ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 5, с. 330-338

ЯДРА

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

В МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УЧЕТА СЛОЖНЫХ

КОНФИГУРАЦИЙ: ФОРМАЛИЗМ

Поступила в редакцию 10.04.2022 г.; после доработки 10.04.2022 г.; принята к публикации 18.04.2022 г.

В рамках развитой микроскопической модели учета сложных конфигураций [1] получены формулы для

описания характеристик пигми- и гигантских мультипольных резонансов (ПДР и ГМР). Для этого

сформулировано уравнение для матрицы плотности и получено выражение для поляризационного опе-

ратора. Полученные результаты позволяют рассчитать энергии и вероятности возбуждений уровней

ПДР и ГМР, включая их тонкую структуру. Сравнение нашего подхода с известной двухфононной

моделью, основанной на замене частично-дырочной пары на фонон, показало заметное различие этих

двух подходов.

DOI: 10.31857/S0044002722050051

1. ВВЕДЕНИЕ

работах [16-18] уравнение для вершины — ос-

новного понятия ТКФС, определяющего поля-

Изучение пигми- и гигантских резонансов (ПДР,

ризуемость ядра — было обобщено на случай

ГМР) продолжает оставаться одним из централь-

учета квазичастично-фононного взаимодействия,

ных направлений развития физики низких энергий

и были выполнены соответствующие расчеты

[2-6]. См., например, специальный выпуск [7] из

M 1-резонансов в магических ядрах, которые с

30 статей “Гигантские, пигми, спаривательные ре-

помощью включения эффекта фононов объяснили

зонансы и связанные направления”. Центральное

актуальную в то время проблему “исчезновения

место занимает изучение роли связи с фононами

M 1-резонанса”.

в этих явлениях [8-11]. В теоретических работах

В близких по физике дела работах [14, 19, 20] в

главным является использование самосогласован-

рамках метода ФГ был использован рецепт исклю-

ных подходов, которые имеют большую предсказа-

чения полюсов второго порядка — метод хроноло-

тельную силу, что особенно важно для астрофизики

гического разделения диаграмм (МХРД) или, поль-

и для ядерных данных.

зуясь более современной терминологией, ПВБ.

Как известно, в процессе возбуждения ядра

Это позволило позднее выполнить расчеты харак-

внешним полем могут возбуждаться не только од-

теристик резонансов вплоть до расчетов тонкой

нофононные, но и двухфононные состояния, см.,

структуры ПДР [21] и M1-резонанса [22]. Даль-

например, [2, 12]. Кроме того, включение двух-

нейшее развитие этого подхода пошло по пути

фононных состояний важно для объяснения ха-

учета более сложных, чем 1p1h ⊗ phonon, конфи-

рактеристик ПДР и ГМР. Эти вопросы реша-

гураций, в рамках так называемой двухфононной

лись в рамках как квазичастично-фононной модели

модели [23-25]. В этой модели был использован

(КФМ) [9, 11-13], так и в приближении временного

аппарат функций отклика (т.е., в отличие от вер-

блокирования (ПВБ) [14]. Однако, несмотря на

шины, величины, описываемой четырьмя индекса-

довольно быстрое и успешное развитие, остается

ми), основанный на уравнении Бете-Солпитера.

пространство для дальнейшей работы.

При этом, кроме рецепта МХРД, использовалось

другое приближение — так называемая процедура

По нашему мнению, перспективным подхо-

факторизации функции отклика, которая позволи-

дом является использование метода функций

ла сильно упростить уравнение и выполнить соот-

Грина (ФГ) и дальнейшее развитие Теории Ко-

ветствующие расчеты для низколежащих двухфо-

нечных Ферми-Систем (ТКФС) [15]. В ранних

нонных возбуждений в изотопах олова [25].

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

Метод вариаций, предложенный для ТКФС в

институт”, Москва, Россия.

работе [26], успешно развивался и использовал-

^*E-mail: kamerdzhiev_sp@nrcki.ru

ся для последовательного описания характеристик

330

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

331

основного и нескольких коллективных низколежа-

Фейнмана, так что окончательные формулы можно

щих состояний в рамках самосогласованной ТКФС

легко получить.

[8, 27]. Эти результаты можно считать вторым

этапом развития ТКФС. В недавних работах [1, 28]

последовательный метод вариаций, использован-

2. РЕЗУЛЬТАТЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ УЧЕТА СЛОЖНЫХ

ный в [8], был перенесен на область энергий ПДР

и ГМР. Это сразу же привело к появлению новых

КОНФИГУРАЦИЙ [1]

и не изученных в этой области эффектов, именно,

Здесь мы кратко опишем, уточним и немного

динамического эффекта тэдпола, многочисленных

переформулируем основные результаты статьи

сложных корреляций в основном состоянии, эф-

[1]. Главной особенностью этой модели явля-

фектов изменения эффективного взаимодействия

ется использование только главной фононной

δF в поле фононов. В этих работах не использо-

g²-поправки к уравнению для вершины V в

валась процедура факторизации [25], что привело к

ТКФС [15]:

заметному усложнению всех формул.

