ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 2, с. 337-344

ЯДРА

НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КАК ОСНОВА

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР

Поступила в редакцию 27.10.2022 г.; после доработки 27.10.2022 г.; принята к публикации 18.11.2022 г.

Дан краткий анализ развития теоретических подходов к описанию структуры тяжелых атомных

ядер. Основное внимание уделено подходам, основывающимся на нуклон-нуклонном взаимодействии.

Рассмотрен подход, основанный на релятивистском функционале плотности энергии. Обсуждаются

результаты расчетов энергий связи и радиусов ядер, полученные в рамках киральной эффективной

теории поля.

DOI: 10.31857/S0044002723020071, EDN: RIUIAC

1. ВВЕДЕНИЕ

В результате этих работ сложилось следующее

представление о том, как формируется спектр воз-

Исследования структуры атомных ядер опира-

ются на два теоретических подхода, сформули-

бужденных состояний тяжелых ядер. Базисными

элементами, играющими роль элементарных воз-

рованных в конце 1940-х-начале 1950-х гг. Это

буждений, являются квазичастицы и фононы [11].

оболочечная модель ядра [1] и коллективная мо-

Из этих элементарных блоков строится весь спектр

дель [2]. Первая опирается на представление о

независимых нуклонах, движущихся в потенциа-

возбужденных состояний ядер, усложняющийся с

ле, являющемся результатом усредненного воздей-

ростом энергии возбуждения.

ствия (A - 1) нуклонов на один. Вторая использует

Наряду с уже сложившимся представлением о

лишь небольшое число степеней свободы ядра,

том, что существуют как деформированные, так

описывающих согласованное движение большого

и сферические ядра, накапливалась эксперимен-

числа нуклонов. Подразумевается, конечно, что

тальная информация о ядрах, промежуточных по

коллективные степени свободы сложным образом

своим свойствам между сферическими и деформи-

связаны с нуклонными степенями свободы.

рованными. В особенности это относилось к кол-

В конце 1950-х-начале 1960-х гг. была сфор-

лективным возбуждениям ядер. В 1967 г. М. Сакай

мулирована сверхтекучая модель ядра [3-7], ко-

[12] ввел в рассмотрение представление о квази-

торая в сочетании с моделью Нильссона [8], опи-

ротационных полосах, т.е. о последовательности

сывающей движение независимых нуклонов в де-

состояний с I^π = 2⁺, 4⁺, 6⁺, . . . , базирующихся на

формированном ядерном потенциале, существенно

основном состоянии. Экспериментальные данные

расширила возможности применения микроскопи-

показывали, что соотношения между энергиями

ческого подхода к описанию экспериментальных

возбуждения состояний квазиротационных полос

данных о структуре ядер.

плавно эволюционируют от характерного для рота-

Следующий шаг в разработке теории структуры

ционного спектра к характерному для вибрацион-

ядра был связан с использованием приближения

ного спектра. Экспериментальные данные демон-

случайной фазы [9], возникшего первоначально в

стрировали плавное изменение в спектрах квази-

теории электронной плазмы [10], для описания

ротационных полос при переходе от деформиро-

коллективных возбуждений атомных ядер. Подход

ванных ядер к сферическим. Это послужило толч-

оказался эквивалентным зависящему от време-

ком к построению коллективного квадрупольного

ни приближению Хартри-Фока-Боголюбова. Ис-

гамильтониана ядра на основе SU(6) группы ди-

пользование приближения случайной фазы для

намической симметрии [13]. На этой основе была

описания однофононных возбуждений ядер ста-

сформулирована модель взаимодействующих бо-

ло первым шагом в построении микроскопической

зонов [14].

теории коллективных возбуждений.

По мере развития вычислительной техники ста-

ло возможным проводить оболочечные расчеты

¹⁾Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,

Россия.

в большом конфигурационном пространстве. Ба-

²⁾Государственный университет “Дубна”, Дубна, Россия.

зис, в котором диагонализовывался гамильтони-

^*E-mail: jolos@theor.jinr.ru

ан, строился “по горизонтали”, т.е. с учетом всех

337

338

ДЖОЛОС

возможных оболочечных конфигураций, которые

4π

Mω²⁰

κ_λ =

(1)

можно образовать, оставаясь в рамках заданной

2λ + 1 A 〈r2λ-2〉 .

оболочки, но с ограничением “по вертикали”, т.е.

по числу учитываемых оболочек. Логика этого под-

В теории конечных ферми-систем Мигдала [19]

хода противоположна логике подхода, основанного

использовался иной подход к построению остаточ-

на использовании в качестве “элементарных бло-

ных нуклон-нуклонных сил, чем в (1). Однако даже

ков” для построения спектров возбуждения фоно-

с учетом канала частица-частица в этом подходе

нов и квазичастиц.

