ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 4, с. 259-272

ЯДРА

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

Лаборатория теоретической физики им. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований,

Дубна, Россия

Поступила в редакцию 16.12.2021 г.; после доработки 16.12.2021 г.; принята к публикации 14.02.2022 г.

В недавней статье [1] авторы пришли к заключению, что низколежащие 1⁺-состояния в деформиро-

ванных ядрах должны быть интерпретированы как спин-флип-возбуждения, а не спиновые ножницы.

В настоящей работе объясняется, что спиновые ножницы и спин-флип — это разные названия одного

и того же физического явления.

DOI: 10.31857/S0044002722040043

1. ВВЕДЕНИЕ

SVbas и SG2. Целью этой статьи было (как декла-

рировали авторы) “тщательно исследовать WFM-

Идея движений ножничного типа в деформи-

предсказание SSR (Spin Scissors Resonans = Ре-

рованных ядрах была высказана Р. Хилтоном в

зонанс Спиновые Ножницы (РСН)) с микроскопи-

ческой точки зрения”.

1976 г. [2]. Имелись в виду вращательные ко-

лебания протонов относительно нейтронов напо-

Суммарные B(M1)-величины в изотопах Dy

добие ножниц (орбитальные или конвенциональ-

и в²³²Th оказались весьма близки к таковым,

ные ножницы). Позже стало понятно, что можно

найденным с помощью WFM (Wigner Function

представить аналогичные колебания любой пары

Moments = Моменты Функции Вигнера (МФВ))

составных частей ядра (протоны и нейтроны с

метода [4]. В Dy даже распределения M1-силы по

проекцией спина “вверх” и “вниз”) относитель-

областям энергий 0-2.4 МэВ и 2.4-4 МэВ получи-

но другой пары. Таким образом, были предска-

лись довольно похожими в случае SKM^∗-сил, см.

заны еще две разновидности ядерных возбужде-

табл. 1. Экспериментальные величины суммарных

ний ножничного типа [3, 4], которые были на-

B(M1) = 5.52 μ2N для¹⁶⁴Dy в табл. 1 отлича-

званы спиновыми ножницами: вращательные ко-

ются от соответствующих величин, приведенных

лебания всех спин-вверх-нуклонов относитель-

в табл. 4 работы [1] (B(M1) = 6.17 μ2N), потому

но всех спин-вниз-нуклонов (простые спиновые

что мы учитываем только уровни [5] с известной

ножницы) и вращательные колебания спин-вверх-

четностью и отношением R_expt <

1. Суммарная

протонов вместе со спин-вниз-нейтронами относи-

величина B(M1) = 5.77 μ2N для²³²Th, найденная

тельно спин-вниз-протонов вместе со спин-вверх-

нейтронами (сложные спиновые ножницы). Более

WFM-методом, очень близка к 5.23 μ2N и 4.92 μ2N ,

точно эти три типа ядерного коллективного дви-

полученным в [1] с силами SVbas и SG2 соответ-

жения можно классифицировать следующим об-

ственно (см. табл. 7 в [1]).

разом: 1) изовекторные спин-скалярные ножни-

Таким образом, ситуацию с объективными дан-

цы (орбитальные, конвенциональные), 2) изоска-

ными можно считать неплохой. Она подкрепля-

лярные спин-векторные ножницы (простые спино-

ет предположение [1]: “Вероятно, предсказанный

вые) и 3) изовекторные спин-векторные ножницы

SSR может быть каким-то образом связан со

(сложные спиновые).

спин-флип-возбуждениями в нейтронных и про-

тонных спектрах”. Совершенно верно! Соотноше-

Низколежащие 1⁺-состояния ядер160,162,164Dy

ние, связывающее WFM-переменные с матричны-

и²³²Th были рассмотрены недавно в [1]. Расче-

ми элементами переходов в RPA, было выведено в

ты были выполнены в рамках самосогласованного

[6] с помощью теории линейного отклика [7]:

QRPA (Quasiparticle Random Phase Approximation

X^τλμ(t) =

(1)

= Квазичастичное Приближение Случайных Фаз

(

(КПСФ)) метода, используя силы Скирма SKM*,

∑

〈0

X^τλμ|ν〉〈ν|Ŵ|0〉

ℏ(Ω - Ω_ν )

^*E-mail: balbuts@theor.jinr.ru

ν=1

259

260

БАЛЬБУЦЕВ

Таблица 1. M1-сила (в единицах μ2N ), просуммирован-

Токи ножничной моды и Гигантского Квадру-

ная в различных интервалах энергий в работах [1] и [4]

польного Резонанса (ГКР) анализировались в рам-

ках WFM-метода в работах [4, 11]. Ток определя-

ется как

0-2.4 МэВ 2.4-4 МэВ 0-4 МэВ Эксп.

∫

d³p

¹⁶⁰Dy [1]

1.32

4.85

6.16

2.42

J^ςi(r,t) =

p_if^ς(r,p,t).

