ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2022, том 85, № 6, с. 425-434

ЯДРА

КОЛЛЕКТИВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЧЕТНОСТИ

ТЯЖЕЛЫХ НЕАКСИАЛЬНЫХ ЧЕТНО-ЧЕТНЫХ ЯДЕР

С КВАДРУПОЛЬНОЙ И ОКТУПОЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИЯМИ

Поступила в редакцию 22.02.2022 г.; после доработки 07.06.2022 г.; принята к публикации 20.06.2022 г.

Развита неадиабатическая коллективная модель неаксиальных четно-четных ядер с квадрупольной

и октупольной деформациями. Асимметричные квадрупольные и октупольные моды учитываются

эффективно. На основе развитой модели получены аналитические выражения для энергии уровней,

содержащих пять подгоночных параметров, которые определяются из сравнения теоретических и

экспериментальных данных. Угловая часть полярных координат использована в качестве одного из

параметров равновесного состояния четно-четного ядра. Получено хорошее описание коллективных

состояний yrast- и первой non-yrast-полос переменной четности тяжелых неаксиальных четно-четных

ядер:¹⁵⁰Nd,152,154Sm,¹⁷²Yb,228,230,232Th,232,234,236,238U и²⁴⁰Pu. В приложении представлено

квантование кинетической энергии октупольных колебаний в криволинейных координатах.

DOI: 10.31857/S0044002722060101

1. ВВЕДЕНИЕ

параметров направлены либо на обоснование фе-

номенологических моделей, либо на приближенное

решение ядерной проблемы многих тел. Однако

Реальный наблюдаемый спектр возбуждения

в рамках микроскопических моделей мы еще не

деформированных ядер содержит уровни, имеющие

имеем столь детального описания спектров воз-

как вращательную природу, так и уровни, воз-

буждения ядер, как это дают феноменологические

никшие за счет коллективных колебаний [1]. На-

модели коллективного возбуждения [4, 5].

блюдение больших квадрупольных моментов при-

вело к предположению, что некоторые ядра мо-

Коллективные спектры аксиально-симметрич-

гут иметь сфероидальную форму, что было под-

ных атомных ядер с квадрупольной и октупольной

тверждено наблюдением структур вращательных

деформациями характеризуются вращательными

полос. Для большинства деформированных ядер

полосами переменной четности [2, 6-12]. В работе

описание аксиально-симметричного сфероида яв-

[12] в рамках неадиабатической коллективной мо-

ляется приемлемым для воспроизведения спектра

дели описаны последовательности энергий уровней

энергетических полос. В последнее время спектро-

yrast- и первой non-yrast-полос переменной чет-

скопические свойства возбужденных коллектив-

ности деформированных аксиально-симметричных

ных состояний тяжелых ядер широко изучаются

четно-четных ядер с квадрупольными и октуполь-

различными авторами в рамках различных моде-

ными степенями свободы в редкоземельных ядрах

лей, использующих геометрические, алгебраиче-

¹⁵⁰Nd,152,154Sm,¹⁵⁴Gd,¹⁵⁶Dy,162,164Er и актини-

ские и микроскопические подходы [2]. Алгебраиче-

дах232,234,236,238U.

ские подходы к коллективным состояниям положи-

В работах [13-15] показано, что γ-колебания

тельной четности основаны на предположении, что

играют важную роль в ядрах с квадрупольной

ядро может быть описано как система пар ферми-

деформацией, и подтверждена важность отклоне-

онов с угловым моментом 0, 1, 2 и 3 (пары s, p, d

ния формы ядра от аксиально-симметричной при

и f), которые рассматриваются как феноменологи-

коллективном возбуждении при низких энергиях. В

ческие бозоны, а состояния с отрицательной чет-

работе [16] рассмотрены описания энергетических

ностью описываются путем добавления f-бозона к

уровней переменной четности yrast-полос четно-

обычным s- и d-бозонам [3]. Микроскопические

четных ядер в области актинидов:

228,230,232Th,

подходы к мультипольным колебаниям и расчет их

230,232,234,236,238U и²⁴⁰Pu в приближении жесткого

асимметричного ротатора.

¹⁾Институт ядерной физики, АН Республики Узбекистан,

Ташкент, Узбекистан.

В настоящей работе развивается модель четно-

^*E-mail: mnadirbekov@yandex.ru

четных ядер с неаксиальной квадрупольной и окту-

425

426

НАДИРБЕКОВ и др.

польной деформациями. Рассчитаны уровни энер-

явно зависят от массовых параметров квадруполь-

гии yrast- и первой non-yrast-полос, проведе-

ной и октупольной деформаций B₂, B₃ и парамет-

ны сравнения с имеющимися экспериментальными

ров деформаций β₂, γ, β₃, η [16].

данными [1]. Как будет показано ниже, проведен-

Общее решение уравнения Шредингера с га-

ный анализ позволяет сделать вывод об актуально-

мильтонианом (1) сложное, поэтому используются

сти формализма представляемой модели.

