14782

-0.19798

10-15

-1.90173

1.66792

-0.23381

7. АНАЛИЗ И ВЫВОДЫ

80.379

10-10

-1.13847

0.90466

-0.23381

В табл. 2 продемонстрировано отсутствие ИКР

10-5

-0.37521

0.14140

-0.23382

в физическом результате, то есть независимость

10-15

-2.26202

1.93215

-0.32987

результата от нефизического параметра — массы

фотона λ при различных энергиях реакции в сум-

500.0

10-10

-1.34668

1.01681

-0.32988

ме виртуальных вкладов (обозначены индексом V ,

10-5

-0.43135

0.10147

-0.32988

сюда входят боксы и вклады из Приложения В,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

155

σ, нбн

δ^NLO

10²

-0.1

NLO

10⁰

-0.2

-0.3

10^-2

-0.4

-0.5

10^-4

-0.6

-6

−0.7

50 100

5001000

5000

50 100

5001000

5000

s, ГэВ

Рис. 4. Зависимости от энергии: а — борновского сечения (LO) и сечения с учетом ЭСП (NLO), б — относительной

ЭСП.

√s ∼ m_W и√s ∼ m_Z + m_W (эти точки обозначены

группе RDMS CMS и Ю.М. Быстрицкому за

вертикальными линиями) и дважды логарифмиче-

обсуждение.

ское поведение в HE-режиме, обусловленное су-

даковскими логарифмами от боксов с массивными

Приложение A

промежуточными бозонами.

В настоящей работе новая техника расчета

РАСЧЕТ 3-ТОЧЕЧНЫХ ФУНКЦИЙ

вклада диаграмм двухбозонного обмена [1] при-

менена к расчету сечения процесса с поляризо-

Скалярная 3-точечная функция H₀, встречаю-

ванными фермионами в канале заряженного то-

щаяся в (37), определяется так:

ка. Проведена успешная сверка полученных ре-

Ha0 = Ha0(p₁,p₃) =

(П.1)

зультатов с асимпотическими выражениями для

∫

энергий ниже и выше W -резонанса. Для вклада

d⁴k

(

)(

ДО получены простые аналитические выражения

iπ²

k² - m2a

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

без особенностей, позволяющие получить точную

оценку, которая надежно контролируется. В явном

Расчет интегралов такого типа нетрудно осуще-

виде представлены действительная и мнимая части.

ствить методом ’т Хоофта-Велтмана [14] (подроб-

В расчете не возникают ультрафиолетовые расхо-

ное вычисление можно найти, например, в [7]). Для

димости (в 2-точечных функциях), результат также

случая a = γ в УРП получаем компактное выраже-

свободен от пикового поведения, обусловленно-

ние, симметричное относительно замены m_d ↔ m_l:

го определителями Грама в знаменателях, пере-

-t

численные особенности характерны для расчетов,

Hγ0(p₁,p₃) =1(ln

(П.2)

λ²

m_dm_l

проведенных с помощью редукции Вельтмана-

)

-t

m_d

Пассарино [4]. Указанные преимущества полезны в

−

- ln²

π²

круге физических задач, ограниченных s-каналом:

m2d

m2l

m_l

фермион-антифермионная аннигиляция, процесс

Аналогичная формула для Hγ0(p₂, p₃) получается

Дрелла-Яна, рождение одиночных W -бозонов в

заменами t → u, m_d → m_u.

протонных столкновениях, расчета распадов ме-

Скалярная 3-точечная функция F₀ из (37) опре-

зонов и т.д. Техника может быть распростране-

деляется так:

на на взаимодействие, отличное от стандартно-

∫

модельного V - A-типа: контактное (скалярное)

d⁴k

Fb0 =

(П.3)

взаимодействие, присутствие аномальных вершин,

iπ²

Z^′-бозона, W^′-бозона, “тяжелого” фотона и дру-

гое.

(

)(

(k - q)² - m2b

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

Работа выполнена при поддержке Государ-

ственной программы научных исследований Рес-

Заменой переменной интегрирования k → k + q ее

публики Беларусь “Конвергенция-2025” (подпро-

нетрудно привести к виду (П.1) (так доказывает-

грамма “Микромир, плазма и Вселенная”, № гос.

