ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 3, с. 428-435
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
И СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ОПИСАНИИ СТОЛКНОВЕНИЙ
АТОМНЫХ ЯДЕР
© 2023 г. А. Т. Дьяченко1),2)*
Поступила в редакцию 27.12.2022 г.; после доработки 27.12.2022 г.; принята к публикации 27.12.2022 г.
В настоящей работе получены уравнения квантовой релятивистской гидродинамики из уравнения
Клейна-Гордона, которые в нерелятивистском квазиклассическом пределе сводятся к традиционным
уравнениям гидродинамики идеальной жидкости. Найдено аналитическое решение уравнений гид-
родинамики в приближении солитонов для столкновения ядерных слоев в одномерном и двумерном
случаях. Отмечается важность учета неравновесных процессов. Рассмотрены стадия сжатия, стадия
расширения и стадия разлета в рамках единой формулы для слоев с энергиями порядка десяти МэВ
на нуклон. Такое сведение решений уравнений гидродинамики к солитонным решениям ранее не
рассматривалось. Обобщение на двумерный случай приводит к представлению об образовании на
стадии расширения разреженной области — пузыря. А сам подход может быть использован и в других
областях физики при расчетах нелинейной динамики колебаний сложных систем.
DOI: 10.31857/S0044002723030078, EDN: RKTKBC
1. ВВЕДЕНИЕ
использованием односолитонных решений уравне-
ния Кортевега-де Фриза [14, 15] как в работе [16]
Уравнения квантовой релятивистской гидроди-
для слабой нелинейности, так и в случае нели-
намики можно получить из уравнения Клейна-
нейных возмущений большой амплитуды для удар-
Гордона [1, 2] по аналогии с представлением Ма-
ных волн. В рамках единой формулы могут быть
делунга [3] для временного уравнения Шрединге-
описаны стадии сжатия, расширения и разлета
ра. В квазиклассическом приближении получаются
вещества. Это представляет самостоятельный ин-
традиционные уравнение непрерывности и уравне-
терес, поскольку солитоны играют большую роль
ние Эйлера.
в физике элементарных частиц и ядерной физике.
В случае атомного ядра, состоящего из нук-
Нам было важно убедиться, что дисперсионные
лонов, его свойства могут быть описаны моделью
члены, появляющиеся в уравнениях гидродинамики
жидкой капли, предложенной Бором и Уиллером
и в уравнении Кортевега-де Фриза, не нарушают
для описания процесса деления [4]. Штокер и Грай-
представления об образовании горячего пятна hot
нер одними из первых применили гидродинамику к
spot. Обобщение этого рассмотрения на двумерный
столкновениям тяжелых ионов [5].
случай приводит к близкой динамике колебаний
Для исследования столкновений тяжелых ионов
сложной системы, а также к возникновению обла-
важен выбор уравнения состояния (EOS —
сти разрежения — пузыря в центре при расшире-
equation of state). В гидродинамическом подходе
нии системы.
в качестве уравнения состояния можно выбрать
Образование и существование пузырчатых ядер
локально-равновесное уравнение состояния, от-
относится к ядерной экзотике. Поиск и исследова-
вечающее наступлению локального термодинами-
ние пузырчатых ядер имеет долгую историю. Этим
ческого равновесия [5]. В наших работах [6-13]
занимались, например, Сименс и Бете [17] и Вонг
предложено неравновесное уравнение состояния.
[18]. В работе [19] в капельной модели с оболочеч-
Решение этих уравнений гидродинамики в од-
ными поправками была обоснована возможность
номерном случае можно получить аналитически с
образования устойчивого пузыря только для сверх-
тяжелых ядер с зарядовым числом Z > 120. Но
1)НИЦ “Курчатовский институт”— ПИЯФ, Гатчина, Рос-
вот в работе [20] было предсказано с помощью
сия.
метода Хартри-Фока-Боголюбова и подтвержде-
2)Петербургский государственный университет путей со-
но экспериментально существование разрежения
общения Императора Александра I, Санкт-Петербург,
Россия.