различные упрощения. Одной из таких моделей

Раздел

посвящен краткому рассмотрению

является аналог модели Давыдова-Чабана [4, 15],

неадиабатической коллективной модели неакси-

где переменные γ и η заменяются эффективными

альных четно-четных ядер с квадрупольной и

значениями γ_eff и η_eff. Тогда гамильтониан (1) при-

октупольной деформациями. В разд. 3 рассмотрено

нимает следующий вид:

решение радиального уравнения Шредингера для

Ĥ₌

Tβ2

Tβ3

T_rot + V (β₂,β₃),

(7)

потенциала Дэвидсона для поверхностных коле-

баний. В разд. 4 и 5 приведены обсуждения и ре-

где

(

)

зультаты теоретических расчетов энергетического

ℏ²

∂

Tβ2 = -

β³

(8)

спектра четно-четных ядер и их сравнения с экс-

2B₂ β³

∂β₂

периментом. В разд. 6 приводятся заключительные

выводы.

(

)

ℏ²

∂

Tβ3 = -

β³

(9)

2B₃ β³

∂β₃

∂β

2. МОДЕЛЬНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

∑

ℏ²

I2κ

Общая теория квадрупольной и октупольной

T_rot =

(10)

2J_κ

деформаций четно-четных ядер определяется опе-

i=1

ратором Гамильтона, содержащим семь динамиче-

В этом случае оператор вращательной энергии (10)

ских переменных β₂(β₂ ≥ 0), γ(0 ≤ γ ≤2π3 ), β₃(β₃ ≥

зависит от эффективных значений переменных γ и

≥ 0), η(0 ≤ η ≤ π), θ₁(0 ≤ θ₁ ≤ 2π), θ₂(0 ≤ θ₂ ≤ π),

η, т.е. от γ_eff и η_eff.

θ₃(0 ≤ θ₃ ≤ 2π) [17]:

Теперь напишем уравнение Шредингера с га-

мильтонианом (7):

Ĥ₌

Tβ2

Tβ3

T_γ

T_η +

(1)

[

]

ℏ

∂

∂²

T_rot + V (β₂,β₃,γ,η),

Ψ^±I(β₂,β₃,θ) -

(11)

2B₂

β₂ ∂β₂

∂β²

где

[

]

ℏ²

∂

∂²

(

)

Ψ^±I(β₂,β₃,θ) +

ℏ

∂

2B₃

β₃ ∂β₃

∂β²

Tβ2 = -

β⁴

(2)

[

]

2B₂ β⁴

∂β₂

T_rot + V (β₂,β₃) Ψ^±I(β₂,β₃,θ) =

(

)

ℏ

∂

= E±I Ψ^±I(β₂,β₃,θ).

Tβ3 = -

β⁴

(3)

2B₃ β⁴

∂β₃

Переходим к полярным координатам σ(0 ≤ σ ≤

[

]

≤ ∞) и ε(-π2 ≤ ε ≤ π2 ) [11]:

ℏ

∂

T_γ = -

sin(3γ)

(4)

√

2B₂ β²² sin(3γ) ∂γ

∂γ

β₂ =

σ cos ε,

[

]

B₂

√

ℏ

∂

T_η = -

sin(3η)

(5)

B₂ + B₃

2B₃ β²³ sin(3η) ∂η

∂η

β₃ =

σ sin ε, B =

(12)

B₃

выражения (2), (3), (4) и (5) являются операторами

{

[

]

кинетической энергии β₂-, β₃-, γ- и η-колебаний

ℏ²

∂²

T_rot +

(13)

соответственно; V (β₂, β₃, γ, η) — потенциальная

∂σ²

σ∂σ

σ²∂ε²

энергия вышеуказанных колебаний и

}

∑

ℏ²

I2κ

+ W(σ,ε) - E^±

Φ^±I(σ,ε) = 0,

T_rot =

(6)

2J_κ

κ=1

где

оператор вращательной энергии, здесь I_κ (κ =

∑

ℏ²

I2κ

= 1, 2, 3) — проекции полного углового момента, а

T_rot =

(14)

8Bσ²

J2κ

J_κ — проекции полного момента инерции, которые

κ=1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

КОЛЛЕКТИВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ

427

}

ℏ²ϵ^±Iτ

(

)

+ V (σ) - E^±I F±I (σ) = 0.

2π

4Bσ²

J₁

= cos² ε sin² γ_eff -

(15)

Выражение в скобках уравнения (21) совпадает

⁽3

+ sin² ε

cos² η_eff + sin² η_eff +

с оператором (11) работы [16], но без величин B2 =

√

= 8B₂β_2eff и

B₃ = 8B₃β_3eff, так как в этой работе

)

динамические переменные β₂ и β₃ были заменены

sin η_eff cos η_eff

их эффективными значениями. Тогда коллективное

вращательное движение ядра рассматривается от-

(

)

4π

дельно от других степеней свободы. В этом прибли-

J₂ = cos² εsin γ_eff -

(16)

жении γ_eff и η_eff являются эффективными парамет-

рами деформации [4, 14-16]. Таким образом, мы

⁽3

подразумеваем приведенный момент инерции в за-

+ sin² ε

cos² η_eff + sin² η_eff -

висимости от двух параметров J_κ = J_κ(γ_eff, η_eff). В

√

)

случае динамических переменных учетом полярных

sin η_eff cos η_eff

координат (12) мы получим множитель ℏ²/(8Bσ²) в

уравнении (21).