ся, что Fb0 = Hb0), затем рассчитать по технологии

рег. 20211777). Автор признателен коллегам по

[14]. Результатом (для b = W ) будет нетривиальная

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

156

ЗЫКУНОВ

∫

комбинация 12 дилогарифмов. Покажем здесь, как

zdz

методом, примененным для 4-точечных интегралов,

Y_S =

(Az + B - iC)²

получить простые формулы и в случае 3-точечной

функции.

)]

1 [

A(A + B)

⁽AC

Итак, после замены k → k + q интеграл выгля-

+G_L -i

+G_A

A²

дит так:

∫

FW0 = HW0 =

(П.4)

∫

Y_P =

d⁴k

(Az + B - iC)²

(

)(

iπ²

k² - m2W

k² - 2p₁k

k² - 2p₃k

B(A + B) - C² + i(A + 2B)C

Выбирая A = k² - m2W , B = k² - 2p₁k, C = k² -

(B² + C²)D

- 2p₃k, получим

где используются такие сокращения:

∫1

∫

d⁴k

D = (A + B)² + C², G_L =

, (П.9)

FW0 = HW0 = 2 dx ydy

(П.5)

B² + C²

iπ² E³

A+B

G_A = arctg

- arctg

E = (Ax + Bx)y + Cy.

После преобразований получим

Приложение В

E = k² - 2Pk + Δ, P = xyp₁ + yp₃,

Δ = -m2Wxy.

ВИРТУАЛЬНЫЙ И МЯГКИЙ

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ВКЛАДЫ

Квадрат 4-вектора P положителен в любой точке

области интегрирования:

Приведем здесь выражения для виртуального

и мягкого однопетлевых вкладов в ЭСП. Учет

P² = (m2dxy + m2ly)(1 - xy) - txyy.

(П.6)

последнего нужен для устранения ИКР [13]. Имеет

Снимая интеграл по известной формуле

место простая факторизация:

∫

d⁴k

1; k_α

1; P_α

dσ^NLO = (δ^BSE + δ^Su +

(П.10)

(П.7)

iπ² [k² - 2Pk + Δ]³

P² - Δ

+ δ^Sl + δV q + δ^Vl + δ^Box + δ^Soft)dσ⁰.

получим

Заметим, что вклад мягкого фотонного излучения

∫1

∫

входит в это выражение наравне с виртуальными

ydy

FW0 = HW0 = - dx

(П.8)

вкладами, поскольку кинематика мягкого излу-

E - iϵ_Wxy

чения совпадает с безрадиационной при условии

малости максмальной энергии мягкого фотона ω.

E = P² + m2Wxy.

Боксовский вклад δ^Box = δγW+Wγ + δZW+WZ об-

суждается в разд. 4 и разд. 5 соответственно.

Приложение Б

Приведем остальные вклады.

Вклад от бозонных собственных энергий такой:

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

δ^BSE = -2ReD_W (q)ΣWWT (s),

(П.11)

В расчете встретились следующие интегралы:

ΣWW

где

(s) — перенормированная поперечная

∫1

часть вклада диаграмм собственных энергий W -

zdz

Y_A =

бозона. В нее не входят пропагаторные структу-

Az + B - iC

ры и множитель i² = -1, вынесенный перед пра-

(

)]

ΣWW

вой частью (П.11). Для расчета

(s) здесь

1 [

A+CG_A -BG_L +i BG_A +CG_L

используется схема перенормировки на массовой

A²

поверхности с применением ренормализационных

∫1

z²dz

условий Холлика [3, 15].

Y_B =

Вклад от собственных энергий u-кварков такой

(Az + B - iC)²

(см. формулу (5.46) из [3]):

A+B

α (

2Y_A -

-i

δ^Su = -

Q2u[L2Zu - 2L2uγ] -

(П.12)

4π

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022

ДВУХБОЗОННЫЙ ОБМЕН В ПОЛЯРИЗАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ

157

)

+ Q2u(2L_ω - L_su) + Q2l (2L_ω - L_sl) -

- Q2d[L2Zd - 2L2dγ] +

]

-Q_dQ_uSω,12 - Q_dQ_lSω,13 + Q_uQ_lSω,23 ,

Вклад от собственных энергий нейтрино такой (см.

