ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 3, с. 407-415

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО

В УПРУГОМ РАССЕЯНИИ НЕЙТРИНО НА ПРОТОНЕ

Поступила в редакцию 07.12.2022 г.; после доработки 07.12.2022 г.; принята к публикации 07.12.2022 г.

Подробно рассматривается вклад электромагнитных характеристик нейтрино в упругое рассеяние

нейтрино на протоне. Электромагнитные свойства нейтрино вводятся через зарядовый, магнитный,

электрический и анапольный формфакторы в базисе массовых состояний нейтрино. При этом учиты-

ваются эффекты смешивания трех нейтринных состояний и эффекты изменения флейвора нейтрино,

движущегося от источника к детектору. Также учитываются слабые нейтральные и электромагнитные

формфакторы нуклона. Проведено сравнение численных результатов для дифференциального сечения

упругого рассеяния нейтрино на протоне с учетом нейтринных зарядового радиуса и магнитного

момента с предсказаниями Стандартной модели для реакторных и ускорительных нейтрино.

DOI: 10.31857/S0044002723030121, EDN: RLDCSF

1. ВВЕДЕНИЕ

различных мишенях. Так, в работах [8, 9] обсужда-

ется рассеяние нейтрино на нуклонах и ядрах при

В Стандартной модели (СМ) нейтрино считают-

разных энергиях, а также указывается на необхо-

ся безмассовыми нейтральными частицами, кото-

димость проведения точных теоретических расче-

рые слабо взаимодействуют с веществом за счет

тов для нужд экспериментов. Для эксперименталь-

обмена W^±- и Z⁰-бозонами. Однако ненулевая

ного исследования процессов рассеяния нейтрино

масса и смешивание нейтрино указывают на нали-

на нуклоне или ядре необходимо учитывать ра-

чие нейтринных свойств и взаимодействий за пре-

диационные поправки [10-12], детали внутренней

делами СМ. В этой связи, в частности, представля-

структуры нуклона и ядра как для упругих [13-15],

ет интерес поиск электромагнитных характеристик

так и для неупругих столкновений [16].

нейтрино [1-3]. Действительно, уже в СМ предска-

В последнее время особый интерес представ-

зывается отличный от нуля нейтринный зарядовый

ляют исследования когерентного упругого рассе-

радиус [4-6], а в минимально расширенной СМ —

яния нейтрино на ядре (CEνNS), которое было

еще и ненулевой нейтринный магнитный момент [7].

предсказано почти 50 лет назад [17] и впервые

В представленном ниже исследовании рассматри-

зарегистрировано в эксперименте только недав-

вается наиболее общий случай электромагнитных

но — в 2017 г. коллаборацией COHERENT [18].

свойств нейтрино: наряду с зарядовым радиусом и

CEνNS является не только новым инструментом

магнитным моментом мы также учитываем элек-

для исследования свойств нейтрино, но и позволяет

трический миллизаряд, анапольный и электриче-

изучать структуру ядра [19-21]. Кроме того, этот

ский дипольный моменты.

процесс может давать вклад в фоновый сигнал в

экспериментах по поиску частиц темной материи.

Эффекты электромагнитных свойств нейтрино

могут проявляться как в астрофизических процес-

Одними из ожидаемых проявлений новой фи-

сах, когда нейтрино распространяются в сильных

зики в CEνNS-экспериментах могут быть эф-

магнитных полях и плотных средах, так и в лабо-

фекты электромагнитных взаимодействий нейтри-

раторных экспериментах с потоками нейтрино от

но. Данные CEνNS-экспериментов COHERENT,

различных источников. В последнем случае весьма

CONUS и Dresden-II уже использовались для

чувствительным и широко используемым методом

получения ограничений на нейтринные миллизаряд,

является измерение сечений рассеяния нейтрино на

зарядовый радиус и магнитный момент [22-26].

Ожидается, что в ближайшем будущем появятся

¹⁾Московский государственный университет имени М.В.

данные ряда других новых экспериментов по ис-

Ломоносова, физический факультет, Москва

119991,

следованию процесса CEνNS.

Россия.

^*E-mail: kouzakov@srd.sinp.msu.ru

Для исследования электромагнитных свойств

^**E-mail: lazarev.fm15@physics.msu.ru

нейтрино в CEνNS-экспериментах требуется раз-

^***E-mail: studenik@srd.sinp.msu.ru

работка теоретического аппарата, учитывающего

407

408

КУЗАКОВ и др.

различные электромагнитные формфакторы ней-

В результате с помощью соотношений Гордона

трино и ядра. Реализацию такой задачи целесо-

можно прийти к виду [28]

образно начать с процесса упругого рассеяния

нейтрино на протоне, представляющем собой про-

Λ^fiμ(q) = ffi1(q²)q_μ + ffi2(q²)q_μγ₅ +

(3)

стейшую ядерную мишень. Кроме того, упругое

+ ffi3(q²)γ_μ + ffi4(q²)γ_μγ₅ + ffi5(q²)σ_μνq^ν +

нейтрино-протонное рассеяние является много-

обещающим инструментом для обнаружения ней-

+ ffi6(q²)ε_μναβq^νσ^αβ.

