ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 1, с. 42-56

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

ПРИ ФОТОННОМ СЛИЯНИИ НА LHC

Поступила в редакцию 25.06.2022 г.; после доработки 08.07.2022 г.; принята к публикации 13.07.2022 г.

Оценены однопетлевые электрослабые радиационные поправки к процессу рождения дилептонов в

канале фотонного слияния при адронных столкновениях для экспериментальной программы Большого

адронного коллайдера (Large Hadron Collider, LHC) по изучению процесса Дрелла-Яна. Проделан

подробный численный анализ эффектов электрослабых радиационных поправок к наблюдаемым

величинам (сечениям и асимметрии вперед-назад) в широкой кинематической области, в том числе

для эксперимента CMS LHC в режиме Run3/HL, который соответствует сверхвысоким энергиям и

инвариантным массам лептонной пары.

DOI: 10.31857/S0044002723010634, EDN: RICKNF

1. ВВЕДЕНИЕ

ших инвариантных массах лептонной пары (дилеп-

тона) l^-l⁺.

Изучение процесса рождения лептонной пары

Процесс рождения лептонной пары в адрон-

в столкновениях адронов обладает значительным

ных столкновениях, который впервые теоретически

потенциалом с точки зрения открытия новых фи-

был описан в работах [8, 9] (С. Дрелл, Д. Ян)

зических явлений. Так, в начале 1980-х гг. в экс-

и [10] (В. Матвеев, Р. Мурадян, А. Тавхелидзе),

периментах на протонном коллайдере в CERN

а экспериментально исследован в BNL [11], по-

коллаборациям UA1 и UA2 удалось обнаружить

служил становлению КХД как теории, адекват-

переносчики слабого взаимодействия: W -бозоны

но описывающей сильные взаимодействия. Кварк-

[1] и Z-бозоны [2]. В настоящий момент в сходных

партонная модель (КПМ), соответственно, стала

экспериментах на адронном коллайдере LHC осу-

рабочим инструментом для расчетов в этой области

ществляется тестирование энергетического мас-

физики высоких энергий. В современной литерату-

штаба выше ТэВ и поиск на нем отклонений от

ре принято различать процесс Дрелла-Яна (рож-

Стандартной модели (СМ) — явлений Новой фи-

дение дилептона в адронных столкновениях по-

зики (НФ): суперсимметричных партнеров извест-

средством аннигиляции кварк-антикварковой пары

ных частиц [3], проявлений (супер)струнной теории

через виртуальный фотон или Z-бозон, в работе

и симбиоза теории струн и суперсимметрии —

будем его обозначать “DY”) и другие подобные

M -теории (теории миров на бранах) [4], частиц-

процессы рождения дилептона, где также имеются

кандидатов на Темную материю (dark matter) [5],

в виду столкновения адронов, но дилептон рож-

аксионов [частиц, введение которых объясняет от-

дается посредством другого механизма. Одной из

сутствие нарушения CP -симметрии в квантовой

таких возможностей является двухфотонный меха-

хромодинамике (КХД)] [6], ультраслабо взаимо-

низм (two-photon exchange mechanism) образова-

действующих частиц (feebly interacting particles)

ния дилептона или рождение дилептона при фотон-

[7]. Обнаружение следов НФ является одной из

фотонном (или просто фотонном) слиянии (dilepton

главных перспектив развития современной физики.

production via γγ-fusion), в настоящей работе этот

Есть надежда, что поиск явлений НФ увенчается

механизм будем обозначать как “γγ”.

успехом после тщательного исследования наблю-

В 2022-2024 гг. на LHC будет проходить этап

даемых величин процесса Дрелла-Яна при боль-

Run3, в котором будет реализована максимальная

√

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

запланированная энергия протонов

S = 14 ТэВ

Россия.

(в системе их центра масс), собрана статистика

²⁾Гомельский государственный университет им. Ф. Скори-

до 300 фбн-1 и промерена область по инвари-

ны, Гомель, Беларусь.

антной массе лептонной пары M примерно от 4.6

³⁾Белорусский торгово-экономический университет потре-

бительской кооперации, Гомель, Беларусь.

до 5.2 ТэВ. Следующий этап работы LHC 2027-

^*E-mail: zykunov@cern.ch

2038 гг., на котором планируется собрать ста-

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

тистику в 3000 фбн-1, будет называться High-

центра масс адронов (с.ц.м.а.) запишем так: E_A +

√

Luminosity (HL) LHC, на нем планируется достичь

+E_B =

S. Возможные механизмы, по которым

области M до 6.2 ТэВ. Если энергии, которые будут

осуществляется реакция (1) на партонном уровне,

достигнуты на Run3/HL LHC, соответствуют пре-

изображены на рис. 1: а — рождение дилептона

делам применимости СМ, то, по всей видимости,

путем аннигиляции кварка и антикварка (процесс

НФ проявится в экспериментах на LHC не через

Дрелла-Яна), б — рождение дилептона путем фо-

прямое обнаружение новых частиц и/или новых

тонного слияния. Аналитическое и численное срав-

явлений, а по довольно небольшим отклонениям

нение этих двух механизмов произведено в работе

от предсказаний СМ. Обнаружение новых физиче-

[13], там же изучены электромагнитные поправки

ских явлений по такому сценарию возможно только

(ЭМП) для фотонного слияния, изложение там и

в ходе крайне точного (прецизионного) сравнения

в настоящей статье проводится в духе работы [12],

полученных экспериментальных данных с предска-

где подробно изложена методика расчета электро-

заниями теории.

слабых и КХД-поправок для процесса Дрелла-

Все вышесказанное требует соответствующего

Яна.