формулу (2.12) из [16]):

(

где присутствующий в логарифме L_ω = ln2ωλ пара-

3⁾

δ^Sl =

L2Zl - 2L2lγ +

(П.13)

метр λ регуляризует ИКР, а величины S имеют вид

4π

(

Вклад от кварковой вершинной функции вычис-

2p_ip_j

1-β_ij)

S_ω,ij =

2L_ω +

лен в [3]:

p2ij

β_ij

1+β_ij

(

^[3

√

δ^Vq =

Re Q_uQ_d

L_du +

(П.14)

p2ij

2π

p_ij = xp_i + xp_j, β_ij =

]

pij2

s^2W

Λ₁(s,m_d) +

Λ₁(s,m_u) +

Λ₂(s,m_Z)

c²

√s

Заметим, что для всех случаев в с.ц.м. pij0 =

2s^2W - 1

Возможно интегрирование и по x, но оно приводит

Λ₂(s,m_Z) + 3Q_uΛmu4(s,mW ,0) -

4s^2Wc²

к довольно громоздкому (и к тому же зависящему

от дилогарифма Спенса) результату (см., например,

- 3Q_dΛmd4 (s, mW , 0) +

[

]

[16] для расчета в t-канале).

3c^2W

Λ₄(s,m_Z,m_W ) -

L_Zd - 2L_dγ +

s^2W

[

]

)

3c^2W

L_ZW

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

s^2W

2s^2W

s⁴

В. А. Зыкунов, ЯФ 84, 535 (2021) [Phys. At. Nucl.

Вклад от лептонной вершинной функции выглядит

84, 1225 (2021)].

так [3]:

В. А. Зыкунов, ЯФ 84, 524 (2021) [Phys. At. Nucl.

⁽ 3(3c^2W - 1)

84, 1214 (2021)].

δ^Vl =

+L_lW +

(П.15)

2π

2s²

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

]

Phys. 34, 687 (1986).

^[ 2s^2W - 1

3c^2W

+ 2L_lγ +

L_WZ +

G. Passarino and M. Veltman, Nucl. Phys. B 160, 151

2s^2W

s⁴

(1979).

2s^2W - 1

R. P. Feynman, Phys. Rev. 76, 769 (1949).

Λ₂(s,m_Z) + 3Λml4(s,mW ,0) +

4s^2Wc²

J. Kahane, Phys. Rev. B 135, 975 (1964).

)

3c²

В. А. Зыкунов, Пертурбативные расчеты в

Λ₄(s,m_Z,m_W )

физике высоких энергий (ГГУ им. Ф. Скорины,

s²

Гомель, 2020).

Функции Λ_i приведены в работе [3].

V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 75, 073019 (2007) [hep-

Мягкий вклад в поправку имеет вид

ph/0509315].

∫

d³p[ p1

G. P. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

δ^Soft = -

Q_d

(П.16)

2π²

2p₀

pp₁

10.

Particle Data Group (P. A. Zyla et al.), Prog. Theor.

|p|<ω

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

]₂

p₂

p₃

-Q_u

-Q_l

11.

W. A. Bardeen, A. J. Buras, D. W. Duke, and T. Muta,

pp₂

pp₁

Phys. Rev. D 18, 3998 (1978).

где p — 4-импульс тормозного фотона. Заметим,

12.

F. Jegerlehner, J. Phys. G 29, 101 (2003)

[hep-

что в этот результат не входят инфракрасно конеч-

ph/0104304].

ные вклады от излучения из W -бозона. Возводим

13.

F. Bloch and A. Nordsieck, Phys. Rev. 52, 54 (1937).

квадратную скобку в квадрат, объединяем в ин-

терференционных слагаемых знаменатели с помо-

14.

G. ’t Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 153, 365

щью (32) и интегрируем по p c помощью мастер-

(1979).

интеграла из [14], в результате получим

15.

W. Hollik, Fortschr. Phys. 38, 165 (1990).

∫

16.

M. B ¨ohm and H. Spiesberger, Nucl. Phys. B 304, 749

[

δ^Soft = -

dx +Q2d(2L_ω - L_sd) + (П.17)

(1988).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№2

2022