ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 3, с. 436-443
ЯДРА
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
И ЯДЕРНЫЕ РАДИУСЫ ИЗОТОПОВ Hg
©2023 г. И. Н. Борзов1),2)*, С. С. Панкратов1),3)**, С. В. Толоконников1),3)***
Поступила в редакцию 29.11.2022 г.; после доработки 29.11.2022 г.; принята к публикации 06.12.2022 г.
В рамках подхода энергетического функционала плотности Фаянса выполнены самосогласованные
расчеты потенциальных поверхностей, квадрупольных моментов и зарядовых радиусов изотопов ртути
178-208Hg. Показано существование слабо сплюснутых и сильно вытянутых изомерных состояний.
Зарядовые радиусы предсказываются с характерной точностью 0.01 фм, кроме трех особых случаев
181,183,185Hg.
DOI: 10.31857/S0044002723030054, EDN: RKPYOS
1. ВВЕДЕНИЕ
(пропорциональный N - Nmag) при заселении ней-
тронами орбиталей над магическими оболочками с
В последнее время существенно расширились
Nmag = 28, 50.
возможности измерений дифференциальных заря-
Особое внимание привлечено к экспериментам
довых радиусов, магнитных дипольных и электри-
по лазерной спектроскопии тяжелых нейтронно-
ческих квадрупольных моментов благодаря разви-
избыточных ядер, в которых получена расширен-
тию методов резонансно-ионизационной лазерной
ная информация о свойствах основных состоя-
спектроскопии. В серии экспериментов на уста-
ний. Новые измерения в изотопах Hg [3], во-
новке RILIS (CERN) были проведены прецизион-
первых, подтверждают известный эффект — ано-
ные измерения изотопической зависимости диффе-
мальный рост радиусов в области середины обо-
ренциальных среднеквадратичных (ms) радиусов в
лочки N = 104, связываемый с “дрожанием фор-
среднетяжелых и тяжелых ядрах.
мы” изотопов (shape staggering) [4, 5] при пе-
Универсальные (не зависящие от массового
реходе от четных (квазисферических — а точнее,
числа A) особенности изотопического поведения
слабо сплюснутых) к нечетным (сильно вытяну-
ядерных зарядовых радиусов хорошо известны.
тым) изотопам. Во-вторых, в этих экспериментах
Глобальный рост радиусов определяется жидко-
впервые найден характерный излом (kink) в диф-
капельной формулой R ∝ A1/3 и отражает свой-
ференциальных среднеквадратичных (mean square)
ства ядерной материи. Он сопровождается локаль-
ms-радиусах207,208Hg (Z = 80) при N = 126, ана-
ными квантовыми флуктуациями — характерным
логичный обнаруженному ранее в изотопах свинца
четно-нечетным “дрожанием” радиусов (odd-even
(Z = 82).
staggering — OES) в их изотопической зависимо-
Представляют интерес одновременные измере-
сти и изломами (kinks) при пересечении главных
ния зарядовых ms-радиусов, магнитных и квадру-
нейтронных оболочек. Недавние систематические
польных моментов. Такие эксперименты были про-
измерения и полностью микроскопические самосо-
ведены недавно в работе [6] для изотопов187-191Bi.
гласованные расчеты [1, 2] показывают новый эф-
Как и в изотопах Hg, при N = 105 также наблю-
фект — не зависящий от “силы” оболочки универ-
дался скачок ms-радиуса относительно соседних
сальный наклон дифференциальных ms-радиусов
изотопов с N = 104 и 106. Новые измерения маг-
нитных дипольных моментов изотопов платины [7],
1)Национальный исследовательский центр “Курчатовский
золота [8] и их анализ с учетом относительных
институт”, Москва, Россия.
коэффициентов сверхтонкой аномалии позволили
2)Лаборатория теоретической физики им. Боголюбова,
пересмотреть существующие экспериментальные
ОИЯИ, Дубна, Россия.
данные для ряда этих изотопов.
3)Московский физико-технический институт (националь-
Ранее в рамках подхода энергетического функ-
ный исследовательский университет), Долгопрудный,
Россия.
