ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 1, с. 35-41
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
УЧЕТ СВЯЗАННОСТИ ЭЛЕКТРОНА НА ОБОЛОЧКЕ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ СЕЧЕНИЙ МАГНИТНОГО
И СЛАБОГО РАССЕЯНИЯ НЕЙТРИНО НА ЭЛЕКТРОНЕ
© 2023 г. Д. Н. Абдурашитов1), А. П. Власенко1),2),
А. П. Ивашкин1), С. В. Силаева1), В. В. Синев1),2)*
Поступила в редакцию 23.09.2022 г.; после доработки 23.09.2022 г.; принята к публикации 26.09.2022 г.
Рассматривается проблема регистрации электронов отдачи от рассеяния нейтрино при малых
энергиях. Для поиска магнитного момента нейтрино представляет интерес использование спектра
антинейтрино источника трития (3Н) с малой граничной энергией (18.6 кэВ). При малых энергиях
нейтрино начинает сказываться энергия связи электрона в атоме. Приводится расчет сечений для
электронов атомов Cs, I и Si как возможных мишеней для эксперимента с тритиевым источником.
DOI: 10.31857/S0044002723010014, EDN: QXIWHR
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе [8] было учтено, что при малых энер-
гиях нейтрино электрон может выбиваться с элек-
Нейтрино может упруго рассеиваться на элек-
тронной оболочки только при переданном момен-
троне за счет слабого взаимодействия. Сечение
те больше энергии связи электрона на оболочке.
слабого взаимодействия на электроне было экспе-
Там же было показано, что не обязательно про-
риментально измерено в первых эксперименталь-
изводить точные вычисления сечения по модели
Хартри-Фока-Дирака. Можно в первом прибли-
ных работах Райнеса [1] в 1976 г. и позднее в
жении представить сечение как сечение рассеяния
работе [2] Курчатовского института в 1992 г. в
на свободном электроне, умноженное на ступен-
экспериментах на ядерных реакторах.
чатую функцию, представляющую убывание доли
При наличии магнитного момента у нейтрино
электронов из процесса рассеяния при уменьшении
оно может рассеиваться на электроне и за счет
энергии нейтрино.
электромагнитного взаимодействия. Первые экс-
Затем в работе [9] были проведены расчеты
периментальные оценки магнитного момента дали
сечений рассеяния нейтрино от распада трития на
исчезающе малое значение магнитного момента
электронах оболочек Ge. Там же было показано,
(μν = 3.2 × 10-19μB) [1, 2].
что модельный “точный” расчет сечения отлича-
На Калининской АЭС ведется поиск магнитно-
ется от приближения со ступенчатой функцией
го рассеяния нейтрино в эксперименте GEMMA
примерно на 25% в меньшую сторону.
[3]. В этом эксперименте получено рекордное огра-
В работе [4] было дано более сильное ограни-
ничение на величину магнитного момента нейтри-
чение на магнитный момент нейтрино при учете
но: μν < 3.2 × 10-11μB [4]. По данным экспери-
связанности электрона на атомных оболочках гер-
мента Борексино получено ограничение μν < 5.4 ×
мания μν < 5.0 × 10-12μB.
× 10-11μB [5], близкое значение приводится также
В настоящее время рассматривается возмож-
в работе коллаборации TEXONO [6]. В данных
ность проведения эксперимента с кристаллом CsI
Particle Data Group [7] приводится усредненное
и тритиевым источником массой 1 кг для поиска
по результатам астрофизических измерений и экс-
магнитного момента нейтрино. Кристалл предпо-
периментов в лабораториях значение μν < 2.8 ×
лагается охладить до низких температур жидким
× 10-11μB.
азотом для уменьшения собственных шумов детек-
тора и возможности снижения порога регистрации
1)Институт ядерных исследований Российской академии
до 100 эВ, чтобы увидеть электроны отдачи от
наук, Москва, Россия.
2)Национальный исследовательский ядерный университет
возможного магнитного рассеяния антинейтрино
“МИФИ”, Москва, Россия.
от тритиевого источника, максимальная энергия
*E-mail: vsinev@inr.ru
которых ниже 1260 эВ.
35
36
АБДУРАШИТОВ и др.
