ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 1, с. 285-294

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

НЕРАВНОВЕСНЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭМИССИИ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

ВТОРИЧНЫХ ЧАСТИЦ В СТОЛКНОВЕНИЯХ ТЯЖЕЛЫХ

ИОНОВ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЭНЕРГИЙ

Поступила в редакцию 16.09.2022 г.; после доработки 16.09.2022 г.; принята к публикации 16.09.2022 г.

С целью развития гидродинамического подхода для описания столкновений тяжелых ионов проме-

жуточных энергий в работе предложено совместно с решением уравнений гидродинамики решать

кинетическое уравнение. Это позволило включить в рассмотрение неравновесную компоненту и

успешно описать двойные дифференциальные сечения испускания кумулятивных протонов, пионов

и фотонов при столкновениях тяжелых ядер углерода с бериллиевой мишенью в области энергий

2.0-3.2 ГэВ/нуклон, полученные в экспериментах ИТЭФ. При описании этих спектров были учте-

ны поправка на микроканоническое распределение и вклад процесса фрагментации для выходов

протонов. Полученное описание экспериментальных данных оказалось лучше, чем в каскадных

моделях и моделях квантовой молекулярной динамики. Проведено сравнение с другими реакциями

и подходами. Оказалось, что эффекты короткодействующих корреляций включены в предложенном

подходе, поскольку в нем успешно описываются экспериментальные данные по спектрам жестких

фотонов, которые в молекулярной динамике согласуются с экспериментом только при добавлении

высокоимпульсной компоненты.

DOI: 10.31857/S004400272301018X, EDN: RBFLBI

1. ВВЕДЕНИЕ

ная динамика). Это дополняет описание процесса

столкновения тяжелых ионов, проведенное как в

Успех применения гидродинамики к столкнове-

рамках одножидкостной [7], так и двухжидкостной

ниям элементарных частиц высокой энергии на-

[8], и трехжидкостной [9] релятивистских гидро-

чался с работы Л.Д. Ландау по множественному

динамических моделей, поскольку существенную

рождению вторичных частиц [1]. В [2] впервые

роль в процессе столкновения ядер играет его

использовано равновесное уравнение состояния,

неравновесный характер.

предполагающее установление в системе локаль-

С другой стороны, начатый Балдиным поиск

ного термодинамического равновесия для описа-

объяснения механизма ядерных кумулятивных

ния столкновений тяжелых ионов. В [3, 4] для

процессов [10, 11], кинематически запрещенных во

энергий строящегося в ОИЯИ (Дубна) ускори-

взаимодействиях свободных нуклонов, до сих пор

тельного комплекса “NICA” предложено исполь-

является нерешенной проблемой. Было предложе-

зовать гибридную модель, которая включает в себя

но большое количество теоретических подходов,

быструю неравновесную кинетическую стадию на

варьирующихся от образования многокварковых

основе кода HSD (адронная струнная динамика)

кластеров в ядерной материи [12, 13] до эффектов

и последующее описание динамики ядро-ядерного

многократного рассеяния при прохождении частиц

столкновения на основе равновесной релятивист-

через ядро [14, 15]. Исследование этого явления в

ской гидродинамики (см. также [5, 6]). В [5] гибрид-

случае столкновения тяжелых ионов представляет

ная модель была усовершенствована включением

интерес с целью выяснения коллективного мно-

вязкости в релятивистскую гидродинамику и заме-

гочастичного механизма кумулятивных процессов

ной кода HSD на РHSD (партон-адронная струн-

и проверки различных моделей ядро-ядерного

взаимодействия при промежуточных и высоких

¹⁾НИЦ “Курчатовский институт”— ПИЯФ, Гатчина, Рос-

энергиях.

сия.

В [16-21] нами было показано, что локальное

²⁾Петербургский государственный университет путей со-

общения Императора Александра I, Санкт-Петербург,

термодинамическое равновесие в процессе столк-

Россия.

новений тяжелых ионов устанавливается не сра-

^*E-mail: dyachenko_a@mail.ru

зу, поскольку на стадии сжатия важна неравно-

285

286

ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ

весная компонента функции распределения, при-

2. НЕРАВНОВЕСНЫЙ

водящая к формированию бесстолкновительной

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

ударной волны, аналогично бесстолкновительным

Для описания системы нуклонов воспользуемся

ударным волнам в расчетах по зависящему от

одночастичной функцией распределения f(r, p, t),

времени методу Хартри-Фока (TDHF) [22]. Для

где r(x₁, x₂, x₃) — пространственная координата,

учета неравновесной компоненты было предложе-

p(p₁, p₂, p₃) — импульс, t — время, для которой

но совместно с уравнениями гидродинамики ре-

при промежуточных энергиях сталкивающихся

шать кинетическое уравнение. В [20] нами была

тяжелых ионов мы используем кинетическое урав-

усовершенствована модель ударной волны с изме-

нение [16-19]:

няющимся фронтом, предложенная в пионерской

f₀ - f

работе [23], которая затем применена к процессу

(1)

сжатия образующегося горячего пятна — hot spot.

В настоящей работе рассмотрено необходимое

где f₀(r, p, t) — локально равновесная функция

развитие гидродинамического подхода при описа-

распределения, τ — время релаксации.

