ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 3, с. 177-186

ЯДРА

РЕЗОНАНСНАЯ СТРУКТУРА ЗАРЯДОВО-ОБМЕННОЙ

СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ ИЗОТОПОВ МОЛИБДЕНА 98 И 100

А. П. Осипенко¹⁾, В. Н. Тихонов¹⁾, А. Н. Фазлиахметов^1),2),3)

Поступила в редакцию 04.10.2021 г.; после доработки 20.12.2021 г.; принята к публикации 21.12.2021 г.

В работе представлены зарядово-обменные силовые функции S(E) изотопов 98,100Mo. Проанализи-

рованы как экспериментальные данные по силовым функциям S(E), полученные в реакциях (p, n) и

(³He, t), так и силовые функции S(E), рассчитанные в микроскопической теории конечных ферми-

систем. Исследована резонансная структура силовой функции S(E), выделены гамов-теллеровский,

аналоговый и пигми-резонансы. Исследуется quenching-эффект, недобор в правиле сумм, изменяю-

щий нормировку силовой функции S(E). Отмечено, что резонансная структура силовой функции S(E)

имеет определяющее значение для расчета и анализа процесса захвата нейтрино атомными ядрами.

DOI: 10.31857/S0044002722030126

1. ВВЕДЕНИЕ

зарядово-обменных реакциях⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc [13]

и¹⁰⁰Mo(³He, t)¹⁰⁰Tc [14, 15]. Эти изотопы рас-

В большинстве задач ядерной физики при ис-

сматривались ранее как в связи с геохимическими

следовании процессов перезарядки с конкретными

исследованиями⁹⁸Mo (см. книгу Дж. Бакала [16]),

атомными ядрами необходимо рассчитывать струк-

так и в связи с двойным бета-распадом¹⁰⁰Mo

туру зарядово-обменной силовой функции S(E),

[1, 17], где захват солнечных нейтрино является

которая имеет резонансный характер. Резонансная

фоновым процессом при исследовании двойного

структура наблюдается практически во всех ре-

бета-распада этого ядра.

акциях перезарядки [1-3]. Наиболее интенсивным

Отметим, что у изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo энер-

является гигантский гамов-теллеровский резонанс

(GTR), рассчитанный в [4, 5] до его экспери-

гетические пороги для соседних ядер-изобар⁹⁸Tc

ментального исследования [6, 7]. Ниже GTR (см.

и¹⁰⁰Tc сильно различаются. Так, энергия Q_β для

рис. 1, 2) расположен изобарический аналоговый

изотопа⁹⁸Tc равна Q_β = 1684 ± 3 кэВ, а для¹⁰⁰Tc

резонанс (AR), а еще ниже так называемые пигми-

Q_EC = 172.1 ± 1.4 кэВ [18], и это приводит к тому,

резонансы (PR) [8], которые важны в реакциях

что в процессе захвата солнечных нейтрино ядром

перезарядки [9, 10] и в процессах, связанных с

⁹⁸Mo основную роль играют жесткие солнечные

β-распадом [11]. Соответственно эти зарядово-

нейтрино, а в ядре¹⁰⁰Mo — нейтрино с меньшими

обменные резонансы проявляются в силовой функ-

энергиями, которых на порядки больше.

ции S(E). Учет зарядово-обменных резонансов

в силовых функциях [2, 3] может существенно

изменить результат вычисления сечения реакции

2. ЗАРЯДОВО-ОБМЕННЫЕ

перезарядки, в том числе сечения σ(E_ν ) захвата

ВОЗБУЖДЕНИЯ ИЗОТОПОВ98,100Mo

нейтрино атомными ядрами [10, 12].

В зарядово-обменных реакциях, в том числе

В настоящей работе проведен анализ экс-

в реакции нейтринного захвата на изотопах⁹⁸Mo

периментальных данных по силовым функциям

и¹⁰⁰Mo, образуются нестабильные ядра-изобары

S(E) изотопов

⁹⁸Mo и 100Mo, полученным в

⁹⁸Tc и¹⁰⁰Tc в возбужденных состояниях, которые

далее могут распадаться по различным каналам.

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

Возбужденные изобарические состояния изото-

институт”, Москва, Россия.

па⁹⁸Mo, наблюдающиеся в соседнем ядре⁹⁸Tc,

²⁾Московский физико-технический институт (Националь-

показаны на рис. 1, где также показаны изотопы,

ный исследовательский университет), Москва, Россия.

образующиеся в результате зарядово-обменных

³⁾Институт ядерных исследований Российской академии

наук, Москва, Россия.

реакций. Экспериментальные данные были полу-

^*E-mail: lutostansky@yandex.ru

чены в зарядово-обменной реакции⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc

177

178

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

5/2

324.5 кэВ

7/2⁺

215.7 кэВ

GTR

1/2^-

96.6 кэВ

= 91 сут

1/2

9/2⁺

PR1

6⁺

0⁺

Mo_stable

Q_β = 1684 кэВ

Рис. 1. Схема зарядово-обменных возбуждений ядра⁹⁸Mo в реакции⁹⁸Mo(p,n)⁹⁸Tc с распадом высоколежащих

возбуждений в стабильный изотоп⁹⁷Tc с эмиссией нейтрона. Обозначены: гигантский гамов-теллеровский (GTR),

аналоговый (AR) и расположенный ниже пигми-резонанс (PR1); Sn — энергия отрыва нейтрона в ядре⁹⁸Tc.