использовалось небольшое число параметров, а

именно 7-8. Позднее был построен функционал

Что же увидели, анализируя результаты боль-

ших оболочечных расчетов? В 2015 г. Кальвин

плотности энергии Фаянса как очень хорошая чис-

В. Джонсон [15] проанализировал результаты обо-

ленная аппроксимация для функционала плотности

лочечных расчетов, выполненных в большом кон-

энергии, основывающегося на остаточных силах

фигурационном пространстве, без инертного кора,

теории конечных ферми-систем Мигдала [20, 21].

включающего нижние заполненные оболочки, и с

Работа Тома Куо и Джерри Брауна [22] бы-

использованием современного нуклон-нуклонного

ла первой попыткой выполнить микроскопический

взаимодействия (ab initio расчеты). Анализ струк-

расчет структуры ядра, основываясь на потенциале

туры полученных волновых функций показал, что

взаимодействия свободных нуклонов. Эта попытка

их главные компоненты совпадают с теми, которые

завершилась весьма успешным описанием спек-

были получены 50 лет назад в расчетах, выполнен-

троскопии ядер s-d-оболочки. Работа Т. Куо и

ных с использованием весьма ограниченного кон-

Дж. Брауна основывалась на общей вере, которая

фигурационного пространства (на шесть порядков

пришла между концом 1950-х и началом 1960-

меньшего по величине, чем в ab initio расчетах) и

х гг., что новое поколение расчетов ядерной струк-

сил Коэна-Куранта [16, 17]. Таким образом, было

туры должно основываться на первых принципах.

показано, что простые оболочечные расчеты, вы-

В то время такие нуклон-нуклонные потенциалы,

полненные с использованием небольшого конфи-

как Йельский и Хамада-Джонстон, достаточно

гурационного пространства, играют очень важную

хорошо описывали данные по нуклон-нуклонному

роль, так как во многих случаях такие расчеты

рассеянию. Оба потенциала имели действующий

выявляют главные компоненты ядерных волновых

на малых расстояниях отталкивательный кор, а на

функций.

больших расстояниях описывались однопионным

Подобный результат был получен и в рабо-

обменом.

те [18]. Было показано, что базис коллективных

Использование жесткого кора в нуклон-

состояний, реализующих представления симплек-

нуклонных потенциалах исследовалось Бракнером

тической группы динамической симметрии (Sp(3,

и соавторами, которые ввели в рассмотрение

R)) идентифицируется в волновых функциях со-

эффективный потенциал

— хорошо известную

стояний, полученных в расчетах, не использующих

матрицу реакции G, которая позволила преодолеть

представление об инертном коре, что обеспечива-

проблему, связанную с сингулярностью потен-

ет качественное понимание результатов расчетов,

циала взаимодействия на малых расстояниях. В

выполненных с использованием большого конфи-

результате было получено очень хорошее описание

гурационного пространства.

спектров¹⁸O и¹⁸F.

Важным шагом в исследовании вопроса о связи

2. СОГЛАСОВАНИЕ СРЕДНЕГО ПОЛЯ

остаточных сил с взаимодействием свободных нук-

ЯДРА И ОСТАТОЧНЫХ СИЛ. СВЯЗЬ

лонов явилась работа М. Дуфо и А. Цукера [23].

ОСТАТОЧНЫХ СИЛ С

Работа начиналась с утверждения, что до сих пор

РЕАЛИСТИЧЕСКИМИ

не удавалось сконструировать взаимодействие, ко-

НУКЛОН-НУКЛОННЫМИ СИЛАМИ

торое удовлетворяло бы следующим трем базовым

условиям:

На первых шагах разработки микроскопическо-

го подхода в теории ядерной структуры параметры

А. Было реалистическим, т.е. описывало фазы

среднего поля ядра и остаточных сил определя-

нуклон-нуклонного рассеяния.

лись, как правило, независимо друг от друга, хотя

Б. Корректно описывало энергии связи при на-

и было ясно, что среднее поле ядра и остаточные

блюдаемом радиусе ядра.

силы тесно связаны. Такая связь была установ-

В. Обеспечивало хорошее описание ядерной

лена, например, между константами мультиполь-

спектроскопии.

мультипольных сил и параметрами осцилляторного

Условия А и В, также как и условия Б и В,

потенциала, имитирующего среднее поле ядра [2]:

∑

совместимы. Простые аргументы поясняют, почему

H =H_sp +H_pair -

κ_λQ+λ,μQ_λ,μ,

это происходит. Среднее расстояние между нук-

λ,μ

лонами в ядре 2.4 фм. Следовательно, нуклоны

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

339

“видят” преимущественно среднюю часть потенци-

Релятивистский ОВЕР (1970-е гг.) описывает

ала, которая хорошо понимается теоретически и

фазы нуклон-нуклонного рассеяния до энергий по-

хорошо описывается.

