ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 1, с. 104-116

ЯДРА

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА⁹Li

С NN-ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ Daejeon16

А. М. Широков³⁾, И. Дж. Шин⁴⁾, Я. Ким⁴⁾, П. Марис⁵⁾, Дж. П. Вэри⁵⁾

Поступила в редакцию 21.09.2022 г.; после доработки 21.09.2022 г.; принята к публикации 21.09.2022 г.

Представлены результаты для энергий связанных состояний и асимптотических нормировочных

коэффициентов в них, а также для энергий и ширин резонансов ядра⁹Li, полученные в методе SS-

HORSE на основе расчетов ab initio в модели оболочек без инертного кора с нуклон-нуклонным

взаимодействием Daejeon16.

DOI: 10.31857/S0044002723010348, EDN: RFFGRR

1. ВВЕДЕНИЕ

[5] и⁸Li(d, p)⁹Li [6] позволил извлечь асимптоти-

ческие нормировочные коэффициенты (АНК) для

Как известно, свойства ядра⁹Li играют важную

основного [5, 6] и первого возбужденного [5] со-

роль в понимании астрофизических процессов.

стояний. Значения АНК для основного состоя-

Характеристики резонансных состояний этого

ния, представленные в работах [5, 6], практически

ядра, проявляющихся в реакции n +⁸Li, опре-

одинаковы и несколько больше значения, полу-

деляют сечение реакции быстрого радиационного

ченного в работе [1] на основе анализа реакции

захвата 8Li(n, γ)9Li и в конечном счете опре-

⁹Be(⁸Li,⁹Li)⁸Be.

деляют отношение двух конкурирующих цепочек

синтеза элементов с A > 8, которые могут про-

Что касается резонансных состояний, то в ин-

исходить после коллапса сверхновой типа II, а

тервале энергий возбуждения до 10 МэВ из экспе-

римента известны лишь энергии трех резонансных

именно

⁷Li(n, γ)⁸Li(α, n)¹¹B(n, γ)¹²B(β⁺)¹²C и

уровней. Нижайший резонанс предположительно

⁷Li(n, γ)⁸Li(n, γ)⁹Li(α, n)¹²B(β⁺)¹²C

[1]. Пре-

имеет J^π = 5/2^-, спин-четности остальных двух

одолеть

“щель” A = 8 в нуклеосинтезе воз-

резонансов экспериментально не определены [4].

можно также посредством цепочки реакций

⁴He(2n,γ)⁶He(2n,γ)⁸He(β^-)⁸Li(n,γ)⁹Li(β^-)⁹Be

Таким образом, теоретическое исследование

[2, 3], в которой опять же ключевую роль играют

свойств связанных и резонансных состояний ядра

резонансные состояния ядра⁹Li.

⁹Li является актуальной задачей.

К сожалению, в настоящее время эксперимен-

Влияние резонансных состояний ядра⁹Li на се-

тальная информация о спектре этого ядра доста-

чение и скорость реакции быстрого радиационного

точно скудна. Из эксперимента известны энер-

захвата⁸Li(n, γ)⁹Li исследовалось в различных

гии основного J^π = 3/2^- и первого возбужденного

подходах. Так, в работах [7, 8] анализ проводил-

связанного 1/2^- состояний [4]. Анализ угловых

ся на основе комбинации модели оболочек для

распределений в рамках борновского приближе-

описания спектров ядер⁸Li,⁹Li и потенциаль-

ния с искаженными волнами реакций⁸Li(n, γ)⁹Li

ного подхода к рассеянию нейтрона на ядре⁸Li.

Несмотря на схожесть подходов, предсказанные

¹⁾Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск,

скорости реакции в них существенно различаются.

Россия.

²⁾Центр экзотических ядерных исследований, Институт

Реакции⁸Li(n, γ)⁹Li и зеркальная к ней⁸B(p, γ)⁹C

фундаментальных наук, Тэджон, Республика Корея.

изучались в модели прямого захвата [9] и кла-

³⁾Научно-исследовательский институт ядерной физики

стерной модели с точным учетом принципа Паули

им. Д. В. Скобельцына, Московский государственный

[10]. Возможность описания экспериментальных

университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.

данных для сечения радиационного захвата яд-

⁴⁾Научный проект по редким изотопам, Институт фунда-

ментальных наук, Тэджон, Республика Корея.

ром⁸Li тепловых нейтронов при астрофизических

⁵⁾Университет штата Айова, Эймс, США.

энергиях рассмотрена в рамках модифицированной

^*E-mail: mazuri@mail.ru

потенциальной кластерной модели [11].

104

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

105

Единственное к настоящему моменту исследо-

конечная часть этого базиса, который обрезается

вание реакции⁸Li(n, γ)⁹Li в подходе ab initio

по некоторому числу многочастичных осциллятор-

реализовано в работе [12]. Энергии связанных и

ных квантов возбуждения N_max. С ростом N_max

размер базиса растет экспоненциально. На данный

характеристики резонансных состояний ядра⁹Li, а

момент существует целый ряд методов, позволя-

также сечение реакции в этой работе рассчитаны

ющий осуществлять экстраполяции на бесконеч-

в рамках модели оболочек без инертного кора с

ный базис N_max → ∞ результатов для связанных

континуумом (no-core shell model with continuum,

состояний, полученных в МОБИК [24-41]. Метод

NCSMC) с реалистическим киральным нуклон-

SS-HORSE в применении к связанным состоя-

нуклонным взаимодействием и с учетом трехча-

ниям также позволяет осуществить экстраполя-

стичных сил. Результаты расчетов воспроизводят

цию результатов на случай бесконечного базиса,

энергии связанных состояний и характеристики

в основе которой лежат аналитические свойства

нижайшего резонанса 5/2^-. Основываясь на ре-

S-матрицы и расчет ее полюсов. SS-HORSE-

зультатах этой работы, можно заключить, что экс-

экстраполяция, следовательно, является теорети-

периментально наблюдаемый резонанс при энер-

чески обоснованной [23], в отличие от других раз-

гии 5.38 МэВ имеет спин-четность J^π = 3/2^-, а

работанных методов экстраполяций [24-41], ос-

очень узкий резонанс при энергии 6.43 МэВ —

нованных на феноменологических соображениях.

J^π = 7/2^-.

Кроме того, метод SS-HORSE позволяет найти

Исследование ab initio состояний ядра⁹Li кро-

АНК, используя их связь с вычетами в полюсах

ме работы [12] проводилось также в рамках метода

S-матрицы. В применении же к резонансным со-

Монте-Карло для функций Грина (Green’s function

стояниям расчет полюсов S-матрицы методом SS-

Monte Carlo) [13] и в модели оболочек без инерт-

HORSE позволяет получить энергии и ширины

ного кора (МОБИК; в англоязычной литературе —

резонансов.

no-core shell model, NCSM) [14]. В этих подходах,

ориентированных на исследование связанных со-

стояний, в отличие от [12] не учитывалась связь с

2. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

континуумом и, следовательно, не могло быть сде-

Метод SS-HORSE, основанный на формализ-

лано никаких заключений o ширинах резонансных

ме HORSE (Harmonic Oscillator Representation of

состояний и не рассматривались АНК.