улучшения точности теоретического описания ис-

Безрадиационное рождение дилептона путем

следуемых процессов, протекающих в микромире,

фотонного слияния на партонном уровне имеет вид

и обеспечения экспериментов на Run3/HL LHC

надежными и прецизионными программами учета

γ(p₁) + γ(p₂) → l^-(p₃) + l⁺(p₄),

(2)

не только лидирующего порядка теории возмуще-

фейнмановские диаграммы, которые ему соответ-

ний, но и более высоких ее порядков. Традици-

ствуют в борновском приближении, приведены на

онно они называются радиационными эффектами

рис. 2. Обозначения на диаграмме рис. 2а сле-

или эффектами радиационных поправок (radiative

дующие: p₁ (p₂) — 4-импульс первого (второго)

corrections, RC). К настоящему моменту имеется

фотона; p₃ (p₄) — 4-импульс конечного лептона

большое количество разнообразных, взаимодопол-

няющих друг друга программ и компьютерных ко-

l- (антилептона l+) с массой m. Согласно кварк-

дов, посвященных этой проблеме, их обзор сделан,

партонной модели 4-импульсы адрона и партона

например, в работе [12]. В ней также приведено фи-

пропорциональны:

зическое содержание одной из таких программ —

p₁ = x₁P_A, p₂ = x₂P_B,

(3)

READY (Radiative corrEctions to lArge invariant

mass Drell-Yan process), разработанной автором

где коэффициенты x₁ и x₂ — это доли импульса,

для оценки электрослабых и КХД-поправок для

которые забирают партоны (в данном случае —

процесса Дрелла-Яна.

фотоны) от родительского адрона.

В предыдущей работе [13] была описана про-

цедура учета однопетлевых электромагнитных ра-

диационных поправок для процесса рождения ди-

3. КОНВОЛЮЦИЯ И КИНЕМАТИКА

лептонов в адронных столкновениях посредством

Чтобы построить в рамках КПМ сечение про-

механизма γγ-слияния с акцентом на корректный

цесса (1), нужно учесть все возможности образо-

учет жесткого тормозного излучения. В настоящей

вания дилептона из адронов, допустимые законами

работе будет описан вклад однопетлевых электро-

сохранения, и отобрать те конфигурации, которые

слабых радиационных поправок (ЭСП) для γγ-

допустимы кинематически — провести конволю-

механизма. Проделан численный анализ эффек-

цию. Физически она основана на гипотезе факто-

тов ЭСП к наблюдаемым сечениям и асиммет-

ризации [14], а математически записывается в виде

рии вперед-назад во всей кинематической области,

формулы полной вероятности:

для чего были расширены возможности программы

READY. В настоящей работе (как и в [13]) основное

dσ^hC = f^Aγ(x₁)dx₁ f^Bγ(x₂)dx₂ dσ^γγC Θ,

(4)

внимание будет уделено условиям эксперимента

CMS LHC в режиме Run3/HL.

где dσ^hC

— сечение процесса (1), dσγγC — се-

чение процесса (2). Символом f^hγ(x) ≡ f^hγ(x, Q²)

2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА

обозначаются функции партонных распределений

(parton distribution function, PDF), которые имеют

Объектом изучения является процесс рождения

следующий (вероятностный) смысл: f^hγ(x)dx — это

лептонной пары в столкновении неполяризованных

адронов h_A и h_B:

вероятность нахождения в адроне h фотона с долей

импульса от x до x + dx при заданном Q² —

h_A(P_A) + h_B(P_B) → l^-(p₃) + l⁺(p₄) + X

(1)

энергетическом масштабе (resolution scale) реак-

(в скобках указаны обозначения 4-импульсов ча-

ции. Заметим, что существуют и другие подходы

стиц). Полную энергию реакции (1) в системе

для расчета сечения процесса рождения дилептона,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

h_A

l ^-

h_A

l ^-

h_B

l ⁺

h_B

l ⁺

Рис. 1. Процесс рождениядилептона в адронных столкновениях:а — процессДрелла-Яна с виртуальным фотоном,б —

механизм фотонного слияния. На линиях указаны названия частиц.

p₁

p₃

p₂

-p₄

Рис. 2. Фейнмановские диаграммы процесса γγ → l^-l⁺ в борновском приближении.

cosθ

cos

1.0

0.5

−0.5

-0.5

-1.0

-2

-1

-2

-1

Рис. 3. а — Области интегрирования для сечений вперед σ^hF и назад σ^hB в переменных y и C (C = cos θ) (границы

описываются уравнениями y = 0, C = th y, cos θ = ±ζ^∗ и cos α = ±ζ^∗), б — разыгранные с помощью программы

VEGAS [19] события, соответствующие области “назад” (точки).

индуцированного γγ-механизмом, например, в ра-

зависимость от требуемых переменных и проинте-

боте [15] для построения сечения был использован

грировать по остальным в области фазового объе-

формализм адронного тензора.

ма, допустимой кинематикой реакции и возможно-

Чтобы из (4) получить наблюдаемое сечение,

стями детектора. Такое интегрирование несложно

в фазовом пространстве реакции нужно выделить обеспечить с помощью фактора Θ, который мате-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

А_FB

order) полные ЭСП, которые состоят из двух

вкладов

— электромагнитного (C = QED) и

|y| < 2.5

уже определенного слабого (C = WRC), так что

0.3

NLO = QED + Z + W .

Для описания безрадиационного процесса

достаточно трех партонных лоренц-инвариантов

0.2

Мандельштама:

s = (p₁ + p₂)², t = (p₁ - p₃)²,

(8)

2 - p3)².

u = (p

0.1

Другие три лоренц-инварианта:

s₁ = (p₃ + p₄)², t₁ = (p₂ - p₄)²,

u₁ = (p₁ - p₄)²

LO, DY

LO, DY + γγ

нужны для описания радиационной кинематики.