в центре для плотности протонов дважды маги-
*E-mail: dyachenko_a@mail.ru
ческого ядра34Si. В работе [21] c помощью ре-
428
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
429
⎡
iℏ ∂ ln Ψ
лятивистского метода Хартри-Фока-Боголюбова
∂-
⎢iℏ
∂ ln Ψ
показано существование пузырька в ядре48Si как
m ∂xk
⎢
-
+
для плотностей нейтронов, так и протонов в центре
⎣m ∂x0
∂x0
ядра. Это статические решения для пузырей. Воз-
никающий динамический пузырь в области разре-
⎤
iℏ ∂ ln Ψ
жения в наших расчетах возникает всегда на стадии
∂-
iℏ ∂ ln Ψ
⎥
∂U
расширения гидродинамической системы.
m ∂xk
⎥
+
⎦=
m ∂xl
∂xl
m∂xk
Далее в разд. 2 устанавливается связь эффек-
тивного уравнения Клейна-Гордона с уравнения-
ми квантовой релятивистской гидродинамики иде-
Обозначая
альной жидкости, затем в разд. 3 анализируются
iℏ
солитонные решения уравнений гидродинамики в
wkc = -
∇k ln Ψ,
(5)
одномерном и двумерном случаях с образованием
m
горячего пятна и пузыря, в Заключении приведены
имеем
(
)
основные выводы работы.
iℏ
∂2wk
∂2wk
-
+
+
(6)
2m
∂x0∂x0
∂xl∂x
l
(
)
2. СВЯЗЬ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ
∂wk
∂wk
∂U
+c w0
+wl
=
С УРАВНЕНИЕМ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
∂x0
∂xl
mc∂xk
Уравнения квантовой релятивистской гидроди-
Выражение (5) можно переписать в терминах
намики могут быть связаны с уравнением Клейна-
локальной плотности ρ = Φ2 и фазы Q:
Гордона. Для представления энергии E через не
(
)
очень большой импульс p0 и потенциальную энер-
iℏ
∂ ln ρ1/2
i ∂Q
wkc = -
+
(7)
гию U частицы массы m имеем:
m
∂xk
ℏ ∂x
k
E2 = p20c2 + 2mUc2 + m2c4.
(1)
Обозначим далее
Соответствующее уравнение Клейна-Гордона
ukc = ∇kQ/m.
(8)
имеет вид
2
Здесь uk — четырехмерная скорость, которая для
∂2Ψ
∂2Ψ
2mU
m2c
√
-
-
-
Ψ=
Ψ,
(2)
l = 1, 2, 3 равна ul = υl/c/
1 - (υ/c)2, ul = -ul,
∂x0∂x0
∂xl∂xl
ℏ2
ℏ2
√
)
а u0 = 1/
1 - (υ/c)2, где υ —обычная трехмер-
( iQ
ная скорость. Разделяя действительную и мнимую
где Ψ = Φ exp
— волновая функция с ам-
ℏ
части уравнения (6), получаем для действительной
плитудой Φ и фазой Q, одинаковой для всех частиц
части
(
)
как в приближении Томаса-Ферми, ℏ — постоян-
ℏ2
∂2ρ1/2
∂2ρ1/2
ная Планка, c — скорость света. Здесь фаза Q =
ρ∇k
+
-
(9)
2m
ρ1/2∂x0∂x0
ρ1/2∂xl∂xl
= (Et - p0r), x0 и xl — временная и простран-
)
ственная координаты с предполагаемым сумми-
(∂(mρu0uk)
∂(mρuluk)
∂U
рованием по повторяющимся значкам. Уравнение
−c2
+
= -ρ
∂x0
∂xl
∂xk
(2) — это эффективное одночастичное уравнение
Клейна-Гордона для приближения Томаса-Ферми
Здесь мы использовали уравнение непрерывности
с эффективным потенциалом U.