Scattering Equations) [42], позволяет рассчитать

В настоящей работе поставлена цель иссле-

E_b — экстраполированные на случай бесконечного

довать характеристики связанных и резонансных

базиса энергии связанных состояний, полученные

состояний 9Li на основе расчетов ab initio в

в МОБИК, и АНК |A_ℓ| в этих состояниях путем

МОБИК [15] с реалистическим нуклон-нуклонным

численного определения положения полюсов S-

взаимодействием Daejeon16 [16] с учетом контину-

матрицы и вычетов в них.

ума в рамках метода SS-HORSE [17]. Отметим,

S-матрица в SS-HORSE рассчитывается при

что NN-взаимодействие Daejeon16 обеспечивает

дискретных энергиях E_i, которые являются соб-

хорошее описание легких ядер без использова-

ственными энергиями относительного движения

ния трехнуклонных сил. Мы получаем не только

нейтрона и ядра⁸Li [17]:

энергии состояний, но также даем оценку АНК

для связанных состояний и рассчитываем ширины

C(-)

(E_i)

ℵⁱ+2,ℓ

нижайших резонансных состояний⁹Li.

S (E_i) =

(1)

Метод SS-HORSE разрабатывался и приме-

C⁽⁺⁾

(E_i)

ℵⁱ+2,ℓ

нялся в комбинации с МОБИК для описания

резонансов в различных ядерных системах [17-

Аналитический вид функций C(±)nℓ = C_nℓ ± iS_nℓ из-

22]. В дальнейшем этот подход мы применили и к

вестен (см., например, работы [42-44]). Каждая из

описанию связанных состояний, рассматривая их

собственных энергий E_i относительного движения

как закрытые каналы [23].

нейтрона и ядра⁸Li определяется на основе расче-

МОБИК является одним из надежных методов

тов в МОБИК ядер⁹Li и⁸Li с числом осциллятор-

получения энергий состояний многонуклонных си-

ных квантов возбуждения Nimax и осцилляторным

стем. В этом подходе гамильтониан, описывающий

параметром ℏΩⁱ:

ядро как систему A нуклонов, взаимодействующих

(

)

(

)

посредством реалистических нуклон-нуклонных и,

E_i ≡ E

Nimax,ℏΩⁱ

=E⁹Li

Nimax,ℏΩⁱ

(2)

если требуется, трехнуклонных сил, раскладыва-

(

)

ется по многочастичному осцилляторному базису.

−E⁸Li

Nimax,ℏΩⁱ

Этот базис имеет параметр ℏΩ, который является

разностью уровней энергии гармонического осцил-

a ℵⁱ = Nimax + Nimin в выражении (1) — полное

лятора. В реальных расчетах используется лишь

число осцилляторных квантов в расчете ядра⁹Li.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

106

МАЗУР и др.

Расчеты проводятся с набором значений парамет-

полученные при различных N_max и/или ℏΩ. Опыт

{

}

ров

Nimax,ℏΩⁱ

, в результате мы получаем на-

работы с модельными задачами [23] показал, что

лучше всего выбрать энергии E в трех соседних по

бор значений S-матрицы в некотором интервале

ℏΩ точках одного модельного пространства N_max.

энергий E. Отметим, что энергии относительного

движения (2) по построению отсчитаны от порога

Результаты подобной экстраполяции с разными

вариантами параметризации для N_max = 10 и 12

n + ⁸Li, и далее мы везде приводим энергии, отсчи-

представлены на рис. 2a.

танные от этого порога, если иной отсчет энергий

не оговорен в тексте (например, в случае энергий

Как видно, результаты экстраполяции SS-

возбуждения они отсчитываются от основного со-

HORSE энергии зависят от ℏΩ (на рисунке каждая

стояния ядра).

точка отображена со средним значением ℏΩ точек,

Далее эти значения S-матрицы аппроксимиру-

взятых для экстраполяции). Но в области 25 ≤

ются непрерывными функциями энергии E, ко-

≤ ℏΩ ≤ 32.5 МэВ эта зависимость достаточно

торые учитывают ее аналитические свойства. На

слабая, и, что важно, результаты, полученные

основе опыта работы с модельными задачами [23]

с различными параметризациями, близки друг

для связанных состояний мы будем использовать

к другу. Кроме того, кривые, рассчитанные в

следующие параметризации:

модельных пространствах N_max = 10 и 12, тоже

)₃ √

√

близки друг к другу, что свидетельствует о хорошей

√

(√

|E|+w₁

|E|

|E| +

|E_b|

сходимости результатов.

S (E) = -ew0

√

(3)

|E| -

|E_b|

Кривая с косыми крестиками на рис. 2a пред-

√

ставляет разность результатов экспоненциальной

экстраполяции для энергий основного состояния

S (E) = ew0

^|E| ×

(4)

√

ядра⁹Li и⁸Li:

|E| +

|E_b|

|E| -

|E_v|

√

E_∞ (ℏΩ) = E⁹Li∞ (ℏΩ) - E⁸Li∞ (ℏΩ) ,

(6)

|E| -

|E_b|

|E| +

|E_v|

где E^ALi∞ (ℏΩ) определяется на основе экстрапо-

S (E) =

√

+ B.

(5)

ляции В [25] при данном ℏΩⁱ по трем модельным

|E| -

|E_b|

пространствам N_max, N_max - 2, N_max - 4:

(

)

(

)

В перечисленных вариантах параметризаций ис-

E^ALi

N_max,ℏΩⁱ

=E^ALi∞

ℏΩⁱ

+a_ie-biN^max,

(7)

комая энергия связанного состояния E_b, а также

энергия виртуального состояния E_v и константы B,

где для каждого значения ℏΩⁱ мы используем

D, w₀ и w₁ являются подгоночными параметрами.

N_max = 12. Отметим, что экстраполяция B яв-

В первую очередь рассмотрим основное состо-

ляется стандартным методом уточнения резуль-

яние 3/2-1. На рис. 1 показаны энергии отно-

татов МОБИК. Если использовать оптимальные

сительного движения, полученные из результатов

значения ℏΩ [25] для оценки энергий основных

МОБИК для основных состояний ядер⁸Li и⁹Li по

состояний

⁸Li и 9Li, то получим для Nmax =

формуле (2). Видна следующая особенность: для

= 12 (в скобках указана оценка погрешности

энергий, полученных с ℏΩ ≤ 20 МэВ в модельных

экстраполяции): E⁸Li∞ = -41.33(6) МэВ и E⁹Li∞ =

пространствах, начиная c N_max = 10, энергии E

= -44.93(5) МэВ. Сравнение с соответствую-

растут с увеличением N_max. Такое поведение в

щими экспериментальными значениями E⁸Liexp =

принципе возможно, так как для энергий, рассчи-

танных по формуле (2), не обязан соблюдаться

= -41.278 МэВ и E⁹Liexp = -45.342 МэВ [4] под-

вариационный принцип. Но в этом случае метод

тверждает высокую точность реалистического

SS-HORSE неприменим. Поэтому мы исключили

NN-взаимодействия Daejeon16 в описании легких

из дальнейшего рассмотрения энергии, полученные

ядер.