В данной работе мы представляем сечения маг-
где E — энергия антинейтрино, T — кинетическая
нитного и слабого рассеяния для антинейтрино ис-
энергия электрона отдачи, me — масса электрона,
точника трития на электронах атомов Cs, I и Si как
G2F
возможных мишенях для поиска магнитного мо-
me = 4.308 × 10-48 см2/кэВ — нормировоч-
2π
мента нейтрино. Расчеты выполнены для значения
ный множитель, gL = 2 sin θW + 1, gR = 2 sin θW .
магнитного момента нейтрино 5.0 × 10-12μB как
Для нейтрино gR и gL (1) меняются местами.
максимально возможного значения, следующего
Сечение магнитного рассеяния для свободного
из экспериментального ограничения. Использует-
электрона может быть записано в виде
ся приближение ступенчатой функции, так как
)
возможно большую неопределенность может вно-
μ2ν
(1
1
σM (T,E) = πr2
-
,
(2)
сить неточность формы антинейтринного спектра
eμ2
T
E
B
трития. В работе [10] отмечалась гипотетическая
несимметрия спектров электронов и антинейтрино
где E — энергия нейтрино, T — кинетическая
при бета-распаде, которая может быть обусловле-
энергия электрона отдачи, πr2e = 2.495 ×
на свойствами нейтрино.
×10-25
см2/кэВ — нормировочный множитель,
μ2B — магнетон Бора и μ2ν — магнитный момент
нейтрино.
2. СПЕКТР АНТИНЕЙТРИНО
ОТ РАСПАДА ТРИТИЯ
Сечения слабого и магнитного рассеяния анти-
нейтрино от источника трития на свободном элек-
Спектр антинейтрино можно получить из бета-
троне показаны на рис. 2. Для сравнения при-
спектра того же источника, отразив его относи-
ведены сечения магнитного рассеяния для двух
тельно центра энергетической шкалы, так что ми-
значений магнитного момента нейтрино.
нимальная энергия бета-спектра становится мак-
симальной энергией антинейтрино. Но здесь воз-
Электрон отдачи имеет кинематическое ограни-
никают тонкости. Бета-спектр достаточно хорошо
чение по энергии, определяемое из формулы
рассчитывается. При этом учитываются всевоз-
2E2
можные факторы, искажающие спектр электронов
Tmax =
,
(3)
бета-распада. В частности, используется кулонов-
(2E + mc2)
ская функция, часто называемая функцией Ферми,
где E — энергия нейтрино, а mc2 — масса покоя
которая учитывает электрическое поле атомного
электрона.
ядра и электронных оболочек. Но если влияние
кулоновского поля на электрон неоспоримо, то
его влияние на антинейтрино вызывает сомнения,
4. УЧЕТ ЭНЕРГИИ СВЯЗИ ЭЛЕКТРОНА
так как нейтрино не имеет заряда. Значит, пер-
НА ОБОЛОЧКЕ
воначальный спектр при рождении частиц внутри
атомного ядра должен совпадать, а на выходе из
В случае рассеяния нейтрино или антинейтрино
атома спектры антинейтрино и электрона могут
на связанном в оболочке атома электроне необхо-
различаться.
димо учитывать энергию, передаваемую электрону
Возможные спектры антинейтрино от распада
от нейтрино. Если эта энергия превышает энергию
трития показаны на рис. 1. Показан расчетный
связи, то электрон выходит из атома. Обозначим
спектр с учетом функции Ферми, а также без учета.
переданную энергию q. Тогда в выражениях для
Если в природе реализуется случай без функции
магнитного и слабого рассеяний (1) и (2) вместо
Ферми, то спектр антинейтрино оказывается мягче.
кинетической энергии T будем использовать q, ко-
торое равно сумме кинетической энергии выбитого
электрона T и энергии связи εi i-ой оболочки
3. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
АНТИНЕЙТРИНО НА ЭЛЕКТРОНАХ
q=T +εi.
(4)
Сечение слабого взаимодействия при рассеянии
Максимальное значение кинетической энергии за-
электронного антинейтрино на свободном элек-
менится на максимальное значение переданной
троне обычно представляется следующим выраже-
энергии, которое будет определяться по формуле
нием:
(3). Спектр электронов будет представлять из себя
G2F
свертку сечения (1), (2) и спектра антинейтрино
σW (T,E) =
me ×
(1)
ρ(E)
2π
(
)
∫
(
)
2
T
meT
× g2R +g2
1-
-g2Lg2
,
SW,Mi (q) = σW,M
(q,E) ρ(E) F (Z,A)dE,
(5)
L
E
R E2
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№1
2023
УЧЕТ СВЯЗАННОСТИ ЭЛЕКТРОНА НА ОБОЛОЧКЕ
37
ρν, кэВ-1 распад-1
0.10
1
2
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Eν, кэВ
Рис. 1. Расчетный спектр антинейтрино от распада трития. Показаны два случая: 1 — расчет с применением функции
Ферми (зеркально отраженный спектр бета-частиц) и 2 — без использования функции Ферми.