(3)

(2πℏ)³

[4]

1.84

3.35

5.19

Изоспиновый индекс опущен для простоты. Со-

¹⁶²Dy [1]

1.80

4.63

6.44

3.45

гласно приближению, предложенному в [12, 13],

[4]

1.80

3.58

5.38

вариация тока представляется в виде ряда

¹⁶⁴Dy [1]

2.11

3.94

6.05

5.52

δJ^ςi(r,t) = n⁺(r)[K^ςi(t) +

∑

[4]

1.76

3.80

5.56

(-1)^j K^ςi,-j(t)r_j +

)

⎤

〈0|Ŵ |ν〉〈ν

X^τλμ|0〉

∑

e-iΩt,

ℏ(Ω + Ω_ν )

(-1)μ′ Kςi,λ′-μ′(t){r⊗r}λ^′μ^′ +...⎦,

λ^′,μ^′

где X^τλμ(t) есть любая из WFM коллективных

где n⁺(r) = np+(r) + nn+(r) есть ядерная плот-

переменных, которая по определению является

ность. Все члены ряда, содержащие коэффициенты

вариацией среднего значения оператораXτλμ,^Ŵ —

K с нечетным числом индексов, исчезают благо-

внешнее поле,

〈0

X^τλμ|ν〉 и

〈0|Ŵ |ν〉 есть RPA

даря аксиальной симметрии. Далее мы обрываем

матричные элементы, N_c — число RPA-состояний,

ряд, опуская все члены, генерирующие моменты

четвертого и выше порядков. Так что окончательно

τ — изоспин.

используется следующее выражение:

Сравнивая результаты расчетов QRPA- и

∑

WFM-методами, авторы работы

[1] подняли

δJ^ςi(r,t) = n⁺(r)

(-1)^j K^ςi,-j(t)r_j .

(4)

несколько интересных проблем и вопросов, кото-

рые будут обсуждены в этой работе.

Для конкретных значений индексов i имеем:

(

)

2. ТОКИ

δJς1

=n⁺ Kς1,0r₀ -Kς1,-1r₁ -K^ς

r-1

1,1

Ножничная мода является магнитным диполь-

(

)

ным возбуждением с квантовыми числами K^π =

δJς0

=n⁺ Kς0,0r₀ -Kς0,-1r₁ -K^ς

r-1

0,1

= 1⁺. Такие возбуждения были предсказаны теоре-

(

)

тически [2, 8] и обнаружены экспериментально [9]

δJς-1

=n⁺ Kς-1,0r₀ -Kς-1,-1r₁ -K^ς

r-1

-1,1

в интервале энергий 2-4 МэВ. Чтобы убедиться,

что эти возбуждения действительно имеют нож-

Коэффициенты K^ςi,-j(t) связаны линейными со-

ничную природу, необходимо построить соответ-

отношениями (см. приложение A) с коллектив-

ствующие токи или (и) вычислить угловые моменты

ными переменными L^ςλμ(t) (вариации переменных

всех четырех составляющих возбужденного ядра.

L^ςλμ(t)). Принимая во внимание, что в рамках

Это может быть сделано довольно легко в рам-

ках WFM-метода, где требуемые угловые момен-

рассматриваемой здесь проблемы Lςλ0 = Lςλ2 = 0,

ты входят в число коллективных переменных, ис-

находим

пользуемых для решения TDHFB (Time Dependent

δJς1 = n⁺α₁ (Lς21 - Lς11)r₀,

Hartree Fock Bogoliubov = Зависящий от Времени

[(

)

δJς0 = n⁺α₂

Lς2-1 - Lς1-1

r₁ +

Хартри-Фок-Боголюбов (ЗВХФБ)) уравнений [3,

4]. Необходимой переменной является

+ (Lς21 + Lς11)r-1] ,

∫

(

)

δJς-1 = n⁺α₁

Lς2-1 + Lς1-1

r₀,

L^τςλμ(t) = d(p,r){r ⊗ p}_λμf^τς(r,p,t),

(2)

√

где α_i =

3/(

2A_i) и A_i определены в (П.2).

которая представляет собой угловой момент при

Выражения для токов в декартовых координатах

λ = 1. Здесь τ и ς — индексы изоспина и спина, r и

записываются следующим образом:

p— координата и импульс нуклона, а {r ⊗ p}_λμ —

√

их тензорное произведение

[10]. f^τς (r, p, t) —

δJ^ςx = (δJς-1 - δJς1)/

функция Вигнера [11], ς = +, - и f⁺ = f^↑↑ + f^↓↓,

(

)

∫

√

n⁺α₁

Lς2-1 - Lς21 + Lς1-1 + Lς11

f^- = f^↑↑ - f^↓↓,

d(p, r) ≡ (2πℏ)-3

d³p

d³r.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

261

√

δJ^ςy = i(δJς-1 + δJς1)/

можно построить следующий индикатор, характе-

ризующий определенные ножницы, например, кон-

(

)

√

n⁺α₁

Lς2-1 + Lς21 + Lς1-1 - Lς11

венциональные:

AB(аб) = [A² + B²](а) + [A² + B²](б).

(7)

δJ^ςz = δJς0 =

Два слагаемых в этой формуле характеризуют два

[(

)

=n⁺α₂

Lς21 - Lς2-1 + Lς11 + Lς1-1

“лезвия” ядерных ножниц: “лезвие” (a) и “лез-

вие” (б). Аналогичные величины AB(вг) и AB(де)

]

(

)

строятся также для спиновых ножниц. Согласно

√

Lς21 + Lς2-1 + Lς11 - Lς1-1

y .

рис. 1, 2, 3 в конвенциональных ножницах роль

“лезвия” (a) отведена протонам, а “лезвия” (б) —

Согласно определению Lς2-1 = Lς21 и Lς1-1 =

нейтронам; в простых спиновых ножницах роль

= -Lς11. Отсюда имеем:

“лезвия” (в) играют спин-вверх-нуклоны, а “лез-

δJ^ςx = 0,

(5)

вия” (г) — спин-вниз-нуклоны; в сложных спи-

√

новых ножницах роль “лезвия” (д) играют спин-

вверх-протоны вместе со спин-вниз-нейтронами,

δJ^ςy = -i

³n+ (Lς11 - Lς21)z,

A₁

а “лезвия” (е) — спин-вниз-протоны вместе со

√

спин-вверх-нейтронами.

