ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 5, с. 366-380

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

В ПРОЦЕССЕ РОЖДЕНИЯ ЛЕПТОННЫХ ПАР

ПРИ ФОТОН-ФОТОННОМ СЛИЯНИИ НА LHC

Поступила в редакцию 04.03.2022 г.; после доработки 29.03.2022 г.; принята к публикации 31.03.2022 г.

Изучены однопетлевые электромагнитные радиационные поправки для процесса рождения дилеп-

тонов в адронных столкновениях в канале фотон-фотонного слияния, особое внимание уделено

жесткому тормозному излучению. Рассматриваемая реакция сопровождает процесс Дрелла-Яна,

изучение которого представляет актуальную задачу в экспериментальной программе Большого ад-

ронного коллайдера (Large Hadron Collider, LHC). Проделан подробный численный анализ эффектов

электромагнитных радиационных поправок к наблюдаемым дифференциальным сечениям в широкой

кинематической области, в том числе для эксперимента CMS LHC в режиме Run3/HL, который

соответствует сверхвысоким энергиям и инвариантным массам лептонной пары.

DOI: 10.31857/S0044002722050129

1. ВВЕДЕНИЕ

рождение дилептона при фотон-фотонном слиянии

(dilepton production via γγ-fusion). В настоящей

Процесс рождения лептонной пары в адронных

работе этот механизм (процесс) будем обозначать

столкновениях, который впервые теоретически был

как “γγ”, одной из целей работы является срав-

описан в работах [1, 2] (С. Дрелл, Д. Ян) и [3]

нение экспериментально наблюдаемых величин,

(В. Матвеев, Р. Мурадян, А. Тавхелидзе), а экс-

описанных посредством DY- и γγ-механизмов.

периментально исследован в BNL [4], послужил

Хотя обсуждаемые процессы экспериментально

становлению квантовой хромодинамики (КХД) как

неразличимы и, вообще говоря, равноправны,

теории, адекватно описывающей сильные взаимо-

часто говорят, что сечение γγ-процесса “добав-

действия. Кварк-партонная модель (КПМ), со-

ляется” к сечению процесса Дрелла-Яна, так как

ответственно, стала рабочим инструментом для

“открывается новый канал реакции”. В какой-

расчетов в этой области физики высоких энер-

то мере такой подход к описанию наблюдаемых

гий. В современной литературе принято различать

сечений оправдан, поскольку величина сечения

процесс Дрелла-Яна (рождение дилептона в ад-

γγ-процесса ожидается значительно меньшей,

ронных столкновениях посредством аннигиляции

чем сечения процесса Дрелла-Яна из-за разного

кварк-антикварковой пары через виртуальный фо-

масштаба соответствующих партонных распреде-

тон или Z-бозон, в работе будем его обозначать

лений (вероятность нахождения фотона в протоне

“DY”) и другие подобные процессы рождения ди-

гораздо ниже, чем кварка в протоне). Заметим, что

лептона, где также имеются в виду столкновения

существуют и другие подходы для расчета сечения

адронов, но дилептон рождается посредством дру-

процесса рождения дилептона, индуцированного

гой реакции.

γγ-механизмом, например, в работе [5] для по-

Одной из таких возможностей является двухфо-

строения сечения был использован формализм

тонный механизм (two-photon exchange mechanism)

адронного тензора.

образования дилептона, другие его названия:

Потенциал новых открытий при изучении про-

дилептонное рождение, индуцированное фотонами

цесса рождения дилептона в столкновениях адро-

(photon induced

[initiated] dilepton production),

нов крайне велик. В свое время обсуждаемая по-

становка эксперимента на протонном коллайдере

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

позволила коллаборациям UA1 и UA2 в CERN

Россия.

обнаружить переносчики слабого взаимодействия:

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

W -бозоны [6] и Z-бозоны [7]. Теперь же в идущих

ны, Гомель, Беларусь.

полным ходом экспериментах на адронном колла-

³⁾Белорусский торгово-экономический университет потре-

бительской кооперации, Гомель, Беларусь.

дере LHC осуществляется тестирование энергети-

^*E-mail: zykunov@cern.ch

ческого масштаба выше ТэВ и поиск на нем от-

366

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

367

клонений от Стандартной модели (СМ) — явлений

или эффектами радиационных поправок (radiative

Новой физики (НФ):

corrections, RC). К настоящему моменту имеется

большое количество разнообразных, взаимодопол-

• суперсимметричных партнеров известных

няющих друг друга программ и компьютерных ко-

частиц [8],

дов, посвященных этой проблеме, их обзор сделан,

например, в работе [13]. В ней также приведено фи-

• проявлений (супер)струнной теории и сим-

зическое содержание одной из таких программ —

биоза теории струн и суперсимметрии — M-

READY (Radiative corrEctions to lArge invariant

теории (теории миров на бранах) [9],

mass Drell-Yan process), разработанной автором

для оценки электрослабых и КХД-поправок для

• частиц-кандидатов на Темную материю (dark

процесса Дрелла-Яна.

matter) [10],

В настоящей работе будет описана процедура

• аксионов (частиц, введение которых в

учета однопетлевых электромагнитных радиацион-

теорию объясняет экспериментально под-

ных поправок для процесса рождения дилептонов

твержденное отсутствие нарушения CP -

в адронных столкновениях посредством механиз-

симметрии в КХД) [11],

ма γγ-слияния. Проделан численный анализ эф-

фектов электромагнитных радиационных поправок

• ультраслабо взаимодействующих частиц

к наблюдаемым дифференциальным сечениям во

(feebly interacting particles) [12]

всей кинематической области (с акцентом на усло-

вия эксперимента CMS в режиме Run3/HL LHC),

и других. Обнаружение следов НФ является одной

для чего были расширены возможности программы

из главных перспектив развития современной фи-

READY.

зики. Есть надежда, что поиск явлений НФ увен-

чается успехом после тщательного исследования

наблюдаемых величин процесса Дрелла-Яна при

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

больших инвариантных массах лептонной пары

(дилептона) l^-l⁺.

Рождение лептонной пары в столкновении ад-

ронов h_A и h_B описывается формулой

В 2022-2024 гг. на LHC будет проходить этап

Run3, в котором будет реализована максимальная

√

h_A + h_B → l^- + l⁺ + X,

(1)

запланированная энергия протонов

S = 14 ТэВ

(в системе их центра масс), собрана статистика до

где начальные адроны имеют

4-импульсы P_A

(первый) и P_B (второй); они имеют равные массы

300 фбн-1 и промерена область по инвариантной

m_N. Будем использовать адронный инвариант

массе пары M примерно от 4.6 до 5.2 ТэВ. Следу-

S = (P_A + P_B)², в системе центра масс адронов

ющий этап работы LHC 2027-2038 гг., на котором

(с.ц.м.а.) полная энергия реакции равна, соответ-

планируется собрать статистику в 3000 фбн-1,

√

будет называться High-Luminosity (HL) LHC, на

ственно, E_A + E_B =

S. Механизмы процесса (1)

нем планируется достичь области M до 6.2 ТэВ.