рядка 1 ГэВ [25].

Достаточно гладкий гамильтониан может быть

Однако описание нуклон-нуклонного взаимо-

разделен на монопольную H_m и мультипольную

действия в рамках ОВЕР вызывает вопросы. Экс-

H_M части:

периментально наблюдаемая ширина σ-мезона со-

H =H_m +H_M.

(2)

ставляет 400-700 МэВ, что соответствует пробегу

l = cτ_lifetime = 0.3 фм. Комптоновская длина волны

При этом только монопольный член H_m за-

ω-мезона 0.25 фм. Это соответствует расстоянию,

трагивается вариациями сферического потенци-

на котором исчезает граница между нуклонами как

ала Хартри-Фока и, следовательно, целиком

“кварковыми мешками”. Можно рассматривать σ-

ответственен за глобальные свойства ядра и

мезон как имитацию эффекта s-волнового двухпи-

одночастичное поведение. Но именно H_m пло-

онного обмена.

хо воспроизводится реалистическими силами, в

Р. Махляйд: “Все это могло бы стать счастли-

противоположность мультипольному члену H_M .

вым концом теории ядерных сил, но со становлени-

Отсюда в [23] был сделан вывод, что H_m должен

ем КХД авторитетной теорией сильных взаимодей-

рассматриваться феноменологически.

ствий мезонная теория была понижена до уровня

Используя реалистические силы, было показа-

модели” [25].

но, что H_M может быть разделен на части:

Начало подходу, приведшему к формулировке

H_M = H_C + H_R,

(3)

концепции функционала плотности энергии, поло-

жила работа М.М. Джонсона и Е. Теллера [26].

где HC — коллективная часть (квадрупольное,

Исходным стало сделанное в этой работе утвер-

октупольное, гексадекапольное взаимодействие), а

ждение, что вследствие того, что внутри ядра ядер-

H_R можно рассматривать как случайную матрицу.

ное взаимодействие сильное, становится возмож-

ным множественное рождение мезонов в ядре. В

3. ФУНКЦИОНАЛ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ

тяжелых ядрах, в которых среднее число рождаю-

щихся мезонов намного больше единицы, мезоны,

В 1935 г. Х. Юкава ввел в рассмотрение концеп-

которые подчиняются Бозе-статистике, будут за-

цию обмена массивной частицей, чтобы объяснить

полнять одно и то же квантовое состояние. Волно-

конечный радиус нуклон-нуклонных сил. Первона-

вая функция мезонов в этом квантовом состоянии

чально предполагалось, что эта частица — скаляр-

отвечает классическому потенциалу ядерных сил.

ный бозон, хотя открытый наконец в 1947/1948 гг.

В [26] взаимодействие мезонов с нуклонами было

мезон оказался псевдоскаляром (138 МэВ). По-

взято в следующем виде:

этому с 1950 г. начались попытки построения π-

∑

мезонной теории ядерных сил. Эта пионная теория

ΨO_lΨ · Φ_l (Φ),

(4)

имела много проблем и мало успехов по причине,

которая стала понятна позднее: пионная динамика

где Φ — амплитуда мезонного поля. Φ_l должно

ограничена киральной концепцией, которая не бы-

быть скаляром и изотопическим синглетом. Φ_l не

ла известна в 1950-х гг. [24].

может быть псевдоскаляром, так как среднее поле

В начале 1960-х гг. были открыты векторные

ядра сохраняет четность. Было также отмечено, что

мезоны: ρ(770 МэВ) и ω(782 МэВ). Это привело

введенный таким образом мезон не обязательно

к созданию ОВЕР-моделей, которые были очень

является элементарной частицей. Это может быть

успешными. Они включали полдюжины мезонов,

виртуальное состояние, сформированное из других

не все из которых были важны:

мезонов. Это может быть даже суперпозиция таких

виртуальных состояний. Этот мезон может распа-

• σ-мезон (500 МэВ). Ответственен за притя-

даться на π-мезоны так быстро, что не может быть

жение, критически важное для обеспечения

обнаружен. Было показано, что для того, чтобы

связи нуклонов в ядре.

описывать основные характеристики ядра, скаляр-

ный мезон должен иметь массу порядка 600 МэВ.

• ω-мезон. Порождает сильное отталки-

Связь нуклонов с полем скалярного мезона ведет к

вание на коротких расстояниях и спин-

орбитальные силы.

тому, что эффективная масса нуклона в ядре рав-

на примерно половине массы свободного нуклона.

• π-мезон. Ответственен за дальнодействие и

Гамильтониан был взят в следующем виде:

⎧

тензорные силы.