[13], и была получена зарядово-обменная сило-

(G), которые в реакции (p, n) наблюдаются как

вая функция S(E) до энергии возбуждения E_x =

один пигми-резонанс (см. рис. 3).

= 18 МэВ. Было получено, что полная сумма квад-

На рис. 1 и 3 также представлена энергия от-

ратов GT-матричных элементов B(GT) до энергии

рыва нейтрона S_n = 7279 ± 5 кэВ [18] для изотопа

18 МэВ равна 28 ± 5 [13], что составляет 0.67 ±

⁹⁸Tc. Видно, что в область энергий возбуждения

± 0.08 от максимального значения 3(N - Z) = 42,

E_x > S_n попадают резонансные состояния, входя-

которое дает правило сумм для GT-возбуждений

щие в тонкую структуру GTR, и соответственно пик

ядра⁹⁸Mo. Т.е. наблюдается недобор в прави-

GTR будет распадаться в изотоп⁹⁷Tc с эмиссией

ле сумм для GT-возбуждений, так называемый

нейтрона. При этом будет заселяться основное

quenching-эффект (Q) [19].

состояние⁹⁷Tc (9/2⁺) со временем жизни 4.21 ×

Графики зависимости зарядово-обменной сило-

× 10⁶ лет, а не первое возбужденное состояние

вой функции S(E) от энергии возбуждения E об-

с энергией 96.6 кэВ (1/2^-) и временем жизни

разующегося ядра⁹⁸Tc, полученные из обработки

91.0 сут. Среди последующих гамма-распадов воз-

экспериментальных данных по рассеянию прото-

бужденных состояний изотопа⁹⁷Tc (см. рис. 1)

нов на ядрах⁹⁸Mo в реакции⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc [13],

будут доминировать переходы с уровней 7/2⁺ и

представлены на рис. 3. На этих графиках выде-

5/2⁺ в основное 9/2⁺-состояние⁹⁷Tc с энергиями

лены: гигантский гамов-теллеровский резонанс —

215.7 и 324.5 кэВ [20] соответственно.

GTR и пигми-резонанс — PR, аппроксимирован-

Возбужденные изобарические состояния изото-

ные Гауссом (G) и Брейт-Вигнером (B-W). Также

па¹⁰⁰Mo, наблюдающиеся в соседнем ядре¹⁰⁰Tc,

представлены суммарные зависимости S_GT(E) =

показаны на рис. 2, где также показаны и изотопы,

= S(GTR) + S(PR1) в двух аппроксимациях. По-

образующиеся в результате зарядово-обменных

лучены энергии E_GTR = 12.41 МэВ для (G)- и (B-

реакций, в том числе и нейтринных захватов ядром

W)-аппроксимаций и E_PR = 6.78 МэВ в (B-W),

¹⁰⁰Mo, и последующих распадов. Показаны два

и E_PR = 6.71 МэВ в (G)-аппроксимациях. Дан-

ные из [13]: E_GTR ≈ 12.3 МэВ, E_AR = 9.7 МэВ, а

типа распадов образующегося изотопа¹⁰⁰Tc: 1)

данные по энергиям PR не представлены. Отметим

распад в⁹⁹Tc с эмиссией нейтрона из возбуж-

низколежащие состояния в⁹⁸Tc с энергиями воз-

денных состояний¹⁰⁰Tc с энергией, превышающей

буждения E_x = 0.13 МэВ (B-W) и E_x = 0.30 МэВ

S_n = 6764.4 ± 1.0 кэВ [18] для изотопа¹⁰⁰Tc с

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

РЕЗОНАНСНАЯ СТРУКТУРА

179

GTR

5/2

181.1 кэВ

1/2^-

142.7 кэВ

T_1/2 = 6 ч

7/2⁺

140.5 кэВ

PR1

9/2⁺

1⁺

1339 кэВ

1⁺

838 кэВ

1⁺

355 кэВ

1⁺

0⁺

100

T_1/2 = 15.5 с

100

Q_β- = 3206 кэВ

Q_EC = 172.1 кэВ

1741 кэВ

0⁺

1362.2 кэВ

2⁺

Q_ββ

= 3034.4 кэВ

1130 кэВ

0⁺

539.5 кэВ

0⁺

100

Ru_stable

Рис. 2. Схема зарядово-обменных возбуждений ядра¹⁰⁰Mo в реакции¹⁰⁰Mo(³He, t)¹⁰⁰Tc с распадом высоколежащих

возбуждений¹⁰⁰Tc в стабильный изотоп⁹⁹Tc с эмиссией нейтрона и распадом¹⁰⁰Tc в изотоп¹⁰⁰Ru, имитирующим

двойной бета-распад¹⁰⁰Mo. Обозначены: гигантский гамов-теллеровский (GTR), аналоговый (AR) и расположенный

ниже пигми-резонанс (PR1); Sn — энергия отрыва нейтрона в ядре¹⁰⁰Tc.