δJ^ςz = -i

³n+ (Lς11 + Lς21)y.

После нормализации все три величины (AB(аб),

A₂

AB(вг) и AB(де)) трансформируются в проценты,

Этот результат весьма примечателен. Первое урав-

которые показаны в табл. 2 вместе с соответству-

нение δJ^ςx = 0 говорит, что все движения происхо-

ющими значениями A и B. Простой анализ этой

дят только в двух измерениях, т.е. в одной плоско-

таблицы позволяет заключить, что:

сти. Очевидно, это одно из свойств ножниц. Другое

очевидное и необходимое свойство ножниц есть

1. возбуждение с E = 2.20 МэВ представляет

ротационное движение в противофазе их составных

преимущественно (51%) сложные спиновые

частей. Это свойство должно демонстрироваться

ножницы (рис. 1д, 1е) с довольно сильной

картинками токов (см. рис. 1, 2, 3, построенные

примесью (47%) простых спиновых ножниц

с помощью уравнений (5)). Чтобы найти требу-

(рис. 1в, 1г),

емые величины Lς11 и Lς21, в работе [4] TDHFB

уравнения были решены WFM-методом для¹⁶⁴Dy.

2. возбуждение с E = 2.87 МэВ представляет

Решение дает три низколежащих магнитных со-

преимущественно (54%) простые спиновые

стояния со следующими энергиями и магнитными

ножницы (рис. 2в, 2г) с довольно большой

силами: E₁ = 2.20 МэВ, B₁(M1) = 1.76 μ2N , E₂ =

примесью (32%) конвенциональных ножниц

= 2.87 МэВ, B₂(M1) = 2.24 μ2N , E₃ = 3.59 МэВ,

(рис. 2а, 2б),

B₃(M1) = 1.56 μ2N. Линии токов J^ςτ для каждого

3. возбуждение с E = 3.59 МэВ представляет

типа нуклонов (спин-вверх- и спин-вниз-протоны

преимущественно (62%) конвенциональные

и нейтроны) были рассчитаны в [4] для всех трех

ножницы (рис. 3а, 3б) с довольно сильной

возбуждений. Их комбинации, соответствующие

примесью (31%) сложных спиновых ножниц

всем возможным типам ядерных ножниц, показаны

(рис. 3д, 3е).

на рисунках 1-3.

Прежде всего видно, что ни одно из трех M1-

Специальный комментарий требуется к рис. 1а, 1б,

возбуждений нельзя отождествить с каким-либо

где оба тока направлены в одну сторону, создавая

одним видом ядерных ножниц, перечисленных во

впечатление, что полный угловой момент не равен

введении — оказывается, что каждое возбуждение

нулю (как должно бы быть). На самом деле нулевое

является смесью всех трех возможных ножниц.

значение полного углового момента сохраняется

Тем не менее можно произвести приблизитель-

посредством компенсирующего движения спинов.

ную идентификацию. Необходимо ввести какую-

Фактически мы наблюдаем здесь колебания спи-

то численную меру вклада каждого типа ножниц

на относительно орбитального углового момента.

в отдельное возбуждение. Вводя обозначения (см.

Очень интересное и необычное движение! Только

уравнения (5))

вес этой конфигурации очень мал (1.75%).

√

Можно вывести аналитическое выражение для

A^ς = -i

(Lς11 + Lς21) ,

(6)

A₂

линий тока [11], введя поле инфинитезимальных

√

(r, t):

смещений ξ^ςi

B^ς = -i

(Lς11 - Lς21) ,

A₁

δJ^ςi(r,t) = mn⁺(r)δu^ςi (r,t),

(8)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

263

Таблица 2. Силы (амплитуды) токов в¹⁶⁴Dy; β = -B/A

Вводя обозначения a^ς = (A^ς - B^ς )/2 и b^ς =

= (A^ς + B^ς )/2, можно записать поле смещений в

виде суперпозиции ротационной и неротационной

E, МэВ (i) B (10-2) A (10-2)

компонент:

2.20

(а)

0.75

-0.47

1.75

1.60

δJ^ς = n⁺ [b^ς (e_yz + e_zy) - a^ς (e_yz - e_zy)] =

(б)

0.51

-0.18

2.79

(13)

(в)

-1.46

2.77

47.29

0.53

= n+ [a^ς [e_x × r] + b^ς∇(yz)],

(г)

2.72

-3.42

0.79

причем

(д)

2.87

-3.50

50.95

0.82

Lς11 (1 + δ/3) + δLς21

a^ς = 3i

(14)

Q₀₀ (1 - 2/3δ) (1 + 4/3δ)

(е)

-1.61

2.85

0.57

Lς21 (1 + δ/3) + δLς11

2.87

(а)

1.99

-2.44

31.90

0.82

b^ς = 3i

Q₀₀ (1 - 2/3δ) (1 + 4/3δ)

(б)

-2.94

4.00

0.74

с параметром деформации δ. Определение Q₀₀ дано

(в)

2.90

-3.32

53.71

0.87

в приложении А. Как видно из (13), (14), ро-

(г)

-3.85

4.89

0.79

тационная компонента определяется главным об-

разом величиной проекции орбитального углового

(д)

1.22

-1.24

14.39

0.99

момента Lς11, тогда как неротационная компонента

(е)

-2.17

2.80

0.78

определяется в основном величиной Lς21.

3.59

(а)

11.57

-12.14

61.55

0.95

(б)

-8.17

15.05

0.54

3. СПИН-ФЛИП

(в)

-1.87

5.75

7.76

0.33

Рассмотрим основные положения статьи [1].