В безрадиационном случае выполняются соотно-

0.05

0.10

0.50

шения: s ≡ s₁, t ≡ t₁, u ≡ u₁. Инвариантная масса

M, ТэВ

дилептона определяется так:

√

Рис. 4. Борновские асимметрии вперед-назад рожде-

M =

(p₃ + p₄)²,

(9)

ния димюона в зависимости от M в условиях CMS

LHC: механизм Дрелла-Яна (тонкая кривая), с учетом

в безрадиационном случае, конечно, M =

√s.

обоих механизмов — Дрелла-Яна и фотонного слия-

Адронные инварианты вводятся по аналогии с

ния (жирная кривая).

партонными (заметим, что ŝ ≡ S, в современной

литературе одинаково часто используются оба этих

обозначения для квадрата полной энергии реакции

матически представляет собой произведение трех

(1) в с.ц.м.а.):

комбинаций θ-функций:

Θ=Θ_θΘ_αΘ_T.

(5)

ŝ = (P_A + P_B)²,

t=(PA - p₃)²,

Первые две задают ограничения по углам рассея-

û = (P_B - p₃)²,

t₁ = (P_B - p₄)²,

ния лептона (θ) и антилептона (α):

û₁ = (P_A - p₄)².

Θ_θ = Θ(ζ^∗ - cosθ)Θ(ζ^∗ + cos θ),

(6)

Во всей работе последовательно используется уль-

Θ_α = Θ(ζ^∗ - cos α)Θ(ζ^∗ + cos α),

трарелятивистское приближение (УРП): лоренц-

инварианты по абсолютной величине много больше

последняя — на поперечную часть 3-импульса

квадратов фермионных масс (массу лептона следу-

лептона и антилептона:

ет удерживать только в аргументах коллинеарных

Θ_T = Θ(p_T (l^-) - pminT)Θ(p_T (l⁺) - pminT).

(7)

логарифмов, относящихся к ЭМП-части). Соглас-

но КПМ (3) партонные и адронные инварианты в

Все величины из этих выражений подробно объ-

УРП связаны простыми соотношениями:

яснены ниже (см., например, описание ζ^∗ и pminT в

разд. 6) и/или в работе [13], использовать их нужно

ŝ=

t=t

û=

(10)

x₁x₂

x₁

x₂

в зависимости от кинематики (безрадиационная

или радиационная).

t₁ =t1

û₁ =

u₁ .

Нижним индексом C обозначаются вклады

x₂

x₁

(contributions) в сечение: борновский (ведущий

Как уже говорилось, все нужные для анализа в

порядок, Leading Order) вклад (C = 0 ≡ LO),

с.ц.м.а. величины (энергии частиц, энергия пары E,

виртуальные однопетлевые вклады (virtual, C =

углы рассеяния θ и α, поперечные и продольные

= V ), вклад от мягких тормозных фотонов (C =

компоненты 3-импульсов, p_T и p_z — поперечная и

= soft), вклад ЭМП (C = QED), вклад сла-

продольная составляющие 3-импульса пары) свя-

бых радиационных поправок (C = WRC = Z +

заны с инвариантами в работе [13]. Приведем для

+ W, Weak Radiative Corrections; этот вклад

полноты изложения формулу для быстроты пары

разбивается на два в соответствии с наборами

(pair rapidity), в случае безрадиационного процесса

диаграмм, обусловленных дополнительным Z- или

в с.ц.м.а. она выглядит так:

W-бозоном: C = Z и C = W соответственно).

Наконец, обозначим индексом C = NLO (сле-

E+p_z

t₁ + û

x₁ .

(11)

дующий за ведущим порядок, Next-To-Leading

E-p_z

t+û1

x₂

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

γ, Z

Рис. 5. Половина минимального набора фейнмановских диаграмм процесса γγ → l^-l⁺ с дополнительным виртуальным

фотоном или Z-бозоном: а, б — вершинный вклад, в

— вклад собственной энергии лептона, г — вклад бокса.

Оставшиеся диаграммы получаются заменой p1 ↔ p2.

Рис. 6. Половина набора фейнмановскихдиаграммпроцессатормозногоизлученияγγ → l^-l⁺γ. Оставшиесядиаграммы

получаются заменой p1 ↔ p2.

4. БОРНОВСКОЕ СЕЧЕНИЕ И

дифференциальное сечение (fully differential cross

АСИММЕТРИЯ ВПЕРЕД-НАЗАД

section), для чего осуществим замену переменных

Для расчета сечения dσγγ0 процесса (2) приме-

(x₁, x₂, t) → (M, y, C), где C = cos θ в с.ц.м.а. Со-

няем стандартную технику: по правилам Фейнмана

ответствующий этой замене якобиан J_N имеет вид

из [16] записываем амплитуды, соответствующие

диаграммам рис. 2, затем квадрируем их и сум-

4M³

J_N = -

(13)

мируем (усредняем) по поляризациям конечных

S[(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y ]²

(начальных) частиц. Представим результат в УРП

в форме, принятой в работе [12]:

(см. детали вычислений в [13]). Также напомним,

что

⁽u

t⁾

dσγγ0 =2πα

dt,

(12)

s²

x₁ = x₀e+y, x₂ = x₀e^-y, x₀ =

√ ,

(14)

где α — постоянная тонкой структуры [17].

Применяя конволюционную формулу, перей-

дем к адронному сечению. Используем трижды а партонные инварианты в с.ц.м.а. выражаются

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

δ_QED

слабыми бозонами, т.е. оставить только “элек-

μ^-μ⁺

тродинамику”, то для A_FB тождественно получим

e^-e⁺

нуль. Кинематическая природа A_FB заключает-

ся в нестандартном выборе разбиения области

-0.10

интегрирования на области “вперед” и “назад”.