∫

⎨

∑

ℏ

• ρ-мезон. “Обрезает” пионные тензорные си-

H₁ = d³

|∇Ψ_j|² + μ²c⁴Φ² -

(5)

^x⎩2M

лы на коротких расстояниях.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

340

ДЖОЛОС

⎫

∑

⎬

объяснить и большую величину спин-орбитальной

- ℏcgΦ

|Ψ_j|2

связи.

⎭

В настоящее время релятивистский подход к по-

строению функционала плотности энергии форму-

Этот гамильтониан не включает кинетическую

лируется [28-32], включая в рассмотрение только

энергию мезонного поля. Минимизируя гамильто-

небольшое число мезонов:

ниан по амплитуде мезонного поля, получаем

-π : J = 0, T = 1, P = -1.

∑

δH₁

= 2μ²c⁴Φ - ℏcg

|Ψ_j|² ≡

(6)

-σ : J = 0, T = 0.

δΦ

-ω : J = 1, T = 0.

≡ 2μ²c⁴Φ - ℏcgρ = 0.

-ρ : J = 1, T = 1.

Подставляя в гамильтониан H₁ выражение для Φ

В приближении Хартри пионы не дают вклада

через плотность нуклонов в ядре ρ, следующее из

в среднее поле ядра. Однако вклад пионов необ-

(6), получаем функционал плотности энергии

ходимо принимать во внимание при рассмотрении

⎧

⎫

∫

парных корреляций или при учете зависимости от

⎨

∑

⎬

ℏ²

времени.

H₁ = d³

|∇Ψ_j|² -(ℏcg)2ρ2

(7)

^x⎩2M

8μ²c⁴

⎭

Без учета поля пионов лагранжиан взаимодей-

ствия принимает вид

У этого функционала есть, однако, существен-

L_int = -g_σ

ψσψ - g_ωψγμωμψ -

(9)

ный недостаток. Так как кинетическая энергия

−g_ρ

ψγ_μτρ^μψ -

ψγ_μA^μψ,

нуклонов пропорциональна ρ5/3, то полученный

функционал плотности энергии не обеспечивает

где A^μ — потенциал электромагнитного поля. Бы-

насыщения ядерных сил. Этот недостаток мож-

ло, однако, отмечено, что для количественного

но устранить, включив в гамильтониан зависящую

описания таких свойств ядра, как сжимаемость и

от скорости связь нуклонов с мезонным полем.

поверхностное натяжение, необходимо учитывать

Однако, как было показано в следующей за рас-

нелинейную связь нуклонов с полем σ-мезонов, т.е.

сматриваемой работе Х.-П. Дюрра [27], в этом нет

включить в гамильтониан следующие члены: g₃σ³ +

необходимости.

+g₄σ⁴.

Х.-П. Дюрр в своей работе использовал ре-

Без учета этих членов сформулированный выше

лятивистский подход и основывался на уравнении

лагранжиан приводит уравнение Дирака к следую-

Дирака. Симметрии уравнения Дирака позволя-

щему виду:

ют ввести в рассмотрение связь нуклонов как со

{γ_μ (i∂^μ + V^μ) + M + S} ψ_i = 0,

(10)

скалярным, так и массивным векторным полями.

В статическом приближении задача сводится к

где

рассмотрению движения нуклонов в самосогла-

S (x) = g_σσ (x) ,

сованном поле. Вклад в это поле вносят только

скалярный потенциал и времяподобная компонен-

V^μ = g_ωω^μ (x) + g_ρτ · ρ^μ (x) + eA^μ (x).

(11)

та векторного потенциала. Гамильтониан Дирака

приобретает вид

Мезонные поля удовлетворяют следующим урав-

нениям:

H =α·p+βM -βS+V₀,

(8)

(

)

□+m2σ

σ = -g_σρ_s,

где S — скалярный потенциал, а V₀ — время-

(

)

подобная компонента векторного потенциала. В

□+m2ω

ω^μ = g_ωj^μ,

гамильтониане (8) член α · p смешивает боль-

(

)

шую и малую компоненты дираковского спинора.

□+m2ρ

ρ^μ = g_ρj^μ,

Благодаря пропорциональности этого члена им-

пульсу p вес малой компоненты спинора растет с

A^μ = ej^μc,

(12)

ростом импульса. Потенциал среднего поля ядра

(-βS + A₀), притягивающий при малых значениях

где для скалярной плотности и токов имеем:

|p|, становится отталкивательным при более высо-

∑

ких значениях |p|. Таким образом, эффект насы-

ρ_s =

ψ_i (x)ψ_i (x) ,

щения ядерных сил объясняется релятивистским

i=1

эффектом — ростом малой компоненты дираков-

ского спинора с увеличением импульса нуклона,

∑

что ослабляет скалярный потенциал по сравнению

j^μ =

ψ_i (x) γ^μψ_i (x) ,

с векторным. В релятивистском подходе удается

i=1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

341

}

∑

+ g_ρρ₃ρ⁰³ + eρ_cA⁰

j^μ =

ψ_i (x)γ^μτψ_i (x),

В релятивистском подходе коллапса ядра не возни-

i=1

кает благодаря специфическому релятивистскому

эффекту:

∑

j^μc =

ψ_i (x)

(1 + τ₃) γ^μψ_i (x) .

