ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 4, с. 296-304

ЯДРА

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

В РЕАКЦИЯХ СЛИЯНИЯ-ДЕЛЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ИОНОВ

В РАМКАХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С ТРЕМЯ

ДИНАМИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Г. И. Косенко^4)***, Ф. А. Иванюк^5)****

Поступила в редакцию 21.01.2022 г.; после доработки 15.03.2022 г.; принята к публикации 21.03.2022 г.

Рассмотрен метод приближенного учета прицельного параметра при описании входного канала

реакций слияния-деления ядер. Исследование проведено на примере процесса столкновения атомных

ядер в реакциях горячего синтеза³⁶S +²³⁸U. Описание слияния ядер ведется путем решения

системы стохастических уравнений Ланжевена. Расчеты проведены в приближении замороженных

деформационных и ориентационных степеней свободы сталкивающихся ядер. Проводится сравнение

результатов расчета вероятности захвата ядра-снаряда ядром-мишенью, а также сечений захвата

с результатами, полученными в более грубом приближении, используемом в предыдущих версиях

модели. Показано, что более аккуратный учет прицельного параметра заметно влияет на получаемые

значения сечений захвата в рассматриваемой реакции и существенно приближает результаты модели-

рования к экспериментальным данным.

DOI: 10.31857/S0044002722040080

1. ВВЕДЕНИЕ

менты. Компьютерные модели процесса слияния-

деления постоянно совершенствуются благодаря

Одним из важных направлений исследований

появлению новых вычислительных возможностей

в ядерной физике является исследование реак-

и необходимости объяснять все новые и новые

ций слияния-деления тяжелых ионов. Реакции

экспериментальные данные.

слияния-деления тяжелых ионов позволяют по-

При моделировании процесса слияния-деления

лучать новые сверхтяжелые ядра и экзотиче-

большое внимание уделяется описанию входного

ские изотопы, лежащие вдали от области бета-

канала реакции, расчету вероятности захвата ядра-

стабильности, пополнять наши знания об атомных

снаряда ядром-мишенью и свойств системы в мо-

ядрах, их свойствах и структуре.

мент захвата. В первых работах, посвященных опи-

Большую роль в подобных исследованиях иг-

санию входного канала реакций слияния-деления,

рают модели процесса слияния-деления атомных

сталкивающиеся ядра считались сферическими [1].

ядер, которые позволяют объяснять и предска-

Позже в работах [2-4] была учтена возможность

зывать результаты экспериментальных исследо-

деформации сталкивающихся ядер. Недостатком

ваний, помогают планировать будущие экспери-

данных моделей являлось то, что в начальный

момент времени сталкивающиеся ядра имели сфе-

¹⁾Омский государственный университет путей сообщения,

рическую форму. В ходе реакции они могли дефор-

Омск, Россия.

²⁾Санкт-Петербургский Политехнический университет

мироваться, но только так, чтобы оси симметрии

Петра Великого, Санкт-Петербург, Россия.

ядер совпадали с линией, соединяющей их центры

³⁾Национальныйисследовательскиймедицинскийцентр им.

масс. В то же время в литературе обсуждалась

В.А. Алмазова, Санкт-Петербург, Россия.

необходимость учета начальной деформации [5] и

⁴⁾Филиал военной академии материально-технического

ориентации [6] сталкивающихся ядер.

обеспечения имени генерала армии А.В. Хрулёва Омский

В рамках используемой здесь модели учет обо-

автобронетанковый инженерный институт, Омск, Россия.

лочечной структуры ядер и их взаимной ориен-

⁵⁾ИнститутядерныхисследованийНациональнойАкадемии

наук, Киев, Украина.

тации был выполнен в работах [7, 8]. Это поз-

^*E-mail: vlad.lit@bk.ru

волило существенно улучшить предсказательную

^**E-mail: a_lit@list.ru

силу модели, однако привело к возникновению

^***E-mail: kosenkophys@gmail.com

трудностей при описании нецентрального столк-

^****E-mail: ivanyuk@kinr.kiev.ua

новения. В этих работах вращающаяся система

296

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

297

мишень-снаряд представлялась в виде жесткой

“гантельки”. Т.е. ядро-снаряд радиально двига-

лось навстречу ядру-мишени, при этом оба ядра

могли вращаться вокруг их общего центра масс

r_t

r_p

как одно целое. Очевидно, что подобное описание

вращения системы может иметь место только на

поздних стадиях столкновения ядер, после того как

θ_t

υ_c.m.