σνe, см2 кэВ-1
10-44
10-45
1
2
10-46
3
10-47
10-48
10-49
-50
10
10-2
10-1
100
T, кэВ
Рис. 2. Сечения слабого и магнитного рассеяния на свободном электроне. Магнитные сечения показаны для двух
значений магнитного момента: 1 — 1.0 × 10-11μB и 2 — 5.0 × 10-12μB. 3 — сечение слабого рассеяния.
где F (Z, A) — функция, учитывающая влияние
представлять сумму спектров на всех оболочках
электронных оболочек на выбитый электрон.
∑
i
Учет веса электронной оболочки производится
W,M S (q) = SW,Mi (q)n
θ (q - εi) .
(7)
Z
умножением спектра на ступенчатую функцию θ(q)
i
{
1, q > εi,
θ (q - εi) =
(6)
Максимальная переданная энергия, соответ-
0, q < εi.
ствующая максимальной энергии спектра антиней-
Полный спектр электронов отдачи на атоме будет трино трития 18.6 кэВ, qmax = 1.26 кэВ.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№1
2023
38
АБДУРАШИТОВ и др.
Таблица 1. Энергия связи электронов (εi) на оболочках
Таблица 2. Энергия связи электронов (εi) на оболочках
атомов Cs в эВ
атомов I в эВ
Cs
I
Оболочка
Оболочка
Nэл
εi, эВ
Nэл
εi, эВ
1s
2
35990
1s
2
33178
2s
2
5278
2s
2
5204
2p
6
5019
2p
6
4567
3s
2
1227
3s
2
1084
3p
6
1008
3p
6
886
3d
10
732
3d
10
628
4s
2
247
4s
2
204
4p
6
177
4p
6
142
4d
10
82
4d
10
57
5s
2
34
5p
6
17
5s
2
22
6s
1
3
5p
5
9
Ниже мы рассмотрим сечения рассеяния анти-
Таблица 3. Энергия связи электронов (εi) на оболочках
нейтрино на электронах атомных оболочек Cs, I
атомов Si в эВ
и Si.
Si
Оболочка
5. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ НА АТОМЕ Cs
Nэл
εi, эВ
Атом Cs имеет 55 электронов, расположенных
1s
2
1848
на пяти оболочках. Четыре оболочки из которых
полностью заполнены. Значения энергии связи для
2s
2
161
электронов оболочек атома Cs приведены в табл. 1.
2p
6
107
Значения энергии связи взяты с сайта [11].
Для спектра антинейтрино от трития граничная
3s
2
12
величина переданной электрону энергии составля-
3p
2
8
ет 1.26 кэВ и, таким образом, видно, что первая
и вторая оболочка не дадут вклад в спектр элек-
тронов отдачи от атома Cs из-за высокой энергии
связи. На рис. 3 показаны расчетные сечения рас-
сеяния электронов Cs для спектра антинейтрино
Таблица 4. Скорость счета событий для кристалла CsI
трития для слабого и магнитного рассеяний как
100 кг в диапазоне энергий (qi — 1.26) кэВ за год изме-
функции переданной энергии. Сечения рассчиты-
рения; магнитное рассеяние приведено для магнитного
вались с использованием ступенчатой функции (6).