J₃ = cos² εsin² γ_eff + sin² εsin² η_eff,

(17)

Решение уравнения (21) с переменной ε очень

сложное, поэтому в первом приближении исполь-

здесь

зуем значение переменной ε в равновесном поло-

J_κ

жении ядра, т.е. ε₀. Тогда безразмерная величина

J_κ =

(18)

8Bσ²

энергии ϵ_Iτ [4, 15] в уравнении (21) является функ-

цией параметров γ_eff, η_eff, ε₀.

безразмерные приведенные моменты инерции (или

тензор момента инерции [18]) четно-четного ядра.

Видно, что этот момент инерции зависит от γ_eff и ε.

3. РЕШЕНИЕ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

В ядрах с октупольной деформацией есть два

ШРЕДИНГЕРА

минимума потенциальной энергии, определяемые

координатами β₂₀, β₃₀ и β₂₀, -β₃₀ или σ₀, ε₀ и σ₀,

Чтобы получить решение уравнения (22), вели-

-ε₀. Разлагая потенциальную энергию V (σ₀, ε₀)

чину V (σ) берем в форме потенциала Дэвидсона

по степеням смещений одного из этих равновесных

[20]:

положений и пренебрегая перекрестными членами,

)₂

представим V в окрестности минимума σ₀, ±ε₀ в

⁽σ

σ₀

виде [11]:

V (σ) = V₀

(23)

σ₀

C_ε

V (σ, ε) = V (σ) +

(ε ± ε₀)²,

(19)

где V₀ — потенциальная энергия основного состо-

2σ²

яния. Вводя следующее обозначение:

C_ε — параметр жесткости ε-колебаний. Второе

2BV₀

слагаемое в (19) принимает постоянное значение,

σ²,

(24)

если подразумевать ε = ε₀.

ℏσ₀

Общее решение уравнения (13) очень сложное.

получим уравнение

Полагая

[

]

∂

s²

E^±I

Ψ^±Iτ (σ,θ) = F^±I(σ)Φ^±IMτ (θ),

(20)

F^±I(x) = 0.

(25)

∂x²

x∂x

x²

где M — проекция полного углового момент

I на

Учитывая граничные условия для уравнения Шре-

третью ось в лабораторной системе координат, по-

дингера, получим

лучаем уравнение Шредингера для вращательной

[

части [18, 19]

∂²

∂

[

]

+ (2s + 1 - x)

(26)

∑

∂x²

∂x

-ϵ^±

Φ^±IMτ (θ) = 0.

(21)

(

)]

Iτ

J2κ

κ=1

+ E^±I -s-

F^±I(x) = 0

А также уравнение Шредингера для переменной σ

[18, 19]

√

{

[

]

ℏ²

∂²

Iτ

(22)

μ⁴

∂σ²

σ∂σ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

428

НАДИРБЕКОВ и др.

где μ — параметр неадиабатичности [4] и

работе развивается неадиабатическая коллектив-

ная модель неаксиальных четно-четных ядер с

ℏ

μ⁴ =

квадрупольной и октупольной деформациями (где

2BV₀σ⁴

переменные β₂ и β₃ являются динамическими, а

переменные γ и η заменены эффективными их

Далее находим собственные функции:

значениями, т.е. γ = γ_eff и η = η_eff). Существует

F^±I(x) = N_σx^s exp-2 F(-n,2s + 1,x).

много теоретических подходов для вычисления

параметра асимметрии γ_eff

из экспериментально

Здесь N_σ — коэффициент нормировки, F (-n, 2s +

наблюдаемых, таких как R4/2 = E₄₊/E₂₊, и из

+ 1, x) — конфлюэнтная

гипергеометрическая

экспериментального измерения вероятностей Е2-

функция, n = 0, 1, 2, ... — квантовое число σ-

переходов, т.е. В(Е2). Давыдов и Филиппов [14],

колебаний, отметим, что n = 0 соответствует

а также Варшни и Бозе [21, 22] использовали

энергетическим уровням yrast-полосы, а n = 1

соотношение R4/2 для определения γ_eff. Расчет γ_eff

соответствует энергетическим уровням первой

non-yrast-полосы, и т.д.

из скоростей E2-перехода приводит к неоднознач-

ным значениям, в то время как от энергетических

Собственные значения

[

√

]

уровней [21] ожидаются надежные значения γ_eff.

ϵ_Iτ

V₀

E^±Inτ = 2n + 1 +

- 2V₀.

(27)

Пока не получена оценка значений параметра

μ⁴

μ²

октупольной асимметрии η. Такая попытка была

Энергия основного состояния определяется выра-

предпринята в работе [18], где экспериментальные

жением

данные для состояний с отрицательной четностью

[

]

V₀

в²²⁸Th и232,234U сравнивались с предсказаниями

E⁺⁰⁰¹ = 1+

- 2V₀.