(г)

5.27

-2.84

1.86

Во-первых, их замечание “...WFM-интерпрета-

ция спиновых состояний низкой энергии в тер-

(д)

-5.95

10.39

30.69

0.57

минах порожденных деформацией ножничных

(е)

9.35

-7.48

1.25

осцилляций является сомнительной” просто невер-

но. Конечно, мы рассматриваем деформированные

ядра, но это не значит, что спиновые ножницы по-

∂ξ^ςi(r,t)

δu^ςi (r,t) =

= iΩ ξ^ςi (r, t).

рождаются деформацией. Детальный анализ раз-

∂t

личных свойств этой моды был дан в [3], где мы

впервые ввели такой тип ядерного коллективно-

Здесь положена зависимость от времени eiΩt. Имея

го движения. Там было показано, что спиновые

в виду, что ξ^ςi (r, t) ≡ dx_i, можно написать

ножницы генерируются спин-орбитальной частью

δJ^ςy

ξ^ςy

среднего поля. Анализ был продолжен в работе

(9)

[14], где было обнаружено сильное влияние анти-

ξ^z

ферромагнитных свойств ядра на вероятность воз-

С помощью уравнений (5) и (6) находим, что

буждения спиновых ножниц. Зависимость энергий

E и вероятностей возбуждения B(M1) спиновых и

δJ^ςy

B^ςz

(10)

орбитальных ножниц от силы спин-орбитального

A^ςy

потенциала показана на рис. 4, заимствованном из

В результате получаем следующее дифференци-

работы [14].

альное уравнение для линий тока:

Далее, цитируем: “... наши расчеты показыва-

ют, что низколежащие спиновые состояния воз-

B^ςz

-→

(11)

никают из-за спин-орбитального расщепления и,

A^ςy

следовательно, могут существовать даже в сфе-

рических ядрах.” Чтобы быть более точным, они

-→ y dy -

z dz = 0.

возникают из-за спин-орбитального потенциала,

A^ς

который ведет к спин-орбитальному расщеплению

Интегрируя это уравнение, находим

в среднем поле (см., например, схему Нильссона).

Действительно, такое расщепление существует как

y² + β^ςz² = const,

(12)

в деформированных, так и в сферических ядрах.

где β^ς = -B^ς /A^ς . В зависимости от знака β^ς линии

Однако совсем не очевидно, что то же самое бу-

тока будут либо эллипсами, либо гиперболами.

дет справедливо для коллективных возбуждений,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

265

появляющихся благодаря спин-орбитальной части

Различные определения ведут к различной ин-

среднего поля. Чтобы проверить это утверждение,

терпретации экспериментальных данных. Рассмот-

мы исследовали зависимость всех трех ножниц

рим хорошо известную ситуацию с двумя группа-

от деформации ядра. Результаты наших расчетов

ми 1⁺-состояний, наблюдаемых в¹⁶⁴Dy. Согласно

демонстрируются на рис. 5. Как видно, ни одна из

экспериментальным данным из [5] суммарная M1-

трех ножничных мод не сохраняет своих магнитных

сила выше 2.7 МэВ дает B(M1) = 3.85 μ2N и ниже

свойств при δ = 0. Вероятности магнитных воз-

2.7 МэВ дает B(M1) = 1.67 μ2N . Из-за трудностей

буждений всех ножниц убывают вместе с уменьше-

с определением четности возбужденных дипольных

нием деформации. B(M1)-величины конвенцио-

состояний в работе [19] было решено относить

нальных и простых спиновых ножниц обращаются

к OSR (Orbital Scissors Resonance = Резонанс

в нуль уже при δ ≃ 0.165, тогда как B(M1) слож-

Орбитальные Ножницы (РОН)) только состояния,

ных спиновых ножниц достигает нулевого зна-

расположенные в интервале энергий 2.7 < E <

чения при δ ≃ 0.135. При меньших деформациях

< 3.7 МэВ для Z < 68. Поэтому нижняя группа не

уравнение (П.4) не имеет решений. Электрические

была включена в их систематику OSR. В другой

свойства ножниц также убывают с уменьшени-

систематике [20] интервал энергий был расширен

ем деформации: B(E2) конвенциональных ножниц

до 2.5 < E < 4 МэВ, но нижняя группа была снова

падает от 4.4 W.u. при δ = 0.26 до 0.68 W.u. при

опущена в порядке исключения.

δ = 0, тогда как B(E2) сложных спиновых ножниц

Дополнительный аргумент не учитывать ниж-

падает от 3.3 W.u. при δ = 0.26 до нуля при δ =

нюю группу [19]: “существование низколежащих

= 0. B(E2) простых спиновых ножниц изменяется

двухквазичастичных возбуждений около 2.5 МэВ,

от пренебрежимо малого начального значения 0.3

установленное в эксперименте по передаче частиц

W.u. при δ = 0.26 к точному нулю при δ = 0.

[21] на ядре¹⁶⁴Dy”.

Таким образом, предположение авторов [1] не

Необходимо сказать о еще одной возможной

подтверждается WFM-расчетами: спиновые нож-

причине (не упомянутой в [19] и [20]) исключить

ницы (так же, как и орбитальные) не существуют в

нижнюю группу из OSR-систематики. Имеются

сферических ядрах. Было бы интересно проделать

в виду спин-флип-возбуждения, обнаруженные в

аналогичные расчеты RPA-методом.

