ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 5, с. 353-365
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ УРОВНЕЙ
ЭНЕРГИЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДВУХФЕРМИОННОЙ
СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ
© 2022 г. Ю. Д. Черниченко1),2)*
Поступила в редакцию 25.03.2022 г.; после доработки 25.05.2022 г.; принята к публикации 28.05.2022 г.
Новые квазиклассические условия квантования уровней энергий псевдоскалярных, векторных и
псевдовекторных мезонов как составных систем двух релятивистских фермионов произвольных масс,
взаимодействующих как посредством несингулярных запирающих потенциалов, так и сингулярных
запирающих потенциалов воронкообразного типа с кулоновским (хромодинамическим) взаимодей-
ствием, были получены. Рассмотрение проведено в рамках релятивистского квазипотенциального
подхода, основанного на ковариантной гамильтоновой формулировке квантовой теории поля, путем
перехода от импульсной формулировки в пространстве Лобачевского к трехмерному релятивистскому
конфигурационному представлению для случая составной системы двух релятивистских спиновых
частиц произвольных масс.
DOI: 10.31857/S004400272205004X
1. ВВЕДЕНИЕ
т.е. лежат на массовых поверхностях. Тем самым
двухчастичная задача сводится к одночастичной,
Нерелятивистская модель описания уровней
описание которой ведется на языке волновой РКП-
энергий мезонов, основанная на решении нереля-
функции одной релятивистской частицы, удовле-
тивистского уравнения Шредингера с линейным
потенциалом
творяющей полностью ковариантному трехмерно-
му РКП-уравнению в импульсном пространстве
Vlin(r) = σr, σ > 0,
(1)
(см., например, работы [8-12]). Кроме того, РКП-
оказалась непригодной для существенно реляти-
подход для случая взаимодействия двух реляти-
вистских систем. Это связано с тем, что вклад
вистских спиновых частиц равных масс m1 = m2 =
релятивистских поправок для высших радиальных
= m, развитый в работах [5-7], позволяет перейти
возбуждений становится большим (v2/c2 ≈ 0.4), а
от импульсной формулировки в пространстве Ло-
для легких векторных ρ-, ω-мезонов он даже срав-
бачевского к трехмерному релятивистскому кон-
ним с вкладом нерелятивистского гамильтониана,
фигурационному представлению, введенному в [13].
выбираемого в качестве основного [1-3].
В работе [14] было получено релятивистское
В качестве релятивистской модели описания
квазиклассическое (ВКБ) условие квантования
спектра масс мезонов может быть использован
уровней энергий связанной системы, состоящей
одновременный полностью ковариантный двухча-
из двух релятивистских бесспиновых частиц
стичный трехмерный релятивистский квазипотен-
произвольных масс m1 и m2, взаимодейству-
циальный (РКП) подход Логунова-Тавхелидзе в
ющих посредством сингулярного запирающего
квантовой теории поля [4]. В настоящем исследо-
потенциала воронкообразного типа с кулоновским
вании используется тот вариант РКП-подхода [5]
взаимодействием
к задаче о составной системе двух релятивистских
αs
спиновых частиц, который основан на гамильто-
V (r) = Vconf(r) -
,
(2)
новой формулировке квантовой теории поля [6, 7].
r
При этом важно, что трехмерность в нее заложе-
где Vconf(r) — запирающий потенциал (Vconf(0) =
на с самого начала, а все частицы даже в про-
= 0), а αs — кулоновская константа связи. Рас-
межуточных состояниях являются физическими,
смотрение проведено в рамках РКП-подхода, раз-
работанного в [5] и обобщенного в [15, 16] для
1)Гомельскийгосударственныйтехническийуниверситетим.
случая составных систем двух релятивистских бес-
П.О. Сухого, Гомель, Беларусь.
спиновых частиц произвольных масс. В принятом
2)Международный центр перспективных исследований,
ГГТУ, Гомель, Беларусь.
в работе [14] приближении (α′s ≪ 2Λsh χ′) ВКБ-
*E-mail: chyud@mail.ru;chern@gstu.by
условие квантования уровней энергий составной
353
354
ЧЕРНИЧЕНКО
системы с относительным орбитальным моментом
Настоящая работа является продолжением
ℓ ≥ 0 имеет вид
работ автора [14, 19] и посвящена получению
релятивистским аналогом модифицированного
∫
(
)
ℓ
3
ВКБ-метода (см. также работы
[17,
18,
20])
drχ(r) = πλ′ n +
+
-
(3)
2
4
релятивистских формул для условий квантования
0
уровней энергий связанной системы c относитель-
ным орбитальным моментом ℓ ≥ 0, состоящей из
- λ′δCoul,WKBℓ(χ′),
двух релятивистских спиновых частиц произволь-
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
ных масс m1 и m2. Рассмотрены случаи, когда
взаимодействие двух релятивистских фермионов
Здесь λ′ = ℏ/m′c — комптоновская длина волны
произвольных масс является либо несингулярным,
эффективной релятивистской частицы массы m′ =
чисто запирающим, либо содержит кулоновское
=
√m1m2 с относительным 3-импульсом q′ и
√
(хромодинамическое) взаимодействие. В разд.
энергией Eq′ = c
m′2c2 + q′2, связанной с полной
2
в рамках РКП-подхода в квантовой теории
энергией взаимодействующих частиц в с.ц.и.
√s =
поля, сформулированного в релятивистском r-
√
√
представлении для случая взаимодействия двух
=M =c
m21c2 + q2 + c
m22c2 + q2 соотноше-
релятивистских спиновых частиц произвольных
нием M = (m′/μ)Eq′ , где μ = m1m2/(m1 + m2) —
масс [15, 16], получены ВКБ-решения уравнения
приведенная масса; функция
для радиальной волновой РКП-функции ϕℓ(r, χ′) и
√
χ(r) = archX(r) = ln[X(r) +
X2(r) - 1]
определены условия применимости релятивистско-
го ВКБ-приближения. В разд. 3 в релятивистском
имеет смысл быстроты составной системы, что
ВКБ-приближении получены условия квантования
движется в поле потенциала V (r), где функция
уровней энергий псевдоскалярных, векторных и
X(r) определяется выражением
псевдовекторных мезонов как связанных систем
μ
двух релятивистских спиновых кварков произволь-
X(r) =
(M - V (r)) ,
ных масс, взаимодействующих посредством несин-
m′2c2
гулярных запирающих потенциалов и потенциалов
а величина
воронкообразного типа с кулоновским (хромо-
δCoul,WKBℓ(χ′) ≈
(4)
динамическим) потенциалом. В разд. 4 проведе-
(
)
′
но исследование влияния спиновых параметров
α′s
2r+ sh χ
≈
ln
√
,
псевдоскалярной связанной системы, состоящей
2sh χ′
λ′
Λ2 + (α′s/2sh χ′)2
из двух релятивистских фермионов произвольных
2μαs
масс, взаимодействующих посредством суммы
Λ = ℓ + 1/2,
α′s =
линейного и кулоновского (хромодинамического)
ℏm′c
потенциалов, на ее спектр масс. Результаты
представляет собой фазу релятивистской куло-
исследований обсуждаются в Заключении.