μ²

трех возможных моделей асимметричного ротато-

ра: чистый квадруполь, чистый октуполь и смешан-

Энергия возбужденных состояний определяется

ный квадруполь/октуполь. В чисто квадрупольной

выражением

и октупольной моделях параметры асимметрии γ

[

]

^√ϵ_Iτ

V₀

и η, а также параметр жесткости μ являются

ΔE^±Inτ = 2n +

(28)

свободными параметрами. Однако при подгонке

μ⁴

μ²

уровней отрицательной четности²³²U и²³⁴U не

Вводим следующую величину ℏω_σ = V₀/μ², кото-

существует уровней β-вибрационной полосы для

рая является энергетическим множителем [10-12].

подгонки, поэтому значение μ из подгонки к поло-

Тогда уравнение (28) может быть написано в виде

жительным уровням четности используется в каче-

[

]

стве приближения первого порядка. В смешанной

^√ϵ_Iτ

ΔE^±Inτ = 2n +

ℏω_σ.

(29)

квадрупольно-октупольной модели используются

μ⁴

μ²

значения γ, μ и общий масштабный коэффициент

из подгонки с положительной четностью, и изменя-

В представленном приближении используются

ются только параметры η и D = B₃β²³/(B₂β²²) для

следующие подгоночные параметры: ℏω_σ (в кэВ),

подгонки к уровням отрицательной четности. Таким

γ_eff (в градусах), η_eff (в градусах), ε₀ (в градусах)

образом, авторами сделан вывод об одинаковом

и μ (безразмерный). В целом области изменения

количестве свободных параметров для описания

параметров неаксиальности составляют 0^◦ < η_eff <

уровней отрицательной четности во всех трех мо-

< 180^◦, 0^◦ < γ_eff < 120^◦ и -90^◦ < ε₀ < 90^◦.

делях.

Простая оценка влияния γ-деформации может

4. ОБСУЖДЕНИЯ

быть сделана, если предположить небольшие из-

В работе

[12] рассмотрены энергетические

менения системы около γ = 0, как в случае модели

уровни yrast- и первой non-yrast-полос пере-

X(5) [23]. В работе [8] обсуждаются возможные

менной четности деформированных аксиально-

пути влияния γ-деформации при коллективном

симметричных четно-четных ядер с квадруполь-

движении в пространстве β₂-β₃, рассматривается

ными и октупольными степенями свободы (пе-

возможность учета трехосности, отмечается окту-

ременные β₂ и β₃ являются динамическими, а

польная степень свободы. В настоящей работе мы

переменные γ = 0 и η = 0). В работе [16] рас-

эффективно учитываем трехосность квадруполь-

смотрено описание энергетических уровней yrast-

ной и октупольной степеней свободы, а величины

полос четно-четных ядер в приближении жесткого

γ_eff и η_eff используем в качестве подгоночных па-

асимметричного ротатора (где переменные β₂ =

раметров для случая динамических переменных β₂

= β_3eff, β₃ = β_3eff, γ = γ_eff и η = η_eff). В настоящей

иβ₃.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

КОЛЛЕКТИВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ

429

E, кэВ

Эксперимент

152

¹⁵⁰Nd

Sm б

Расчет

3000

2000

первая non-yrast-полосa

1500

первая non-yrast-полосa

2000

1000

yrast-полосa

1000

yrast-полосa

500

Рис. 1. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер¹⁵⁰Nd (a) с ℏω =

= 332.81 кэВ, γ_eff = 67.95^◦ , η_eff = 61.73^◦, ε0 = 0.0012^◦ , μ = 0.7272, RMS = 60.98 кэВ, ¹⁵²Sm (б) с ℏω = 327.33 кэВ,

γ_eff = 67.5^◦, η_eff = 26.28^◦, ε0 = 0.0069^◦, μ = 0.7982, RMS = 148.92 кэВ.

E, кэВ

3000

Эксперимент

3000

Эксперимент

Расчет

¹⁵⁴Sm

¹⁷²Yb

2500

первая non-yrast-полосa

2000

1500

yrast-полосa

1000

500

Рис. 2. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер¹⁵⁴Sm (a) с

ℏω = 458.91 кэВ, γ_eff = 67.07^◦ , η_eff = 16.26^◦ , ε0 = 0.041^◦, μ = 0.4665, RMS = 118.12 кэВ,¹⁷²Yb (б) с ℏω = 445.93 кэВ,

γ_eff = 61.82^◦, η_eff = 179.9^◦, ε0 = 4.9007^◦, μ = 0.4982, RMS = 126.78 кэВ.