(13)

∑(

)

i=1

ρ_s (r) =

|f_i (r)|² - |g_i

(r)|²

В статическом приближении, предполагая незави-

i=1

симость от времени мезонных полей и учитывая

∑(

)

инвариантность относительно отражения времени

ρ_υ (r) =

|f_i (r)|² + |g_i

(r)|²

и пространственного отражения, в результате чего

исчезают пространственноподобные компоненты

i=1

всех токов, мы получаем стационарные уравнения

релятивистского подхода к построению среднего

∑

ρ_s = ρ_υ - 2

|g_i (r)|² ≈ ρ_υ - 2τ_kin,

(16)

потенциала ядра:

i=1

(-iα · ∇ + β (M + S) + V ) ψ_i = ε_iψ_i,

где f_i(r) — большая, а g_i(r) — малая компоненты

где

дираковского спинора. При больших плотностях

V (r) = g_ωω⁰ (r) + g_ρτ₃ρ⁰³ (r) + eA⁰ (r) ,

кинетическая энергия нуклонов τ_kin возрастает.

В (16) ρ_υ — это обычная барионная плотность,

S (r) = g_σσ (r) ,

нормированная на число нуклонов. Из (16) видно,

что ρ_s убывает, если малая компонента спинора

∑

растет. Этот механизм автоматически уменьшает

ρ_s =

ψ_i (x)ψ_i (x) ,

притяжение и стабилизирует ядро.

i=1

В заключение этого раздела отмечу, что наряду

с рассмотренным выше релятивистским функцио-

∑

налом плотности энергии в литературе активно ис-

ρ_υ = ψ+i (x)ψ_i (x) ,

пользуются и различные варианты нерелятивист-

i=1

ского функционала [33, 34]. Однако их построение

не связано с использованием нуклон-нуклонного

∑

взаимодействия.

ρ₃ =

ψ+i (x)τ₃ψ_i (x) ,

i=1

4. СТРУКТУРА ЯДРА И КИРАЛЬНАЯ

ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

∑

ρ_c =

ψ+i (x)

(1 + τ₃) ψ_i (x) .

(14)

Силы, действующие между нуклонами, — это

остаточные “цветные” силы, подобные силам Ван

i=1

дер Ваальса, действующим между нейтральными

Так как массы σ-, ω- и ρ-мезонов достаточно

молекулами. При построении киральной эффек-

большие, то для качественного рассмотрения мож-

тивной теории поля используется следующее об-

но пренебречь оператором Лапласа в уравнениях

стоятельство [24, 25]. В спектре адронов имеется

для мезонных полей. Тогда σ, ω⁰ и ρ⁰³ пропорцио-

большой разрыв между массой π-мезона и масса-

нальны соответствующим нуклонным плотностям,

ми ω- и ρ-мезонов. Таким образом, есть две энерге-

а выражение для полной энергии ядра, которое

тические шкалы: “мягкая” шкала с импульсом Q ∼

в результате сделанных приближений становится

∼ m_π и “жесткая” шкала, характеризуемая пара-

функционалом различных плотностей, приобретает

метром Λ_χ ∼ m_ω, m_ρ, известная также как шкала

вид

∫

нарушения киральной симметрии. Это наводит на

мысль использовать при построении лагранжиана

E = d³rH (r) =

(15)

разложение по параметру Q/Λ_χ. Степени свободы

∫

киральной эффективной теории поля (ChEFT): π-

∑

мезоны и нуклоны N. В итоге программа постро-

d³rψ+i (x)(-iα · ∇ + βM) ψ_i (x) +

ения лагранжиана ChEFT состоит из следующих

i=1

∫

шагов:

{

}

(

)₂

(

)₂

d³r m2σσ² - m2ω

ω⁰

-m2ρ

ρ⁰³

- Фиксировать “мягкую” и “жесткую” энерге-

тические шкалы и степени свободы.

∫

{

- Определить все существенные симметрии

+ d³r

g_σρ_sσ + g_ωρ_υω⁰ +

низкоэнергетической КХД.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

342

ДЖОЛОС

- Построить лагранжиан наиболее общего ви-

ядерно-физическое сообщество рассматривает ки-

да, обладающий этими симметриями, включая и их

ральную эффективную теорию поля как наиболее

нарушения.