трино от сверхновых [27].

Статья организована следующим образом. В

Здесь шесть формфакторов ffi1,2,3,4,5,6(q²) в си-

разд. 2 обсуждается структура вершинной функции

лу требования лоренц-инвариантности являются

для частицы со спином 1/2, учитывающая исполь-

функциями q². При этом ffi2,3,4 принимают веще-

зуемые слабые нейтральные формфакторы нуклона

ственные значения, а ffi1,5,6 принимают мнимые зна-

и электромагнитные формфакторы нуклона и ней-

чения.

трино. Также в этом разделе приводится парамет-

ризация нуклонных формфакторов, которые затем

В случае электромагнитного тока из калиб-

используются в численных расчетах. В разд. 3

ровочной инвариантности следует его сохранение

представлен расчет сечения упругого рассеяния

∂_μj^μ = 0. Отсюда имеем

нейтрино на нуклоне при условиях, характерных

для лабораторных экспериментов по рассеянию

q^μu_f (p_f)Λ^fiμ(q,l)u_i(p_i) = 0.

(4)

нейтрино на мишени. В разд. 4 обсуждаются ре-

Это условие (вместе с соотношениями Гордона)

зультаты численных расчетов нейтрино-протонных

приводит к

сечений на основе полученных формул для раз-

личных значений электромагнитных характеристик

ffi1q² + ffi3(m_f - m_i) = 0,

(5)

нейтрино, а также проводится сравнение с пред-

сказанием СМ. В Заключении приведены основные

ffi2q² + ffi4(m_f + m_i) = 0.

выводы данной работы.

Таким образом, электромагнитную вершину фер-

миона в общем случае можно записать в виде

2. ФОРМФАКТОРЫ НЕЙТРИНО

Λ(EM)fiμ(q) =

(6)

И НУКЛОНА

(

)[

]

q_μq

Кратко остановимся на общем подходе к опи-

= γ_μ -

ffi3(q²) -

ffi2(q²)γ5

q²

m_i + m_f

санию свойств электромагнитного и слабого вза-

имодействия фермиона со спином 1/2 (подробное

+ σ_μνq^ν[ffi5(q²) - 2iffi6(q²)γ₅].

изложение данного вопроса для случая электро-

магнитного взаимодействия нейтрино содержится

в [1]). Параметры взаимодействия фермиона с фо-

2.1. Электромагнитные формфакторы нейтрино

тоном и Z⁰-бозоном задаются вершинной функ-

цией Λ^μi(p_i, p_f ) (здесь pi(f) — импульс начальной

Как следует из (6), электромагнитную вершин-

(конечной) частицы с массой mi(f) и спином 1/2),

ную функцию нейтрино можно представить в виде

которая определяет матричный элемент фермион-

(см. также [1]):

ного тока:

Λ(EM;ν)fiμ(q) =

(7)

〈p_f |j_μ(0)|p_i〉 = u_f (p_f )Λ^fiμ(q, l)u_i(p_i),

(1)

= (γ_μ - q_μq/q²)[f_Q

(q²) + f^fiA(q²)q²γ₅] -

где u_i(p_i) и u_f (p_f ) — биспинорные амплитуды

свободных частиц. Используя 4-импульсы q^μ =

− iσ_μν q^ν [f^fiM(q²) + iffiE (q²)γ₅],

= p^μi - p^μf, l^μ = p^μi + p^μf, метрический тензор g^μν и

где f^fiQ, f^fiA, f^fiM, f^fiE — зарядовый, анапольный,

антисимметричный тензор Леви-Чивиты ε^μναβ , 4 ×

магнитный и электрический формфакторы диаго-

× 4-матрица Λ^μi(q, l) может быть представлена в

нального (f = i) и переходного (f = i) типов в

виде линейной комбинации 16 матриц:

, γ₅, γ^μ,

базисе массовых нейтринных состояний. Причем

γ^μγ₅ и σ^μν =i2[γ^μ,γ^ν]. Из условия эрмитовости,

вследствие справедливости условия эрмитовости

т.е. j^μ = j_μ, следует, что

(2) имеем

[Λ^fiμ(q, l)]^† = γ⁰Λ^ifμ (-q, l)γ⁰.

(2)

f^fiQ,A,M,E(q²) = (f^ifQ,A,M,E(q²))^∗.