с ℏΩ ≤ 22.5 МэВ. При ℏΩ ≥ 23 МэВ поведение

На рис.

2б представлены соответствующие

энергий в зависимости от N_max вплоть до N_max =

АНК, которые могут быть определены из вычета

= 12 становится подходящим для применения ме-

S-матрицы как функции волнового числа S(k) в

тода SS-HORSE. В анализе первого возбужден-

полюсе k_b, соответствующем связанному состоя-

ного и резонансных состояний, кроме того, ис-

нию [45]:

пользуются результаты расчетов с N_max = 14 в

√

пределах от 12.5 до 20 МэВ.

|A_ℓ| =

|Res [S (k) , k_b]|.

(8)

В рамках SS-HORSE мы определили энер-

√

гии E_b, соответствующие полюсам S-матрицы, ис-

2μ |E|

2μ |E_b|

Здесь k = i

, k_b =i

— положе-

пользуя параметризации (3), (4) и (5). Для по-

ℏ

иска E_b достаточно знать три значения энергии,

ние полюса S-матрицы, отвечающее связанному

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

107

E_b, МэВ

-3.2

3/2₋: n + ⁸Li

N_max = 4

N_max = 6

-3.3

N_max = 8

N_max = 10

N_max = 12

N_max = 14

-3.4

-3.5

-3.6

-3.7

"Ω, МэВ

Рис. 1. Энергии относительного движения нейтрона и⁸Li, полученные на основе расчетов в МОБИК в различных

модельных пространствах.

(а)

|A₁|, фм^-1/2

(б)

E_b, МэВ

3.0

-2.5

N_max = 10, Ур. (3)

3/2₋: n + ⁸Li

Ур. (4)

Ур. (5)

2.5

N_max = 12, Ур. (3)

-3.0

Ур. (4)

2.0

Ур. (5)

Экстрап. B (n + ⁸Li)

Макс. АНК (n + ⁸Li)

1.5

-3.5

1.0

-4.0

0.5

"Ω, МэВ

Рис. 2. Экстраполяция SS-HORSE в канале n +⁸Li для основного состояния ядра⁹Li. a — Энергии E_b, полученные на

основе параметризаций (3)-(5) в модельных пространствах Nmax = 10, 12. Кривая с косыми крестиками — результаты

экстраполяции В [25]. б — Соответствующие АНК. Горизонтальная линия соответствует |A_ℓ|_max.

состоянию, μ — приведенная масса системы n +

канале n +⁸Li. Его можно оценить по формуле [45]

+⁸Li. Выражение для вычета S-матрицы в полюсе

√

k_b легко получить для каждой из формул (3)-(5).

|A_ℓ| ≤ |A_ℓ|_max = κe^κR

(9)

κR + 2

Горизонтальной линией на правой панели ри-

Здесь R — радиус взаимодействия, а величина

сунка показано максимальное значение АНК в κ определяется энергией связи. Для оценки κ =

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

108

МАЗУР и др.

(а)

(б)

〈r

²〉, фм

〈r

²〉, фм

3.0

⁸Li

⁸Li*

2.5

N_max = 8

2.0

N_max = 10

2.0

N_max = 10

N_max = 12

N_max = 14

Оценка

1.5

"Ω, МэВ

√

Рис. 3. Результаты расчета в МОБИК среднеквадратичного радиуса распределения точечных нейтронов ℜ =

〈rⁿ〉 в

основном (a) и возбужденном 1⁺ (б) состояниях ядра⁸Li.

(а)

(б)

|A₁|, фм^-1/2

E_b, МэВ

−

2.5

−

3/2

-3.5

2.0

n + ⁸Li*

n + ⁸Li

1.5

−4.0

n + ⁸Li

N_max = 10, Ур. (3)

n + ⁸Li*

Ур. (4)

Экстрап. B (n + ⁸Li)

1.0

Ур. (5)

Экстрап. B (n + ⁸Li*)

N_max = 12, Ур. (3)

Ур. (4)

Ур. (5)

0.5

-4.5

Макс. АНК (n + ⁸Li)

Макс. АНК (n + ⁸Li*)

"Ω, МэВ

Рис. 4. Экстраполяция SS-HORSE для основного состояния ядра⁹Li в каналах n +⁸Li и n +⁸Li^∗. Обозначения

аналогичны рис. 2. Кривая с косыми (прямыми) крестиками — результаты экстраполяции В энергии основного состояния

ядра⁹Li в канале n +⁸Li (n +⁸Li^∗). Сплошная (штриховая) кривая на нижней панели соответствует значению |A_ℓ|_max в

канале n +⁸Li (n +⁸Li^∗).

√

2μ |EExtr.B|

параметров МОБИК N_max и ℏΩ, однако, как видно

мы используем разность энергий

ℏ

из рис. 3, кривые, описывающие зависимость ℜ

основных состояний ядер⁹Li и⁸Li, рассчитанных

от ℏΩ, полученные с разными N_max, пересекаются

методом экспоненциальной экстраполяции (6), (7).

приблизительно в одной точке. Как было показа-

Для оценки радиуса взаимодействия R нейтро-

но в работах [46, 16], значение ℜ, соответству-

на с ядром⁸Li мы, учитывая, что⁸Li является

ющее этой точке пересечения, представляет со-

нейтронно-избыточным ядром, используем ради-

бой экстраполированное значение этой величины

ус распределения нейтронной материи в⁸Li. Для

на случай бесконечного базиса. Радиус распре-

√

этого мы сначала рассчитываем среднеквадратич-

√

деления нейтронной материи в ядре

〈r2nm〉 и,

ный радиус ℜ =

〈r2n〉 распределения нейтронов

соответственно, радиус взаимодействия нейтрона

в⁸Li, считая их точечными частицами. Значение

с ядром R, учитывающий неточечность нуклонов,

ℜ, полученное в расчетах⁸Li, сильно зависит от

определяется выражением (см. работу [47], где

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

109

E_b, МэВ

1.0

1/2^-: n + ⁸Li

N_max = 4

N_max = 6

N_max = 8

N_max = 10

0.5

N_max = 12

N_max = 14

-0.5

"Ω, МэВ

Рис. 5. Энергии относительного движения нейтрона и ядра⁸Li в первом возбужденном состоянии 1/2^- ядра⁹Li,

полученные на основе расчетов в МОБИК в различных модельных пространствах.