за счет действия сил трения ядро-снаряд “увязнет”

в ядре-мишени, но не в момент, когда атомные

Θ_t

υp0

ядра находятся настолько далеко друг от друга,

α_p

что взаимодействуют только посредством кулонов-

α_t

ских сил. Этот недостаток сохранился и в поздних

модификациях модели [9, 10], учитывающих не

только деформацию, но и взаимную ориентацию

сталкивающихся ядер. Для преодоления описан-

Рис. 1. Вид системы, состоящей из двух сталкиваю-

ных трудностей, даже при описании столкновения

щихся ядер, одно из которых деформировано в основ-

двух сферических в основном состоянии ядер [11],

ном состоянии, а второе — сферическое.

необходимо значительное увеличение количества

рассматриваемых степеней свободы системы (до

шести и более) при решении уравнений движения

входной канал, без эволюции моносистемы. Зна-

чительную часть моделирования входного канала

и расчете потенциальной энергии взаимодействия

сталкивающихся ядер [12, 13].

составляет описание сближения ядер, взаимодей-

ствующих только кулоновским взаимодействием,

Настоящая работа посвящена поиску разумных

без ядерных сил и без трения. Эта стадия реакции

приближений, позволяющих уточнить работы [9,

(стадия сближения ядер) рассчитывается отдель-

10] путем более аккуратного учета ненулевого при-

но. Расчет сближения ядер прекращается, когда

цельного параметра в рамках динамической модели

ядерное взаимодействие и силы трения, в частности

с тремя степенями свободы, при описании столк-

тангенциальное трение, действующее на угловые

новения сферического в основном состоянии ядра-

переменные, становятся существенными.

снаряда с деформированным ядром-мишенью.

Расчет дальнейшей эволюции системы должен

учитывать постепенное замедление относительно-

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

СТОЛКНОВЕНИЯ ЯДЕР

го движения поверхностей сталкивающихся ядер

за счет тангенциального трения. При этом будет

В настоящей работе в качестве примера рас-

появляться собственное вращение сталкивающих-

сматривается процесс столкновения относительно

ся ядер относительно неподвижной оси Oz, часть

легкого сферического ядра-снаряда³⁶S и тяжелого

углового момента будет диссипировать. В конеч-

деформированного ядра-мишени²³⁸U (см. рис. 1).

ном итоге сталкивающиеся ядра должны начать

Форма такой системы описывается параметра-

вращаться как одно целое, т.е. должно исчезнуть

ми квадрупольной деформации ядра-мишени α_t и

собственное вращение ядер относительно линии,

ядра-снаряда α_p [14], ориентационным параметром

соединяющей их центры масс.

ядра-мишени Θ_t, равным углу между осью Oz,

К сожалению, описание данного этапа эволю-

которая направлена против начальной скорости

ции системы требует введения нескольких допол-

ядра-снаряда, и осью симметрии ядра-мишени,

нительных степеней свободы, что ведет к значи-

и полярными координатами r и ϕ (r описывает

тельному усложнению модели. В то же время про-

расстояние между центрами масс сталкивающих-

цесс включения сталкивающихся ядер в коллек-

ся ядер, а ϕ — угол между осью Oz и линией,

тивное вращение ввиду относительно малой массы

соединяющей эти центры масс). Кроме того, в

ядра-снаряда и быстрого нарастания интенсивно-

настоящей модели используется вспомогательный

сти тангенциального трения не должен оказывать

параметр θ_t, описывающий значение угла между

существенное влияние на дальнейшую эволюцию

осью симметрии ядра-мишени и линией, соединяю-

системы. Поэтому в качестве первого приближе-

щей центры масс сталкивающихся ядер. Значение

ния будем считать, что включение сталкивающихся

данного параметра не является независимым и

ядер в коллективное вращение происходит мгно-

определяется выражением

венно.

θ_t = Θ_t - ϕ.

(1)

После того как система двух ядер начинает

В настоящей работе основное внимание уде-

вращаться как одно целое, мы переходим ко второй

ляется исследованию учета ненулевого прицель-

стадии расчета (стадия столкновения ядер). Моно-

ного параметра. Поэтому рассматривается только

тонное уменьшение радиального расстояния между

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

298

ЛИТНЕВСКИЙ и др.

сталкивающимися ядрами прекращается после то-

взаимодействиями сталкивающихся ядер, второе

го, как весь запас кинетической энергии радиаль-

слагаемое описывает консервативную силу, воз-

ного движения системы переходит во внутреннюю

никающую во взаимодействующих атомных ядрах,

энергию. Если система к этому моменту уже успела

каждое из которых рассматривается как термоди-

преодолеть кулоновский барьер, то вторая стадия

намическая система.

расчета заканчивается, и мы говорим, что произо-

Для описания ядерного взаимодействия мы

шел захват ядра-снаряда ядром-мишенью. Если

использовали модификацию потенциала Гросса-

же система еще не успела преодолеть кулоновский

Калиновского [1], введенного для описания взаи-

барьер, то у нее еще остается шанс это сделать за

модействия между сферическими ядрами, предло-

счет включения механизма туннелирования [15]. В

женную в статье [2], и применимую к деформиро-

противном случае мы говорим о глубоко неупругом

ванным ядрам:

рассеянии.

