ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 4, с. 283-295

ЯДРА

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ

И АСИММЕТРИЧНОЙ ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ

Поступила в редакцию 17.02.2022 г.; после доработки 23.03.2022 г.; принята к публикации 25.03.2022 г.

В работе представлен метод вычисления частот нуль-звуковых возбуждений в симметричной и асим-

метричной по изоспину ядерной материи. В асимметричной материи получены три ветви комплексных

решений дисперсионного уравнения: ω_si(k, β) (i = n, p, np), а в симметричной материи две ветви ω_s(k),

ωs1(k). Показано, как связаны между собой эти ветви решений. Продемонстрировано построение

функций отклика и структурных функций в ядерной материи на основе ω_si(k, β).

DOI: 10.31857/S0044002722040109

1. ВВЕДЕНИЕ

описание силовых функций возбуждений в ядрах

на основе коллективных возбуждений в асиммет-

Изучение возбуждений в ядерной материи, их

ричной ядерной материи. Кроме затухания Лан-

связь с возбуждениями в конкретных ядрах яв-

дау, исследуется влияние столкновений и флукту-

ляются предметом многочисленных исследований.

аций плотности на затухание гигантских резонан-

Используются различные методы построения дис-

сов. Использование метода неравновесных функ-

персионных уравнений, дающие как вещественные,

ций Грина приводит к сложным дисперсионным

так и комплексные частоты возбуждений. Пред-

лагаются разные подходы к процессам затухания

уравнениям. Комплексные решения этих уравнений

возбуждений, к вопросам устойчивости ядерной

дают зависимость от температуры как энергий, так

материи при низкой и высокой плотностях, к опи-

и ширин распада гигантских резонансов. В работе

санию зависимости свойств возбуждений от темпе-

[7] нуль-звуковые моды рассматриваются на осно-

ратуры.

ве кинетической теории с включением столкнове-

Одним из основных подходов, который привел

ний, температуры и эффектов запаздывания. Ис-

к решению широкого круга задач физики ядра и

следовано влияние искажения ферми-поверхности

частиц, является единый подход на основе кине-

на скорость и затухание звука в изовекторной и

тического уравнения с самосогласованным сред-

изоскалярной модах.

ним полем и интегралом столкновений [1, 2]. С

В работе [8] исследуется влияние различных

использованием этого подхода были получены зву-

членов эффективного частично-дырочного взаи-

ковые моды изоскалярного и изовекторного типа и

модействия на описание горячей ядерной материи

исследовано их взаимодействие в зависимости от

с последующим переходом к атомным ядрам. В

плотности среды. Был изучен гигантский диполь-

работе [9] используется подход квантовой адроди-

ный резонанс в нагретых ядрах, а также гигант-

намики. На основе релятивистского кинетического

ский монопольный резонанс. Исследованы вопро-

уравнения в ядерной материи выводится диспер-

сы устойчивости ядерной материи при различных

сионное уравнение, которое позволяет получить

плотностях. Также метод был применен к описанию

скорость нуль-звука и исследовать внутреннюю

явлений при высоких энергиях [3, 4].

структуру коллективных мод.

В работе [5] использовано приближение ло-

В настоящее время продолжаются исследова-

кальной изоспиновой плотности с зависимостью

ния функций отклика в асимметричной, симмет-

от времени, получено три типа частично-дырочных

ричной и нейтронной ядерной материи на различ-

возбуждений, оценен их вклад в энергетически

ные внешние поля с использованием функционала

взвешенное правило сумм, проанализирована за-

плотности, построенного на основе взаимодействия

висимость этих состояний от плотности и изотопи-

Скирма [10]. Получены результаты для различных

ческой асимметрии среды. В работе [6] выполнено

параметров асимметрии, плотности материи, пе-

реданных импульсов и температуры. Разработан

¹⁾НИЦ “Курчатовский институт” - ПИЯФ, Гатчина, Рос-

сия.

метод построения структурных функций ядерной

²⁾Военная академия связи, Санкт-Петербург, Россия.

материи с использованием феноменологического

^*E-mail: sadovnikova_va@pnpi.nrcki.ru

взаимодействия конечного радиуса [11]. Показано

283

284

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

влияние на функции отклика тензорного, спин-

плоскости частот, физический смысл мнимых ча-

орбитального и других, зависящих от плотности и

стей решений. В разд. 3 представлены ветви ре-

от импульсов, членов взаимодействия Скирма.

шений в симметричной и асимметричной материи.

Показано, что ветви решений различного типа на-

В наcтоящей работе представлены результаты

чинаются при разных значениях волнового вектора

исследования нуль-звуковых возбуждений в ядер-

k и имеют различную зависимость от k. В разд. 4

ной материи при параметре изотопической асим-

получен переход от решений в асимметричной ма-

метрии β в интервале |β| ≤ 0.5. Показано, как свя-

терии (|β| > 0) к решениям в симметричной (β = 0)

заны ветви нуль-звуковых возбуждений в симмет-

ядерной материи. В разд. 5 представлены резуль-

ричной и асимметричной материи. Попытка уста-

таты для структурных функций ядерной материи,

новить такую связь определила то, как меняют-

построенных на базе полученных решений.

ся и разветвляются ω_si(k, β) с изменением k и

Основные расчеты выполнены с использовани-

β. Первые результаты были получены в работах

ем изовекторного взаимодействия квазичастиц. В

[12, 13]. Вычисленные ветви решений различаются

разд. 6 показано влияние изоскалярного взаимо-

способом затухания. Далее ветви решений исполь-

действия квазичастиц на изовекторные возбужде-

зуются для построения функции отклика ядерной

ния на примере конкретных ядер.

материи на внешнее поле с явным учетом вкладов

нуль-звуковых возбуждений в среде. При переходе

к структурным функциям S(ω, k) предложенный

2. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

метод позволяет связать максимумы в S(ω, k) и

Мы рассматриваем изовекторные нуль-звуко-

решения дисперсионного уравнения, при этом ши-

вые возбуждения в ядерной материи с параметром

рины максимумов определяются мнимыми частя-

асимметрии (1) в интервале -0.5 ≤ β ≤ 0.5, следуя

ми ω_si(k, β), имеющими определенный физический

работе [15].

смысл.

Эффективное взаимодействие между квазича-

В работе исследовано поведение нуль-звука в

стицами, которое используется в вычислениях, —

нормальной холодной ферми-жидкости, состоящей

это взаимодействие Ландау-Мигдала [15]:

из протонов и нейтронов, при различных значениях

F (σ₁, τ₁; σ₂, τ₂) = C₀(F + F^′(τ₁τ₂) +

(2)

параметра асимметрии и находящейся при рав-

новесной плотности ρ. Дисперсионное уравнение

+ G(σ₁σ₂) + G^′(τ₁τ₂)(σ₁σ₂)),

для вычисления частот коллективных возбуждений

где σ, τ — матрицы Паули в спиновом и изоспи-

в зависимости от волнового вектора и параметра

новом пространстве. Безразмерные функции F , F^′,

асимметрии для нуль-звуковых возбуждений по-

G′, G зависят от угла между импульсами входящих

лучено в рамках теории конечных ферми-систем

частиц и могут быть разложены по полиномам

[14, 15] с эффективным взаимодействием квазича-

Лежандра, зависящим от этого угла. Далее мы ис-

стиц Ландау-Мигдала. При вычислении решений

пользуем только нулевые компоненты разложения

дисперсионного уравнения используется подход, в

функций, сохраняя для нулевых компонент то же

рамках которого уже были получены ветви нуль-

обозначение: F , F^′, G^′, G. Численные значения F ,

звуковых возбуждений в симметричной ядерной

F^′, G^′, G определяются из эксперимента, и они

материи [16], а также была изучена связь неустой-

могут зависеть от плотности и параметра асим-

чивости Померанчука и пионной конденсации в

метрии [1]. В нашей работе это фиксированные

ядерной материи [17].