(8)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО

409

При взаимодействии с реальным фотоном (q² =

Зарядовый и анапольный электромагнитные

= 0) электромагнитные формфакторы определяют

формфакторы нейтрино также представляют ин-

стационарные свойства нейтрино

терес. В некоторых теориях за пределами СМ



рассматривается возможность существования



df_Q

(q²)



ненулевого электрического заряда (миллизаряда)

f^fiQ(0) = e_fi,



= 〈r²〉_fi,

(9)

dq²



нейтрино. Однако, даже если миллизаряд равен

q²=0

нулю, у нейтрино может быть ненулевой зарядовый

радиус, который будет вносить вклад в рассеяние

f^fiA(0) = a_fi, f^fiM(0) = μ_fi, f^fiE(0) = ϵ_fi,

нейтрино на мишени. Также нейтрино может

где e_fi, 〈r2〉fi, afi, μfi, ϵfi есть соответственно

иметь и анапольный момент, эффект которого в

миллизаряд, зарядовый радиус (устоявшийся в ли-

рассеянии нейтрино на мишени аналогичен эф-

тературе термин для квадрата среднеквадратиче-

фекту зарядового радиуса (подробно этот вопрос

ского зарядового радиуса), анапольный, магнитный

обсуждается в [1]).

и электрический моменты нейтрино.

В СМ электрическая нейтральность нейтрино

обусловлена сокращением калибровочных анома-

Нейтриннные электромагнитные формфакторы

лий в случае электрослабого взаимодействия. Если

играют фундаментальную роль. В частности, элек-

же, например, рассматривать теории с правыми

тромагнитные свойства нейтрино способны про-

массивными дираковскими нейтрино, являющими-

лить свет на дираковскую или майорановскую при-

ся синглетами группы слабого изоспина SU(2) и

роду нейтрино: например, дираковские нейтрино

имеющими ненулевой гиперзаряд, то становятся

могут иметь как диагональные, так и недиагональ-

возможными сценарии с отличным от нуля ней-

ные зарядовый, магнитный и электрический форм-

тринным электрическим зарядом [33]. В результате

факторы, в то время как майорановские нейтрино

для сокращения калибровочных аномалий требует-

могут иметь только недиагональные формфакторы

ся соответствующий сдвиг значений зарядов заря-

указанных типов.

женных лептонов и кварков, а значит, электрона,

Магнитный и электрический дипольные момен-

протона и нейтрона. Следовательно, заряд нейтри-

ты являются наиболее теоретически изученными из

но должен быть достаточно мал, чтобы не наруша-

электромагнитных свойств нейтрино. Минимально

лось условие нейтральности вещества. Последнее

расширенная СМ, учитывающая правые массив-

дает ограничение [34]

ные нейтрино, предсказывает следующие значения

|eνe | ≲ 3 × 10-21 e.

(11)

магнитного и электрического дипольных моментов

(диагонального типа) для дираковского нейтри-

Даже если электрический заряд нейтрино равен ну-

но [7]:

лю, зарядовый формфактор f^fiQ(q²) может содер-

(_m

)

жать нетривиальную информацию об электриче-

μ^Dkk ≈ 3.2 × 10-19μB

ϵ^Dkk = 0,

(10)

1 эВ

ских свойствах нейтрино, а именно о его зарядовом

радиусе. Вычисления зарядового радиуса нейтрино

где μ_B

— магнетон Бора. Вследствие про-

в рамках СМ приводят к [4-6]

порциональности нейтринным массам, значения

[

]

магнитных моментов на много порядков мень-

m2ℓ

〈r²〉_ν

√

3 - 2log

(12)

ℓ

ше имеющихся экспериментальных ограничений

2π²

m²

μ_ν ≲ 10-12 - 10-11 μ_B (см. [29]). Тем не менее, эти

где m_W и m_ℓ — массы W -бозона и заряженного

электромагнитные свойства являются предметом

лептона (ℓ = e, μ, τ). Из (12) следуют численные

поиска различных экспериментов, так как некото-

оценки:

рые теории за пределами минимально расширенной

СМ предсказывают для них гораздо большие

〈r2ν〉_e = 4.1 × 10-33 см²,

(13)

значения.

〈r2ν〉_μ = 2.4 × 10-33 см²,

Отметим, что в настоящее время единственное

〈r2ν〉_τ = 1.5 × 10-33 см²,

указание на конкретный диапазон, в котором может

быть заключена величина магнитного момента ней-

что лишь где-то на порядок меньше современ-

трино, следует из возможного объяснения данных

ных экспериментальных ограничений

|〈r²〉νℓ | ≲

эксперимента XENON1T по детектированию пото-

≲ 10-32 см² [29].

ков нейтрино от Солнца: (1.4, 2.9) × 10-11μ_B [30].

Также укажем на механизм возникновения инду-

2.2. Электромагнитные и слабые нейтральные

цированного магнитного момента массивного ней-

формфакторы нуклона

трино, движущегося в плотном вырожденном элек-

При описании рассеяния нейтрино на нуклоне

тронном газе, эффективная величина которого мо-

будет использоваться электромагнитная вершин-

жет на порядки превышать (10) (см. [31, 32]).

ная функция нуклона в традиционном виде [35]

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

410

КУЗАКОВ и др.

(полагая m_f = m_i = m_N в (7), где m_N — масса

где G_A — аксиальный формфактор; FS1,2, G^SA —

нуклона)

странные формфакторы нуклона.