изображены на рис. 1: а — процесс Дрелла-Яна,

б —рождение дилептона путем фотон-фотонного

Если энергии, которые будут достигнуты на

слияния. Далее опишем второй процесс (рис. 1б) в

Run3/HL LHC, соответствуют пределам примени-

духе работы [13], где подробно изложена методика

мости СМ, то, по всей видимости, НФ проявится

расчета электрослабых и КХД-поправок для

в экспериментах на LHC не через прямое обна-

процесса Дрелла-Яна (рис. 1а).

ружение новых частиц и/или новых явлений, а по

довольно небольшим отклонениям от предсказа-

Безрадиационный партонный процесс имеет вид

ний СМ. Обнаружение новых физических явле-

γ(p₁) + γ(p₂) → l^-(p₃) + l⁺(p₄),

(2)

ний по такому сценарию возможно только в ходе

крайне точного (прецизионного) сравнения полу-

где в скобках указаны обозначения 4-импульсов

ченных экспериментальных данных с предсказани-

частиц. Фейнмановские диаграммы, соответству-

ями теории.

ющие процессу (2) в борновском приближении,

Все вышесказанное требует соответствующего

приведены на рис. 2. Обозначения на диаграмме

улучшения точности теоретического описания ис-

рис. 2а следующие: p₁ (p₂) — 4-импульс первого

следуемых процессов, протекающих в микромире,

(второго) фотона; p₃ (p₄) — 4-импульс конечного

и обеспечения экспериментов на Run3/HL LHC

лептона l^- (l⁺) с массой m. Согласно кварк-

надежными и прецизионными программами учета

партонной модели 4-импульсы адрона и партона

не только лидирующего порядка теории возмуще-

пропорциональны:

ний, но и более высоких ее порядков. Традици-

p₁ = x₁P_A, p₂ = x₂P_B.

(3)

онно они называются радиационными эффектами

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

368

ЗЫКУНОВ

h_A

l^-

h_A

l^-

h_B

l⁺

h_B

l⁺

Рис. 1. Процессрождениядилептонав адронныхстолкновениях:а — процессДрелла-Яна с виртуальным фотоном,б —

механизм фотонного слияния. На линиях указаны названия частиц.

Коэффициенты пропорциональности — это так на-

Символом f^hγ(x) обозначаются функции пар-

зываемые доли импульса, которые забирают пар-

тонных распределений (parton distribution function,

тоны (в данном случае — фотоны) от своего (роди-

PDF), которые имеют следующий (вероятностный)

тельского) адрона.

смысл: f^hγ(x)dx — это вероятность нахождения в

адроне h фотона с долей импульса от x до x + dx.

Следует заметить, что в функциях партонных рас-

3. КОНВОЛЮЦИЯ

пределений имеется также явная зависимость от

Чтобы получить в рамках КПМ сечение про-

Q² — энергетического масштаба (resolution scale)

цесса (1), нужно просуммировать все возможности

реакции. Для краткости записи его часто опуска-

образования дилептона из адронов, т.е. учесть все

ют, так что можно эквивалентно записать f^hγ(x) ≡

возможные подпроцессы (допустимые законами

≡ fhγ (x,Q²).

сохранения заряда, момента и т.д.) и отобрать те

конфигурации, которые возможны кинематически.

В результате имеем так называемую конволюци-

4. КИНЕМАТИКА

онную формулу (или просто конволюцию), которая

строится на принципах гипотезы факторизации [14]

Определим набор переменных Мандельштама

и теоремы о полной вероятности:

для партонного субпроцесса (партонные лоренц-

инварианты). Для последующего корректного пе-

dσ^hC = f^Aγ(x₁)dx₁f^Bγ(x₂)dx₂dσ^γγC Θ,

(4)

рехода к адронному сечению следует различать все

шесть инвариантов, приведем их. Для описания

где dσ^hC — сечение процесса (1), dσ^γγC — сечение

безрадиационного процесса достаточно трех инва-

процесса (2).

риантов:

Чтобы из (4) получить наблюдаемое сечение,

s = (p₁ + p₂)²,

(5)

нужно выделить в фазовом пространстве зависи-

мость от необходимых переменных и проинтегри-

t = (p₁ - p₃)², u = (p₂ - p₃)².

ровать по остальным с учетом фактора Θ, ко-

Другие три инварианта

торый отвечает за определение области фазового

объема, допустимой кинематикой реакции. Ма-

s₁ = (p₃ + p₄)² = M²,

(6)

тематически он представляет собой произведение

t₁ = (p₂ - p₄)², u₁ = (p₁ - p₄)²

θ-функций, каждая из которых будет подробно

обсуждаться ниже. Символ “ˆ” (шляпка) означа-

нужны для описания радиационной кинематики,

ет применение к партонному сечению кинемати-

понятно, что для безрадиационного процесса вы-

ки КПМ (3). Индексом C обозначаются вклады

полняются соотношения: s ≡ s₁, t ≡ t₁, u ≡ u₁. Пер-

(contributions), соответствующие безрадиационной

вой формулой выражения (6) дается определение

кинематике: борновский (C = 0), виртуальные од-

инвариантной массы дилептона

нопетлевые (virtual, C = V ) и вклад от мягких

√

M =

(p₃ + p₄)².

(7)

тормозных фотонов (C = soft).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

369

p₁

p₃

p₂

-p₄

p₂

-p₄

Рис. 2. Фейнмановские диаграммы процесса γγ → l^-l⁺.

t₁ + u₁

Адронные инварианты вводятся аналогично:

p₄₀ = -

2√s(вс.ц.м.п.),

ŝ = (P_A + P_B)²,

t=(PA - p₃)²,

t+û

û = (P_B - p₃)²,

t₁ = (P_B - p₄)²,

p₃₀ = -

√ ,

(11)

û₁ = (P_A - p₄)².

t₁ + û₁

p₄₀ = -

√ (в с.ц.м.а.).

Заметим, что ŝ ≡ S, а вводить ŝ₁ не требуется, так

как ŝ₁ ≡ s₁.

Во всей работе последовательно используется

Теперь вычислим нужные углы (обозначения

ультрарелятивистское приближение (УРП), кото-

приведены на рис. 3): θ — угол вылета лептона, а

рое, в общем случае, можно описать так: лоренц-

α —антилептона, ось OZ направлена по движе-

инварианты много больше (по абсолютной вели-

нию адрона A. В с.ц.м.п. имеют место соотношения:

чине) фермионных масс в квадрате. Массу лептона

t = -2p₁p₃ = -2p₁₀p₃₀(1 - cosθ) =

безусловно следует удерживать в аргументах кол-

линеарных логарифмов (см. ниже), где она явля-

= (t + u)(1 - cos θ)/2,

ется параметром, регуляризующим коллинеарную

u₁ = -2p₁p₄ = -2p₁₀p₄₀(1 - cos α) =

сингулярность, и в кинематических соотношениях

разд. 6, которые приводят к этой сингулярности.