константы. В (2) нормировочный коэффициент ра-

Асимметричная ядерная материя характеризу-

вен C₀ = N-1 =π2 , N — плотность нуклонов на_m

0p0

ется плотностью нейтронов ρ_n и протонов ρ_p, пол-

ферми-поверхности в ядерной материи с плотно-

ная плотность ρ = ρ_n + ρ_p. Параметр асимметрии

стью ρ, состоящей из одного сорта частиц.

β, ферми-импульсы для нейтронов и протонов

В работе [14] представлена система уравнений

определяются следующим образом:

, возникающего в

(

)1/3

ρ_n - ρ_p

среде под действием изовекторного дипольного

β=

;

pFn =

3π²(1 + β)

;

(1)

ρ_n + ρ_p

внешнего поля. Используя систему для эффек-

(

)1/3

тивных полей [14, 15], перепишем ее для изо-

(

)1/3

pFp =

3π²(1 - β)

;

p₀ =

3π²ρ

векторного монопольного внешнего поля Vτ0 =

∑

=E₀

(τ_z)^τl ei(rlk⁾e-i(ω+iη)t:

В разд. 2 представлено дисперсионное урав-

(3)

=Vττ′0δττ′ + Fττ′′ Aτ′′

нение для вычисления комплексных частот нуль-

звуковых возбуждений в ядерной материи. Обсуж-

A^τ представляют собой интегралы по запазды-

дается местоположение решений на комплексной

вающей протонной (A^p) или нейтронной (Aⁿ)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

285

частично-дырочной ph-петле и выражаются через

Аналогичное дисперсионное уравнение пред-

функцию Линхардта [18]. Систему уравнений (3)

ставлено в [10], где использовалось уравнение

представим в матричном виде

Бете-Солпитера для запаздывающих ph-про-

пагаторов, усредненных по импульсу, в приближе-

MV_ef = V₀, V_ef = M-1V₀,

(4)

нии случайных фаз (A^τ в наших обозначениях), а

где

также в работе [1] с использованием линеаризо-

⎛

⎞

ванных уравнений Власова. Перепишем (8) в виде

-F^pnA

M=⎝(1-FppA^p)

⎠_,

(5)

E(ω, k) = 1 - C₀(F + F^′)A^p -

(9)

−F^npA^p

(1 - FⁿⁿAⁿ)

− C₀(F + F^′)Aⁿ + 4FF^′C²⁰A^pAⁿ = 0.

⎛

⎞

⎛

⎞

В представленной работе вычисления выполня-

V_ef =⎝Vef Vef

⎠_,

A=⎝Ap

⎠_.

лись при равновесной плотности ρ = 0.17 фм-3,

Vnpef Vⁿⁿ

Aⁿ

p₀ = 0.268 ГэВ, эффективной массе квазичастиц

m = 0.8m₀, m₀ = 0.94 ГэВ. В расчетах использо-

Здесь определено F^pp = Fⁿⁿ = C₀(F + F^′), F^pn =

вались следующие значения параметров эффек-

= F^np = C₀(F - F^′).

тивного взаимодействия (2): F^′ = 1.0, F = 0.0 [20],

Далее мы выразим функцию отклика Πττ′ (ω, k)

т.е. учитывалось только изовекторное взаимодей-

(запаздывающий поляризационный оператор) че-

ствие квазичастиц в среде. В разд. 6 будет по-

, следуя [15] и учитывая

казано влияние изоскалярного взаимодействия F

на изовекторные возбуждения в конкретных ядрах.

(4) (полагаем E₀ = 1):

Отметим, что в нашей работе нет самосогласования

(

)_ττ′

между средним полем в среде и эффективным взаи-

Πττ′ (ω,k) = V₀

AV_ef

(ω, k) =

(6)

модействием квазичастиц [1, 10]. Влияние среднего

(

)_ττ′

поля выражено только через наличие эффективной

= V₀

AM-1V₀

(ω, k).

массы квазичастиц, а эффективное взаимодействие

(2) отвечает лишь за возбуждения в среде. Такой

Перемножая матрицы в (6), для функции отклика

упрощенный подход дает возможности наглядно

Πττ′ (ω,k) получаем выражение

представить основные моменты связи возбуждений

⎛

⎞

в симметричной и асимметричной материи.

Π^pp Π

⎠₌

Π=^⎝

(7)

Π^np Πⁿⁿ

2.1. Расположение решений ω_si(k, β) на

⎛

⎞

комплексной плоскости частот

-A^pF^pnA

⎝Ap(1-FnnAⁿ)

⎠_.

В этом разделе изложен метод построения

det(M)

-AⁿF^npA^p Aⁿ(1 - F^ppA^p)

решений дисперсионного уравнения⁴⁾. Метод ис-

пользует аналитическую структуру функций Aⁿ,

Для дальнейшего будет удобно ввести матри-

A^p.

цу Dττ′ (ω, k), определенную следующим образом:

Функции Линхардта A^τ , τ = n, p определяются

как суммы функций Мигдала [14, 15, 18] A^τ =

Πττ′ (ω,k) = Dττ′ (ω,k)/E(ω,k)³⁾. Здесь E(ω,k) ≡

= A^τ(ω,k) + A^τ(-ω,k):

≡ det(M(ω, k)).

A^τ (ω,k) =

(10)

Значения ω(k), для которых детерминант систе-

]

мы E(ω, k) обращается в нуль и отклик системы

m³

^[a² -b2τ

⁽a+b_τ)

= -2

- ab_τ

велик, отвечают нуль-звуковым возбуждениям ма-

4π2 k3

a-b_τ

терии. Дисперсионное уравнение для изовекторных

нуль-звуковых коллективных возбуждений ω_i(k, β)

), b_τ =kpFτm^{.Выражение(10)со-}

в асимметричной ядерной материи мы получаем,

держит логарифмическую функцию, которая имеет

приравнивая E(ω, k) к нулю. Таким образом, дис-

разрезы на комплексной плоскости ω и является

персионное уравнение имеет вид [1, 12, 15]:

многозначной функцией на своей римановой по-

верхности. На рис. 1 показаны разрезы функций

E(ω, k) = (1 - FⁿⁿAⁿ)(1 - F^ppA^p) -

(8)

A^p и Aⁿ. Буквой μ обозначено вещественное ре-

- (A^pF^pn)(AⁿF^np) = 0.

шение уравнения (9), полученное при k = k(μ) и

³⁾В работе [19] расчеты выполнены с использованием вы-

⁴⁾Ветви решений ωsi(k, β) зависят от двух аргументов k,

ражения (7). В соотношении (9) этой работы опечатка

β. Там, где это несущественно, аргумент β может быть

(указан неверный знак для Π^np, Π^pn).

опущен.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

286

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

Imω

решение соответствует стабильному коллективно-

му возбуждению в среде. Мы интерпретируем по-

явление мнимой части как затухание возбуждения

A^p

за счет смешивания со свободными (невзаимодей-

ствующими) ph-парами, принадлежащими разрезу,

и с последующим переходом части пар, участвую-

2 '

Reω

щих в формировании коллективного состояния, в

свободное состояние.

Aⁿ

Внешнее поле возбуждает как коллективные

состояния, так и невзаимодействующие протонные

2 '

Reω

и нейтронные частично-дырочные пары, т.е. кол-

лективную и ph-моды. Мы считаем, что перекрытие

Рис. 1. Разрезы функций A^τ (10), (11) представлены

вещественного решения с, например, нейтронным

на комплексной плоскости частот ω при β > 0. В

разрезом (разрез функции Aⁿ(ω, k)), после ко-

верхней части рисунка показаны разрезы функции A^p,

торого решение уходит под разрез и становится

в нижней части — разрезы Aⁿ.