∂ρu0
∂ρul
Поскольку
+
= 0,
(10)
∂x0
∂x
l
]
∂2Ψ
[ ∂2 lnΨ
∂ ln Ψ ∂ ln Ψ
=Ψ
+
,
(3)
также следующее из уравнения Клейна-Гордона
∂xk∂xk
∂xk∂xk
∂xk
∂xk
(2). Если умножить уравнение (2) на комплексно-
сопряженную функцию Ψ∗ и написать его в
где k = 0, 1, 2, 3, то после подстановки (3) в (2) и
комплексно-сопряженном виде, умножив послед-
∂
последующего дифференцирования (2) ∇k =
нее на Ψ, то после вычитания одного уравнения из
∂xk
другого с учетом (8) для мнимой части получается
имеем
⎡
⎤
уравнение непрерывности
(10), действительная
iℏ
∂ ln Ψ
iℏ ∂ ln Ψ
часть равна нулю.
2 -
∂2 -
⎢∂
⎥
iℏ
m ∂xk
m ∂xk
⎢
⎥
При переходе от уравнения (6) к уравнению (9)
-
+
(4)
⎣
⎦-
2m
∂x0∂x0
∂xl∂xl
взаимно сокращаются члены, содержащие диффе-
ренцирование вторых производных от Q, и члены,
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
430
ДЬЯЧЕНКО
содержащие произведения производных от ρ1/2 и
В неравновесном случае при q = 1 получают-
от Q. Это следует из уравнения (2).
ся уравнения длиннопробежной гидродинамики [6],
которые в одномерном случае имеют вид
Таким образом, мы получили для простран-
ственных компонент k = 1,
2,
3
(uk =
∂ρ
∂(ρυ)
√
+
= 0,
(13)
= -υk/c/
1 - (υ/c)2) релятивистский аналог
∂t
∂x
уравнения Эйлера, которое содержит квантовый
потенциал, аналогично представлению Маделун-
∂(mρυ)
∂(mρυ2 + P )
+
= 0,
(14)
га [3]
∂t
∂x
∂(mρυk/(1 - (υ/c)2))
+
(11)
∂(e + mρυ2/2)
+
(15)
∂t
∂t
∂(mρυkυl/(1 - (υ/c)2))
∂(υ(e + mρυ2/2 + P ))
+
=
∂xl
+
= 0.
(
)
∂x
2
∂U
∂ ℏ
∂2ρ1/2
Δρ1/2
= -ρ
-ρ
-
К этой системе уравнений в нерелятивистском
∂xk
∂xk 2m ρ1/2c2∂t2
ρ1/2
пределе могут быть сведены уравнения из преды-
дущего раздела с добавлением третьего уравнения
Уравнение для временной компоненты четырех-
для энергии. Здесь ρ — нуклонная плотность, υ —
мерной скорости является следствием этих урав-
скорость, e — плотность энергии, P — давление.
нений. При малых скоростях υ ≪ c уравнение (11)
Обычно решение этой системы нелинейных
переходит в нерелятивистское уравнение Маделун-
дифференциальных уравнений в частных произ-
2
ℏ
водных находится численно на компьютере. Здесь
га [3] c квантовым потенциалом
√ρ, где
2m√ρΔ
развит подход к приближенному аналитическому
Δ —операторЛапласа(см.такжеопредставлении
решению этих уравнений как в случае слабой
Маделунга для уравнения Шредингера [5]). Этот
нелинейности путем сведения их к уравнениям
квантовый потенциал влияет на дисперсию в урав-
Кортевега-де Фриза, так и в случае возмущений
нении Эйлера.
большой амплитуды, используя солитоноподобные
решения. Проведено обобщение этого подхода
на двумерный случай в случае плотности ρ(x, t),
зависящей только от координаты x и времени t.
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ГИДРОДИНАМИКИ
Из уравнений (13)-(15) для нахождения нук-
С ПОМОЩЬЮ СОЛИТОНОВ
лонной плотности ρ(x, t), скорости υ(x, t), плот-
ности тепловой энергии I(x, t) при q = 1 следует,
Уравнения (10), (11) отличаются, как и урав-
)3
(ρ
нения Маделунга [3], от уравнений обычной гид-
что тепловой член I = I1
[6], где I1 — не
родинамики отсутствием членов диссипации. Для
ρ0
описания процессов взаимодействия в эти уравне-
зависящий от ρ коэффициент, ρ0 — равновесная
ния необходимо ввести тепловой член I(r, t). Его
плотность. Совместное решение уравнений (13) и
можно ввести как в традиционной гидродинамике
(14) ищем в виде υ = υ(ρ) и получаем два уравне-
с локально-равновесной функцией распределения
ния Кортевега-де Фриза [16].