¹⁶⁴Dy [22]: B_σ(M1) = 0.38 μ2N при E = 2.53 МэВ,

Другое утверждение “... несколько состояний

B_σ(M1) = 0.34 μ2N при E = 2.66 МэВ и B_σ(M1) =

при E < 2.4 МэВ показывают заметную спиновую

= 0.50 μ2N при E = 3.14 МэВ. Спиновый вклад

силу ... Следуя предсказаниям [25-29], эти состоя-

при E = 3.14 МэВ был вычтен в обоих OSR-

ния являются кандидатами в SSR” требует некото-

систематиках [19, 20]. Таким образом, для OSR-

рого пояснения (при цитировании сохранены ори-

силы было найдено B(M1) = 3.18 μ2N в [19] и

гинальные номера ссылок — в настоящей работе

B(M1) = 3.25 μ2N в [20].

им соответствуют номера [15-17, 3, 18]). Нужно

отметить, что существует принципиальная разница

Статья [1]: “Однако, следуя нашим результа-

между нашим определением орбитальных и спино-

там на рис. 3, состояния при 2.4-2.7 МэВ да-

вых возбуждений и таковым статьи [1]. Наши опре-

ют главным образом орбитальные M11-переходы

деления: 1) орбитальные ножницы — ротационные

и должны таким образом также принадлежать к

колебания протонов относительно нейтронов, 2)

OSR. Они опущены в OSR-систематике с нижней

простые спиновые ножницы — ротационные ко-

границей 2.7 МэВ [19], но учтены для нижней

лебания всех спин-вверх-нуклонов относительно

границы 2.5 МэВ [20]”.

всех спин-вниз-нуклонов, 3) сложные спиновые

Во-первых, утверждение о статье [20] просто

ножницы — ротационные колебания спин-вверх-

неверно: вклад состояний при 2.4-2.7 МэВ не

протонов вместе со спин-вниз-нейтронами относи-

учитывается в этой работе. Далее, согласие между

тельно спин-вниз-протонов вместе со спин-вверх-

расчетом и экспериментальными данными слиш-

нейтронами.

ком плохое, чтобы делать такие категорические вы-

Определение [1] связано с вкладом соответству-

воды. Даже общее распределение M1-силы проти-

ющей части внешнего поля (магнитный дипольный

воречит экспериментальной ситуации: сила нижней

оператор) в B(M1) рассматриваемого возбужде-

группы рассчитанных уровней больше, чем сила

ния: оно называется орбитальным возбуждением,

верхней группы! Вывод “... состояния при 2.4-

если вклад орбитальной части больше, чем вклад

2.7 МэВ дают главным образом орбитальные M11-

спиновой части, и оно называется спиновым воз-

переходы ...” весьма сомнителен из-за очень силь-

буждением в противоположном случае. Мы счи-

ной конструктивной интерференции, что говорит

таем такое определение не очень надежным ввиду

об огромном влиянии спиновых степеней свободы

сильной (иногда очень сильной) интерференции

(независимо от величины вклада спиновой части

спинового и орбитального вкладов.

магнитного дипольного оператора). Более того, это

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

267

3.8

¹⁶⁴Dy

3.6

3.4

3.2

3.0

2.8

K_s = 0

K_s = 92

0.02

0.04

0.06

0.08

κ_Nils

Рис. 4. Энергии E и B(M1)-величины как функции константы спин-орбитального потенциала κ_Nils. Учтены парные

корреляции. Ks — константа спин-спинового взаимодействия.

утверждение очевидно противоречит эксперимен-

(простые и сложные спиновые ножницы) и 32%

тальному результату Фрекерса и др. [22], цитиро-

орбитальной природы (конвенциональные ножни-

ванному выше.

цы). Таким образом, естественно ожидать, что в

случае расщепления этих двух уровней энергети-

Согласно нашим результатам (см. разд. 2) об-

ческий интервал между ними будет заполняться в

ласть энергий 2.4-2.7 МэВ имеет в основном спи-

основном возбуждениями спиновой природы.

новый характер. Как видно, возбуждение с E =

= 2.2 МэВ имеет чисто спиновую природу (смесь

3.1. Спиновые ножницы или спин-флип?

простых и сложных спиновых ножниц). С дру-

гой стороны, возбуждение с E = 2.87 МэВ име-

Исходя из результатов их расчетов, авторы [1]

ет смешанную структуру: 68% спиновой природы приходят к выводу:

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

268

БАЛЬБУЦЕВ

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Рис. 5. Энергии E, B(M1)- и B(E2)-величины низколежащих 1⁺-состояний как функции деформации ядра δ. Кривая

1 — конвенциональныеножницы, кривая 2 —простые спиновые ножницы,кривая 3 — сложные спиновые ножницы.

“... так называемые SSR-состояния в действи-

личными уровнями (частично-дырочные возбужде-

тельности являются обычными неколлективными

ния). С другой стороны, WFM оперирует с различ-

спин-флип-возбуждениями.”

ными моментами ядра (моменты второго порядка

Здесь мы имеем дело с простым недоразу-

в нашем случае: угловой момент и квадрупольные

мением. Следует напомнить, что разные методы

моменты в пространствах координат и импульсов;

решения любой проблемы (TDHFB-уравнения в

их определения можно найти в работе [4]). Оба ме-

нашем случае) используют, как правило, разные

тода дают несколько 1⁺-состояний с очень близки-

“инструменты” и разные языки. Фактически спино-

ми величинами суммарной M1-силы (см. табл. 1).

вые ножницы и спин-флип — это разные названия

Некоторая часть этой силы появляется благодаря

одного и того же физического явления. Действи-

спин-орбитальному потенциалу. Очевидно, с мик-

тельно, RPA имеет дело с переходами между раз-

роскопической точки зрения (RPA) это переходы

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

269

между спин-орбитальными партнерами (т.е. спин-

предсказанием. Картина токов в²³²Th неотличима

флип). В макроскопическом подходе (WFM) она

от таковой в¹⁶⁴Dy. Внутренняя структура трех

интерпретируется как контрвращение спин-вверх-

рассчитанных возбуждений также очень близка к

нуклонов относительно спин-вниз-нуклонов (т.е.