нии столкновений тяжелых ионов промежуточных

Уравнение (1) должно решаться совместно с

энергий с одной стороны, и его применение к опи-

уравнениями гидродинамики, следующими из (1)

санию спектров кумулятивных вторичных частиц с

взятием моментов с весом 1, p, p² в импульсном

другой. В предыдущих работах [16-21] в рамках

пространстве для нахождения функции распреде-

неравновесного гидродинамического подхода рас-

ления. Входящий в члены взаимодействия самосо-

считаны дифференциальные сечения образования

гласованный потенциал W (ρ) задается также, как

протонов, пионов и легких фрагментов при относи-

это делается в случае зависящих от плотности ρ

тельно низких энергиях (E < 1-2 ГэВ на нуклон).

эффективных сил типа сил Скирма.

В процессе развития гидродинамического под-

Время релаксации здесь выбрано в традицион-

хода с неравновесным уравнением состояния

ной форме τ = λ/υ_T [16-19], где длина свобод-

[16-19] в настоящей работе нами рассмотрены

ного пробега нуклонов λ = 1/σρ, σ ≈ 40 мбн —

столкновения ядер¹²C с бериллиевой мишенью

элементарное полное нуклон-нуклонное сечение,

при энергиях налетающих ядер углерода 2.0 и

ρ— нуклонная плотность, υ_T —средняя скорость

теплового движения нуклонов. При низких энерги-

3.2 ГэВ/нуклон, экспериментально исследованные

ях для выбранной формы τ его численное значе-

на ускорителе ИТЭФ, с испусканием протонов [24,

ние близко к значению, полученному для ферми-

25], пионов [25] и фотонов [26]. Данные недавней

жидкости. При высоких энергиях нужно вместо

работы [25] группы ИТЭФ были предоставлены

сечения σ, вообще говоря, подставлять транспорт-

нам В.В. Куликовым.

ное сечение σ_T , что увеличивает величину τ. При

Далее изложение построено следующим обра-

больших временах релаксации можно использо-

зом. В разд. 2 описан неравновесный гидродина-

вать уравнения неравновесной длиннопробежной

мический подход, в разд. 3 — схема наших гид-

гидродинамики в приближении локальной плотно-

родинамических расчетов с учетом микроканони-

сти [20].

ческой поправки. В разд. 4 приведены формулы

Решение уравнения (1) ищется в виде

для учета статистического механизма фрагмента-

f (r, p, t) = f₁q + f₀(1 - q),

(2)

ции, предложенного в [27, 28]. В разд. 5, 6 и 7

показано сравнение наших расчетов с эксперимен-

где функция f₁(r, p, t) соответствует состоянию

тальными данными и расчетами в других моделях

с деформированной ферми-поверхностью, q(r, t)

и кодах. Показан успех нашего гидродинамиче-

(0 ≤ q ≤ 1) — релаксационный фактор, находя-

ского подхода при описании экспериментальных

щийся из кинетического уравнения с помощью

данных коллаборации HADES (GSI) [29] и пре-

взятия момента с весом p2|| - p2⊥, определяющего

имущество нашего подхода в описании спектров

кумулятивных частиц (протонов, пионов и фото-

степень анизотропии функции распределения в

нов) по сравнению с модельными расчетами в [24,

импульсном пространстве [16-19] (p|| и p⊥ —

25] с современными кодами, встроенными в пакет

продольная и поперечная составляющие импуль-

GEANT4. В наших расчетах использован код HSD

са). При q = 0 получаем уравнения равновесной,

[30], созданный в институте теоретической физики

а при q = 1 — неравновесной длиннопробежной

гидродинамики.

в Гессене (Германия). В разд. 7 также показано, что

наш подход описывает спектры жестких фотонов,

В результате имеем замкнутую систему уравне-

которые в работе [31] описывались только за счет

ний для нахождения плотности ρ(r, t), поля скоро-

эффекта короткодействующих корреляций (SRC).

стей υ(r, t), поля температур T (r, t) и релаксацион-

В Заключении, в разд. 8, кратко сформулированы

ного фактора q(r, t), позволяющую найти функцию

основные результаты работы.

распределения f(r, p, t).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

НЕРАВНОВЕСНЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

287

3. ИНКЛЮЗИВНОЕ

распределение [16]. Знак “±” означает “+” для

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

фермионов и “-” для бозонов соответственно.

СЕЧЕНИЕ ПРОЦЕССА

Для описания испускания пионов можно ис-

После выделения области локального нагрева

пользовать выражения (3) и (4), где в качестве

hot spot — области перекрытия сталкивающихся

функции распределения пионов использовать

ядер, мы проанализировали стадии сжатия, расши-

функцию (4), положив везде массу пионов равной

рения и разлета вещества в процессе столкновений

m_π, а химический потенциал μ — равным нулю,

тяжелых ионов. На стадии сжатия формируются

поскольку число пионов не задано, g = 1. Для

бесстолкновительные ударные волны с изменяю-

фотонов масса и химический потенциал равны

щимся фронтом [19-20].

нулю, g = 2 с учетом двух поляризаций. Для

бозонов в (4) выбираем знак “-” перед 1.