ционала плотности с использованием семейства
*E-mail: Borzov_IN@nrcki.ru
ЭФП Фаянса [9-11] была выполнена серия работ
**E-mail: Pankratov_SS@nrcki.ru
по расчетам ms-радиусов в изотопических цепоч-
***E-mail: Tolokonnikov_SV@nrcki.ru
ках в областях Ca [12, 13] и Cu [14]. Показано, что
436
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И ЯДЕРНЫЕ РАДИУСЫ ИЗОТОПОВ Hg
437
OES-эффекты возникают, в основном, за счет спе-
2. МЕТОД
цифической формы спаривания нуклонов, а именно
В подходе энергетического функционала плот-
благодаря его зависимости от градиента нуклонной
ности (ЭФП) полная энергия атомного ядра пред-
плотности. При этом описывается наблюдаемое
ставима в виде
уменьшение амплитуды OES при приближении
∫
к заполненным нейтронным оболочкам N = 32 и
E = E [ρn (r),ρp (r),νn (r),νp (r)]d3r,
(1)
N = 50. Аномальный рост ms-радиусов изотоповв
области Z = 20 при пересечении главной нейтрон-
а плотность энергии E зависит от распределений
ной оболочки N > 28 был объяснен нерегулярным
нормальной ρ (r) и аномальной ν (r) плотностей
вкладом квазичастично-фононной связи [12], кото-
нейтронов и протонов. В настоящей работе мы
рая, в принципе, может быть учтена самосогласо-
используем ЭФП Фаянса FaNDF0 [10].
ванным образом.
Плотность энергии содержит кинетический
Для анализа зарядовых ms-радиусов, измерен-
вклад и несколько слагаемых, определяющих вклад
ных в экспериментах ISOLDE(CERN) по колли-
сил взаимодействия
неарной лазерной спектроскопии, широко исполь-
зуются новые модификации функционала Фаянса.
E [ρ (r) , ν (r)] = Ekin + Eυ +
(2)
В методических целях исследовался “смешанный”
+Es +E+Esl +Epair.
вариант [15] с нормальной частью функционала
Скирма и аномальной из функционала Фаянса.
Плотность кинетической энергии имеет обыч-
Для глобальных расчетов применяются гибридные
ный вид
варианты оригинального функционала FaNDF0 с
∑
p2
новыми параметрами, определенными в расширен-
Ekin =
ψ+q (r,σ)
ψq (r,σ)
,
(3)
2mq
ном протоколе фитирования, и получившие назва-
σ,q
ния Fy(Δr, BCS) [15] и Fy(Δr, HFB) [16, 17].
где ψq — полевые операторы, отвечающие нейтро-
Масштаб OES-эффектов, полученных с данными
нам q = n и протонам q = p, а усреднение произво-
версиями ЭФП для36-52Ca,36-52K,75-81Cu [16,
дится по квазичастичному вакууму.
18, 19] заметнее, чем в наших расчетах, так как
Объемная часть энергии
параметры аномальной части в 1.5 раза больше,
чем в оригинальном функционале FaNDF0.
Eυ = C0ρ20 ×
(4)
В расчетах rms-радиусов и магнитных моментов
(
)
1-hυ1+xσ+
1-hυ1-x+
в изотопах Hg, Pb и Bi в подходах релятивист-
× aυ
x2+ + aυ
x2
-
-
+ 1+hυ2xσ+
1+hυ2-x+
ского Хартри-Боголюбова и нерелятивистского
Хартри-Фока-Боголюбова дано альтернативное
выражается через безразмерные изоскалярную
объяснение kink- и OES-эффектов, в рамках так
и изовекторную плотности x± (r) = ρ± (r) /2ρ0,
называемого функционала Ринга [20], в том числе в
где ρ± (r) = ρn (r) ± ρp (r),
2ρ0 = 0.16 фм-3.
области Z = 8-83, N ∼ 126. Был сделан вывод, что
природа этих эффектов не только в специфической
Нормировочный множитель C0 = (∂n/∂ε)-1F =
форме плотностной зависимости спаривания нук-
= 2εF/3ρ0 — обратная плотность состояний на
лонов. В значительной степени они определяются
поверхности Ферми в равновесной ядерной ма-
(
)2/3
среднеполевой динамикой, в том числе различиями
терии с энергией Ферми εF =
3π2ρ0
ℏ2/2m,
в заполнении нейтронных орбиталей в A-нечетных
где ℏ2/2m = 20.73553 МэВ фм2 (m отвечает
и четных ядрах. Одновременные расчеты rms-
среднему значению между нейтронной и протонной
радиусов и магнитных моментов основных и изо-
массами). Значения свободных параметров aυ±,
мерных состояний проводились в изотопах Bi [6],
hυ1(2)±, σ приведены в табл. 1.