Точная формула для угла вылета пары в системе

Коллинза-Сопера θ^∗ приведена в [18], в обозначе-

ниях настоящей работы она выглядит так:

cos θ^∗ = sgn[x₂(t + u₁) - x₁(t₁ + u)] ×

(18)

-0.15

tt₁ - uu₁

√

s(u + t1)(u1 + t)

В случае безрадиационной кинематики выражение

-0.20

для cos θ^∗ приобретает особенно простой вид:

u-t

cos θ^∗ = sgn[x₁ - x₂]

(19)

[

](1+C)e-y - (1 - C)e^y

2000

4000

6000

8000

10 000

= sgn

e^y - e^-y

(1 + C)e^-y + (1 - C)e^y

s, ГэВ

Решая уравнение cos θ^∗ = 0, получим два условия

на границу, разделяющую области сечений вперед

Рис. 7. Относительные электромагнитные поправки к

партонному сечению в зависимости от энергии реакции

σ^hF и назад σ^hB: y = 0 и C = th y (см. рис. 3а). Как

при θ = 90^◦ и ω = 0.05√s.

видно из рисунка, асимметрия не равна нулю так-

же по причине того, что не симметричны области

. На рис. 3б

интегрирования для сечений σ^hF и σ^hB

так:

показаны разыгранные с помощью Монте-Карло-

M²(1 - C)e

интегратора VEGAS [19] события, соответствую-

t=-

(15)

(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y

щие области “назад”, они обозначены точками на

диаграмме. Следует обратить внимание, что изоб-

−y

M²(1 + C)e

раженная физическая область ограничена также

u=-

(1 - C)e^y + (1 + C)e^-y

условиями |C| ≤ ζ^∗ и | cos α| ≤ ζ^∗. В переменных

настоящей работы границы области, следующие из

В результате трижды дифференциальное борнов-

неравенства | cos α| ≤ ζ^∗, имеют нетривиальный вид

ское сечение приобретает вид

(

cos θ - th y

d³σh0

cos arccos

(20)

(16)

dMdy dC

)

sin θ th y

t² + u

+ arcsin

= ±ζ^∗,

= 8πα²fAγ (x₁)fBγ (x₂)

Θ.

SM⁵(1 - C²)

√

Опишем еще одну важную наблюдаемую в

1 - 2cosθthy + th2 y

экспериментах рождения дилептона в адронных

столкновениях величину — асимметрию вперед-

(см. более подробно разд. 6 настоящей работы и

назад A_FB. Стандартным образом A_FB определя-

описание рис. 3 из работы [20]).

ется как отношение разности сечений рассеяния

На рис. 4 изображены борновские асимметрии

дилептона в определенном диапазоне угла θ^∗

вперед-назад процесса рождения димюона в зави-

вперед σ^hF (cos θ^∗ > 0) и назад σ^hB (cos θ^∗ < 0) в

симости от M в условиях эксперимента CMS LHC:

системе Коллинза-Сопера (покоя дилептона) к их

механизм Дрелла-Яна (тонкая линия), с учетом

сумме:

обоих механизмов — Дрелла-Яна и фотонного

слияния (жирная линия). Так как борновский про-

σ^hF - σ^hB

A_FB =

(17)

цесс фотонного слияния имеет чисто электромаг-

σ^hF + σ^h

нитную природу, для него A^γγFB = 0, откуда заклю-

чаем, что сечения “вперед” и “назад” равны: σ^γγF =

Асимметрия A_FB имеет двоякую природу —

электрослабую и кинематическую. Во-первых, ес-

= σ^γγB = Δ. Как выяснится ниже (см. разд. 6), се-

ли “выключить” диаграммы с дополнительными

чение фотонного слияния становится сравнимым с

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

δ_QED

μ^-μ⁺

e^-e⁺

−0.06

-0.14

-0.08

m_Z

-0.16

-0.10

400

-0.18

1000

-0.12

−0.20

3000

-0.14

−0.22

7000

-0.16

−0.24

100

150

100

150

θ, град

Рис. 8. Относительные электромагнитные поправки к партонному сечению в зависимости от угла рассеяния при

различных энергиях реакции

√s (в ГэВ, обозначены цифрами на кривых) и ω = 0.05√s: а — для конечного μ^-μ⁺-

состояния, б — для конечного e^-e⁺-состояния.

сечением процесса Дрелла-Яна только при боль-

суммарным эффектом, в ряд по Δ, получим

(

)

ших M. Раскладывая асимметрию, обусловленную

2Δ

ADY+γγFB ≈ A^DY

F+B

Описываемый эффект понижения асимметрии

вперед-назад при больших M хорошо виден на

рис. 4, начиная со значений M ∼ 300 ГэВ.

5. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ЭСП

Электромагнитные поправки к наблюдаемым

величинам исследуемого процесса подробно опи-

саны в работе [13], для полноты изложения по-

вторим основные моменты. Вклад от диаграмм с

дополнительным виртуальным фотоном (в обрат-

ном партонном процессе e⁺e^- → γγ) впервые был

рассчитан в работах [21-23]. Полученный вклад

полностью факторизуется перед борновским сече-

нием

dσγγQED = δ_QEDdσγγ0 ,

где

Φ^±, W

α⁽

4ω²

π²

δ_QED =

(L - 1) +

(21)

)

⁺ t2 + u2[f(t,u) + f(u,t)]

Здесь ω — максимальная энергия тормозного фо-

Рис. 9. Половина минимального набора фейнманов-

тона в системе центра масс начальных партонов

ских диаграмм процесса γγ → l^-l⁺ с дополнительным

(фотонов),

W -бозоном: а, б — вершинный вклад, в — вклад

собственнойэнергии лептона,г — вклад бокса. Остав-

s² + t²

f (t, u) =

L2st -

LL_st - L_st,

(22)

шиеся диаграммы получаются заменой p1 ↔ p2.