На стадии расширения [16-19] по достижении

ударной волной границ hot spot происходит рас-

Кроме вклада (3) в сечение от испускания

ширение первоначально сжатой системы, которое

протонов из hot spot нами учитывался также вклад

описывается с учетом ядерной вязкости, найденной

от слияния неперекрывающихся частей сталки-

нами в релаксационном τ-приближении. В рас-

вающихся ядер — “спектаторов”, как в модели

сматриваемом диапазоне энергий на этой стадии

“корона-кор” при высоких энергиях [32]. Вре-

коэффициент вязкости η достаточно велик (число

менная эволюция hot spot, cжатие и последующее

mρυl

его разрежение напоминают флуктуации в ядерной

Рейнольдса Re =

≤ 1). Это уменьшает ско-

системе, подобные флуктону Д.И. Блохинцева

[33], введенному для объяснения кумулятивного

рость разлета hot spot и увеличивает его темпе-

эффекта.

ратуру. По достижении расширяющейся ядерной

системой критической плотности (плотности замо-

раживания) ρ^∗, определяемой из условия

4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ

dρ

ФРАГМЕНТАЦИИ

= 0, происходит формирование вторичных частиц

(нуклонов, фрагментов, пионов) и их разлет.

Для описания мягкой части спектра испускае-

мых протонов нами использована статистическая

Инвариантное двойное дифференциальное се-

модель фрагментации сталкивающихся тяжелых

чение испускания протонов в реакции A + B → p +

ионов, предложенная в [27, 28]. Согласно этой

+ X имеет вид (b—параметр удара)

модели, вероятность выхода фрагментов из состав-

(

)

d²σ

2π

p²

(3)

ного ядра пропорциональна exp

, где p —

p²dpdΩ

(2πℏ)³

2σ²

∫

импульс фрагмента в системе покоя ядра, диспер-

× G(b)bdb drγ(E - pυ)f(r, p, t),

сия σ

где G(b) = σ_t/σ_g — фактор, учитывающий, что

K(A - K)

σ2K = σ²

(5)

сечение образования hot spot σ_t = π〈R_b〉² всегда

A-1

больше геометрического σ_g сечения перекрыва-

√

A —массовое число фрагментирующего ядра,

ющихся частей, E =

p² + m², γ = 1/

1-υ²

K —число нуклонов во фрагменте, σ²⁰ равна

и p—соответственно полная энергия, Лоренц-

фактор и импульс протонов, Ω — телесный угол,

〈p²〉

σ²⁰ =

p^2F,

(6)

υ(r, t) — поле скоростей, f(r, p, t) — функция

распределения испускаемых протонов в прене-

где p_F — импульс Ферми.

брежении неравновесной компонентой на стадии

замораживания

Ограничимся испусканием протонов с K = 1,

а нормировочный множитель C для определения

f (r, p, t) = g ×

(4)

выхода протонов найдем из условия [28]:

[

]-1

⁽γ(E - pυ - μ) + Tδ⁾

∫

∞

(

)

× exp

±1

p²dp

C × 4V × 4π

exp

= A.

(7)

(2πℏ)³

2σ²

В (4) спиновый фактор g = 2, μ(μ = μ_T + m) —

химический потенциал, который находится из

A(2πℏ)³

условия сохранения в среднем числа частиц

В результате C =

для большого канонического ансамбля, T —

4π√π(2σ20)3/2V,гдеV—объем

температура, δ — поправка на микроканоническое

системы. Используя (7), определяем [17] вклад в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

288

ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ

сечение при фрагментации протонов (b — параметр

в зависимости от поперечной массы. Наши рас-

удара):

четы изображены сплошными кривыми, экспери-

ментальные точки взяты из [29]. Выходы прото-

d²σ

2π

нов были нормированы на число участников N₀ =

(8)

p²dpd´Ω

(2πℏ)³

= 38.5 [29]. Как видно из рисунка, получено хо-

∫

(

)

рошее согласие расчетных распределений с экспе-

(p - p₀)²

× bdb Cdrγ(E - pυ) exp

риментальными во всех интервалах быстрот y, где_⎛

√

⎞

2σ²

)₂

p_||

⁽ p_||

где E — полная энергия испускаемого протона,

y = ln^⎝

⎠,p|| — продольный

√

m_T

p(p =

E² - m²) — импульс протона с учетом

√

движущейся со скоростью υ(r, t) системы отсчета

импульс, m_T = m²⁰ + p2T — поперечная масса.

(r — радиус-вектор, t — момент времени начала

Другими словами, наш расчет оказался ничем не

фрагментации), p₀ = γmυ. Отметим, что сечение

хуже более детального расчета, проведенного ра-

(8) относится к неперекрывающимся частям стал-

нее в [38]. Рассмотренные реакции представляют

кивающихся тяжелых ионов — периферическая

интерес для экспериментов, проводимых на уско-

фрагментация. В (8) учтено, что при вылете прото-

ны могут запираться средним полем за счет энергии

рителе SIS/GSI (Германия) и могут быть перене-

сены на область энергий строящегося в ОИЯИ

связи, от которой надо отсчитывать энергию E.