V = e_qV ⁰ + FGGV.

(1)

В статье [1] была развита микроскопическая

модель для учета сложных конфигураций в области

Эта поправка имеет вид

энергий ПДР и ГМР. Исходным было основное

ΔV = δ⁽²⁾V D,

(2)

понятие ТКФС — вершина, описывающая поля-

ризуемость ядра под действием внешнего поля.

где δ⁽²⁾V — вариация второго порядка в поле фо-

Впервые были получены: 1) Точные выражения

нона от вершины V (1), D — ФГ фонона.

для первой и второй вариаций вершины δ⁽¹⁾V ≡

Наша модель достаточно подробно изложена в

≡ δV и δ⁽²⁾V , 2) Перспективные уравнения для

[1]. Подход основан на получении точного выраже-

новой вершины, включающие полную амплитуду

ния для δ⁽²⁾V . Это выражение получается варьи-

взаимодействия Г, которая удовлетворяет уравне-

рованием уравнения (1) в поле фонона, при этом

нию метода хаотических фаз (МХФ), сформулиро-

в задачу входит также первая вариация вершины

ванному на языке ФГ, 3) Впервые в рамках задачи

δ⁽¹⁾V ≡ δV . Полученные в [1] точные выражения

обобщения ТКФС — двухфононные конфигурации

для δV и δ⁽²⁾V имеют вид

(в дополнение к cложным конфигурациям 1p1h ⊗

⊗ phonon).

δ⁽¹⁾V = dΓGGV + ΓδGGV,

(3)

В [1] было получено только новое уравнение

δ⁽²⁾V = Γδ(2)(GG)V +

для новой вершин

V , которое содержало указан-

+ 2dΓδGGV + 2dΓGGδ⁽¹⁾V + 2ΓδGGδ⁽¹⁾ V +

ные сложные конфигурации двух видов. Однако

конкретные формулы для описания наблюдаемых

+ d⁽²⁾ΓGGV.

характеристик резонансов не рассматривались. В

частности, необходимо получить уравнение для

Они содержат уже полную амплитуду частично-

матрицы плотности, которая нужна для получения

дырочного взаимодействия Γ, которая удовлетво-

поляризационного оператора и соответствующего

ряет уравнению [15]

дисперсионного уравнения. Аналогичная процеду-

Γ = F + FGGΓ,

(4)

ра была реализована в стандартной ТКФС [15],

величину

т.е. в рамках МХФ, сформулированного на языке

ФГ. Необходимо также получить формулы с учетом

dΓ = δ⁽¹⁾F + F GGdΓ,

(5)

регулярной части амплитуды Γ^r, о которой было

и мы ввели новую величину

вскользь упомянуто в [1]. Все это является ос-

новной целью настоящей работы, именно, получить

d⁽²⁾Γ = δ⁽²⁾F + FGGd⁽²⁾Γ.

(6)

уравнение для матрицы плотности и выражение для

поляризационного оператора, выполнить указан-

В отличие от нашей первой статьи [28], где ис-

ное обобщение. Кроме того, полезно сравнить нашу

пользовались только свободные члены уравнений

двухфононную часть с упомянутой выше двухфо-

для δ⁽²⁾V и δV , здесь для этих величин получены

нонной моделью [25].

точные выражения.

В настоящей статье рассматриваются только

Поскольку в δ⁽²⁾V , согласно (3) и (2), входит

1p1h ⊗ phonon- и двухфононные конфигурации в

величина δ⁽²⁾(GG), легко получить для δ⁽²⁾(GG)D,

магических ядрах. Как обычно, мы используем

как для одного из слагаемых в (2) при варьирова-

факт существования малого g²-параметра. Очень

нии уравнения для вершины (1):

часто формулы записываются символически, боль-

шая их часть представляется в виде диаграмм

δ⁽²⁾(GG)D = 2GgGDgGG +

(7)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

332

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

Слагаемые с δF , dΓ, δ⁽²⁾F в четвертой, пятой и

шестой строках уравнения (9) и рис. 2 являются со-

d(2)(GG)D = 2

вершенно новыми. Они или их аналог не содержат-

ся во всех известных нам подходах. Они содержат

амплитуду W трехквазичастичного эффективного

Рис. 1. Выражение (7) в диаграммном представлении.