[5]. А можно использовать для этого кинетическое
Т.е. уравнения гидродинамики могут быть све-
уравнение.
дены к двум уравнениям Кортевега-де Фриза. Это
Мы используем кинетическое уравнение (см.
позволяет перейти к представлению столкновения
[7-11]) для нахождения нуклонной функции рас-
ядер как столкновению солитонов, если простую
пределения f(r, p, t) (r(x1, x2, x3) — простран-
волну уравнения Кортевега-де Фриза проинтегри-
ровать по x1. Т.е. найти
ственная координата, p(p1, p2, p3) — импульс, t —
время). Решение кинетического уравнения для
L
∫
функции распределения f(r, p, t) ищется в виде
dx1
Z = ζ
,
(16)
L
f (r, p, t) = f1q + f0(1 - q),
(12)
0
где f0(r, p, t) — локально-равновесная функция
где L — толщина слоя, Z является простой вол-
распределения, f1(r, p, t) — неравновесная функ-
ной Кортевега-де Фриза, испущенной этим слоем,
ция распределения, q — релаксационный фактор.
ζ(x - x1, t) — односолитонное решение уравнения
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
431
√
Кортевега-де Фриза. Такое оказывается возмож-
=
K(2ρ1(ρ - ρ0) + (ρ - ρ0)2),
ным благодаря законам сохранения для уравне-
где ρ1 — максимальная плотность сжатия на удар-
ния Кортевега-де Фриза, которые выполнены при-
ной волне
∂Z
ближенно для слоя конечной длины и
≈ 0.
(ρ0υ0)2
∂t
2Kρ1 =
(21)
Это относится к каждому ядерному слою — ис-
(ρ1 - ρ0)2
точнику простых волн. Учитывая отражения волн
Выражение (20) может быть проинтегрировано
Кортевега-де Фриза от границ системы, мож-
неявно в элементарных функциях, но ответ получа-
но рассмотреть динамику столкновения ядерных
ется довольно громоздким. Выделяя главные члены
слоев-слэбов и найти плотности и скорости в си-
решения, получаем выражение
стеме [16].
(
√
)
Рассмотрим теперь распространение возмуще-
(ρ - ρ1)(ρ - ρ0)
K
ний произвольной амплитуды. Для плотности энер-
= -exp
±
x
,
(22)
ρ21
α
гии можно использовать простое выражение [5]
где знак "+” отвечает решению вблизи ρ1, а знак
e = K(ρ - ρ0)2,
(17)
"-” — вблизи ρ0. Решения должны быть сшиты
где ρ0 = 0.15 Фм-3 — равновесная плотность,
при промежуточном значении плотности в точ-
∫ρ
плотность энергии e =
U dρ, K × 18ρ20 — модуль
ке перегиба. Так получается решение “кинк” для
0
сжатия. Тогда давление
распространяющейся волны. При отрицательных
)2
значениях x рассуждения аналогичны. Однако, по-
∂(e/ρ)
(∂ρ
P =-
= K(ρ2 - ρ20) - α
(18)
скольку нас не интересуют сейчас детали структу-
∂(1/ρ)
∂x
ры фронта волны, можно аппроксимировать реше-
ние (22) солитоноподобным решением
Здесь мы добавили дисперсионный член, связан-
ный с квантовыми членами и поверхностной энер-
(ρ1 - ρ0)
ρ=ρ0 +4
,
(23)
гией, с коэффициентом α, где можно выбрать
(exp(-λx/2) + exp(λx/2))2
α
ρ0 = (Фм)2, исходя из ширины поверхност-
√
2mc2so
K
где λ =
. Выражение (23) описывает главные
ного слоя порядка Фм, скорость звука cs0 ≈ 1/3c ≈
α
≈ 108 м/с. Квантовый вклад потенциала Маделунга
особенности решения (22).