последующими гамма-распадами в⁹⁹Tc, и 2) бета-

W), и E_PR1 = 7.52 МэВ в (G)-аппроксимациях.

распад из основного (g.s.) состояния ядра¹⁰⁰Tc в

В более ранней работе [14] низколежащие возбуж-

дения представлены в табличном виде с энергиями

основное и возбужденные состояния ядра¹⁰⁰Ru,

(в МэВ): E₀ = 0.0, E₁ = 1.4 и E₂ = 2.6. Выше

после того как распадутся в g.s. состояние¹⁰⁰Tc все

расположены E(PR1) = 8.0 МэВ и E(GTR) =

возбуждения с энергиями E_x < S_n. Таким образом,

= 13.3 МэВ [14]. При малых энергиях самый ин-

довольно быстрое (для изотопа¹⁰⁰Tc T1/2 = 15.5 с)

тенсивный переход идет в основное состояние¹⁰⁰Tc

появление стабильного изотопа¹⁰⁰Ru в процессе

с B(GT) = 0.33 [14], что сравнимо с данными [15],

захвата солнечных нейтрино ядром¹⁰⁰Mo будет

где B(GT) = 0.348.

имитировать процесс двойного бета-распада этого

Основной вопрос был в нормировке S(E), так

ядра с энергией Q_ββ = 3034.4 кэВ [21] и будет фо-

как в работе [15] нет численных данных по зависи-

новым процессом в соответствующем эксперимен-

мости B(GT) от E_x в широком диапазоне энергий и

те. Это аналогично фоновому процессу от солнеч-

суммарное значение ΣB(GT) не приводится. Но в

ных нейтрино в эксперименте GERDA (LEGEND)

более ранней работе [14] было сказано, что сумма

с детектором из сверхчистого ⁷⁶Ge (подробнее см.

GT-матричных элементов до энергии 18.8 МэВ

в работе [22]).

равна 34.56 или 0.72 (72%) от 3(N - Z) = 48, что

Экспериментальные данные по силовой функ-

на 7.5% больше, чем для⁹⁸Tc [13], и это обсужда-

ции были получены в зарядово-обменной реакции

ется ниже в связи с quenching-эффектом. Для ана-

¹⁰⁰Mo(³He, t)¹⁰⁰Tc [14, 15]. Более точные данные

логового резонанса с энергией E_AR = 11.085 МэВ

из последней работы [15] представлены на рис. 4

[15] получен матричный элемент “B(F) = 15.97”,

в виде графика зависимости измеренной силовой

что составляет 99.81% от (N - Z).

функции S(E_x) от энергии возбуждения E_x. По-

Таким образом, из анализа экспериментальных

лучены энергии E_GTR = 13.20 МэВ для (G)- и

данных по зарядово-обменным силовым функциям

(B-W)-аппроксимаций и E_PR1 = 7.69 МэВ в (B-

S(E) изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo можно сделать вывод,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

180

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

S(E), 1/МэВ

GTR

эксперимент

G-Гаусс

B-W-Брейт-Вигнер

расчет

PR2

PR1

PR3

E, МэВ

Рис. 3. Графики зарядово-обменной силовой функции S(E) изотопа⁹⁸Tc, полученные из обработки экспериментальных

данных по реакции⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc [13] и рассчитанные по ТКФС. Выделены: гигантский гамов-теллеровский резонанс

(GTR) и пигми-резонанс (PR), аппроксимированные Гауссом (G) — штриховая кривая и Брейт-Вигнером (B-W) —

штрихпунктирная; также представлены расчетные функции S(E) с пигми-резонансами PR1, PR2 и PR3.

что силовые функции S(E) этих изотопов близки по

В настоящей работе использовался упрощен-

структуре, но сечения захвата солнечных нейтрино

ный вариант работы [24] — частичное согласо-

σ(E_ν ) у них должны сильно различаться из-за того,

вание с локальным взаимодействием и m^∗ = m

что различаются энергетические пороги Q_β для

для разрешенных переходов с локальным нуклон-

соседних ядер-изобар⁹⁸Tc и¹⁰⁰Tc.

нуклонным взаимодействием F^ω в форме Ландау-

Мигдала [23]:

F^ω = C₀(f′0 + g′0(σ₁σ₂))(τ₁τ₂)δ(r₁ - r₂),

(1)

3. РАСЧЕТЫ СИЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

ИЗОТОПОВ98,100Mo

где C₀ = (dρ/dε_F)-1 = 300 МэВ фм³ (ρ — средняя

Зарядово-обменные силовые функции S(E)

плотность ядерной материи), f′0 и g′0 — параметры

изотопов98,100Mo рассчитывались в рамках мик-

изоспин-изоспинового и спин-изоспинового взаи-

модействий квазичастиц соответственно. Эти кон-

роскопической теории конечных ферми-систем

станты взаимодействия являются феноменологи-

(ТКФС) [23], как ранее для других ядер [2, 3,

ческими параметрами, и, в данном случае, исполь-

10]. Энергии и матричные элементы возбужденных

зовались значения

состояний дочернего ядра определялись системой

секулярных уравнений ТКФС для эффективного

f′0 = 1.351 ± 0.027 и g′0 = 1.214 ± 0.048,

(2)