новской волновой функции в ВКБ-приближении,
вычисленную при α′s ≪ 2Λsh χ′ в правой точке
поворота r+, которая определяется потенциалом
2. ВКБ-МЕТОД РЕШЕНИЯ
Vconf(r), т.е. как при ℓ = 0 условием X(r+) = 1,
РКП-УРАВНЕНИЯ
где χ′ — быстрота, которая параметризирует от-
В основу нашего рассмотрения положено
носительный 3-импульс q′ и энергию Eq′ и M
полностью ковариантное РКП-уравнение в r-
соотношениями
представлении в конечно-разностной форме для
q′ = m′csh χ′nq′ ,
|nq′ | = 1,
радиальной волновой РКП-функции ϕℓ(r, χ′) свя-
2
занной системы с относительным орбитальным
m′2c
Eq′ = m′c2 ch χ′, M =
ch χ′.
моментом ℓ ≥ 0, состоящей из двух релятивистских
μ
спиновых частиц произвольных масс m1, m2,
Заметим, что при αs = 0 и m1 = m2 = m ВКБ-
взаимодействующих посредством сферически сим-
условие квантования уровней энергий составной
метричных квазипотенциалов. Это РКП-уравнение
системы (3) совпадает с его аналогом, который был
было построено в [21] и имеет вид3)
получен в работе [17].
(
)
Hrad
- ch χ′ ϕℓ(r, χ′) =
(5)
Отметим еще работы [18], в которых в рамках
0,ℓ
РКП-подхода [5] были найдены квазиклассические
(
)
Hrad
выражения для ширин лептонных распадов вектор-
= -V (r
A
0,ℓ
ϕℓ(r, χ′).
ных и псевдоскалярных мезонов и квазиклассиче-
ские условия квантования уровней энергий мезо-
3)Аналогичное уравнение для случая двух спиновых частиц
нов.
равных масс было получено в [22].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
355
Здесь
причем значения спиновых параметров a′, b′ в (7)
(
)
(
)
при m1 = m2 = m совпадают с аналогичными вы-
d
λ′2ℓ(ℓ + 1)
d
Hrad
= ch iλ′
+
exp iλ′
ражениями для них a, b, которые были получены
0,ℓ
dr
2r(r + iλ′)
dr
в [22].
– радиальная часть оператора свободного гамиль-
Напомним, что для простоты рассмотрения, как
тониана
и в работах [21-23], мы считаем, что квазипо-
[
(
)
∂
Ô⊗
тенциал имеет биспинорную структуру вида
Ĥ0
= 2m′c2 ch iλ′
+
∂r
⊗ ˆ, а вершинная функция также имеет заданную
(
)
(
)]
′
спинорную структуру, пропорциональную матрице
iλ
∂
λ′2
∂
+
sh iλ′
-
Δθ,ϕ exp iλ′
,
Ô, не зависящую от импульсных переменных, а
r
∂r
2r2
∂r
шпур Sp[Ô+ Ô] = 0, где в качествеÔ выбираются
являющегося конечно-разностным оператором,
матрицы Дирака γ5, γμ, γ5γμ (μ = 0, 1, 2, 3). Такой
построенным из операторов сдвига exp (±iλ′∂/∂ r),
выбор матрицы
Ô позволил авторам работ [21-
в то время как Δθ,ϕ — его угловая часть, χ′ —
23] найти точные решения РКП-уравнения (5) с
быстрота, которая параметризирует импульс и
кулоновским потенциалом
энергию MQ4):
αs
VCoul = -
,
(9)
Δq′,m′λQ = m′csh χ′nΔ
,
(6)
q′,m′λQ
r
′
m
возможность применения которого была детально
|nΔq′,m′λ
| = 1, MQ =
Δ0
,
Q
q′,m′λQ
исследована в работах [18]. В этих работах в
μ
рамках РКП-подхода [5] квазипотенциал, пред-
Δ0
= m′c2 ch χ′,
q′,m′λQ
ставляющий собой фейнмановский матричный
элемент для случая обмена векторным безмас-
квазипотенциал V (r) является локальным в смыс-
совым бозоном (глюоном) и содержащий все
ле геометрии Лобачевского и для простоты счита-
спиновые эффекты, был подробно исследован
ется не зависящим от энергии MQ, а оператор
A
в r-представлении (см. также работу [24]). Это
дается выражением
позволило авторам этих работ в рамках РКП-
[
]
(
)
(
)
1
подхода [5] получить ВКБ-условия квантования
Hrad
Hrad
A
0,ℓ
=
a′
0,ℓ
2 +b′ ,
уровней энергий и выражения для лептонных
4
ширин распадов векторных и псевдоскалярных
где
⎧
мезонов в ВКБ-приближении в предположении,
⎪
что квазипотенциал является действительным и
g′2
при
Ô= γ5 (псевдоскаляр);
⎨
1
представляет собой в r-представлении комби-
g′2
при
Ô= γμ (вектор);
a′ =
нацию потенциала запирания и образа скаляр-
⎪2
ной части однобозонного обменного потенциала
⎩-1g′2
при
Ô= γ5γμ (псевдовектор);
Vc(r) = - cth(πmr)/r (ℏ = c = 1),
пренебрегая
2
(7)
функцией cth(πmr). Тем самым авторы в [18]
⎧
ограничились учетом лишь скалярной части образа
⎪1-g′2
при
Ô= γ5 (псевдоскаляр);
однобозонного обменного потенциала, пренебрегая
⎪
⎨
функцией cth(πmr), которая существенно меня-
3
1
b′ =
-
g′2
при
Ô= γμ (вектор);
ется только на расстояниях порядка λ = 1/m от
⎪4
2
⎪1
1
начала координат, и, следовательно, на больших
⎩
+
g′2
при
Ô= γ5γμ (псевдовектор).
расстояниях r ≫ λ она не влияет на величину
4
2
уровней энергий. Более того, замена скалярной
Фактор g′ в (7) определяется выражением
части образа однобозонного обменного потенциала
′
m
m1 + m2
Vc(r) = - cth(πmr)/r на кулоновский потенци-
g′ =
=
√
,
(8)
ал (9), в котором αs — эффективная константа
2μ
2
m1m2
взаимодействия, уместна, поскольку, как было
√
отмечено в работе [25], потенциалу (9) в РКП-
4)Напомним, что здесь λQ = (λQ; λQ) = Q/
Q2 —
4-вектор скорости составной частицы с 4-импульсом Q =
подходе в импульсном пространстве Лобачевского
= q1 + q2, причем все 4-импульсы принадлежат верхним
соответствует выражение
пол ´ам массовых гиперболоидов Δ2q′,m′λ
=Δ0′
q ,m′λQ
-
Q
1
− c2Δ2q′,m′λ
=m′2c4,
где
VCoul(χΔ) ∼ -
Q
Δ0q′,m′λQ , Δq′,m′λQ—
χΔ shχΔ
временная и пространственная компоненты 4-вектора
Λ-1λq′ = Δq′,m′λQ из пространства Лобачевского
Здесь относительная быстрота χΔ параметризи-
Q
(подробности см. в работе [21]).