в давление в выражении (18) будем считать, что
Также как мы делали раньше с солитонами
2
(∂ρ)
Кортевега-де Фриза, можно проинтегрировать
в основном совпадает с зависимостью -α
выражение (23) по длине слоя и рассматривать
∂x
)
2
распространение фронта ударной волны и его
ℏ
( (∇ρ)2
Он равен -
- ∇2ρ для плотности
отражение от границ. В результате интегрирования
4m ρ
получаем, например, для волны, распространяю-
2
ℏ
(∇ρ)2
щейся слева направо
энергии:
. Коэффициент K можно пере-
8m ρ
l2
∫
определить.
1
(ρ1 - ρ0)
ρ=
ρ′dx = ρ0 + 4
×
(24)
В случае столкновения двух ядер образуются
L
λL
ударные волны, распространяющиеся со скоро-
l1
стью D, которую можно найти из уравнений (13) и
[
1
∂
∂
×
-
(14), полагая
= -D
. Тогда из этих уравнений
1 + exp(λ(x - l2 - Dt))
∂t
∂x
]
после интегрирования по скачку плотности получа-
1
ем
-
,
ρ0υ0
1 + exp(λ(x - l1 - Dt))
D=-
,
(19)
ρ-ρ0
где ρ′ — выражение (23), l1 и l2 — границы ядра,
где υ0 — начальная скорость сталкивающихся
а L = l2 - l1 —его размер. Для максимума плот-
ядер. Полагая скорость D равной зависящей от
ности ударной волны из уравнений (13) и (14)
получается волновое уравнение, допускающее ре-
√ ∂P
плотности скорости звука cs =
, получаем
шение Даламбера, и законы сохранения для волн,
m∂ρ
распространяющихся вправо и влево. Что и было
с учетом выражения для давления (18) уравнение
использовано. При этом скорость υ можно найти
для плотности ρ:
из уравнения (13), используя для плотности выра-
(ρ - ρ0) dρ√
жение (24) с учетом возможных отражений удар-
±
α=
(20)
(ρ1 - ρ) dx
ных волн от границ системы и движения границ.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
432
ДЬЯЧЕНКО
ρ, Фм-3
2.5
E0 = 10 МэВ
t = 0
2.0
t = 2×10-23 c
1.5
t = 4×10-23 c
1.0
t = 6×10-23 c
0.5
t = 8×10-23 c
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x, Фм
Рис. 1. Мгновенные профили столкновения ядерных слоев-слэбов при энергии E0 = 10 МэВ на нуклон в различные
моменты времени при t = 0, 2, 4, 6, 8 в единицах времени 10-23 с.
ρ, Фм-3
2.5
E0 = 10 МэВ
t = 0
2.0
t = 2×10-23 c
1.5
t = 4×10-23 c
1.0
t = 6×10-23 c
0.5
t = 8×10-23 c
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x, Фм
Рис. 2. Мгновенные профили столкновения одинаковых ядер (сплошные кривые) при энергии E0 = 10 МэВ на нуклон в
различные моменты времени при t = 0, 2, 4, 6, 8 в единицах времени 10-23 с для двумерного случая, штриховые кривые —
профили плотности для одномерных слоев, как на рис. 1.
Таким образом, с помощью солитонных реше-
деть первоначальное сжатие, образование hot spot
ний (23) и (24) можно исследовать динамику столк-
и последующее расширение ядер с образованием
разрежения в центральной области.
новений ядер в одномерном случае. Так, на рис. 1
Мы также нашли упрощенное решение зада-
представлены профили плотности для столкнове-
чи в двумерном случае. Уравнения получаются
ния одинаковых ядер размером L = 5 Фм с энерги-
из уравнений гидродинамики при интегрировании
ей E0 = 10 МэВ на нуклон в моменты времени t =
уравнений гидродинамики по поперечной коорди-
= 2, 4, 6, 8 в единицах времени 10-23 с. Можно ви- нате, считая, что плотность ρ(x, t) не зависит от
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
433
y, Фм
12
E0 = 10 МэВ
10
3
8
6
2
3 t = 6×10-23 c
4
2 t = 4×10-23 c
1
1 t = 0
2
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x, Фм
Рис. 3. Профили максимального поперечного размера ядер при энергии E0 = 10 МэВ на нуклон в различные моменты
времени при t = 0, 4, 6 в единицах времени 10-23 с.
