ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 4, с. 485-494

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ТОЧНОМУ

ИЗМЕРЕНИЮ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ МЮОНА И КОНСТАНТЫ ФЕРМИ

И. Н. Мачулин¹⁾, Е. А. Мелешко¹⁾, В. И. Селиванов^1)*

Поступила в редакцию 08.11.2022 г.; после доработки 08.11.2022 г.; принята к публикации 26.12.2022 г.

Предложен эксперимент по рекордному по точности измерению мировой константы Ферми G_F при

распаде положительного мюона. Выполнен анализ всех систематических ошибок. Разработана и

проверена программа “Fast Program” (FP), использующая данные GEANT и работающая в ≈1500

раз быстрее. Набрано 10¹⁴ событий при двух вариантах отбора событий. Получена точность 0.46 пс

для времени жизни мюона и 0.1 × 10-6 для величины G_F с учетом всех систематических ошибок.

Точность теоретических расчетов G_F — 0.14 × 10-6 в рамках Стандартной модели взаимодействий

элементарных частиц.

DOI: 10.31857/S0044002723040062, EDN: EGDRHT

1. ВВЕДЕНИЕ

Maskawa (CKM) [4], которая определяет силу сме-

шивания в кварковом секторе и является источни-

Мировая константа G_F описывает распады эле-

ком нарушения CP-инвариантности. CKM, в част-

ментарных частиц и ядер в слабом секторе Стан-

ности, играет важную роль в попытках объяснить

дартной модели. В [1] в качестве мировой по-

преобладание материи над антиматерией во Все-

стоянной приводится именно экспериментальное

ленной. Во-вторых, это, конечно, будет способ-

значение G_F, поскольку оно не зависит от теоре-

ствовать улучшению точности теоретических рас-

тической модели физики элементарных частиц. В

четов. В настоящей работе предложена и анализи-

настоящее время точность экспериментальной ве-

руется экспериментальная установка для рекорд-

личины σ(G_F)/G_F = 0.5 × 10-6 [2]. Эксперименты

ного по точности измерения G_F. Показано, что

по измерению G_F при распаде мюона выполнялись

можно достичь точности 0.10 × 10-6.

7 раз с 1973 по 2013 г. с точностью σ(G_F)/G_F =

= 68 × 10-6 (1973 г.) и 0.5 × 10-6 (2013 г.) [1].

Погрешность теоретического значения G_F в рам-

2. ДЕТЕКТОР

ках Стандартной модели взаимодействий элемен-

В эксперименте необходимо набрать

тарных частиц составляет 0.14 × 10-6 [3]. Разница

≈10¹⁴ μ⁺ → e⁺ распадов за разумное время 10⁷

между ними находится в пределах ошибок. Наибо-

≈116

дней, чтобы улучшить существующую

лее точно величина G_F может быть измерена при

точность времени жизни мюона σ(τ_μ) = 2.2 пс

распаде мюона [3]:

событий, [2]). Для этого требу-

(набрано 2 × 10¹²

G^2Fm5μ

ется интенсивность мюонного пучка ≥10⁷ μ⁺/с.

(1 + Δq) .

τ_μ

192π³

Интенсивность пучка

“поверхностных мюонов”

в институте Пауля Шеррера (PSI, Швейцария)

Здесь τ_μ ≈ 2.2 мкс — время жизни мюона, Δq опи-

достигает

1.5 × 10⁸ μ⁺/с

[3].

“Поверхностные

сывает поправку из-за конечной массы электро-

мюоны” образуются из пионов, летящих с поверх-

на и радиационные поправки из-за четырехфер-

ности мишени протонного ускорителя, и временная

мионного взаимодействия в пределе m_μ ≪ M_w.

структура пучка обеспечивает практически не

Таким образом, дальнейшее улучшение точности

зависящий от времени поток событий (статистика

экспериментальной величины G_F позволяет прове-

Пуассона). “Поверхностные мюоны” имеют кине-

рить справедливость Стандартной модели, напри-

тическую энергию E_μ = 4.12 МэВ и длину трека

мер, унитарность матрицы Cabibbo-Kobayashi-

≈1.4 мм в пластиковом сцинтилляторе. Интен-

сивность 10⁷ μ⁺/с требует разделения детектора

¹⁾Национальный исследовательский центр “Курчатовский

институт”, Москва, Россия.

на множество независимых частей, поскольку

^*E-mail: selivanov@akado.ru,Selivanov_VI@nrcki.ru

среднее время между мюонами равно 0.1 мкс и в

485

486

БАКАЛЯРОВ и др.

μ⁺

e⁺

1024 сцинтиллятора BC-412 (3×3×3 mm²)

16 arrays J-30020-63P-PCB

e⁺

Connectors 64 fast output

107 mm

Рис. 1. Рисунок детектора, вид сбоку.