рует 3-вектор передачи импульса Δ = m sh χΔnΔ
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
356
ЧЕРНИЧЕНКО
CL,R
(|nΔ| = 1) в пространстве Лобачевского и связа-
=
√
×
на с квадратом переданного 4-импульса t = (k -
24
[X2(r) - R2(r)][1 + a′V (r)X(r)]
{
}
- p)2 = -Q2 соотношением
[
[
L,R
iπ]
√
× exp iα
(r) ∓
+ exp iαL,R-(r) ± iπ]
,
+
Q2 = -t = -2m2 + 2m
m2 + Δ2 =
(10)
4
4
где
= 2m2 (ch χΔ - 1) .
∫
r
При больших Q2, согласно выражению
(10),
αL,R±(r) =1
dr′χ±(r′),
(15)
χΔ ≈ ln(Q2/m2) и, следовательно, потенциал
λ′
rL,R
VCoul(χΔ) ведет себя как [(Q/m)2 ln(Q/m)2]-1,
что воспроизводит главное поведение потенциала
CL,R — нормировочные константы, а левая rL и
в КХД, который в лидирующем порядке пропор-
правая rR точки поворота определяются как точки
ционален αs(Q2)/Q2, где αs(Q2) — инвариантный
ветвления корня в (15):
заряд. Такое КХД-подобное (хромодинамическое)
X (rL,R) = R(rL,R).
поведение кулоновского потенциала (9) в РКП-
подходе впервые было отмечено в работе [25].
Условие применимости релятивистского ВКБ-
Таким образом, мы полагаем, что внутри адрона
метода в спиновом случае, основанное на выраже-
взаимодействие двух релятивистских спиновых
ниях в (12) для первых двух членов представле-
кварков произвольных масс m1, m2 осуществля-
ния (11), дается неравенством
ется в r-представлении посредством сингулярного
воронкообразного потенциала запирания (2), в
ch χeff(r)
dχ+(r)
λ′
1,
(16)
котором Vconf(0) = 0.
≪
χ+(r)sh χeff(r) dr
В релятивистском ВКБ-приближении решение
где
уравнения (5) ищется в обычном виде [14, 17, 18,
(
√
)
20, 24]
χeff(r) = archXeff(r) = ln Xeff(r) + X2eff(r) - 1 ,
[
]
i
ϕℓ(r, χ′) = exp
g(r) ,
(11)
X (r)
ℏ
Xeff(r) = ch χeff(r) =
R(r)
)2
ℏ
(ℏ
g(r) = g0(r) +
g1(r) +
g2(r) +
В случае ℓ = 0 условие (16) преобразуется в нера-
i
i
венство
Для первых двух членов представления (11) нахо-
ch χS (r)
dχS (r)
λ′
1,
дим
≪
χS(r)shχS(r) dr
∫
ℏ
g0(r) = m′c drχ±(r) +
φ,
(12)
где величина
i
χS(r) = archX(r) =
(17)
1
[
]
√
g1(r) = -
×
4
= ln X (r) +
X2(r) - 1
(
)
× ln
[X2(r) - R2(r)][1 + a′V (r)X(r)]
+c±,
имеет смысл быстроты эффективной релятивист-
где
ской частицы массы m′, движущейся в поле потен-
[
√
]
циала V (r), в терминах которой измеряется рас-
χ±(r) = ln X(r) ±
X2(r) - R2(r) ,
(13)
стояние между двумя точками импульсного про-
2X(r)
странства Лобачевского.
X (r) =
√
,
1+
1 + a′V (r)X(r)
′
b
3. ВКБ-УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
X(r) = ch χ′ -
V (r),
4
УРОВНЕЙ ЭНЕРГИЙ
√
2
λ′2Λ
Условие квантования уровней энергий, как и
R(r) =
1+
,
Λ = ℓ + 1/2.
r2
в бесспиновом случае [14], находим из условия
совпадения волновых функций в (14) в точке r ∈
Учет выражений в (12) для первых двух чле-
∈ (rL; rR). Для этого необходимо положить
нов представления (11) позволяет получить ВКБ-
⎡
⎤
решения с левой rL и правой rR точками поворота
∫r
в области rL ≤ r ≤ rR:
CL = Cℓ exp⎣-i
dr′ ln R(r′)⎦ ,
′
λ
ϕL,Rℓ(r, χ′) =
(14)
rL
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
357
⎡
⎤
r
∫
3.2. Случай конфайнментного потенциала
CR = Cℓ(-1)n exp ⎣-i
dr′ ln R(r′)⎦ ,
с кулоновским взаимодействием
λ′
rR
В случае сингулярного конфайнментного потен-
циала вида (2), т.е. когда к несингулярному потен-
где Cℓ — произвольная постоянная, что ведет к
циалу запирания Vconf(r) добавляется кулоновское
ВКБ-условию квантования уровней энергий
(хромодинамическое) взаимодействие (9), необхо-
∫
(
)
1
димо в условии квантования уровней энергий (18)
dr [χ+(r) - ln R(r)] = πλ′ n +
,
(18)
теперь вынести за знак интеграла зависимости от
2
центробежного и кулоновского членов в выраже-
rL
нии для χ+(r). При этом точка поворота rR ≈ r+
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
по-прежнему определяется условием (20). Одна-
При a′ = 0, b′ = 2/g′m′c2 ВКБ-условие квантова-
ко точка поворота rL ≈ r- теперь определяется в
ния уровней энергий (18) совпадает с аналогичным
основном суммой центробежного и кулоновского
выражением, которое было получено в работе [14]
членов и находится из условия
(
)
для случая двух бесспиновых частиц произвольных
b′αs
масс, а в случае равных масс m1 = m2 = m (g′ =
2
ch χ′ +
=
(21)
4r-
= 1) выражение (18) переходит в ВКБ-условие
[
√
√
(
)]
квантования уровней энергий, полученное в случае
a′αs
b′αs
λ′2Λ2
спиновых частиц равных масс в работе [19].