ρ, Фм-3
0.20
E0 = 10 МэВ
0.15
1
2
1 t = 6×10-23 c
2 t = 7×10-23 c
0.10
0.05
0
2
4
6
8
10
y, Фм
Рис. 4. Зависимость плотности ρ(y,t) от поперечной координаты y для x = 0 при энергии E0 = 10 МэВ на нуклон в
различные моменты времени при t = 6, 7 в единицах времени 10-23 с.
координаты y [6]. Решение дается формулой (23)
нуклон в моменты времени t = 2, 4, 6, 8 в еди-
заменой ρ1 → ρ1S(x, y, t) и последующим делением
ницах времени 10-23 с. В этом случае результаты
возмущения на S, где S(x, y, t) = (y0(x) + υyt)2/y20,
отмечены сплошными кривыми. Штриховые кри-
y0(x) — начальное положение движущейся попе-
вые соответствуют одномерному случаю. Можно
речной координаты, а υy совпадает со скоростью
видеть, что в двумерном случае колебания сжатия
звука.
и разрежения получаются более сильными.
Так на рис. 2 представлены профили плотности
На рис. 3 представлены зависимости попереч-
для столкновения одинаковых ядер с продольным
ного размера y = y0(x) + υyt в зависимости от
размером L = 5 Фм с энергией E0 = 10 МэВ на
координаты x в моменты времени t = 0, 4, 6 в
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
434
ДЬЯЧЕНКО
единицах времени 10-23 с. Эти результаты полу-
3.
E. Madelung, Z. Phys. 40, 332 (1926).
чены для плотности, не зависящей от координаты
4.
N. Bohr and J. A. Wheeler, Phys. Rev. 56, 426 (1939).
y. Из рис. 2 видно, что по завершении столкно-
вения образуется в центре разреженная область,
5.
H. St ¨ocker and W. Greiner, Phys. Rept. 137, 277
а на концах — нормальная плотность. Т.е. можно
(1986).
ожидать образование пузыря в центре ядра.
6.
A. T. D’yachenko, K. A. Gridnev, and W. Greiner, J.
Для поперечной координаты y можно видеть
Phys. G 40, 085101 (2013).
аналогичную ситуацию. На рис. 4 представлено из-
(
)
2
(y - y0)
7.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, ЯФ 83, 317
менение плотности ρ(y) = ρ′
1+
при
0
4t2c2s
(2020) [Phys. At. Nucl. 83, 558 (2020)].
x = 0 в различные моменты времени. Эта зави-
8.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, Изв. РАН.
симость получена из решения гидродинамического
Сер. физ. 84, 508 (2020) [Bull. Russ. Acad. Sci.:
y-y0
уравнения Эйлера для скорости υy =
уже
Phys. 84, 391 (2020)].
t
с учетом поправки на изменение плотности с ко-
9.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, ЭЧАЯ 53,
ординатой y. Таким образом, оценка для двумер-
464 (2022) [Phys. Part. Nucl. 53, 505 (2022)].
ного случая подтверждает образование пузыря в
центре ядра, где образуется разреженная область
10.
А. Т. Дьяченко, К. А. Гриднев, И. А. Митрополь-
с плотностью ρ′0. При низких энергиях сталкива-
ский, Изв. РАН. Сер. физ. 79, 952 (2015) [Bull.
ющихся систем в результате колебаний плотности
Russ. Acad. Sci.: Phys. 79, 858 (2015)].
для чередующихся разрежений и сжатий может
сформироваться устойчивый пузырь в центре.
11.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, Изв. РАН.
Сер. физ. 81, 1720 (2017) [Bull. Russ. Acad. Sci.:
Phys. 81, 1521 (2017)].
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
12.
A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, EPJ Web
Таким образом, в настоящей работе были по-
Conf. 204, 03018 (2019).