где также обсуждалось возможное усиление OES-
эффекта за счет связи квазичастиц с фононами.
Поверхностная энергия имеет вид
Новые результаты по характеристикам основ-
as+r20 (∇x+)2
ных состояний ядер важны для понимания эволю-
Es = C0ρ2
(5)
,
ции свойств основных состояний при возрастании
01 + hs+xσ+ + hs∇r20 (∇x+)2
нейтрон-протонной асимметрии и для установле-
ния ограничений на параметры ядерных функци-
где характерная длина r0 = (3/8πρ0)1/3. Значения
оналов плотности и современных ab initio моде-
свободных параметров as+, hs+ приведены в табл. 1.
лей. Целью настоящей работы являются самосо-
Кулоновская энергия содержит прямой и моди-
гласованные расчеты в рамках единого функци-
фицированный обменный вклады
онала плотности энергий отделения, потенциаль-
∫
ных поверхностей, квадрупольных моментов и ms-
1
ρch (r′)
ECoul =
ρch (r)
d3r′ -
(6)
радиусов изотопов Hg.
2
|r - r′|
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
438
БОРЗОВ и др.
Таблица 1. Параметры нормальной части ЭФП (2)
e2 = 1.439978 МэВ фм. Учитывается ядерная
экранировка обменного кулоновского взаимо-
действия, что позволяет устранить известную
Параметр
Значение
аномалию Нолена-Шиффера. Значение соответ-
aυ+
-9.559
ствующего параметра hCoul приведено в табл. 1.
hυ1+
0.633
Плотность энергии Esl отвечает спин-орбитально-
му локальному двухчастичному взаимодействию
hυ2+
0.131
(
)
Vsl = C0r20
κ+κ′ττ′
×
(7)
σ
1/3
× [∇1δ (r1 - r2) (k1 - k2)] (σ1 + σ2)
aυ-
4.428
и имеет вид
hυ1-
0.25
(
)
hυ2-
1.30
Esl = C0r20
κJ+∇ρ+ + κ′J-∇ρ-
(8)
as+
0.60
Здесь J± = Jn ± Jp, где нейтронный (протонный)
∑
спин-орбитальный ток Jq = (-i)σ,σ′ ψq (r, σ) ×
hs+ = hυ2+
0.131
[
]
×
∇×σσ,σ′
ψq (r,σ′) . Значения параметров κ,
hs∇
0.44
κ′ приведены в табл. 1.
hCoul
0.941
Перечисленные выше слагаемые составляют
κ
0.19
нормальную компоненту используемого нами ЭФП
Фаянса FaNDF0, предложенного в работе [10].
κ′
0.0
Значения соответствующих параметров были
найдены в [10] из описания спин-орбитального
расщепления энергетических уровней208Pb, масс и
Таблица 2. Динамический зарядовый квадрупольный
момент нечетных изотопов ртути в основном состоянии
радиусов около 100 сферических ядер в области от
(бн), наблюдаемый экспериментально [29, 30] и вычис-
38Ca и до220Th со средним отклонением 1.2 МэВ и
ленный для ЭФП FaNDF0
0.01 фм для масс и радиусов соответственно. Кроме
того, выполнялось требование воспроизведения
A
Jp
Q экс.
Q FaNDF0
уравнения состояния симметричной ядерной и
нейтронной материи, предложенного в [21, 22].
181
1/2-
0
0
В отличие от [10], в настоящей работе используется
183
1/2-
0
0
приближение ρch (r) ≃ ρp (r) для прямой компо-
ненты кулоновского взаимодействия в (6).
185
1/2-
0
0
Аномальная часть ЭФП (2) имеет вид
187
3/2-
-0.75(18)
-0.793
∑
1
189
3/2-
-0.8(4)
-0.794
Epair =
C0fξ (x+)|νq (r)|2 ,
(9)
2
q
191
3/2-
-0.80(13)
-0.781
193
3/2-
-0.7(3)
-0.754
где аномальная плотность частиц q-го типа νq (r) =
= 〈ψq (r, ↑) ψq (r, ↓) - ψq (r, ↓) ψq (r, ↑)〉.
Форма
195
1/2-
0
0
спаривательного взаимодействия fξ (x+), предло-
197
1/2-
0
0
женная в [10], учитывает фононный вклад и дается
199
1/2-
0
0
выражением
201
3/2-
0.387(6)
-0.529
fξ (x+) = fξex + hξxγ+ + fξ∇r20 (∇x+)2 .