соответствующей структуре в¹⁶⁴Dy (см. табл. 2).

спиновые ножницы), потому что здесь она генери-

руется контросцилляциями их орбитальных угло-

вых моментов.

3.3. О приложении “B” в [1]

Кстати, переходы между спин-орбитальными

1. [1]: “WFM работает с коллективными пере-

партнерами представляют собой только частный

менными и идентифицирует спиновые состояния

случай среди всех возможных переходов. Можно

в основном по усиленным B(M1) и ослабленным

вспомнить, например, что с микроскопической точ-

B(E2),...”.

ки зрения конвенциональные (орбитальные) нож-

ницы генерируются переходами между некоторы-

Настоящая процедура идентификации каждого

ми уровнями внутри одной главной оболочки (т.е.

низколежащего возбуждения подробно описана в

[4], глава V.C, и не имеет ничего общего с цитиро-

ΔN = 0). В ножничноподобной природе рассмат-

риваемого возбуждения можно убедиться, постро-

ванным выше утверждением.

ив картинку токов или вычислив орбитальные угло-

[1]: “WFM совсем не воспроизводит M1

вые моменты всех четырех компонент (спин-вверх-

Гигантский Спин-Флип-Резонанс (ГСФР), что де-

и спин-вниз-протоны и нейтроны) возбужденного

лает сомнительной точность WFM-описания спин-

ядра. Линии токов уже построены в WFM-подходе

флип-состояний.”

[4] — они воспроизведены здесь на рис. 1-3. Угло-

На самом деле имеется множество явлений в

вые моменты входят в число переменных метода —

ядерной физике, которые не воспроизведены в

это переменные Lτ1μ(t), определенные в форму-

[4]. И почему именно ГСФР? Потому что в RPA

ле (2).

он появляется одновременно с низколежащими

возбуждениями? Но в WFM-подходе это не так.

Работа [4] посвящена изучению триады ядерных

3.2. M1-сила в²³²Th

ножниц. Описание ГСФР методом WFM требует

отдельного исследования.

Представляя свои результаты для²³²Th, авторы

3. Замечание “хорошее согласие WFM-резуль-

[1] написали, что “Для SG2 получено замечатель-

татов с экспериментальными данными выглядит

ное согласие между распределением полной силы и

сомнительным”, поскольку

“параметры WFM-

экспериментальными данными.”

гамильтониана взяты из различных источников”

Это утверждение выглядит довольно странно,

ошибочно. Источник один — книга П. Ринга и П.

поскольку суммарная M1-сила верхней группы

Шука [7]. Выбор параметров обсуждается в главе

уровней больше, чем таковая нижней группы, что

V.А статьи [14].

противоречит экспериментальному распределе-

4. [1]: “Макроскопическая картина SSR была

нию. После этого их заключительный вывод, что

предложена по аналогии с OSR-схемой, разрабо-

“эти две группы объясняются не разделением

танной в двухроторной модели.”

SSR- и OSR-мод (как получается в WFM-

подходе), а скорее тонкой структурой одного

Это неверно. Картина SSR была предложена по

OSR”, звучит неубедительно.

аналогии с идеей Хилтона [2] о ротационных ко-

лебаниях протонов относительно нейтронов. Зна-

Здесь будет полезно напомнить результаты

менитая картинка ядерных ножниц используется

WFM-расчетов. Решение TDHFB-уравнений для

только для иллюстрации.

²³²Th дает три низколежащих магнитных состояния

5. [1]: “WFM-расчеты не предложили до сих пор

со следующими энергиями и магнитными силами:

каких-либо специфических измеримых признаков,

E₁ = 1.53 МэВ, B₁(M1) = 1.7 μ2N, E₂ = 2.21 МэВ,

оправдывающих введение картины спиновых нож-

B₂(M1) = 2.55 μ2N, E₃ = 2.81 МэВ, B₃(M1) =

ниц.”

= 1.51 μ2N . Как видно на рис. 6, второе и третье

Мы предложили самые надежные “измеримые

состояния очень хорошо воспроизводят центроиды

признаки”: энергии и B(M1)-факторы, которые

энергий и суммарные B(M1) нижней и верхней

очень хорошо согласуются с экспериментальными

групп наблюдаемых 1⁺-возбуждений. Суммарная

данными. А ножничная интерпретация подтвер-

M 1-сила этих двух уровней B(M1) = 4.07 μ2N и их

ждается картинками токов.

центроид энергий E = 2.43 МэВ практически сов-

6. Утверждение

“SSR выглядит как двух-

падают с соответствующими экспериментальными

ступенчатый процесс, включающий спин-флип-

данными B_exp(M1) = 4.26 μ2N и E_exp = 2.49 МэВ.

возбуждение плюс орбитальные осцилляции”

Нижайший рассчитанный уровень E₁ является

ошибочно (см. объяснение в разд. 3.1).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

270

БАЛЬБУЦЕВ

B(M1)↑, μ_N

²³²Th

²³⁶U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

E, МэВ

Рис. 6. Центроиды экспериментально наблюдаемых спектров 1⁺-возбуждений в²³²Th (a) и²³⁶U (б) (черные

прямоугольники с символами ошибок) сравниваются с результатами WFM-расчетов (белые прямоугольники).