Λ(EM;N)μ(q) = γ_μF^NQ(q²) -

(14)

2.3. Параметризация нуклонных формфакторов

σ_μνq^νF^NM(q²) +

σ_μνq^νγ₅F^NE(q²) -

2m_N

В литературе зависимость нуклонных формфак-

(

)

F^NA(q²)

торов от q² часто описывается с помощью ди-

q²γ_μ - q_μq

γ₅

m²

польного приближения. Однако для проведения

детального анализа экспериментальных данных по

Здесь F^NQ,M,E,A есть зарядовый, магнитный, элек-

рассеянию лептонов на нуклонах параметризация

нуклонных формфакторов в рамках дипольного

трический и анапольный формфакторы, соответ-

приближения оказывается не всегда достаточной и

ственно, для протона (N = p) и нейтрона (N = n).

по этой причине в нашем исследовании мы исполь-

В случае нейтрального слабого тока мы прене-

зуем более точный подход [37, 38].

брегаем токами второго рода, нарушающими изо-

топическую инвариантность сильного взаимодей-

Введем заксовские электромагнитные форм-

ствия (т.е. полагаем f₁ = f₆ = 0 в (3)), и в резуль-

факторы G^NE,M :

тате получаем [36, 37]

GNE (q²) -q2

GNM

(q²)

4m2N

Λ(NC;N)μ(q) = γ_μFN1(q²) -

(15)

F^NQ(q²) =

(17)

q²

1-4m

σ_μνq^νFN2(q²) - γ_μγ₅G^NA(q²) +

2m_N

GNM (q²) - G^NE (q²)

F^NM(q²) =

GNP (q²)q_μγ₅,

1-q2

4m2N

m_N

которые параметризуются как

где FN1 , FN2 , G^NA и G^NP называются соответственно

дираковским, паулевским, аксиальным и псевдо-

GNM (q²)

(18)

скалярным слабыми нейтральными формфактора-

μ_N

ми нуклона. Ниже мы опускаем псевдоскалярный

1-q2

a^NM

формфактор G^NP , поскольку его вклад в нейтрино-

4m2N

(

)₂

(

)₃

нуклонное сечение исчезает в пределе нулевой мас-

q²

1-q2

bNM1 +

bNM2 -

b^N

сы нейтрино.

4m2N

Ограничиваясь при описании внутренней струк-

GpE (q²) =

туры нуклона легкими кварками u, d и s, для кото-

рых приближенно справедлива флейворная SU(3)

1-q2

a^pE

4m2N

симметрия, на основе гипотез сохранения вектор-

(

)₂

(

)₃

ного тока и частичного сохранения аксиального

q²

1-q2

bpE1 +

bpE2 -

b^p

4m2N

тока можно получить связь слабых нейтральных

токов нуклона с его электромагнитными токами.

(

)-2

- q²

λ₁

4m²

q²

Отсюда вытекают соотношения между соответ-

GnE (q²) =

ствующими формфакторами [36, 38] (здесь мы

M²

1-q2

λ₂

4m²

ограничиваемся только зарядовым и магнитным

формфакторами в случае электромагнитного тока):

где μ_N — магнитный момент нуклона в ядерных

магнетонах. Для аксиального формфактора ис-

Fp1,2(q²) =

(16)

пользуем следующую параметризацию:

)

⁽1

(

)-2

- 2sin2 θ_W F^pQ,M - ³FnQ,M -

FS1,2,

q²

GA(q²)=gA

(19)

M²

Fn1,2(q²) =

)

Приведем численные значения всех используемых

⁽1

- 2sin2 θ_W F^nQ,M -

F^pQ,M -¹FS1,2,

параметров [37]

m_N = 938 МэВ,

(20)

GpA(q²) =1GA(q2) -

GSA(q²),

μ_p = 2.793, μ_n = -1.913,

M_V = 843 МэВ, g_A = 1.267, M_A

= 1049 МэВ,

GnA(q²) = -

GA(q²) -

GSA(q²),

a^pE = -0.19, bpE1 = 11.12,

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО

411

bpE2 = 15.16, bpE3 = 21.25,

с 4-импульсом k_μ и спиральностью λ. Вклад элек-

тромагнитного взаимодействия в амплитуду рассе-

a^pM = 1.09, bpM1 = 12.31,

яния есть

bpM2 = 25.57, bpM3 = 30.61,

∑

m2k

λ₁ = 1.68, λ₂ = 3.63,

M(γ)j =4πα

U^∗ℓke^-i

2Eν

^Lu(ν)j,λ′(k^′) ×

(24)

q²

a^nM = 8.28, bnM1 = 21.3,

k=1

bnM2 = 77, bnM3 = 238.