= (t₁ + u₁)(1 - cos α)/2,

Согласно КПМ (3) партонные и адронные инва-

из которых получим углы:

рианты в УРП связаны простыми соотношениями:

u-t

cos θ =

(12)

ŝ=

t=t

û=

(8)

u+t

x₁x₂

x₁

x₂

t₁ - u

cos α =

(в с.ц.м.п.),

t₁ =t1

û₁ =

u₁ .

t₁ + u₁

x₂

x₁

û-t

Найдем все нужные величины (энергии, углы и

cos θ =

(13)

û+t

т.п.) в с.ц.м.а. с применением УРП. Поступаем так:

сначала вычисляем нужную комбинацию инвари-

t₁ - û₁

cos α =

(в с.ц.м.а.).

антов в системе центра масс партонов (фотонов)

t₁ + û₁

(обозначаем ее как “с.ц.м.п.”), затем делаем пе-

реход в с.ц.м.а. с помощью соотношений (3), это

Теперь нетрудно получить поперечные и продоль-

делается простой заменой партонных инвариантов

ные компоненты 3-импульсов в с.ц.м.а.:

√

на адронные. Итак, в с.ц.м.п.:

p3T = p₃₀ sinθ =

tû/ŝ,

(14)

t + u = -2(p₁ + p₂)p₃ =

(9)

√

= -4p₁₀p₃₀ = -2√s · p30,

p4T = p₄₀ sin α =

t₁û₁/ŝ,

t₁ + u₁ = -2(p₁ + p₂)p₄ =

t-û

p3z = p₃₀ cos θ =

√ ,

(15)

= -4p₁₀p₄₀ = -2√s · p40.

Тогда энергии конечных частиц такие:

û₁ - t₁

p4z = p₄₀ cos α =

√

t+u

p₃₀ = -

(10)

2√s,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

370

ЗЫКУНОВ

p₃

существенно упрощается:

x₁(t₁ + u)

x₁ .

(18)

P_A

P_B

x₂(t + u₁)

x₂

p_z

Зная p_z, нетрудно найти p_T — поперечную со-

p₄

ставляющую 3-импульса пары (в безрадиационном

случае она равна нулю, это хорошо видно на рис. 3):

p2T = |p₃ + p₄|² - p2z =

(19)

Рис. 3. Конфигурация 3-импульсов дилептонной пары

= (p₃₀ + p₄₀)² - M² - p2z =

в с.ц.м.а. в условиях безрадиационной кинематики.

(t+ û₁)(t₁ + û)

-M².

p₁

p₃

p₁

p₃

5. СЕЧЕНИЕ ПРОЦЕССА

С БЕЗРАДИАЦИОННОЙ КИНЕМАТИКОЙ

Для расчета dσγγ0 — сечения процесса (2), изоб-

раженного на диаграммах рис. 2 — применяется

стандартная техника: записываем амплитуды по

правилам Фейнмана из [15], затем квадрируем их и

p₂

-p₄

p₂

-p₄

суммируем (усредняем) по поляризациям конечных

(начальных) частиц. Используя фазовый объем

двухчастичного конечного состояния, выраженный

p₁

p₃

p₁

p₃

через инвариант t, представим результат в форме,

принятой в работе [13]:

dσγγ0 =2πα2[f0(t, u) + f0(u, t)]dt,

(20)

s²

где α — постоянная тонкой структуры (ее значение

берем из [16]), а

p₂

-p₄

p₂

-p₄

(tu - m²(3t + u) - m⁴) -

f₀(t,u) =

Рис. 4. Половина набора фейнмановских диаграмм

m²

процесса γγ → l^-l⁺ с дополнительным виртуальным

(t + u + 2m²).

фотоном: а, б — вершинный вклад, в — вклад соб-

ственной энергии лептона, г — вклад бокса. Оставши-

еся диаграммы могут быть получены заменой p1 ↔ p2.

→ 0, получим фор-

В УРП, полагаяm2t→0и

мулу f₀(t, u) = t/u, простота этого выражения обу-

словлена, в частности, тем, что интерференционные

Для вычисления быстроты пары (pair rapidity)

вклады пропорциональны m².

в с.ц.м.а. нужны выражения для суммарной энер-

гии E = p₃₀ + p₄₀ и продольной компоненты 3-

Применяя конволюционную формулу, перей-

дем к адронному сечению. Используем общий

импульса пары (см. рис. 3):

вид — трижды дифференциальное сечение (fully

p_z = p₃₀ cosθ + p₄₀ cosα =

(16)

differential cross section), для этого осуществим

замену переменных (x₁, x₂, t) → (M, y, C), где C =

√

(t- û - t₁ + û₁).

= cos θ (одновременно запишем новые переменные

в с.ц.м.а.). Введем соответствующий якобиан

С учетом вычисленных выше выражений получим

перехода J_N :

для быстроты пары

dx₁dx₂dt = |J_N | · dMdydC.

(21)

E+p_z

t₁ + û

(17)

Используем уравнения x₁x₂ = s/S и x₁/x₂ =

E-p_z

t+û1

= exp(2y)

[первое взято из

(8), второе — из

В случае безрадиационного процесса имеем: t = t₁,

(18)]. Решая их в системе, получим известные

u = u₁, так что выражение для быстроты пары

соотношения, соответствующие безрадиационной

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

371

кинематике (напомним, что в этом случае s = s₁ =

(заметим, что приближенная факторизация сече-

= M²):

ния мягкого тормозного излучения возможна толь-

ко при весьма небольших энергиях тормозных фо-

x₁ = x₀e+y, x₂ = x₀e^-y,

(22)

тонов ω) и в наших обозначениях выглядит так:

(

x₀ =

√ .

4ω²

π²

δV+soft =

(L - 1) +

(27)

Партонные инварианты в с.ц.м.а. выражаются из

)

вышеприведенных уравнений так:

[f(t, u) + f(u, t)]

t² + u²

M²(1 - C)e

t=-

(23)

где коллинеарный (“большой”) логарифм

(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y

−y

M²(1 + C)e

L = ln

(28)

u=-

m²

(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y

логарифм, зависящий от угла рассеяния

Вычисляя частные производные и затем опреде-

-t

литель, получим якобиан, соответствующий безра-

L_t = ln

(29)

диационной кинематике, в виде



∂x₁



∂M

∂y

∂C



s² + t²



f (t, u) =

L2t +

LL_t + L_t.

(30)

J_N =

∂x₂

(24)



2tu



∂M

∂y

∂C



 ∂t

∂t



В рассматриваемый вклад (C = V + soft) вхо-

∂M

∂y

∂C

дят следующие диаграммы: две фотонные вершины

рис. 4а, 4б, диаграмма собственной энергии леп-

S[(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y]²

тона рис. 4в, фотонный бокс рис. 4г, диаграммы

с излучением мягкого фотона рис. 5 (C = soft).