взаимодействия: δ_sF = W Gg_sG [8], роль которого,

по-видимому, в целом невелика. В дальнейшем мы

не выписываем слагаемые с δF , dΓ, δ⁽²⁾F . Если

+ GgGDGgG + 2G(g₁₁D)GG,

понадобится, их легко дописать.

где амплитуда рождения фонона g удовлетворяет

уравнению

3. ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ. ВВЕДЕНИЕ

ДВУХФОНОННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

g = FAg,

(8)

Полученное уравнение (9), рис. 2, содержит

и g₁₁ —амплитуда рождения двух одинаковых фо-

полную амплитуду взаимодействия Γ, удовлетво-

нонов, см. [1]. Соотношение (7) показано на рис. 1.

ряющую уравнению (4). Это позволяет получить

Здесь и в дальнейшем цифра 2 перед слагаемым

двухфононные конфигурации, если воспользо-

или графиком означает, что имеется два однотип-

ваться разложением амплитуды по фононам в

ных слагаемых, которые для краткости не выписы-

ТКФС [15]:

ваются.

g^sg^s∗

Γ(ω) = Γ^r +

(10)

Из (7) и рис. 1 сразу видно, что появляется

ω-ω_s

новое по сравнению с предыдущим более простым

где Γ^r — регулярная часть амплитуды Γ и не зави-

подходом [16-19] слагаемое с тэдполом, которое

сит от ω (мы опустили индекс s в Γ^r). Γ^r удовлетво-

дает новый динамический эффект тэдпола. Под-

ряет уравнению [15]:

черкнем, что мы остаемся в рамках последователь-

∑

ного подхода стандартной ТКФС, именно, ампли-

Γ^r = F +

g^sg^s∗ +

FA_sΓ^r

(11)

туда Γ удовлетворяет уравнению (4), и амплитуда

dω

рождения фонона g удовлетворяет уравнению (8).

(суммирование выполняется по паре одночастич-

Далее в [1] для вывода уравнения для новой вер-

ных индексов). Это интегральное уравнение с дву-

мя свободными членами, которое, насколько нам

шин

V используется только поправка (2). Новое

известно, никто не решал. Амплитуда рождения

уравнение для вершин

V имеет вид

фонона g удовлетворяет уравнению (8).

V =e_qV⁰ +F

V +

(9)

Подставляя (10) в уравнение (9), получаем но-

вое уравнение дл

V , которое содержит не только

+ 2F GgDGgG

V +FGgGDGg

V +

сложные 1p1h ⊗ phonon- и двухфононные конфи-

+ 2F Gg_˜1˜1DG

V +

гурации, как в [1], но и слагаемые с Γ^r (напомним,

что мы не выписываем 5 слагаемых с δF , dΓ и δF⁽²⁾

+ 4F GGgGΓGDgG

V +

в (9), которых будет 7 с учетом выражения для dΓ

+ 2F GgGGDdΓG

V +2δFDGgG

V +

через Γ):

+ 2δF DGGΓGgG

V +

V =e_qV⁰ +F

V +

(12)

+ δFDGGdΓG

V +δ⁽²⁾FG

+ 2F GgDGgG

V +FGgGDGg

V +

Это уравнение содержит 10 интегральных слагае-

+ 2F Gg_˜1˜1DG

V +

мых вместо 12 в уравнении (23) в [1]. Оно показано

+ 4F GGgGΓ^r GDgG

V +

в графическом виде на рис. 2.

+ 4F GGgGgDDgGgG

Как всегда, в его аналитической форме мы пи-

шем цифру 4 в третьей линии уравнения (9) вместо

Оно показано на рис. 3.

цифр 2 для каждого из двух слагаемых в его гра-

Как видно из (12), рис. 3, главное отличие нашей

фическом представлении. В отличие от уравнения

обобщенной модели от более простого варианта в

(23), рис. 5 в [1], здесь для краткости не исполь-

[1] состоит в появлении слагаемых с Γ^r. Слагаемые

зуется выражение для dΓ = δF + ΓGGδF [1] через

с Γ на линии 3, рис. 3, с учетом (10) можно

полную амплитуду (δ(1)F ≡ δF ). Поэтому наше

коротко записать по-другому — в более наглядном

и единообразном виде:

уравнение (9) дл

V содержит на два интегральных

члена меньше, чем уравнение (23), рис. 5 в [1].