= 1+
1-
ch χ′ +
×
1+
2
r-
4r-
r
-
3.1. Случай несингулярного конфайнментного
В качестве значения для точки поворота r- можно
потенциала
взять приближенное решение уравнения (21)
√
Для несингулярного чисто запирающего (кон-
-B′ ch χ′ +
Λ2 + B′2
файнментного)
потенциала
V (r) = Vconf(r)
r- ≈ λ′
,
(22)
sh χ′
(Vconf(0) = 0) интеграл в (18) преобразуем к более
простому виду вынесением зависимости от центро-
где параметр B′ дается выражением
бежного члена в χ+(r) за знак интеграла путем
α′s(a′ ch2 χ′ + b′)
αs
разбиения на две части области интегрирования в
B′ =
,
α′s =
(23)
(18) точкой R, лежащей в классически допустимой
4sh χ′
λ′
области движения и такой, что значение R можно
Отметим, что параметр B′ в (23) входит в вы-
считать большим по сравнению с rL, т.е. как,
ражение для кулоновской волновой функции, опи-
например, в бесспиновом случае (подробности
сывающей s-состояние (ℓ = 0) связанной системы,
см. в [14]). В результате проведенных вычислений
состоящей из двух фермионов произвольных масс,
приходим к следующему ВКБ-условию кванто-
взаимодействующих посредством кулоновского
вания уровней энергий в случае несингулярного
конфайнментного потенциала
потенциала (9). При χ′ = iκn параметр B′ связан
с условием квантования уровней энергий такой
∫
(
)
ℓ
3
системы (подробности см. в работах [21, 22, 26]):
drχS(r) = πλ′ n +
+
,
(19)
2
4
α′s(a′ cos2 κn + b′)
0
= n,
4sin κn
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
n = 1,2,...,
0 < κn < π/2.
Выражение (19) по форме совпадает как c выраже-
ниями, полученными в бесспиновом случае в рабо-
Разобьем область интегрирования в (18) на две
тах [14, 17], так и в случае спиновых частиц равных
части точкой R, лежащей в классически допу-
масс в работе [19]. Однако быстрота χS (r) теперь
стимой области движения и такой, что значение
R можно считать большим по сравнению с rL.
дается выражением (17) при V (r) = Vconf(r), при-
чем точка поворота rL определяется, также как в
Тогда условие квантования уровней энергий (18)
запишется в виде
бесспиновом случае и в случае спиновых частиц
равных масс, центробежным членом, т.е.
∫
(
)
1
λ′Λ
dr [χ+(r) - ln R(r)]
I1
I2
= πλ′ n +
,
rL ≈ r- =
,
2
sh χ′
rL
(24)
а точка поворота rR ≈ r+ — потенциалом Vconf(r),
т.е., как и в случае ℓ = 0, условием
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0,
X (r+) = 1.
(20)
где
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
358
ЧЕРНИЧЕНКО
⎧
∫R
⎨
2(Xconf(r) + b′αs/4r)
I1 =
dr ln
√
[
√
] +
⎩
1 + λ′2Λ2/r2 1+
1 + a′ (Vconf(r) - αs/r)(Xconf(r) + b′αs/4r)
rL
⎫
!⎡
⎤2
!
⎬
!
2(Xconf(r) + b′αs/4r)
+
√⎣
[
]⎦ -1
,
√
√
⎭
1 + λ′2Λ2/r2 1+
1 + a′ (Vconf(r) - αs/r)(Xconf(r) + b′αs/4r)
⎧
rR
⎨
2(Xconf(r) + b′αs/4r)
I2 =
dr ln
[
] +
√
√
⎩
1 + λ′2Λ2/r2 1+
1 + a′ (Vconf(r) - αs/r)(Xconf(r) + b′αs/4r)
R
⎫
!⎡
⎤2
!
⎬
!
2(Xconf(r) + b′αs/4r)
+
√⎣
[
]⎦ -1
,
√
√
⎭
1 + λ′2Λ2/r2 1+
1 + a′ (Vconf(r) - αs/r)(Xconf(r) + b′αs/4r)
′
b
Xconf(r) = ch χ′ -
Vconf(r).
4
(
)
В принятых приближениях r- ≪ R ≪ r+, α′s ≪
2r+ sh χ′
= B′ ln
√
-χ′ρ′
≪ 2Λ sh χ′, где точка поворота r+ определяется
λ′
Λ2 + B′2
условием (20), а точка поворота r- теперь дается
является фазой релятивистской кулоновской
выражением (22), для интегралов
I1
I2 получаем
функции в ВКБ-приближении в рассматриваемых
следующие результаты:
спиновых случаях, вычисленной в точке поворота
(
)
′
2R sh χ
r+ при α′s ≪ 2Λsh χ′. В случае спиновых частиц
I1 ≈ Rχ′ + λ′B′ ln
√
-
(25)
равных масс (g′ = 1) фаза в (28) совпадает с
λ′
Λ2 + B′2
ее выражением, полученным в работах [19, 24].
πλ′Λ
-
-λ′χ′ρ′,
Более того, при a′ = 0, b′ = 2/g′m′c2 как ВКБ-
2
условие квантования (27), так и выражение (28)
∫
совпадают с аналогичными выражениями в (3)
(r+)
I2 ≈ drχS(r) - Rχ′ + λ′B′ ln
,
(26)
и (4), которые были получены в бесспиновом
R
0
случае для произвольных масс в работе [14].
где
′
α′sa′ ch χ
3.3. Случай линейного потенциала
ρ′ =
4
с кулоновским взаимодействием
Наконец, подставляя в (24) выражения (25) и (26),
В качестве примера применения формулы (27)
приходим к ВКБ-условию квантования уровней
рассмотрим случай, когда в качестве конфайн-
энергий связанной системы двух фермионов произ-
ментного потенциала V (r) = Vconf(r) выбирается
вольных масс в случае взаимодействия (2):
линейный потенциал (1). Тогда с учетом (13) и (17)
∫
(
)
интеграл в правой части выражения (27) принимает
ℓ
3
вид
drχS(r) = πλ′ n +
+
-
(27)
2
4
∫
0
1
I =
dx ×
(29)
- λ′δCoul,WKB,Sℓ(χ′),
σ′
0
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
⎡
(
)
Здесь быстрота χS(r) по-прежнему дается выра-
⎢
2
ch χ′ -b′x
× ln⎢
√
жением (17) при V (r) = Vconf(r), а величина
⎣
(
) +
1+
1 + a′x chχ′ -b′x
δCoul,WKB,Sℓ(χ′) =
(28)
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
359
⎤
!⎛
⎞
(
)
2
!
!
2
ch χ′ -b′x
⎥
⎜
⎟
2) a′ = g′2/2, b′ = 3/4 - a′ (вектор):
!
