ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 6, с. 409-418

ЯДРА

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

С ЯДРАМИ МОЛИБДЕНА 98 И 100

А. Ю. Лютостанский¹⁾, А. П. Осипенко¹⁾, В. Н. Тихонов¹⁾, А. Н. Фазлиахметов^1),2),3)

Поступила в редакцию 22.04.2022 г.; после доработки 09.06.2022 г.; принята к публикации 11.06.2022 г.

Процесс взаимодействия нейтрино с ядрами молибдена 98 и 100 изучается с учетом влияния зарядово-

обменных резонансов. В работе представлены расчеты сечения захвата солнечных нейтрино σ(E_ν )

изотопами⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo. Использовались как экспериментальные данные по силовым функциям

S(E), полученные в зарядово-обменных реакциях (p, n) и (³He, t), так и функции S(E), рассчитанные

в рамках теории конечных ферми-систем. Исследовалось влияние резонансной структуры S(E) на

рассчитываемые сечения захвата солнечных нейтрино, и выделены вклады каждого из высоколежащих

резонансов в сечение захвата σ(E_ν). Рассчитан вклад всех компонентов солнечного нейтринного

спектра. Оценен вклад фоновых солнечных нейтрино в двойной бета-распад ядер¹⁰⁰Mo.

DOI: 10.31857/S0044002722060095

1. ВВЕДЕНИЕ

от солнечных нейтрино пренебрегать нельзя. Для

SuperNEMO с б ´ольшими массой и числом изо-

При расчете сечения взаимодействия нейтри-

топов [6] эти фоны будут учитываться. Похожая

но с атомными ядрами σ(E_ν ) необходимо рас-

ситуация с фонами в эксперименте CUPID-Mo,

считывать структуру зарядово-обменной силовой

проводимом в подземной лаборатории в Модане

функции S(E) ядра, которая имеет резонансный

(LSM) [7], и в начальной стадии эксперимента

характер. Для солнечных нейтрино верхняя грани-

AMoRE [8].

ца спектра определяется hep-реакцией:³He + p →

Схема зарядово-обменных возбуждений ядер

→⁴He + e⁺ + ν_e с энергией E_x ≤ 18.77 МэВ [1].

98,100Mo при нейтринном захвате с последующим

Для рассматриваемых изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo были

распадом образующихся98,100Tc представлена на

измерены силовые функции S(E) до E_x = 18 МэВ

рис. 1. Видно, что образующиеся возбужденные

для⁹⁸Mo [2] и E_x > 20 МэВ для¹⁰⁰Mo [3, 4].

состояния изотопов технеция имеют резонансную

Изотопы⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo различаются по структуре

структуру. Наиболее интенсивным является ги-

всего на два нейтрона, а по сечению σ(E_ν ) захвата

гантский гамов-теллеровский резонанс (GTR) [9].

солнечных нейтрино различие во много раз. И это

Ниже GTR расположен изобарический аналого-

обсуждается в настоящей статье.

вый резонанс (AR) [10], а еще ниже так называ-

емые пигми-резонансы (PR) [11], которые важны

Выбор этих ядер связан еще и с тем, что в

в реакциях перезарядки [12, 13] и в процессах,

больших международных проектах по исследова-

связанных с бета-распадом [14]. Соответственно

нию двойного бета-распада используется изотоп

эти зарядово-обменные резонансы проявляются в

¹⁰⁰Mo и очень важно влияние фоновых солнечных

силовой функции S(E) и существенно изменяют

нейтрино. В эксперименте NEMO-3 с использо-

результат вычисления сечения реакции перезаряд-

ванием 6.914 кг изотопа¹⁰⁰Mo и 0.932 кг⁸²Se

ки, в том числе сечения σ(E_ν ) захвата нейтрино

был измерен период полураспада¹⁰⁰Mo в основное

атомными ядрами [13, 15].

состояние¹⁰⁰Ru [5]. При планировании экспери-

На рис. 1 также представлены энергетические

ментов с существенно б ´ольшей экспозицией фоном

пороги Q₁ и Q₂ для соседних ядер-изобар⁹⁸Tc и

¹⁰⁰Tc соответственно, которые сильно различают-

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

институт”, Москва, Россия.

ся. Так, энергия Q₁ = Q_β для изотопа⁹⁸Tc равна

²⁾Московский физико-технический институт (националь-

1684 ± 3 кэВ, а для¹⁰⁰Tc Q₂ = 172.1 ± 1.4 кэВ [16].

ный исследовательский университет), Москва, Россия.

Это приводит к тому, что в процессе захвата сол-

³⁾Институт ядерных исследований Российской академии

наук, Москва, Россия.