Переход между первой и второй стадиями опре-

V_GK =

(V₁₂ + V₂₁),

(5)

деляется точкой, где интенсивность тангенциаль-

ного трения γ_ϕ достигает определенного (критиче-

где

∫

ского) значения γcrϕ. Величина критического тан-

генциального трения является параметром модели.

V_ij = V_i(r - r^′,α_i)ρ_j(r^′,α_j)dr^′.

(6)

В настоящей работе для проверки влияния данного

параметра на конечный результат моделирования

Ядро-ядерный потенциал V_i имеет форму потенци-

расчеты выполнены для трех значений γcrϕ.

ала Вудса-Саксона:

[

Кроме описанного приближения, в настоящей

модели заморожены деформационные степени сво-

V_i(r,α_i) = V_p

1 + exp

⁽r - R_p(α_i,z))]-1 ,

(7)

a_p

боды сталкивающихся ядер, т.е. считаем, что на

протяжении всего процесса столкновения ядра

параметры потенциала V_p и a_p определены в со-

√

имеют такую же форму, которую они имеют в

ответствии с [2], R_p(α,z) = r₀A1/3

ρ²(α,z) + z²,

основном состоянии (α_p ≡ 0; α_t ≡ 0.21).

r₀ = 1.25 Фм. Величины ρ и z являются цилин-

Также на первой стадии расчета отсутствует

дрическими координатами поверхностей взаимо-

собственное вращение ядра-мишени относительно

действующих ядер. Плотность ядер задается выра-

оси Oz, а на второй стадии расчета отсутствует

жением

вращение сталкивающихся ядер относительно ли-

[

нии, соединяющей их центры масс:

ρ_i(r,α_i) = ρ₀

1 + exp

⁽r - R_d(α_i,z))]-1 ,

(8)

a_d

ΘI

θII

= 0;

= 0.

(2)

где ρ₀ = 0.17 Фм-3, параметр диффузности a_d

Возможность заморозки некоторых степеней

= 0.54

Фм и R_d(α, z) = (1.25A³ - 0.86A-3 ) ×

свободы системы исследовалась в [10]. Было по-

√

казано, что в рассматриваемой реакции замороз-

ρ²(α,z) + z² (Фм).

ка деформационных и ориентационных степеней

Фрикционные параметры вычисляются в соот-

свободы не приводит к существенному изменению

ветствии с [1]:

результатов моделирования.

γ_r = γr0 (dV_GK/dr)² ,

(9)

Для численного описания процесса сближения

атомных ядер (эволюции радиальной координаты

γ_ϕ = γϕ0 (dV_GK/dr)² ,

(10)

и соответствующего ей импульса) используются

уравнения Ланжевена:

где постоянные γr0 = 4 × 10-23 с МэВ-1 и γϕ0 =

= 0.01 × 10-23 с МэВ-1.

r = p_r/M,

(3)

Консервативная сила определяется термодина-

p_r = K_r - γ_rp_r/M + θ_rξ_r.

мическим потенциалом каждого из ядер, а именно,

их свободной энергией Гельмгольца: F = E - T S.

Консервативная сила K_r, входящая в уравне-

Свободную энергию мы вычисляем в рамках мето-

ния (3), определяется соотношением [16]:

да оболочечных поправок Струтинского [17, 18]:

K_r =

(4)

(

))

F (α, T ) = F_LDM(α, T ) +

(11)

∂ (V_Coul + V_GK)

∂

Ftdef + F^p

def

+ δE(T = 0)e-aT2/Ed,

∂r

где α — параметр деформации рассматриваемого

Здесь первое слагаемое описывает силу, обу-

ядра, a - параметр плотности уровней [19], а E_d =

словленную кулоновским (V_Coul) и ядерным (V_GK)

= 20 МэВ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

299

Температура системы T определяется в соответ-

Амплитуда случайной силы θ_r связана с диффу-

ствии с моделью ферми-газа, исходя из соотноше-

зионным тензором D_r (θ_r =

√D_r), который рас-

ния

считывается с помощью модифицированного со-

√

отношения Эйнштейна D_r = T^∗γ_r, где T^∗ — эф-

T =

E^∗/a,

(12)

фективная температура, связанная с температурой

где E^∗ — энергия возбуждения каждого из стал-

системы T и с параметром локальной частоты

кивающихся ядер. Макроскопическая часть сво-

коллективного движения соотношением [23]