(10)
203
5/2-
0.344(7)
0.259
Свободные параметры аномальной части ЭФП
205
1/2-
0
0
FaNDF0 были найдены из данных по нейтронным
энергиям отделения и зарядовым радиусам цепочки
207
9/2+
-
-0.293
изотопов свинца:
ξ
fξex = -2.8, hξ = 2.8 и f∇
= 2.2. Параметр γ был
)1/3
3
(3
(
)
фиксирован, γ = 1.
-
e2ρp (r)4/3
1-hCoulxσ+
,
4
π
В настоящей работе используется более про-
стая параметризация спаривательного взаимодей-
где ρch (r) — плотность распределения заряда,
ствия (10), апробированная в работах [23-25],
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И ЯДЕРНЫЕ РАДИУСЫ ИЗОТОПОВ Hg
439
Sn, МэВ
fξex = -1.433, hξ = 1.375, f∇ = 0. Данная пара-
метризация позволила успешно описать не только
12
двухнейтронные энергии отделения и деформаци-
11
онные свойства изотопов свинца [23, 24], но и
различные характеристики ядер урановой области
10
[25].
9
Результаты исследования деформационных
свойств изотопов ртути, представленные в сле-
8
дующем разделе, получены с использованием
7
кода HFBTHO [26], адаптированного в [23] для
расчетов с настоящей параметризацией ЭФП
6
Фаянса FaNDF0. При этом число используемых
5
Эксп.
осцилляторных оболочек Nsh = 25, а энергия
FaNDF0
квазичастичных состояний, вклад которых учи-
4
тывается при расчетах распределений нуклонных
3
плотностей, ограничена величиной Ecut = 60 МэВ.
178
182
186
190
194
198
202
206
A
Рис. 1. Энергияотделениянейтронадляизотопической
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
цепочки ртути. Экспериментальные значения взяты из
работы [27].
3.1. Энергии отделения одного и двух нейтронов
Для изотопической цепочки ядер ртути рассчи-
S2n, МэВ
танные энергии отделения одного и двух нейтронов
21
Sn (N,Z) = B (N,Z) - B (N - 1,Z) ,
(11)
20
19
S2n (N,Z) = B (N,Z) - B (N - 2,Z),
(12)
18
где B (N, Z) — энергия связи ядра, представлены
17
на рис. 1 и рис. 2 соответственно. Для изотопов Hg
16
с A ≤ 202 среднеквадратичное отклонение между
15
экспериментальными и теоретическими значения-
14
ми составляет примерно 0.16 МэВ для каждой из
13
энергий отделения. Более значительно отклонение
12
Эксп.
(до 1 МэВ для Sn и до 1.5 МэВ для S2n) в области
11
FaNDF0
тяжелых изотопов. Причина этого понятна — на
10
энергетической кривой изотопа204Hg возникает
9
дополнительный локальный минимум, отвечающий
8
метастабильному состоянию со слабо сплюснутой
178
182
186
190
194
198
202
206
A
формой. Величина барьера между состояниями со-
ставляет всего лишь порядка 50 кэВ. Это должно
Рис. 2. Энергия отделения двух нейтронов для изото-
приводить к их смешиванию, что не учитывается в
пической цепочки ртути. Экспериментальные значения
настоящем подходе.
взяты из работы [27].
3.2. Деформационные свойства изотопов Hg
202Hg основное состояние приобретает сплюсну-
тую форму.
На рис. 3 представлен наш расчет потенци-
Потенциальные поверхности для более легких
альных поверхностей (зависимость энергии E (β2)
изотопов ртути показаны на рис. 4. Как видно, для
от параметра β2) для четных изотопов ртути с
четных изотопов с188Hg по200Hg основное состо-
202-208Hg. Для каждого ядра энергия отсчиты-
яние характеризуется сплюснутой формой. Кроме
вается от энергии его основного состояния Egs,
того, у этих изотопов существует метастабильное
обладающего равновесной деформацией βgs2. Вид-
состояние с вытянутой формой.
но, что тяжелые изотопы204,206,208Hg оказываются
Кривые энергии для самых легких из рассмат-
сферическими. При этом для204Hg на энергетиче-
риваемых изотопов ртути представлены на рис. 5.
ской кривой возникает дополнительный локальный
Данные изотопы обладают двумя метастабильны-
минимум, отвечающий метастабильному состоя-
ми состояниями со слабо и сильно вытянутой фор-
нию со слабо сплюснутой формой, а для изотопа
мой наряду со сплюснутым основным состояни-
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
440
БОРЗОВ и др.