течение 20 мкс наблюдения μ⁺ → e⁺ распадов в

= 64 ячейки SiPM с размерами 3 × 3 мм² каждая.

одном детекторе оказываются 200 мюонов и 200

Размеры детектора — 107 × 107 мм².

позитронов распада. В этих условиях практически

Создание установки стало возможно после раз-

невозможно найти позитрон от родившего именно

работки технологии массового производства крем-

его мюона. Кроме того, фон распадов от других

ниевых фотоумножителей SiPM (например, [6]),

мюонов как минимум в 200 раз превышает эффект.

которые позволяют создавать компактные детекто-

Предлагаемый детектор состоит из 1024 незави-

ры с высоким быстродействием и с высокой веро-

симых элементов (детектор в работе [2] состоял из

ятностью регистрации сцинтилляционных фотонов.

170 элементов). Это приводит к среднему времени

На рис. 2 приведены распределения амплитуд сиг-

между двумя мюонами в одном детекторе ≈100 мкс,

налов с SiPM в предположении переднего фронта

к вероятности 0.2 регистрации двух мюонов или по-

τ_r = 2 нс и заднего фронта τ_d = 4 нс. В этом случае

зитронов в интервале наблюдения 20 мкс и к низкой

вероятности регистрации двух позитронов в нашем

События

интервале мертвого времени 20 нс (≈2 × 10-4).

1E+004

Последняя величина не зависит от времени после

распада мюона. В работе [2] эта вероятность была

равна 10-3 в начале времени регистрации и 10-7 в

positron

конце [5]. При оптимизации конструкции детектора

1E+003

учитывались различные факторы: относительная

вероятность диффузии мюона в соседний сцинтил-

лятор, амплитудное разделение сигналов мюона и

позитрона, мертвое время кремниевого фотоумно-

жителя (SiPM). Предлагаемая экспериментальная

1E+002

muon

установка изображена на рис. 1. Сцинтилляторы

(элементы) разделены майларом толщиной 6 мкм,

покрытым с обеих сторон алюминием. Мюоны

пучка с импульсом p_μ ≈ 28.8 МэВ/c и c раз-

1E+001

бросом 2% останавливаются на глубине 1.4 мм

сцинтиллятора BC-412. В большинстве случаев

сигналы от частиц μ⁺ → e⁺ распада поступают от

одного элемента. Небольшой процент позитронов

1E+000

400

800

1200

1600

исходит из соседнего элемента из-за диффузии

Количество фотоэлектронов

медленного мюона, как это изображено для мюона

слева на рисунке. Значительная часть позитронов

регистрируется в нескольких элементах из-за

Рис. 2. Спектры средней амплитуды сигналов в фо-

тоэлектронах (ф.э.) от всех сцинтилляторов на выхо-

углового распределения позитронов распада, как

де кремниевых фотоумножителей при интенсивности

это изображено для мюона справа на рисунке.

10⁷ с-1μ⁺ → e⁺ распадов в полной сборке из 32 ×

Полный детектор содержит 1024 сцинтиллятора

× 32 = 1024 кристалла. Размеры каждого сцинтилля-

размером 3 × 3 × 3 мм³, 4 × 4 = 16 матриц крем-

тора 3 × 3 × 3 мм³. Спектры сигналов для сборок из

3 × 3 и 32 × 32 кристаллов практически идентичны.

ниевых фотоумножителей (SiPM) “ArrayJ-30020-

Импульс мюонов в пучке 28.8 МэВ/c с разбросом 2%.

64P-PCB”. Каждая матрица содержит 8 × 8 =

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА

487

Gate 1

VME

CAEN QDC

QDC

V862

Charge

amplifiers

e⁺

Gate 2

QDC

VME

SensL

VME

CAEN V895

ArrayJ-30020-

CAEN QDC

discriminators

V1190-2eSST

64P×16 = 1024

veto

TDC

VME

⁺ Scintillator

e⁺

SiPM

CAEN V895

BC-412

e⁺

discriminators

TDC

Setting thresholds

DAC system

CAEN A7585D

for SiPM

Power supply

SiPM power

DT5550W

Module

Crate

USB 3.0 bus

controller

VME

PCIOpticalLink(A2818)

PCIBridge

(VX2718)

computer

Memory

Рис. 3. Возможная функциональная схема аппаратуры для регистрации сигналов с SiPM детекторов. Представленные

на рис. 3 приборы являются серийными [8]. Сигнал “veto” запрещает регистрациюμ-сигнала в e-канале, но это приводит

к случайным совпадениям между μ-сигналом и вторым e-сигналом после первого e-сигнала. Это может привести к

искажениям спектра (см. разд. 4.1). Вероятность таких совпадений не превышает 10-7 при мертвом времени 30 нс для

e-сигналов.