бодной энергии F_LDM(α, T ), в соответствии с [16],

ℏϖ

определяется исходя из соотношения

T^∗ =

coth

(19)

FLDM(α, T ) = ELDM(α) - aT²,

(13)

где ℏϖ = 2 МэВ. Для интегрирования уравнений

Ланжевена (3) используется разностная схема:

где E_LDM(α) — деформационная энергия ядра,

рассчитанная в модели жидкой капли [20] с пара-

rn+1 = r_n + p_r,nτ/M,

(20)

метрами [21]. Для параметров плотности уровней a

pr,n+1 = p_r,n + K_r,nτ -

и a мы использовали соответственно выражения

- γ_r,np_r,nτ/M + θ_r,nξ_r,n

√τ,

(4) и (5) из [19]. При проведении расчетов мы

считаем, что энергия возбуждения E^∗ системы

где τ — временной шаг, а нижние индексы n и n + 1

делится между ядрами пропорционально числу

обозначают значения переменных на соответству-

содержащихся в них нуклонов, т.е. температура

ющем шаге интегрирования.

обоих ядер одинакова.

Кроме радиальной координаты и соответствую-

щего ей импульса, для описания эволюции системы

Суммарная энергия возбуждения определяется

на каждом шаге интегрирования необходимо опре-

на каждом шаге интегрирования уравнений Лан-

делять значения параметров ϕ, θ_t.

жевена (3), исходя из требования выполнения за-

кона сохранения энергии:

В принципе, для угловых переменных ϕ, θ_t сле-

довало бы написать уравнения Ланжевена типа

p2r

L²⁰ℏ

уравнения (3) с соответствующими выражениями

E^∗ = E_c.m. -

-V_pot,

(14)

для потенциальной энергии, параметров трения и

инерции и случайной силы. Однако в рассматрива-

где момент инерции I системы на первой стадии

емом нами приближении (с мгновенным переходом

определяется выражением

от первой стадии расчета ко второй) можно пре-

I =Mr²,

(15)

небречь действием случайной силы и диссипацией

углового момента в уравнениях движения для уг-

а на второй стадии выражением

ловых переменных, тогда динамическое уравнение

для ϕ можно получить исходя из закона сохранения

I =Mr² +I_⊥t +I_⊥p.

(16)

коллективного углового момента:

Потенциальная энергия системы V_pot учитыва-

Lℏ = L_tℏ + L_pℏ + Mr²ϕ˙ = L₀ℏ.

(21)

ет кулоновское [22] и ядерное [1] взаимодействия

Первые два слагаемых (L_tℏ и L_pℏ) — моменты

сталкивающихся ядер, а также энергию деформа-

импульса, обусловленные собственным вращением

ции E_def каждого из ядер, рассчитанную с учетом

сталкивающихся ядер, а третье слагаемое описы-

ядерной оболочечной структуры [17, 18]:

вает угловой момент вращения обоих ядер вокруг

V_pot = V_coul + V_GK +

(17)

общего центра масс.

На первой стадии расчета собственное враще-

+ Etdef(T = 0) + Epdef(T = 0).

ние обоих ядер относительно оси Oz отсутствует и

для ϕ^I из уравнения (21) можно получить разност-

Слагаемое θ_rξ_r, входящее в уравнение (3), яв-

ную схему:

ляется случайной силой, которая обеспечивает пе-

реход энергии от одночастичных степеней свободы

L₀ℏ

ϕIn+1 = ϕIn +

τ.

(22)

системы к коллективным. Обратный переход энер-

Mr2n

гии обеспечивается наличием в уравнениях тензо-

В начальный момент времени при рассмотре-

ра трения. Фактически случайная сила описывает

нии первой стадии расчета скорость ядра-снаряда

флуктуации в системе. Случайное число ξ_r имеет

направлена в сторону, противоположную оси Oz,

следующие свойства:

тогда момент импульса системы связан с значением

〈ξ_ν 〉 = 0,

(18)

прицельного параметра b соотношением

√

〈ξ_β(t₁)ξ_ν (t₂)〉 = 2δ_βν δ(t₁ - t₂).

L₀ℏ = bMυp0 = b

2ME_c.m..

(23)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

300

ЛИТНЕВСКИЙ и др.

b, фм

= 40 фм. Начальное значение импульса радиаль-

ного движения определяется выражением

E_c.m. = 149.4 МэВ

√

E_c.m. = 155.1 МэВ

pr,0 = -

2ME_c.m. cos ϕ₀,

(25)

E_c.m. = 160.8МэВ

где ϕ₀ задается условием

²³⁸U

E_c.m. = 171.2 МэВ

(

)

L₀ℏ

ϕ₀ = arcsin

√

(26)

r₀

2ME_c.m.