E(β2) - Eg.s., МэВ
E(β2) - Eg.s., МэВ
3.0
3.5
3.0
2.5
2.5
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
208Hg
1.0
186Hg
206Hg
184Hg
204Hg
0.5
180Hg
0.5
202Hg
178Hg
0
0
-0.15
-0.10
-0.05
0
0.05
0.10
0.15
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
β2
β2
Рис. 3. Полная энергия изотопов ртути 202 ≤ A ≤ 208
Рис. 5. То же, что на рис. 3, но для 178 ≤ A ≤
186.
как функция параметра массовой квадрупольной де-
формации β2.
Rch, фм
5.52
E(β2) - Eg.s., МэВ
Эксп. данные, изотопы Hg основное сост.:
3.5
5.50
I. Angeli, K. P. Marinova (2013)
B. A. Marsh et al. (2018)
5.48
B. Day Goodacre et al. (2021)
3.0
5.46
2.5
5.44
2.0
5.42
5.40
1.5
5.38
Расчет FaNDF0:
200Hg
Изотопы Hg в основном сост.
1.0
слабо вытянутый изомер
196Hg
5.36
сильно вытянутый изомер
192
Hg
0.5
5.34
188Hg
178
182
186
190
194
198
202
206
A
0
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
β2
Рис. 6. Зарядовые радиусы изотопов ртути.
Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для 188 ≤ A ≤ 200.
√
=
〈R2ch〉 приближенно определяется выраже-
нием:
ем. Предсказание существования трех конкуриру-
ющих по энергии состояний для изотопов ртути
〈R2ch〉 = 〈r2p〉Z + 〈r2ch〉p + (N/Z) 〈r2ch〉n.
(13)
в этой массовой области согласуется с расче-
(∫
)
тами с энергетическими функционалами Скирма
Здесь 〈r2p〉Z =
r2ρp (r) d3r
/Z — средний квад-
UNEDF1 и Sly5∗ в работе [5].
рат радиуса, вычисленный по распределению
плотности точечных протонов для данного ядра,
〈r2ch〉p = 0.708 (3) фм2 — средний квадрат радиуса
3.3. Зарядовые радиусы изотопов Hg
для распределения заряда в протоне [28], 〈r2ch〉n =
Для изотопов ртути существуют эксперимен-
= -0.115(3) фм2 — средний квадрат радиуса для
тальные данные по зарядовым радиусам
[4],
распределения заряда в нейтроне [4].
включая новые данные по самым легким [5] и тя-
желым [3] изотопам. Зарядовый радиус ядра Rch =
Предсказываемые в расчетах с используемой
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И ЯДЕРНЫЕ РАДИУСЫ ИЗОТОПОВ Hg
441
стояние, по-видимому, обладает сильно вытяну-
E(β2) - Eg.s., МэВ
той формой (β2 ∼ 0.2-0.3), поскольку подобные
3.5
по величине радиусы предсказываются (зеленая
185Hg 1/2-
кривая на рис. 6) для сильно вытянутых, но мета-
3.0
183Hg 1/2-
стабильных в наших расчетах состояний. Потен-
181Hg 1/2-
2.5
179Hg 7/2-
циальные поверхности для изотопов181,183,185Hg
со спином и четностью 1/2-, соответствующими
2.0
основному состоянию, приведены на рис. 7. Как
видно, сильно вытянутый изомер лежит по энергии
1.5
выше основного состояния примерно на 2 МэВ,
как и в соседних четных изотопах. В то же время
1.0
рис. 1 и рис. 2 в области 181 ≤ A ≤ 185 показы-
вают неплохое совпадение рассчитанных энергий
0.5
отделения с экспериментальными (точность ∼0.1-
0.2 МэВ). Таким образом, если ориентироваться на
0
значения зарядовых радиусов, то энергетический
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
минимум сильно вытянутого состояния для изото-
β2
пов181,183,185Hg должен находиться лишь слегка
ниже минимума слабо сплюснутого состояния. На
рис. 7 также приведена потенциальная поверхность
Рис. 7. То же, что на рис. 3, но для A = 181, 183, 185.
для изотопа179Hg в состояниях 7/2-. Как видно, у
этого ядра сильно вытянутый изомер отсутствует.
Q0, барн
Чтобы убедиться в надежности определения
9
деформации основного состояния для изотопов
8
Расчет FaNDF0:
Hg, отличных от трех особых случаев A = 181,
7
основное сост.