⎥
+
!⎜
√
⎟
1⎥,
[
⎝
(
)⎠ -
√
⎦
4
ch χ′
1+
1 + a′x chχ′ -b′x
√
√
×
(32)
a′σ′
b′/a′
1 + b′/a′
(
√
)
где σ′ = λ′σ,b′ = b′/4, x = σr, точка поворота
th χ′
b′/a′
x+ = σr+ определяется из условия (20) и для
× arth
√
-
1 + b′/a′
линейного потенциала (1) дается выражением
(
)]
′
4(ch χ′ - 1)
1
sh χ
x+ =
-
√
arctg
√
=
a′ + b′
1 + b′/a′
1 + b′/a′
(
)
Выполним в (29) интегрирование по частям, а затем
ℓ
3
сделаем в полученном выражении замену перемен-
=π n+
+
- δCoul,WKB,Sℓ(χ′),
2
4
ной
(
)
b′/a′ ≥ 0 при
1 ≤ g′2 ≤ 3/2,
2
ch χ′ -b′x
t=
√
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0;
(
).
[
1+
1 + a′x chχ′ -b′x
4
ch χ′
√
√
×
(33)
В результате искомый интеграл преобразуется к
a′σ′
-b′/a′
1 + b′/a′
(
)
виду
√
⎡
th χ′
-b′/a′
× arctg
√
-
∫
4
⎢
dt
1 + b′/a′
I =
⎣ch χ′
√
-
(30)
(
)]
a′σ′
(t2 + b′/a′)
t2 - 1
1
sh χ′
1
-
√
arctg
√
=
⎤
1 + b′/a′
1 + b′/a′
∫
(
)
1
dτ
⎥
ℓ
3
-
⎦.
=π n+
+
- δCoul,WKB,Sℓ(χ′),
2
[τ + (a′ + b′)/a′]√τ
2
4
0
−1 < b′/a′ < 0 при g′2 > 3/2,
Вычисление интегралов в (30) для значений спи-
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0;
новых параметров a′, b′ в (7) позволяет получить
квазиклассические условия квантования уровней
энергий псевдоскалярных, векторных и псевдовек-
3) a′ = -g′2/2, b′ = 1/4 - a′, b′/a′ < -1
при
торных составных систем двух спиновых частиц
∀g′ ≥ 1 (псевдовектор):
произвольных масс, взаимодействие между кото-
[
рыми осуществляется посредством суммы линей-
4
ch χ′
-
√
√
×
(34)
ного и кулоновского (хромодинамического) потен-
a′σ′
-b′/a′
−1 - b′/a′
циалов. Результат можно представить в следую-
(
√
)
щем виде:
th χ′
-b′/a′
× arth
√
+
-1 - b′/a′
1) a′ = g′2, b′ = 1 - a′, -1 < b′/a′ ≤ 0 (псевдо-
(
)]
скаляр):
[
1
sh χ′
+
√
arth
√
=
4
ch χ′
-1 - b′/a′
-1 - b′/a′
√
√
×
(31)
a′σ′
(
)
-b′/a′
1 + b′/a′
ℓ
3
(
√
)
=π n+
+
- δCoul,WKB,Sℓ(χ′),
th χ′
-b′/a′
2
4
× arctg
√
-
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
1 + b′/a′
(
)]
′
Если воспользоваться соотношениями между об-
1
sh χ
-
√
arctg
√
=
ратными тригонометрическими и гиперболически-
1 + b′/a′
1 + b′/a′
ми функциями, то выражения для уровней энергий
(
)
(31)-(34) можно записать в виде общей формулы
ℓ
3
[
=π n+
+
- δCoul,WKB,Sℓ(χ′),
2
4
4
ch χ′
√
√
×
(35)
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0;
a′σ′
b′/a′
1 + b′/a′
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
360
ЧЕРНИЧЕНКО
(
√
)
(
)
ℓ
3
th χ′
b′/a′
Coul,WKB,S
=π n+
+
-δℓ
(χ′),
× arth
√
-
2
4
1 + b′/a′
(
)]
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0,
′
1
sh χ
-
√
arctg
√
=
где
1 + b′/a′
1 + b′/a′
⎧
⎪1)
- 1 < b′/a′ ≤ 0 для псевдоскаляра (a′ = g′2, b′ = 1 - a′);
⎪
⎪
⎨2) b′/a′ ≥ 0 при 1 ≤ g′2 ≤ 3/2 и
- 1 < b′/a′ < 0 при g′2 > 3/2
для вектора (a′ = g′2/2, b′ = 3/4 - a′);
(36)
⎪
⎪
3) b′/a′ < -1 при ∀ g′ ≥ 1 для псевдовектора
⎪
⎩(a′ = -g′2/2, b′ = 1/4 - a′),
⎛
⎞
√
√
а фактор g′ в (36) определяется выражением (8).
16
3
3 shχ + ch χ
ch χ ln⎝√
⎠-
Квазиклассическое условие квантования уров-
3
|2 ch2 χ - 3|
ней энергий составных систем двух релятивистских
√
бесспиновых частиц произвольных масс, взаимо-
√
2sh χ + 1
-4
2 ln√
=
действие между которыми также осуществляет-
2sh χ - 1
ся посредством суммы линейного и кулоновского
(
)
(хромодинамического) потенциалов, дается выра-
πσλ
ℓ
3
=
n+
+
(псевдовектор),
жением [14]
2mc2
2
4
1
(
)
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
χ′ ch χ′ - shχ′
=
(37)
σ′
Выражения (38) отличаются от условия кванто-
(
)
ℓ
3
вания уровней энергий в бесспиновом случае для
=π n+
+
- δCoul,WKBℓ(χ′),
произвольных масс (37) для чисто линейного по-
2
4
тенциала (1) (αs = 0) и при m1 = m2 = m:
λ′σ
(
)
σ′ =
,
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0,
πσλ
ℓ
3
2g′m′c2
χ ch χ - sh χ =
n+
+
,
(39)
2mc2
2
4
где фаза релятивистской бесспиновой кулонов-
n = 0,1,..., ℓ ≥ 0.
ской волновой функции в ВКБ-приближении
Проведенный сравнительный анализ формул (38) с
δCoul,WKBℓ(χ′) дана в (4).
формулой (39) для бесспинового случая показыва-
ет, что учет спина приводит к увеличению значений
Для случая равных масс (m1 = m2 = m) и чи-
уровней энергии, отвечающих фиксированным зна-
сто линейного потенциала (αs = 0) выражения для
чениям n и ℓ.