× Λ(EM;ν)μjk(q)u(ν)k,λ(k)J(EM)μ,

Приведем также параметризацию для странных

где

— электромагнитный ток нуклона. Пред-

формфакторов [39]:

полагая нуклон свободным, нуклонные токи можно

q²

(

)-2

〈r2S 〉

q²

разложить следующим образом:

FS1(q²) =

(

)

(21)

M²

J(NC)μ(q) = u(N)(p^′)Λ(NC;N)μ(-q)u(N)(p) =

(25)

1-q2

4m²

(

)-2

= FN1(q²)JVμ (q) - G^NA(q²)JAμ (q) +

μ_S

FS2(q²) =

(

)

M²

1-q2

FN2(q²)J^Mμ (q),

4m²

2m_N

(

)-2

J(EM)μ(q) = u(N)(p^′)Λ(EM;N)μ(-q)u(N)(p) =

F^SA(q²) = g^S

M²

(

) FNA (q²)

= FNQ (q²)JVμ (q) - δ^λμq² - q^λqμ

J^Aλ(q) +

где 〈r2S 〉 — странный радиус нуклона, μ_S — стран-

m²

ный магнитный момент нуклона, g^SA — странный

F^NE(q²)

вклад в спин нуклона. В нашем исследовании будет

F^NM (q²)J^Mμ (q) -

J^Eμ(q),

2m_N

проведено сравнение сечений рассеяния как с уче-

где

том указанных странных формфакторов, так и без

их учета. При этом будет использоваться только

J^Vμ (q) = u(N)(p^′)γ_μu(N)(p),

(26)

один ненулевой параметр g^SA = -0.15 ± 0.07.

(p),

J^Aμ(q) = u(N)(p^′)γ_μγ₅u(N)

J^Mμ (q) = u(N)(p^′)σ_μλq^λu(N)(p),

3. СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ НЕЙТРИНО

НА НУКЛОНЕ

J^Eμ(q) = u(N)(p^′)σ_μλq^λγ₅u(N)(p).

Рассмотрим процесс, в котором ультрареляти-

вистское нейтрино с энергией E_ν , родившееся в

Здесь u(N)(p) — биспинорная амплитуда нуклона с

источнике (реакторе, ускорителе, Солнце и т.д.),

4-импульсом p.

распространяется до мишени и упруго рассеивает-

Так как интерес представляет рассеяние уль-

ся в ней на нуклоне с передачей 4-импульса q =

трарелятивистских нейтрино, то в расчетах сечения

= (T, q). Если нейтрино родилось в источнике во

мы пренебрегаем нейтринной массой. Поскольку

флэйворном состоянии |ν_ℓ〉, тогда его состояние в

конечные состояния нейтрино не регистрируются,

мишени перед моментом рассеяния будет

дифференциальное сечение рассеяния дается фор-

мулой

∑

m2k

|ν_ℓ(L)〉 =

U^∗ℓke^-i

2Eν

^L|ν_k〉,

(22)

dσ

|M|²

k=1

(27)

32πE2νm

где L — расстояние от источника до мишени. Мат-

со следующим квадратом модуля матричного эле-

ричный элемент процесса ν_ℓ(L) + N → ν_j + N за

мента:

счет слабого взаимодействия дается выражением

∑



m2j



|M|² =

M⁽

+M(γ)j

²,

(28)

M(w)j = -√F

U^∗ℓje^-i2Eν^Lu(ν)j,λ′(k^′) ×

(23)

j=1

где, как обычно, предполагается усреднение по

× γ^μ(1 - γ⁵)u(ν)j,λ(k)J(NC)μ,

начальным и суммирование по конечным спиновым

состояниям частиц. Заметим, что мы рассматри-

здесь

— слабый нейтральный ток нуклона;

ваем типичную ситуацию, когда нейтрино рожда-

u(ν)j,λ′(k^′) = u(ν)†j,λ′(k^′)γ⁰, где u(ν)j,λ(k) — биспинорная

ется в источнике и распространяется до мишени

амплитуда массивного нейтринного состояния |ν_j 〉

в левокиральном состоянии. После вычисления

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

412

КУЗАКОВ и др.



спиновых сумм получаем дифференциальное се-

∑

m2k

∑

q²



чение, которое содержит как сохраняющую, так

C_A =



U^∗ℓke^-i

2Eν

(G_Aδ_jk - F_A

Q_jk)



m2N



и меняющую спиральность нейтрино компоненты



(для краткости опускаем аргумент q² = -2m_N T

∑

m2k



∑



при записи формфакторов):

C_M =



U^∗ℓke^-i

2Eν

^L(-iF₂δ_jk + iF_M Q_jk)



dσ

dσ_hp

dσ_hf

(29)

CA&M = -i ×

)

[

∑(∑

m2k

dσ_hp

q²

G2F m_N

U^∗ℓke^-i

2Eν

(δ_jkG_A - F_A

Q_jk)

(C_V - 2Re CV&A + C_A) +

2π

)

(

)₂

(∑

+ (C_V + 2Re CV&A + C_A)

U_ℓneⁱ2E

^L(iF₂δ_jn - iF_M Q_jn)

E_ν

m_NT

CV&M =

+ (C_A - C_V )

)

E2ν

∑(∑

m²

(

)