комплексным, означает возникновение затухания

возбуждения за счет смешивания коллективной

и нейтронной частично-дырочной мод. В ядрах

расположенное на положительной вещественной

такая мнимая часть дает вклад в ширину пиков

оси, правее разрезов.

в сечении полупрямого распада в реакции (γ, n).

Разрезы функции A^τ (ω, k) обозначены как

Решения, которые затухают за счет испускания

(1, 1^′), а разрезы A^τ (-ω, k) как (2, 2^′):

нейтронов, обозначаются ω_sn(k). В этом случае

kpFτ

k²

мы говорим, что нейтронный канал открыт. При

(1^′, 1) : -

≤ω≤

(11)

построении ω_sn(k) функция A^p в (9) вычисляется

на физическом листе, в этом случае мы считаем, что

kpFτ

k²

(2^′, 2) : -

≤ω≤

протонный канал закрыт. Заметим, что Aⁿ(-ω, k)

также берется на физическом листе. Решения, свя-

Длина разрезов зависит от k и β. Рис. 1 выполнен

занные с уходом под разрезы функций Aⁿ(ω, k) и

для случая β > 0, что дает pFn > pFp (1) и, соот-

Aⁿ(-ω,k), обсуждались в [17]. Таким образом, при

ветственно, нейтронные разрезы (11) оказываются

вычислении ω_sn(k, β > 0) мы считаем, что открыт

длиннее, чем протонные.

только один нейтронный канал.

Точки разреза определяются энергиями невза-

Аналогично ω_sp(k) обозначает решение, которое

имодействующих ph-пар ω^τph(k) = εp+k - ε_p, где

или вещественно (это имеет место при β < 0), или

ε_q = q²/(2m) и τ = n,p. Лист комплексной плос-

расположено под протонным разрезом при β > 0.

кости частот, на котором расположены веществен-

Мнимая часть ω_sp(k) означает затухание возбуж-

ные нуль-звуковые решения и энергии ω^τph(k), мы

дения за счет испускания протона (в ядрах) или

считаем физическим листом, рис. 1. Решения, по-

смешивания с невзаимодействующими протонны-

лученные под разрезом, на других логарифмиче-

ми ph-парами (в ядерной материи). При вычисле-

ских листах, являются комплексными и считаются

нии ω_sp(k, β > 0) мы считаем, что открыт только

физическими решениями, если можно сделать ана-

один протонный канал.

литическое продолжение по какому-либо парамет-

При переходе от асимметричной к симметрич-

ру (по k, по ρ, по β и т.д.) от физических решений к

ной материи возникает вопрос, во что превраща-

этим решениям.

ются ветви ω_sp(k) и ω_sn(k). Оказывается, что в

В соответствии с теорией Ландау [21] уравнение

симметричной материи есть ветвь решений того

(8) имеет вещественные решения при небольших

же типа, что и ω_sp(k) и ω_sn(k), т.е. когда от-

значениях волнового вектора k. С ростом k

происходит перекрытие коллективной и частично-

крыт только один канал. Мы обозначили эту ветвь

дырочной мод, т.е. вещественного решения (μ)

ωs1(k). Дальше будет показано, что при переходе

и логарифмического разреза функции Aⁿ(ω, k)

от асимметричной к симметричной материи ветви

(рис. 1). После перекрытия мы ищем решение

ω_sp(k) и ω_sn(k) сливаются, переходя в ωs1(k) (при

дисперсионного уравнения под логарифмическим

определенных k).

разрезом функции Aⁿ(ω, k), на нижнем нефизиче-

В симметричной материи протонный и нейтрон-

ском листе. Решение уходит на нефизический лист

ный разрезы совпадают. Если открыты и протон-

и приобретает отрицательную мнимую часть.

ный, и нейтронный каналы, то возникновение мни-

Следующий шаг состоит в придании физическо-

мой части решения соответствует испусканию нук-

го смысла мнимой части решений. Вещественное

лона, изоспин которого в рассматриваемой модели

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

287

не определен, это может быть протон или нейтрон.

ω/p₀

Решения такого типа в симметричной материи обо-

0.4

значены ω_s(k) и соответствуют обычному нуль-

0.3

β = 0

звуку. Дальше будет показано, что при переходе

к асимметричной материи (β > 0) решения ω_s(k)

0.2

разветвляются на ω_sn(k, β) и ω_snp(k, β).

0.1

k_t

k_c

3. РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО

УРАВНЕНИЯ

−0.1

3.1. Решения дисперсионного уравнения

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

в симметричной ядерной материи

k/p₀

Дисперсионное уравнение (8) в симметричной

Рис. 2. Ветви решений в симметричной ядерной ма-

материи может быть факторизовано следующим

терии (β = 0). При положительных ω > 0 показаны

образом:

реальные части решений Reωi(k). При отрицатель-

E(ω, k) = (1 - 2C₀F A)(1 - 2C₀F^′A).

(12)

ных ω < 0 — мнимые части ветвей Imωi(k). Кривые:

сплошные — ωs(k), штриховые — ωs1(k).

Здесь

A^p(ω,k) = Aⁿ(ω,k) = A(ω,k),

= A(ω, k) + A(-ω, k). Факторизация E(ω, k) озна-

чает, что в симметричной материи есть два

листе под протонным или нейтронным разрезом

независимых уравнения. Одно описывает изоска-

и полностью комплексны. Ветвь найдена при k ≥

лярные возбуждения, возникающие за счет ph-

≥ k_c. Эта ветвь играет важную роль, когда мы

взаимодействия F , а другое — изовекторные воз-

изучаем, как меняются ветви решений с измене-

буждения, возникающие за счет взаимодействия F^′

нием параметра асимметрии. Численно получено,

(2). Факторизация говорит о том, что изоскалярные

что k_c = 0.52p₀. Ветвь ωs1(k) имеет большую по

и изовекторные возбуждения не взаимодействуют

сравнению с ω_s(k) мнимую часть и затухает за счет

в симметричной материи. Однако в асимметричной

смешивания с ph-парами одного изоспина. Дальше

ядерной материи (АЯМ) факторизация исчезает.

будет показано, как изменяются ω_s(k) и ωs1(k)

Основные расчеты в работе проведены в предпо-

при переходе к асимметричной материи. Таким

ложении F = 0. Влияние скалярно-изоскалярного

образом, в симметричной материи при 0 < k ≤ k_t

взаимодействия F (2) обсуждается в разд. 6, где

имеется вещественное решение ω_s(k); когда k ≥ k_t,

показано, что его влияние на ветви изовекторных

эта ветвь становится комплексной (открыты как

решений мало (как и отмечалось в [20]). Это имеет

протонный, так и нейтронный каналы). При k > k_c

место при равновесной плотности и небольшом

появляется еще одно комплексное решение ωs1(k),

параметре асимметрии.

которое расположено на нефизическом листе ли-

Таким образом, дисперсионное уравнение при-

бо протонной A^p(ω, k), либо нейтронной Aⁿ(ω, k)

нимает следующий вид:

функции (что неразличимо в симметричной мате-

1 - 2C₀F^′A = 0.

(13)

рии), рис. 2.

На рис. 2 представлены ветви решений ω_s(k)

3.2. Решения дисперсионного уравнения

и ωs1(k). Ветвь ω_s(k) — это обычный нуль-звук,

в асимметричной ядерной материи

ветвь вещественна при значениях волнового век-

тора k ≤ k_t. Здесь k_t — это такое значение волно-

Дисперсионное уравнение (9) в асимметричной

вого вектора, при котором начинается пересечение

материи имеет вид

коллективной и частично-дырочной моды. Кроме

1 - C₀F^′A^p - C₀F^′Aⁿ = 0.