уровней энергий (31)-(34) переходят в выражения,
полученные в работе [19]:
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ
СПИНОВЫХ ПАРАМЕТРОВ
4(sh χ - arctg sh χ) =
(38)
ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ СОСТАВНОЙ
(
)
πσλ
ℓ
3
СИСТЕМЫ НА ЕЕ СПЕКТР МАСС
=
n+
+
(псевдоскаляр);
2mc2
2
4
В этом разделе проведем исследование влияния
(√
)
√
спиновых параметров a′ = g′2 и b′ = 1 - a′ в (7)
16
3
3 ch χ + sh χ
s-состояния (ℓ = 0) псевдоскалярной связанной
ch χ ln
√
-
3
системы, состоящей из двух релятивистских фер-
2 ch2 χ + 1
√
(√
)
мионов (кварков) произвольных масс m1 и m2,
8
6
2
взаимодействующих посредством суммы линейно-
-
arctg
shχ
=
го и кулоновского (хромодинамического) потенци-
3
3
(
)
алов, на значения ее уровней n энергий. Для та-
πσλ
ℓ
3
кого исследования были построены графики функ-
=
n+
+
(вектор);
2mc2
2
4
ций n = n(χ), соответствующие релятивистским
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
361
спиновому псевдоскалярному (a′ = g′2 и b′ = 1 -
n
- a′) и бесспиновому случаям и представленные
4
выражениями (35) и (37), взятыми при ℏ = c =
= 1, и отвечающие различным значениям пара-
3
метров взаимодействия кварков мезонов: линей-
ная (σ) и кулоновская (αs) константы взаимодей-
2
ствия, массы mu, md, ms для u-, d-, s-кварков,
образующих π±-, K±- и K0-мезоны с массами:
1
Mπ± = 139.60 МэВ, MK± = 493.71 МэВ и MK0 =
= 497.60 МэВ (ℓ = 0, n = 1) [27]. Значения факто-
0
ра g′, который определяется формулой (8) через
отношения масс mu, md, ms кварков, образующих
-1
0
0.5
1.0
1.5
2.0
π±-, K±- и K0-мезоны, были выбраны равными:
χ
g′π± = 1.0012, g′K± = 1.2679, g′
= 1.2313. Тогда,
K0
π±-мезон: M = 139.60 МэВ, σ = 0.0117, αs = 0.3149
принимая во внимание формулу (8) и определение
массы m′ =
√m1m2 эффективной релятивистской
K±-мезон: M = 493.71 МэВ, σ = 0.2261, αs = 0.3685
частицы, значения масс mu, md, ms для u-, d-, s-
K0-мезон: M = 497.60 МэВ, σ = 0.2183, αs = 0.3859
кварков и соответствующие им значения масс m′π± ,
n = 1
m′K± эффективной релятивистской частицы при
Рис. 1. Поведение функций n = n(χ) для π±-, K±-
m′K0 = 134.52 МэВ, где K0 = K0 определяются из
и K0-мезонов, представленных выражением (35), взя-
системы уравнений
тым при ℏ = c = 1, a′ = g′2, b′ = 1 - g′2 (псевдоска-
⎧
√
ляр) и отвечающим различным значениям параметров
⎪
взаимодействия кварков, составляющих мезоны.
⎪
mu = m′π±(g′π± - g′2π± - 1),
⎪
√
⎪
⎪
md = m′π±(g′π± + g′2π± - 1),
⎪
√
гий (35) было получено в рамках полностью кова-
⎪
⎨
риантного РКП-подхода в квантовой теории поля.
mu = m′K±(g′K± - g′2K± - 1),
√
При этом остается неоднозначность определения
⎪
⎪
ms = m′K±(g′K± + g′2K± - 1),
параметров взаимодействия. Для устранения этой
⎪
√
неоднозначности необходимо использовать другие
⎪
⎪
md = m′K
(g′K
- g′2 - 1),K
физические характеристики для рассматириваемых
0
0
0
⎪
√
⎪
связанных систем, либо зафиксировать некоторые
⎩ms = m′K
(g′K
+ g′2 - 1).K
0
0
0
параметры взаимодействия, например, мы фикси-
ровали значения фактора g′ (см. табл. 1).
Значения быстрот χ, соответствующие выбранным
На рис. 1 представлены кривые n = n(χ), кото-
значениям масс и фактора g′ для π±-, K±- и K0-
рым отвечают значения параметров для π±-мезона
мезонов, находятся согласно формулам (6) и (8) из
выражений
(сплошная кривая), K±-мезона (штриховая кри-
вая) и K0-мезона (штрихпунктирная кривая) из
Mπ± = 2m′π±g′π± ch χπ±,
(40)
табл. 1, а точечная линия соответствует случаю n =
= 1. Из рис. 1 видно, что поведение функций n =
MK± = 2m′K±g′K± ch χK±,
= n(χ) для π±-, K±- и K0-мезонов существенно
MK0 = 2m′K
g′K
ch χK0 .
0
0
зависит от значений параметров взаимодействия
Используя условие квантования уровней энер-
кварков, составляющих мезоны: констант взаимо-
гий (35) для случая псевдоскаляра (a′ = g′2, b′ =
действия (σ, αs) и фактора g′, который определяет-
= 1 - a′), по выбранным значениям фактора g′ и
ся формулой (8) через отношения масс mu, md, ms
найденным значениям быстрот χ посредством со-
кварков, образующих π±-, K±- и K0-мезоны.
отношений (40) были вычислены значения линей-
Для более детального исследования влияния
ной и кулоновской констант взаимодействия для
спиновых параметров s-состояния псевдоскаляр-
основного уровня (n = 1) π±-, K±- и K0-мезонов
ной составной системы на значения ее уровней
в s-состоянии (ℓ = 0). Значения найденных вели-
n энергий были построены графики функций n =
чин, включая линейную и кулоновскую константы
= n(χ) (рис. 2-4), соответствующие релятивист-
взаимодействия, приведены в табл. 1.
ским спиновому псевдоскалярному (штриховые
Подчеркнем, что результаты вычислений учи-
кривые) и бесспиновому (сплошные кривые) слу-
тывают релятивистский характер связанной систе-
чаям и представленные выражениями (35) и (37),
мы, поскольку условие квантования уровней энер-
взятыми при ℏ = c = 1, и отвечающие тем же
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
362
ЧЕРНИЧЕНКО
Таблица 1. Значения параметров π±-, K±- и K0-мезонов
Мезоны M, МэВ mu, МэВ md, МэВ ms, МэВ m′, МэВ
g′
χ
σ
αs
π±
139.60
62.57
69.00
65.71
1.0012
0.3475
0.0117
0.3149
K±
493.71
62.57
262.27
128.10
1.2679
0.9800
0.2261
0.3685
K0
497.60
69.00
262.27
134.52
1.2313
0.9643
0.2183
0.3859
значениям параметров взаимодействия кварков
= α′s = α′s = 0.3685, σ = σ′ = σ′ = 0.2261, mu =
для π±-, K±- и K0-мезонов, что и на рис. 1.
= 62.57 МэВ, ms = 262.27 МэВ, g′K± = 1.2679,
Точечные линии соответствуют случаю n = 1.
m′K± = 128.10 МэВ.