поля согласно

[23,

24]. Расчеты проводились

полученные недавно [26] из анализа эксперимен-

в координатном представлении, как в

[25], с

учетом спаривания в одночастичном базисе. Базис

тальных данных по энергиям аналоговых (38 ядер)

брался в модели Вудса-Саксона с последующей

и гамов-теллеровских (20 ядер) резонансов. Рас-

итерационной процедурой построения ядерного по-

считывались энергии E_i и квадраты матричных

тенциала. Пренебрегалось эффектами изменения

элементов M2i возбужденных изобарических со-

спаривательной щели во внешнем поле, т.е. пола-

стояний дочерних ядер98,100Tc, образованных раз-

галось d1pn = d2pn = 0, что оправдано для внешних

решенными переходами. Непрерывная часть спек-

полей с нулевыми диагональными элементами (см.

тра функции S(E) рассчитывалась как в [10] с

[23], с. 200).

уширением по Брейт-Вигнеру (см. [27]).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

РЕЗОНАНСНАЯ СТРУКТУРА

181

Отн. ед.

3.0

2.5

GTR

2.0

1.5

E₀

1.0

PR1

E₃

E₂

0.5

E, МэВ

Рис. 4. Графики зарядово-обменнойсиловой функции S(E) изотопа¹⁰⁰Tc, полученные из обработки экспериментальных

данных по реакции¹⁰⁰Mo(³He, t)¹⁰⁰Tc [15]. Обозначения такие же, что на рис. 3.

Расчетная зарядово-обменная силовая функ-

Расчетная зарядово-обменная силовая функция

ция S(E) изотопа⁹⁸Tc для GT-возбуждений⁹⁸Mo

S(E) изотопа¹⁰⁰Tc для GT-возбуждений¹⁰⁰Mo

представлена на рис. 3. Рассчитаны энергии резо-

представлена на рис. 5. Рассчитаны энергии резо-

нансов — E_GTR = 12.45 МэВ, E_PR1 = 7.32 МэВ,

нансов — E_GTR = 13.20 МэВ, E_PR1 = 8.09 МэВ,

E_PR2 = 6.10 МэВ и E_PR3 = 4.40 МэВ, а экспери-

E_PR2 = 6.32 МэВ и E_PR3 = 4.65 МэВ, а экс-

ментальное значение — E_GTR ∼ 12.3 МэВ [13], т.е.

периментальное значение — E_GTR ∼ 13.3 МэВ

разница с расчетным значением невелика и рав-

на 0.15 МэВ. Что касается наблюдаемого пигми-

[14], т.е. разница с расчетным значением мала

резонанса с энергией E_PR = 6.78 МэВ в (B-W),

и равна 0.10 МэВ. Что касается наблюдаемого

то в расчетах получились два близколежащих ре-

пигми-резонанса с энергией E_PR1 = 8.0 МэВ

зонанса PR1 и PR2, что похоже на тонкую струк-

[14] в (B-W)- и E_PR1 = 7.52 МэВ [15] в (G)-

туру наблюдаемого PR-пика. При энергиях 1.82

аппроксимациях (см. рис. 4), то расчетное значение

и 3.16 МэВ в наших расчетах есть небольшие

оказалось ближе к экспериментальному [14], чем

резонансы, которые соответствуют малым пикам

в районе 2.1 и 3.4 МэВ, наблюдаемым в экс-

к [15]. Отмеченные в более ранней работе [14]

перименте [13]. При малых энергиях возбужде-

низколежащие возбуждения с энергиями E₁ =

ния с E_x < 1 МэВ в расчетной силовой функ-

= 1.4 и E₂ = 2.6 МэВ (см. рис. 4) получились и в

ции⁹⁸Tc есть несколько возбужденных состо-

настоящих расчетах как дублет с энергиями 1.30

яний, которые могут соответствовать наблюдае-

и 1.42 МэВ и изобарическое состояние с E₂ =

мым низколежащим возбуждениям⁹⁸Tc. Расчетное

= 2.70 МэВ. Аналоговые резонансы считаются хо-

значение E_AR = 9.78 МэВ, а экспериментальное

рошо, так, расчетное значение E_AR = 10.99 МэВ,

E_AR = 9.7 МэВ [13]. Разница составляет ΔE_AR =

а экспериментальное E_AR = 11.085 МэВ

[15].

= 80 кэВ, что сравнимо с нашими предыдущими

расчетами по ТКФС с ΔE_AR = 110 кэВ [28] и с

Разница составляет ΔE_AR = 95 кэВ, что сравнимо

феноменологическим подходом [29].

с нашими предыдущими расчетами [28, 29].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

182

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

S(E), 1/МэВ

4.0

3.5

3.0

GTR

2.5

2.0

1.5

1.0

PR1

0.5

PR2

PR3

E, МэВ

Рис. 5. Зарядово-обменная силовая функция S(E) изотопа¹⁰⁰Tc для GT-возбуждений¹⁰⁰Mo. Сплошные кривые: 1 —

экспериментальные данные [15], 2 — наш расчет по ТКФС; точечные — резонансы GTR, PR1, PR2 и PR3.