авторитетную основу для вывода таких сил. Это

- Использовать разложение по параметру

утверждение базируется на тесной связи ChEFT

Q/Λ_χ.

с фундаментальной теорией сильных взаимодей-

ствий КХД.

- Следуя этому разложению, рассчитать вкла-

Сейчас твердо установлено [35], что исследо-

ды всех фейнмановских диаграмм для рассматри-

ваемых процессов.

вание структуры ядер должно учитывать трехча-

стичные (3NF) силы. Первоначально 3NF-силы

Спонтанное нарушение киральной симметрии

фиксировались для A = 3 или A = 4 систем и ab

предполагает существование безмассового бозо-

initio расчеты проводились вплоть до¹⁶O [36] с

на, который отождествляется с изоспиновым три-

хорошими результатами как для энергий связи,

плетом π-мезоном. Взаимодействие между такими

так и для зарядовых радиусов ядер. Возможно, α-

бозонами должно исчезать при p → 0 и m_π →

кластерная структура этих ядер является одной из

→ 0. Как следствие, появление такого бозона в

причин, объясняющих такие результаты.

лагранжиане должно сопровождаться по крайней

мере одной пространственно-временной производ-

Ситуация изменилась, когда стало возможно

ной. Следовательно, низкоэнергетическое разло-

делать расчеты для ядер средней массы (Ca и даже

жение лагранжиана должно осуществляться по

более тяжелые ядра). В этих расчетах наблюдались

степеням производных и m_π.

большие вариации предсказаний. Были получены

При вычислении низкоэнергетических наблю-

как заниженные [37], так и завышенные [38] зна-

даемых наиболее важны парциальные волны с

чения энергий связи. Стало ясно, что объяснение

L ≤ 2. Это справедливо и для микроскопических

свойств ядер промежуточной массы и тяжелых

расчетов структуры ядра. А для описания ни-

ядер остается проблемой.

жайших парциальных волн важно знание NN-

Путь к расчетам энергии связи тяжелых ядер

потенциала на коротких расстояниях. В мезонной

проходит через расчеты энергий связи ядерной

теории ядерных сил NN-взаимодействие на корот-

материи. Современный взгляд на такие расчеты

ких расстояниях описывается обменом тяжелыми

состоит в том, что 3NF-силы важны для понимания

мезонами:

∫

насыщения в ядрах. 2NF-силы существенно завы-

exp (iQ · r)

exp (-m_ω,ρr)

шают энергию связи ядерной материи, тогда как

d³Q

∼

(17)

m2ω,ρ + Q²

3NF-силы вносят “отталкивание”, причем сильно

зависящее от плотности, что ведет к насыщению

При разложении по степеням малого импульса Q:

при правильных значениях энергии связи и плот-

ности.

≈

(18)

Относительно успешными оказались расчеты

m2ω,ρ + Q²

(

)

с силами, получившими в литературе название

Q²

Q⁴

“магические силы” [39, 40]. С помощью этого

≈

m2ω,ρ

m4ω,ρ

взаимодействия удается воспроизвести экспери-

ментальные энергии связи ядер вплоть до изото-

Так как члены разложения в круглых скобках дей-

пов Sn. Правда, рассчитанные зарядовые радиусы

ствуют напрямую между нуклонами, их называют

ядер оказались меньше экспериментальных. В этих

контактными членами.

расчетах воспроизводятся и свойства насыщения

В 2002 г. было установлено, что расчет NN-

ядерной материи, хотя и при несколько большей

потенциала нужно проводить до N³LO-порядка. В

плотности. “Магические силы” включают 2NF-

этом случае достигается такая же точность описа-

силы, полученные в N³LO- приближении и улуч-

ния нуклон-нуклонных фаз при энергиях не выше

шенные с помощью метода ренормгруппы (SRG),

300 МэВ, что и с мезонными потенциалами, ко-

и 3NF-силы, полученные в приближении NNLO.

торые, однако, описывают фазы до энергий 1 ГэВ.

Расчеты с этими силами, однако, не являются

При этом число параметров ChEFT-потенциала —

последовательно ab initio.

24, а мезонного — 35. Таким образом, с помощью

Возникшая проблема особенно ярко иллюстри-

ChEFT фактически получено обоснование мезон-

руется при сравнении следующих двух недавно

ного потенциала.

выполненных расчетов. В [41, 42] использовалась

Фундаментальной целью теоретической ядер-

комбинация 2NF- и 3NF-сил, полученных в рам-

ной физики является объяснение структуры ядра

ках ChEFT, параметры которых фиксировались

и ядерных реакций, основываясь на силах, дей-

по энергии связи тритона и свойствам насыщения

ствующих между нуклонами. В настоящий момент

ядерной материи. Расчеты для ядер промежуточной

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

343

массы вплоть до⁶⁸Ni продемонстрировали недо-

объясняется использованием ренормгруппы, яв-

оценку энергий связи ядер и слишком большие

ляется источником дополнительного притяжения,

величины их радиусов. В [43] использовались те

проявляющегося в расчетах энергий связи. Это ве-

же самые 2NF-силы, однако параметры 3NF-сил

дет к тому, что член второго порядка по тензорному

взаимодействию необычно мал, а центральный по-

фиксировались по энергиям связи тритона и¹⁶O.