сигнал записывается как [7]

<800 ф.э. Улучшить эту идентификацию возможно

(

)

при измерении амплитуд сигналов во всех 3 × 3 = 9

τ_r + τ_d

y (t) = R

e-t/τd

1-e-t/τr

(1)

кристаллах. Мы отказались от такого метода из-

τ²

за его погрешностей и существенного усложнения

эксперимента. Во всех дальнейших расчетах ча-

где R — количество фотоэлектронов при t → ∞,

стица идентифицируется как позитрон в интервале

y_max = 0.144R.

амплитуд (70-800) ф.э. и как мюон в интервале

На рис. 2 приведен спектр сигналов со сцинтил-

(801-1200) ф.э. Минимальная амплитуда 70 ф.э.

лятора BC-412, полученный с помощью GEANT4

для позитрона выбрана с большим запасом, чтобы

при учете световыхода, его деградации при боль-

полностью игнорировать шумы SiPM и их увеличе-

ших ионизационных потерях медленного мюона

ние при радиационном повреждении.

(эффект Birks), отражений света от алюминизиро-

Предлагаемая схема регистрации сигнала с

ванного майлара между сцинтилляторами, остано-

SiPM приведена на рис. 3.

вок частиц в майларе и срабатывании нескольких

Выходные сигналы с матрицы SiPM детекторов

сцинтилляторов из-за рассеяния мюонов и из-за

поступают на входы дифференциальных дискрими-

углового и энергетического распределений пози-

наторов, осуществляющих селекцию сигналов от

тронов. Приведены спектры амплитуд при перед-

мюонов и позитронов, и через зарядочувствитель-

нем фронте сигналов τ_r = 2 нс и заднем фрон-

ные усилители на преобразователи заряд-код —

те τ_d = 4 нс. Мюонные сигналы с амплитудой

(QDC μ⁺ и QDC e⁺), с помощью которых из-

<800 ф.э. возникают из-за диффузии медленного

меряются амплитудные спектры регистрируемых

мюона в соседние сцинтилляторы. Это приводит к

частиц. Выходной сигнал с одного элемента де-

ошибке в идентификации частицы при амплитудах

тектора (рис. 1) подается на дискриминаторы со

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

488

БАКАЛЯРОВ и др.

События

последнего варианта GEANT3. Электромагнитные

delta_t

процессы анализировались с точностью 1 кэВ для

Entries

Mean

GEANT4 и 10 кэВ для GEANT3. Обе програм-

Std Dev

χ²/ndf

204.240768/196

мы давали идентичные результаты. Была показана

10¹²

2.11135077e+12 ± 4.93322062e+05

2197.02856 ± 0.00048

идентичность результатов GEANT для 1024 и 9

AC bgrd

5.52892539e+10 ± 2.5491357e+04

элементов при статистике 10⁹ событий. Это позво-

лило набрать за разумное время достаточную для

Sum = 5.70043×10¹³

анализа статистику для сборки из 3 × 3 на GEANT

и необходимую статистику 10¹⁴ событий на “Fast

Program” (FP, см. ниже) за 80 сут вместо 516 для

10¹¹

сборки 32 × 32.

3.1. Выбор интенсивности пучка, интервала

Время, мкс

наблюдения и критерия отбора событий

Выполнен анализ зависимости ошибки изме-

Рис. 4. Временной спектр позитронов при распаде мю-

рения времени жизни мюона σ(τ_μ) от условий

она в диапазоне (0-20) мкс для 10¹⁴ событий. Сборка

3 × 3 сцинтиллятора. Программа FP (см. разд. 3.2).

наблюдения. Были рассмотрены при различных

При моделировании статистики 10¹⁴ событий получено

интенсивностях варианты анализа при выборе в

σ(τμ) = 0.48 пс для варианта отбора все_μ + все_e

интервале наблюдения одного события: 1_μ и/или

с антисовпадениями. При фитировании была задана

1_e, или всех событий: все_μ и/или все_e, а также

величина τ0 = 2197.03 нс.

варианты есть/нет антисовпадения между сосед-

ними элементами. 1_μ + все_e, например, соответ-

следящим порогом (CFD) для отбора сигнала от

ствует отбору события только с одним мюоном и

мюона (μ⁺) и позитрона (e⁺), а также на преобра-

со всеми позитронами в интервале (-30-+30) мкс

зователь заряда — код (QDC) для сигнала мюона.

от времени выбранного мюона. Все_μ + все_e

Используя модули QDC, можно стабилизировать

соответствует отбору всех событий в интервале (0-

усиление детектора для μ⁺- и e⁺-сигналов в тече-

20) мкс от времени выбранного мюона. В табл. 1

ние всего периода измерения по вершине распре-

приведены результаты этого анализа. Из таблицы

деления числа фотоэлектронов от мюонов (рис. 2).