= -i

U^∗ℓke^-i

2Eν

^L(-δ_jkF₁ + F_QQ_jk)

m_NT

+C_M

2m_N

E2ν

E_ν

)

(

)

(∑

m_NT

U_ℓneⁱ2E

^L(iF₂δ_jn - iF_M Q_jn)

-C_E

2m_N

E2ν

E_ν

(

)

]



T²

∑

m2k



∑



Re CA&M

- 2Re CV&M

2Eν

C_E =



U^∗ℓke^-i

^LF_EQ_jk



E_ν

E2ν



)

dσ_hf

πα²

[(1

|μ_ν (L, E_ν )|² =

|μ_ν (L, E_ν )|²

F2Q +



m2e

E_ν

∑

m2k



∑



U^∗ℓke^-i

2Eν

^L2m_e(f^Mjk - if^Ejk)



⁽1

m_N

⁾ 4T



F2A -

E_ν

2E2ν m²

(

)₂

Дифференциальное сечение (29) определяет форму

2-_E

-2mNT

спектра нуклонов отдачи, который может быть

FQFM +

E2ν F2M -

измерен в эксперименте.

2E2ν

8m_N

(

)₂

]

(2 -^T )T

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ УПРУГОГО

Eν

F2E +

E^ν F_A(F_M - F_Q) ,

РАССЕЯНИЯ НЕЙТРИНО НА ПРОТОНЕ

8m_N

E_νm_N

Очевидно, что при рассеянии нейтрино на про-

где [40]

тоне следует ожидать гораздо более сильного про-

явления электромагнитных свойств нейтрино, чем в

C_V =

(30)

случае его рассеяния на нейтроне. В целях иллю-



страции характерных эффектов этих свойств ни-

∑

m2k



∑



же представлены результаты численных расчетов



U^∗ℓke^-i

2Eν

^L(-δ_jkF₁ + F_QQ_jk)



дифференциального сечения упругого нейтрино-

протонного рассеяния.

√

(

)

2πα

На рис. 1 показаны сечения для случаев реак-

Q_jk =

f^Qjk - q²f^A

торных и ускорительных нейтрино с учетом и без

GF q²

учета зарядовых радиусов нейтрино диагонального

CV&A =

)

и переходного типов. Расчеты выполнены в пред-

∑(∑

m2k

положении достаточно малого расстояния между

U^∗ℓke^-i

2Eν

^L(-δ_jkF₁ + F_QQ_jk)

источником и мишенью, чтобы эффектами осцил-

ляций можно было пренебречь (L = 0). Результаты

)

в рамках СМ показаны как с учетом, так и без

(∑

q²

U_ℓne

2Eν

(δ_jnG_A - F_A

Q_jn)

учета странного вклада в формфакторы протона

m2N

согласно подходу, изложенному в разделе 2.3. В

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО

413

dσ/dT, 10^-39 см²/ГэВ

v_e + p

E_v = 1 МэВ

v_μ + p

E_v = 30 МэВ

0.5

1.0

1.5

2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

T, кэВ

T, МэВ

dσ/dT, 10^-39 см²/ГэВ

v_μ + p

E_v = 1 ГэВ

200

400

600

800

T, МэВ

Рис. 1. Дифференциальное сечение упругого рассеяния нейтрино на протоне: а — электронное антинейтрино с

характерной для реакторного источника энергией Eν = 1 МэВ; б — мюонное нейтрино с характерной для ускорительного

источника в эксперименте COHERENT энергией Eν = 30 МэВ [18]; в — мюонное нейтрино с характерной для

ускорительного источника в эксперименте MicroBooNE энергией Eν = 1 ГэВ [41]. Черная сплошная кривая — сечение

в рамках СМ, темно-серая область — СМ-сечение с учетом странного вклада в спин протона (см. разд. 2.3), а светло-

серая область — сечение с учетом переходного зарядового радиуса нейтрино (31).

случае диагональных зарядовых радиусов нейтри-

(29) сингулярно при отличном от нуля магнитном

но использованы значения, предсказываемые СМ

моменте нейтрино, то показана область малых зна-

(13). Однако вклад их настолько мал, что соот-

чений переданной энергии T ≪ E_ν . При этом в

ветствующие результаты визуально неотличимы от

данном кинематическом режиме сечение не зависит

результатов без их учета. В случае переходных

от E_ν.

зарядовых радиусов, исходя из имеющхся экспери-

Как видно на рис. 1 и 2, электромагнитные свой-

ментальных ограничений [24, 26, 29], использованы

ства нейтрино могут давать существенный вклад в

значения в диапазоне

сечение упругого рассения нейтрино на протоне. В

то же время, для полноценного поиска этих свойств

0 ≤ |〈r2ν〉_eμ| < 3 × 10-31 см².