Начальное значение скорости изменения парамет-

³⁶S

ра ϕ^I определяется выражением

L₀ℏ

ϕI0 =

(27)

Mr²⁰

Начальное значение параметра ориентации ΘIt вы-

бирается случайным образом.

L, "

Значения параметров формы системы и соот-

ветствующих им импульсов (скоростей), получен-

Рис. 2. Зависимость начального прицельного пара-

метра от углового момента системы. Горизонтальными

ные в конце первой стадии расчета, являются на-

линиями показаны размеры ядер (для деформирован-

чальными для второй стадии.

ного ядра-мишени указаны размеры ядра вдоль малой

Интегрирование уравнений движения на второй

и большой полуосей).

стадии расчета заканчивается после того, как ядро-

снаряд преодолело кулоновский барьер и прекра-

тило радиальное движение [24], считаем, что в этот

Взаимосвязь значений прицельного параметра и

момент происходит его захват ядром-мишенью.

момента импульса системы для различных значе-

Если радиальное сближение ядер прекращает-

ний энергии реакции приведена на рис. 2. Срав-

ся до того, как система преодолеет кулоновский

нивая значения прицельного параметра со значе-

барьер, то включается механизм туннелирования.

ниями радиуса ядра-снаряда и малой и большой

Вероятность туннелирования рассчитывается по

полуосями ядра-мишени, показанными на рис. 2

методу Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна [15]:

горизонтальными линиями, можно сделать вывод о

том, что системе могут быть доступны достаточно

T_L(E) =

(28)

большие значения угловых моментов.

На второй стадии расчета сталкивающиеся ядра

∫

√

1 + exp ²

2m(V_pot(r, α_t, α_p, θ_t) - E)dr

вращаются вместе с линией, соединяющей их цен-

ℏ

r₁

тры масс с угловой скоростью ϕ, в этом случае,

где интегрирование производится между точками

используя уравнения (21) и (16), можно получить

поворота r₁ (точка, в которой система прекрати-

разностную схему для вычисления ϕ^II:

ла радиальное сближение) и r₂ (точка, в которой

L₀ℏ

потенциальная энергия системы становится рав-

ϕIIn+1 = ϕIIn +

τ.

(24)

ной энергии системы в точке r₁) в подбарьер-

Mr2n +I_⊥t +I_⊥p

ной области потенциала, т.е. V_pot(r₁, α_t, α_p, θ_t) =

= V_pot(r₂,α_t,α_p,θ_t) = E (при вычислении потен-

Используя соотношения (1) и (2), а также одно

циальной энергии в подбарьерной области зна-

из соотношений (22) или (24), можно получать

чения всех остальных параметров остаются по-

значения параметра θ_t в различные моменты вре-

стоянными). Данный механизм позволяет системе

мени на обеих стадиях расчета, от которого зависит

с некоторой вероятностью пройти под кулонов-

потенциальная энергия системы.

ским барьером и реализовать захват ядра-снаряда

Для использования разностных схем (20), (22)

ядром-мишенью. Учет туннельного эффекта вно-

и (24) необходимо задать начальные значения па-

сит значительный вклад в сечения захвата при

раметров и соответствующих им импульсов (или

энергиях реакций, близких к кулоновскому барье-

скоростей). Начальное значение расстояния между

ру. Подробно влияние данного эффекта исследова-

центрами масс сталкивающихся ядер на первой

лось в работе [25].

стадии расчета должно быть достаточно большим,

Кроме того, у системы всегда остается шанс

чтобы силы кулоновского взаимодействия практи-

преодолеть кулоновский барьер за счет случайной

чески не зависели от деформации ядра-мишени,

силы, входящей в уравнения Ланжевена (3) (за счет

в настоящей работе было выбрано значение r₀ =

теплового движения).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

301

y, фм

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

³⁶S + ²³⁸U

Как уже говорилось выше, в рамках рассмат-

риваемого приближения процесс захвата ядра-

снаряда ядром-мишенью разделен на две стадии,

L_z = -90"

на первой стадии отсутствует собственное враще-

ние сталкивающихся ядер относительно оси Oz,

L_z = -30"

на второй стадии ядра вращаются как одно целое

Θt0

L_z = 30"

вокруг центра масс системы. Переход от первой

стадии расчета ко второй происходит мгновенно

-6

L_z = 90"

в момент, когда величина коэффициента танген-

циального трения в системе превышает некоторое

Θt0 = 45°

пороговое значение γcrϕ (это пороговое значение

-12

является параметром модели).