4. НОРМИРОВКА СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ

- Z), что соответствует максимальному значению.

И QUENCHING-ЭФФЕКТ

В ТКФС q = e2q, где e_q — эффективный заряд [23].

В общем случае соотношение (3) заменяет-

Представленные на рис. 3, 5 и рассчитанные для

ся на сумму по всем зарядово-обменным GT-

GT-возбуждений силовые функции S(E) имеют

возбуждениям — правило сумм Икеды (Ikeda sum

непрерывный резонансный характер, и они норми-

rule) [30] — и суммирование идет по всем изобари-

ровались, как в [27], согласно правилу сумм для

GT-переходов:

ческим GT^±-состояниям:

ΣB_i(GT^-) - ΣB_i(GT⁺) =

(4)

ΣM2i = ΣB_i(GT) = q[3(N - Z)] =

(3)

= S_β- - S_β+ = 3(N - Z).

∫

= e2q[3(N - Z)] ≈

S(E)dE = I(E_max).

Здесь B_i(GT^-) и B_i(GT⁺) — квадраты матричных

элементов (см. (3)) GT-переходов с уменьшени-

ем и увеличением изоспина, т.е. в данном случае

Здесь E_max — максимальная энергия, учитыва-

переходов Mo → Tc (GT^-) и Mo → Nb (GT⁺)

емая в расчетах или в эксперименте, S(E) —

соответственно. Очевидно, что в нашем случае пе-

зарядово-обменная силовая функция. В настоящих

реходы Mo → Nb не реализуются и остается только

расчетах использовалось значение E_max = 20 МэВ

ΣB_i(GT^-) как в (3). Правило сумм (4) хорошо

для⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo, а в экспериментах E_max =

работает в легких ядрах, где существенны оба типа

= 18 [13] и E_max ≈ 19 МэВ [15] соответственно.

изобарических возбуждений [31, 32].

Параметр q < 1 в

(3) определяет quenching-

В теории конечных ферми-систем правило сумм

эффект и при q = 1, ΣM2i = ΣB_i(GT) = 3(N - для зарядово-обменных возбуждений перенорми-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

РЕЗОНАНСНАЯ СТРУКТУРА

183

∑B(GT)

E, МэВ

Рис. 6. Зависимость суммы ΣBi(GT) = Σ

изотопа⁹⁸Mo от значения энергии E, отсчитываемой в⁹⁸Tc. Кривые: 1 —

экспериментальные данные [13], 2 — наш расчет по ТКФС с eq = 0.90, 3 — наш расчет с eq = 0.80, 4 — максимальные

значения суммы ΣBi(GT) = q[3(N - Z)] c q = e^q = 0.9² = 0.81.

руется введением эффективного заряда квазича-

значения энергии E, отсчитываемой в¹⁰⁰Tc. Ситу-

стиц e_q [23], что связано с перенормировкой эф-

ация в данном случае сложнее, чем для⁹⁸Mo, так

фективного поля взаимодействующих квазичастиц

как имеются данные по двум экспериментам [14] и

ферми-жидкости по Л.Д. Ландау [33]. Эффектив-

[15], немного различающиеся между собой в плане

ный заряд не должен превышать единицу и, как

нормировки силовой функции S(E). Так, в рабо-

показал А.Б. Мигдал [34], общий перенормировоч-

те [14] получена сумма GT-матричных элементов

ный множитель a < 1 (q < 1). В нашем случае для

до энергии 18.8 МэВ, равная 34.56 или q = 0.72,

фермиевских переходов e_q(F) = 1, а для гамов-

или 72% от 3(N - Z) = 48, что на 7.5% больше,

теллеровских e_q(GT) = 1-2ζ_S (см. [23, с. 223]), где

чем для⁹⁸Tc [13], и соответствует значению e_q =

ζ_S > 0 — эмпирический параметр. Таким образом,

= 0.85, а в работе [15] нет данных по зависимости

в нашем случае Mo → Tc-переходов эффективный

B(GT) от E_x для всех представленных энергий и

заряд e_q = e_q(GT) является параметром, извлекае-

суммарное значение ΣB(GT) не приводится. Мы

мым из экспериментальных данных.

провели расчеты GT-силовой функции S(E) для

На рис. 6 представлена зависимость суммы

двух вариантов нормировки с e_q = 0.80 (q = e2q =

ΣB_i(GT) (3) для изотопа⁹⁸Mo от переменного

= 0.64) и с e_q = 0.85 (q = 0.723). Как видно из

значения энергии E, отсчитываемой в⁹⁸Tc. Как

рис. 7, два варианта расчетов хорошо описыва-

видно, экспериментальные данные лучше описы-

ют оба эксперимента и очевидно, что требуется

ваются расчетами со значениями эффективого за-

уточнение нормировки GT-силовой функции для

ряда e_q = 0.9 (q = 0.81), но в области энергий до

эксперимента [15] в области энергий до 20 МэВ,

14 МэВ более близкими к экспериментальным

отсчитываемых в изотопе¹⁰⁰Tc.

данным оказываются расчеты с e_q = 0.8 (q = 0.64).