(а)

-1/2

(б)

|A₁|, фм

E_b, МэВ

1.0

1/2^-

0.9

1/2^-

n + ⁸Li*

Экстрап. B (n + ⁸Li)

Ур-ния

0.8

Экстрап. B (n + ⁸Li*)

(3) (4) (5)

-0.2

0.7

N_max = 10

N_max = 12

n + ⁸Li n + ⁸Li*

0.6

N_max = 14

N_max

= 12-14

-0.3

0.5

Макс. АНК (n + ⁸Li)

Макс. АНК (n + ⁸Li*)

0.4

0.3

-0.4

n + ⁸Li

0.2

0.1

−0.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

22.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

22.5

"Ω, МэВ

Рис. 6. Экстраполяция SS-HORSE для возбужденного состояния 1/2^- ядра⁹Li в каналах n +⁸Li и n +⁸Li^∗.

Обозначения аналогичны рис. 2. Дополнительные символы, обозначенные в легенде Nmax = 12-14, соответствуют

расчетам с Nmax = 12, ℏΩ = 12.5 МэВ и с Nmax = 14, ℏΩ = 12.5 МэВ и 15 МэВ. Вертикальная штрихпунктирная кривая

на левой панели разделяет результаты, полученные в каналах n +⁸Li и n +⁸Li^∗.

приводится аналогичное выражение для радиуса

соответственно радиусы протона и нейтрона [48], а

распределения заряда)

Z = 3 и N = 5 —соответственно числа протонов и

нейтронов в ядре⁸Li.

R² = r2nm

= r2n + R2n + R²

(10)

^p N

В дальнейшем мы будем отбрасывать расчеты,

√

которые не удовлетворяют условию |A_ℓ| ≤ |A_ℓ|_max.

где

R2p

= 0.851 фм и

〈R2n〉 = 0.864 фм —

Кроме того, в варианте параметризации (4) мы не

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

110

МАЗУР и др.

δ_<, град

150

−

5/2^-

3/2

120

n + ⁸Li

n + ⁸Li*

N_max = 10

N_max = 12

N_max = 14

n + ⁸Li

−

150

3/2₂

7/2^-

n + ⁸Li*

120

n + ⁸Li*

n + ⁸Li

E, МэВ

Рис. 7. Сдвиги фаз рассеяния в разных состояниях в каналах n +⁸Li и n +⁸Li^∗. Вертикальная точечная линия отмечает

порог канала n +⁸Li^∗.

будем использовать результаты с ℏΩ ≥ 30 МэВ,

и соответствующие АНК, полученные в закры-

так как в этой области велико влияние виртуаль-

том канале упругого рассеяния нейтрона на ядре

ного полюса.

⁸Li*(1⁺) в возбужденном состоянии 1⁺. В этом

Результаты экстраполяции SS-HORSE энер-

случае используются результаты МОБИК в ин-

гий основного состояния и соответствующие АНК

тервале 35 ≤ ℏΩ ≤ 42.5 МэВ в силу того, что при

для отобранных данных представлены на рис. 4.

меньших значениях ℏΩ собственные энергии от-

Как отмечалось выше, результаты экстраполя-

носительного движения (2) растут (убывают по

ции энергий основного состояния в SS-HORSE с

абсолютной величине) с ростом N_max, т.е. наруша-

различными параметризациями S-матрицы (фор-

ются условия применимости SS-HORSE. Верхний

мулы (3)-(5)) имеют слабую зависимость от ℏΩ

предел по ℏΩ для канала n +⁸Li* выбран, как

и находятся в разумном согласии с результатами

и прежде, из условия |A_ℓ| ≤ |A_ℓ|_max (на рис. 4

экстраполяции B в области 22.5 ≤ ℏΩ ≤ 32.5 МэВ.

результаты экспоненциальной экстраполяции (6),

Вместе с тем АНК сильно зависят от ℏΩ. Довольно

(7) для энергии в этом канале представлены кривой

резкая зависимость A₁ (ℏΩ) приводит к большой

с прямыми крестиками, а максимальное значение

погрешности. В качестве оценки последней, как

|A_ℓ|_max — штриховой линией). Как следствие то-

для энергий, так и для АНК, мы брали разброс по-

го, что интервал ℏΩ, в котором находятся ото-

лученных результатов в отобранном для расчетов

бранные значения, более узкий, число отобран-

диапазоне ℏΩ. Средние значения энергий и АНК

ных данных и число полученных результатов су-

в соответствующих диапазонах ℏΩ представлены в

щественно меньше. Отметим, что при расчете S-

табл. 1 как результаты для данного канала. Оценки

матрицы в канале n +⁸Li^∗ используются энергии

погрешностей приведены в круглых скобках.

относительного движения, полученные с помощью

Отметим, что результаты как для E_b, так и для

(

)

уравнения (2), где E⁸Li

Nimax,ℏΩⁱ

заменено на

|A₁|, полученные в пространствах N_max = 10 и 12,

(

)

практически совпадают, что говорит о достигнутой

E⁸Li*

Nimax,ℏΩⁱ

, отсчитанные относительно по-

сходимости результатов.

рога n +⁸Li^∗, однако на рис. 4 и в табл. 1 для

На рис. 4 также приведены результаты экстра-

удобства сравнения результатов в разных каналах

поляции SS-HORSE энергий основного состояния мы приводим энергии во всех каналах, отсчитанные

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

111

Таблица 1. Энергии E_b и АНК |A_ℓ| связанных состояний, энергии E_r и ширины Γ резонансных состояний ядра

⁹Li, полученные методом SS-HORSE с взаимодействием Daejeon16 в каналах n +⁸Li и n +⁸Li^∗ c ядром⁸Li

соответственно в основном 2⁺ или возбужденном 1⁺-состояниях и предсказание для энергий и ширин на основе

результатов в обоих каналах в сравнении с результатами NCSMC [12] и извлеченными из эксперимента (значения

E_b, E_r, Γ приведены в МэВ, а |A_ℓ| — в фм-1/2, энергии связи и резонансные энергии отсчитаны от порога реакции

n + ⁸Li)

J^π(⁹Li)

J^π(⁸Li)

Настоящая работа NCSMC

Эксперимент

3/2-1

2⁺

E_b

-3.77(11)

|A₁|

1.0(5)

1.12 [5]; 1.15(14) [6]; 0.96(7) [1]

1⁺

E_b

-4.33(15)

|A₁|

1.9(3)

Предсказание

E_b

-4.1(4)

-2.81

-4.0639 [4]

1/2^-

2⁺

E_b

-0.31(10)

|A₁|

0.11(5)

0.40[5]

1⁺

E_b

-0.38(5)

|A₁|

0.67(15)

Предсказание

E_b

-0.32(12)

-1.14

-1.373(5) [4]

5/2^-

2⁺

E_r

0.50(5)

0.67

0.232(15)[4]

0.37(4)

0.56

0.10(3) [4]

3/2-2

2⁺

E_r

1.8(4)

2.9(3)

1⁺

E_r

1.79(13)

0.50(20)

Предсказание

E_r

1.8(4)

1.41

2.9(3)

0.59

3/2-3

2⁺

E_r

2.25(22)

1.9(5)

1⁺

E_r

1.88(8)

0.50(7)

Предсказание

E_r

2.2(3)

2.65

1.9(5)

2.5(4)

7/2^-

2⁺

E_r

3.03(4)

1.66(3)

1⁺

E_r

2.838(11)

0.056(5)

Предсказание

E_r

2.95(12)

1.66(3)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

112

МАЗУР и др.