На рис. 3 показаны примеры траекторий, по-

-10

z, фм

лученных на первой (сплошные линии) и вто-

рой (штриховые линии) стадиях расчета. На пер-

вой траектории ядра не смогли приблизиться друг

Рис. 3. Примеры возможных траекторий движения

к другу настолько, чтобы тангенциальное тре-

системы сталкивающихся ядер. Сплошные линии —

ние превысило критическое значение (γcrϕ = 5 ×

части траекторий, которые получены на первой ста-

дии расчета; штриховые линии соответствуют вто-

× 10-24 с/МэВ), соответственно весь расчет про-

рой стадии расчета. Точка перехода от первой стадии

водился в рамках первой стадии, в данном случае

расчета ко второй соответствует условию γcrϕ = 5 ×

захвата не происходит. Остальные из представ-

× 10-24 с/МэВ. Начальный угол между осью сим-

ленных траекторий оканчиваются захватом ядра-

метрии ядра и осью Oz Θt0 = 45^◦. Углы Θt в конце

снаряда ядром-мишенью. На второй стадии рас-

соответствующих траекторий равны: 1) 45^◦; 2) 44^◦;

чета ориентационный параметр ядра-мишени Θ_t,

3) 45.5^◦; 4) 55^◦.

в приведенном примере изначально равный 45^◦,

может немного изменять свое значение, причем чем

больше угловой момент системы, тем значительнее

очень быстро нарастает при уменьшении рассто-

эти изменения. Для приведенных траекторий ко-

яния между поверхностями сталкивающихся ядер,

нечные значения Θ_t равны соответственно: 1) 45^◦;

а, значит, состояние системы в момент окончания

первой стадии расчета слабо зависит от значения

2) 44^◦; 3) 45.5^◦; 4) 55^◦.

параметра γcrϕ. В то же время видно, что для по-

Для проверки влияния условия перехода от

первой стадии расчета ко второй на результа-

рогового значения γcrϕ = 10 × 10-24 с/МэВ у кри-

ты моделирования расчеты выполняются для трех

вой, иллюстрирующей зависимость вероятности

пороговых значений коэффициента тангенциаль-

захвата от углового момента системы, появляются

ного трения: γcrϕ = 2.5 × 10-24, 5 × 10-24 и 10 ×

особенности, которые физически не обоснованы

(наличие точек перегиба при небольших значениях

× 10-24 с/МэВ. Зависимость значений коэффи-

углового момента). Из этого можно сделать вывод,

циентов γ_ϕ от расстояния между центрами масс

что переход от первой стадии расчета ко второй

сталкивающихся ядер приведена на рис. 4а.

должен происходить при меньших значениях γcrϕ.

Основным результатом моделирования являет-

ся вид зависимости значений вероятности (сече-

В экспериментальных работах, например, в [26],

ния) захвата от углового момента. Результаты рас-

результат столкновения атомных ядер описывается

четов вероятности захвата, проведенных в модели

с помощью величины суммарного сечения σ_cap за-

[10], предполагающей, что сталкивающиеся ядра

хвата ядра-снаряда ядром-мишенью:

участвуют в коллективном вращении на протяже-

∑

нии всего расчета, а также результаты, полученные

σ_cap =

σLcap(L),

(29)

в настоящей работе, приведены на рис. 4б. Видно,

что более аккуратное описание процесса сближе-

где парциальное сечение σLcap(L) зависит от длины

ния ядер, проведенное в настоящей работе, при-

водит к более резкому спаду вероятности захвата

волны де Бройля, соответствующей налетающему

при увеличении момента импульса системы. При-

ядру (λ = 2πℏ/√2MEc.m.), определяется выраже-

чем результаты, полученные для разных значений

нием:

параметра γcrϕ, очень близки друг к другу. Вероят-

σLcap(L) = πλ²(2L + 1)P_cap(L).

(30)

но, это связано с тем, что интенсивность трения

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

302

ЛИТНЕВСКИЙ и др.

γ_ϕ, 10^-24 c/МэВ

θ_t = 0°

θ_t = 90°

r, фм

P_cap

0.6

Расчет в модели [10]

γ_ϕ = 2.5 × 10^-24 c/МэВ

0.4

γ_ϕ = 5 × 10^-24 c/МэВ

γ_ϕ = 10 × 10^-24 c/МэВ

0.2

100

L, "

Рис. 4. а — Зависимость величины тангенциального трения от расстояния между сталкивающимися ядрами. б —

Зависимость вероятности захвата Pcap ядра-снаряда ядром-мишенью от момента импульса системы при энергии реакции

Ec.m. = 160.8 МэВ. Различные типы кривых (штриховая, сплошная и точечная) соответствуют критериям перехода

от системы, в которой отсутствует собственное вращение ядер, к системе, в которой ядра участвуют в коллективном

вращении (переход происходит мгновенно при достижении коэффициентом тангенциального трения значений 2.5 ×

× 10-24, 5 × 10-24 или 10 × 10-24 с/МэВ). Кривая с коротким штрихом — расчет в модели [10].