В результате трижды дифференциальное борнов-

Как уже говорилось, в мягком вкладе содержится

ское сечение приобретает вид

максимальная энергия (в с.ц.м.п.) тормозного фо-

d³σh0

тона ω. Этот результат инфракрасно-конечен, т.е.

(25)

dMdydC

не содержит нефизических параметров типа массы

фотона λ. Видно также, что в сумме виртуальной и

t² + u

= 8πα²fAγ (x₁)fBγ (x₂)

Θ,

мягкой частей отсутствуют двойные коллинеарные

SM⁵(1 - C²)

логарифмы (присутствует, как и следует, только их

первая степень).

где t, u определяются выражениями (23). В цен-

тральной (по быстроте) области (y = 0) сечение

выглядит так:

6. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ



d³σh0



(26)

Процессы с излучением тормозного фотона на

dMdydC

y=0

партонном уровне имеют вид

1+C

= 4πα²fAγ (x₀)fBγ (x₀)

Θ.

γ(p₁) + γ(p₂) →

(31)

SM 1 - C²

→ l^-(p₃) + l⁺(p₄) + γ(p),

Вклад от диаграмм с дополнительным виртуаль-

ным фотоном (в обратном процессе e⁺e^- → γγ)

здесь p — 4-импульс тормозного фотона. Фейнма-

новские диаграммы подпроцессов (31) приведены

впервые был рассчитан в работах [17, 18]. Авто-

ры [19] его пересчитали, исправили имеющиеся в

на рис. 5. Диаграммы а, б и в формируют ампли-

[17, 18] опечатки и разработали процедуру учета

туды M₁, M₂ и M₃ соответственно:

жесткого фотонного излучения (если говорить кон-

M₁ = ie³u(p₃)ê(p)

(32)

кретно, рассматривался процесс e⁺e^- → γγγ). В

p₃ + p- m

работе [20] результат для электромагнитного вир-

туального вклада был воспроизведен, также там

× ê(p₁)

ê(p₂)u(-p₄),

был рассчитан вклад электрослабых поправок.

p₂ - p₄ - m

Итак, вклад от дополнительных диаграмм с вир-

M₂ = ie³u(p₃)ê(p₁)

туальным и мягким фотонами полностью фактори-

p₃ - p₁ - m

зуется перед борновским сечением

× ê(p)

ê(p₂)u(-p₄),

dσγγV+soft = δV+softdσγγ0

p₂ - p₄ - m

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

372

ЗЫКУНОВ

p₁

p₃

p₁

p₃

p₁

p₃

p₂

-p₄

p₂

-p₄

p₂

-p₄

Рис. 5. Половина набора фейнмановских диаграмм процесса γγ → l^-l⁺γ. Оставшиеся диаграммы могут быть получены

заменой p1 ↔ p2.

ронных столкновениях при фотон-фотонном слия-

M₃ = ie³u(p₃)ê(p₁)

p₃ - p₁ - m

нии с излучением тормозного фотона:

dσ^hR = f^Aγ(x₁)dx₁f^Bγ(x₂)dx₂dσ^γγR Θ_R,

(36)

× ê(p₂)

ê(p)u(-p₄).

-p₄ -p-m

где фактор Θ_R отвечает за определение области

Буквой e обозначается 4-вектор поляризации фо-

фазового объема, допускаемой (радиационной) ки-

тона. Еще три фейнмановские диаграммы соответ-

нематикой реакции.

ствуют заменам обозначений 4-импульсов конеч-

При расчете вклада тормозного излучения в

ных лептонов, они записываются таким образом:

процессе (1) будем последовательно пользоваться

обозначениями и частично результатами, получен-

M₄ = ie³u(p₃)ê(p₂)

(33)

ными в работе [13]. Так, лоренц-инварианты, опи-

p₃ - p₂ - m

сывающие радиационный процесс, имеют вид

× ê(p₁)

ê(p)u(-p₄),

z₁ = 2p₁p, v₁ = 2p₂p,

(37)

-p₄ -p-m

z = 2p₃p, v = 2p₄p,

M₅ = ie³u(p₃)ê(p₂)

а s₁, t₁, u₁ описываются формулами (5). Приведем

p₃ - p₂ - m

полезные соотношения, которые их связывают:

× ê(p)

ê(p₁)u(-p₄),

z₁ + v₁ = z + v = s - s₁,

(38)

p₁ - p₄ - m

= 2m² - v.

s + t + u = 2m² + v, s₁ + t₁ + u₁

M₆ = ie³u(p₃)ê(p)

p₃ + p- m

Инвариант s в радиационном случае выразим

через энергию тормозного фотона, для этого рас-

× ê(p₂)

ê(p₁)u(-p₄).

смотрим в с.ц.м.п. связь между партонными инва-

p₁ - p₄ - m

риантами s₁ = s - z₁ - v₁, откуда получим соотно-

∑₆

Складывая амплитуды (M_R =

M_j) и затем

шение M² = s - 2√sp0. Решаем его относительно

j=1

квадрируя их, запишем дифференциальное сечение

√s, тогда, отбрасывая нефизический корень, полу-

чим

процесса (31) в виде

√

∑

s=p₀ + p²⁰ +M².

(39)

dσ^γγR =

M_RM+RdΦ₃,

(34)

2⁶π⁵s

pol

Данная формула показывает, что партонный инва-

риант s при данном M зависит только от энергии

где dΦ₃ — фазовый объем реакции

фотона и не зависит от полной энергии реакции

и x1,2. Заметим, что, как и прежде, имеет место

d³p₃

dΦ₃ = δ(p₁ + p₂ - p₃ - p₄ - p)

(35)

соотношение s = x₁x₂S. Используя эту формулу и

2p₃₀

соотношение (17) [оно введено в начале раздела,

d³p₄ d³p

но легко модифицируется в случае радиационной

кинематики, так как p_z вычисляется в случае ради-

2p₄₀ 2p₀

ационной кинематики по той же формуле (16)]:

t₁ + û

x₁(z₁ + M²)

Используя конволюцию, запишем выражение

для сечения процесса рождения дилептона в ад-

t+û1

x₂(v₁ + M²)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

373

получим

√

p₀ +

p²⁰ + M²

v₁ + M

x₁ =

√

e^y,

(40)

z₁ + M²

√

p₀ +

p²⁰ + M²

z₁ + M

x₂ =

√

e^-y.

v₁ + M²

p₄

Якобиан, соответствующий радиационной кине-

матике, имеет вид

θ₃

θ₅

D(x₁, x₂)

p₅

J_R =

(41)

D(M, y)

√

p₀ +

p²⁰ + M²

ϕ₅

√

p²⁰

+M²

Инвариант t в радиационном случае в с.ц.м.п. вы-

числяется по формуле

Рис. 6. Конфигурация 3-импульсов при интегрирова-

(

нии по фазовому пространству тормозного фотона в

2m² - s + v +

(42)

с.ц.м.п.

√

)

+ cos θ ·

(s - v)² - 4m²s .

где

Радиационный инвариант u выглядит так же, но с

s_q =

другим знаком при cos θ.