слабо сплюснутый изомер
183, 185, обратимся к нашему расчету зарядовых
6
слабо вытянутый изомер
квадрупольных моментов. В табл. 2 представлено
сильно вытянутый изомер
5
сравнение экспериментальных значений зарядо-
4
вых квадрупольных моментов с найденными для
3
ЭФП FaNDF0. На рис. 8 показаны собствен-
2
ные зарядовые квадрупольные моменты Q0 =
∫
(
)
1
=
ρp (r) r2
3 cos2 ϑ - 1
d3r основного состоя-
0
ния всех изучаемых изотопов ртути, а также мета-
-1
стабильных состояний всех четных и определенных
-2
нечетных A = 179, 181, 183, 185, 201 изотопов. Из
-3
таблицы видно хорошее согласие для изотопов
-4
187Hg,
189Hg,
191Hg, 193Hg. Это подтверждает
-5
178
182
186
190
194
198
202
206
A
сплюснутую форму деформации основного состо-
яния в этой области. Для изотопа201Hg экспери-
Рис. 8. Собственный зарядовый квадрупольный мо-
мент дает положительный квадрупольный момент
мент изотопов ртути.
в основном состоянии, в то время как расчет
предсказывает отрицательный. Потенциальная
поверхность для изотопа
201Hg в состояниях
параметризацией функционала FaNDF0 зарядо-
с 3/2- представлена на рис. 9. Видно, что у
вые радиусы четных изотопов ртути в основном
и метастабильных состояниях, а также нечетных
этого изотопа предсказывается слабо вытянутое
изотопов в основном состоянии представлены на
изомерное состояние с квадрупольным моментом
рис. 6 вместе с известными из эксперимента зна-
Q = 0.235 бн. По-видимому, это состояние должно
быть основным.
чениями зарядовых радиусов изотопов ртути в ос-
новном состоянии. Кроме того, на нем нанесе-
Для изотопа203Hg наш расчет предсказывает
ны зарядовые радиусы метастабильных состояний
вытянутую форму основного состояния в согла-
изотопов181,183,185Hg. При исключении трех осо-
сии с экспериментальными данными. Для изото-
бых точек A = 181, 183, 185 зарядовые радиусы
пов205Hg и207Hg ЭФП FaNDF0 предсказывает
в основных состояниях предсказываются со сред-
сферическую и слабо сплюснутую форму соответ-
неквадратичным отклонением 0.01 фм. В нечет-
ственно. Соответствующие потенциальные кривые
ных изотопах181Hg,183Hg,185Hg основное со-
приведены на рис. 9. Отметим, что при расчетах
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
442
БОРЗОВ и др.
E(β2) - Eg.s., МэВ
[5]. Зарядовые радиусы четных изотопов в этой об-
3.0
ласти также описываются со средним отклонением
207Hg 9/2+
от эксперимента, составляющим 0.01 фм.
205Hg 1/2-
2.5
Экспериментально известные скачки зарядовых
203Hg 5/2-
радиусов для нечетных изотопов181-185Hg не вос-
201Hg 3/2-
производятся, поскольку эти нечетные изотопы,
2.0
по-видимому, обладают сильно вытянутой формой
в основном состоянии. Это означает, что для близ-
1.5
ких четных изотопов, например182Hg,184Hg, ме-
тастабильное состояние с сильно вытянутой фор-
1.0
мой должно быть близко по энергии к основному
состоянию [5]. Наш подход недостаточно точно
предсказывает положение энергетического мини-
0.5
мума сильно вытянутого метастабильного состоя-
ния. Возможно, что деформация такого состояния
0
более сложная, чем рассмотренная квадрупольная.
-0.15
-0.10
-0.05
0
0.05
0.10
0.15
β2
Для тяжелых изотопов от202Hg до208Hg из
расчета не ожидается существование изомерных
состояний, за исключением изотопа204Hg, у ко-
Рис. 9. То же, что на рис. 3, но для A = 201, 203.