нечных нейтрино ядром⁹⁸Mo основную роль игра-

^*E-mail: lutostansky@yandex.ru

ют жесткие солнечные нейтрино, а в ядре¹⁰⁰Mo —

409

410

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

GTR

PR1

6⁺

1⁺

1339 кэВ

1⁺

Q₁

838 кэВ

1⁺

355 кэВ

1⁺

0⁺

100

T_1/2 = 15.5 с

100

Q_β- = 3206 кэВ

1741 кэВ

0⁺

1362.2 кэВ

2⁺

Q_ββ = 3034.4 кэВ

1130 кэВ

0⁺

539.5 кэВ

2⁺

0⁺

100

Ru_stable

Рис. 1. Схема возбужденных уровней ядер98,100Mo.

нейтрино с меньшими энергиями, в основном pp

солнечного спектра, в сечение захвата σ(E_ν ) ядра

солнечные нейтрино (реакция p + p →²H + e⁺ +

¹⁰⁰Mo, в отличие от⁹⁸Mo с Q_β = 1684 кэВ, где

+ ν_e) с E_x ≤ 420 кэВ [1], которых на порядки боль-

основной вклад вносят более жесткие борные и

ше. Вследствие этого сильно различаются сечения

hep-нейтрино (см. рис. 2в).

σ(E_ν ) захвата нейтрино этими ядрами (см. ниже).

Расчеты зарядово-обменной силовой функции

S(E) изотопов98,100Mo, представленных на рис. 2,

2. ЗАРЯДОВО-ОБМЕННЫЕ

производились в рамках теории конечных ферми-

ВОЗБУЖДЕНИЯ ИЗОТОПОВ98,100Mo

систем [18], как ранее для других ядер [13, 19].

Энергии и матричные элементы возбужденных

Резонансная структура зарядово-обменных

состояний дочернего ядра определялись системой

возбуждений ядер98,100Mo представлена на рис. 2,

секулярных уравнений для эффективного поля

где показаны экспериментальные данные по сило-

ТКФС согласно [18]. В расчетах использова-

вым функциям, которые были получены в реакциях

лись параметры f′0 и g′0 локального изоспин-

⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc

[2] и 100Mo(3He, t)100Tc [3, 4],

изоспинового и спин-изоспинового взаимодей-

а также расчетные данные [17], полученные в

ствий квазичастиц, полученные недавно [20] из

рамках теории конечных ферми-систем (ТКФС)

анализа экспериментальных данных по энергиям

[18]. Данные на рис.

представлены в виде

аналоговых (38 ядер) и гамов-теллеровских (20

графика зависимости силовой функции S(E) от

ядер) резонансов. Непрерывная часть спектра

энергии возбуждения E, отсчитанной от основного

функции S(E) рассчитывалась как в [13] с уши-

состояния изотопа¹⁰⁰Mo (см. рис. 1). В такой

рением по Брейт-Вигнеру (см. [21, 22]).

системе отсчета энергии изобарических резонансов

При описании как экспериментальных, так и

имеют близкие значения, так как изотопы⁹⁸Mo

расчетных данных по силовой функции S(E) изо-

и¹⁰⁰Mo отличаются всего на два нейтрона. Так

топов 98,100Mo, представленных на рис. 2, су-

же такая система отсчета позволяет определить,

щественный вопрос состоит в нормировке S(E).

какие типы солнечных нейтрино, представленные

на графике (см. рис. 2в), вносят вклады в различ-

Так, экспериментальные данные для 98Mo бы-

ные области энергий рассматриваемых изотопов

ли получены в реакции⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc [2], и бы-

98,100Mo. Видно, что солнечные нейтрино малых

ла получена зарядово-обменная силовая функция

энергий (см. рис. 2в) дают основной вклад, на

S(E) до энергии возбуждения E_max = 18 МэВ.

несколько порядков б ´ольший, чем другие нейтрино

Было получено, что полная сумма квадратов GT

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

412

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

матричных элементов B(GT) до энергии 18 МэВ

вид [21]:

равна 28 ± 5 [2], что составляет 0.67 ± 0.08 от

максимального значения 3(N - Z) = 42, которое

∫

(G_Fg_A)²

дается правилом сумм для GT-возбуждений ядра

σ(E_ν ) =

E_ep_eF(Z,A,E_e)S(x)dx,

πc³ℏ⁴

⁹⁸Mo. Т.е. наблюдается недобор в правиле сумм

для GT-возбуждений. Для¹⁰⁰Mo в работе [4] при-

(2)

ведены результаты обработки B(GT) в энергети-

E_e = E_ν - Q - x + m_ec²,

ческом диапазоне до 4 МэВ. Для других энергий

√

в работе [4] зависимость B(GT) от энергии E не

cp_e =

E2e - (mc²)²,

приводится, как и сумма ΣB(GT). Но в более

ранней работе [3] было получено, что сумма GT

где F (Z, A, E_e) — функция Ферми, S(E) —

матричных элементов до энергии 18.8 МэВ равна

силовая функция, G_F/(ℏc)³ = 1.1663787(6) ×

34.56 или 0.72 (72%) от максимально возможного

× 10-5 ГэВ-2 — фермиевская константа слабого

значения 3(N - Z) = 48, что на 7.5% больше, чем

взаимодействия, g_A = -1.2723(23) — аксиально-

для⁹⁸Mo [2]. Наблюдаемый недобор в правиле

векторная константа [25].