4F [GGΓⁱGG

V =

(13)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

333

e_qV ⁰

+ 2

dΓ

+ 2

δF

dΓ

δ⁽²⁾F

Рис. 2. Уравнение (9) в диаграммном виде.

n₅(1 - n₆)

= 4F [GGΓ^riGG + GGF^2phonindGG

(ε₃ - ε₁ + ε₅₆ + ıγ)(ε₁ - ελ5 + ω_s - ıγ)

где Γⁱ = gGΓDg — фонон-обменное взаимодей-

(1 - n₅)n₆

ствие, обусловленное обменом фононом в двух ph

(ε₁ - ε₃ + ε₆₅ + ıγ)(ε₃ - ελ5 + ω_s - ıγ)

и двух (pp и hh)-каналах, например, для первого из

четырех слагаемых в линии 3 на рис. 2:

n₅(1 - n₆)

(ε₁ - ε₃ + ε₆₅ - ıγ)(ε₃ - ελ5 - ω_s + ıγ)

Γi1234(ω,ϵ₁,ϵ₃) =

(14)

∑

где ε₆₅ = ελ6 - ελ5 .

= g₁₅g∗63Γ₅₂₆₄(ω)I56s(ω,ϵ₁,ϵ₃) ×

56s

Величина Γ^ri по своей структуре совпадает с Γⁱ

× δ(ϵ₁ - ϵ₂ + ϵ₄ - ϵ₃),

(14), в которой вместо Γ₅₂₆₄ стоит взаимодействие

Γ^r. Величина F^2phonind получена и обсуждалась в [1].

I56s(ω,ϵ₁,ϵ₃) =

(15)

∫

Как видно из структуры графиков с Γ^ri и F^2phonind

= G₅(ϵ₁ - ω₁)G₆(ϵ₃ - ω₁)D(ω₁)dω₁ =

на рис. 3 (см. (14), (13)), эти величины играют роль

дополнительного по сравнению с F взаимодей-

n₅n₆

ствия, обусловленного обменом фононом в двух ph

(ε₁ - ελ5 + ω_s - ıγ)(ε₃ - ελ6 + ω_s - ıγ)

и двух (pp и hh)-каналах или обменом двумя фоно-

(1 - n₅)(1 - n₆)

нами. Такие силы появляются на следующем этапе

взаимодействия частично-дырочной пары с ядром

(ε₁ - ελ5 - ω_s + ıγ)(ε₃ - ελ6 - ω_s + ıγ)

после предыдущего частично-дырочного взаимо-

(1 - n₅)n₆

действия F и создают дополнительный механизм,

(ε₃ - ε₁ + ε₅₆ - ıγ)(ε₁ - ελ5 - ω_s

+ ıγ)

связанный с рождением фононов.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

334

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

e_qV ⁰

+ 2

Γ^r

+ 2

Γ^r

+ 2

Рис. 3. Уравнение (12) для новой вершины

V в диаграммном виде. См. также подписьк рис. 4.

4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ

Все это позволяет естественно ввести матрицу

ПЛОТНОСТИ. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ

плотности:

ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И

δρ₁₂ = A₁₂₃₄

V₄₃.

(20)

ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

Уравнение для δρ₁₂ можно получить из уравнения

Используя (13) и, как говорилось, не выписывая

(17) дл

слагаемые с δF , уравнение (12) для

V можно

кратко записать в виде

δρ₁₂ = δρ⁰¹² + A₁₂₃₄F₃₄₅₆δρ₅₆,

(21)

V =e_qV⁰ +FA

V +FGGΓⁱG

(16)

где δρ⁰¹² = A₁₂₃₄e_qV

или, если ввести обобщенный пропагатор A:

Теперь нетрудно получить выражение для поля-

V =e_qV⁰ +F

(17)

ризационного оператора:

где

∑

〈V⁰〉 =

V⁰²¹δρ₁₂ =

V⁰²¹A₁₂₃₄

V₄₃ =

(22)

A₁₂₃₄ = [A^′ + A^t + Aⁱ]₁₂₃₄.

(18)

∑

V⁰²¹[A^′ + A^t + A^ri + A^2phon]₁₂₃₄

V₄₃.

Здесь A содержит известный пропагатор A^′ и

три новых пропагатора. Именно, A^′ — пропагатор

Это выражение показано на рис. 4.

уравнения для V^′, показанного в [1], который со-

стоит из пропагатора A стандартной ТКФС и двух

первых графиков с фононами на рис. 1, A^t — новый

Новая величина A^ri имеет вид, например, для

пропагатор в графике с тэдполом, который получен

первого из четырех слагаемых с Γ^ri на рис. 3:

и обсуждался в [28], пропагатор Aⁱ = A^ri + A^2phon

∑

имеет вид:

Ari1234(ω) =

gs15gs∗63Γr5264I1256s34(ω),

(23)

Ai1234(ω) = [A^ri + A^2phon]₁₂₃₄(ω) =

(19)

56s

∫

где

= G₁(ε₁)G₂(ε₁ - ω)[Γ^ri + F^2phonind]₁₂₃₄ ×

∫

× G₃(ε₃)G₄(ε₃ - ω)dϵ₁dϵ₃.