(14)

того, правый край разреза (1^′, 1) является реше-

нием дисперсионного уравнения с ω = k2t/(2m) +

В асимметричной материи получены три ветви ком-

+ p_Fk_t/m. При k > k_t ветвь ω_s(k) переходит под

плексных решений (рис. 3): ω_si(k, β), i = n, p, np.

разрез на нефизический лист и приобретает мни-

На рис. 3 каждая ветвь ω_si(k, β) показана для

мую часть. Величина k_t зависит от β и в симметрич-

параметров асимметрии β = 0.01, 0.2, 0.5. На этом

ной материи k_t(β = 0) = 0.34p₀. Ветвь ω_s(k) зату-

рисунке обращают на себя внимание особенное

хает из-за смешивания со свободными частично-

поведение ветвей ω_sn(k, β), ω_sp(k, β) при малом

дырочными парами, это могут быть как протонные,

значении β = 0.01 и тот факт, что ветви начинаются

так и нейтронные ph-пары.

при разных значениях волнового вектора k. Далее

Решения типа ωs1(k) не появляются на физи-

каждый тип ветвей рассматривается по отдельно-

ческом листе, они расположены на нефизическом

сти.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

288

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

ω/p₀

0.25

ω_sn

ω_sp

ω_snp

0.20

0.15

0.10

0.05

-0.05

−0.10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

k/p₀

Рис. 3. Ветви решений при различных значениях параметра асимметрии β. а — ωsn(k, β); б — ωsp(k, β), в — ωsnp(k, β).

Кривые: сплошная — β = 0.01, штриховая — β = 0.2, штрихпунктирная — β = 0.5. Другие обозначения те же, что на

рис. 2.

3.2.1. Ветви ω_sn(k, β), рис. 3а. Как отмечалось

выше, при β = 0 вещественные решения состав-

k/p₀

ляют часть ω_s(k, β = 0) при k ≤ k_t (β = 0). Веще-

ственное продолжение этой части на β > 0 осу-

0.40

k₁

ществляет ω_sn(k, β) при k ≤ k_t(β). При больших

0.35

k ветвь ω_sn(k, β) становится комплексной из-за

0.30

смешивания коллективного возбуждения с невза-

0.25

k_t

имодействующими нейтронными ph-парами.

0.20

На рис. 4а показана зависимость k_t(β) и ко-

0.15

нечное значение вещественных решений: ω(k_t, β).

k₂

0.10

ω(k_t)

Для каждого β имеется вещественное решение

0.05

k^p

при k ≤ k_t(β), которое становится комплексным

при k > k_t(β). Другими словами, стабильное нуль-

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

звуковое возбуждение в среде (отвечающее гигант-

Im(ω/p₀)

скому резонансу в ядрах) начинает затухать с ро-

стом k, испуская нейтроны. Видно, что с ростом β

b c

мнимая часть у вещественных решений появляется

при все меньших значениях волновых векторов k.

-0.001

Кривые k_t(β) и ω(k_t, β) могут быть зеркально

0.1

-0.002

0.2

отображены на отрицательные β < 0 и при замене

0.5

0.4

n ↔ p имеют аналогичный смысл (кулоновское

-0.003

0.3

взаимодействие здесь не учитывается).

-0.004

ω_snp(k)

3.2.2. Ветви ω_sp(k, β), рис. 3б. Ветвь ω_sp(k, β)

при β > 0 полностью находится на нефизическом

-0.005

листе, относящемся к A^p(ω, k). Решения затухают

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

за счет смешивания коллективного возбуждения

Re(ω/p₀)

и невзаимодействующих протонных ph-пар. В яд-

ре это затухание отвечает эмиссии протона. На

Рис.

Зависимость

“ключевых” волновых

рис. 4а кривая k^p(β) обозначает волновой век-

векторов kt(β), k^p(β), k^np(β) от β. а — Кривая

тор, такой, что при k ≥ k^p(β) в материи появля-

k^np(β) состоит из двух частей: штриховая —

ются решения ω_sp(k, β), и они отсутствуют, когда

knp2(β),

штрихпунктирная— knp1(β);

точечная

k < k^p(β). Заметим, что мнимая часть стремится

кривая — k^p(β); сплошные — kt(β), ωs(kt(β)).

б —Комплексная ω-плоскость.

Представлены

к нулю: Imω_sp(k, β)(k) → 0 при k → k^p(β) (что

ωsnp(k, β) для разных значений β (указаны на

приводит к пику в структурных функциях).

кривых). Жирная сплошная — ωs(k) (см. рис.

2).

Расчеты показывают, что k^p(β) совпадает с

Звездочки — значения кривых при k = 0.4p0. Точка a

обозначает ω(knp2, β = 0.3), b — это ω(knp1, β = 0.3),

той кривой, которую описывает точка 2, относя-

c — kt(β = 0) = 0.34p0 (рис. а).

щаяся к разрезам функции A^p, при изменении β

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

289

((11), рис. 1). При k < k^p(β) решения не найдены,

мы рассматриваем β > 0. В этом разделе, во-

возможно, происходит смешивание с ph-парами,

первых, обсуждается разветвление ω_s(k) на две

образующими как разрез (1^′, 1), так и (2^′, 2). Во-

ветви ω_sn(k) и ω_snp(k) в точке k = k_t(β = 0) при

прос требует дополнительных исследований. На

переходе к асимметричной материи. Во-вторых,

рис. 4а видно, что в области k^p(β) ≤ k ≤ k_t(β) од-

показано, как ω_sn(k, β) и ω_sp(k, β) переходят в

новременно существуют как вещественное реше-

ωs1(k) при |β| → 0 и k > k_c.

ние ω_sn(k, β), так и комплексное решение ω_sp(k, β).

4.1. ω_s(k). Сначала обратимся к ω_s(k). На

В симметричной материи ω_sp(k, β = 0) исчезает,

рис. 2 показано, что эта ветвь вещественна при k ≤

что обозначено стрелкой на кривой k^p, рис. 4а.

≤ k_t(β = 0) и комплексна при больших k > k_t(β).

3.2.3. Ветви ω_snp(k, β), рис. 3в. Третья ветвь

Оказалось, что вещественная и комплексная части

решений, которая получена в асимметричной мате-

меняются по-разному с изменением β. Это связано

с двумя возможностями построения комплексного

рии, — это ω_snp(k). Она расположена на нефизи-

решения при k > k_t(β). А именно, можно постро-

ческих листах как функции Aⁿ(ω, k), так и A^p(ω, k)

ить решение, открывая только один нейтронный

и описывает затухающее коллективное возбужде-

канал, ω_sn(k), а можно сохранить открытыми как

ние. Затухание идет за счет смешивания со сво-

нейтронный, так и протонный каналы ω_snp(k) (как

бодными нуклонными ph-парами (протонными и

было в симметричной материи). На рис. 4а показа-

нейтронными). Ветвь начинается при k = k^np(β)

но, что от точки k = k_t(β = 0) = 0.34p₀ отходят две

и существует при значениях k и β, расположен-

ных вне области, ограниченной осями координат и

кривые: k_t(β) и knp1(β), которые означают, что при

кривыми knp1(β) и knp2(β) (рис. 4а). Кривая k^np(β)

каждом β > 0 (β ≤ 0.233) имеется вещественное

решение при k ≤ k_t(β), оно становится комплекс-

состоит из двух частей, knp1(β) и knp2(β), возникно-

ным решением ω_sn(k) при k > k_t(β). При даль-

вение которых продемонстрировано на рис. 4б. На

рис. 4 показано, что при β < 0.233 имеется одно

нейшем увеличении волнового вектора: k > knp1(β),

решение типа ω_snp(k) при каждом β, оно найдено

возникает еще одно комплексное решение ω_snp(k).

при k > knp1(β). На рис. 4б это соответствует тому,

И все эти решения связаны с разветвлением ω_s(k)

что отсутствует низкочастотная часть решения.