сумм для GT-возбуждений связан с quenching-

эффектом [23] или с нарушением нормировки GT

Сечение нейтринного захвата σ(E) в реакции

матричных элементов. Так, согласно правилу сумм,

⁹⁸Mo(ν_e, e^-)⁹⁸Tc представлено на рис. 3, и σ(E) в

для GT-переходов нормировка имеет вид [16]

,e^-)¹⁰⁰Tc представлено на рис. 4.

реакции¹⁰⁰Mo(ν_e

ΣM2i = ΣB_i(GT) = q[3(N - Z)] =

(1)

Сечения представлены как для расчетов с экспе-

∫

риментальной силовой функцией S(E) (см. рис. 2),

= e2q[3(N - Z)] ≈

S(E)dE = I(E_max).

так и для расчетов с силовой функцией S(E),

полученной в ТКФС-подходе. Представлены так-

же расчеты без учета GTR и без учета пигми-

Здесь E_max — максимальная энергия, учитыва-

резонансов. На рисунках видно, что расчеты с си-

емая в расчетах или в эксперименте, S(E) —

ловыми функциями S(E), полученными в ТКФС-

зарядово-обменная силовая функция. В настоящих

подходе, неплохо описывают расчеты сечения σ(E)

расчетах использовалось значение E_max = 20 МэВ

с экспериментальными силовыми функциями, и

для⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo, а в экспериментах E_max = 18

средние расхождения полного сечения не превы-

[2] и E_max ≈ 19 МэВ [4] соответственно. Параметр

шают 10% как для⁹⁸Mo, так и для¹⁰⁰Mo.

q < 1 в (1) определяет quenching-эффект (недобор

в правиле сумм) и при q = 1, ΣM2i = ΣB_i(GT) =

Как видно из рис. 3 и 4, влияние зарядово-

= 3(N - Z), что соответствует максимальному

обменных резонансов на величину сечения σ(E)

значению. В ТКФС q = e2q, где e_q — эффективный

довольно существенно. Неучет только двух резо-

заряд [18]. Как показал А.Б. Мигдал [24], эффек-

нансов GTR и PR1 уменьшает сечение σ(E) для

тивный заряд не должен превышать единицу, и для

⁹⁸Mo на величину от ∼10 до ∼60% при измене-

фермиевских переходов e_q(F) = 1, а для гамов-

нии энергии нейтрино в интервале 4-14 МэВ, а

теллеровских e_q(GT) = 1 - 2ζ_S (см. [18, с. 223],

для¹⁰⁰Mo от ∼5 до ∼40%. Таким образом, вли-

где 0 < ζ_S < 1 — эмпирический параметр. Таким

яние резонансов на сечение σ(E) для ядра¹⁰⁰Mo

образом, в нашем случае Mo → Tc-переходов

меньше, чем для⁹⁸Mo. Это видно на рис. 5, где

эффективный заряд e_q = e_q(GT) является па-

раметром, извлекаемым из экспериментальных

представлены отношения расчетных сечений σ_i(E)

данных. Подробный анализ quenching-эффекта

реакций

⁹⁸Mo(ν_e, e^-)⁹⁸Tc и 100Mo(νe, e-)100Tc,

представлен в работе [17], где было получено, что

нормированных на полное сечение σ_tot(E) с сило-

e_q = 0.90 (q = 0.81) для изотопа⁹⁸Mo и e_q = 0.8

выми функциями S(E), рассчитанными по ТКФС.

(q = 0.64) для¹⁰⁰Mo, что подтверждает наличие

Уменьшение влияния зарядово-обменных резо-

quenching-эффекта.

нансов на величину сечения σ(E) нейтринного за-

хвата для ядра¹⁰⁰Mo по сравнению с⁹⁸Mo объ-

ясняется тем, что в сечение для¹⁰⁰Mo основной

3. СЕЧЕНИЯ ЗАХВАТА СОЛНЕЧНЫХ

вклад вносят солнечные нейтрино малых энер-

НЕЙТРИНО ЯДРАМИ98,100Mo

гий, которых на порядки больше, чем нейтрино с

Формула для сечения реакции (ν_e, e^-), завися-

энергией E_ν > 2 МэВ, вносящих основной вклад в

щего от энергии налетающего нейтрино E_ν , имеет

резонансную область энергий⁹⁸Mo.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

413

σ(E), 10^-44 см²

10⁴

10³

10²

10¹

10⁰

E, МэВ

Рис. 3. Сечение нейтринного захвата σ(E) в реакции⁹⁸Mo(νe, e^-)⁹⁸Tc. Точки — расчет с экспериментальной силовой

функцией S(E) (см. рис. 2). Кривые сплошные и штриховые — расчеты с силовой функцией S(E), полученной в ТКФС-

подходе: 1 — полное сечение, 2 — расчет без учета GTR, 3 — расчет без учета GTR и PR1, 4 — расчет без учета GTR,

PR1 и PR2, 5 — расчет без учета GTR, PR1, PR2 и PR3.