2tu

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

δ_Z

δ_W

0.1

0.01

exact

-0.01

-0.1

−0.02

-0.2

-0.03

−0.3

100

500

1000

5000

10⁴

100

500

1000

5000

10⁴

s, ГэВ

Рис. 10. Относительные электрослабые поправки к партонному сечению в зависимости от энергии реакции при θ = 90^◦:

а —вклад от диаграммсдополнительнымZ-бозоном,б— вклад отдиаграммс дополнительнымW-бозоном.Сплошные

кривые — точный расчет, штриховые — асимптотическая оценка для HE-режима.

δ_W

δ_Z

m_W

m_Z

400

-0.05

-0.005

1000

-0.10

-0.010

3000

-0.15

-0.015

-0.20

-0.020

7000

-0.25

100

150

100

150

θ, град

Рис. 11. Относительныеэлектрослабые поправки к партонному сечению в зависимости от угла рассеяния при различных

энергиях реакции

√s (в ГэВ, обозначены цифрами на кривых): а — вклад от диаграмм с дополнительным Z-бозоном,

б — вклад от диаграмм с дополнительнымW-бозоном.

а коллинеарный логарифм и логарифм, зависящий

процессов с излучением тормозного фотона нужно

от угла рассеяния, выглядят, соответственно, так:

включать в наблюдаемое сечение, чтобы решить

проблему инфракрасной расходимости [24]. На

L = ln

L_st = ln

(23)

партонном уровне они имеют вид

m²

-t

γ(p₁) + γ(p₂) → l^-(p₃) + l⁺(p₄) + γ(p),

(24)

В рассматриваемый вклад (C = QED) входят

следующие диаграммы: две фотонные вершины

здесь p — 4-импульс тормозного фотона. Фейнма-

рис. 5а, 5б, диаграмма собственной энергии леп-

новские диаграммы подпроцессов (24) приведены

тона рис. 5в, фотонный бокс рис. 5г, диаграммы

на рис. 6.

с излучением мягкого фотона (C = soft). Вклад

Поведение ЭМП δ_QED на партонном уровне в

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

dσ

0.05

DY, y = 0

γγ, y = 0

DY, y = 1

10^-1

γγ, y = 1

DY, y = 2

γγ, y = 2

-0.05

10^-5

-0.10

10^-9

-0.15

y = 0

y = 1

y = 2

-0.20

100

500

1000

5000

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 12. а — Дважды дифференциальные борновские сечения рождения димюона через механизм Дрелла-Яна

(сплошные кривые) и фотонное слияние (штриховые кривые). б — Полные относительные электрослабые поправки

δ^h(M, y) к дважды дифференциальному адронному сечению в зависимости от M при различных y.

dσ_h/dM, пбн/ГэВ

0.05

10³

10⁰

10^-3

-0.05

10^-6

-0.10

10^-9

-0.15

γγ

10^-12

100

500

1000

5000

100

500

1000

5000

M, ГэВ

Рис. 13. а — Дифференциальные сечения рождения димюона через механизм Дрелла-Яна (сплошные кривые) и через

фотонное слияние (штриховые кривые). б — Относительные электрослабые поправки δ^h(M) к дифференциальному

адронному сечению, обусловленные дополнительными Z-бозоном (штриховые кривые) и W -бозоном (сплошные

кривые), в зависимости от M.

зависимости от энергии показано на рис. 7, где

рифмического поведения не зависит от энергии,

для максимальной энергии фотона было выбрано

отношение этих поправок (мюонной к электрон-

значение ω = 0.05√s. При данном выборе штрихо-

ной) составляет ∼0.08. Поведение относительных

вая линия рис. 7 (электронный случай) в точности

ЭМП на партонном уровне в зависимости от угла

воспроизводит результат, приведенный в работе

рассеяния при различных энергиях изображено на

[25] (см. рис. 7 работы [25]). Разница в масшта-

рис. 8a (электронный случай) и рис. 8б (мюонный

бе относительных поправок для электронного и

случай). Видна симметрия относительно θ = 90^◦,

мюонного случая (m_μ/m_e ∼ 200) в силу их лога-

которая характерна для исследуемой реакции из-за

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

σ^h, пбн

LO, DY

10²

LO, γγ

LO+NLO, γγ → μ^-μ⁺

10⁰

10^-2

10^-4

10^-6

|y| < 1

1 < |y| < 1.25

-8

10^-6

0.05

0.10

0.50

0.05

0.10

0.50

M, ТэВ

σ^h, пбн

LO, DY

10²

LO, γγ

LO+NLO, γγ → μ^-μ⁺

10⁰

10^-2

10^-4

10^-6

10^-8

1.25 < |y| < 1.5

1.5 < |y| < 2.5

10^-10

10^-8

0.05

0.10

0.50

0.05

0.10

0.50

M, ТэВ

Рис. 14. Борновское сечение процесса Дрелла-Яна (жирные сплошные кривые), борновское сечение и сечение с

учетом полной ЭСП процесса рождения димюона в фотонном слиянии (жирные штриховые и тонкие сплошные кривые

соответственно) в зависимости от M в условиях CMS LHC для четырех стандартных интервалов по быстроте пары y:

а — |y| < 1, б — 1 < |y| < 1.25, в — 1.25 < |y| < 1.5, г — 1.5 < |y| < 2.5.

инвариантности относительно кроссинговой заме-

проинтегрировать сечение тормозного излучения

ны t ↔ u.