в точке k = k_t(β = 0).

Когда 0.233 ≤ β ≤ 0.40, появляется дополни-

Рассмотрим, как меняется вещественная часть

тельная низкочастотная часть решения при малых

ω_s(k) с ростом β. Кривая k_t(β) на рис.

4а

волновых векторах k < knp2(β). При β > 0.399 две

для каждого β дает значения k, при которых

части решения сливаются, и мы получаем одно

заканчиваются вещественные решения, становясь

решение для всех k. На рис. 4б показано, что

комплексными при k > k_t(β). На этом рисунке

слияние происходит, когда ветвь ω_snp(k, β) имеет

также показаны значения вещественных решений

очень малую мнимую часть, она почти касается

в точке k = k_t(β): ω(k_t,β). Вещественные решения

горизонтальной оси при β = 0.40 (k = 0.225p₀),

при k ≤ k_t(β) представляют собой линии ω(k, β) =

оставаясь на нефизическом листе. Заметим, что

= v(β)k, которые начинаются при k = 0 и ω =

решение исчезает, если положить Imω_snp(k, β) =

= 0 и заканчиваются при k = k_t(β) в ω(k_t,β)

= 0 и пытаться построить вещественное решение.

(линии не показаны). Когда β = 0, мы относим

Точки a, b на рис. 4б обозначают решения на кривой

эти вещественные решения к ω_s(k): ω(k, β) =

k^np(β): точка a обозначает ω(knp2,β = 0.3), b —

= ω_s(k,β = 0); когда β > 0, эти решения отно-

это ω(knp1,β = 0.3). Эти точки демонстрируют, что

сятся к ω_sn(k, β): ω(k, β) = ω_sn(k, β > 0); когда

при k → knp1,2(β) мнимая часть стремится к нулю:

β < 0, решения относятся к ω_sp(k,β): ω(k,β) =

= ω_sp(k,β < 0). Это означает, что, например, при

Imω_snp(k, β)(k) → 0. Это приводит к максимуму

β > 0 решение ω(k,β) продолжается на k > k_t(β)

в структурных функциях, что является аналогом

как ω_sn(k, β), т.е. Imω(k, β) определяется сме-

пороговых явлений в реальных распадах частиц.

шиванием с нейтронными частично-дырочными

Для наглядности звездочками на кривых на рис. 4б

парами.

обозначены величины ω_snp(k, β) при k = 0.4p₀.

Мы получили непрерывный переход с измене-

нием β между ветвями ω_s(k), ω_sn(k), ω_sp(k) при

4. СВЯЗЬ ВЕТВЕЙ В АСИММЕТРИЧНОЙ

k ≤ k_t(β). Таким образом, для стабильных изовек-

торных нуль-звуковых возбуждений в ядерной ма-

И СИММЕТРИЧНОЙ МАТЕРИИ

терии получена зависимость частоты возбуждений

В этом разделе представлено поведение ветвей

от параметра асимметрии β.

ω_sn(k), ω_sp(k) и ω_snp(k) при |β| → 0 и их связь

Заметим, что, переходя к ядрам, мы считаем,

с решениями ω_s(k), ωs1(k) (рис. 2). В основном

что вещественные решения описывают стабильные

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

290

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

коллективные возбуждения (гигантские резонан-

β = 0.01. Заметим, что ω_sn(k) и ω_sp(k) подходят к

сы). С ростом волнового вектора k вещественные

ωs1(k) с разных нефизических листов.

решения становятся комплексными и отвечающие

Мы получили, что в асимметричной материи

им коллективные возбуждения приобретают шири-

ветвь ωs1(k) расщепляется на две другие ветви,

ну, которая определяется мнимой частью ω_sn(k, β).

находящиеся на различных нефизических листах.

Тем самым при β > 0 мы можем говорить о вычис-

Таким образом, ω_sn(k) и ω_sp(k) стремятся к ωs1(k)

лении нейтронной ширины резонанса.

при β → 0 и k > k_c. Однако для значений волновых

Теперь рассмотрим продолжение на β = 0

векторов в интервале k_t < k < k_c предела при β →

комплексной части ω_s(k), которая получена при

→ 0 нет. Техническая причина состоит в том, что

k > k_t (β = 0). При этих k ветвь ω_s(k) начинает

нет решений дисперсионного уравнения (14) типа

затухать и становится комплексной. Мнимая часть

ω_sn(k), ω_sp(k) и ωs1(k) (т.е., когда открыт один,

ω_s(k) на рис. 2 построена в предположении, что

нейтронный или протонный, канал) в интервале

открыты как протонный, так и нейтронный каналы.

k_t < k < k_c (рис. 2). Предел ω_sp(k) отсутствует в

Поэтому можно ожидать, что и в АЯМ веще-

более широкой области k_p < k < k_c.

ственное решение уходит под оба разреза. Такое

решение действительно найдено, это ω_snp(k, β).

На рис.

5в демонстрируется зависимость

Начало этого решения при β → 0 совпадает

ω_sn(k,β) и ω_sp(k,β) от β при фиксированных

с k^np(β → 0) = k_t(β → 0) (рис. 4а). Выше это

k. Как видно, на рис.

4а имеется несколько

представлено, как разветвление ветви ω_s(k) при

“ключевых” значений волнового вектора. Здесь

переходе к асимметричной материи.

нас будут интересовать два значения: k_t(β), k_c =

= 0.52p₀. Мы выбираем k_i = k₁, k₂, k₃ такие, что

На рис. 4б на кривых ω_snp(k, β) указаны зна-

они расположены по-разному по отношению к

чения β, при которых были получены эти ветви

k_t(β) и k_c: k₁ < k_t(β), k_t(β) < k₂ < k_c и k₃ > k_c:

решений. Сплошной кривой обозначена ω_s(k, β =

k₁ = 0.05p₀, k₂ = 0.4p₀, k₃ = 0.6p₀. Мы увидим, что

= 0). Видно, что кривые сгущаются к ω_s(k, β = 0)

поведение ветвей ω_sn(k_i, β), ω_sp(k_i, β) различается

при β → 0. Ветвь ω_snp(k, β) мы рассматриваем как

существенно при разных k_i.

продолжение комплексной части ω_s(k, β = 0) на

β > 0.

На рис. 5в показаны изменения реальных частей

Таким образом, нуль-звуковая ветвь ω_s(k) в

решений Reω_sn(k_i, β), Reω_sp(k_i, β) в зависимости

симметричной материи продолжается на асим-

от β. Когда k = k₁ (сплошные кривые) и β > 0,

метричную материю с β > 0 двумя типами ре-

ветвь ω_sn(k₁) действительна. Изменяя β от β =

шений. Вещественная часть ω_s(k, β = 0), которая

= 0.5 до отрицательных значений, мы переходим к

существует при малых k ≤ k_t(β = 0), продолжа-

реальной ветви ω_sp(k₁), β < 0. При β = 0 решения

ется ветвью ω_sn(k, β > 0). А комплексная часть

проходят точку ω_s(k₁). Вторая ветвь решений, ко-

ω_s(k,β = 0), которая существует при k > k_t(β =

торая найдена при k = k₁ и β > 0 — это ω_sp(k₁),

= 0), продолжается ветвью ω_snp(k, β > 0). Кроме

она комплексна. Она не существует при k < k^p(β)

того, ω_snp(k,β) приобретает низкочастотную ком-

и не может быть продолжена на отрицательные β.

плексную часть при значении параметра асиммет-

То же самое мы можем сказать о ω_sn(k₁, β < 0); эта

рии β > 0.233, рис. 4а.

ветвь не может быть продолжена на положитель-

ные β.