Из рис. 2 видно, что основному (n = 1) уровню
Из рис. 4 следует, что основному (n = 1) уровню
энергии s-состояния π±-мезона с массой Mπ± =
энергии s-состояния K0-мезона с массой MK0 =
= 139.60 МэВ в спиновом случае (штриховая
= 497.60 МэВ в спиновом случае (штриховая кри-
кривая) отвечает значение быстроты χ = 0.3475,
вая) отвечает значение быстроты χ = 0.9643, со-
соответствующее выбранным значениям парамет-
ответствующее выбранным значениям параметров
ров взаимодействия кварков, составляющих π±-
взаимодействия кварков, составляющих K0-мезон,
мезон, из табл. 1: α = α′s = α′s = 0.3149, σ = σ′ =
из табл. 1: α = α′s = α′s = 0.3859, σ = σ′ = σ′ =
= σ′ = 0.0117, mu = 62.57 МэВ, md = 69.00 МэВ,
= 0.2183, md = 69.00 МэВ, ms = 262.27 МэВ,
g′π± = 1.0012, m′π± = 65.71 МэВ.
g′K0 = 1.2313, m′
= 134.52 МэВ.
K0
Рисунок
3
показывает, что основному (n =
Также рис. 2-4 показывают, что значения быст-
= 1) уровню энергии s-состояния K±-мезона с
рот χ, отвечающие основному (n = 1) уровню энер-
массой MK± = 493.71 МэВ в спиновом случае
гии s-состояния π±-, K±- и K0-мезонов, суще-
(штриховая кривая) отвечает значение быст-
ственно больше в бесспиновых случаях (сплошные
роты χ = 0.9800, соответствующее выбранным
кривые), чем в спиновых случаях (штриховые кри-
значениям параметров взаимодействия квар-
вые).
ков, составляющих K±-мезон, из табл. 1: α =
Из рис. 1, 3 и 4 также видно, что кривые n =
= n(χ) для K±- и K0-мезонов как в спиновом,
n
так и в бесспиновом случаях различаются незначи-
4
тельно.
3
n
4
2
3
1
2
0
1
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
χ
0
π±-мезон (б/с): M = 139.60 МэВ, σ = 0.0117,
αs = 0.3149
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
π±-мезон (спин): M = 139.60 МэВ, σ = 0.0117,
χ
αs = 0.3149
K±-мезон (б/с): M = 493.71 МэВ, σ = 0.2261,
n = 1
αs = 0.3685
Рис. 2. Поведение функций n = n(χ) для π±-мезона,
K±-мезон (спин): M = 493.71 МэВ, σ = 0.2261,
соответствующих релятивистским спиновому псевдо-
αs = 0.3685
скалярному (a′ = g′2, b′ = 1 - g′2) и бесспиновому
n = 1
случаям и представленных выражениями (35) и (37),
взятыми при ℏ = c = 1, и отвечающих тем же зна-
Рис. 3. То же, что и на рис. 2, но для K±-мезона,
чениям параметров взаимодействия кварков для π±-
которому отвечают те же значения параметров взаимо-
мезона, что и на рис. 1.
действия кварков, составляющих его, что и на рис. 1.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
363
n
4
3
2
1
0
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
χ
K0-мезон (б/с): M = 497.60 МэВ, σ = 0.2183,
αs = 0.3859
K0-мезон (спин): M = 497.60 МэВ, σ = 0.2183,
αs = 0.3859
n = 1
Рис. 4. То же, что и на рис. 2, но для K0-мезона, которому отвечают те же значения параметров взаимодействия кварков,
составляющих его, что и на рис. 1.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Показано, что в рамках рассматриваемого пол-
В настоящей работе были получены новые ре-
ностью ковариантного РКП-подхода в квантовой
лятивистские квазиклассические выражения для
теории поля новые модифицированные реляти-
условий квантования уровней энергий псевдоска-
вистские ВКБ-условия квантования уровней энер-
лярных, векторных и псевдовекторных мезонов
гий устанавливают явную зависимость относитель-
как составных систем двух релятивистских фер-
ного орбитального момента ℓ от энергии резо-
мионов произвольных масс, взаимодействующих
нансов, что определяет релятивистские траектории
как посредством несингулярных запирающих по-
Редже семейства мезонов как связанной систе-
тенциалов, так и сингулярных запирающих по-
мы двух кварков. Полученные формулы позволя-
тенциалов воронкообразного типа с кулоновским
ют учитывать как влияние констант кулоновского
(хромодинамическим) взаимодействием. Рассмот-
(хромодинамического) и конфайментного (в част-
рение проводится на основе развитого математиче-
ности, линейного) взаимодействий, так и различия
ского аппарата РКП-подхода в ковариантной га-
масс кварков (фактор g′), при вычислении зна-
мильтоновой формулировке квантовой теории по-
чений уровней энергий и реджевских траекторий
ля путем перехода от импульсной формулиров-
связанных систем двух релятивистских фермионов
ки в пространстве Лобачевского к трехмерному
произвольных масс.
релятивистскому конфигурационному представле-
Установлено, что для всех трех рассматрива-
нию для случая составной системы двух реля-
емых спиновых структур мезонов (псевдоскаляр-
тивистских спиновых частиц (фермионов) произ-
ных, векторных и псевдовекторных) модифициро-
вольных масс. Для решения поставленной зада-
ванное релятивистское ВКБ-условие квантования
чи полностью ковариантное конечно-разностное
уровней энергий, которое отвечает сингулярному
РКП-уравнение в трехмерном релятивистском r-
потенциалу запирания с кулоновским (хромоди-
представлении для радиальной волновой функции
намическим) взаимодействием, включает в себя
составной системы, отвечающей псевдоскалярно-
поправочный член в виде фазы релятивистской
му, векторному и псевдовекторному случаям и со-
кулоновской функции в ВКБ-приближении, взятой
стоящей из двух релятивистских фермионов произ-
в точке поворота r+, соответствующей несингуляр-
вольных масс, было решено в ВКБ-приближении.
ному запирающему (конфайнментному) потенциа-
Определены условия применимости релятивист-
лу. Показано, что учет спина (фактор g′) приводит
ского ВКБ-приближения. Используемый подход
к увеличению значений уровней энергии, отвечаю-
непосредственно связан с возможностью предста-
щих фиксированным значениям n и ℓ.
вить полную энергию двух релятивистских спино-
вых частиц произвольных масс m1, m2 в с.ц.и. в ви-
Проведено исследование влияния спиновых па-
де выражения, пропорционального энергии одной
раметров псевдоскалярной составной системы, со-
эффективной релятивистской частицы массы m′.
стоящей из двух релятивистских фермионов про-
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
364
ЧЕРНИЧЕНКО
извольных масс, взаимодействующих посредством
8.
Р. Н. Фаустов, ТМФ 3, 240 (1970) [Theor. Math.
суммы линейного и кулоновского (хромодинамиче-
Phys. 3, 478 (1970)].
ского) потенциалов, на ее спектр масс. Показано,
9.