(Дубна) ускорительного комплекса NICA.

Вклад от фрагментации составного ядра, об-

разующегося из перекрывающихся частей, полу-

чен аналогичным образом. В этом случае можно

6. ОПИСАНИЕ СПЕКТРОВ

использовать (8) с σ²⁰ = mT при температуре T_h

КУМУЛЯТИВНЫХ ПРОТОНОВ И ПИОНОВ

образующегося составного ядра — hot spot, вре-

В ЭКСПЕРИМЕНТАХ ИТЭФ

менная эволюция которого рассматривается нами

На рис. 3, 4 приведены импульсные спектры

в гидродинамическом подходе [16-20].

протонов, испускаемых в реакции 12C +9Be →

→ p + X под углом 3.5^◦ при энергии ионов ¹²C,

равной 2.0 ГэВ/нуклон (рис. 3) и 3.2 ГэВ/нуклон

5. СРАВНЕНИЕ С

(рис. 4). Экспериментальные данные, полученные в

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

эксперименте FRAGM (ИТЭФ) [24, 25] показаны

В качестве иллюстрации успеха гидродинами-

точками. Кривыми 1, 2 представлены результаты

ческого подхода на рис. 1 приведены распреде-

наших расчетов в рамках гидродинамического под-

хода для всей области импульсного спектра, при

ления

испускаемых N протонов по попе-

этом параметры расчета — средняя температура

p_T dp_T

hot spot 〈T_h〉, средний химический потенциал 〈μ_T 〉,

речному импульсу p_T в реакции¹⁹⁷Au +¹⁹⁷Au →

средний радиус hot spot 〈R_h〉 — зависят от энергии.

→ p + X на фиксированной мишени при энергии

Кривые 3, 4, 5 — результаты расчетов по транс-

налетающих ядер золота 1.48 ГэВ/нуклон. Можно

портным кодам [24]: 3 — каскадная модель [39],

видеть, что наш расчет (сплошная кривая) нахо-

4 —транспортная модель кварк-глюонных струн

дится в согласии с другими расчетами, проведен-

[40], 5 — модель квантовой молекулярной динами-

ными в рамках решения кинетического уравнения

ки (QMD), встроенной в монте-карловский пакет

Больцмана-Улинга-Уленбека (BUU) [30, 34] и

GEANT4 [41]. Кривая 6 — наш расчет по коду

модели квантовой молекулярной динамики [35, 36].

адронной струнной динамики (HSD) [30].

Эти расчеты приведены для сравнения различных

Как видно из этих рисунков, в кумулятив-

кодов в [37].

ной области спектров при импульсе протонов

Наш подход применим не только к данной ре-

p>2

ГэВ/с, когда кумулятивное число X =

акции. Например, нам удалось воспроизвести (см.

E - pcosθ

рис. 2) экспериментальные данные коллаборации

> 1, наш расчет согласуется с экс-

HADES [29] по энергетическим спектрам про-

периментальными данными [24, 25]. Спад величины

тонов в реакции Ar + K → p + X при энер-

сечений на 5 порядков воспроизводится в нашем

гии ядер Ar, равной 1.76 ГэВ/нуклон. В расче-

подходе не хуже монте-карловских транспортных

тах выходов протонов учитывался вклад от фраг-

кодов. Причем некоторые каскадные расчеты за-

ментации в области как перекрывающихся, так

метно недооценивают экспериментальные спектры

и неперекрывающихся областей сталкивающихся

в высокоимпульсной области. В области малых

ядер. На рис. 2 приведены инвариантные двой-

импульсов при всех энергиях наш расчет также

ные дифференциальные распределения протонов

воспроизводит экспериментальные спектры, что

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

НЕРАВНОВЕСНЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

289

dN/p_Tdp_T, ГэВ^-2

10⁴

10²

10⁰

10^-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

p_T, ГэВ/c

Рис. 1. Распределения протонов по поперечному импульсу pT в реакции Au + Au → p + X при энергии ионов золота

1.48 ГэВ/нуклон с параметром удара b = 1 Фм. Сплошная кривая — наш расчет при температуре hot spot T_h ≈ 84.8 МэВ.

Значками показаны результаты расчетов по транспортным кодам [37]: ◦ — [30], △ — [34], ▽ — [35], ■ — [36].

d²N/m

/N₀

10¹⁰

10⁶

10²

10^-2

10^-6

10^-10

200

400

600

800

1000

1200

m_T - m₀,МэВ/c²

Рис. 2. Инвариантныераспределенияпротонов в зависимостиот поперечноймассы mT - m0 в реакции Ar + K → p + X,

испускаемых в интервале быстрот y при энергии ионов Ar 1.76 ГэВ/нуклон. Кривые: 1 ×10² (0.1 < y < 0.15), 2 ×10⁴

(0.2 < y < 0.25), 3 ×10⁸ (0.4 < y < 0.45), 4 ×10¹² (0.6 < y < 0.65), 5 ×10¹⁶ (0.8 < y < 0.85) при 〈T_h〉 ≈ 91 МэВ,

〈μT 〉 ≈ -155 МэВ, радиусе hot spot 〈Rh〉 ≈ 3.5 Фм. Точки — экспериментальные данные коллаборации HADES из [29].