На рис. 5а приведена зависимость парциальных

свободы. Крестики показывают значения сечений

сечений захвата от углового момента системы L₀.

захвата, которые можно получить в описываемой

Видно, что более аккуратный учет вращения си-

модели, не учитывая возможность туннелирования

стемы, выполненный в настоящей работе, приво-

системы через кулоновский барьер (для γcrϕ = 5 ×

дит к снижению вероятности захвата ядра-снаряда

× 10-24 с/МэВ). Кроме того, приведены экспе-

ядром-мишенью при высоких значениях углового

риментальные данные [26] (кружки) и расчеты [9]

момента системы по сравнению с модификацией

(треугольники), учитывающие изменение дефор-

модели [10], в которой предполагалось, что атом-

маций обоих ядер и ориентации ядра-мишени в

ные ядра участвуют в коллективном вращении (как

пространстве в ходе столкновения, но обладающие

“гантелька”), даже находясь на большом расстоя-

недостатком, описанным во Введении. Видно, что

нии друг от друга.

даже приближенный расчет, проведенный в насто-

Данный эффект можно объяснить тем, что мо-

ящей работе, выгодно отличается от результатов

мент инерции системы ядер, не участвующих в кол-

работы [9] и практически совпадает с экспери-

лективном вращении (см. формулу (15)), немного

ментом. Следует отметить, что учет возможности

меньше, чем момент инерции “гантельки” (16).

туннелирования приводит к значительному увели-

Уменьшение момента инерции при фиксированном

чению сечения захвата. При самой низкой из рас-

угловом моменте приводит к увеличению доли вра-

смотренных энергий сечения захвата, расчитанные

щательной энергии системы, а значит, к умень-

с учетом и без учета туннелирования, отличаются

шению доли кинетической энергии радиального

примерно в два раза. При самой высокой из рас-

движения. Полученный результат показывает, что

смотренных энергий учет туннелирования приводит

проведенные преобразования модели положитель-

к увеличению сечения захвата примерно на 25%.

но сказываются на ее предсказательной силе, так,

в предыдущих версиях модели, например, в [10],

имела место явная переоценка сечений захвата при

высоких энергиях реакции.

4. ВЫВОДЫ

На рис. 5б линиями показаны суммарные зна-

чения сечений захвата, полученные в настоящей

Исследовано влияние более аккуратного уче-

работе, а также в предыдущей версии модели [10].

та прицельного параметра на результаты описа-

В этих расчетах были заморожены деформацион-

ния процесса столкновения ядер. Показано, что

ные и ориентационные (см. формулу (2)) степени

проведенное уточнение модели в целом приводит

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

303

σLap, мбн

Расчет в модели [10]

γ_ϕ = 2.5 × 10^-24 c/МэВ

γ_ϕ = 5 × 10^-24 c/МэВ

100

150

L, "

σ_cap, мбн

1000

100

Эксперимент [26]

Расчет в модели [9]

Расчет без туннелирования

150

155

160

165

170

E_c.m., МэВ

Рис. 5. а — Зависимость парциальных сечений захвата ядра-снаряда ядром-мишенью от момента импульса системы

при энергии реакции Ec.m. = 160.8 МэВ. б — Зависимость суммарных сечений захвата ядра-снаряда ядром-мишенью от

энергии реакции. Кружки — экспериментальныеданные [26], треугольники— расчет в модели [9], в которойучитывалась

эволюция коллективных координат q (q ≡ r, αt, αp, θt), но предполагалось, что система вращается как одно целое

с самого начала расчета, крестики — расчеты в описываемой модели, проведенные для γcrϕ = 5 × 10-24 с/МэВ, но

не учитывающие туннелирование системы через кулоновский барьер. Сплошные и пунктирные кривые — расчеты в

описываемой модели, учитывающие возможность туннелирования. Кривая с коротким штрихом — расчет в модели [10].

к уменьшению сечения захвата. При этом суще-

7. V. L. Litnevsky, G. I. Kosenko, F. A. Ivanyuk, and

ственно изменяется описание столкновений с боль-

V. V. Pashkevich, Phys. At. Nucl. 74, 1001 (2011).

шими значениями углового момента (прицельно-

8. V. L. Litnevsky, G. I. Kosenko, F. A. Ivanyuk, and

го параметра), в то время как при малых зна-

V. V. Pashkevich, Phys. At. Nucl. 75, 1500 (2012).

чениях углового момента результаты, полученные

9. V. L. Litnevsky, F. A. Ivanyuk, G. I. Kosenko, and

в прежних версиях модели, являются достаточно

S. Chiba, Phys. Rev. C 101, 064616 (2020).

точными. Значения сечений захвата, полученные в

10. V. L. Litnevsky, F. A. Ivanyuk, and G. I. Kosenko, Izv.

настоящей работе, хорошо согласуются с экспери-

Saratov Univ. (N. S.), Ser. Phys. 20, 233 (2020).