Таким образом, для двух изотопов

⁹⁸Mo и

При б ´ольших энергиях кривая расчетов асимпто-

¹⁰⁰Mo получены близкие значения нормировки

тически стремится к значению q[3(N - Z)] = q42

GT-силовых функций или значений ΣB_i(GT) (см.

при q = e2q = 0.9² = 0.81 (81%).

(3)), от q = e2q = 0.64 (e_q = 0.80) до q = 0.81 (e_q =

На рис. 7 представлена зависимость суммы

= 0.90), что подтверждает наличие quenching-

ΣB_i(GT) (3) для изотопа¹⁰⁰Mo от переменного эффекта.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

184

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

∑B(GT)

E, МэВ

Рис. 7. Зависимость суммы ΣBi(GT) = Σ

изотопа¹⁰⁰Mo от значения энергии E, отсчитываемой в¹⁰⁰Tc. Обозна-

чения: 1 — наш расчет по ТКФС с eq = 0.80, 2 — экспериментальные данные [15], 3 — наш расчет с eq = 0.85, 4 —

экспериментальные данные [14], 5 — максимальные значения суммы ΣBi(GT) = q[3(N - Z)] c q = e^q = 0.80², 6 —

максимальные значения суммы ΣBi(GT) с q = e^q = 0.85².

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

экспериментальных данных по энергиям PR боль-

ше и составляют от 200 до 300 кэВ для рассматри-

В настоящей работе исследованы резонансные

ваемых изотопов.

структуры зарядово-обменных силовых функций

Принципиальное значение имеет нормировка

S(E) изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo. Проанализирова-

силовых функций, особенно для эксперименталь-

ны как экспериментальные данные по силовым

ных данных по зарядово-обменным реакциям, та-

функциям S(E), полученные в реакциях (p, n) и

ким как (p, n), (³He, t), (ν_e, e). Из эксперимен-

(³He, t), так и силовые функции S(E), рассчитан-

тальных данных эту нормировку бывает трудно

ные в самосогласованной теории конечных ферми-

получить в широком интервале энергий, хотя бы

систем. Исследована резонансная структура сило-

до 20 МэВ [15]. Как показано в настоящей работе,

вой функции S(E). Выделены три типа резонансов:

наблюдается недобор в правиле сумм, изменяющий

гамов-теллеровский (GTR), аналоговый (AR) и

эту нормировку или quenching-эффект (Q) как в

пигми-резонансы (PR); анализируются также рас-

экспериментальных данных, так и в теоретических

пады образующихся изотопов⁹⁸Tc (рис. 1) и¹⁰⁰Tc

расчетах. В настоящей работе мы исследовали

(рис. 2) с возможной эмиссией нейтрона с воз-

Q-эффект для изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo — и полу-

бужденных состояний с энергией, превышающей

чили близкие значения нормировки GT-силовых

энергию отрыва нейтрона — S_n в этих изотопах

функций или значений ΣB_i(GT) = ΣM2i (3). Так,

технеция.

для изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo расчетная сумма квад-

Результаты расчетов энергий GTR и AR резо-

ратов матричных элементов составляет от 64% до

нансов хорошо согласуются с экспериментальны-

81% соответственно от максимального значения

ми данными. Так, расхождения с расчетами для

3(N - Z), предсказываемого теорией, а для экс-

периментальных данных от 67% [13] до 72% [14]

изотопа 98Mo составляют ΔEGTR ∼ 150 кэВ и

ΔE_AR = 80 кэВ, а для изотопа¹⁰⁰Mo ΔE_GTR ∼

соответственно для⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo. Отметим, что

∼ 100 кэВ и ΔE_AR = 95 кэВ. Для расположенных

в других наших работах были получены похожие

ниже пигми-резонансов расхождения расчетных и значения для Q-эффекта, так, для изотопа⁷¹Ga,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

РЕЗОНАНСНАЯ СТРУКТУРА

185

используемого в нейтринных экспериментах, при

R. R. Doering, A. Galonsky, D. M. Patterson, and

суммировании до E_max = 15 МэВ в эксперименте

G. F. Bertsch, Phys. Rev. Lett. 35, 1691 (1975).

[35] было получено, что сумма (3) дает (60 ± 9)%

A. Galonsky, R. R. Doering, D. M. Patterson, and

G. F. Bertini, Phys. Rev. 14, 748 (1976).

от максимального значения, а расчет [3] дает 69%.

Ю. С. Лютостанский, Письма в ЖЭТФ 106, 9

Для изотопа¹²⁷I в эксперименте [36] при E_max =

(2017) [JETP Lett. 106, 7 (2017)].

= 20 МэВ (3) было получено q = 0.85 или 85% от

K. Pham, J. J ¨anecke, D. A. Roberts, M. N. Harakeh,

максимального значения правила сумм. Расчеты

G. P. A. Berg, S. Chang, J. Liu, E. J. Stephenson,

[37, 38] дали для изотопа¹²⁷I 81%, что соответству-

B. F. Davis, H. Akimune, and M. Fujiwara, Phys. Rev.

ет значению e_q = 0.90 (q = e2q = 0.81). Таким об-

C 51, 526 (1995).

разом, мы видим, что полученная величина суммы

10.