обусловлено вкладом от протонов, образующихся

каноническое распределение проявляется в высо-

коимпульсной области распределений протонов.

в результате фрагментации (согласно выражению

(8)) для перекрывающихся и неперекрывающихся

Если не учитывать вклад от фрагментации и не

частей сталкивающихся ядер. Поправка на микро- вводить поправку на микроканоническое распреде-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

290

ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ

d²σ/dpdΩ, бн (ГэВ/c)^-1 ср^-1

10³

10¹

10^-1

10^-3

10^-5

p, ГэВ/c

Рис. 3. Распределения протонов по лабораторному импульсу в реакции¹²C +⁹Be → p + X, испускаемых под углом 3.5^◦

при энергии¹²C 2.0 ГэВ/нуклон. Кривая 1 — наш расчет с значениями 〈T_h〉 ≈ 99 МэВ, 〈μT 〉 ≈ -180 МэВ, 〈Rh〉 ≈ 2 Фм;

штриховая кривая 2 — наш расчет без учета поправки на микроканоническое распределение и вклада от фрагментации;

точки — экспериментальные данные из [24]. Кривые 3, 4, 5 — результаты расчетов по транспортным кодам [24]. Кривая

6 — результат проведенногонами расчета в модели HSD [30].

d²σ/dpdΩ, бн (ГэВ/c)^-1 ср^-1

10¹

10^-1

10^-3

10^-5

p, ГэВ/c

Рис. 4. То же, что на рис. 3, при энергии ионов¹²C 3.2 ГэВ/нуклон и 〈T_h〉 ≈ 122 МэВ, 〈μT 〉 ≈ -263 МэВ, точки —

экспериментальные данные из [25].

ление (штриховые кривые 2), то в мягкой области

ет экспериментальные данные. На рис. 3 вычис-

спектра расчеты недооценивают эксперимент, а в

ленный в этой модели высокоимпульсный спектр

кумулятивной области дают завышенные по срав-

оказался более пологим, чем экспериментальный,

а на рис. 4 он недооценивает величину сечения.

нению с ним значения. Расчет на основе модели

HSD (кривые 6 на рис. 3, 4) также не описыва- Форма спектра и в мягкой области не совпадает

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

НЕРАВНОВЕСНЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

291

d²σ/dpdΩ, бн (ГэВ/c)^-1 ср^-1

10¹

10^-1

10^-3

10^-5

p, ГэВ/c

Рис. 5. То же, что на рис. 3, но для распределения π^--мезонов в реакции¹²C +⁹Be → π^- + X, при энергии ионов¹²C

3.2 ГэВ/нуклон и 〈T_h〉 ≈ 122 МэВ, точки — экспериментальные данные из [25].

p^-1d²σ/dEdΩ, отн. ед.

10⁹

10⁶

10³

10⁰

10^-3

E, ГэВ

Рис. 6. Инвариантные распределения фотонов по энергии в реакции¹²C +⁹Be → γ + X, испускаемых под углом

38^◦ при энергии ионов¹²C 2.0 ГэВ/нуклон (кривая 1 — расчет с 〈T_h〉 ≈ 99 МэВ, кривая 2 — без учета поправки на

микроканоническое распределение) и 3.2 ГэВ/нуклон (кривая 4 — расчет с 〈T_h〉 ≈ 122 МэВ, кривая 3 — без учета

поправки на микроканоническое распределение), точки — экспериментальные данные из [26] (кружки при энергии¹²C

2.0 ГэВ/нуклон и квадраты — 3.2 ГэВ/нуклон).

с экспериментальной потому, что в этом коде не

+⁹Be → π^- + X на ускорителе ИТЭФ при энер-

учитывается механизм фрагментации.

гиях ядер¹²C 3.2 ГэВ/нуклон [25]. Нам удалось

Наш подход применим и к испусканию куму-

лятивных пионов, полученных в реакциях¹²C + воспроизвести экспериментальные данные [25] по

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

292

ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ

d²σ/dE/dΩ, нбн МэВ^-1 ср^-1

10³

10⁰

2 × 10^-1

10^-3

1 × 10^-2

10^-6

100

120

140

160

180

200

E, МэВ

Рис. 7. Двойные дифференциальные сечения испускания фотонов в реакции¹⁴N +¹²C → γ + X под углом 90^◦

при энергиях¹⁴N 20 (1), 30 (2) и 40 (3) МэВ/нуклон. Сплошные кривые — наш расчет при 〈T_h〉 ≈ 9.3, 11.7 и

13.5 МэВ соответственно. Точки — экспериментальные данные из [44] (кружки при 20, квадраты — 30 и треугольники —

40 МэВ/нуклон).

энергетическим спектрам отрицательных пионов

испускания фотонов 38^◦. Здесь сплошные линии —

(рис. 5).