тенциал большой и притягивающий. Такая степень

Расчеты с этими силами воспроизводят энергии

нелокальности в настоящее время не может быть

связи и зарядовые радиусы ядер вплоть до⁷⁸Ni.

достигнута любым обычным киральным потенциа-

Однако они дают слишком большую энергию связи

лом.

ядерной материи, при этом насыщение наступает

Таким образом, проблема описания свойств

при неправильном значении плотности.

ядер средней массы и тяжелых ядер с помощью

Возникшие трудности в одновременном опи-

реалистических сил остается нерешенной.

сании свойств конечных ядер и ядерной материи

были преодолены с помощью потенциалов (GO-

потенциалы), полученных в [44, 45]. Однако было

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

показано, что начиная с энергии около 100 МэВ

Фундаментальной целью теоретической ядер-

и выше, фазы NN-рассеяния, рассчитанные с

ной физики является объяснение структуры ядра

помощью GO-потенциалов, существенно отлича-

и ядерных реакций, основываясь на силах, дей-

ются от экспериментальных. Оказалось, что χ²

ствующих между нуклонами. В настоящий момент

для этих потенциалов в 3 раза превышают ре-

ядерно-физическое сообщество рассматривает ки-

зультат, полученный 60 лет назад с потенциалом

ральную эффективную теорию поля как наиболее

Хамада-Джонстона. По этой причине параметры

авторитетную основу для вывода таких сил. Пер-

GO-потенциалов были переопределены так, чтобы

воначально расчеты с такими силами проводились

удовлетворительно описывать NN-данные. Расче-

вплоть до¹⁶O и дали хорошие результаты как для

ты для ядерной материи с переопределенными по-

энергий связи, так и для зарядовых радиусов ядер.

тенциалами продемонстрировали заметно меньшее

Ситуация изменилась, когда стало возможным де-

притяжение, чем исходные GO-потенциалы.

лать расчеты для ядер средней массы и тяжелых

Различие между потенциалом, базирующимся

ядер. В настоящий момент проблема описания

на

“магических силах”, и остальными менее

свойств тяжелых ядер с помощью реалистических

успешными потенциалами, полученными на основе

сил остается нерешенной.

ChEFT, лежат в 2NF-части этих потенциалов.

Хотя в обоих случаях использование только 2NF-

сил ведет к переоценке энергии связи ядерной

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

материи, в случае “магического” потенциала эта

1. М. Гепперт-Майер, Дж. Йенсен, Элементарная

переоценка гораздо большая. Точно так же, как и в

теория ядерных оболочек (Иностр. лит., Москва,

случае “магического” потенциала, 2NF-часть GO-

1958).

потенциалов ведет к сильной переоценке энергии

2. О. Бор, Б. Моттельсон, Структура ядра (Мир,

связи ядерной материи. Переопределенные же

Москва, 1977).

GO-потенциалы являются заметно менее притя-

3. Н. Н. Боголюбов, ДАН СССР 119, 52 (1958).

гивающими, чем исходные GO-потенциалы. Было

4. A. Bohr, B. Mottelson, and D. Pines, Phys. Rev. 110,

показано, что оба эффекта ядерной среды: запрет

936 (1958).

перерассеяния в занятые состояния и изменения

5. В. Г. Соловьев, ДАН СССР 123, 652 (1958).

одночастичных энергий, ведут к уменьшению

6. V. G. Soloviev, Nucl. Phys. 9, 655 (1958/1959).

притяжения, источником которого является член

7. S. T. Belyaev, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 31

второго порядка по тензорному взаимодействию

(11) (1959).

в уравнении для G-матрицы. При этом, чем

8. S. G. Nilsson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29

сильнее тензорные силы, тем сильнее влияние

(16) (1955).

среды на редукцию притяжения, и наоборот. GO-

9. M. Baranger, Phys. Rev. 120, 957 (1960).

10. D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev. 92, 609 (1953).

потенциалы имеют очень слабую тензорную ком-

11. В. Г. Соловьев, Теория атомного ядра: Квази-

поненту. Для описания данных по pp-рассеянию

частицы и фотоны (Энергоатомиздат, Москва,

нужна более сильная тензорная компонента, как

1989).