от порога n +⁸Li, т.е. к энергиям в канале n +

отрицательные энергии относительного движения,

+⁸Li^∗ прибавляется разность пороговых энергий

полученные в МОБИК, в данном случае мы имеем

крайне ограниченный набор результатов МОБИК.

E_Tr = E⁸Li*∞ - E⁸Li∞ = 1.34 МэВ, полученное экс-

К этим результатам относятся расчеты в МОБИК

траполяцией B c оптимальными значениями ℏΩ

расчетов в МОБИК энергий основного и возбуж-

в модельных пространствах N_max = 10, 12 и 14 в

диапазоне значений ℏΩ от 12.5 до 20 МэВ.

денного состояний⁸Li. Экспериментальное значе-

ние энергии возбуждения состояния 1⁺ в ядре⁸Li

Результаты, для которых выполняется условие

и соответственно разности пороговых энергий —

|A_ℓ| ≤ |A_ℓ|_max, представлены на рис. 6. Видно, что

0.9808 МэВ [4].

результаты c N_max = 12 и/или N_max = 14 близки,

Отметим, что сходимость энергий и АНК в

что говорит о достигнутой сходимости. В связи

канале n +⁸Li^∗ явно хуже, чем в канале рассея-

с ограниченным набором результатов для энергий

ния нейтрона на ядре⁸Li* в основном состоянии.

мы также использовали для нахождения трех па-

Как следствие, в канале n +⁸Li^∗ зависимость от

раметров в параметризациях S-матрицы (3)-(5)

ℏΩ энергии и АНК для основного состояния бо-

три результата из разных модельных пространств

лее сильная, чем в канале n +⁸Li. В результате,

МОБИК, а именно полученные с N_max = 12, ℏΩ =

несмотря на более узкий по ℏΩ интервал, погреш-

= 12.5 МэВ и с N_max = 14, ℏΩ = 12.5 МэВ и

ности расчетов в обоих каналах сравнимы (см.

15 МэВ. На рис. 6 видно, что эти результаты, обо-

табл. 1).

значенные в легенде как N_max = 12-14, фактиче-

Результаты экстраполяции энергии связи ядра

ски совпадают с результатами из индивидуальных

модельных пространств как для энергии, так и для

⁹Li в обоих каналах в идеале должны совпадать, так

АНК.

как S-матрица должна иметь полюсы при одной

и той же энергии во всех каналах. Но в наших

Относительный разброс значений |A₁| доста-

расчетах энергии E_b в канале n +⁸Li^∗ отличают-

точно велик, что отражается в большой неопреде-

ся от результатов, полученных в канале n +⁸Li,

ленности результата (см. табл. 1).

примерно на 0.6 МэВ. Для оценки погрешности

энергии на основе всего подхода мы использовали

Мы также произвели расчеты для первого воз-

разброс полученных значений E_b в обоих каналах,

бужденного состояния 1/2^- ядра⁹Li в канале n +

а значение энергии в середине этого разброса мы

+⁸Li^∗. В этом случае мы действовали так же, как

приводим в строке “Предсказание” в табл. 1.

и в предыдущем случае канала n + ⁸Li. Результаты

Энергия основного состояния 3/2^- ядра⁹Li,

представлены на рис. 6. Результаты для E_b для двух

полученная в наших расчетах в SS-HORSE-

каналов согласуются между собой и с результа-

МОБИК с NN-взаимодействием Daejeon16, сов-

тами экстраполяции B для данных значений ℏΩ.

падает с экспериментальным значением в отличие

Окончательный результат представлен в табл. 1 с

от предсказания NCSMC [12], в соответствии с

погрешностью, обусловленной разбросом резуль-

которым состояние 3/2^- лежит выше и, соответ-

татов в разных каналах, полученных с различными

ственно, ближе к порогу n +⁸Li на 1.3 МэВ.

ℏΩ и N_max = 12 и 14. В отличие от основного

Наши предсказания для АНК в основном со-

состояния⁹Li, наши предсказания энергии перво-

стоянии в канале n+⁸Li в пределах оцененной по-

го возбужденного состояния хуже воспроизводят

грешности согласуется со значениями, полученны-

экспериментальные данные по сравнению с расче-

ми на основе анализа экспериментальных данных,

тами NCSMC: в соответствии с нашими расчетами

которые приводятся в табл. 1. Оценки АНК в кана-

состояние 1/2^- лежит выше и гораздо ближе к

ле n +⁸Li^∗ на основе эксперимента отсутствуют.

порогу n +⁸Li, чем на эксперименте, в то время

На рис. 5 представлены собственные энергии

как NCSMC предсказывает это состояние немного

МОБИК относительного движения нуклона и яд-

ниже эксперимента. Если же сравнивать энергии

ра⁸Li в канале n +⁸Li, полученные по формуле

возбуждения состояния 1/2^-, то у нас она ока-

(2) для связанного первого возбужденного состо-

зывается равной 3.7 МэВ, в расчетах NCSMC —

яния 1/2^- ядра⁹Li. В соответствии с условиями,

1.67 МэВ, а в эксперименте — 2.691 МэВ. Таким

которые мы обсуждали выше, а также учитывая

образом, мы примерно на 1 МэВ завышаем, а

дополнительно, что для применимости метода SS-

NCSMC примерно на 1 МэВ занижает энергию

HORSE можно использовать только интервалы

возбуждения этого состояния.

ℏΩ, где собственные энергии относительного дви-

жения для данного N_max растут c ростом ℏΩ, и что

Для АНК в канале n +⁸Li состояния 1/2^- мы

для экстраполяции в рамках SS-HORSE энергий

получили несколько меньшее значение, чем полу-

связанных состояний разумно использовать только

ченное из анализа экспериментальных данных.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

113

3. РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ

провести численный поиск положения полюсов S-

матрицы. Действительная и мнимая части импуль-

Перейдем к исследованию резонансных состо-

са в полюсе S-матрицы в нижней полуплоскости

яний ядра⁹Li в подходе SS-HORSE, который

комплексных импульсов задают энергию и ширину

раньше успешно применялся для изучения резо-

резонанса.

нансных состояний в ядрах⁵He и⁵Li [17-21],⁷He

В таком подходе были рассмотрены резонанс-

[49], а также в тетранейтроне [22]. Как отмеча-

ные состояния 5/2^-, 3/2-2, 3/2-3 и 7/2^-. Рассчи-

лось выше, эта задача актуальна в силу того, что

танные энергии и ширины приведены в табл. 1, а

на данный момент экспериментальная информация

соответствующие сдвиги фаз резонансного рассе-

крайне скудна.