I1256s34(ω) = G₁(ϵ₁)G₂(ϵ₁ - ω) ×

(24)

Двухфононное слагаемое [F^2phonind]₁₂₃₄ получено и

× I56s(ω,ϵ₁,ϵ₃)G₃(ϵ₃)G₄(ϵ₃ - ω)dϵ₁dϵ₃.

обсуждалось в [1].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

335

〈V ⁰〉

V ⁰

+ 2

V ⁰

Γ^r

V ⁰

Γ^r

V ⁰

Рис. 4. Поляризационный оператор (22). Слагаемые первой строки соответствуют известным случаям с пропагатором

A в ТКФС и первым двум пропагаторам с фононами на рис. 1. Остальные слагаемые—новые и содержат пропагаторы

A^t (тэдпол, вторая строка), A^ri (третья строка) и двухфононный пропагатор A^2phon (четвертая строка). Слагаемые с δF и

δ²F опущены.

Этот интеграл берется с использованием (15),

5. ДВУХФОНОННАЯ МОДЕЛЬ В НАШЕМ

результат имеет сложный вид (П.1) и приведен в

ПОДХОДЕ. СРАВНЕНИЕ С

Приложении в первичном и удобном для дальней-

ДВУХФОНОННЫМ ВАРИАНТОМ [25]

шего анализа виде.

Поскольку в нашей модели появился и реально

Характеристики ПДР и ГМР рассчитываются с

обозначился двухфононный канал, имеет смысл

помощью силовой функции

применить наш подход к изучению двухфононных

низколежащих состояний. Например, хорошо из-

dB(EL)

S(ω, Δ) =

Im〈V⁰〉 =

(25)

вестны и наблюдаются 1^--уровни, образованные

dω

∑

из первых 2⁺- и 3^--уровней. Они изучались как

Im e_qV⁰¹²ρ₂₁(ω + ıΔ),

в рамках КФМ [12], так и относительно недавно

в рамках ПВБ [25], в обоих случаях с исполь-

зованием КМХФ-фононов. Заметим, что согласно

где матрица плотности ρ =

V , A—наш обоб-

[15], уравнение (11) для Γ^r получено для одного

щенный пропагатор и Δ — параметр усреднения,

фонона, что и требуется для выделения конкретных

который симулирует экспериментальное разреше-

двухфононных уровней из нашего уравнения.

ние.

В полученных выше результатах сделаем следу-

Из формулы (25) можно получить вероятно-

ющие приближения:

сти перехода и энергетически взвешенные правила

1. В (18) опускаем слагаемые с фононными

сумм, просуммированные по любому энергетиче-

частями от A^′ и пропагатор A^t.

скому интервалу, см. например, [6]. Что касается

2. Везде опускаем, конечно, новые слагаемые с

важной проблемы тонкой структуры, то характе-

ристики тонкой структуры могут быть получены

A^ri.

при малых значениях Δ = 10 или 1 кэВ. В [21]

3. Рассматриваем только слагаемые с пропага-

такие расчеты для ПДР в²⁰⁸Pb были выполнены

торами A ТКФС и в (18) A^2phon, последний содер-

в рамках самосогласованного ПВБ с использова-

жит необходимые нам два фиксированных фонона

нием сил Skyrme, и они показали, что невозможно

s₁ и s₂.

получить разумное согласие с наблюдаемой тонкой

Тогда наше уравнение (16) дл

V преобразуется

структурой ПДР. Можно надеяться, что расчеты в

в новое уравнение дл

V¹:

рамках нашего подхода должны улучшить ситуа-

цию.

V¹ = V⁰ + FG

V¹ + 4FGGF^2phonG

V¹.

(26)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

336

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

Умножим это уравнение слева на (1 + 4F^2phonGG)

де не используется. Можно думать, что конфигу-

рации 1p1h ⊗ phonon количественно существенны

и введем новую вершину V

V¹ + F^2phonG

V¹,

для больших энергий, чем энергии двухфононных

уравнение для которой получается из (26):

конфигураций.