σ(E), 10^-44 см²

10⁴

10³

10²

10¹

10⁰

E, МэВ

Рис. 4. Сечение нейтринного захвата σ(E) в реакции¹⁰⁰Mo(νe, e^-)¹⁰⁰Tc. Точки — расчет с экспериментальной силовой

функцией S(E) (см. рис. 2). Кривые сплошные и штриховые — расчеты с силовой функцией S(E), полученной в ТКФС-

подходе: 1 — полное сечение, 2 — расчет без учета GTR, 3 — расчет без учета GTR и PR1.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

414

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

σ_i/σ_tot

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

E, МэВ

Рис. 5. Отношения расчетных сечений σi(E) реакции⁹⁸Mo(νe, e^-)⁹⁸Tc (кривые 3, 5) и реакции¹⁰⁰Mo(νe, e^-)¹⁰⁰Tc

(кривые 2 и 4), нормированных на полное сечение σtot(E) по ТКФС (кривая 1). Кривые 2 и 3 — расчеты без учета GTR,

4 и 5 —расчеты без учета GTR и PR1.

4. СКОРОСТЬ ЗАХВАТА СОЛНЕЧНЫХ

знания сечения взаимодействия нейтрино с веще-

НЕЙТРИНО ЯДРАМИ98,100Mo

ством детектора и, как следствие, знания силовой

функции и ее резонансной структуры для ядер этого

Скорость захвата солнечных нейтрино R (число

вещества. В нашей статье мы приводим расчеты

поглощенных нейтрино за единицу времени) свя-

в модели BS05(OP), наиболее удобной для срав-

зана с потоком солнечных нейтрино и сечением

нения с экспериментальными данными, пересчеты

поглощения следующей формулой:

в другие модели Солнца сводятся к нормировке

∫

потоков.

R = ρ_solar(E_ν)σ_total(E_ν)dE_ν,

(3)

Численные значения расчетных скоростей за-

хвата солнечных нейтрино R для изотопов⁹⁸Mo и

¹⁰⁰Mo представлены в табл. 1-4 (в SNU). В таб-

где для энергии E_max можно ограничиться hep-

лицах представлены результаты расчетов величи-

нейтрино (реакция

³He + p →⁴He + e⁺ + ν_e) с

ны R с экспериментальными и теоретическими

E_max ≤ 18.79 МэВ или борными нейтрино (реакция

силовыми функциями S(E) с учетом и без учета

⁸B →⁸Be + e⁺ + ν_e) с E_max ≤ 16.36 МэВ [26].

гамов-теллеровского и пигми-резонансов. Расче-

Скорость захвата солнечных нейтрино представ-

ты с экспериментальными силовыми функциями

лена в единицах SNU (SNU — это стандартная

S(E) (табл. 1 и 3) проводились с использовани-

солнечная единица, соответствующая количеству

ем данных, которые были получены в реакциях

событий в секунду на 10³⁶ ядер мишени).

⁹⁸Mo(p, n)⁹⁸Tc [2] и¹⁰⁰Mo(³He, t)¹⁰⁰Tc [3, 4] (см.

При расчете сечений захвата солнечных ней-

рис. 2).

трино важно правильно смоделировать поток сол-

нечных нейтрино. В последнее время активно раз-

Для изотопа 98Mo было получено RTotal =

виваются несколько моделей Солнца. Например:

= 18.52 SNU (табл. 1), что близко к значению

BS05(OP), BS05(AGS, OP), BS05(AGS, OPAL),

17.4+18.5-11 SNU [1] и с расчетными силовыми

разработанные группой Бакала [26]. Моделиру-

функциями, у нас R_Total = 19.028 SNU (табл. 2),

емыми параметрами, в первую очередь, являют-

а ранее в работе [27] было получено 28+15-8 SNU.

ся концентрация гелия и металличность (удельное

число атомов тяжелее гелия), а также их распре-

В расчетах для ¹⁰⁰Mo (табл. 3) использовались

деление по объему звезды, также параметр непро-

два набора экспериментальных данных — из работ

зрачности среды и размеры конвективной зоны.