яния представлены на рис. 7.

Для исследования резонансных состояний в

Нижайший резонанс 5/2^- может наблюдаться

SS-HORSE мы используем параметризацию

функции эффективного радиуса

только в упругом канале рассеяния n +⁸Li. Ка-

нал с возбужденным состоянием ядра⁸Li* закрыт.

K_ℓ(E) = k2ℓ+1 cot δ_ℓ,

(11)

Рассчитанные значения энергии и ширины резо-

нанса близки к экспериментальным значениям, но

^√2μE

где k =

, сдвиг фазы рассеяния δ_ℓ связан с

несколько больше их; отметим, что исследование

ℏ

в NCSMC [12] привело к еще немного большей

S-матрицей:

энергии и ширине этого резонанса.

S_ℓ = e2iδℓ .

(12)

Следующими состояниями в МОБИК являются

3/2-2 и 3/2-3, которые достаточно близки по энерги-

В SS-HORSE функция эффективного радиуса для

ям. Эти резонансы получились довольно широкими

энергий, полученных в МОБИК, может быть рас-

в канале n +⁸Li. В канале n +⁸Li^∗ мы получили

считана по формуле [17]:

весьма близкие энергии этих резонансов, но суще-

C_ℵi+2,ℓ (Ei

)

ственно меньшую ширину. Это неудивительно, так

K_ℓ (E_i) = -k2ℓ+1

(13)

как эти резонансы лежат при энергии, близкой к

S_ℵi+2,ℓ (Ei)

порогу данного канала. Таким образом, фаза рас-

В качестве энергий E_i для каждого из резонансных

сеяния в этих состояниях при уменьшении энергии

состояний мы по-прежнему должны использовать

(см. рис. 7) в районе резонанса должна быстро

собственные энергии относительного движения,

опускаться к нулю на пороговом значении энергии.

рассчитанные по формуле (2).

Следовательно, по поведению фазы и связанной с

Как и в случае связанных состояний, для при-

ней S-матрицы в данном канале невозможно сде-

менения SS-HORSE необходимо провести отбор

лать вывод о ширинах этих резонансов. Поэтому

результатов, и только после этого функцию эффек-

в строке “Предсказание” табл. 1 для ширин ре-

тивного радиуса можно параметризовать с учетом

зонансов 3/2-2 и 3/2-3 мы игнорируем результаты,

аналитических свойств амплитуды рассеяния [19-

полученные в канале n +⁸Li^∗, и приводим ширины

21]. Как известно (см., например, [45]), функция

на основе расчетов в канале n +⁸Li. Отметим, что

K_ℓ (E) может быть представлена в виде ряда по

аналогичную ситуацию мы наблюдали для резонан-

четным степеням импульса k или в виде ряда по це-

са 1/2^- в ядре⁷He [49]. Этот резонанс с шириной

лым степеням энергии E. Однако параметризация

более 4 МэВ в канале n +⁶He^∗ с ядром⁶He в

K_ℓ (E) в виде ряда опасна, так как при ненулевых

возбужденном состоянии 2⁺ лежит при энергии

энергиях, в которых фаза δ_ℓ принимает значения 0,

меньше 1 МэВ от порога этого канала. Соответ-

±π, ±2π, ..., функция K_ℓ (E) принимает бесконеч-

ственно в данном канале невозможно описать ши-

ные значения и не может быть описана конечным

рину этого резонанса, и в качестве окончательного

рядом. Поэтому мы параметризовали функцию эф-

результата мы приводили в работе [49] ширину

фективного радиуса Паде-аппроксимантом:

этого резонанса, полученную в канале n +⁶He с

v₀ + v₁E + v₂E

ядром⁶He в основном состоянии.

K_ℓ (E) =

(14)

1+q₁E

Отметим, что полученные нами резонансные со-

Здесь величины v₀, v₁, v₂ и q₁ являются парамет-

стояния 3/2-2 и 3/2-3 имеют энергии возбуждения

рами подгонки. Как видно из уравнений (11) и (12),

соответственно 5.9(4) МэВ и 6.3(3) МэВ, что близ-

S-матрицу можно легко выразить через K_ℓ (E),

ко по энергии к наблюдавшемуся на эксперименте

и, рассчитав подгоночные параметры в выражении

резонансу с энергией возбуждения 5.38 МэВ [4],

(14), мы получаем простое аналитическое выра-

ширина которого 600 ± 100 кэВ, впрочем, суще-

жение для S-матрицы. Это выражение можно ис-

ственно меньше наших предсказаний. В расчетах

пользовать в комплексной плоскости импульса k и

в NCSMC получен резонанс 3/2-2 , который имеет

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

114

МАЗУР и др.

ширину 590 кэВ. Отсчитанный от порога n +⁸Li,

Наше предсказание для АНК в основном со-

он лежит при энергии примерно на 0.8 МэВ ниже

стоянии в канале n +⁸Li согласуется в пределах

нашего. Однако энергия возбуждения этого резо-

погрешности со значениями, полученными на ос-

нанса в расчетах NCSMC существенно меньше,

нове анализа экспериментальных данных. Оценки

так как основное состояние в NCSMC лежит на

АНК в канале n +⁸Li^∗ на основе эксперимента

1.3 МэВ выше нашего.

отсутствуют.

Мы получили также в канале n +⁸Li срав-

В отличие от основного состояния⁹Li, наши

нительно широкий низколежащий резонанс 7/2^-,

предсказания энергии первого возбужденного со-

перекрывающийся с резонансами 3/2-2 и 3/2-3 (см.

стояния 1/2^- по сравнению с расчетами NCSMC

рис. 7 и табл. 1). В канале n +⁸Li^∗ ширина этого

хуже воспроизводят экспериментальные данные:

резонанса поджата не только близким порогом, но

энергия возбуждения состояния 1/2- в наших

и центробежным барьером, обусловленным орби-

расчетах равна 3.7 МэВ, в расчетах NCSMC —

тальным моментом ℓ = 3. Поэтому в строке “Пред-

1.67

МэВ, а экспериментальное значение —

сказание” табл. 1 для ширины этого резонанса мы

2.691

МэВ. Таким образом, мы примерно на

также игнорируем результат, полученный в канале

1 МэВ завышаем, а NCSMC примерно на 1 МэВ

n+⁸Li^∗. Отметим, впрочем, что в эксперименте на-

занижает энергию возбуждения этого состояния.

блюдался узкий резонанс с энергией возбуждения

6.43(15) МэВ и шириной 40 ± 20 кэВ, а энергия

Для АНК в канале n +⁸Li состояния 1/2^- мы

возбуждения резонанса 7/2^- в наших расчетах

получили несколько меньшее значение, чем полу-

ченное из анализа экспериментальных данных.

7.1(4) МэВ оказывается близкой к этому значению.