√

Наконец, покажем как преобразовывать фазо-

= s(√s - 2p0)2 + 4m2[p20(A2 - 1) + 2p0√s - s].

вый объем dΦ₃, чтобы адекватно (в соответствии

с возможностями детектора) проинтегрировать се-

В УРП выражение (46) приобретает простой вид

чение или, как говорят, наложить fiducial cuts.

√s

√s - 2p₀

Удобно воспользоваться методом, изложенным в

p₃₀ =

работе [21], где используется с.ц.м. начальных ча-

√s - p₀(1 + A)^.

стиц. Изобразим в этой системе векторы конечных

частиц (см. рис. 6), используя вспомогательный

вектор p₅ = -p. Не приводя детали расчета (см.,

7. КОЛЛИНЕАРНАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ

например, [22]), дадим конечный результат в обо-

значениях настоящей статьи.

Всего в произведении M_RM+R из (34) содер-

Используя полученные в [21, 22] выражения,

жится 36 слагаемых. Разберемся с тем, какого типа

преобразуем фазовый объем Φ₃ к виду

коллинеарную сингулярность они содержат. Всего

π|p₃|

имеется три ее типа:

dΦ₃ =

sin θ₃dθ₃p₀dp₀ sin θ_pdθ_pdϕ_p.

(43)

4p₄₀F

1. сингулярность в точке z → 0 (z-пик, кото-

Одно интегрирование (по азимутальному углу ϕ₃)

рый обусловлен физической ситуацией, ко-

в последней записи снято, оно дает 2π из-за сим-

метрии относительно поворота системы вокруг оси

гда тормозной фотон излучается коллине-

пучка. Величина F имеет вид

арно лептону: p ↑↑ p₃), она содержится в

слагаемых, построенных на амплитуде M₁

p₃₀(1 - A|p|/|p₃|)

F =1+

√

(44)

или M₆,

p₃₂₀

− 2A|p||p₃| + |p|²

где

2. сингулярность v → 0 (v-пик, обусловленный

излучением тормозного фотона коллинеарно

A = cos(p5,p3) =

(45)

антилептону: p ↑↑ p₄), содержится в слагае-

= sin θ₃ sin θ₅ cos ϕ₅ + cos θ₃ cos θ₅ =

мых, построенных на одной из амплитуд: M₃

= -sinθ3 sinθp cosϕ_p - cosθ3 cosθ_p.

или M₄,

Для энергии конечного лептона получаем

√

3. коллинеарная сингулярность отсутствует в

s³ + 2p²⁰

√s - 3p₀s + Ap₀s_q

слагаемых, построенных только на амплиту-

p₃₀ =

(46)

2s - 4p₀

√s + 2p20(1 - A2)

дах M₂ или M₅: M₂M⁺², M₅M⁺⁵ и M₂M⁺⁵.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

374

ЗЫКУНОВ

ϕ_p

для интегрирования в случае меньшей массы леп-

тона (электрон легче мюона примерно в 200 раз),

так как происходит резкое сужение пика сечения

3π/2

и увеличение его высоты [13]. Этот факт экстре-

мально повышает внимание к вопросу точности

численного интегрирования в случае рождения ди-

электрона при сверхвысоких энергиях и инвари-

антных массах. Итак, чтобы в этой ситуации точно

проинтегрировать сечение тормозного излучения,

требуются три дополнительных действия.

Во-первых, нужно разбить интерференционные

вклады на слагаемые, соответствующие z- и v-

пикам, для этого применим тождественное преоб-

разование:

⁽1

1⁾

⁽1

1⁾

√

θ_p

z+v z

sp₀

Во-вторых, после такого разбиения нужно рас-

сортировать получившиеся слагаемые на три типа:

-π/2

θ_e

1) содержащие1z иm2,

2) содержащие1v иm2,

z²

v²

3) не содержащие коллинеарной сингулярности (в

прочих комбинациях можно пренебречь членами,

Рис. 7. Область интегрирования по углам конечных

содержащими m). Далее каждый тип следует ин-

частиц в с.ц.м.п. Жирными линиями выделены области

тегрировать отдельно. В-третьих, необходимо за-

коллинеарной сингулярности: верхняя соответствует

менить переменные интегрирования на новый на-

v-пику, нижняя z-пику.

бор, обеспечивающий оптимальную работу Монте-

Карло-интегратора. Покажем это на примере z-

Понятно, что диагональные вклады M₁M⁺¹ и

пика. Как нетрудно установить из рис. 6, ситу-

ация z-пика соответствует коллинеарному излу-

M₆M⁺⁶ соответствуют z-пику, а вклады M₃M⁺³

чению p ↑↑ p₃, т.е. области θ_p = θ₃, ϕ_p = 0 (см.

и M₄M+4 — v-пику. Интерференционные вклады

рис. 7). Произведем следующую замену θ_p → θ_z

содержат либо один пик (например, M₁M⁺²), ли-

(также полезно сдвинуть пределы интегрирования

бо оба пика (например, M₁M⁺³). Кроме этого

по ϕ_p, чтобы пики не лежали на краю области, хотя

M_iM+j = M_jM+i (что легко проверить непосред-

для VEGAS это не является критическим с точки

ственным расчетом), в результате имеем 36 - 15 =

зрения улучшения точности):

= 21 нетривиальных вкладов в сечение тормозного

∫

2π

излучения, содержащих разные типы коллинеарной

сингулярности. Все вычисленные выражения для

dθ₃

dθ_p dϕ_p... =

(47)

квадрированных амплитуд, таким образом, приве-

сти здесь не представляется уместным из-за их

∫

большого количества и громоздкости. Реальный

расчет осуществляется с помощью системы ком-

= dθ₃

dθ_z

dϕ_p|J_z |

пьютерной алгебры FORM [23], результат выра-

-π/2

жается через скалярные произведения 4-векторов,

участвующих в реакции частиц (пример расчета

Новая переменная θ_z связана со старыми перемен-

одного из слагаемых [а именно M₁M⁺³] приведен

ными соотношением θ_p = 2θ_z + θ₃ - π, а якобиан

в Приложении).

перехода имеет вид

Численное интегрирование осуществляется с

)

⁽θ₃

π⁾⁽

θ₃

помощью программы VEGAS [24]. С фазовым

J_z = 2θ

+θ_z -

θ -

-θ_z +π .

(48)

объемом в виде (43) для конечного димюона в

условиях Run3/HL LHC для получения точного

Якобиан J_z выбран так, чтобы обрезать нефизи-

результата, в принципе, достаточно позаботиться

ческую область при сохранении “старых” крайних

о сгущении точек в области малых p₀. Однако

значений области интегрирования (см. рис. 8а).

пиковое поведение сечения жесткого тормозного

Видно, что новая переменная z-пика (θ_z) опти-

излучения представляет значительную трудность

мально подходит для численного интегрирования,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

375

θ_z

θ_v

π/2

θ_e

Рис. 8. Область интегрирования по части фазового объема тормозного фотона в новых переменных. Жирными линиями

выделены области коллинеарной сингулярности: а — z-пик, б — v-пик.