R. N. Faustov, Ann. Phys. (N.Y.) 78, 176 (1973).
что уровни энергий для π±-, K±- и K0-мезонов
10.
N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint
существенно зависят от значений параметров вза-
No. E2-11727, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков,
имодействия кварков, составляющих мезоны: кон-
И. Л. Соловцов, ЯФ 30, 1079 (1979) [Sov. J. Nucl.
стант взаимодействия (σ, αs) и фактора g′, завися-
Phys. 30, 562 (1979)].
щего от значений масс mu, md, ms кварков, обра-
11.
N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint
зующих π±-, K±- и K0-мезоны. Найдены значения
No. E2-11678, JINR (Dubna, 1978); Н. Б. Скачков,
быстрот χ, которые соответствуют выбранным зна-
И. Л. Соловцов, ТМФ 41, 205 (1979) [Theor. Math.
чениям параметров взаимодействия кварков, обра-
Phys. 41, 977 (1979)].
зующих π±-, K±- и K0-мезоны.
12.
А. Д. Линкевич, В. И. Саврин, Н. Б. Скачков, ТМФ
Новые релятивистские ВКБ-условия квантова-
53, 20 (1982) [Theor. Math. Phys. 53, 955 (1982)].
ния уровней энергий псевдоскалярных, векторных
13.
V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, and
и псевдовекторных мезонов, состоящих из двух ре-
N. B. Skachkov, Nuovo Cimento A 55, 233 (1968).
лятивистских фермионов произвольных масс, вза-
14.
В. В. Кондратюк, Ю. Д. Черниченко, ЯФ 81, 40
имодействующих как посредством несингулярных
(2018) [Phys. At. Nucl. 81, 51 (2018)].
запирающих потенциалов, так и сингулярных за-
15.
В. Г. Кадышевский, М. Д. Матеев, Р. М. Мир-
пирающих потенциалов воронкообразного типа с
Касимов, ЯФ 11, 692 (1970) [Sov. J. Nucl. Phys. 11,
хромодинамическим взаимодействием, получены в
388 (1970)].
рамках полностью ковариантного метода. Можно
ожидать, что они более полно учитывают как ре-
16.
В. Г. Кадышевский, Р. М. Мир-Касимов,
Н. Б. Скачков, ЭЧАЯ 2,
635
(1972)
[Sov. J.
лятивистский характер частиц составной системы,
Part. Nucl. 2(3), 69 (1972)].
так и эффекты, обусловленные как спинами частиц
составной системы, так и различием их масс.
17.
Н. Б. Скачков, И. Л. Соловцов, ЯФ 31, 1332 (1980)
[Sov. J. Nucl. Phys. 31, 686 (1980)].
Автору приятно выразить искреннюю благодар-
ность О.П. Соловцовой за обсуждение полученных
18.
А. В. Сидоров, Н. Б. Скачков, ТМФ 46, 213
результатов, ценные замечания и техническую под-
(1981) [Theor. Math. Phys. 46, 141 (1981)]; Пре-
держку, А.Е. Дорохову, Ю.А. Курочкину, В.В. Ан-
принт Р2-80-45, ОИЯИ (Дубна, 1980); V. I. Savrin,
дрееву и А.В. Киселеву за обсуждение полученных
A. V. Sidorov, and N. B. Skachkov, Hadronic J. 4,
результатов, их комментарии и стимулирующие
1642 (1981).
дискуссии.
19.
Ю. Д. Черниченко, ЯФ 83, 270 (2020) [Phys. At.
Работа выполнена при поддержке програм-
Nucl. 83, 488 (2020)].
мы международного сотрудничества Республи-
20.
А. Д. Донков, В. Г. Кадышевский, М. Д. Матеев,
ки Беларусь с ОИЯИ и Государственной про-
Р. М. Мир-Касимов, в сб.: Труды IV междуна-
граммы научных исследований на 2021-2025 гг.
родного симпозиума по нелокальным теориям по-
“Конвергенция-2025”, подпрограмма “Микромир,
ля, Алушта, 20-28 апреля 1976 , Д2-9788, ОИЯИ
плазма и Вселенная”.
(Дубна, 1976).
21.
Ю. Д. Черниченко, ЯФ 84, 262 (2021) [Phys. At.
Nucl. 84, 339 (2021)].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
22.
Ю. Д. Черниченко, ЯФ 80, 396 (2017) [Phys. At.
1. R. Barbieri, R. K ¨ogerler, Z. Kunszt, and R. Gatto,
Nucl. 80, 707 (2017)].
Nucl. Phys. B 105, 125 (1976).
23.
N. B. Skachkov and I. L. Solovtsov, Preprint No. E2-
2. R. McClary and N. Byers, Phys. Rev. D 28, 1692
81-760, JINR (Dubna,
1981); Н. Б. Скачков,
(1983).
И. Л. Соловцов, ТМФ 54, 183 (1983) [Theor. Math.
3. E. Etim and L. Sch ¨ulke, Nuovo Cimento A 77, 347
Phys. 54, 116 (1983)].
(1983).
24.
Ю. Д. Черниченко, ЯФ 85, 159 (2022) [Phys. At.
4. A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento
Nucl. 85, 205 (2022)].
29, 380 (1963).
25.
V. I. Savrin and N. B. Skachkov, Lett. Nuovo Cimento
5. V. G. Kadyshevsky, Nucl. Phys. B 6, 125 (1968).
29, 363 (1980).
6. В. Г. Кадышевский, ЖЭТФ 46, 654, 872 (1964) [Sov.
Phys. JETP 19, 443, 597 (1964)]; Докл. АН СССР
26.
Ю. Д. Черниченко, ЯФ 82, 172 (2019) [Phys. At.
160, 573 (1965) [Sov. Phys. Dokl. 10, 46 (1965)].
Nucl. 82, 158 (2019)].
7. V. G. Kadyshevsky and M. D. Mateev, Nuovo
27.
K. A. Olive et al . (Particle Data Group), Chin. Phys.
Cimento A 55, 275 (1967).
C 38, 090001 (2014).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ
365
SEMICLASSICAL QUANTIZATION CONDITION OF THE ENERGY LEVELS
FOR THE RELATIVISTIC SYSTEM OF TWO FERMIONS
WITH ARBITRARY MASSES
Yu. D. Chernichenko1),2)
1) Sukhoi State Technical University of Gomel, Belarus
1) International Center for Advanced Studies, Gomel, Belarus
New semiclassical quantization conditions of the energy levels for the relativistic systems of two fermions
of arbitrary masses interacting by means of the singular confining Coulomb-like potential are obtained.
Quantization conditions of the energy levels for the pseudoscalar, vector, and pseudovector mesons were
found. The present analysis was performed within the framework of completely covariant RQP approach
in the Hamiltonian formulation of quantum field theory via a transition to the relativistic configuration
representation for the case of two relativistic spin particles with arbitrary masses.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85
№5
2022