E, кэВ

2500

4000

Эксперимент

Расчет

²²⁸Th

Расчет

²³⁰Th

2000

3000

1500

первая non-yrast-полосa

2000

первая non-yrast-полосa

yrast-полосa

1000

yrast-полосa

1000

500

Рис. 3. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер²²⁸Th (a) с

ℏω = 379.75 кэВ, γ_eff = 55.4^◦ , η_eff = 139.6^◦ , ε0 = 6.1971^◦ , μ = 0.4001, RMS = 45.6 кэВ,²³⁰Th (б) с ℏω = 374.24 кэВ,

γ_eff = 119.76^◦, η_eff = 37.88^◦, ε0 = 6.483^◦, μ = 0.4223, RMS = 125.39 кэВ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

430

НАДИРБЕКОВ и др.

E, кэВ

5000

Эксперимент

Расчет

2000

4000

²³²Th

²³²U

3000

1500

первая non-yrast-полосa

2000

первая non-yrast-полосa

1000

yrast-полосa

1000

500

Рис. 4. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер²³²Th (a) с ℏω =

= 391.2 кэВ, γ_eff = 61.77^◦ , η_eff = 143.25^◦ , ε0 = 4.4033^◦ , μ = 0.3935, RMS = 123.82 кэВ, ²³²U (б) с ℏω = 344.67 кэВ,

γ_eff = 66.16^◦, η_eff = 103.46^◦, ε0 = 0.0013^◦, μ = 0.4017, RMS = 78.6 кэВ.

E, кэВ

2500

Эксперимент

3000

Расчет

Эксперимент

²³⁴U

Расчет

²³⁶U

2500

2000

первая non-yrast-полосa

2000

1500

первая non-yrast-полосa

1500

1000

yrast-полосa

1000

yrast-полосa

500

Рис. 5. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер²³⁴U (a) с ℏω =

= 366.88 кэВ, γ_eff = 64.84^◦ , η_eff = 70.7^◦, ε0 = 0.088^◦ , μ = 0.3587, RMS = 51.82 кэВ, ²³⁶U (б) с ℏω = 361.08 кэВ, γeff =

= 66.67^◦ , η_eff = 118.69^◦ , ε0 = 0.003^◦ , μ = 0.393, RMS = 130.3 кэВ.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

²⁴⁰Pu в первой non-yrast-полосе. Значения RMS

для каждого рассматриваемого ядра изменяются в

Получены значения параметров: ℏω_σ, γ_eff, η_eff,

пределах ∼100 кэВ, которые являются хорошим

ε₀, μ, а также даны среднеквадратичные (RMS)

критерием применимости предложенной модели.

отклонения уровней энергии (в кэВ) между теорией

и экспериментом (см. рис. 1-6) для всех рассмот-

ренных четно-четных ядер:¹⁵⁰Nd,152,154Sm,¹⁷²Yb,

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

228,230,232Th,232,234,236,238U и²⁴⁰Pu. На рисунках

представлено сравнение теоретических и экспери-

Предложена модель для описания энергети-

ментальных уровней энергии yrast- и первой non-

ческих уровней полос переменной четности тя-

yrast-полос. Теоретические результаты получены

желых неаксиальных четно-четных ядер. Найде-

с помощью выражения (28) при n = 0 и n = 1.

но решение радиального уравнения Шредингера

Представленное поведение теоретических энерге-

для коллективного гамильтониана Бора с потен-

тических уровней yrast- и первой non-yrast-полос

циалом Дэвидсона. Получены аналитические вы-

для всех ядер хорошо согласуется с эксперимен-

ражения для спектра энергии уровней и волно-

тальными данными, включая состояния с боль-

вых функций. Проведен расчет энергий уровней

шими спинами, за исключением ядер236,238U и

yrast- и первой non-yrast-полос четно-четных ядер

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

КОЛЛЕКТИВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ

431

E, кэВ

2000

Эксперимент

6000

Расчет

²⁴⁰Pu

5000

²³⁸U

1500

первая non-yrast-полосa

4000

yrast-полосa

3000

1000

yrast-полосa

первая non-yrast-полосa

2000

500

1000

12 15 18 21 24 27 30 33

Рис. 6. Теоретические и экспериментальные значения энергий уровней возбужденных состояний ядер²³⁸U (a) с ℏω =

= 469.8 кэВ, γ_eff = 60.91^◦ , η_eff = 144.81^◦ , ε0 = 4.6417^◦ , μ = 0.3272, RMS = 135.8 кэВ, ²⁴⁰Pu (б) с ℏω = 346.19 кэВ,

γ_eff = 113.4^◦, η_eff = 140.61^◦, ε0 = 4.096^◦, μ = 0.3812, RMS = 101 кэВ.

¹⁵⁰Nd,152,154Sm,¹⁷²Yb,228,230,232Th,232,234,236,238U

Свяжем с ядром систему ортогональных коор-

и²⁴⁰Pu.