7. [1]: “... токи для OSR, SSR-I и SSR-II на

Этот вывод противоречит нашему анализу

рис. 9-11 работы [4] выглядят одинаковыми (с

²³²Th, особенно предсказанию чисто спиновых

точностью до направления движения).”

ножниц (см. разд. 3.2).

Токи SSR и OSR выглядят одинаковыми, по-

2. [1]: “Наши расчеты показали, что нижайшие

тому что смещения бесконечно малы. Более того,

1+-состояния в160,162,164Dy действительно имеют

главный смысл этих картинок состоит именно в

спин-флиповую природу. Однако они расположе-

“направлении движения”.

ны при E ≤ 2.4 МэВ, т.е. ниже наблюдаемых со-

стояний...”.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Возможно, имеются какие-то проблемы с ис-

пользуемым методом или с выбранными силами.

Мы объяснили, что нет противоречия между

В противоположность ситуации в [1] результаты

различными названиями низколежащих 1⁺-сос-

WFM-расчетов для¹⁶⁴Dy и²³²Th находятся в

тояний: спиновые ножницы в WFM и спин-флип

отличном согласии с экспериментальными данны-

в QRPA. Спин-флип появляется в микроскопи-

ми. Мы полагаем, что это происходит благодаря

ческом подходе, который оперирует с переходами

следующим качествам WFM-метода:

между различными квантово-механическими со-

а) Он работает с точной волновой функцией.

стояниями. Чтобы увидеть, какое макроскопиче-

ское движение (вращение или колебания) скрыва-

б) Он работает с настоящим зависящим от

ется за квантовой картиной, нужно рассчитать токи

времени средним полем, что позволяет учесть его

реакцию на внешнее возмущение и, как результат,

или (и) угловые моменты протонов и нейтронов с

отпадает надобность вводить в рассмотрение оста-

проекциями спинов вверх и вниз.

точное взаимодействие.

Авторы [1] озабочены неколлективным характе-

в) Умножение TDHFB-уравнений на любой вес

ром спиновых ножниц. Действительно, это старая

не нарушает их симметрий. Как следствие, все

загадка ножничной моды. Компромиссное решение

законы сохранения выполняются (например, энер-

этой “проблемы” было предложено в [23]: нож-

гия и угловой момент) и духовые состояния не

ничная мода есть “слабо коллективное, но сильное

возникают.

в одночастичном масштабе” возбуждение. Очень

важное и привлекательное свойство WFM-метода

Фактически WFM-метод позволяет извлекать

проявляется в том, что, работая с коллективными

из TDHFB-уравнений точную информацию о раз-

переменными, он способен описать “слабо коллек-

личных средних характеристиках ядра без реаль-

тивные” явления.

ного знания точной волновой функции.

1. [1]: “... тяжелые деформированные ядра не

3. [1]: “Так что, по нашему мнению, имеющиеся

годятся для демонстрации заметных спиновых со-

экспериментальные данные пока что не под-

стояний низкой энергии”.

тверждают существование SSR.”

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СПИНОВЫЕ НОЖНИЦЫ И СПИН-ФЛИП

271

√

Если говорить точнее, это расчеты авторов ста-

2Lς2,0 - Lς0,0

Kς0,0 =

тьи [1] не подтверждают существование SSR. И

A₁

неудивительно, так как они не согласуются с экс-

√

3 (Lς11 + Lς21)

периментальными данными.

Kς0,1 = -

√

4. [1]: “Ножницеподобная трактовка спи-

2A₂

√

новых M1-возбуждений низкой энергии методом

3Lς10 -Lς20 -

2Lς00

WFM требует ядерной деформации.”

Kς1,-1 =

√

2A₂

Совершенно верно. Ножницеподобные возбуж-

√

дения могут существовать только в деформирован-

3 (Lς21 - Lς11)

Kς1,0 =

√

ных ядрах. И именно такие ядра рассматриваются

2A₁

в нашей работе [4]. Однако это не означает, что

√

3Lς22

WFM-метод не может быть применен к сфериче-

Kς1,1 = -

ским ядрам (см. рис. 5).

A₂

И наконец, нижайшее

1+-состояние при

где

1.47

МэВ, предсказываемое WFM-расчетами в

(

)

√

¹⁶⁴Dy, имеет B(E2) = 25.44 W.u. (Weisskopf units

A₁ =

2R^eq20 -R^eq00 =√00

(П.2)

= Вайскопфа единицы (В.е.)), что сравнимо с ана-

(

)

логичной величиной для GQR (Giant Quadrupole

√

Resonance = Гигантский Квадрупольный Резонанс

A₂ = R^eq20/

2+R^eq00 =-√00

(ГКР)): B(E2) = 50.37 W.u. Оно не может быть

духовым, так как WFM-метод сохраняет полный

Q₀₀ =³⁵AR²/[(1 +⁴³δ)1/3(1 -²³δ)2/3], δ — пара-

угловой момент, что было доказано аналитически

метр деформации, Q₂₀ =⁴³ δQ₀₀.

в [3] в приближении малых амплитуд. Доказа-

тельство было обобщено на случай произвольных

амплитуд в [13], где было показано также, что этот

результат не зависит от единственного прибли-

Приложение Б

жения WFM-метода — расцепления с моментами

четвертого порядка. Это состояние не имеет

никакого отношения к ножничным модам и будет

ЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК И ВЕРОЯТНОСТИ

исследовано в отдельной работе.

ПЕРЕХОДОВ

Автор выражает благодарность И.В. Молодцо-

вой за сотрудничество.