V = V ⁰ + 4F^2phonGGV ⁰ +

(27)

Как видим, чтобы получить физически похо-

жую на двухфононную модель [25] ситуацию, в

+ FGGV + 4F^2phonGGFGGV ,

нашем случае пришлось сделать много прибли-

которое содержит “затравку” (V⁰ + 4F^2phonGGV⁰)

жений. Необходим, конечно, дальнейший анализ

и двухфононную часть с двумя фононами s₁ и

полученных результатов.

s₂. Тогда по физическому смыслу это уравнение

похоже на основное уравнение (23) двухфононной

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

модели [25] для функции отклика R. Именно,

- оба уравнения содержат в качестве “затрав-

В настоящей работе получены формулы для

ки” как “нулевую”, так и двухфононную часть. Хотя

описания характеристик ПДР и ГМР в рамках

в случае с [25] “затравка” R^e более сложная.

микроскопической модели учета сложных конфи-

гураций [1]. Найдены уравнение для матрицы плот-

- далее физический процесс развивается оди-

ности и выражение для поляризационного опера-

наково, т.е. через рождение частично-дырочной

тора. Это позволяет, используя известное понятие

пары за счет эффективного взаимодействия, обо-

значенного у нас как F .

силовой функции [6], рассчитать энергии и веро-

ятности возбуждений в области ПДР и ГМР с

Чтобы найти характеристики двухфононного

любой величиной параметра усреднения, включая

уровня [s₁ ⊗ s₂] для фиксированных фононов s₁ и

значения Δ = 10 или 1 кэВ, что необходимо для

s₂, необходимо решать уравнение для соответству-

описания уже наблюдаемой тонкой структуры в

ющего вычета и находить вероятность перехода в

этой области.

это конкретное двухфононное состояние. Эта про-

Как указывалось в тексте и в [1], расчеты явля-

цедура в нашем случае остается весьма сложной

ются весьма сложными, если не использовать до-

при реализации.

полнительных приближений типа процедуры фак-

При этом следует иметь в виду, что двухфонон-

торизации в [25]. Здесь мы надеемся, в частности,

ная часть в [25] была получена с использованием

на развитие новых математических методов анали-

формализма функции отклика из (на нашем языке)

за и расчетов функций комплексного переменного

слагаемого с A^′, т.е. без A^t, путем использова-

и диаграмм, а также на последовательное решение

ния процедуры факторизации, которая состояла в

уравнений, таких как уравнения для регулярной

замене 1p1h-пары на фонон. В результате этой

части Γ^r и для амплитуды рождения двух фононов.

процедуры в задачу [25] входят только двухфо-

Хотя двухфононный вариант нашей модели вы-

нонные конфигурации со знаменателями [ω ± (ω_s +

глядит значительным упрощением, ее реализация

+ ω_s′)]-1. Аналогичная процедура в нашем подхо-

требует еще больших усилий.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ИНТЕГРАЛ — ФОРМУЛА (24)

I1256s34(ω) = 1/(ε₃₄ - ω) ×

(П.1)

( n₁(1 - n₂)(1 - n₃)(1 - n₅)n₆

n₁(1 - n₂)(1 - n₃)n₅(1 - n₆)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ - ω_s)(ε₁₃ - ε₅₆)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₃ - ε₅₆)(ε₆₃ - ω_s)

n₁(1 - n₂)n₃(1 - n₅)(1 - n₆)

(1 - n₁)n₂n₃n₅(1 - n₆)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ - ω_s)(ε₆₃ + ω_s)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ + ω_s)(ε₁₃ - ε₅₆)

(1 - n₁)n₂(1 - n₃)(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)n₂(1 - n₃)n₅n₆

−

(ε₁₂ - ω)(ε₁₃ - ε₅₆)(ε₆₃ + ω_s)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ + ω_s)(ε₆₃ - ω_s)

(1 - n₁)n₂(1 - n₃)(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)n₂(1 - n₃)n₅(1 - n₆)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₂₅ + ω - ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₆₃ - ω_s)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИГМИ- И ГИГАНТСКИХ РЕЗОНАНСОВ

337

(1 - n₁)n₂n₃(1 - n₅)(1 - n₆)

n₁(1 - n₂)n₃n₅(1 - n₆)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₅ + ω - ω_s)(ε₆₃ + ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₂₅ + ω + ω_s)

n₁(1 - n₂)n₃(1 - n₅)n₆

n₁(1 - n₂)(1 - n₃)n₅n₆

(ε₂₁ + ω)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₆₃ + ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₅ + ω + ω_s)(ε₆₃ - ω_s)

n₁n₂n₃(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)(1 - n₂)(1 - n₃)n₅(1 - n₆)

(ε₁₅ - ω_s)(ε₆₃ + ω_s)(ε₂₅ + ω - ω_s)

(ε₁₅ + ω_s)(ε₆₃ - ω_s)(ε₂₅ + ω + ω_s)