Ширина же этого резонанса в канале n +⁸Li^∗

Нижайший резонанс 5/2^- может наблюдаться

cоставляет 56(5) кэВ, что хорошо согласуется с

только в упругом канале рассеяния n +⁸Li. Ка-

шириной резонанса 6.43(15) МэВ. В расчетах в

нал с возбужденным состоянием ядра⁸Li* закрыт.

NCSMC также наблюдался очень узкий резонанс

Рассчитанные значения энергии и ширины резо-

7/2^- при близких энергиях, параметры которого не

нанса близки к экспериментальным, но несколько

приводятся в работе [12].

больше их, а энергия и ширина этого резонанса,

В исследовании состояний положительной чет-

полученные в NCSMC, еще немного больше.

ности ядра⁹Li мы не обнаружили низколежащих

Близкие по энергиям перекрывающиеся резо-

резонансов.

нансы 3/2-2 и 3/2-3 получились довольно широ-

кими. Они существенно превосходят по ширине

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

наблюдавшийся в той же области энергий резо-

нанс неизвестной спин-четности с энергией воз-

В методе SS-HORSE на основе расчетов ab

буждения 5.38 МэВ и шириной 600 ± 100 кэВ [4].

initio ядер

⁹Li и 8Li, выполненных в МОБИК

В NCSMC получен резонанс 3/2-2 с близкой к

с нуклон-нуклонным взаимодействием Daejeon16,

исследованы связанные и резонансные состояния

эксперименту шириной 590 кэВ, однако энергия

возбуждения этого резонанса в расчетах NCSMC

ядра⁹Li.

оказалось существенно меньше.

В основе метода SS-HORSE лежат аналити-

ческие свойства S-матрицы, что позволяет осу-

В канале n +⁸Li мы получили сравнительно

ществить расчет ее полюсов. Это дает возмож-

широкий резонанс 7/2^-, перекрывающийся с ре-

ность осуществить для энергий связанных со-

зонансами 3/2-2 и 3/2-3. В канале n +⁸Li^∗ с ядром

стояний экстраполяцию результатов МОБИК на

⁸Li в возбужденном состоянии 1⁺ этот резонанс

случай бесконечного базиса, причем SS-HORSE-

поджат как близким порогом, так и центробеж-

экстраполяция, в отличие от других разработан-

ным барьером, поэтому ширина этого резонанса,

ных методов экстраполяций, является теоретиче-

полученная в канале n +⁸Li^∗, нам представляется

ски обоснованной. Кроме этого, метод SS-HORSE

позволяет определить АНК в связанных состоя-

существенно заниженной. Отметим, впрочем, что в

ниях.

эксперименте наблюдается узкий резонанс с энер-

гией возбуждения 6.43(15) МэВ и шириной 40 ±

Энергия основного состояния 3/2^- ядра⁹Li, по-

лученная в наших расчетах, совпадает с экспери-

± 20 кэВ. Энергия возбуждения резонанса 7/2^- в

ментальным значением в отличие от предсказания

наших расчетах 7.1(4) МэВ близка к этому значе-

подхода NCSMC [12] c межнуклонными взаимо-

нию, как и его ширина, для которой в канале n +

действиями киральной эффективной теории поля,

+⁸Li^∗ мы получили значение 56(5) кэВ. В расчетах

в котором состояние 3/2^- лежит выше и, соответ-

в NCSMC также наблюдался очень узкий резонанс

ственно, ближе к порогу n +⁸Li на 1.25 МэВ.

7/2^- при близких энергиях.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

СВЯЗАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДРА

115

В исследованиях состояний положительной

18.

I. A. Mazur, A. M. Shirokov, A. I. Mazur, and

четности ядра⁹Li мы не обнаружили низколежа-

J. P. Vary, Phys. Part. Nucl. 48, 84 (2017).

щих резонансов.

19.

Л. Д. Блохинцев, A. И. Мазур, И. A. Мазур,

Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 102 (2017)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант

[Phys. At. Nucl. 80, 226 (2017)].

№ 20-02-00357) и Министерства науки и выс-

20.

Л. Д. Блохинцев, A. И. Мазур, И. A. Мазур,

шего образования Российской Федерации (проект

Д. А. Савин, А. М. Широков, ЯФ 80, 619 (2017)

№ 0818-2020-0005) с использованием ресурсов

[Phys. At. Nucl. 80, 1093 (2017)].

ЦКП “Центр данных ДВО РАН”.

21.

A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur,

E. A. Mazur, I. J. Shin, Y. Kim, L. D. Blokhintsev,

Исследование также была частично поддер-

and J. P. Vary, Phys. Rev. C 98, 044624 (2018).

жано Министерством энергетики США в рамках

22.

A. M. Shirokov, G. Papadimitriou, A. I. Mazur,

грантов DE-FG02-87ER40371 и DE-SC0023495

I. A. Mazur, R. Roth, and J. P. Vary, Phys. Rev. Lett.

(SciDAC5/NUCLEI), а также Министерством на-

117, 182502 (2016).

уки и ИКТ и Национальным исследовательским

23.

А. М. Широков, А. И. Мазур, В. А. Куликов, ЯФ

фондом Кореи (2013M7A1A1075764).

84, 111 (2021) [Phys. At. Nucl. 84, 131 (2021)].

24.

H. Zhan, A. Nogga, B. R. Barrett, J. P. Vary, and

P. Navr ´atil, Phys. Rev. C 69, 034302 (2004).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

25.

P. Maris, J. P. Vary, and A. M. Shirokov, Phys. Rev. C

79, 014308 (2009).

V. Guimar ˜aes, O. Camargo, R. Lichtenth ¨aler, et al.,

26.

S. A. Coon, M. I. Avetian, M. K. G. Kruse, U. van

PoS (NIC-IX), 108 (2010).

Kolck, P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Rev. C 86,

J. G ¨orres, H. Herndl, I. J. Thompson, and M. Wie-

054002 (2012).

scher, Phys. Rev. C 52, 2231 (1995).

27.

S. A. Coon, in Proceedings of the International

V. D. Efros, W. Balogh, H. Herndl, R. Hofinger, and

Conference “Nuclear Theory in the Supercom-

H. Oberhummer, Z. Phys. A 355, 101 (1996).

puting Era — 2012” (NTSE-2012), Khabarovsk,

D. R. Tilley, J. H. Kelley, J. L. Godwin, D. J. Milener,

Russia, June 18-22, 2012, Ed. by A. M. Shirokov

J. E. Purcell, C. G. Sheu, and H. R. Weller, Nucl.

and A. I. Mazur (Pacific National University,

Phys. A 745, 155 (2004).

Khabarovsk, 2013), p. 171;

J. T. Huang, C. A. Bertulani, and V. Guimar ˜aes, At.

http://ntse.khb.ru/files/uploads/2012/proceedings/

Data Nucl. Data Tables 96, 824 (2010).

S_Coon.pdf

B. Guo, Z. H. Li, W. P. Liu, X. X. Bai, G. Lian,

28.

R. J. Furnstahl, G. Hagen, and T. Papenbrock, Phys.

S. Q. Yan, B. X. Wang, S. Zeng, J. Su, and Y. Lu,

Rev. C 86, 031301(R) (2012).