динатных осей ξηζ, ориентация которых относи-

тельно лабораторной системы определяется тремя

углами Эйлера θ_i (i = 1, 2 и 3),

Приложение

[

∑

R(θ, ϕ) = R₀

a_νY∗2ν(θ^′,ϕ^′) +

(П.4)

КВАНТОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ

ν=-2

ЭНЕРГИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ЯДРА

]

∑

В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

a^′mY∗3m(θ^′,ϕ^′)

Квадрупольные и октупольные колебания

m=-3

поверхности ядра

∑

a_ν =

α_λμD^∗λλμ(θ),

Расстояние от центра ядра до его поверхности в

направлении полярных углов θ и ϕ, отсчитываемых

^μ∑

в лабораторной системе координат при малых от-

α_λμ = D^λλμ(θ)a_ν,

клонениях от радиуса сферы R₀, можно разложить

R(θ, ϕ) по сферическим функциям:

⎡

⎤

где D^λλμ(θ) — функция Вигнера.

∑

R(θ, ϕ) = R₀ ⎣1 + α_λμY^∗λμ(θ, ϕ)⎦ , (П.1)

Тогда выбираем систему координатных осей ξηζ

следующим образом:

λμ

где α_λμ являются динамическими переменными

a₁ = a-1 = 0, a₂ = a-2

коллективных движений в ядре и удовлетворяют

условию α^∗λμ = (-1)^μα_λ,-μ, которое вытекает из

β₂ sinγ

условия вещественности сферических функций

a₀ = β₂ cos γ, a₂ = a-2 =

√

Y ∗λμ(θ,ϕ) = (-1)^-μY_λ,-μ(θ,ϕ).

(П.2)

где β₂ ≥ 0 — параметр квадрупольной деформации,

В случае квадрупольных и октупольных деформа-

γ — параметр асимметрии квадрупольной дефор-

ций выражение (П.1) можно записать в виде

мации, который изменяется в интервале 0 ≤ γ ≤π3 .

⎡

∑

Точно таким же образом выбираем

R(θ, ϕ) = R₀ ⎣1 +

α2μY∗2μ(θ,ϕ) + (П.3)

a′3,±1 = a′3,±3 = 0, a′3,2 = a′3,-2

μ=-2

]

∑

β₃ sin η

α′3mY∗3m(θ,ϕ)

a′30 = β₃ cos η, a′32 = a′3,-2 =

√

m=-3

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

432

НАДИРБЕКОВ и др.

где β₃ — параметр октупольной деформации, η —

Теперь оператор кинетической энергии, соответ-

параметр асимметрии октупольной деформации,

ствующий классическому выражению (П.11), мож-

который изменяется в интервале 0 ≤ η ≤ π.

но написать в виде

β₂ sin γ

)

a₂₀ = β₂ cosγ, a₂₂ = a2,-2 =

√

(П.5)

∑

⁽√

ℏ²

∂

T =-

√

Gg^ij

(П.12)

∂q_i

∂q_j

β₃ sin η

a₃₀ = β₃ cos η, a₃₂ = a3,-2 =

√

где G — определитель метрического тензора g_ij ,

Отметим, в работе [24] показано, что перемен-

g^ij — обратная матрица g_ij. Выражение (П.12) ис-

ные a′3,±1 и a′3,±3 не являются коллективными пе-

пользуем для квантования классической кинетиче-

ременными. Тогда полная энергия квадрупольной и

ской энергии (П.7). Элемент объема равен

октупольной деформаций имеет вид

B₂

dτ = |G|dq₁ . . . dq_N .

(П.13)

E =

(β²² +β²²γ²)+

(П.6)

∑

Используя формулу

B₃

ℏ²

I2λ

( β²³ + β23 η²) + V (β₂,β₃,γ,η) +

J_λ

λ=1

∑

dβ

∂θ_i

ω^′k =

= V_ki

(П.14)

где J_k — момент инерции (k = 1, 2, 3).

перепишем формулу (П.7) в виде [25]

Квантование кинетической энергии

деформированного ядра в криволинейных

координатах

1^∑

T =

J_k(a₃₀,a₃₂) ×

(П.15)

Чтобы проквантовать классическую кинетиче-

)₂

скую энергию, связанную с вращением и квадру-

(∑

dθ_i

польными и октупольными колебаниями поверх-

V_kl(θ₁,θ₂,θ₃)

ности ядра, надо выбрать в качестве независимых

переменных углы Эйлера θ₁, θ₂, θ₃ и внутренние

переменные a₂₀, a₂₂, a₃₀ и a₃₃. Следует отметить,

B₃(a²³⁰ + a²³³),

что квантование кинетической энергии деформи-

рованного ядра в криволинейных координатах для

где

внутренних переменных a₂₀ и a₂₂ подробно вы-

полнено в работе [25]. Здесь мы выполняем ту же

V_k,l(θ₁,θ₂,θ₃) =

(П.16)

процедуру для переменных a₃₀ и a₃₂, т.е. для

⎛

⎞

B₃

Tβ3 =

( β²³ + β23 η²).

(П.7)

⎜-sinθ2 cosθ3 sinθ3

⎟

⎜

⎟

⎜

in θ₂ cos θ₃ cos θ₃

0⎟

⎝ s

⎠

Проекции полного момента инерции [26] в случае

октупольных колебаний поверхности ядра имеют

cos θ₂

следующий вид:

(

√

)

Отсюда

J⁽³⁾¹ = 4B3 3a230 + 4a232 +

30a₃₀a₃₂

(П.8)

(

)

g₁₁ = B₃, g₂₂ = 2B₃,

√

J⁽³⁾² = 4B3 3a230 + 4a232 -

30a₃₀a₃₂

(П.9)

g1k = gk1, для k = 1,

g2k = gk2, для k = 2.