(1 - n₁)(1 - n₂)n₃n₅(1 - n₆)

n₁n₂(1 - n₃)(1 - n₅)n₆

−

(ε₁₃ - ε₅₆)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₆₃ + ω_s)

(ε₁₃ - ε₅₆)(ε₂₃ + ω - ε₅₆)(ε₆₃ - ω_s)

(1 - n₁)(1 - n₂)(1 - n₃)n₅n₆

n₁n₂n₃(1 - n₅)(1 - n₆)

−

(ε₁₅ + ω_s)(ε₂₅ + ω + ω_s)(ε₆₃ - ω_s)

(ε₁₅ - ω_s)(ε₂₅ + ω - ω_s)(ε₆₃ + ω_s)

n₁(1 - n₂)(1 - n₄)(1 - n₅)n₆

n₁(1 - n₂)(1 - n₄)n₅(1 - n₆)

−

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ - ω_s)(ε₁₄ - ω - ε₅₆)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₄ - ω - ε₅₆)(ε₆₄ - ω - ω_s)

n₁(1 - n₂)n₄(1 - n₅)(1 - n₆)

(1 - n₁)n₂n₄n₅(1 - n₆)

−

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ - ω_s)(ε₆₄ - ω + ω_s)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ + ω_s)(ε₁₄ - ω - ε₅₆)

(1 - n₁)n₂(1 - n₄)(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)n₂(1 - n₄)n₅n₆

(ε₁₂ - ω)(ε₁₄ - ω - ε₅₆)(ε₆₄ - ω + ω_s)

(ε₁₂ - ω)(ε₁₅ + ω_s)(ε₆₄ - ω - ω_s)

(1 - n₁)n₂(1 - n₄)(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)n₂(1 - n₄)n₅(1 - n₆)

−

(ε₂₁ + ω)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₂₅ + ω - ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₆₄ - ω - ω_s)

(1 - n₁)n₂n₄(1 - n₅)(1 - n₆)

n₁(1 - n₂)n₄n₅(1 - n₆)

−

(ε₂₁ + ω)(ε₂₅ + ω - ω_s)(ε₆₄ - ω + ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₂₅ + ω + ω_s)

n₁(1 - n₂)n₄(1 - n₅)n₆

n₁(1 - n₂)(1 - n₄)n₅n₆

−

(ε₂₁ + ω)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₆₄ - ω + ω_s)

(ε₂₁ + ω)(ε₂₅ + ω + ω_s)(ε₆₄ - ω - ω_s)

n₁n₂n₄(1 - n₅)n₆

(1 - n₁)(1 - n₂)(1 - n₄)n₅(1 - n₆)

−

(ε₁₅ - ω_s)(ε₆₄ - ω + ω_s)(ε₂₅ + ω - ω_s)

(ε₁₅ + ω_s)(ε₆₄ - ω - ω_s)(ε₂₅ + ω + ω_s)

(1 - n₁)(1 - n₂)n₄n₅(1 - n₆)

n₁n₂(1 - n₄)(1 - n₅)n₆

(ε₁₄ - ω - ε₅₆)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₆₄ - ω + ω_s)

(ε₁₄ - ω - ε₅₆)(ε₂₄ - ε₅₆)(ε₆₄ - ω - ω_s)

)

(1 - n₁)(1 - n₂)(1 - n₄)n₅n₆

n₁n₂n₄(1 - n₅)(1 - n₆)

(ε₁₅ + ω_s)(ε₂₅ + ω + ω_s)(ε₆₄ - ω - ω_s)

(ε₁₅ - ω_s)(ε₂₅ + ω - ω_s)(ε₆₄ - ω + ω_s)

Работа поддержана внутренним грантом Наци-

6. S. Kamerdzhiev, J. Speth, and G. Tertychny, Phys.

онального исследовательского центра “Курчатов-

Rep. 393, 1 (2004).

ский институт” (приказ № 2767 от 28.10.21).

7. Giant-, pygmy-pairing resonances and related

topics, Eds. N. Alamanos, R. A. Broglia, and

E. Vigezzi, Eur. Phys. J. A 55 (2019).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

8. V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rep. 92, 183

1. С. П. Камерджиев, М. И. Шитов, ЯФ 84, 410 (2021)

(1982).

[S. P. Kamerdzhiev and M. I. Shitov, Phys. At. Nucl.

84, 649 (2021)].

9. V. G. Soloviev, Theory of Atomic Nuclei: Quasi-

2. D. Savran, T. Aumann, and A. Zilges, Prog. Part.

Particles and Phonons (Institute of Physics, Bristol

Nucl. Phys. 70, 210 (2013).

and Philadelphia, USA, 1992).