[3] и [4], так как в [4] приводится таблица данных

Описание нейтринных потоков требует детального

по энергиям E и матричным элементам B(GT) до

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

415

Таблица 1. Скорость захвата R солнечных нейтрино (в SNU) на изотопе⁹⁸Mo с силовой функцией, полученной из

экспериментальных данных [2] (в скобках указаны уменьшения (в %) скоростей захвата без учета GTR и GTR +

+ PR1)

⁹⁸Mo

⁸B

hep

¹⁵О

¹⁷F

Total

18.415

0.105

5.1 × 10-5

10-6

18.520

R без GTR

10.893 (-40.8%)

0.044 (-58%)

5.1 × 10-5

10-6

10.937 (-41%)

R без GTR и PR1

8.282 (-55%)

0.025 (-76%)

5.1 × 10-5

10-6

8.307 (-55%)

Таблица 2. Скорость захвата R солнечных нейтрино (в SNU) на изотопе⁹⁸Mo с силовой функцией, рассчитанной

по ТКФС [17] (в скобках указаны уменьшения (в %) скоростей захвата без учета GTR и GTR + PR1)

⁹⁸Mo

⁸B

hep

¹⁵О

¹⁷F

Total

18.92

0.108

0.0002

10-5

19.028

R без GTR

12.515 (-34%)

0.057

(-47%)

0.0002

10-5

12.572 (-34%)

R без GTR и PR1

10.778 (-43%)

0.043

(-60%)

0.0002

10-5

10.822 (-43%)

энергии E ≤ 4 МэВ, а в более ранней работе [3]

для величин R_Total ≈ 3% для⁹⁸Mo и ≈14% для

есть табличные данные по высоколежащим воз-

¹⁰⁰Mo. Для⁹⁸Mo это объясняется расхождениями

буждениям дочернего ядра¹⁰⁰Tc. В табл. 3 наря-

в описании резонансных состояний [17], внося-

ду с расчетами величины R с экспериментальны-

щих основной вклад в сечение нейтринного захва-

ми силовыми функциями для¹⁰⁰Mo представлены

та σ(E_ν), а для¹⁰⁰Mo неточностями в описании

также данные из работы H. Ejiri и S.R. Elliott

низколежащих состояний, где рассчитываемая ве-

[28], приведенные с данными работы [4] до энергии

личина R очень сильно зависит от изменений в

4 МэВ. У нас это соответствует расчетам без учета

величинах E_x и B(GT). Так, изменение положения

GTR и расхождения незначительны, а величины

основного состояния от 0 до 100 кэВ с шагом ΔE =

R_Total расходятся на ≈0.4%. В 2017 г. те же авторы

= 50 кэВ вызывает последовательное изменение

опубликовали работу [29], в которой привели зна-

значений R_Total в SNU на ∼150 единиц на каждом

чение R_Total = 975 SNU отличающееся от первого

шаге ΔE (∼300 SNU суммарно). Почти все свя-

значения и нашей оценки приблизительно на 1%.

зано с каналом pp-нейтрино, а на нейтрино от⁷Ве

Расхождения связаны с особенностями обработки

уменьшение ∼10 SNU на каждом шаге ΔE.

экспериментальных данных и не принципиальны

для данного анализа.

Влияние зарядово-обменных резонансов на

Сравнивая расчеты для⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo (табл. 1,

скорости захвата солнечных нейтрино R для изото-

2 и 3, 4), в первую очередь надо отметить большое

пов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo также представлено в табл. 1-4.

отличие, большее чем в 45 раз, значений R_Total

Видно, что значения R_Total для¹⁰⁰Mo почти не

для этих изотопов, что объясняется сильным раз-

меняются при расчетах без GTR (уменьшается на

личием энергий Q₁ = 1684 кэВ для изотопа⁹⁸Tc и

≈1%) и при расчетах без GTR и PR1 (≈-2%),

Q₂ = 172.1 кэВ для¹⁰⁰Tc (см. рис. 1). В результа-

но для⁹⁸Mo эти изменения значительны: -34% и

те в процессе захвата солнечных нейтрино ядром

-43% соответственно. Это различие объясняется

⁹⁸Mo основную роль играют жесткие солнечные

тем, что (как было отмечено выше) основной вклад

нейтрино, а в ядре¹⁰⁰Mo — нейтрино с меньшими

в R_Total для ¹⁰⁰Mo дают нейтрино малых энергий,

энергиями, в основном pp солнечные нейтрино,

в основном pp солнечные нейтрино, около 70%,

которых на порядки больше (см. рис. 2). Так, вклад

а для⁹⁸Mo основной вклад ≈99% дают борные

жестких борных нейтрино в величину R_Total для

нейтрино. Вследствие этого примерно одинаковый

⁹⁸Mo составляет 99%, а для¹⁰⁰Mo только 2.6%,

и около 70% дают вклад мягкие pp-нейтрино (см.

вклад в R_Total и в R(⁸B) для⁹⁸Mo дают расчеты без

рис. 2).