(решить проблему коллинеарной сингулярности).

Вклад ЭСП в исследуемую партонную реакцию

Полностью (с корректным учетом жесткого тор-

был рассчитан в работе [25] (точнее, там был изучен

мозного излучения) задача учета ЭМП была ре-

обратный процесс). Как и в случае ЭМП, для

шена в работе [13]. Там подробно описана ради-

слабой части имеет место полная факторизация

ационная кинематика, определен фактор Θ_R, ко-

относительных поправок перед борновским сече-

торый отвечает за определение области фазового

нием:

объема, допускаемой (радиационной) кинематикой

dσγγWRC = dσ^γγZ + dσ^γγW , dσ^γγZ,W = δ_Z,W dσγγ0 .

реакции, показано, как нужно преобразовать фа-

зовый объем dΦ₃, чтобы адекватно (в соответствии

Здесь индексом Z обозначено сечение, обуслов-

с возможностями детектора) проинтегрировать се-

ленное диаграммами с дополнительным Z-бозоном

чение (наложить fiducial cuts). Показано, какие

(рис. 5), а индексом W — диаграммами с допол-

дополнительные действия требуются, чтобы точно

нительным W -бозоном (рис. 9). Набор диаграмм

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

А_FB

0.30

|y| < 1

1 < |y| < 1.25

0.25

0.5

0.20

0.4

0.15

0.3

0.2

0.10

LO, DY

0.1

LO, DY

0.05

+LO, γγ

+LO+QED, γγ → μ^-μ⁺

+LO+NLO, γγ → μ^-μ⁺

-0.1

0.05

0.10

0.50

0.05

0.10

0.50

M, ТэВ

А_FB

0.5

1.25 < |y| < 1.5

1.5 < |y| < 2.5

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

LO, DY

+LO, γγ

+LO+QED, γγ → μ^-μ⁺

+LO+NLO, γγ → μ^-μ⁺

-0.1

0.05

0.10

0.50

0.05

0.10

0.50

M, ТэВ

Рис. 15. Асимметрии вперед-назад рождения димюона в зависимости от M в условиях CMS LHC: механизм Дрелла-

Яна (жирные сплошные кривые), также с учетом борновского механизма фотонного слияния (жирные штриховые

кривые), также с учетом ЭМП (тонкие сплошные кривые), также с учетом ЭСП (тонкие штриховые кривые). Остальные

обозначения такие же, как на рис. 14.

[

]

рис. 5 и рис. 9 минимальный, это значит, что указа-

δ_W = -

GW (t, u) + GW (u, t)

ны только те диаграммы, которые дают значимый

π 4s²

t² + u²

вклад в УРП и (или) взаимно не сокращаются в

где векторные и аксиальные константы связи элек-

сумме; полный набор приведен, например, в работе

трона с Z-бозоном:

[25].

s_W

Как и для ЭМП, в случае ЭСП также имеет

v_Z = a_Z +

a_Z = -

(26)

c_W

4s_Wc_W

место кроссинговая симметрия t ↔ u, благодаря

которой электрослабые относительные поправки

выражаются через синус угла Вайнберга θ_W:

можно записать так:

√

δ_Z = -

(v2Z + a2Z ) ×

(25)

s_W ≡ sin θ_W =

1-c^2W,

(27)

m_W

[

]

c_W ≡ cos θ_W =

GZ (t, u) + GZ (u, t)

m_Z

t² + u²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

Функции G_Z и G_W из (25), вычисленные в УРП,

1. реакция (1) с неполяризованными протона-

√

приведены в работе [25].

ми суммарной энергии

S = 14 ТэВ (с.ц.м.

Приведем здесь форму функций G_Z (t, u) и

протонов, Run3/HL LHC) и конечными со-

√W (t, u), полученную при условии асимптотики

стояниями μ^-μ⁺ и e^-e⁺;

s ≫ m_Z, соответствующей режиму высоких

2. электрослабые параметры СМ и лептонные

энергий (high energies, HE):

массы, которые соответствуют значениям из

[17];

GHEZ(t, u) =

L2st +

(28)

2u³

3. набор функций фотонных распределений

L_tZ(L_sZ + L_st - 1) -

L_sZ -

MRST [27] с естественным выбором Q² =

= M² (для расчета в области M > 3 ТэВ

√

L_st +

(27 - 2π²),

использовалось Q ≡

Q² = 3 ТэВ);

u²

12u

(

)

4. стандартные ограничения детектора CMS на

GHEW(t, u) =

π² - L2sW

(29)

косинус угла вылета детектируемого лептона

)

l^-: -ζ∗ ≤ cos θ ≤ ζ∗ или на его быстроту:

t⁽π

+L²

L_tW - L_st +

|y(l)| ≤ y(l)∗ [связь между этими перемен-

ными стандартная: y(l) = - ln tg

, cos θ =

Эти формулы работают в области средних значе-

= th y(l)], для детектора CMS ζ^∗ и y(l)^∗ при-

ний углов рассеяния. Приведем судаковские лога-

нимают значения: y(l)^∗ = 2.5, ζ^∗ ≈ 0.986614;

рифмы, которые в них используются:

для l⁺ используются такие же ограничения;

-t

L_tB = ln

L_sB = ln

;

B = Z,W.

m2B

m²

5. стандартное ограничение детектора CMS

на поперечные компоненты

3-импульсов:

Поведение относительных ЭСП на партонном

p_T (l^±) ≥ 20 ГэВ;

уровне в зависимости от энергии показано на

рис. 10: а — вклад диаграмм с дополнительным

“чистая” схема (“bare” setup) требований

Z-бозоном,б — вклад диаграмм с дополнительным

идентификации лептонов: без “размазыва-

W -бозоном. В обоих случаях видно хорошее сов-

ния” (smearing) и учета условий рекомбина-

падение асимптотических результатов с точными

ции детектируемого лептона и радиационно-

при больших значениях

√s. Сплошные кривые

го фотона.