J⁽³⁾³ = 8B₃a²³².

(П.10)

Напишем оператор кинетической энергии

∑

g_μν =

J_kV_k,μ(θ_i)V_k,ν(θ_i), μ,ν ≥ 3.

(П.17)

∑

∂

T =-

ℏ²

(П.11)

m_μ ∂x2μ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

КОЛЛЕКТИВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ

433

Определим явное выражение для матрицы (П.17)

g_μν =

(П.18)

⎛

⎞

B₃

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

2B₃

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

(J₁ cos² θ₃ + J₂ sin² θ₃) sin² θ₂ + J₃ cos² θ₂ (J₂ - J₁) sin θ₂ cos θ₃ sin θ₃ J₃ cos θ₂⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

(J₂ - J₁) sin θ₂ cos θ₃ sin θ₃

J₁ sin² θ₃ + J₂ cos² θ₃

⎟

⎝⁰

⎠

J₃ cos θ₂

J₃

Находим определитель матрицы (П.18)

Перепишем определитель (П.19)

G = detg_ij = 2B23 sin2 θ₂J₁J₂J₃ =

(П.19)

]

G1/2 = 16B5/23 ×

[(

)₂

= 256B⁵³ sin² θ₂a²³²

3a²³⁰ + 4a²³²

- 30a²³⁰a²

[

]1/2

× sin θ₂

9a⁴³⁰a²³² - 6a²³⁰a⁴³² + 16a⁶³²

Матрицу g^ij , обратную матрице g_ij , находим из

соотношения

Вычислим матричные элементы (П.12):

Gij

g^ij =

(П.20)

ℏ²

∂

G1/2g-1

2 G1/2 ∂q₁

∂q₁

где G_ij — алгебраическое дополнение элемента g_ij

в определителе G. Получаем отличные от нуля

ℏ²

∂

G1/2

матричные элементы матрицы g^ij :

2B₃ G1/2 ∂a₃₀

∂a₃₀

[

(

)

]

g-111 =

ℏ²

6a₃₀

3a²³⁰ - a²³²

∂

∂²

B₃

2B₃

9a⁴³⁰ - 6a²³⁰a²³² + 16a⁴

∂a₃₀

∂a

g-122 =

2B₃

ℏ²

∂

−

G1/2g-1

2B²J₃

2 G1/2 ∂q₂

∂q₂

g-133 =

(J₁ sin² θ₃ + J₂ cos² θ₃),

ℏ²

∂

ℏ²

G1/2

-2B²J₃

4B₃ G1/2 ∂a₃₂

∂a₃₂

2B₃

g-134 = g-143 =

sin θ₂ sin θ₃ cos θ₃(J₁ - J₂),

{

}

3(3a⁴³⁰ - 4a²³⁰a²³² + 16a⁴³²)

∂

∂²

-2B²J₃

2a₃₂(9a⁴³⁰ - 6a²³⁰a²³² + 16a⁴³²) ∂a₃₂

2∂a²

g-135 = g-153 =

cos θ₂(J₁ sin² θ₃ + J₂ cos² θ₃),

2B²J₃

Тогда выражение (П.7) принимает следующий вид:

g-144 =

sin² θ₂(J₁ cos² θ₃ + J₂ sin² θ₃),

[

(

)

ℏ²

6a₃₀

3a²³⁰ - a²

∂

(3)

2B²J₃

T_v

g-145 = g-154 =

cos θ₂(-J₁ sin θ₂ cos θ₃ sin θ₃ +

2B₃

9a⁴³⁰ - 6a²³⁰a²³² + 16a⁴

∂a₃₀

∂²

3(3a⁴³⁰ - 4a²³⁰a²³² + 16a⁴³²)

∂

+ J2 sinθ2 sinθ3 cosθ₃),

∂a²³⁰

2a₃₂(9a⁴³⁰ - 6a²³⁰a²³² + 16a⁴³²

) ∂a₃₂

g-155 =

sin² θ₂[J₁J₂ cos⁴ θ₃ +

]

∂²

+ J2 cos2 θ₃(J3 ctgθ₂ + 2J1 sin2 θ₃) +

2∂a²

+ J1 sin2 θ₃(J3 ctg2 θ₂ + J2 sin2 θ₃)]²⁾.

Переходя к переменным β₃ и η, получим:

Теперь выбираем обобщенные координаты q_μ

[

∂²

∂

∂²

(П.12):

T^(3)vib = -ℏ2

+ (П.21)

2B₃

∂β²³

β₃ ∂β₃

β²

∂η²

q₁ = a₃₀, q₂ = a₃₂, q₃ = θ₁, q₄ = θ₂, q₅ = θ₃.

]

24 cos² 2η - 6 cos 2η

cos η

∂

²⁾Это выражение отличается от аналогичного выражения в

+ 5 + 5cos2η + 8cos2 2η sinη β²³∂η

[25].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022

434

НАДИРБЕКОВ и др.