наш расчет. Экспериментальные точки из [26] в

эксперименте FLINT (ИТЭФ). Для испускания

В сечение рождения π^--мезонов помимо теп-

прямых фотонов можно использовать выражения

ловых π^- вносит вклад канал от распада Δ →

(3) и (4). Полученные таким способом прямые

→ N + π^-, который мы включили в рассмотрение

фотоны преобладают над фотонами от распада π⁰-

аналогично [42, 43]. В качестве иллюстрации на

мезонов, вклад которых мы также учли и добавили

рис. 5 приведены инвариантные двойные диффе-

к вкладу прямых фотонов. Спектры, рассчитанные

ренциальные сечения испускания отрицательных

без учета поправки на микроканоническое распре-

пионов в реакциях¹²C +⁹Be → π^- + X при энер-

деление (штриховые кривые), оказываются более

гии ядер углерода 3.2 ГэВ/нуклон, эксперимен-

пологими. Поскольку экспериментальные данные

тальные точки взяты из [25]. Сплошные кривые

приведены в относительных единицах, расчетные

1 —наш расчет, штриховые кривые 2 —наш рас-

кривые также нормированы.

чет без учета поправки на микроканоническое рас-

Нам представляется, что в гидродинамическом

пределение. Кривые 3, 4, 5 — результаты расчетов

подходе учитывается эффект короткодействующих

по транспортным кодам [25] в современных теоре-

корреляций (SRC), которому уделяется большое

тических моделях, которые были использованы для

внимание (см., например, [13]). На рис. 7 при-

расчета спектров протонов. Наш расчет в рамках

ведены рассчитанные нами двойные дифферен-

гидродинамического подхода показывает хорошее

циальные сечения фотонов, испускаемых в реак-

согласие с экспериментальными спектрами [25].

ции¹⁴N +¹²C → γ + X при энергиях ядер азо-

Рассчитанный нами спектр π^- (кривая 6) по мо-

та 20 (кривая 1), 30 (кривая 2) и 40 (кривая

дели НSD показывает более быстрый спад, чем

экспериментальный.

3) МэВ/нуклон под углом испускания фотонов 90^◦ .

Экспериментальные точки взяты из [44]. Как видно

из рисунка, наш расчет находится в согласии с

7. СПЕКТРЫ ЖЕСТКИХ ФОТОНОВ

экспериментальными данными, в отличие от рас-

четов по квантовой молекулярной динамике [31].

На рис. 6 приведены инвариантные двойные

Для достижения согласия с экспериментом в [31]

дифференциальные сечения жестких фотонов, об-

дополнительно вводятся высокоимпульсные “хво-

разующихся в реакции¹²C +⁹Be → γ + X при

сты” для протонов, что свидетельствует об учете

энергиях ядер¹²C 2.0 и 3.2 ГэВ/нуклон под углом

эффекта короткодействующих корреляций SRC.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

НЕРАВНОВЕСНЫЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД

293

Согласие наших расчетов с экспериментом без

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

дополнительной коррекции показывает, что эффект

L. D. Landau, Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 17, 51 (1953)

SRC учитывается в развиваемом нами гидродина-

[Collected Papers of L. D. Landau, Ed. by D. Ter Haar

мическом подходе.

(Pergamon Press, Oxford, 1965), Paper no. 74].

H. St ¨ocker and W. Greiner, Phys. Rept. 137, 277

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(1986).

В работе в рамках модифицированной гидроди-

А. С. Хворостухин, В. Д. Тонеев, ЯФ 80, 161 (2017)

намической модели с фиксированными параметра-

[Phys. At. Nucl. 80, 285 (2017)].

ми уравнения состояния описаны эксперименталь-

A. С. Хворостухин, В. Д. Тонеев, Письма в ЭЧАЯ

ные высокоимпульсные спектры протонов, пионов

14, 22 (2017) [Phys. Part. Nucl. Lett. 14, 9 (2017)].

и фотонов, испускаемых в столкновениях тяжелых

A. S. Khvorostukhin, E. E. Kolomeitsev, and

V. D. Toneev, Eur. Phys. J. A 57, 294 (2021); arXiv:

ионов при E = 2-3 ГэВ/нуклон, включая кумуля-

2104.14197v1 [nucl-th].

тивную область спектра.

H. Petersen, J. Steinheimer, G. Burau, M. Bleicher,

Весьма важным моментом явилось включение

and H. St ¨ocker, Phys. Rev. C 78, 044901 (2008).

в рассмотрение эффектов ядерной вязкости, най-

A. V. Merdeev, L. M. Satarov, and I. N. Mishustin,

денной нами в релаксационном τ-приближении

Phys. Rev. С 84, 014907 (2011).

для кинетического уравнения, а также поправки

И. Н. Мишустин, В. Н. Русских, Л. М. Сатаров, ЯФ

на микроканоническое распределение, проявляю-

54, 429 (1991) [Sov. J. Nucl. Phys. 54, 260 (1991)].

щейся в области высокоэнергетических “хвостов”

Yu. B. Ivanov, V. N. Russkikh, and V. D. Toneev, Phys.

спектров протонов. При промежуточных энергиях

Rev. C 73, 044904 (2006).

в кумулятивной области импульсных спектров про-

10.