поскольку не зависит от других переменных и поло-

вании слагаемых с v-пиком (см. рис. 8б), приведем

жение ее пика (θ_z = π/2) теперь находится в центре

соответствующие формулы. Связь новой перемен-

области интегрирования (рис. 8а).

ной θ_v со старыми такая: θ_p = 2θ_v - θ₃, а якобиан

перехода выглядит следующим образом:

Точно так же следует поступить при интегриро-

(

)

θ₃

⁽θ₃

π⁾

J_v = 2θ θ_v -

-θ_v +

(49)

δ^RC(M = 2 ТэВ)

Оставшаяся часть сечения (не содержащая кол-

линеарной сингулярности) замены переменных не

требует.

8. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Для численных оценок этой работы принимает-

ся набор предписаний, соответствующий экспери-

ментальной постановке CMS LHC [25]:

1. исследуемая реакция (1) с начальными непо-

ляризованными протонами суммарной энер-

√

S = 14 ТэВ (с.ц.м. протонов, Run3/HL

гии

-1

LHC) и конечными состояниями μ^-μ⁺ и

e^-e⁺;

-2

virt + sof

2. электрослабые параметры СМ и лептонные

hard

массы, которые соответствуют современным

значениям из [16];

sum

-3

3. разделитель мягких и жестких фотонов ω =

-12

-10

-8

-6

-4

-2

= 0.001 ГэВ (выбрано значение, при котором

lg(ω/ГэВ)

выполняются условия факторизации мягко-

го вклада и надежная численная стабиль-

Рис. 9. Относительные электромагнитные поправки

ность результата, см. рис. 9);

δ^RC к дифференциальному сечению^dσ

(сумма вирту-

ального и мягкого вклада, жесткий вклад, сумма всех

4. набор функций фотонных распределений

трех вкладов) в зависимости от ω в случае рождения

MRST [26] с естественным выбором Q² =

димюона при M = 2 ТэВ.

= M² (для расчета в области M > 3 ТэВ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

376

ЗЫКУНОВ

dσ₀/dM, пбн/ГэВ

δ^γγ(M)

10⁰

10^-1

10^-3

10^-2

10^-6

-3

10^-9

γγ

10^-12

10^-4

100

500

1000

5000

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 10. а — Дифференциальные борновские сечения по инвариантной массеdσ0

в зависимости от M (сплошная

кривая — DY-механизм, штриховая — γγ-механизм). б — Относительная поправка δ^γγ (M) в зависимости от M.

использовалось максимальное значение Q =

Фактор Θ, который отвечает за определение об-

= 3 ТэВ);

ласти фазового объема, допускаемой кинематикой

реакции в соответствии с геометрией детектора,

5. набор функций кварковых распределений

представляет собой произведение θ-функций, опи-

CT10 [27] и MMHT14 [28] (не было обна-

шем его подробнее:

ружено существенных различий в численных

Θ = Θ(ζ^∗ - cosθ)Θ(ζ^∗ + cosθ) ×

(52)

оценках при использовании этих распреде-

лений);

× Θ(ζ^∗ - cos α)Θ(ζ^∗ + cos α) ×

6. стандартные экспериментальные ограниче-

× Θ(p_T (l^-) - pminT)Θ(p_T (l⁺) - pminT).

ния на угол вылета детектируемого лептона

Все величины из этого выражения приведены вы-

l^-: -ζ∗ ≤ cos θ ≤ ζ∗ или на его быстроту:

ше, использовать их нужно в зависимости от кине-

|y(l)| ≤ y(l)^∗; связь между этими переменны-

матики (безрадиационная или радиационная).

ми следующая:

Будут рассматриваться два варианта сечений:

y(l) = - ln tg

;

(50)

1. дифференциальные сечения по инвариант-

−2y(l)

ной массе дилептона^dσdM , проинтегрирован-

1-e

cos θ =

;

ные в заданном интервале по переменной y:

1+e-2y(l)

|y| < 2.5,

для экспериментов на детекторе CMS ζ^∗ и

y(l)^∗ принимают значения:

2. дважды дифференциальные сечения (по пе-

y(l)^∗ = 2.5, ζ^∗ ≈ 0.986614;

(51)

ременным M и y)^dσdMdy ,

для l⁺ используются такие же ограничения;

По прочим переменным, входящим в сечения, де-

7. используется второе стандартное экспери-

лается интегрирование в пределах, согласующих-

ментальное ограничение детектора CMS:

ся с кинематическими условиями CMS LHC, как

описано выше. Так как распределение по y сим-

p_T (l^±) ≥ 20 ГэВ;

метрично относительно нуля в случае процесса

8. применяется так называемая чистая схе-

протон-протонных столкновений, будет показана

ма (“bare” setup) требований идентифика-

область только положительных y. В эксперименте

ции лептонов: не принимается во внимание

[29] используется факт симметрии этого распреде-

“размазывание” (smearing) и не учитыва-

ления, а именно — для уменьшения статистической

ются условия рекомбинации детектируемого

ошибки измеряется распределение по абсолютной

лептона и радиационного фотона.

величине |y|.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

377

δ^γγ(M, y)

d²σ₀/dMdy, пбн/ГэВ

10⁰

DY, y = 0

γγ, y = 0

DY, y = 1

10^-1

γγ, y = 1

DY, y = 2

γγ, y = 2

-2

10^-5

10^-3

10^-9

y = 0

y = 1

10^-4

y = 2

100

500

1000

5000

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 11. а — Дважды дифференциальные борновские сеченияd2σ0

в зависимости от M при различных значениях y

dMdy

(сплошные кривые — DY-механизм, штриховые — γγ-механизм). б — Относительные поправки δ^γγ (M, y) в зависимо-

сти от M при различных значениях y.

Рисунки 10 и 11 посвящены сравнению двух

рис. 10а показаны дифференциальные (по инва-

механизмов рождения лептонной пары в адронных

риантной массе) борновские сеченияdM0d^{процесса}

столкновениях: DY-механизма и γγ-механизма. На

рождения дилептона μ^-μ⁺ (или e^-e⁺) [на бор-

новском уровне в УРП различие между этими

состояниями незначительно], обусловленные DY-

δ^RC(M)

механизмом (сплошная кривая) и γγ-механизмом

(штриховая кривая). На рис. 10б изображена от-

носительная поправка δ^γγ (M) в зависимости от M,

которая определяется как отношение обсуждаемых

-0.05

борновских сечений:

dσγγ0 /dM

δγγ(M) =

(53)

dσ^DY0/dM

-0.10

По рисунку видно, что вклад в процесс (1) от

механизма фотонного слияния незначителен в об-

-0.15

ласти m_Z -резонанса, ниже резонанса он растет

с уменьшением M (составляет ∼3.5% при M =

= 50 ГэВ), выше резонанса он растет с увеличением

M (достигает ∼84% при M = 7 ТэВ). В области

-0.20

Run3(HL) LHC относительная поправка достигает

∼30(60)%.