(31)

важно обеспечить в эксперименте измерение диф-

На рис. 2 вместо зарядового радиуса учитывается

ференциального сечения в достаточно широком

магнитный момент нейтрино в интервале

интервале переданных энергий. Это позволит, во-

первых, отделить эффекты электромагнитных вза-

10-12μ_B < μ_ν < 2.8 × 10-11μ_B,

(32)

имодействий нейтрино от эффектов, связанных с

отражающем характерный диапазон верхних огра-

нуклонными формфакторами, а, во-вторых, уста-

ничений на его величину, которые получены из

новить, какими именно электромагнитными харак-

данных лабораторных экспериментов и астрофизи-

теристиками нейтрино обусловлены наблюдаемые

ческих наблюдений [24, 26, 29, 30]. Так как сечение

эффекты.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

414

КУЗАКОВ и др.

dσ/dT, 10^-39 см²/ГэВ

результатов различных экспериментов. Среди них

такие, как нейтринные эксперименты с короткой и

длинной базой, изучение взаимодействий и осцил-

v + p

ляций нейтрино в веществе, регистрация нейтрино

от взрывов сверхновых с помощью упругого рассе-

яния нейтрино на протонах, изучение анапольного

момента нуклона, поиск электрического дипольно-

го момента нейтрона.

Результаты работы также вносят вклад в разви-

тие систематического подхода к изучению электро-

магнитных свойств нейтрино в его упругом рассе-

янии на сложных мишенях (ядрах, атомах, конден-

сированных средах).

Исследование выполнено за счет гранта Рос-

100

сийского научного фонда (проект № 22-22-00384).

T, эВ

Ф.М. Лазарев выражает признательность за под-

держку со стороны Национального центра физики

Рис. 2. То же, что и на рис. 1, но светло-серая об-

и математики (Саров, Россия).

ласть — учет магнитного момента нейтрино (32).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Отметим также, что в рассмотренных выше

C. Giunti and A. Studenikin, Rev. Mod. Phys. 87, 531

сечениях в случаях ненулевых нейтринных пере-

(2015).

ходного зарядового радиуса и магнитного момента

C. Giunti, K. A. Kouzakov, Y.-F. Li, A. V. Lokhov,

отсутствует интерференция Z⁰-бозонного и фотон-

A. I. Studenikin, and S. Zhou, Ann. Phys. (Berlin)

ного каналов взаимодействия нейтрино с протоном.

528, 198 (2016).

Это означает, что знак (плюс или минус) указанных

А. И. Студеникин, К. А. Кузаков, Вестн. Моск. ун-

нейтринных электромагнитных характеристик не

та. Сер. 3. Физ. Астрон. № 5, 3 (2020) [Mosc. Univ.

играет роли в обсуждаемом процессе рассеяния.

Phys. Bull. 75, 379 (2020)].

В случаях же таких нейтринных электромагнитных

J. Bernab ´eu, L. G. Cabral-Rosetti, J. Papavassiliou,

свойств, как миллизаряд, диагональные (во флей-

and J. Vidal, Phys. Rev. D 62, 113012 (2000).

ворном базисе) зарядовый радиус и анапольный

J. Bernab ´eu, J. Papavassiliou, and J. Vidal, Phys. Rev.

Lett. 89, 101802 (2002).

момент играет роль не только их абсолютное зна-

J. Bernab ´eu, J. Papavassiliou, and J. Vidal, Nucl.

чение, но и знак.

Phys. B 680, 450 (2004).

K. Fujikawa and R. Shrock, Phys. Rev. Lett. 45, 963

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(1980).

L. Alvarez Ruso et al., arXiv:2203.09030 [hep-ph].

В работе развивается теория упругого рассе-

Q. Chen, Effective Field Theory Applications: From

яния нейтрино на нуклоне с учетом электромаг-

Dark Matter to Neutrino Nucleon Scattering,

нитных взаимодействий массивных нейтрино. Рас-

Theses and Dissertations-Physics and Astronomy

сматриваемый процесс имеет два канала взаимо-

(University of Kentucky, 2021), p. 86.

действия: посредством обмена Z⁰-бозоном и фо-

10.

O. Tomalak, P. Machado, V. Pandey, and R. Plestid,

тоном. В обоих случаях в развитом формализме

J. High Energy Phys. 2021, 97 (2021).

учтены нуклонные формфакторы. Кроме того, учте-

11.

O. Tomalak, Q. Chen, R. J. Hill, and K. S. McFarland,

ны эффекты смешивания и осцилляций нейтрино

arXiv:2105.07939.

при движении от источника к мишени. Получены

12.

O. Tomalak, Q. Chen, R. J. Hill, and K. S. McFarland,

общие выражения для дифференциального сечения

Nat. Commun. 13, 5286 (2022).

13.

R. S. Sufian, K.-F. Liu, and D. G. Richards, J. High

упругого рассеяния нейтрино на нуклоне и на их

Energy Phys. 2020, 1 (2020).

основе выполнены численные расчеты для рас-

14.

G. D. Megias, S. Bolognesi, M. B. Barbaro, and

сеяния реакторных и ускорительных нейтрино на

E. Tomasi-Gustafsson, Phys. Rev. C 101, 025501

протонной мишени. Проиллюстрированы возмож-

(2020).