видно, что величина σ_μ увеличивается с ростом ин-

Есть несколько причин нестабильности — умень-

тенсивности пучка, по-видимому, из-за увеличения

шение сигнала из-за радиационных повреждений

фона B. Реально были выполнены расчеты так-

сцинтиллятора и/или SiPM-детекторов, изменение

же при интенсивностях I_μ = (1.62, 1.89 и 2.27) ×

амплитуды при изменении окружающей темпера-

× 10⁷ μ⁺/с. Все параметры плавно изменяются от

туры и пр. Далее сигналы подаются на преобра-

значений при 1.26 × 10⁷ с-1 до значений при 2.84 ×

зователи время-код (TDC). Модуль V1290А/B-

× 10⁷ с-1.

2eSST представляет собой 128/64 канальный TDC

с шириной канала 0.1-0.8 нс, диапазоном измере-

Выполнен анализ при отборе событий без ан-

ния 104 мкс, мертвым временем 5 нс для парных

тисовпадений между соседними элементами и с

импульсов и выходным буфером 32 кбита × 32 бита

антисовпадениями. Эти случаи различаются из-за

для регистрации частиц в интервале наблюдений.

позитронов, регистрируемых в нескольких элемен-

TDC позволяет эффективно записывать события

тах и диффузии мюона в соседний элемент (см.

при непрерывной передаче данных. Спектр сигна-

рис. 1). Результаты приведены в табл. 2.

лов QDC обрабатывается и используется (посыла-

На основе анализа результатов табл. 2 для

ется на блок питания “Power Supply”) для измене-

моделирования статистики 10¹⁴ событий были вы-

ния напряжения на SiPM и, таким образом, юсти-

браны два варианта — худший (все_μ + все_e с

ровки коэффициента усиления SiPM-детекторов.

антисовпадениями) и удовлетворительный по точ-

Равноценная альтернатива — регулировка порогов

CFD-дифференциальных дискриминаторов SiPM

ности — 1_μ + все_e без антисовпадений.

(“Setting Thresholds”).

Сравнение величины ошибки времени жизни

мюона σ(τ_μ) показывает ее уменьшение на 8% при

3. МОНТЕ-КАРЛО

увеличении времени регистрации от 20 до 30 мкс.

Предложенный детектор (рис. 1) анализировал-

Далее эта ошибка неизменна вплоть до времени

ся с помощью программ GEANT4 (например, [9]) и

регистрации 120 мкс.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА

489

Таблица 1. Результаты фитирования GEANT4 сборки 3 × 3 кристаллов при статистике 10⁹ и различных

интенсивностях пучка мюонов I_μ для 1024 кристаллов при различных критериях отбора событий и при наличии

антисовпадений между соседними элементами (установка регистрирует все события (нет мертвого времени); фор-

мула фитирования — N(t) = N₀ exp(-t/τ_μ) + B; значения χ² лежат в естественных пределах для всех вариантов)

Интенсивность

Отбор при

Δτ_μ, пс

σ_μ, пс

Δτ/σ

N₀/B

пучка I_μ, 10⁷ с-1

(-20-+20) мкс

1.26

1_μ + 1_e

444

126

-3.5

239

1_μ + все_e

133

0.3

все_μ + все_e

138

0.3

2.84

1_μ + 1_e

972

163

6.0

108

1_μ + все_e

166

0.24

все_μ + все_e

118

161

0.73

На рис. 4, 5 представлены результаты фити-

была равна 10⁷ μ⁺/с на полный детектор из 1024

элементов.

рования статистики 10¹⁴ событий для вариантов

1_μ + все_e и все_μ + все_e. Интенсивность пучка

3.2. Программа “Fast Program” (FP)

Для набора статистики 10¹⁴ с помощью пакетов

Таблица 2. Результаты фитирования GEANT4 сборки

GEANT потребовалось бы при работе на 16 про-

3 × 3 кристаллов при статистике 10⁹ событий, интен-

цессорах порядка 100 лет. Однако для розыгрыша

сивности пучка мюонов 10⁷ c-1 на 1024 кристалла при

всего процесса во времени нет необходимости ис-

различных критериях отбора событий (“отбор” соответ-

пользовать полное моделирование всех процессов.

ствует количеству частиц в интервале (-20-+20) мкс,

но (0-+20) мкс для все_μ + все_e; установка регистри-

Развертка по времени могла быть смоделирована

рует все события (нет мертвого времени); формула фи-

с помощью отдельной программы, которая не обя-

тирования — N(t) = N₀ exp(-t/τ_μ) + B; значения χ²

зательно должна была разыгрывать все физиче-

лежат в естественных пределах для всех вариантов)