μ⁺μ^-

Рисунок 11 иллюстрирует эти же закономер-

-0.25

ности для дважды дифференциальных борновских

e⁺e^-

d²σ₀

сечений_d

при различных значениях y (рис. 11а)

M dy

100

500

1000

5000

и относительных поправок δ^γγ(M,y) (рис. 11б),

M, ГэВ

которые определяются аналогично (54)

γγ

d²σ₀

/dMdy

Рис. 12. Полные относительные электромагнитные

δ^γγ(M,y) =

(54)

d²σ^DY0/dMdy

поправки δ^RC(M) к дифференциальному сечению^dσ

в зависимости от M: сплошная кривая — рождение

Обсуждаемые закономерности сохраняются в

димюона, штриховая — рождение диэлектрона.

частности потому, что с ростом y уменьшаются

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

378

ЗЫКУНОВ

δ^RC(M, y)

-0.05

μ^-μ⁺

e^-e⁺

-0.10

-0.05

-0.15

-0.10

-0.20

-0.15

-0.25

y = 0

-0.30

-0.20

y = 1

y = 2

-0.35

100

500

1000

5000

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 13. Полные относительные электромагнитные поправки δ^RC(M, y) к дважды дифференциальному сечениюd2σ0

dMdy

зависимости от M при различных значениях y: а — рождение димюона, б — рождение диэлектрона.

максимально достижимые значения инвариант-

На рис. 12 приведены полные относительные

ной массы M, т.е. в условиях Run3/HL LHC

электромагнитные поправки (55): сплошная кривая

участвует в основном центральная по y область.

соответствует случаю рождения димюона μ^-μ⁺,

Заметим также, что сечения резко уменьшаются

штриховая — диэлектрона e^-e⁺. Оба случая рас-

с ростом как M, так и y, этот факт говорит о

считаны при одинаковом числе итераций (выби-

сложности экспериментального измерения на краю

раем 15 итераций) и количества случайных точек

кинематической области. Тем не менее НФ может

(1.5 × 10⁶ точек) программы VEGAS. Полученная

проявиться именно там, поэтому ее прецизионное

относительная точность результата интегрирова-

изучение представляется крайне необходимым.

ния составляет при затраченном времени ∼1 мин

Рисунок 9 иллюстрирует отсутствие зависи-

работы процессора с тактовой частотой 1.2 ГГц на

мости результата от нефизического параметра —

одну кинематическую точку ∼10-4 в μ^-μ⁺-случае

максимальной энергии мягкого фотона ω. На нем

и ∼5 × 10-4 в e^-e⁺-случае, разница в точности

отображены относительные электромагнитные по-

довольно заметна и по зрительному сравнению

γγ

гладкости линий. Относительные поправки отри-

цательны во всей исследованной области и весьма

γγ

dσ_R

/dM

значительны по абсолютной величине, на краю об-

δ^RC(M) =

(55)

ласти с ростом M их абсолютное значение быстро

dσγγ0 /dM,

растет. Значительная разница масс электрона и

в зависимости от ω в случае рождения димюона

мюона обуславливает отличие в эффектах электро-

при M = 2 ТэВ. Видно, что сумма виртуального

магнитной поправки для разных конечных состоя-

и мягкого вклада, как и следует, логарифмически

ний: поправка в случае диэлектрона по сравнению

зависит от ω, жесткий вклад также имеет эту за-

с димюоном более значительно понижает сечение.

висимость, но с противоположным знаком, следо-

Так, до M = 2 ТэВ разница между ними находится

вательно, сумма всех трех вкладов (виртуального,

в интервале до 0.06, с ростом M эта разница

мягкого и жесткого) от ω не зависит. Подобные

немного увеличивается, так, при M = 7 ТэВ она

тесты важны для контроля правильности полу-

достигает ∼0.11.

ченного результата и составляют неотъемлемую

На рис. 13 приведены относительные электро-

часть программ, предназначенных для прецизи-

слабые поправки к дважды дифференциальным

онного учета эффектов радиационных поправок в

современных экспериментах по физике высоких

процесса,

M dy

энергий. Широкий диапазон ω, в котором READY

обусловленного γγ-слиянием

стабильно работает с точки зрения независимости

dσγγRC/dMdy

от этого параметра, показывает высокое качество

δ^RC(M,y) =

(56)

программы.

dσγγ0 /dMdy.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК

379

p₃ - p₁ + m

-p₄ -p+m

Рисунок 13а иллюстрирует случай конечного со-

× u(p₃)γ_α

γ_β

γ_μu(-p₄).

стояния μ^-μ⁺, а рис. 13б — случай конечного

-2p₁p₃

2p₄p

состояния e^-e⁺. Проявляются все закономерно-

Находим эрмитово сопряжение M₃, затем пере-

сти поведения, выявленные на предыдущем рисун-

множаем M₁ и M⁺³. Нам необходимо суммиро-

ке: относительные поправки также отрицательны,

вать (усреднить) по поляризациям конечных (на-

весьма значительны по абсолютной величине, на

чальных) частиц, для этого используем свойство

краю области (с ростом как M, так и y) их абсо-

векторов поляризации фотонов:

люное значение быстро растет, так же имеет место

∑

значительная разница в эффектах электромагнит-

e_αe^∗β = -g_αβ.

ной поправки для разных конечных состояний.

pol

В результате найдем

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

∑

В работе с точностью до однопетлевых элек-

M₁M⁺³ =

e⁶ ×

(П.1)

тромагнитных радиационных поправок изучены на-

pol

блюдаемые дифференциальные сечения процесса

[

p₃ + p+ m

p₂ - p₄ + m

рождения дилептонов в адронных столкновениях в

× Sp γ_μ

γ_α

γ_β(p₄ - m) ×

канале фотон-фотонного слияния. Сделано срав-

2p₃p

2p₂p₄

]

нение с аналогичными наблюдаемыми процесса

−p₄ -p+m

p₃ - p₁ + m

×γ_μ

γ_β

γ_α(p₃ + m) .

Дрелла-Яна. Акцент сделан на области сверх-

2p₄p

2p₁p₃

высоких энергий и инвариантных масс дилептона,

соответствующей эксперименту CMS в режиме

Вычисляя с помощью FORM [23] след произведе-

Run3/HL LHC и влиянии вклада жесткого тормоз-

ния гамма-матриц в выражении (П.1) и применяя,

ного излучения. Полученные теоретические эффек-

где это возможно, УРП, получим:

ты радиационных поправок (безотносительно к ве-

∑

M₁M⁺³ =

(П.2)

личине статистических и систематических [экспе-

риментальных] погрешностей, которые ожидаются

pol

быть на уровне теоретических) необходимо будет

учитывать в предстоящей экспериментальной про-

=2⁵π³α³

T₁₃,

zv(m² - t)(m² - u)

грамме CMS LHC в режиме Run3/HL.