резонансов GTR и PR1. Похожая ситуация и для

изотопа йода-127 [30], где R_Total = 37.904 SNU

Расхождения значений R, полученные из экс-

периментальных и расчетных данных по силовым

и R(⁸B) = 33.232 SNU различаются всего на

функциям S(E), более значительны и составляют

12.3%, а вклад резонансов GTR и PR1 уменьшает

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

416

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

Таблица 3. Скорость захвата R солнечных нейтрино (в SNU) на изотопе¹⁰⁰Mo с силовой функцией, полученной из

экспериментальных данных [3, 4]; также представлены расчеты [28] с использованием данных [4] (в скобках указаны

уменьшения (в %) скоростей захвата без учета GTR и GTR + PR1)

¹⁰⁰Mo

pep

⁷Be

⁸B

¹³N

¹⁷F

¹⁵O

hep

Total

692.73

15.93

230.06

25.60

12.46

0.40

15.76

0.12

993.05

R без GTR

692.73

15.93

230.06

19.39

12.46

0.40

15.76

0.07

986.78

(-24%)

(-42%)

(-0.6%)

R без GTR и PR1

692.73

15.93

230.06

15.82

12.46

0.40

15.76

0.05

983.21

(-38%)

(-58%)

(-1%)

[28]

695

234

989

Таблица 4. Скорость захвата R солнечных нейтрино (в SNU) на изотопе¹⁰⁰Mo с силовой функцией, рассчитанной

по ТКФС [17] (в скобках указаны уменьшения (в %) скоростей захвата без учета GTR и GTR + PR1)

¹⁰⁰Mo

pep

⁷Be

⁸B

¹³N

¹⁷F

¹⁵O

hep

Total

586.58

14.46

202.16

31.42

10.91

0.35

14.08

0.15

860.11

R без GTR

586.58

14.35

201.80

20.61

10.89

0.35

14.01

0.08

848.67

(-34%)

(-47%)

(-1.3%)

R без GTR и PR1

586.58

14.29

201.61

17.28

10.88

0.35

13.97

0.06

845.02

(-45%)

(-60%)

(-1.8%)

величину R_Total на 72.7% до 10.345 SNU (27.3%),

В реальных земных экспериментах поток элек-

в основном из-за борных нейтрино.

тронных нейтрино от Солнца приблизительно

вдвое меньше, чем в модели без осцилляции.

Аналоговые резонансы с энергиями E(AR)_эксп =

Помимо этого, существуют схемы детектирования

= 9.7 МэВ [2] и E(AR)_расч = 9.78 МэВ [17] для

с возможностью частичного подавления фона [31].

⁹⁸Mo, и для¹⁰⁰Mo E(AR)_эксп = 11.085 МэВ [4],

и E(AR)_расч = 10.99 МэВ [17], слабо влияют на

сечения σ(E) и на скорости захвата солнечных

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

нейтрино R. Так, при учете AR значение R для⁹⁸Mo

увеличивается на ΔR ≤ 5% и для¹⁰⁰Mo ΔR ≤ 1%.

Взаимодействие солнечных нейтрино с ядрами

молибдена 98 и 100 изучается с учетом влияния

Без учета осцилляций наши расчеты числа ней-

зарядово-обменных резонансов. Исследованы

тринных событий на¹⁰⁰Mo до энергии отрыва ней-

влияния высоколежащих резонансов в зарядово-

трона с учетом вкладов как гамов-теллеровских,

обменной силовой функции S(E) и на сечения

так и аналоговых резонансов дают значение в 188.3

захвата солнечных нейтрино ядрами

⁹⁸Mo и

событий на тонну в год. Расчеты проводились до

¹⁰⁰Mo. Использовались как экспериментальные

энергии отрыва нейтрона в ядре¹⁰⁰Tc, так как

данные по силовым функциям S(E), полученные

возбуждения с б ´ольшими энергиями будут разря-

в зарядово-обменных реакциях (p,n) и (³He, t)

жаться с эмиссией нейтрона и переходами в воз-

[2-4], так и силовые функции S(E), рассчитанные

бужденные состояния ядра⁹⁹Tc. Такой процесс не

в рамках теории конечных ферми-систем [17].

будет давать вклада в фоны в двойной бета-распад

ядра¹⁰⁰Mo от солнечных нейтрино. В работах

Сравнение расчетов функции S(E) с экспе-

последних лет приводились следующие значения:

риментальными данными демонстрирует хорошее

так, в статье [28] авторы оценивают R = 989 SNU

согласие как по энергиям, так и по амплитудам

(R = 975 SNU в [29]), что в пересчете на тонну

резонансных пиков. Наблюдается недобор в пра-

вещества дает 187.6 (184.9 [29]) событий на тонну

виле сумм для GT-возбуждений, который свя-

в год.

зан с quenching-эффектом [23] или с нарушением

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

417

нормировки GT матричных элементов. В ТКФС-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

теории [18] этот недобор компенсируется введени-

Дж. Бакал, Нейтринная астрофизика

ем эффективного заряда e_q = 0.90 (q = 0.81) для

(Мир, Москва,

1993)

[J. N. Bahcall, Neutrino

изотопа⁹⁸Mo и e_q = 0.8 (q = 0.64) для¹⁰⁰Mo [17].

Astrophysics (Cambridge University Press, 1989)].