торого сферическая форма конкурирует со сла-
бо сплюснутой. Для четных изотопов204-208Hg и
нечетных ядер блокировалось ближайшее к по-
нечетного205Hg основное состояние имеет сфе-
верхности Ферми одночастичное состояние, отве-
рическую форму. Для203Hg основное состояние
чающее наблюдаемому спину и четности основного
предсказывается слабо вытянутым, что согласу-
состояния нечетного изотопа. Блокировка прово-
ется с наблюдаемым зарядовым квадрупольным
дилась как для частичных, так и для дырочных
моментом [29, 30]. Для изотопа207Hg расчет пред-
состояний. Потенциальная поверхность нечетного
сказывает слабо сплюснутую форму основного со-
ядра отвечает минимальной энергии в состоянии
стояния. Зарядовые радиусы в области тяжелых
с заданными спином и четностью при заданной
изотопов воспроизводятся со средним отклонением
деформации β2.
от эксперимента, составляющим 0.004 фм.
Суммируя, можно заключить, что универсаль-
ная параметризация функционала FaNDF0 [10],
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
описывающая уравнения состояния ядерной и ней-
Самосогласованные расчеты квадрупольной
тронной материи [21, 22] и энергии связи около
деформации цепочки изотопов ртути показывают
100 сферических ядер, позволяет описать также
сосуществование слабо вытянутого изомерного
зарядовые ms-радиусы и квадрупольные моменты
состояния наряду со слабо сплюснутым основным
для большинства деформированных изотопов рту-
состоянием в четных изотопах от188Hg до200Hg.
ти, за исключением аномалии в нечетных изотопах
Сравнение рассчитанных зарядовых квадруполь-
181-185Hg.
ных моментов для нечетных изотопов187Hg,189Hg,
В дальнейшем представляют интерес расчеты
191Hg, 193Hg с наблюдаемыми согласуется со
этих характеристик для ядер вблизи данной массо-
сплюснутой формой изотопов в этой области.
вой области, в которых основные состояния фик-
Таким образом, подтверждается относительное
сируются блокировкой квазичастичной конфигу-
расположение рассчитанных энергетических ми-
рации соответствующей спин-четности основного
нимумов на поверхности потенциальной энер-
состояния. Последняя может быть установлена из
гии. Рассчитанные зарядовые радиусы четных
сравнения экспериментальных магнитных момен-
изотопов в этой массовой области достаточно
тов с рассчитанными для набора возможных зна-
хорошо описывают экспериментальные данные с
чений Jp. Важен также учет эффектов смешивания
типичным средним отклонением от эксперимента,
конфигураций.
составляющим 0.01 фм.
С.С.П. выражает благодарность Д.С. Блау за
В области легких изотопов от178Hg до186Hg
обсуждение затронутых в статье вопросов. Работа
наш расчет предсказывает наличие двух метаста-
выполнена при частичной поддержке внутренне-
бильных состояний со слабо и сильно вытянутой
го гранта НИЦ “Курчатовский институт”, приказ
формой наряду со слабо сплюснутым основным
№ 2184 от 18.08.2022 (расчет потенциальных по-
состоянием, что согласуется с другими расчетами
верхностей) и гранта РНФ № 21-12-00061 (расчет
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА И ЯДЕРНЫЕ РАДИУСЫ ИЗОТОПОВ Hg
443
зарядовых радиусов и квадрупольных моментов),
F. Sommer, C. Sumithrarachchi, et al., Nat. Phys.
а также с использованием оборудования центра
15, 432 (2019).
коллективного пользования “Комплекс модели-
17.
P.-G. Reinhard, W. Nazarewicz, and R. F. Garcia
рования и обработки данных исследовательских
Ruiz, Phys. Rev. C 101, 021301(R) (2020) and
установок мега-класса” НИЦ “Курчатовский ин-
Supplemental Material at
RevC.101.021301
18.
R. F. Garcia Ruiz, M. L. Bissell, K. Blaum,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
A. Ekstr ¨om, N. Fr ¨ommgen, G. Hagen, M. Hammen,
1.
K. Minamisono et al., Phys. Rev. Lett. 117, 252501
K. Hebeler, J. D. Holt, G. R. Jansen, M. Kowalska,
(2016).
K. Kreim, W. Nazarewicz, R. Neugart, G. Neyens,
2.
M. Kortelainen, Z. Sun, G. Hagen, W. Nazarewicz,
W. N ¨ortersh ¨auser, et al., Nat. Phys. 12, 594 (2016).
T. Papenbrock, and P.-G. Reinhard, Phys. Rev. C 105,
19.
A. Koszor ´us, X. F. Yang, W. G. Jiang S. J. Novario,
L021303 (2022).
S. W. Bai, J. Billowes, C. L. Binnersley, M. L. Bissell,
3.