ные проявления в сечении эффектов магнитного

15.

X. Zhang, T. J. Hobbs, and G. A. Miller, Phys. Rev. D

момента и переходного (во флейворном базисе)

102, 074026 (2020).

зарядового радиуса нейтрино.

16.

J. Liang and K.-F. Liu, arXiv:2008.12389 [hep-lat].

Полученные выражения для сечений содержат

17.

D. Z. Freedman, Phys. Rev. D 9, 1389 (1974).

информацию как о нейтринных, так и о нуклон-

18.

D. Akimov et al., Science 357, 1123 (2017).

ных электромагнитных формфакторах. Это обсто-

19.

J. Yang, J. A. Hernandez, and J. Piekarewicz, Phys.

ятельство позволяет применять их для анализа

Rev. C 100, 054301 (2019).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРИНО

415

20.

C. G. Payne, S. Bacca, G. Hagen, W. G. Jiang, and

30. E. Aprile et al., Phys. Rev. D 102, 072004 (2020).

T. Papenbrock, Phys. Rev. C 100, 061304(R) (2019).

31. А. И. Тернов, Письма в ЖЭТФ 104, 75 (2016)

21.

M. Hoferichter, J. Menendez, and A. Schwenk, Phys.

[JETP Lett. 104, 75 (2016)].

Rev. D 102, 074018 (2020).

32. A. I. Ternov, Phys. Rev. D 94, 093008 (2016).

22.

M. Cadeddu, C. Giunti, K. A. Kouzakov, Y. F. Li,

A. I. Studenikin, and Y. Y. Zhang, Phys. Rev. D 98,

33. K. S. Babu and R. N. Mohapatra, Phys. Rev. D 41,

113010 (2018).

271 (1990).

23.

O. G. Miranda, D. K. Papoulias, G. Sanchez Garcia,

34. G. G. Raffelt, Phys. Rep. 320, 319 (1999).

O. Sanders, M. T ´ortola, and J. W. F. Valle, J. High

35. W. C. Haxton and C. E. Wieman, Ann. Rev. Nucl.

Energy Phys. 2020, 130 (2020).

Part. Sci. 51, 261 (2001).

24.

M. Cadeddu, F. Dordei, C. Giunti, Y. F. Li, E. Picciau,

and Y. Y. Zhang, Phys. Rev. D 102, 015030 (2020).

36. C. Giunti and C. W. Kim, Fundamentals of Neutrino

25.

H. Bonet, A. Bonhomme, C. Buck, K. F ¨ulber,

Physics and Astrophysics (Oxford University Press,

J. Hakenm ¨uller, J. Hempfling, G. Heusser, T. Hugle,

2007).

M. Lindner, W. Maneschg, T. Rink, H. Strecker,

37. W. M. Alberico, S. M. Bilenky, C. Giunti, and

R. Wink, and CONUS Collab., Eur. Phys. J. C 82,

K. M. Graczyk, Phys. Rev. C 79, 065204 (2009).

813 (2022).

38. D. K. Papoulias and T. S. Kosmas, Adv. High Energy

26.

M. Atzori Corona, M. Cadeddu, N. Cargioli,

F. Dordei, C. Giunti, Y. F. Li, C. A. Ternes, and

Phys. 2016, 1490860 (2016).

Y. Y. Zhang, J. High Energy Phys. 2022, 164 (2022).

39. G. T. Garvey, W. C. Louis, and D. H. White, Phys.

27.

F. An et al., J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 43, 030401

Rev. C 48, 761 (1993).

(2016).

40. K. A. Kouzakov and A. I. Studenikin, Phys. Rev. D

28.

M. Nowakowski, E. A. Paschos, and J. M. Rodriguez,

95, 055013 (2017).

Eur. J. Phys. 26, 545 (2005).

29.

R. L. Workman et al. (Particle Data Group), Prog.

41. P. Abratenko et al. (MicroBooNE Collab.), Phys. Rev.

Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022).

Lett. 128, 151801 (2022).

NEUTRINO ELECTROMAGNETIC PROPERTIES IN ELASTIC

NEUTRINO-PROTON SCATTERING

K. Kouzakov¹⁾, F. Lazarev¹⁾, A. Studenikin¹⁾

¹⁾Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Moscow 119991, Russia

The contribution of the electromagnetic characteristics of the neutrino to the elastic neutrino-proton

scattering is considered in detail. The electromagnetic properties of neutrinos are introduced through the

charge, magnetic, electric, and anapole form factors in the basis of neutrino mass states. This takes into

account the mixing effects of the three neutrino states and the effects of changing the flavor of the neutrino

moving from the source to the detector. The weak neutral and electromagnetic form factors of the nucleon

are also taken into account. The numerical results for the differential cross section of elastic neutrino-proton

scattering with the neutrino charge radius and magnetic moment taken into account are compared with the

predictions of the Standard Model for reactor and accelerator neutrinos.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№3

2023