4.2. ω_sn(k) и ω_sp(k). Теперь рассмотрим ω_sn(k)

и ω_sp(k). На рис. 5а одновременно показаны ветви

При k = k₂ и β > 0 ветвь ω_sn(k₂) комплексна

ωs1(k) и вычисленные при β = 0.05 ветви ω_sn(k),

(рис. 3а), и реальная часть Reω_sn(k₂, β) изобра-

ω_sp(k). На рисунке видно сближение ветвей при

жается точечной кривой на рис. 5в. Мы не можем

k > k_c (как отмечалось выше, ветвь ωs1(k) суще-

продолжить эту ветвь на ω_sp(k₂), изменяя β с поло-

ствует при k ≥ k_c, рис. 2).

жительных на отрицательные значения, поскольку,

как отмечалось выше, отсутствуют решения дис-

На рис. 5б показаны части ветвей ω_sn(k), ω_sp(k)

персионного уравнения (9) типа ω_sn(k), ω_sp(k) при

при β = 0.01, 0.05 в сравнении с ωs1(k). Ветвь

β = 0 и k = k₂, рис. 2.

ωs1(k) (сплошная кривая) — это та же ветвь, ко-

торая показана штрихами на рис. 2. При малых

Когда k = k₃ и β > 0, ветвь ω_sn(k) комплексна

значениях β ветви ω_sn(k) и ω_sp(k) обтекают ωs1(k),

(штриховая кривая, рис. 5в). В отличие от случая

с k = k₂ имеется комплексное решение при β =

стремясь к этой ветви (при тех k, при которых

= 0 (это ωs1(k₃)). Поэтому мы можем переходить

она существует: k > k_c). Это справедливо при β =

= 0.01, а при β = 0.05 решения уже слабо чув-

к отрицательным β и продолжать ω_sn(k₃,β > 0)

ствуют этот предел. Это обтекание обусловливает

на ω_sp(k₃, β < 0) через точку ωs1(k₃). Больше

особенное поведение ветвей на рис. 3а,

3б при

того, ω_sn(k₃,β < 0) может быть продолжена на

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

291

ω/p₀

0.35

0.30

β = 0.05

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

-0.05

-0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

k/p₀

Im(ω/p₀)

-0.005

-0.010

-0.015

-0.020

-0.025

0.100 0.125

0.150

0.175

0.200

0.225

0.250 0.275 0.300

Re(ω/p₀)

Re(ωsτ/p₀)

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Рис. 5. Поведениеωsn(k, β) и ωsp(k, β) при|β| → 0. а — Ветви ωsn(k, β) (штриховая), ωsp(k, β) (точечная) для β = 0.05;

ωs1(k) (сплошная). б — Комплексная ω-плоскость; кривые: 1 — β = 0.01, 2 — β = 0.05 показаны в сравнении с ωs1(k)

(тип кривых тот же, что на рис. а). в — Зависимость Reωsn(ki, β) и Reωsp(ki, β) от β при определенных ki, i = 1, 2, 3:

k1 = 0.05p0 (сплошные кривые), k2 = 0.4p0 (точечные); k3 = 0.6p0 (штриховые); n означает ωsn(ki, β), p — ωsp(ki, β);

s — ωs(k1), s1 — ωs1(k3).

ω_sp(k₃,β > 0). Аналогичные рисунки можно полу-

отклика соотношением (6). Структурная функция

чить для мнимых частей ω_sn(k_i), ω_sp(k_i, β), а также

определяется как мнимая часть от функции отклика

для ω_snp(k_i, β) и ω_spn(k_i, β).

Π(ω, k) [22]:

5. СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ S(ω, k)

S(ω, k) = -

ImΠ(ω, k).

(15)

В ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ, ПОСТРОЕННЫЕ

НА ОСНОВЕ ω_si(k)

Под действием внешнего поля в среде возникает

Как показано в работе [23], в изовекторном внеш-

эффективное поле, которое связано с функцией нем поле функция отклика Π(ω, k) может быть

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

292

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

представлена как сумма

фоторазвала на ядрах. Мнимая часть ω_sn(k) в

ядре дает затухание возбуждения путем испуска-

Π(ω, k) = Π^pp(ω, k) + Πⁿⁿ(ω, k) -

(16)

ния нейтрона. Максимум в структурной функции,

- Π^pn(ω,k) - Π^np(ω,k).

отвечающий полюсу ω_sn(k), будет иметь ширину,

определяемую мнимой частью ω_sn(k), т.е. вылетом

Используем выражения (7) для Πττ′ (ω, k). Тогда

нейтронов в реакции (γ, n). Аналогично ω_sp(k) дает

функция отклика на изовекторное внешнее поле

имеет вид

вклад в (γ, p), а мнимая часть ω_snp(k) дает вклад

в структурную функцию как (γ, n), так и (γ, p)

Π(ω, k) =

(17)

реакций.

(D^pp + Dⁿⁿ - D^pn - D^np)

D^iv(ω,k)

Заметим, если вычислять Π(ω, k) без специ-

≡

E(ω, k)

ального выделения полюсов и при вещественных

ω, то это будет гладкая функция, не содержа-

Как отмечалось выше, внешнее поле возбуж-

щая максимумов. И только включение полюсов на

дает в ядерной материи коллективные и ph-моды.

нефизических листах выявляет структуру в S(ω, k)

Коллективные моды соответствуют трем типам

[24].

комплексных решений дисперсионного уравнения.

Представим структурную функцию в виде сум-

Теперь вычислим вклад в S(ω, k), возникающий

мы по трем типам возбуждений:

в результате прямого выбивания нуклона внешним

∑

полем (в ядрах), а в материи он соответствует вза-

S(ω, k) =

S_l(ω,k),

(18)

имодействию внешнего поля с нуклоном, не вовле-

ченным в образование коллективного состояния.

Для этого положим в выражении (17) эффектив-

где l = n, p, np. Обратный детерминант системы M

ную константу взаимодействия квазичастиц равной

(5) и Π(ω, k) (7) запишем как сумму по полюсам:

нулю, F^′ = 0, и получим

)

∑

( R_l(ω_sl,k)

+ Reg_l(ω, k)

(19)

S_fr(ω,k) =

(23)

E(ω, k)

ω-ω_sl(k)

=-πIm(Ap(ω,k)+An(ω,k))=

Вычеты R_l(ω_sl, k) в полюсах вычисляются на

тех же нефизических листах, где расположены ре-

= Spfr(ω,k) + Snfr(ω,k).

шения (I - это мнимая единица):

Обратимся к рис. 6. На рис. 6а показаны три

R_l(ω_sl,k) =

(20)

ветви решений дисперсионного уравнения (14) в

Re(E^′) - IIm(E^′)

материи с β = 0.1667, такой параметр асимметрии

E^′(ω_sl(k))

|E^′|²

соответствует, например, ядрам⁴⁸Ca,¹²⁰Sn. Вкла-

ды этих решений в S(ω, k) при k = 0.45 p₀

приведе-

где E^′(ω_sl(k)) =dE(ω,k)dω |_ω→ω

sl(k).

ны на рис. 6б. Вклад решения ω_si(k) в структурную

Тогда функция отклика имеет вид

функцию обозначен тем же типом кривой, что и

ветвь решения на рис. 6а и снабжен той же цифрой.