3. N. Paar, D. Vretenar, E. Khan, and G. Colo, Rep.

10. E. Litvinova and P. Schuck, Phys. Rev. C 100, 064320

Prog. Phys. 70, 691 (2007).

(2019).

4. A. Bracco, E. G. Lanza, and A. Tamii, Prog. Part.

11. N. Ryezayeva, T. Hartmann, Y. Kalmykov, H. Lenske,

Nucl. Phys. 106, 360 (2019).

P. von Neumann-Cosel, V. Yu. Ponomarev, A. Richter,

5. С. П. Камерджиев, О. И. Ачаковский, С. В. То-

A. Shevchenko, S. Volz, and J. Wambach, Phys. Rev.

локонников, М. И. Шитов, ЯФ 82, 320 (2019)

Lett. 89, 272502 (2002).

[S. P. Kamerdzhiev, O. I. Achakovskiy, S. V. Tolo-

12. J. Bryssinck, L. Govor, D. Belic, F. Bauwens,

konnikov, and M. I. Shitov, Phys. At. Nucl. 82, 366

O. Beck, P. von Brentano, D. De Frenne, T. Eckert,

(2019)].

C. Fransen, K. Govaert, R.-D. Herzberg, E. Jacobs,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

338

КАМЕРДЖИЕВ, ШИТОВ

U. Kneissl, H. Maser, A. Nord, N. Pietralla, et al.,

21. Н. А. Люторович, В. И. Целяев, О. И. Ача-

Phys. Rev. C 59, 1930 (1999).

ковский, С. П. Камерджиев, Письма в ЖЭТФ

13.

N. N. Arsenyev, A. P. Severyukhin, V. V. Voronov, and

107, 699 (2018) [N. A. Lyutorovich, V. I. Tselyaev,

N. Van Giai, Phys. Rev. C 95, 054312 (2017).

O. I. Achakovskiy, and S. P. Kamerdzhiev, JETP Lett.

14.

E. Litvinova, P. Ring, and V. Tselyaev, Phys. Rev. C

107, 659 (2018)].

78, 014312 (2008).

22. V. Tselyaev, N. Lyutorovich, J. Speth, and

15.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

P.-G. Reinhard, Phys. Rev. C 102, 064319 (2020).

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1965;

23. V. Tselyaev, Phys. Rev. C 75, 024306 (2007).

Intersci., New York, 1967).

24. E. Linvinova, P. Ring, and V. Tselyaev, Phys. Rev. Lett.

16.

С. П. Камерджиев, ЯФ 38, 316 (1983) [S. P. Kamer-

105, 022502 (2010).

dzhiev, Sov. J. Nucl. Phys. 38, 188 (1983)].

25. E. Litvinova, P. Ring, and V. Tselyaev, Phys. Rev. C

17.

S. P. Kamerdzhiev and V. N. Tkachev, Z. Phys. A 334,

88, 044320 (2013).

19 (1989).

26. В. А. Ходель, ЯФ 24, 704 (1976) [V. A. Khodel, Sov.

18.

S. P. Kamerdzhiev and V. N. Tkachev, Phys. Lett. B

J. Nucl. Phys. 24, 367 (1976)].

142, 225 (1984).

27. Э. Е. Саперштейн, С. В. Толоконников, ЯФ 79,

19.

В. И. Целяев, ЯФ 50, 1252 (1989) [V. I. Tselyaev,

703 (2016) [E. E. Saperstein and S. V. Tolokonnikov,

Sov. J. Nucl. Phys. 50, 780 (1989)].

Phys. At. Nucl. 79, 1030 (2016)].

20.

S. P. Kamerdzhiev, G. Y. Tertychny, and V. I. Tselyaev,

28. S. P. Kamerdzhiev and M. I. Shitov, Eur. Phys. J. A

Phys. Part. Nucl. 28, 134 (1997).

56, 265 (2020).

CHARACTERISTICS OF PYGMY AND GIANT RESONANCES

IN A MICROSCOPIC MODEL OF ACCOUNTING FOR COMPLEX

CONFIGURATIONS: FORMALISM

S. Kamerdzhiev¹⁾, M. Shitov¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia

Formulas for describing the characteristics of pygmy and giant multipole resonances (GDR and GMR)

are obtained within the framework of the developed microscopic model for taking into account complex

configurations [1]. An equation for the density matrix is formulated and an expression for the polarization

operator is obtained. The results obtained make it possible to calculate the energies and probabilities of

excitations of the PDR and GMR levels, including their fine structure. A comparison of our approach with

the well-known two-phonon model based on the replacement of a particle-hole pair by a phonon showed a

noticeable difference between these two approaches.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022