J. Rapaport, P. Welch, J. Bahcall, E. Sugarbaker,

Проведены расчеты сечений захвата σ(E) для

T. N. Taddeucci, C. D. Goodman, C. F. Foster,

солнечных нейтрино, и проанализирован вклад

D. Horen, C. Gaarde, J. Larsen, and T. Masterson,

всех зарядово-обменных резонансов. Получено,

Phys. Rev. Lett. 54, 2325 (1985).

что величина σ(E) ядра¹⁰⁰Mo существенно боль-

H. Akimune, H. Ejiri, M. Fujiwara, I. Daito,

T. Inomata, R. Hazama, A. Tamii, H. Toyokawa, and

ше, чем у⁹⁸Mo во всех энергетических интервалах.

M. Yosoi, Phys. Lett. B 394, 23 (1997).

Это связано с тем, что энергии порогов Q₁ и Q₂

J. H. Thies, T. Adachi, M. Dozono, H. Ejiri,

для соседних ядер-изобар⁹⁸Tc и¹⁰⁰Tc сильно

D. Frekers, H. Fujita, Y. Fujita, M. Fujiwara,

различаются (см. рис. 1). Вследствие этого раз-

E.-W. Grewe, K. Hatanaka, P. Heinrichs,

личаются сечения σ(E) ядер⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo. Таким

D. Ishikawa, N. T. Khai, A. Lennarz, H. Matsubara,

H. Okamura, et al., Phys. Rev. C 86, 044309 (2012).

образом, в σ(E)¹⁰⁰Mo основной вклад вносят

R. Arnold, C. Augier, A. S. Barabash, A. Basharina-

мягкие нейтрино, которых на порядки больше (см.

Freshville, S. Blondel, S. Blot, M. Bongrand,

рис. 2), при этом резонансная область энергий не

D. Boursette, V. Brudanin, J. Busto, A. J. Caffrey,

влияет. Соответственно вклад энергичных ядерных

S. Calvez, M. Cascella, C. Cerna, J. P. Cesar,

резонансов в σ(E)¹⁰⁰Mo меньше, чем в⁹⁸Mo.

A. Chapon, et al., Eur. Phys. J. C 79, 440 (2019).

A. V. Rakhimov, A. S. Barabash, A. Basharina-

Рассчитывались скорости захвата солнечных

Freshville, S. Blot, M. Bongrand, Ch. Bourgeois,

нейтрино R для изотопов⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo с учетом

D. Breton, R. Breier, E. Birdsall, V. B. Brudanin,

всех компонентов солнечного нейтринного спектра.

H. Bure ˇsova, J. Busto, S. Calvez, M. Cascella,

Расчеты проводились как с экспериментальными,

C. Cerna, J. P. Cesar, et al., Radiochim. Acta 108,

так и с теоретическими силовыми функциями S(E)

87 (2020).

с учетом и без учета гамов-теллеровского и пигми-

E. Armengaud et al. (CUPID-Mo Collab.), Phys.

резонансов.

Rev. Lett. 126, 181802 (2021).

Moo Hyun Lee, JINST 15, C08010 (2020).

Сравнивая расчеты для⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo, надо

Ю. В. Гапонов, Ю. С. Лютостанский, Письма в

отметить большое отличие, большее чем в 45 раз,

ЖЭТФ 15, 173 (1972) [JETP Lett. 15, 120 (1972)].

значений R_Total для этих изотопов. Это объяс-

10.

Ю. В. Гапонов, Ю. С. Лютостанский, ЯФ 16, 484

няется тем, что, как было отмечено, в процессе

(1972) [Sov. J. Nucl. Phys. 16, 270 (1972)].

захвата солнечных нейтрино ядром⁹⁸Mo основную

11.

Ю. С. Лютостанский, Письма в ЖЭТФ 106, 9

(2017) [JETP Lett. 106, 7 (2017)].

роль играют жесткие солнечные нейтрино, а в ядре

12.

K. Pham, J. J ¨anecke, D. A. Roberts, M. N. Harakeh,

¹⁰⁰Mo — нейтрино с меньшими энергиями, кото-

G. P. A. Berg, S. Chang, J. Liu, E. J. Stephenson,

рых на порядки больше.

B. F. Davis, H. Akimune, and M. Fujiwara, Phys. Rev.

Вопрос изменения фоновых значений R_Total в

C 51, 526 (1995).

связи с нейтринными осцилляциями в данной ра-

13.

Ю. С. Лютостанский, В. Н. Тихонов, ЯФ 81, 515

(2018) [Phys. At. Nucl. 81, 540 (2018)].

боте не рассматривался, так как надо учитывать

изменения во всех компонентах солнечного потока,

14.

D. Verney, D. Testov, F. Ibrahim, Yu. Penionzhkevich,

имеющих различную энергетику.

B. Roussiere, V. Smirnov, F. Didierjean, K. Flanagan,

S. Franchoo, E. Kuznetsova, R. Li, B. Marsh,

Таким образом, два изотопа одного элемента

I. Matea, H. Pai, E. Sokol, I. Stefan, and D. Suzuki,

⁹⁸Mo и¹⁰⁰Mo, мало различающиеся по структуре

Phys. Rev. C 95, 054320 (2017).