в переопределенных GO-потенциалах. Когда GO-

12. M. Sakai, Nucl. Phys. A 104, 301 (1967).

потенциалы корректируются, чтобы описывать

13. D. Janssen, R. V. Jolos, and F. D ¨onau, Nucl. Phys. 24,

данные по рассеянию, предсказания для энергий

93 (1974).

связи ядер промежуточной массы ухудшаются.

14. A. Arima and F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 35, 1069

Экстраординарная нелокальность потенциала,

(1975).

полученного на основе “магических сил”, которая

15. C. W. Johnson, Phys. Rev. C 91, 034313 (2015).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023

344

ДЖОЛОС

16. S. Cohen and D. Kurath, Nucl. Phys. 73, 1 (1965).

33. J. Erler, P. Kl ¨upfel, and P.-G. Reinhard, J. Phys. G:

17. А. Н. Бояркина, Структура ядер 1p-оболочки

Nucl. Part. Phys. 38, 033101 (2011).

(Изд-во Моск. ун-та, Москва, 1973).

34. L. M. Robledo, T. R. Rodriguez, and R. R. Rodriguez-

18. A. E. Mccoy, M. A. Caprio, T. Dytrych, and Foscano,

Guzm ´an, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 46, 013001

Phys. Rev. Lett. 125, 102505 (2020).

(2019).

19. А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и

35. Y. Nosyk, D. R. Entem, and R. Machleidt, Phys. Rev.

свойства атомных ядер (Наука, Москва, 1965).

C 104, 054001 (2021).

20. V. A. Khodel and E. E. Saperstein, Phys. Rep. 92, 183

36. B. R. Barrett, P. Navratil, and J. P. Vary, Prog. Part.

(1982).

Nucl. Phys. 69, 131 (2013).

21. A. V. Smirnov, S. V. Tolokonnikov, and S. A. Fayans,

37. D. Lonardoni, A. Lovato, S. C. Pieper, and R. B. Wi-

Sov. J. Nucl. Phys. 48, 995 (1988).

ringa, Phys. Rev. C 96, 024326 (2017).

22. T. T. S. Kuo and G. E. Brown, Nucl. Phys. 85, 40

38. S. Binder, J. Langhammer, A. Calci, and R. Roth,

(1966).

Phys. Lett. B 736, 119 (2014).

23. M. Dufour and A. Zuker, Phys. Rev. C 54, 1641

(1996).

39. K. Hebeler, S. K. Bogner, R. J. Furnstahl, A. Nogga,

24. R. Machleidt and D. R. Entem, Phys. Rep. 503, 1

and A. Schwenk, Phys. Rev. C 83, 031301(R) (2011).

(2011).

40. K. Hebeler, Phys. Rep. 890, 1 (2021).

25. R. Machleidt, Int. J. Mod. Phys. E 26, 1740018

41. C. Drischler, K. Hebeler, and A. Schwenk, Phys. Rev.

(2017).

Lett. 122, 042501 (2019).

26. M. M. Johnson and E. Teller, Phys. Rev. 98, 783

42. J. Hoppe, C. Drischler, K. Hebeler, A. Schwenk, and

(1955).

J. Simons, Phys. Rev. C 100, 024318 (2019).

27. H.-P. D ¨urr, Phys. Rev. 103, 469 (1956).

43. T. H ¨uther, K. Vobig, K. Hebeler, R. Machleidt, and

28. B. D. Serot and J. D. Walecka, Adv. Nucl. Phys. 16, 1

R. Roth, Phys. Lett. B 808, 135651 (2020).

(1986).

29. P.-G. Reinhard, Rep. Progr. Phys. 52, 439 (1989).

44. A. Ekstr ¨om, G. Hagen, T. D. Morris, T. Papenbrock,

30. B. D. Serot, Rep. Prog. Phys. 55, 1855 (1992).

and P. D. Schwartz, Phys. Rev. C 97, 024332 (2018).

31. P. Ring, Prog. Part. Nucl. Phys. 37, 193 (1996).

45. W. G. Jiang, A. Ekstr ¨om, C. Forssen, G. Hagen,

32. T. Nik ˇsi ´c, D. Vretenar, and P. Ring, Prog. Part. Nucl.

G. R. Jansen, and T. Papenbrock, Phys. Rev. C 102,

Phys. 66, 519 (2011).

054301 (2020).

NUCLEON-NUCLEON INTERACTION AS A BASIS FOR INVESTIGATION

OF THE STRUCTURE OF HEAVY NUCLEI

R. V. Jolos^1),2)

¹⁾Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia

²⁾Dubna State University, Dubna, Russia

A brief analysis of the development of theoretical approaches to the description of the structure of heavy

atomic nuclei is given. The focus is on approaches based on nucleon-nucleon interaction. An approach

based on the relativistic energy density functional is considered. The results of calculations of binding

energies and radii of nuclei obtained within the framework of chiral effective field theory are discussed.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№2

2023