Π(ω, k) =

(21)

)

∑

Максимум, который описан штриховой кривой

( R_l(ω_sl,k)

D^iv(ω,k)

+ Reg_l(ω, k)

(короткий штрих) на рис. 6б, возник из-за полюса в

ω-ω_sl(k)

(22) ω_sp(k = 0.45p₀) = (0.157, -0.0164)p₀ . Соглас-

но рис. 6а, максимум на кривой 2 расположен при

Соответствующая структурная функция S(ω, k)

частотах, меньших, чем максимум на точечной кри-

равна:

вой 1, который возникает при ω_sn(k = 0.45p₀) =

∑

S(ω, k) =

S_l(ω,k) =

(22)

= (0.199, -0.0097)p₀ . Самый острый пик принад-

лежит штрихпунктирной кривой и отвечает полю-

∑

су ω_snp(k = 0.45p₀) = (0.192, -0.0021)p₀ . Форма

Im D^iv(ω,k) ×

максимума связана с близостью полюса к порогу

появления ветви ω_snp(k). Максимумы структурной

)

( R_l(ω_sl,k)

функции сдвинуты относительно положения полю-

+ Reg_l(ω, k)

≡

сов. При малой ширине пика, отвечающей малой

ω-ω_sl(k)

мнимой части решения, сдвиг составляет сотни

≡ S_pol(ω,k) + S_reg(ω,k).

кэВ, а для протонного полюса это 4.7 МэВ.

Мы можем сопоставить вклад полюса в точке

Кривая, обозначенная длинным штрихом, опи-

ω_si(k) в структурную функцию S(ω,k) c реакцией

сывает S_fr(ω, k)

(23), т.е. это сумма мнимых

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

293

ω/p₀

этом разделе мы продемонстрируем влияние этого

взаимодействия на частоты изовекторных возбуж-

0.25

дений.

0.20

Для этого мы сравним частоты возбуждений

0.15

для случаев F^′ = 1.0, F = 0.0 и F^′ = 1.0, F = 0.1.

0.10

Гигантские дипольные изовекторные резонансы в

теории Мигдала [14] возбуждаются за счет взаи-

0.05

модействия квазичастиц F^pp, Fⁿⁿ, F^pn, F^np (см.

определение после (5)).

−0.05

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Для того чтобы показать, как меняются вычис-

k/p₀

ленные частоты возбуждений при учете изоскаляр-

ного взаимодействия F (2), мы проделали следую-

S_str

щее. Сначала отобрали в таблице [25] группу ядер,

распространенность которых в природе больше

50%. Затем мы воспользовались двумя моделя-

ми для определения волнового вектора k_A, кото-

рый отвечает гигантскому дипольному резонансу

в конкретном ядре. Для каждого из отобранных

ядер был вычислен импульс k_A, и была получе-

на разность между реальными частями решений

ω_sn(k_A,β_A) (между частотами возбуждений)

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

d_A = Re (ω_sn(k_A,β_A)) |F=0.1 -

(24)

ω/p₀

- Re (ω_sn(k_A, β_A)) |F=0.

Рис. 6. Ветви решений и структурныефункции при β =

Первая модель взята из [8], она дает k_A =

= 0.1667. а — Ветви решений ωsn(k) (точечная кри-

= π/(2R_A), где R_A = (r₀A1/3), r₀ = 1.2 фм. Для

вая, 1), ωsp(k) (штриховая, 2), ωsnp(k) (штрихпунк-

большинства отобранных ядер величина k_A мень-

тирная, 3). Остальные обозначения как на рис. 2.

б —Структурная функция S_pol(ω,k) + S_fr(ω,k) (22),

ше, чем k_t (рис. 4), это означает, что решения

(23) (тонкая сплошная кривая), вычисленная при

ω_sn(k_A,β_A) в большинстве вещественны. Для ве-

k = 0.45p0. Вклады отдельных полюсов в Spol по-

щественных решений на рис. 7а показана зависи-

казаны цифрами и типом линий, соответствующи-

мость разности d_A от β.

ми рис. а. Кривая 4 — вклад S_fr(ω, k) (23). S_str =

Как отмечалось выше, из-за факторизации дис-

= 10³S(ω, k) МэВ-1фм-3.

персионного уравнения (12) в ядрах с N = Z, как

и в симметричной материи (β = 0), изоскалярное

частей протонной и нейтронной функций Лин-

взаимодействие не оказывает влияние на изовек-

хардта. Сплошная кривая — это сумма S_pol(ω, k) +

торные возбуждения. Поэтому d_A(β_A = 0) = 0, и

+ S_fr(ω,k). Мы получили сложную структуру для

все значения d_A находятся в начале координат.

При β > 0 имеется почти линейный рост величины

полной структурной функции, которая порождена

решениями дисперсионного уравнения. Гигантско-

d_A(β) с ростом β. Величина d_A очень мала, она

му резонансу мы сопоставляем пик, связанный

составляет десятки кэВ, тогда как ω_sn(k_A, β_A) —

с решением ω = ω_sn(k = 0.45p₀). Мнимая часть

это десятки МэВ.

этого решения определяет нейтронную ширину

Вторая использованная модель — это модель

гигантского резонанса.

Штейнведеля-Йенсена

[26], она дает другую

Таким образом, на рис. 6б построена структур-

(большую) величину для волнового момента ги-

ная функция, которая соответствует изовекторным

гантского дипольного резонанса в ядрах: k_A =

нуль-звуковым возбуждениям и возбуждению ph-

= 2.08/R_A. Для таких k_A все ω_sn(k_A, β_A) ком-

пар в асимметричной материи.

плексны, и на рис. 7б показана величина d_A(β_A),

как она определена в (24). В этом случае никакой

6. ВЛИЯНИЕ ИЗОСКАЛЯРНОГО

определенной зависимости d_A от β, A и k_A не

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАЗИЧАСТИЦ

наблюдается, и единственное, что можно отметить,

НА ЧАСТОТЫ ИЗОВЕКТОРНЫХ

что влияние изоскалярного взаимодействия на

ВОЗБУЖДЕНИЙ

изовекторные моды мало.

При вычислении решений дисперсионного урав-

Однако как показано в работе [1], при большой

нения (8) был опущен вклад изоскалярного вза-

плотности среды и в рамках метода, использую-

имодействия квазичастиц, мы полагали F = 0. В

щего самосогласованные определения параметров

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

294

САДОВНИКОВА, СОКОЛОВ

d_A, МэВ

ветви решений: ω_sn(k, β), ω_sp(k, β) и ω_snp(k, β)

0.05

(рис. 3).

Показано, что при переходе от симметричной

0.04

к асимметричной материи нуль-звуковая ветвь

ω_s(k,β = 0) разветвляется на ω_sn(k,β) и ω_snp(k,β)

0.03

в точке k_t(β = 0) (с другой стороны, две упомя-

0.02

нутых ветви сливаются в этой точке при β → 0)

(рис. 4а). Также показано, что ветви ω_sn(k, β) и

0.01

ω_sp(k,β) сливаются для волновых векторов k > k_c

и β → 0, переходя в ωs1(k,β = 0) (рис. 5б). Ветвь

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

ω_sn(k,β) является вещественной и описывает

стабильные возбуждения в материи для волновых

d_A, МэВ

векторов k < k_t(β) и β → 0. Однако в интервале

k_t < k < k_c предел β → 0 отсутствует как для

0.05

ω_sn(k,β), так и для ω_sp(k,β).

0.04

Чтобы получить решения при β < 0, следует за-

менить n ↔ p в обозначениях ветвей, полученных

0.03

при β > 0 (кулоновское взаимодействие в работе не

учитывается). Поведение решений в зависимости

0.02

от β во всем рассматриваемом интервале -0.5 ≤

0.01

≤ β ≤ 0.5 при заданных k зависит от значения k

(рис. 5в).

В разд. 5 построена структурная функция, свя-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

занная с нуль-звуковыми возбуждениями в ядер-

ной материи, которые возникают под действием

Рис. 7. Влияние изоскалярного взаимодействия ква-

изовекторного внешнего поля (рис. 6б). Представ-

зичастиц F на частоты изовекторных возбуждений

лен вклад трех ветвей нуль-звукового возбуждения

в ядрах. а — Разность dA (24) для kA = π/(2RA),

в структурную функцию S(ω, k), который отвеча-

отобраны ядра, в которых получены стабильные воз-

ет трем решениям дисперсионного уравнения (14)

бужденные состояния при таких kA. б — Разность dA

в асимметричной материи β = 0.1667 и при k =

(24) для kA = 2.08/RA.