и по зарядово-обменной силовой функции, очень

15.

Ю. С. Лютостанский, А. П. Осипенко, В. Н. Тихо-

нов, Изв. РАН. Сер. физ. 83, 539 (2019) [Bull. Russ.

сильно различаются по сечениям σ(E) и скоростям

Acad. Sci.: Phys. 83, 488 (2019)].

захвата солнечных нейтрино.

16.

M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi, and

Авторы благодарны М.Д. Скорохватову,

S. Naimi, Chin. Phys. C 45, 030003 (2021).

И.Н. Борзову, А.К. Выборову, Л.В. Инжечику,

17.

Ю. С. Лютостанский, Г. А. Коротеев, А. Ю. Лю-

Н.В. Клочковой, С.С. Семенову и В.В. Хрущеву

тостанский, А. П. Осипенко, В. Н. Тихонов,

за стимулирующие дискуссии и помощь в работе.

А. Н. Фазлиахметов, ЯФ 85, 177 (2022) [Phys. At.

Nucl. 85, 231 (2022)].

Работа выполнена при частичной финансовой

18.

А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

поддержке Российского научного фонда (проект

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1983)

№ 21-12-00061) и гранта Отделения нейтринных

[A. B. Migdal, Theory of Finite Fermi Systems and

процессов НИЦ “Курчатовский институт”.

Applications to Atomic Nuclei (Nauka, Moscow,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

418

ЛЮТОСТАНСКИЙ и др.

1983, 2nd ed.; Interscience, New York, 1967, transl.

26. J. N. Bahcall, A. M. Serenelli, and S. Basu,

1st ed.)].

Astrophys. J. Lett. 621, L85 (2005).

19.

Ю. С. Лютостанский, ЯФ 82, 440 (2019) [Phys. At.

27. К. И. Ерохина, В. И. Исаков, ЯФ 58, 483 (1995)

Nucl. 82, 528 (2019)].

[Phys. At. Nucl. 58, 432 (1995)]; K. I. Erokhina and

20.

Ю. С. Лютостанский, ЯФ 83, 34 (2020) [Phys. At.

V. I. Isakov, Phys. Scr. 56, 258 (1995).

Nucl. 83, 39 (2020)].

21.

Yu. S. Lutostansky and N. B. Shul’gina, Phys. Rev.

28. H. Ejiri and S. R. Elliott, Phys. Rev. C 89, 055501

Lett. 67, 430 (1991).

(2014).

22.

Yu. S. Lutostansky, A. N. Fazliakhmetov,

29. H. Ejiri and S. Elliott, Phys. Rev. C 95, 055501

G. A. Koroteev, N. V. Klochkova, A. P. Osipenko,

(2017).

and V. N. Tikhonov (2021), arXiv: 2103.12325v1

[nucl-th].

30. Y. S. Lutostanky, A. N. Fazliakhmetov, G. A. Ko-

23.

A. Arima, Nucl. Phys. A 649, 260 (1999).

roteev, N. V. Klochkova, A. Y. Lutostanky, A. P. Osi-

24.

А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 32, 399 (1957) [Sov. Phys.

penko, and V. N. Tikhonov, Phys. Lett. B 826, 136905

JETP 5, 333 (1957)].

(2022).

25.

C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin.

31. H. Ejiri and K. Zuber, J. Phys. G 43, 045201 (2016).

Phys. C 40, 100001 (2016).

SOLAR NEUTRINOS CAPTURING

BY MOLYBDENUM 98 AND 100 NUCLEI

Yu. S. Lutostanky¹⁾, N. A. Belogortseva¹⁾, G. A. Koroteev^1),2), A. Yu. Lutostanky¹⁾,

A. P. Osipenko¹⁾, V. N. Tikhonov¹⁾, A. N. Fazliakhmetov^1),2),3)

¹⁾National Research Center Kurchatov Institute, Moscow, Russia

²⁾Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Moscow, Russia

³⁾Institute for Nuclear Research, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

The neutrino capture process by molybdenum 98 and 100 nuclei was studied taking into account the

influence of the charge-exchange resonances. The paper presents the calculations of the cross section

for the capture of solar neutrinos σ(E_ν) by⁹⁸Mo and¹⁰⁰Mo nuclei. The calculations used both the

experimental data on the strength function S(E) obtained in charge-exchange reactions (p, n) and (³He,

t) and the functions S(E) calculated within the framework of the finite Fermi systems theory. The influence

of the resonance structure S(E) on the calculated cross section for the capture of solar neutrinos σ(E_ν)

was investigated, and the contributions of each of the resonances to the cross sections of σ(E_ν ) were

distinguished. The contribution of all components of the solar neutrino spectrum is calculated. The

contribution of background solar neutrinos to double beta decay of¹⁰⁰Mo nuclei is estimated.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022