Непосредственный путь вычисления приведен-

ных вероятностей переходов дается теорией линей-

Приложение А

ного отклика системы на слабое внешнее поле

F (t)

F exp(-iΩt)

F^† exp(iΩt),

(П.3)

КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДА

∑

где

F =

f_s есть одночастичный оператор.

s=1

∫

Удобная форма теории линейного отклика пред-

L^ςλ,μ = d³r{r ⊗ δJ^ς}_λμ =

(П.1)

ставлена, например, Лэйном [24]. Матричные эле-

менты оператор

F удовлетворяют соотношению

[

(-1)

√

A₁Cλμ1μ,10Kςμ,0 -

(

)]

|〈ν

F |0〉|² =

(П.4)

-A₂ Cλμ1μ+1,1-1Kςμ+1,-1 +Cλμ1μ-1,11K^ς

μ-1,1

=ℏ lim (Ω-Ω_ν)〈ψ

F |ψ〉 exp(-iΩt),

√

Ω→Ων

3L^ς

Kς-1,-1 = -

2-2 ,

где |0〉 и |ν〉 есть стационарные волновые функ-

A₂

√

ции невозмущенных основного и возбужденных

3 (Lς1-1 + Lς2-1)

состояний; ψ есть волновая функция возмущенно-

Kς-1,0 =

√

2A₁

го основного состояния, Ω_ν = (E_ν - E₀)/ℏ — нор-

√

мальные частоты, черта обозначает усреднение по

3Lς10 +Lς20 +

2Lς00

Kς-1,1 = -

√

интервалу времени, много большему, чем 1/Ω, где Ω

2A₂

√

есть частота внешнего пол

F (t). Правая сторона

3 (Lς1-1 - Lς2-1)

(П.4) не положительно определена, так что это

Kς0,-1 =

√

2A₂

соотношение иногда может не иметь решений.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

272

БАЛЬБУЦЕВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

12. E. B. Balbutsev, Sov. J. Part. Nucl. 22, 159 (1991).

13. E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck,

V. O. Nesterenko, P. I. Vishnevskiy, J. Kvasil,

Phys. Rev. C 88, 014306 (2013).

A. Repko, and W. Kleinig, Phys. Rev. C 103, 064313

14. E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck,

(2021).

Phys. Rev. C 91, 064312 (2015); arXiv: 1502.05546

R. R. Hilton, Talk presented at the International

[nucl-th].

Conference on Nuclear Structure (Joint Institute

15. E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck,

for Nuclear Research, Dubna, Russia,

1976)

Phys. Rev. C 97, 044316 (2018).

(unpublished).

16. I. V. Molodtsova and E. B. Balbutsev, EPJ Web Conf.

E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck,

194, 04004 (2018).

Nucl. Phys. A 872, 42 (2011).

17. E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck, EPJ

E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, P. Schuck,

Web Conf. 194, 04005 (2018).

A. V. Sushkov, and N. Yu. Shirikova,

18. E. B. Balbutsev, I. V. Molodtsova, and P. Schuck,

arXiv:1902.05275 [nucl-th].

Phys. At. Nucl. 83, 212 (2020).

J. Margraf, T. Eckert, M. Rittner, I. Bauske, O. Beck,

19. N. Pietralla, P. von Brentano, R.-D. Herzberg,

U. Kneissl, H. Maser, H. H. Pitz, A. Schiller, P. von

U. Kneissl, J. Margraf, H. Maser, H. H. Pitz, and

Brentano, R. Fischer, R.-D. Herzberg, N. Pietralla,

A. Zilges, Phys. Rev. C 52, R2317 (1995).

A. Zilges, and H. Friedrichs, Phys. Rev. C 52, 2429

20. J. Enders, P. von Neumann-Cosel, C. Rangacharyulu,

(1995).

and A. Richter, Phys. Rev. C 71, 014306 (2005).

E. B. Balbutsev and P. Schuck, Ann. Phys. 322, 489

21. S. J. Freeman, R. Chapman, J. L. Durell,

(2007).

M. A. C. Hotchkis, F. Khazaie, J. C. Lisle, J. N. Mo,

P. Ring and P. Schuck, The Nuclear Many-Body

A. M. Bruce, R. A. Cunningham, P. V. Drumm,

Problem (Springer, Berlin, 1980).

D. D. Warner, and J. D. Garrett, Phys. Lett. B 222,

T. Suzuki and D. J. Rowe, Nucl. Phys. A 289, 461

347 (1989).

(1977).

22. D. Frekers, D. Bohle, A. Richter, R. Abegg,

D. Bohle, A. Richter, W. Steffen, A. E. L. Dieperink,

R. E. Azuma, A. Celler, C. Chan, T. E. Drake,

N. Lo Iudice, F. Palumbo, and O. Scholten, Phys.

K. P. Jackson, J. D. King, C. A. Miller, R. Schubank,

Lett. B 137, 27 (1984).

J. Watson, and S. Yen, Phys. Lett. B 244, 178 (1990).

10.

D. A. Varshalovitch, A. N. Moskalev, and

23. K. Heyde, P. von Neuman-Cosel, and A. Richter, Rev.

V. K. Khersonski, Quantum Theory of Angular

Mod. Phys. 82, 2365 (2010).

Momentum (World Scientific, Singapore, 1988).

24. A. M. Lane, Nuclear Theory (Benjamin, New York,

11.

E. B. Balbutsev and P. Schuck, Nucl. Phys. A 720,

1964).

293 (2003); 728, 471 (2003).

SPIN SCISSORS AND SPIN-FLIP

E. B. Balbutsev

Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research,

141980 Dubna, Russia

Authors of the recent paper [1] argued that low lying 1⁺ states in deformed nuclei must be interpreted as

spin-flip and not spin scissors. This comment explains that spin scissors and spin-flip are different names

of the same physical phenomenon.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022