= 0.45p₀.

Основные вычисления выполнены с учетом

среднего поля и квазичастичного взаимодействия,

только изовекторного взаимодействия квазича-

имеется сильное взаимное влияние изоскалярных и

стиц: F^′ = 1.0, F = 0. В разд. 6 показано, что учет

изовекторных вибраций с сопутствующим истоще-

изоскалярного взаимодействия F не влияет на

нием коллективности в изовекторной моде.

частоты возбуждений в симметричной материи и

в ядрах с N = Z. При β > 0 частоты решений

слабо зависят от F . Вклады в вещественные

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

решения примерно линейно растут с β, изменения

В настоящей работе получены ветви нуль-

составляют доли процента (рис. 7а). Тогда как

звуковых возбуждений в ядерной материи с рав-

в случае комплексных решений малость вкладов

новесной плотностью и с параметром асимметрии,

сохраняется, хотя регулярной зависимости не

изменяющимся в интервале -0.5 ≤ β ≤ 0.5. Эти

обнаружено (рис. 7б).

решения удовлетворяют дисперсионному урав-

Полученные структурные функции могут быть

нению (14) (в симметричной материи это (13))

использованы для вычисления сечений полупрямо-

и являются комплексными функциями. Мнимая

го фоторазвала (γ, n), (γ, p) для конкретных ядер.

часть решений описывает затухание нуль-звуковых

Нельзя говорить о качественном согласии с экспе-

возбуждений из-за смешивания со свободными

риментом в такой упрощенной модели. Однако по-

частично-дырочными парами.

лученные результаты могут выявить те закономер-

Цель работы состояла в том, чтобы получить

ности в поведении сечений фотоядерных реакций,

ветви решений и связать решения при различных β.

которые обусловлены природой ядерной материи,

Это определяет появление и тип ветвей. Исследо-

а не структурой ядра: зависимость максимумов

валась симметричная и асимметричная материя. В

сечений от изменения β при фиксированном Z или

симметричной материи получено две ветви решений

N, поведение сечений при фиксированном β при

ω_s(k,β = 0) и ωs1(k,β = 0) (рис. 2). В асиммет-

разных A. Результаты расчетов (особенно рис. 4)

ричной материи для каждого β > 0 построено три

весьма чувствительны даже к незначительному

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022

СВЯЗЬ НУЛЬ-ЗВУКОВЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

295

изменению входных параметров задачи. Поэтому

12.

В. А. Садовникова, М. А. Соколов, Изв. РАН.

есть основания полагать, что вклады таких важных

Сер. физ. 80, 1069 (2016)

[V. A. Sadovnikova,

поправок, как учет разности масс протона и ней-

M. A. Sokolov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 80, 981

(2016)].

трона, зависимость силовых констант взаимодей-

13.

В. А. Садовникова, М. А. Соколов, Изв. РАН.

ствия (2) от плотности среды могут быть исследо-

Сер. физ. 81, 1338 (2017)

[V. A. Sadovnikova,

ваны в рамках предложенного метода. Кроме этого,

M. A. Sokolov, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 81, 1196

есть интерес к задаче о вычислении “изотопиче-

(2017)].

ского расщепления” нуль-звуковых возбуждений в

14.

A. B. Migdal, A. A. Lushnikov, and D. F. Zaretsky,

асимметричной материи. Это аналог изотопическо-

Nucl. Phys. A 66, 193 (1965).

го расщепления в ядрах, когда нейтрон может быть

15.

А. Б. Мигдал, Д. Н. Воскресенский, Э. Е. Сапер-

выбит в сплошной спектр из состояний с p < pFp

штейн, М. А. Троицкий, Пионные степени свобо-

или из состояний с p > pFp [27].

ды в ядерном веществе (Наука, Москва, 1991).

16.

В. А. Садовникова, Изв. РАН. Сер. физ. 78, 853

Авторы выражают благодарность М.Г. Рыскину

(2014)

[V. A. Sadovnikova, Bull. Russ. Acad. Sci.

за полезные обсуждения.

Phys. 78, 636 (2014)].

Авторы заявляют, что у них нет конфликта ин-

17.

В. А. Садовникова, ЯФ

70,

1024

(2007)

тересов.

[V. A. Sadovnikova, Phys. At. Nucl. 70, 989 (2007)].

18.

T. Ericson and W. Weise, Pions and Nuclei

(Clarendon Press, Oxford, 1988).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

19.

В. А. Садовникова, Изв. РАН. Сер. физ. 85, 1482

M. Colonna, M. Di Toro, and A. B. Larionov, Phys.

(2021)

[V. A. Sadovnikova, Bull. Russ. Acad. Sci.

Lett. B 428, 1 (1998).

Phys. 85, 1155 (2021)].

M. Di Toro, V. M. Kolomietz, and A. B. Larionov,

20.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

Phys. Rev. C 59, 3099 (1999).

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1983).

A. B. Larionov, I. N. Mishustin, L. M. Satarov, et al.,

21.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

Phys. Rev. C 78, 014604 (2008).

физика (Наука, Москва, 1976).

A. B. Larionov, T. Gaitanos, and U. Mosel, Phys. Rev.

22.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзяло-

C 85, 024614 (2012).

шинский, Методы квантовой теории поля в

E. Lipparini and E. Pederiva, Phys. Rev. C 88, 024318

статистической физике (Физ.-мат. литература,

(2013).

Москва, 1962).

U. Fuhrmann, K. Morawetz, and R. Walke, Phys. Rev.

23.

E. S. Hernandez, J. Navarro, and A. Polls, Nucl.

C 58, 1473 (1998).

Phys. A 627, 460 (1997).

V. M. Kolomietz and S. Shlomo, Phys. Rev. C 64,

24.

R. J. Eden, P. V. Landshoff, D. I. Olive, and

044304 (2001).

J. C. Polkinghorne, The Analytic S-Matrix (Uni-

F. L. Braghin, D. Vautherin, and A. Abada, Phys. Rev.

versity Press, Cambridge, 1966).

C 52, 2504 (1995).

25.

Характеристики атомных ядер, nuclphys.sinp.

V. Greco, M. Colonna, M. Di Toro, and F. Matera,

msu.ru/anuc/table.pdf, табл. 12 (2014).

Phys. Rev. C 67, 015203 (2003).

26.

H. Steinwedel, J. H. D. Jensen, and P. Jensen, Phys.

10.

A. Pastore, D. Davesne, and J. Navarro, Phys. Rept.

Rev. 79, 1019 (1950).

563, 1 (2015).

11.

D. Davesne, A. Pastore, and J. Navarro, Prog. Part.

27.

Б. С. Ишханов, И. М. Капитонов, УФН 191, 147

Nucl. Phys. 120, 103870 (2021).

(2021).

CONNECTION OF ZERO-SOUND EXCITATIONS IN SYMMETRIC

AND ASYMMETRIC NUCLEAR MATTER

V. A. Sadovnikova¹⁾, M. A. Sokolov²⁾

¹⁾NRC “Kurchatov Institute”-PNPI, Gatchina, Russia

²⁾Military Telecommunication Academy, St.-Petersburg, Russia

We present the method of calculation of zero-sound excitation frequencies in the symmetric and

isospin asymmetric nuclear matter. In asymmetric matter three branches of the dispersion equation

complex solutions ω_si(k, β), i = p, n, np are obtained but in symmetric matter two branches ω_s(k, β = 0),

ωs1(k, β = 0) were found. It is shown how these branches are interconnected. The response functions and

the structure functions based on ω_si(k, β) are calculated in nuclear matter.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№4

2022