A. M. Балдин, С. Б. Герасимов, Н. Гиордэнеску,

тонов важен учет испускания протонов из образу-

В. Н. Зубарев, Л. К. Иванова, А. Д. Кириллов,

ющегося горячего пятна — hot spot — и их испус-

В. А. Кузнецов, Н. С. Мороз, В. Б. Родоманов,

кания в результате слияния неперекрывающихся

В. Н. Рамжин, В. С. Ставинский, М. И. Яцута, ЯФ

областей сталкивающихся ядер. Т.е. в развиваемой

18, 79 (1973) [Sov. J. Nucl. Phys. 18, 41 (1974)].

модели представлен механизм “корона-кор”, по-

11.

Ю. Д. Баюков, Л. С. Воробьев, Г. А. Лексин,

лучивший распространение при высоких энергиях.

В. Л. Стопин, В. Б. Федоров, В. Д. Хованский, ЯФ

Это может объяснить аппроксимацию экспери-

18, 1246 (1973) [Sov. J. Nucl. Phys. 18, 639 (1974)].

ментальных данных двумя экспонентами со свои-

12.

А. В. Ефремов, А. Б. Кайдалов, В. Т. Ким, Г. И. Лы-

ми температурами, проведенную в [24]. В области

касов, Н. В. Славин, ЯФ 47, 1364 (1988) [Sov. J.

малых импульсов протонов определяющий вклад

Nucl. Phys. 47, 868 (1988)].

в сечение дает учет фрагментации, проведенный

13.

L. L. Frankfurt and M. I. Strikman, Phys. Rept. 76,

нами в статистической модели фрагментации. Про-

215 (1981).

веденные расчеты воспроизводят эксперименталь-

14.

M. A. Braun and V. V. Vechernin, J. Phys. G: Nucl.

ные данные по выходам протонов и пионов как

Part. Phys. 19, 517 (1993).

для средних, так и тяжелых ядер в области про-

15.

V. D. Toneev and K. K. Gudima, Nucl. Phys. A 400,

межуточных и высоких энергий сталкивающихся

173 (1983).

ядер и могут быть применены к области энергий

16.

А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, ЯФ 83, 317

строящегося в Дубне ускорительного комплекса

(2020) [Phys. At. Nucl. 83, 558 (2020)].

NICA. Описание спектров жестких фотонов ука-

17.

A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, Phys. Part.

зывает на то, что в нашем подходе могут быть

Nucl. 53, 505 (2022).

учтены эффекты короткодействующих корреляций

18.

A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, EPJ Web

Conf. 204, 03018 (2019).

(SRC).

19.

A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, Phys. At.

Правомерность использования макроскопиче-

Nucl. 82, 1641 (2019).

ских параметров для легких систем можно объяс-

20.

A. T. D’yachenko, K. A. Gridnev, and W. Greiner,

нить. В нашем случае среднее число частиц в hot

√

J. Phys. G 40, 085101 (2013).

spot N ∼ 10, и дисперсия ∼1/

N ≪ 1 не столь

21.

А. Т. Дьяченко, ЯФ 57, 2006 (1994) [Phys. At. Nucl.

велика. Поправка на микроканоническое распре-

57, 1930 (1994)].

деление улучшает описание эксперимента. Плечо в

22.

P. Bonche, S. Koonin, and J. W. Negele, Phys. Rev. C

кумулятивной области спектра протонов воспроиз-

13, 1226 (1976).

водится в нашем подходе и, как видно, иногда оно

23.

W. Scheid, H. M ¨uller, and W. Greiner, Phys. Rev. Lett.

воспроизводится в транспортных каскадных кодах.

32, 741 (1974).

Возможно, что это обусловлено перерассеянием

24.

Б. М. Абрамов, П. Н. Алексеев, Ю. А. Бородин,

пионов [45].

С. А. Булычев, И. А. Духовской, А. П. Крутенкова,

Авторы благодарны В.В. Вечернину, М.Б. Жа-

В. В. Куликов, М. А. Мартемьянов, М. А. Мацук,

лову, А.В. Ставинскому и В.В. Куликову за полез-

С. Г. Машник, Е. Н. Турдакина, А. И. Ханов, ЯФ

ные обсуждения.

78, 403 (2015) [Phys. At. Nucl. 78, 373 (2015)].

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

294

ДЬЯЧЕНКО, МИТРОПОЛЬСКИЙ

25. Б. М. Абрамов, М. Базнат, Ю. А. Бородин,

L. W. Chen, P. Danielewicz, C. Fuchs, T. Gaitanos,

С. А. Булычев, И. А. Духовской, А. П. Крутенкова,

C. M. Ko, A. Larionov, M. Reiter, Gy Wolf, and

В. В. Куликов, М. А. Мартемьянов, М. А. Мацук,

J. Aihelin, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 31, 741

Е. Н. Турдакина, ЯФ 84, 331 (2021) [Phys. At. Nucl.

(2005); arXiv: 2202.06672v1 [nucl-th].

84, 467 (2021)].

38. J. Weil, V. Steinberg, J. Staudenmaier, L. G. Pang,

26. И. Г. Алексеев, А. А. Голубев, В. С. Горячев,

D. Oliinychenko, J. Mohs, M. Kretz, T. Kehrenberg,

Г. Б. Дзубенко, А. Г. Долголенко, Н. М. Жигарева,

A. Goldschmidt, B. B ¨auchle, J. Auvinen, M. Attems,

С. М. Киселев, К. Р. Михайлов, Е. А. Морозова,

and H. Petersen, Phys. Rev. C 94, 054905 (2016).