где

Представляется актуальным дополнить настоя-

щий расчет вкладами от обменов W - и Z-бозонов,

T₁₃ = -2stv₁ + stz + 3stv - 2st² +

(П.3)

т.е. учесть полные электрослабые поправки. Эта

+ sv₁z + 2sv₁v - sv²¹ - 2szv - sv² - 2s²t -

нетривиальная задача уже сделана для партонного

кроссингового процесса в работе [20]. Требуется

- s²v₁ + s²v - tv₁z + tv₁v + tzv +

аналогичный расчет в новой энергетической обла-

+ tz² - v₁v² + v²¹v + zv² + z²v.

сти и на адронном уровне, эта работа планируется

на ближайшее будущее.

Работа выполнена при поддержке Государ-

ственной программы научных исследований Рес-

Приложение

публики Беларусь “Конвергенция” (подпрограм-

ма

“Микромир, плазма и Вселенная”). Автор

признателен коллегам по группе RDMS CMS и

ДЕТАЛИ РАСЧЕТА СЕЧЕНИЯ

Ю.М. Быстрицкому за обсуждение.

ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В Приложении рассчитано интерференционное

слагаемое M₁M⁺³ сечения тормозного излуче-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ния процесса рождения дилептона путем фотон-

1. S. D. Drell and T.-M. Yan, Phys. Rev. Lett. 25, 316,

фотонного слияния. Начнем с того, что приведем

902 (Erratum) (1970).

амплитуды M₁ и M₃ к более развернутому (и

2. S. D. Drell and T.-M. Yan, Ann. Phys. 66, 578 (1971).

удобному для перемножения) виду

3. В. А. Матвеев, Р. М. Мурадян, А. Н. Тавхелидзе,

Препринт № Р2-4543, ОИЯИ (Дубна, 1969).

M₁ = ie³ · e_α(p₁)e_β(p₂)e_μ(p₃) ×

4. J. H. Christenson, G. S. Hicks, L. M. Lederman,

p₃ + p+ m

p₂ - p₄ + m

P. J. Limon, B. G. Pope, and E. Zavattini, Phys. Rev.

× u(p₃)γ_μ

γ_α

γ_βu(-p₄),

D 8, 2016 (1973).

2p₃p

-2p₂p₄

5. N. M. Shumeiko, A. V. Soroko, and P. M. Starovoitov,

M₃ = ie³ · e_α(p₁)e_β(p₂)e_μ(p₃) ×

J. Phys. G 27, 1735 (2001).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022

380

ЗЫКУНОВ

UA1 Collab. (G. Arnison et al.), Phys. Lett. B 122,

18. Y.-S. Tsai, Phys. Rev. 137, B730 (1965).

103 (1983); UA2 Collab. (M. Banner et al.), Phys.

19. Frits A. Berends and R. Gastmans, Nucl. Phys. B 61,

Lett. B 122, 476 (1983).

414 (1973).

UA1 Collab. (G. Arnison et al.), Phys. Lett. B 126,

20. M. B ¨ohm and T. Sack, Z. Phys. C 33, 157 (1986).

398 (1983); UA2 Collab. (P. Bagnaia et al.), Phys.

21. В. А. Зыкунов, ЯФ 80, 388 (2017) [Phys. At. Nucl.

Lett. B 129, 130 (1983).

80, 699 (2017)].

J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B 49, 52 (1974).

22. В. А. Зыкунов, Пертурбативные расчеты в

E. Witten, Nucl. Phys. B 463, 383 (1996) [hep-

физике высоких энергий (ГГУ им. Ф. Скорины,

th/9512219].

Гомель, 2020).

10.

G. Bertone, D. Hooper, and J. Silk, Phys. Rep. 405,

23. J. Kuipers, T. Ueda, J. A. M. Vermaseren, and

279 (2005) [hep-ph/0404175].

J. Vollinga, Comput. Phys. Commun. 184, 1453

11.

M. Dine, W. Fischler, and M. Srednicki, Phys. Lett. B

(2013) [arXiv: 1203.6543 [cs.SC]].

104, 199 (1981).

12.

P. Agrawal, M. Bauer, J. Beacham, A. Berlin,

24. G. P. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

A. Boyarsky, S. Cebrian, X. Cid-Vidal, D. d’Enterria,

25. CMS Collab. (G. L. Bayatian et al.), J. Phys. G 34,

A. De Roeck, M. Drewes, B. Echenard, M. Giannoti,

995 (2007).

G. F. Giudice, S. Gninenko, S. Gori, E. Goudzovski,

26. A. D. Martin, R. G. Roberts, W. J. Stirling, and

et al., Eur. Phys. J. C 81, 1015 (2021) [arXiv:

R. S. Thorne, Eur. Phys. J. C 39, 155 (2005) [hep-

2102.12143 [hep-ph]].

ph/0411040].

13.

В. А. Зыкунов, ЯФ 84, 348 (2021) [Phys. At. Nucl.

27. Jun Gao, Marco Guzzi, Joey Huston, Hung-Liang

84, 492 (2021)].

Lai, Zhao Li, Pavel Nadolsky, Jon Pumplin, Daniel

14.

J. C. Collins, D. E. Soper, and G. F. Sterman, Adv.

Stump, and C.-P. Yuan, Phys. Rev. D 89, 033009

Ser. Direct. High Energy Phys. 5, 1 (1988) [hep-

(2014) [arXiv: 1302.6246 [hep-ph]].

ph/0409313].

28. L. A. Harland-Lang, A. D. Martin, P. Motylinski, and

15.

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

Phys. 34, 687 (1986).

R. S. Thorne, Eur. Phys. J. C 75, 204 (2015) [arXiv:

16.

Particle Data Group (P. A. Zyla et al.), Prog. Theor.

1412.3989 [hep-ph]].

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

29. CMS Collab. (S. Chatrchyan et al.), JHEP 1312,

17.

I. Harris and I. M. Brown, Phys. Rev. 105, 1656

030 (2013); CMS-SMP-13-003, CERN-PH-EP-

(1957).

2013-168; arXiv: 1310.7291.

EFFECTS OF ELECTROMAGNETIC RADIATIVE CORRECTIONS

IN LEPTON PAIR PRODUCTION VIA PHOTON-PHOTON FUSION

AT LHC

V. A. Zykunov^1),2),3)

¹⁾Joint Institute for Nuclear Reasearch, Dubna, Russia

²⁾Francisk Skorina Gomel State University, Belarus

³⁾Belarusian Trade and Economics University of Consumer Cooperatives, Gomel, Belarus

One-loop electromagnetic radiative corrections to dilepton production in hadron collisions via photon-

photon fusion are studied, the most attention is paid to hard bremstrahlung. Discussed reaction follows

the Drell-Yan process, its studying is the actual task of LHC experimental program. Detailed numerical

analysis of electromagnetic radiative effects to observable differential cross sections in wide kinematical

region including the CMS experiment in Run3/HL regime of LHC corresponding ultra-high energies and

dilepton invariant masses is performed.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№5

2022