Nucl. Phys. A 761, 162 (2005).

29.

S. N. More, A. Ekstr ¨om, R. J. Furnstahl, G. Hagen,

Z. Mao and A. Champagne, Nucl. Phys. A 522, 568

and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 87, 044326 (2013).

(1991).

30.

M. K. G. Kruse, E. D. Jurgenson, P. Navr ´atil,

H.-L. Ma, B.-G. Dong, Y.-L. Yan, and X.-Z. Zhang,

B. R. Barrett, and W. E. Ormand, Phys. Rev. C 87,

Eur. Phys. J. A 48, 125 (2012).

044301 (2013).

P. Mohr, Phys. Rev. C 67, 065802 (2003).

31.

R. J. Furnstahl, S. N. More, and T. Papenbrock, Phys.

10.

P. Descouvemont, Astrophys. J. 405, 518 (1993).

Rev. C 89, 044301 (2014).

11.

S. B. Dubovichenko and A. V. Dzhazairov-

32.

D. S ¨a ¨af and C. Forss ´en, Phys. Rev. C 89, 011303(R)

Kakhramanov, Astrophys. J. 819, 78 (2016).

(2014).

12.

C. McCracken, P. Navr ´atil, A. McCoy, S. Quaglioni,

33.

S. K ¨onig, S. K. Bogner, R. J. Furnstahl, S. N. More,

and G. Hupin, Phys. Rev. C 103, 035801 (2021).

and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 90, 064007 (2014).

13.

M. Piarulli, A. Baroni, L. Girlanda, A. Kievsky,

34.

R. J. Furnstahl, G. Hagen, T. Papenbrock, and

A. Lovato, E. Lusk, L. E. Marcucci, S. C. Pieper,

K. A. Wendt, J. Phys. G 42, 034032 (2015).

R. Schiavilla, M. Viviani, and R. B. Wiringa, Phys.

35.

K. A. Wendt, C. Forss ´en, T. Papenbrock, and D. S ¨a ¨af,

Rev. Lett. 120, 052503 (2018).

Phys. Rev. C 91, 061301(R) (2015).

14.

A. M. Shirokov, V. A. Kulikov, P. Maris, and J. P. Vary,

36.

S. A. Coon and M. K. G. Kruse, Int. J. Mod. Phys. E

in NN and 3N Interactions, Ed. by L. D. Blokhintsev

25, 1641011 (2016).

and I. I. Strakovsky (Nova Science, Hauppauge, NY,

37.

D. Odell, T. Papenbrock, and L. Platter, Phys. Rev. C

2014), Chap. 8, p. 231;

93, 044331 (2016).

https://novapublishers.com/wp-

38.

I. J. Shin, Y. Kim, P. Maris, J. P. Vary, C. Forss ´en,

content/uploads/2019/05/Bindings-and-Spectra-

J. Rotureau, and N. Michel, J. Phys. G 44, 075103

of-Light-Nuclei-with-JISP16.pdf

(2017).

15.

B. R. Barrett, P. Navr ´atil, and J. P. Vary, Prog. Part.

39.

G. A. Negoita, G. R. Luecke, J. P. Vary, P. Maris,

Nucl. Phys. 69, 131 (2013).

A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng,

16.

A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, M. Sosonkina,

and C. Yang, in Proceedings of the Ninth

P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Lett. B 761, 87 (2016).

International Conference on Computational

17.

A. M. Shirokov, A. I. Mazur, I. A. Mazur, and

Logics, Algebras, Programming, Tools, and

J. P. Vary, Phys. Rev. C 94, 064320 (2016).

Benchmarking (COMPUTATION TOOLS 2018),

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

116

МАЗУР и др.

Feb. 18-22, 2018, Barcelona, Spain (IARIA, 2018),

45. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рас-

p. 20; arXiv: 1803.03215 [physics.comp-ph].

сеяние, реакции и распады в нерелятивистской

40.

G. A. Negoita, J. P. Vary, G. R. Luecke, P. Maris,

квантовой механике (Наука, Москва, 1971).

A. M. Shirokov, I. J. Shin, Y. Kim, E. G. Ng, C. Yang,

46. A. G. Negoita, PhD Thesis (Iowa State University,

M. Lockner, and G. M. Prabhu, Phys. Rev. C 99,

2010), ProQuest 3418277;

054308 (2019).

http://gradworks.umi.com/3418277.pdf

41.

W. G. Jiang, G. Hagen, and T. Papenbrock, Phys. Rev.

C 100, 054326 (2019).

47. L.-B. Wang, P. Mueller, K. Bailey, G. W. F. Drake,

42.

J. M. Bang, A. I. Mazur, A. M. Shirokov, Yu. F. Smir-

J. P. Greene, D. Henderson, R. J. Holt, R. V. F. Jan-

nov, and S. A. Zaytsev, Ann. Phys. (NY) 280, 299

ssens, C. L. Jiang, Z.-T. Lu, T. P. O‘Connor,

(2000).

R. C. Pardo, K. E. Rehm, J. P. Schiffer, and

43.

A. M. Shirokov, Yu. F. Smirnov, and S. A. Zaytsev,

X. D. Tang, Phys. Rev. Lett. 93, 142501 (2004).

in Modern Problems in Quantum Theory, Ed. by

48. R. L. Workman et al. (Particle Data Group), Prog.

V. I. Savrin and O. A. Khrustalev (Moscow State

Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022).

University, Moscow, 1998), p. 184.

49. I. A. Mazur, A. M. Shirokov, I. J. Shin, A. I. Mazur,

44.

С. А. Зайцев, Ю. Ф. Смиронов, А. М. Широков,

Y. Kim, P. Maris, and J. P. Vary, Phys. Rev. C 106,

ТМФ 117, 227 (1998) [Theor. Math. Phys. 117, 1291

(1998)].

064320 (2022); arXiv: 2207.0736.

⁹Li BOUND AND RESONANT STATES WITH N N INTERACTION

Daejeon16

I. A. Mazur^1),2), A. I. Mazur¹⁾, V. A. Kulikov³⁾, А. М. Shirokov³⁾, I. J. Shin⁴⁾, Y. Kim⁴⁾,

P. Maris⁵⁾, J. P. Vary⁵⁾

¹⁾Pacific National University, Khabarovsk, Russia

²⁾Center for Exotic Nuclear Studies, Institute for Basic Science, Daejeon, Republic of Korea.

³⁾Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

⁴⁾Rare Isotope Science Project, Institute for Basic Sciense, Daejeon, Republic of Korea

⁵⁾Department of Physics and Astronomy, Iowa State University, Ames IA, USA

Presented are the results for⁹Li bound state energies and asymptotic normalization coefficients as well

as for energies and widths of the low-lying⁹Li resonances. These studies were performed within the SS-

HORSE method based on ab initio No-Core Shell Model calculations with nucleon-nucleon interaction

Daejeon16.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023