лучены уравнения квантовой релятивистской гид-
родинамики из уравнения Клейна-Гордона и бы-
13.
A. T. D’yachenko and I. A. Mitropolsky, Phys. At.
ло продолжено развитие неравновесного гидро-
Nucl. 82, 1641 (2019).
динамического подхода для описания столкнове-
ния атомных ядер. Неравновесный подход к гид-
14.
D. J. Korteweg and G. de Vries, Phil. Mag. 39, 422
родинамическим уравнениям позволяет описывать
(1895).
экспериментальные данные лучше, чем уравнение
15.
А. Т. D’yachenko, in Proceedings of the
состояния, соответствующее традиционной гидро-
International Conference on Nuclear Physics
динамике, предполагающей установление локаль-
“Nuclear Shells — 50 Years”, Dubna, 21-24 April
ного термодинамического равновесия. При этом
1999, Ed. by Yu. Ts. Oganessian and R. Kalpakchieva
описании существенным было выделение горячего
пятна hot spot. В настоящей работе показано, что
(World Sci., Singapore, 2000), p. 492.
введение дисперсионных членов не нарушает это
16.
А. Т. Дьяченко, И. А. Митропольский, Изв. РАН.
представление и при низких энергиях. На стадии
Сер. физ. 86, 1162 (2022) [Bull. Russ. Acad. Sci.:
расширения образуется разреженная область в
Phys. 86, 962 (2022)].
центре системы — динамический пузырь. Это рас-
смотрение проведено в одномерном и в двумерном
17.
Р. J. Siemens and H. A. Bethe, Phys. Rev. Lett. 18,
случаях.
704 (1967).
Сведение уравнений гидродинамики к решению
18.
C. Y. Wong, Ann. Phys. 77, 279 (1973).
двух уравнений Кортевега-де Фриза в виде со-
литонов позволяет найти аналитическое решение
19.
J. Decharge, J.-F. Beger, K. Dietrich, and
задачи. Обобщение результатов данного подхода
M. S. Weiss, Phys. Lett. B 451, 275 (1999).
на случай возмущений большой амплитуды и до-
полнительных измерений представляет самостоя-
20.
A. Mutschler, A. Lemasson, O. Sorlin, D. Bazin,
тельный интерес. Рассмотрение может быть про-
C. Borcea, R. Borcea, Z. Dombr ´adi, J.-P. Ebran, A.
должено при больших скоростях.
Gade, H. Iwasaki, E. Khan, A. Lepailleur, F. Recchia,
T. Roger, F. Rotaru, D. Sohler, et al., Nat. Phys. 13,
152 (2017).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21.
X.-H. Fan, G.-C. Yong, and W. Zuo, Phys. Rev. C 99,
1. O. Klein, Z. Phys. 37, 895 (1926).
2. W. Gordon, Z. Phys. 40, 117 (1926).
041601 (2019).
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
435
EQUATIONS OF QUANTUM RELATIVISTIC HYDRODYNAMICS
AND SOLITON SOLUTIONS IN DESCRIBING COLLISIONS
OF ATOMIC NUCLEI
A. T. D’yachenko1),2)
1)NRC “Kurchatov Institute” — PNPI, Gatchina, Russia
2)Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University, St. Petersburg, Russia
In the present work, the equations of quantum relativistic hydrodynamics are obtained from the Klein-
Gordon equation, which in the nonrelativistic semiclassical limit is reduced to the traditional equations
of hydrodynamics of an ideal fluid. An analytical solution of the equations of hydrodynamics in the
approximation of solitons for the collision of nuclear layers in the one-dimensional and two-dimensional
cases is found. The compression stage, the decompression stage, and the expansion stage are considered
within the framework of a single formula for layers with energies on the order of ten MeV per nucleon. Such
a reduction of solutions of hydrodynamic equations to soliton solutions has not been considered before. Our
generalization to the two-dimensional case leads to the idea of the formation of a rarefied bubble region at
the stage of expansion. And the approach itself can be used in other areas of physics when calculating the
nonlinear dynamics of oscillations of complex systems.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86
№3
2023