рис. 10 воспроизводят результат, приведенный в

Будут рассматриваться три типа сечений:

работе [25] (см. рис. 5 и рис. 7 там). Для описания

поведения W W W ν-бокса в резонансной области

1. дважды дифференциальные сечения (по пе-

√s = 2m_W было использовано значение ширины

W-бозона Γ_W = 2.085 ГэВ [17] (такой выбор не яв-

ляется однозначным и требует более тщательного

анализа, у авторов [25] используется не приведен-

2. дифференциальные сечения по инвариант-

ное в тексте “малое значение”, которое дает более

острый пик).

ной массе дилептонаdMCd , проинтегрирован-

ные в заданном интервале по переменной y,

Поведение относительных ЭCП на партонном

уровне в зависимости от угла рассеяния при раз-

3. полные сечения σ^hC , проинтегрированные в

личных энергиях изображено на рис. 11a (вклад

заданном интервале по M и y.

диаграмм с дополнительным Z-бозоном) и рис. 11б

(вклад диаграмм с дополнительным W -бозоном).

Относительные поправки к трем типам борновских

Кривые рис. 11 воспроизводят результат работы

адронных сечений определяются так:

[25], см. рис. 4 (для δ_Z ) и рис. 6 (для δ_W ) там.

dσ^hC /dMdy

(M, y) =

(30)

dσh0/dMdy

6. АНАЛИЗ АДРОННЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ

dσ^hC/dM

σ^hC

δ^hC(M) =

δ^hC =

Для численных оценок адронных наблюдаемых

dσh0/dM

σ^h

принимается набор предписаний, соответствую-

щий экспериментальной постановке CMS LHC

Показана область только положительных y (факт

[26]:

симметрии наблюдаемых сечений относительно

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЗЫКУНОВ

Δ_σ, пбн

Δ_А

|y| < 1

10^-2

1 < |y| < 1.25

1.25 < |y| < 1.5

-0.001

1.5 < |y| < 2.5

10^-5

-0.002

-0.003

10^-8

|y| < 1

-0.004

1 < |y| < 1.25

1.25 < |y| < 1.5

1.5 < |y| < 2.5

10^-11

-0.005

M, ТэВ

Рис. 16. а — Разница сечений с учетом полной ЭСП в случае рождения димюона и диэлектрона в зависимости от M.

б — Разница асимметрий вперед-назад с учетом полной ЭСП в случае рождения димюона и диэлектрона в зависимости

от M. Остальные обозначения такие же, как на рис. 14.

точки y = 0 часто, например, в [28], используется

от M. Относительные поправки значительны (от-

для уменьшения статистической ошибки).

рицательны) при больших M, с ростом M их абсо-

лютное значение быстро растет.

На рис. 12а показаны борновские дважды диф-

На рис. 14 показаны борновское сечение про-

процесса димюонно-

цесса Дрелла-Яна (жирные сплошные линии),

го рождения от двух механизмов (Дрелла-Яна и

борновское сечение и сечение с учетом ЭСП про-

фотонного слияния) для эксперимента CMS LHC

цесса рождения димюона в фотонном слиянии

в зависимости от M при разных y. Сечения резко

(жирные штриховые и тонкие сплошные линии

уменьшаются с ростом как M, так и y, однако

соответственно) в зависимости от M в условиях

НФ может проявиться именно на краю кинема-

CMS LHC для четырех стандартных интервалов по

тической области, поэтому ее прецизионное изу-

быстроте пары y: а — |y| < 1, б — 1 < |y| < 1.25,

чение представляется крайне необходимым. Рису-

в — 1.25 < |y| < 1.5, г — 1.5 < |y| < 2.5.

нок 12б иллюстрирует полные относительные ЭСП

Рисунок 15 иллюстрирует асимметрии вперед-

δ^hC(M,y) в зависимости от M при разных y. Из-за

назад рождения димюона в зависимости от M в

факторизации партонной поправки перед борнов-

условиях CMS LHC. Жирными сплошными лини-

ским сечением в поправках δhWRC(M, y) в основном

ями обозначена асимметрия, обусловленная меха-

сохраняются черты поведения партонной относи-

низмом Дрелла-Яна, штриховыми — асимметрия

тельной поправки δ_WRC: малость при небольших

с учетом обоих механизмов: Дрелла-Яна и фотон-

энергиях реакции, пик в точке M = 2m_W и резкое

ного слияния. Асимметрии с учетом ЭМП (тонкие

падение в HE-области, обусловленное двойными

сплошные линии) и полных ЭСП (тонкие штри-

судаковскими логарифмами.

ховые линии) заметно отличаются от борновских

Рисунок 13 подобен предыдущему, на нем пока-

только в области больших значений M.

Наконец, чтобы установить разницу в поведе-

заны борновские дифференциальные сеченияdM0d

нии поправок для разных конечных состояний, на

процесса димюонного рождения и электрослабые

рис. 16а показана разница сечений с учетом полной

поправки к нему в зависимости от M (по пе-

ЭСП в случае рождения димюона и диэлектрона в

ременной y произведено интегрирование в пре-

зависимости от M:

делах |y| ≤ 2.5). Видно, что два рассмотренных

механизма образования лептонной пары сравни-

Δ_σ = σhNLO(γγ → μ^-μ⁺[γ]) -

(31)

ваются по масштабу в области больших M ∼

- σhNLO(γγ → e^-e⁺[γ]).