ские процессы, но в ней должен был присутство-

вать целый набор (пакет) вероятностей, который

уже определялся с помощью комплексов GEANT

Нет антисовпадений между кристаллами

событий) без

на разумной статистике (10⁹-10¹⁰

Отбор

1_μ + 1_e

1_ μ + все_e все_μ + все_e

развертывания всего процесса во времени. Пакет

вероятностей определялся при условии, что если

σ(τ_μ), мкс

0.127

0.134

0.139

происходит регистрация любых частиц в разных

N₀/B

234

детекторах в пределах 2 нс, то такие события

Антисовпадения 2 нс между кристаллами

выбрасываются. Это существенно облегчает фор-

мирование пакета вероятностей, так как каждый

σ(τ_μ), мкс

0.138

0.141

0.154

детектор при некоторой потере эффективности ре-

N₀/B

368

175

гистрации практически был независим от других

детекторов. Для каждого мюона, зарегистрирован-

ного в любом из детекторов, выбирались события

только с одним позитроном в сборке. В этот пакет

Таблица 3. {1} — максимальное мертвое время для ре-

вероятностей входит вероятность того, что для всей

гистрации второго сигнала, {2} — максимальное время

сборки был обязательно зарегистрирован и мюон, и

t₂ - t₁ между сигналами в паре для обеспечения сдвига

позитрон. При этом для каждого детектора, где за-

второго сигнала ≤1 пс; передний фронт сигнала τ_r =

регистрирован мюон, дается вероятность, где будет

= 2 нс и задний τ_d = 4 нс; позитрон— (70-800) ф.э.,

зарегистрирован позитрон (в большинстве случаев

мюон — (801-1200) ф.э.

это тот же самый детектор). Учитывались также

вероятности, что в сборке зарегистрируется мюон,

Частицы в паре

μ-μ μ-e e-μ e-e

а позитрон не зарегистрируется и, наоборот, мюон

{1}, нс

не зарегистрируется, а позитрон зарегистрируется.

Во втором случае дается вероятность зарегистри-

{2}, нс

роваться позитрону в каждом из детекторов. Кроме

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

490

БАКАЛЯРОВ и др.

События

эксперименте. На рис. 6 приведены значения Δ(τ_μ)

1E+012

для отбора все_μ + все_e. На самом деле это

+ all_e, 10¹⁴ events, 50 ns/channel

Equation

N(t) = N0exp( t/ ) + ACbgrd

только одна из причин сдвига Δ(τ_μ).

0, ns

2196.9811

, ns

2196.98158 ± 0.00039

Вторая причина сдвига Δ(τ_μ) — мертвое вре-

( 0

( )

1.24

²/ndf

651/596

мя 5 нс преобразователя время-код (TDC) для

N0 = 6.1933×10¹¹ ± 79227

ACbgrd

1.0555×10¹⁰ ± 1246

парных импульсов [9]. Например, минимальное

мертвое время в паре e-e не превышает 3 нс.

Третья причина — сдвиг времени регистрации вто-

1E+011

рого сигнала в каждой паре. Четвертая — мертвое

время 12 нс усилительной микроячейки SiPM [6].

Величина мертвого времени и временной сдвиг вто-

рого сигнала в паре вычислены при переднем фрон-

те сигнала τ_r = 2 нс и заднем τ_d = 4 нс (формула

(1)) при амплитуде (70-800) ф.э. для позитрона

и (801-1200) ф.э. для мюона. Результаты вычис-

лений приведены в табл. 3. Заметим, что мертвое

1E+010

время в паре μ-e не влияет на систематический

Время, нс

сдвиг времени жизни мюона при выборе времени

≥100 нс для регистрации позитрона распада. Были

Рис. 5. Временной спектр позитронов при распаде

выбраны дискриминаторы со следящим порогом

мюона в диапазоне (0-+30) мкс для 10¹⁴ зареги-

(CFD). Дискриминаторы с двумя фиксированными

стрированных событий. Сборка 3 × 3 сцинтиллятора.

порогами (D) увеличивают величины {1} и {2} на

Программа FP (см. разд. 3.2). При моделировании

20-30% и исключают случайные совпадения μ-

статистики 10¹⁴ событий получено σ(τμ) = 0.39 пс

для варианта 1_μ + все_e. Интервал (-30-+30) мкс

сигнала с e-сигналом (рис. 3).

без антисовпадений. При фитировании была задана

Рисунок

демонстрирует временной спектр

величина τ0 = 2196.9811 нс.

N (t₂ - t₁) позитронов при мертвом времени 20 нс

только в паре e-e.