Ю. С. Лютостанский, В. Н. Тихонов, ЯФ 81, 515

(2018) [Phys. At. Nucl. 81, 540 (2018)].

ΣB_i(GT) изменяется от 64% до 81% для изотопов

11.

D. Verney, D. Testov, F. Ibrahim, Yu. Penionzhkevich,

⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo (что соответствует e_q = 0.80-0.90)

B. Roussiere, V. Smirnov, F. Didierjean, K. Flanagan,

и попадает в интервал значений от 60% до 85%

S. Franchoo, E. Kuznetsova, R. Li, B. Marsh, I. Ma-

(e_q = 0.77-0.92), полученных для других ядер. Это

tea, H. Pai, E. Sokol, I. Stefan, and D. Suzuki, Phys.

не противоречит более ранним значениям e_q = 0.8

Rev. C 95, 054320 (2017).

[39] и e_q ≈ 0.9 [4, 5], однако для других ядер требует

12.

Ю. С. Лютостанский, А. П. Осипенко, В. Н. Тихо-

уточнения.

нов, Изв. РАН. Сер. физ. 83, 539 (2019) [Bull. Russ.

Acad. Sci.: Phys. 83, 488 (2019)].

Резонансная структура силовой функции S(E)

13.

J. Rapaport, P. Welch, J. Bahcall, E. Sugerbaker,

имеет большое значение для расчета и анализа всех

T. N. Taddeucci, C. D. Goodman, C. F. Foster,

зарядово-обменных процессов, и для нас особенно

D. Horen, C. Gaarde, J. Larsen, and T. Masterson,

интересен процесс захвата нейтрино атомными яд-

Phys. Rev. Lett. 54, 2325 (1985).

рами [1-3].

14.

H. Akimune, H. Ejiri, M. Fujiwara, I. Daito, T. Ino-

Ранее были проведены расчеты сечения ней-

mata, R. Hazama, A. Tamii, H. Toyokawa, and

тринного захвата σ(E) для изотопа⁹⁸Mo [10, 12]

M. Yosoi, Phys. Lett. B 394, 23 (1997).

с учетом резонансной структуры силовой функции

15.

J. H. Thies, T. Adachi, M. Dozono, H. Ejiri,

D. Frekers, H. Fujita, Y. Fujita, M. Fujiwara,

S(E). Неучет высоколежащих резонансов приво-

E.-W. Grewe, K. Hatanaka, P. Heinrichs, D. Ishi-

дит к существенному недобору в сечении σ(E),

kawa, N. T. Khai, A. Lennarz, H. Matsubara, H. Oka-

что может повлиять и на интерпретацию экспери-

mura, et al., Phys. Rev. C 86, 044309 (2012).

ментальных данных. Влияние структуры силовой

16.

Дж. Бакал, Нейтринная астрофизика (Мир,

функции S(E) в процессе¹⁰⁰Mo(ν_e, e^-)¹⁰⁰Tc очень

Москва, 1993) [J. N. Bahcall, Neutrino Astro-

важно для анализа сечения нейтринного захвата

physics (Cambridge University Press, 1989)].

σ(E), особенно для солнечных нейтрино, дающих

17.

H. Ejiri, J. Engel, R. Hazama, P. Krastev, N. Kudomi,

вклад в фоновые процессы при двойном бета-

and R. G. H. Robertson, Phys. Rev. Lett. 85, 2917

распаде изотопа¹⁰⁰Mo [40, 41], и в ближайшее вре-

(2000).

18.

M. Wang, G. Audi, F. G. Kondev, W. J. Huang,

мя авторы планируют исследовать эти процессы.

S. Naimi, and Xing Xu, Chin. Phys. C 41, 030003

Авторы благодарны И.Н. Борзову, М.Д. Скоро-

(2017).

хватову, А.К. Выборову, И.Н. Изосимову, Л.В. Ин-

19.

A. Arima, Nucl. Phys. A 649, 260 (1999).

жечику, С.С. Семенову и В.В. Хрущеву за стимули-

20.

N. Nica, Nucl. Data Sheets 111, 525 (2010).

рующие дискуссии и помощь в работе.

21.

S. Rahaman, V. Elomaa, T. Eronen, J. Hakala,

Работа выполнена при частичной финансовой

A. Jokinen, J. Julin, A. Kankainen, A. Saastamoinen,

поддержке гранта Отделения нейтринных процес-

J. Suhonen, C. Weber, and J.

Ayst ¨o, Phys. Lett. B

сов и внутреннего гранта НИЦ “Курчатовский ин-

662, 111 (2008).

ститут” (приказ № 2767 от 28.10.2021).

22.

А. К. Выборов, Л. В. Инжечик, Г. А. Коротеев,

Ю. С. Лютостанский, В. Н. Тихонов, А. Н. Фазлиа-

хметов, Изв. РАН. Сер. физ. 83, 534 (2019) [Bull.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Russ. Acad. Sci.: Phys. 83, 483 (2019)].

1. D. Frekers and M. Alanssari, Eur. Phys. J. A 54, 177

23.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

(2018).

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1983)

2. Yu. S. Lutostansky, EPJ Web Conf. 194, 02009

[A. B. Migdal, Theory of Finite Fermi Systems and

(2018).