∼ 7 ТэВ. Рис. 13б иллюстрирует поведение пол-

ных относительных ЭСП, разделенных по вкладам

Рисунок 16б иллюстрирует зависимость от M раз-

δhWRC(M,y) = δ^hZ(M,y) + δ^hW (M,y), в зависимости

ницы асимметрий вперед-назад с учетом полной

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023

ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К РОЖДЕНИЮ ДИЛЕПТОНОВ

ЭСП в случае рождения димюона и диэлектрона:

S. D. Drell and T.-M. Yan, Phys. Rev. Lett. 25, 316,

902 (Erratum) (1970).

Δ_A = ALO+NLOFB(γγ → μ^-μ⁺[γ]) -

(32)

S. D. Drell and T.-M. Yan, Ann. Phys. (N.Y.) 66, 578

(1971).

- ALO+NLOFB(γγ → e^-e⁺[γ]),

она оказывается довольно значительной.

10.

В. А. Матвеев, Р. М. Мурадян, А. Н. Тавхелидзе,

Препринт № Р2-4543, ОИЯИ (Дубна, 1969).

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

11.

J. H. Christenson, G. S. Hicks, L. M. Lederman,

P. J. Limon, B. G. Pope, and E. Zavattini, Phys. Rev.

В работе с точностью до полных однопетлевых

D 8, 2016 (1973).

ЭСП изучены наблюдаемые асимметрия вперед-

назад и сечения (дважды дифференциальные, диф-

12.

В. А. Зыкунов, ЯФ 84, 348 (2021) [Phys. At. Nucl.

ференциальные и полные) процесса рождения ди-

84, 492 (2021)].

лептонов в адронных столкновениях в канале фо-

13.

В. А. Зыкунов, ЯФ 85, 366 (2022) [Phys. At. Nucl.

тонного слияния. Полученные теоретические эф-

85, 500 (2022)].

фекты радиационных поправок необходимо бу-

дет учитывать в предстоящей экспериментальной

14.

J. C. Collins, D. E. Soper, and G. F. Sterman, Adv.

программе CMS LHC, где внимание будет ак-

Ser. Direct. High Energy Phys. 5, 1 (1988) [hep-

центировано на области сверхвысоких энергий и

ph/0409313].

инвариантных масс дилептона, соответствующей

режиму Run3/HL LHC, поскольку они оказались

15.

N. M. Shumeiko, A. V. Soroko, and P. M. Starovoitov,

на уровне ожидаемых статистических и системати-

J. Phys. G 27, 1735 (2001).

ческих [экспериментальных] погрешностей.

16.

M. B ¨ohm, H. Spiesberger, and W. Hollik, Fortschr.

Работа выполнена частично при поддержке Го-

Phys. 34, 687 (1986).

сударственной программы научных исследований

Республики Беларусь “Конвергенция” (подпро-

17.

Particle Data Group (P. A. Zyla et al.), Prog. Theor.

грамма “Микромир, плазма и Вселенная”). Автор

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

признателен коллегам по группе RDMS CMS,

участникам Международного научного совещания

18.

John C. Collins and Davison E. Soper, Phys. Rev. D

“Физика с димюонами в эксперименте CMS на

16, 2219 (1977).

LHC” (“The Physics of the Dimuons at the LHC”,

19.

G. P. Lepage, J. Comput. Phys. 27, 192 (1978).

Дубна, 23-24 июня, 2022) и Ю.М. Быстрицкому за

обсуждение.

20.

V. A. Zykunov, Phys. Rev. D 75, 073019 (2007) [hep-

ph/0509315].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

21.

I. Harris and I. M. Brown, Phys. Rev. 105, 1656

1. UA1 Collab. (G. Arnison et al.), Phys. Lett. B 122,

(1957).

103 (1983); UA2 Collab. (M. Banner et al.), Phys.

Lett. B 122, 476 (1983).

22.

Y.-S. Tsai, Phys. Rev. 137, B730 (1965).

2. UA1 Collab. (G. Arnison et al.), Phys. Lett. B 126,

23.

Frits A. Berends and R. Gastmans, Nucl. Phys. B 61,

398 (1983); UA2 Collab. (P. Bagnaia et al.), Phys.

414 (1973).

Lett. B 129, 130 (1983).

3. J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B 49, 52 (1974).

24.

F. Bloch and A. Nordsieck, Phys. Rev. 52, 54 (1937).

4. E. Witten, Nucl. Phys. B 463, 383 (1996) [hep-

25.

M. B ¨ohm and T. Sack, Z. Phys. C 33, 157 (1986).

th/9512219].

5. G. Bertone, D. Hooper, and J. Silk, Phys. Rep. 405,

26.

CMS Collab. (G. L. Bayatian et al.), J. Phys. G 34,

279 (2005) [hep-ph/0404175].

995 (2007).

6. M. Dine, W. Fischler, and M. Srednicki, Phys. Lett. B

27.

A. D. Martin, R. G. Roberts, W. J. Stirling, and

104, 199 (1981).

R. S. Thorne, Eur. Phys. J. C 39, 155 (2005) [hep-

7. P. Agrawal, M. Bauer, J. Beacham, A. Berlin,

A. Boyarsky, S. Cebrian, X. Cid-Vidal, D. d’Enterria,

ph/0411040].

A. De Roeck, M. Drewes, B. Echenard, M. Giannotti,

28.

CMS Collab. (S. Chatrchyan et al.), JHEP 1312,

G. F. Giudice, S. Gninenko, S. Gori, E. Goudzovski,

030 (2013); CMS-SMP-13-003, CERN-PH-EP-

et al., Eur. Phys. J. C 81, 1015 (2021) [arXiv:

2102.12143 [hep-ph]].

2013-168; arXiv: 1310.7291.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№1

2023