момента 5.0 × 10-12μB
Порог
6. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ НА АТОМЕ I
Cs магнит. Cs слабое I магнит. I слабое Всего
qi, эВ
Атом иода (I) содержит 53 электрона на 11
оболочках, т.е. структура его оболочек очень по-
1
76
25
80
25
206
хожа на атом Cs. Энергии связи электронов I
10
74
25
74
25
198
приведены в табл. 2. Сечения магнитного и слабого
50
60
25
62
25
172
рассеяний для электронов атома I были рассчитаны
аналогичным образом, как для атома Cs. На рис. 4
100
50
23
48
23
144
показаны рассчитанные сечения. Также, как у ато-
200
33
19
32
19
103
ма Cs, в рассеянии не принимают участие первые
500
11
9
11
10
40
две оболочки.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№ 1
2023
УЧЕТ СВЯЗАННОСТИ ЭЛЕКТРОНА НА ОБОЛОЧКЕ
39
Se, см2 кэВ-1 электрон-1
10-47
1
2
10-48
10-49
10-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
q, кэВ
Рис. 3. Сечения слабого и магнитного рассеяния на электроне с учетом связанности на оболочках атома Cs. 1 —
магнитное, 2 — слабое. Магнитное сечение приведено для значения магнитного момента 5.0 × 10-12μB.
Se, см2 кэВ-1 электрон-1
10-46
10-47
1
2
10-48
10-49
10-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
q, кэВ
Рис. 4. Сечения слабого и магнитногорассеянияна электроне с учетом связанностина оболочках атома I. 1 — магнитное,
2 — слабое. Магнитное сечение приведено для значения магнитного момента 5.0 × 10-12μB.
7. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
и слабого рассеяний для электронов атома Si. У
НА АТОМЕ Si
кремния только два электрона с первой оболочки
не принимают участия в рассеянии. На рис. 5
Приведем сечения слабого и магнитного рассе-
показаны рассчитанные сечения.
яния на электронах атома Si, который может быть
использован для изготовления полупроводниково-
Детектор на основе Si уже использовался в кон-
го детектора. Атом Si содержит 14 электронов на
це 80-х гг. прошлого века в эксперименте по поиску
пяти оболочках. Энергии связи электронов Si при-
слабого рассеяния антинейтрино на электроне на
ведены в табл. 3. Рассчитаны сечения магнитного
Ровенской АЭС [12, 13].
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№1
2023
40
АБДУРАШИТОВ и др.
Se, см2 кэВ-1 электрон-1
10-46
1
10-47
2
10-48
10-49
10-50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
q, кэВ
Рис. 5. Сечения слабого и магнитного рассеяния на электроне с учетом связанности на оболочках атома Si. 1 —
магнитное, 2 — слабое. Магнитное сечение приведено для значения магнитного момента 5.0 × 10-12μB.
8. ОЖИДАЕМЫЕ СКОРОСТИ СЧЕТА
электронов будет 2.4 × 1028. Тогда можно ожидать
ДЛЯ ДЕТЕКТОРОВ
примерно 200 и 50 событий в год от магнитного и
ИЗ КРИСТАЛЛОВ CsI И Si
слабого рассеяния во всем диапазоне энергий для
магнитного момента нейтрино 5.0 × 10-12μB, со-
Рассмотрим ожидаемую скорость счета собы-
ответствующего лучшему пределу на сегодняшний
тий рассеяния антинейтрино в детекторах из CsI и
день из [4]. Точные значения скоростей счета для
Si от одного килограмма трития. Килограмм три-
100 кг CsI в зависимости от порога приведены в
тия содержит 2 × 1026 атомов и производит 3.6 ×
табл. 4, а для 100 кг Si в табл. 5.
× 1017 антинейтрино в секунду. Предположим, наш
детектор состоит из 10 кристаллов CsI диаметром
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
15 см и весом по 10 кг каждый. Они расположены
Мы рассмотрели возможность регистрации
на окружности диаметром 50 см, в центр которой
магнитного и слабого рассеяния антинейтрино
помещен источник 1 кг трития. Тогда в центре
тритиевого источника детектором на основе CsI
каждого кристалла поток антинейтрино будет до-
или Si. Использование тритиевого источника с
стигать 2.7 × 1013 антинейтрино/(см2 с). Общая
мягким спектром позволяет вести поиск магнит-
масса кристаллов составит 100 кг, а количество
ного момента нейтрино.
Были рассчитаны сечения слабого и магнитного
рассеяния на электроне с учетом связанности элек-
Таблица 5. Скорость счета событий для 100 кг Si в
трона на атомной оболочке Cs, I и Si. Для маг-
диапазоне энергий (qi — 1.26) кэВ за год измерения;
нитного рассеяния использовалось минимальное
магнитное рассеяние приведено для магнитного момента
значение магнитного момента нейтрино, следующее
5.0 × 10-12μB
из экспериментального ограничения эксперимента
GEMMA [4].