Applications to Atomic Nuclei (Nauka, Moscow,

3. Ю. С. Лютостанский, ЯФ 82, 440 (2019) [Phys. At.

1983, 2nd ed.; Interscience, New York, 1967, transl.

Nucl. 82, 528 (2019)].

1st ed.)].

4. Ю. В. Гапонов, Ю. С. Лютостанский, Письма в

24.

I. N. Borzov, S. A. Fayans, and E. L. Trykov, Nucl.

ЖЭТФ 15, 173 (1972) [JETP Lett. 15, 120 (1972)].

Phys. A 584, 335 (1995).

5. Ю. В. Гапонов, Ю. С. Лютостанский, ЯФ 19, 62

25.

Ю. С. Лютостанский, ЯФ 74, 1207 (2011) [Phys. At.

(1974) [Sov. J. Nucl. Phys. 19, 33 (1974)].

Nucl. 74, 1176 (2011)].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022

186

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

26. Ю. С. Лютостанский, ЯФ 83, 34 (2020) [Phys. At.

36. M. Palarczyk, J. Rapaport, C. Hautala, D. L. Prout,

Nucl. 83, 33 (2020)].

C. D. Goodman, I. J. van Heerden, J. Sowinski,

27. Yu. S. Lutostansky and N. B. Shul’gina, Phys. Rev.

G. Savopulos, X. Yang, H. M. Sages, R. Howes,

Lett. 67, 430 (1991).

R. Carr, M. Islam, E. Sugarbaker, D. C. Cooper,

28. Ю. В. Гапонов, Ю. С. Лютостанский, ЯФ 16, 484

K. Lande, et al., Phys. Rev. C 59, 500 (1999).

(1972).

37. Ю. С. Лютостанский, Г. А. Коротеев, Н. В. Клочко-

29. Ю. С. Лютостанский, В. Н. Тихонов, Изв. РАН.

ва, А. П. Осипенко, В. Н. Тихонов, А. Н. Фазлиа-

Сер. физ. 79, 466 (2015) [Bull. Russ. Acad. Sci.:

хметов, ЯФ 83, 208 (2020) [Phys. At. Nucl. 83, 391

Phys. 79, 425 (2015)].

(2020)].

30. K. Ikeda, S. Fujii, and J. I. Fujita, Phys. Lett. 3, 271

38. Ю. С. Лютостанский, Г. А. Коротеев, Н. В. Клочко-

(1963).

ва, А. П. Осипенко, В. Н. Тихонов, А. Н. Фазлиах-

31. I. N. Izosimov, Phys. Part. Nucl. Lett. 16, 754 (2019).

метов, Письма в ЖЭТФ 111, 723 (2020) [JETP Lett.

32. Igor Izosimov, EPJ Web Conf. 239, 02003 (2020).

111, 603 (2020)].

33. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 35, 97 (1958); Л. Д. Ландау,

39. Н. И. Пятов, С. А. Фаянс, ЭЧАЯ 14, 953 (1983).

Собрание трудов (Наука, Москва, 1969), т. 2,

40. H. Ejiri and S. R. Elliott, Phys. Rev. C 95, 055501

с. 363.

(2017).

34. А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 32, 399 (1957).

41. E. Armengaud, C. Augier, A. S. Barabash, F. Bellini,

35. D. Krofcheck, E. Sugarbaker, J. Rapaport, D. Wang,

G. Benato, A. Benoˆıt, M. Beretta, L. Berg ´e, J. Billard,

J. N. Bahcall, R. C. Byrd, C. C. Foster, C. D. Good-

Yu. A. Borovlev, Ch. Bourgeois, V. B. Brudanin,

man, I. J. Van Heerden, C. Gaarde, J. S. Larsen,

D. J. Horen, and T. N. Taddeucci, Phys. Rev. Lett. 55,

P. Camus, L. Cardani, N. Casali, A. Cazes, et al.,

1051 (1985).

arXiv: 2011.13243v2 [nucl-ex].

RESONANCE STRUCTURE OF THE CHARGE-EXCHANGE STRENGTH

FUNCTION OF MOLYBDENUM ISOTOPES 98 AND 100

Yu. S. Lutostansky¹⁾, G. A. Koroteev^1,2,3), A. Yu. Lutostansky¹⁾, A. P. Osipenko¹⁾,

V. N. Tikhonov¹⁾, A. N. Fazliakhmetov^1,2,3)

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

²⁾Moscow Institute of Physics and Technology, MIPT (National Research University),

Moscow, Russia

³⁾Institute for Nuclear Research of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

The work presents the charge-exchange strength functions S(E) of98,100Mo isotopes. We analyzed both

the experimental data on the strength functions S(E) obtained in the reactions (p, n) and (³He, t) and the

strength functions S(E) calculated in the self-consistent theory of finite Fermi systems. The resonance

structure of the strength function S(E) is investigated, the Gamow-Teller, analog and pygmy resonances

are distinguished. We investigate quenching — the effect that the shortfall in the sum rule changes the

normalization of S(E) function. It is noted that the resonance structure of the strength function S(E) is of

decisive importance for calculating and analyzing the process of neutrino capture by atomic nuclei.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№3

2022