ментальными данными.

Используемый в настоящей работе метод замо-

11. A. V. Karpov and V. V. Saiko, Phys. Rev. C 96, 024618

розки некоторых степеней свободы и более акку-

(2017).

ратный учет прицельного параметра предоставля-

12. M. Ismail, A. Y. Ellithi, M. M. Botros, and

ют возможность быстрого и эффективного описа-

A. E. Mellik, Phys. Rev. C 75, 064610 (2007).

ния реакций слияния-деления.

13. H. Koura and M. Yamada, Nucl. Phys. A 671, 96

(2000).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

14. V. V. Pashkevich, Nucl. Phys. A 169, 275 (1971).

1. D. H. E. Gross and H. Kalinowski, Phys. Rev. 45, 175

15. T. I. Nevzorova and G. I. Kosenko, Phys. At. Nucl. 71,

(1978).

1373 (2008).

2. P. Fr ¨obrich, Phys. Rep. 116, 337 (1984).

16. Г. Д. Адеев, А. В. Карпов, П. Н. Надточий, Д. В. Ва-

3. J. Marten and P. Fr ¨obrich, Nucl. Phys. A 545, 854

нин, ЭЧАЯ 36, 732 (2005).

(1992).

17. V. M. Strutinsky, Nucl. Phys. A 95, 420 (1967); 122,

4. G. I. Kosenko, F. A. Ivanyuk, V. V. Pashkevich, and

1 (1968).

D. V. Dinner, Phys. At. Nucl. 71, 2052 (2008).

18. F. A. Ivanyuk, C. Ishizuka, M. D. Usang, and

5. I. I. Gonchar, D. J. Hinde, M. Dasgupta,

S. Chiba, Phys. Rev. C 97, 054331 (2018).

C. R. Morton, and J. O. Newton, Phys. Rev. C

19. A. S. Iljinov, M. V. Mebel, N. Bianchi, E. De Sanctis,

73, 034610 (2006).

C. Guaraldo, V. Lucherini, V. Muccifora, E. Polli,

6. V. Yu. Denisov and N. A. Pilipenko, Phys. At. Nucl.

A. R. Reolon, and P. Rossi, Nucl. Phys. A 543, 517

73, 1152 (2010).

(1992).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

304

ЛИТНЕВСКИЙ и др.

20. N. Bohr and J. A. Wheeler, Phys. Rev. 56, 426 (1939).

24. V. Volcov, Phys. Part. Nucl. 35, 425 (2004).

21. W. D. Myers and W. J. Swiatecki, Ark. Fys. 36, 343

25. V. L. Litnevsky, G. I. Kosenko, and F. A. Ivanyuk,

(1967).

Phys. At. Nucl. 79, 342 (2016).

22. R. S. Kurmanov and G. I. Kosenko, Phys. At. Nucl.

26. K. Nishio, H. Ikezoe, S. Mitsuoka, I. Nishi-

77, 1442 (2014).

naka, Y. Nagame, Y. Watanabe, T. Ohtsuki,

K. Hirose, and S. Hofmann, Phys. Rev. C 77,

23. H. Hofmann and D. Kiderlen, Int. J. Mod. Phys. E 7,

064607 (2008).

243 (1998).

THE METHOD OF APPROXIMATE ACCOUNTING OF THE IMPACT

PARAMETER IN THE FUSION-FISSION REACTIONS

OF HEAVY IONS IN THE FRAMEWORK OF A STOCHASTIC MODEL

WITH THREE DYNAMIC PARAMETERS

V. L. Litnevsky¹⁾, A. L. Litnevsky^2),3), G. I. Kosenko⁴⁾, F. A. Ivanyuk⁵⁾

¹⁾Omsk State Transport University, Russia

²⁾Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Russia

³⁾Almazov National Medical Research Centre, St. Petersburg, Russia

⁴⁾Omsk Tank Automotive Engineering Institute, Russia

⁵⁾Institute for Nuclear Research, Kiev, Ukraine

The method of approximate accounting of the impact parameter during the description of the input channel

of fusion-fission reactions of nuclei is considered. The study is carried out on the example of the collision

process in hot fusion reactions³⁶S +²³⁸U. The description of the nuclear fusion model is presented. The

simulation is carried out by solving a system of stochastic Langevin equations. The calculations are carried

out in the approximation of frozen deformation and orientation degrees of freedom of the colliding nuclei. It

is shown that a more accurate accounting of the impact parameter significantly affects the obtained values

of the capture cross-sections in the reaction under consideration and improves agreement of the obtained

results with the experimental data.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022