Порог qi, эВ
Магнит.
Слабое
Всего
Для расчета сечений использовалось прибли-
жение ступенчатой функции, которое дает немного
1
345
98
443
большее значение сечения, чем “точное”, исполь-
10
305
97
402
зующее модель Хартри-Фока-Дирака. Прибли-
50
240
94
334
жение ступенчатой функции можно использовать
как верхнюю границу оценки сечения.
100
211
91
302
Обращено внимание на возможные вариации
200
131
72
203
формы спектра антинейтрино тритиевого источ-
ника, что может приводить к разным значениям
500
38
30
68
скоростей счета.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№1
2023
УЧЕТ СВЯЗАННОСТИ ЭЛЕКТРОНА НА ОБОЛОЧКЕ
41
Получены ожидаемые значения скоростей счета
5. H. T. Wong, H.-B. Li, and S.-T. Lin, Phys. Rev. Lett.
в 100 кг CsI и Si за год измерения.
105, 061801 (2010); hep-ph/1001.2074.
Исследование выполнено в рамках научной
6. C. Arpesellaet al. (BorexinoCollab.), Phys. Rev. Lett.
программы Национального центра физики и ма-
101, 091302 (2008).
тематики (проект 8 “Физика изотопов водорода”,
7. P. A. Zyla et al. (Particle Data Group), Prog. Theor.
направление
8.2
“Изучение упругого когерент-
Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020) and 2021 update.
ного рассеяния нейтрино на атомах и ядрах и
8. Л. А. Микаэлян, В. В. Синев, С. А. Фаянс, ЯФ
электромагнитных характеристик нейтрино с ис-
64, 1551 (2001); S. A. Fayans, L. A. Mikaelyan, and
пользованием интенсивного тритиевого источника
V. V. Sinev, hep-ph/0004158.
антинейтрино”).
9. В. И. Копейкин, Л. А. Микаэлян, В. В. Синев, ЯФ
66, 736 (2003); V. I. Kopeikin, L. A. Mikaelyan, and
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
V. V. Sinev, hep-ex/0307013.
1. F. Reines, H. S. Gurr, and H. W. Sobel, Phys. Rev.
10. S. V. Silaeva and V. V. Sinev, arXiv: 2101.12991 [hep-
Lett. 37, 315 (1976).
ph].
2. G. S. Vidyakin, V. N. Vyrodov, I. I. Gurevich,
Yu. V. Kozlov, and V. P. Martemianov, JETP Lett. 55,
206 (1992).
database.html
3. А. Г. Беда, В. Б. Бруданин, Е. В. Демидова, Ц. Вы-
12. А. В. Дербин, Л. А. Попеко, А. В. Черный,
лов, М. Г. Гаврилов, В. Г. Егоров, А. С. Старостин,
Г. А. Шишкина, Письма в ЖЭТФ 43, 164 (1986).
М. В. Ширченко, ЯФ 70, 1925 (2007).
13. А. В. Дербин, А. В. Черный, Л. А. Попеко,
4. A. G. Beda, V. B. Brudanin, V. G. Egorov, D. V. Med-
В. Н. Муратова, Г. А. Шишкина, С. И. Бахланов,
vedev, V. S. Pogosov, M. V. Shirchenko, and
A. S. Starostin, arXiv: 1005.2736.
Письма в ЖЭТФ 57, 755 (1993).
ACCOUNT OF ELECTRON BINDING ON ATOMIC SHELL
WHEN CALCULATING MAGNETIC AND WEAK NEUTRINO
SCATTERING CROSS SECTIONS
D. N. Abdurashitov1), A. P. Vlasenko1),2), A. P. Ivashkin1), S. V. Silaeva1), V. V. Sinev1),2)
1)Institute for Nuclear Research of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
2)National Research Nuclear University MEPhI, Moscow, Russia
Taking into account the electron shell binding in calculations of neutrino magnetic and weak scattering on
an electron. The problem of recoil electron detection in neutrino scattering at low energies is considered. To
search for neutrino magnetic momentum it is of interest to use the antineutrino spectrum from the tritium
source (3H) with small boundary energy (18.6 keV). At small neutrino energies the electron binding energy
in the atom becomes important. Cross sections are calculated for the electrons of the Cs, I, and Si atoms
as possible targets for experiments with tritium source.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№1
2023