вышеизложенного учитывается также вероятность

В эксперименте автоматически регистрируются

того, что мюон будет зарегистрирован как позитрон

спектры N(t₂ - t₁) между всеми парами и можно

и наоборот, а также вероятность того, что в сборке

проверить соответствие мертвых времен с резуль-

не будет зарегистрированных частиц и т.д. Выбор

татами из табл. 3. Очевидно, зависимости N(t₂ -

сборки 3 × 3 был обусловлен еще и тем, что это

- t₁) не будут дельтаобразными функциями как на

минимальная сборка, которая адекватно отражает

рис. 6 из-за суперпозиции всех четырех причин

реальную картину событий, и пакет вероятностей

и амплитудного разброса сигналов, но эти зави-

для нее сформировать гораздо проще, чем для

симости автоматически регистрируются во время

сборки 32 × 32. Более того, дополнительные де-

эксперимента. Из табл. 3 следует, что отбор со-

текторы заметно замедляют работу быстрой про-

бытий с t₂ - t₁ > 200 нс для пар μ-μ, e-μ и e-e

граммы (общее увеличение переборов в циклах,

гарантировано исключит влияние мертвого време-

переборы при определении времени совпадений

ни на величину Δ(τ_μ) и несущественно уменьшит

как в разных детекторах, так и при определении

статистику, поскольку вероятность таких событий

событий с мертвым временем). Это не позволило

не превышает 4 × 10-3 при среднем расстоянии

бы нам набрать нужную статистику в заданный

100 мкс между частицами (интенсивность пучка

срок. Набор статистики 10¹⁴ распадов занимает 80

суток для сборки 3 × 3 элемента и 516 суток для

сборки из 32 × 32 элемента.

Таблица 4. Ошибки предложенного эксперимента для

варианта 1_μ + все_e

4. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ

Источник ошибки

σ(τ_μ), пс σ(G_F)/G_F, 10-6

4.1. Мертвое время системы регистрации

Масса мюона

0.22

0.05

событий (СРС)

Калибровка времени

0.13

0.03

В работе [2] было изучено влияние мертвого

Статистическая ошибка

0.39

0.09

времени СРС в паре e-e на систематический сдвиг

экспериментального значения времени жизни мю-

Суммарная ошибка

0.46

0.10

она Δ(τ_μ) из-за потери второго позитрона. Анало-

Существующая ошибка

2.2

0.5

гичная систематика присутствует и в предлагаемом

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА

491

10⁷μ⁺/с). Отбор событий с t₂ - t₁ > 100 нс для

выделенного геометрического направления реги-

пары μ-e уменьшит статистику всего на ≈5%. Рас-

страции позитронов. В предложенной установке

пределения времен N(t₂ - t₁) для всех пар частиц

позитроны регистрируются с равной вероятностью

позволяют измерить зависимость величины Δ(τ_μ)

в угле 4π. Это должно быть проверено, так как да-

от мертвого времени t₂ - t₁ любой пары и получить

же магнитное поле Земли ≈1 Гс неприемлемо иска-

жает значение τ_μ. После этого надо выбрать работу

зависимости, подобные данным на рис. 3. Таким

образом, это позволяет исключить влияние мерт-

в магнитном поле ≫1 Гс или без него. Было показа-

вого времени на точность величины τ_μ практически

но, что величина Δ(τ_μ) = 0, и значения σ(τ_μ) равны

без потери скорости набора статистики.

при B = 0 и B = 1 кГс при фитировании зависимо-

сти N(t) = N₀(1 - (P_μ/3) cos ωt) exp(-t/τ_μ) + B с

= 1 и частотой ω прецес-

поляризацией мюона P_μ

4.2. Радиационные повреждения

сии спина мюона в магнитном поле. Позитроны

сцинтилляторов и SiPM

регистрировались только по направлению пучка.

Мы будем полагать, что присутствие внешнего

Очевидно, что для длительного (116 суток) вре-

магнитного поля необходимо при наличии земного

мени работы при интенсивности пучка 10⁷ μ⁺/с

поля ≈1 Гс, но это не влияет на результаты экспе-

необходим анализ влияния радиационных повре-

римента.

ждений на световыход сцинтилляторов и на шумы

и усиление SiPM. В более тяжелом положении

оказывается сцинтиллятор, который облучается

4.4. Нестабильность усиления SiPM

мюонами и позитронами. Для поиска подходящего

сцинтиллятора было затрачено значительное вре-

Разброс коэффициентов усиления отдельных

мя. Была вычислена доза на один сцинтиллятор

ячеек сборки SiPM не превышает 15% [14]. Из-

менение коэффициента усиления от температуры

3 × 3 × 3 мм³ при набранной статистике 10¹⁴ со-

бытий на полный детектор 32 × 32 сцинтиллято-

равно ≈-1%/K. Модуль QDC (рис. 3) позволяет

с большой точностью стандартизовать и стабили-

ра. Она составляет 2.5 × 10³ Гр. В работе [10]

зировать усиление отдельных ячеек во время экс-

для эксперимента ATLAS изучено влияние облу-

перимента. Будем полагать, что при компенсации

чения на световыход нескольких сцинтилляторов.

этих эффектов они не дадут вклада в величину τ_μ.