П. А. Полозов, М. С. Прокудин, Д. В. Романов,

39. A. V. Dementev and N. M. Sobolevsky, Nucl. Tracks

Д. Н. Свирида, А. В. Ставинский, В. Л. Столин,

Radiat. Meas. 30, 553 (1999).

Г. В. Шарков, ЯФ 78, 995 (2015) [Phys. At. Nucl.

40. S. G. Mashnik, K. K. Gudima, R. E. Prael, A. J. Sierk,

78, 936 (2015)].

M. I. Baznat, and N. V. Mokhov, LA-UR-08-

27. A. S. Goldhaber, Phys. Lett. B 53, 306 (1974).

2931 (Los Alamos, 2008); arXiv: 0805.0751[nucl-th];

28. H. Feshbah and K. Huang, Phys. Lett. B 47, 300

S. G. Mashnik, J. S. Bull, H. G. Hughes, R. E. Prael,

(1973).

and A. J. Sierk, Eur. Phys. J. Plus 126, 49 (2011).

29. H. Schuldes and M. Lorenz (for the HADES Collab.),

J. Phys.: Conf. Ser. 599, 012028 (2015).

41. T. Koi, D. H. Wright, G. Folger, V. Ivanchenko,

30. W. Cassing and E. L. Bratkovskaya, Phys. Rept. 308,

M. Kossov, N. Starkov, A. Heikkinen, and H. P. Wel-

65 (1999).

lisch, AIP Conf. Proc. 896, 21 (2007).

31. Wen-Mei Guo, Bao-An. Li, and Gao-Chan Yong,

42. В. И. Гольданский, Ю. П. Никитин, И. Л. Розен-

Phys. Rev. C 104, 034603 (2021); arXiv: 2106.08242

таль, Кинематические методы в физике высо-

[nucl-th].

ких энергий (Наука, Москва, 1987) [Kinematic

32. Y. Kanakubo, Y. Tachibana, and T. Hirano, Phys. Rev.

Methods in High-Energy Physics (Nauka, Moscow,

C 105, 024905 (2022); arXiv: 2108.07943 [nucl-th].

1987; Routledge, 1989)].

33. Д. И. Блохинцев, ЖЭТФ 33, 1295 (1957) [Sov. Phys.

43. А. T. D’yachenko and V. N. Baryshnikov, in

JETP 6, 995 (1958)].

Proceedings of Baldin ISHEPP XIX, v. 2, Dubna,

34. A. B. Larionov, W. Cassing, M. Effenberger, and

2008, Ed. by A. N. Sissakian et al. (JINR, Dubna,

U. Mosel, Eur. Phys. J. A 7, 507 (2000).

2008), p. 23.

35. C. Hartnack, L. Zhuxia, L. Neise, G. Peilert,

44. J. Stevenson, K. B. Beard, W. Benenson, J. Clayton,

A. Rosenhauer, H. Sorge, J. Aichelin, H. St ¨ocker,and

E. Kashy, A. Lampis, D. J. Morrissey, M. Samuel,

W. Greiner, Nucl. Phys. A 495, 303 (1989).

R. J. Smith, C. L. Tam, and J. S. Winfield, Phys. Rev.

36. H. W. Barz and L. Naumann, Phys. Rev. C 68, 041901

Lett. 57, 555 (1986).

(2003).

45. М. А. Браун, В. В. Вечернин, ЯФ 43, 1579 (1986)

37. E. E. Kolomeitsev, C. Hartnack, H. W. Barz,

M. Bleicher, E. Bratkovskaya, W. Cassing,

[Sov. J. Nucl. Phys. 43, 1016 (1986)].

A NON-EQUILIBRIUM HYDRODYNAMIC APPROACH TO DESCRIBING

THE EMISSION OF HIGH-ENERGY SECONDARY PARTICLES

IN COLLISIONS OF HEAVY IONS OF INTERMEDIATE ENERGIES

A. T. D’yachenko^1),2), I. A. Mitropolsky¹⁾

¹⁾National Research Center “Kurchatov Institute” — PNPI, Gatchina, Russia

²⁾Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, St. Petersburg, Russia

Developing the hydrodynamic approach in describing collisions of heavy ions of intermediate energies, we

proposed to solve the kinetic equation together with the solution of the equations of hydrodynamics. This

made it possible to successfully describe the double differential cross sections for the emission of cumulative

protons, pions, and photons in heavy-ion collisions for the collision of carbon nuclei with a beryllium target

in the energy range of 2.0-3.2 GeV per nucleon, obtained in the ITEP experiments. When describing these

spectra, a correction for the microcanonical distribution was taken into account, and the contribution of the

fragmentation processwas also taken into account for the proton yields. Our descriptionof the experimental

data turns out to be better than the cascade models and the quantum molecular dynamics model. A

comparison is made with other reactions and approaches. It turned out that the effects of short-range

SRC correlations are included in our approach, since we successfully describe the experimental data on the

spectra of hard photons, which in molecular dynamics are described with the addition of a high-momentum

component.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023