Отметим, что в настоящей статье используется

В. Ю. Денисов, ЯФ 49, 644 (1989) [Sov. J. Nucl.

Phys. 49, 399 (1989)].

следующий ви

T^(3)vib с учетом (3) и (5):

10.

V. Yu. Denisov and A. Ya. Dzuyblik, Phys. At. Nucl.

[

∂²

∂

∂²

56, 477 (1993).

T^(3)vib = -^ℏ

+ (П.22)

11.

V. Yu. Denisov and A. Ya. Dzyublik, Nucl. Phys. A

2B₃

∂β²³

β₃ ∂β₃

β²

∂η²

]

589, 17 (1995).

3 cos 3η

∂

12.

M. S. Nadirbekov, G. A. Yuldasheva, N. Minkov, and

sin 3η β²³∂η

W. Scheid, Int. J. Mod. Phys. E 21, 1250044 (2012).

13.

L. Wilets and M. Jean, Phys. Rev. 102, 788 (1956).

Видно, что множители в последних членах этих

14.

A. S. Davydov and G. F. Filippov, Nucl. Phys. 8, 237

выражений не совпадают. Проведенные расчеты

(1958).

показали, что множитель в последнем члене (П.21)

15.

A. S. Davydov and A. A. Chaban, Nucl. Phys. 20, 499

можно аппроксимировать с таким множителем в

(1960).

(П.22), но в пределах (0 < η < 30^◦) или (150 <

16.

M. S. Nadirbekov, N. Minkov, M. Strecker, and

< η < 180^◦). Несовпадения последних множите-

W. Scheid, Int. J. Mod. Phys. E 25, 1650022 (2016).

лей в выражениях (П.21) и (П.22) не влияют на

17.

M. S. Nadirbekov and G. A. Yuldasheva, Int. J. Mod.

полученные результаты, потому что в настоящей

Phys. E 23, 1450034 (2014).

статье используется эффективное значение пере-

менного η.

18.

J. P. Davidson, Technical report. The University

of Kansas Nuclear Physics Laboratory Lawrence,

Kansas (1970).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

19.

J. P. Davidson and M. G. Davidson, Phys. Rev. 138,

http://www.nndc.bnl.gov/ensdf/

B 316 (1965).

P. A. Butler and W. Nazarewicz, Nucl. Phys. A 533,

20.

P. M. Davidson, Proc. R. Soc. London Ser. A 135, 459

249 (1991).

(1932).

A. Arima and F. Iachello, Ann. Phys. (N.Y.) 99, 253

21.

Monica Karday, H. M. Mittal, and Rohit Mehra,

(1976).

Pramana — J. Phys. 91, 70 (2018).

A. C. Давыдов, Возбужденные состояния атом-

22.

Y. P. Varshni and S. Bose, Nucl. Phys. A 144, 645

ных ядер (Атомиздат, Москва, 1967).

(1970).

R. F. Casten, Nuclear Structure from a Simple

23.

F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 87, 052502 (2001).

Perspective (Oxford University Press, New York,

24.

В. Г. Соловьев, П. Фогель, А. А. Корнейчук, Изв.

1990).

АН СССР. Сер. физ. 28, 1599 (1964).

В. М. Струтинский, Атомная Энергия 4, 150 (1956).

25.

И. Айзенберг, В. Грайнер, Модели ядер. Коллек-

N. Minkov, P. Yotov, S. Drenska, and W. Scheid,

тивные и одночастичные явления (Атомиздат,

J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 32, 497 (2006).

Москва, 1975).

N. Minkov, P. Yotov, S. Drenska, W. Scheid,

D. Bonatsos, D. Lenis, and D. Petrellis, Phys. Rev. C

26.

P. O. Lipas and J. P. Davidson, Nucl. Phys. 26, 80

73, 044315 (2006).

(1961).

COLLECTIVE STATES OF AN ALTERNATING PARITY

OF HEAVY EVEN-EVEN NUCLEI WITH QUADRUPOLE

AND OCTUPOLE DEFORMATIONS

M. S. Nadirbekov¹⁾, S. N. Kudiratov¹⁾, O. A. Bozarov¹⁾

¹⁾Institute of Nuclear Physics, Uzbekistan Academy of Sciences, Tashkent

A non-adiabatic collective model of non-axial even-even nuclei with quadrupole and octupole deformations

is developed. Asymmetric quadrupole and octupole modes are taken into account effectively. On the basis

of the proposed model, an analytical expression for the level energy is obtained containing five adjustable

parameters, which are determined from a comparison of theoretical and experimental data. The angular part

of the polar coordinates is used as a parameter as an equilibrium state of an even-even nucleus. A good

description of the collective states of the yrast and first non-yrast variable-parity bands of heavy non-axial

even-even nuclei is obtained:¹⁵⁰Nd,152,154Sm,¹⁷²Yb,228,230,232Th,232,234,236,238U and²⁴⁰Pu.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 85

№6

2022