Для сцинтиллятора BC-412 (EJ-208) наблюдено

уменьшение световыхода на 10% при дозе 7 ×

× 10⁵ Гр. Следует заметить, что авторы исполь-

4.5. Временная структура пучка мюонов

зовали пучок 6 МэВ протонов, которые оказыва-

ют гораздо большее радиационное воздействие на

Временная структура пучка мюонов ускори-

сцинтиллятор, чем мюоны, и при нашей суммарной

теля PSI может быть описана как I(t) = I₀(1 +

дозе 2.5 × 10³ Гр нет изменения световыхода BC-

+ 0.0008| sin(t/40ns)|)

[15]. Она обусловлена

412. При наборе статистики 10¹⁴ доза позитронов

временной структурой пучка протонов. Была

на SiPM составляет 5 × 10⁸ мм-2. В работе [11]

разыграна статистика по формуле N(t) = N₀(1 +

показано, что существенное уменьшение коэффи-

+ 0.08| sin(t/40ns)|) exp(-t/τ_μ) + B и обработана

циента усиления (в 2 раза) наблюдается при дозе

по формуле N(t) = N₀ exp(-t/τ_μ) + B. Резуль-

5 × 10¹⁰ мм-2 и пренебрежимо мало при дозе 5 ×

тат — χ²/ndf = 19 852/19 978 и отсутствие сдвига

× 10⁸ мм-2. Существенное увеличение шума SiPM

Δ(τ_μ). Отсюда следует, что временная структура

наблюдается при дозе 3 × 10⁹ мм-2, но этот эффект

пучка ускорителя PSI не дает вклада в величину

несущественен при выборе порога 70 ф.э. для реги-

τ_μ.

страции позитронов.

4.6. Погрешности TDC (преобразователь

4.3. Внешнее магнитное поле

время-код)

Мы используем пучок мюонов с поляризацией,

Основными характеристиками TDC являют-

близкой к единице [12]. Эта поляризация частично

ся интервал наблюдения T , цена канала Least

теряется из-за взаимодействий спина мюона с ве-

Significant Bin (LSB), дифференциальная DNL

ществом. В работе [13] измерена поляризация мю-

и интегральная INL нелинейности. Было пока-

онов в сцинтилляторе NE-102. Она равна ≈0.24.

зано, что σ(τ_μ) не зависит от интервала наблю-

Спин мюона будет прецессировать в плоскости,

дения при T > 30 мкс и от цены канала при

перпендикулярной направлению магнитного поля.

1 < LSB < 100 нс. DNL и INL также являют-

Это приводит к искажению распределения N(t) =

ся важными величинами при наборе статистики

= N0 exp(-t/τ_μ) + B и величины τ_μ при наличии

10¹⁴ событий и высокой точности определения τ_μ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

492

БАКАЛЯРОВ и др.

Сдвиг времени жизни мюона, пс

ры получили систематическую ошибку σ_syst(τ_μ) =

= 0.03 пс. Это небольшая величина по сравне-

²/ndf

0.3526/5

0.004808 ± 0.3652

нию с нашей статистической ошибкой σ(τ_μ) =

0.07528 ± 0.007092

= 0.39 пс. Второй способ — подача на входы старт

и стоп TDC некоррелированных событий [16]. В

этом случае при DNL = INL = 0 количество

событий в каждом канале одинаково в пределах

статистической ошибки. DNL

0 и INL

= 0 искажают такое распределение. Измеренные

величины таких отклонений позволяют определить

LSB и правильное время каждого канала. В ра-

боте [16] показано, что DNL и INL зависимости

идентичны для многих TDC и не зависят от внеш-

них условий. При использовании предложенного

100

150

200

здесь TDC старт не коррелирован с каналом ко-

Мертвое время, нс

дировщика, поскольку TDC работает непрерывно.

Величины σ_i(DNL) резко уменьшаются, но инте-

Рис. 6. Зависимость систематического сдвига Δ(τμ)

от мертвого времени СРС. Анализ дан для варианта

гральная нелинейность остается. Для предложен-

отбора все_ μ + все_e в интервале (0-20) мкс времен

ного кодировщика TDC — V1190A2-Esst нели-

распада мюона, при этом мертвое время было равно

нейности равны: σ(DNL) < 0.2 LSB, σ(INL) < 0.3

для регистрации μ-e-, μ-μ-, e-μ- и e-e-пар. Вве-

LSB [8]. Непонятно, с какой точностью удаст-

дены антисовпадения в пределах 2 нс для соседних

кристаллов. Такой же анализ был выполнен при ва-

ся описать зависимость t_N = f(N) для TDC —

рианте отбора 1_μ + все_e. Анализ дан в интервале

V1190A-2Esst. Поэтому будем пессимистически

(0-30) мкс относительно времени регистрации мюона

предполагать, что получим σ_syst(τ_μ) = 0.13 пс, как

только для e-e-пар без антисовпадений между кри-

было показано в работе [2].

сталлами. Смещение Δ(τμ) в этом случае в ≈7 раз

больше.