T. Day Goodacre et al., Phys. Rev. Lett. 126, 032502
T. E. Cocolios, B. S. Cooper, R. P. de Groote,
(2021).
A. Ekstr ¨om, K. T. Flanagan, C. Forss ´en, S. Franchoo,
4.
I. Angeli and K. P. Marinova, At. Data Nucl. Data
R. F. Garcia Ruiz, et al., Nat. Phys. 17, 439 (2021).
Tables 99, 69 (2013).
5.
S. Sels et al., Phys. Rev. C 99, 044306 (2019).
20.
U. C. Perera, A. V. Afanasjev, and P. Ring, Phys. Rev.
6.
A. Barzakh et al., Phys. Rev. Lett. 127, 192501
C 104, 064313 (2021).
(2021).
21.
B. Friedman and V. R. Pandharipande, Nucl. Phys. A
7.
Y. Hirayama, M. Mukai, Y. X. Watanabe, P. Schury,
361, 502 (1981).
H. Nakada, J. Y. Moon, T. Hashimoto, S. Iimura,
22.
R. B. Wiringa, V. Fiks, and A. Fabrocini, Phys. Rev.
S. C. Jeong, M. Rosenbusch, M. Oyaizu, T. Niwase,
38, 1010 (1988).
M. Tajima, A. Taniguchi, M. Wada, and H. Miyatake,
Phys. Rev. C 106, 034326 (2022).
23.
S. V. Tolokonnikov, I. N. Borzov, M. Kortelainen,
8.
A. E. Barzakh et al., Phys. Rev. C 101, 034308
Y. S. Lutostansky, and E. E. Saperstein, J. Phys. G
(2020).
42, 075102 (2015).
9.
S. A. Fayans, S. V. Tolokonnikov, E. L. Trykov, and D.
24.
S. V. Tolokonnikov, I. N. Borzov, Y. S. Lutostansky,
Zawischa, Nucl. Phys. A 676, 49 (2000).
and E. E. Saperstein, Phys. At. Nucl. 79, 21 (2016).
10.
С. А. Фаянс, Письма в ЖЭТФ 68, 161 (1998)
25.
S. V. Tolokonnikov, I. N. Borzov, Y. S. Lutostansky,
[S. A. Fayans, JETP Lett. 68, 169 (1998)].
I. V. Panov, and E. E. Saperstein, Phys. At. Nucl. 80,
11.
S. V. Tolokonnikov and E. E. Saperstein, Phys. At.
Nucl. 73, 1684 (2010).
631 (2017).
12.
E. E. Saperstein, I. N. Borzov, and S. V. Tolokonnikov,
26.
M. V. Stoitsov, N. Schunck, M. Kortelainen,
JETP Lett. 104, 218 (2016).
N. Michel, H. Nam, E. Olsen, J. Sarich, and S. Wild,
13.
I. N. Borzov and S. V. Tolokonnikov, Phys. At. Nucl.
Comput. Phys. Commun. 184, 1592 (2013).
85, 222 (2022).
27.
Meng Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi, and
14.
I. N. Borzov and S. V. Tolokonnikov, Phys. At. Nucl.
S. Naimi, Chin. Phys. C 45, 030003 (2021).
83, 795 (2020).
15.
P.-G. Reinhard and W. Nazarewicz, Phys. Rev. C 95,
28.
064328 (2017).
29.
N. J. Stone, At. Data Nucl. Data Tables 90, 75 (2005).
16.
A. J. Miller, K. Minamisono, A. Klose, D. Garand,
30.
N. J. Stone,
C. Kujawa, J. D. Lantis, Y. Liu, B. Maaß,
P. F. Mantica, W. Nazarewicz, W. N ¨ortersh ¨auser,
S. V. Pineda, P.-G. Reinhard, D. M. Rossi,
nds-0658.pdf
DEFORMATION PROPERTIES AND NUCLEAR RADII OF Hg ISOTOPES
I. N. Borzov1),2), S. S. Pankratov1),3), S. V. Tolokonnikov1),3)
1)National Research Centre “Kurchatov Institute”, Moscow, Russia
2)Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, JINR, Dubna, Russia
3)Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University),
Dolgoprudny, Russia
Self-consistent calculations of potential surfaces, quadrupole moments and charge radii for mercury
isotopes178-208Hg are performed within Fayans energy density functional. The weakly oblate and strongly
prolate isomeric states are shown to occur. The charge radii are predicted with typical accuracy of 0.01 fm
except for the three specific cases of181,183,185Hg.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