4.7. Состав пучка мюонов

Пучок “поверхностных мюонов” PSI содержит

События, 1 нс

<10-4 пионов [12] и <1% позитронов [17]. Простые

оценки показывают, что столь малая примесь пио-

нов не влияет на результаты. Позитроны с энергией

6000

≈30 МэВ имеют достаточно большой пробег и

только рассеиваются в сцинтилляторе и материале

SiPM. Некоррелированные по времени позитроны

увеличивают фон и могут привести к увеличению

σ(τ_μ). Возможны два способа изучения и ослаб-

4000

ления влияния примеси позитронов на величину

σ(τ_μ). Во-первых, набрать ≈10¹² случаев распада

мюона за сутки и экстраполировать полученную

величину σ(τ_μ) на статистику 10¹⁴. После этого

2000

при неудовлетворительном результате разместить

на оси пучка за SiPM сцинтилляционный детек-

тор для регистрации примеси позитронов в пучке.

Сигнал с этого детектора, совпавший по времени

100

с сигналом любого сцинтиллятора SiPM, позволит

Мертвое время, нс

выбросить из анализа такое событие. Это приводит

к случайным совпадениям примесного позитрона

Рис.

7. Зависимость N(t2e - t1e) при заданном

с позитроном μ → e распада. При интенсивности

мертвом времени 20 нс между позитронами и при

10⁷ c-1 среднее время между позитронами распада

0 < t1e < 29 мкс относительно сигнала мюона.

На рисунке принято значение t1e = 0. Вариант

равно ≈100 нс. Для реальной длительности 5 нс

1_μ + все_e, нет антисовпадений между кристаллами.

выходного сигнала SiPM и телесного угла 0.1 ×

× 4π сцинтилляционного детектора это приводит к

потере 5% интенсивности из-за случайных совпа-

Рассмотрим два способа измерения DNL и INL.

дений и дополнительно 10% от этой величины из-

Первый способ — калибровка TDC с помощью

за телесного угла, всего ≈0.5%. Вариант соответ-

калиброванного рубидиевого эталона [2]. Авто-

ствует сцинтилляционному детектору с размерами

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023

ПРЕДЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА

493

10 × 10 см² на расстоянии ≈35 см за SiPM. Пред-

их результатов значительно повышает достовер-

ложенный метод, как и режим регулярного набора

ность полученных данных. После анализа может

статистики, предполагает синхронную работу всех

быть выбран оптимальный вариант по точности

TDC. Это возможно с TDC V1190А/B-2Esst, ко-

σ(G_F)/G_F и/или, может быть, по величине χ².

торые позволяют непрерывную регистрацию собы-

Авторы благодарны А.А. Коршенинникову и

тий и их запись в память. Такой режим был, в

М.Д. Скорохватову за поддержку работы и Рос-

частности, продемонстрирован в работе [18].

сийскому фонду фундаментальных исследований,

по гранту № 18-02-00007А которого была выпол-

нена значительная часть работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложена новая установ-

ка для точного измерения времени жизни мюона и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

константы Ферми G_F при μ⁺ → e⁺ распаде и про-

E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell, and B. N. Tay-

анализированы все возможные источники ошибок

lor, Rev. Mod. Phys. 93, 025010 (2021).

эксперимента. В отличие от электромагнитного и

V. Tishchenko et al. (MuLan Collab.), Phys. Rev. D

сильного взаимодействий все частицы участвуют

87, 052003 (2013).

в слабых взаимодействиях, сила которых опреде-

A. Pak and A. Czarnecki, Phys. Rev. Lett. 100,

ляется константой Ферми G_F. Многие процессы

241807 (2008).

определяются слабым взаимодействием. Это про-

A. Crivellin, M. Hoferichter, and C. A. Manzari, Phys.

цессы большого взрыва, нуклеосинтеза и горения

Rev. Lett. 127, 071801 (2021).

звездного водорода, археологического датирования

V. Tishchenko, S. Battu, R. M. Carey, D. B. Chit-

и медицинской визуализации, а также фундамен-

wood, J. Crnkovic, P. T. Debevec, S. Dhamija,

тальной ядерной физики и физики элементарных

W. Earle, A. Gafarov, K. Giovanetti, T. P. Gorringe,

частиц. Значение константы G_F лучше всего опре-

F. E. Gray, Z. Hartwig, D. W. Hertzog, B. Johnson,

деляется при измерении времени жизни мюона

P. Kammel, et al., arXiv: 1211.0960v1 [hep-ex].

τ_μ. Во-первых, чисто лептонный характер распада

https://www.onsemi.com/products/sensors/silicon-

мюона обеспечивает однозначную теоретическую

photomultipliers-sipm

интерпретацию. Во-вторых, точное измерение вре-

Y. Shao, Phys. Med. Biol. 52, 1103 (2007).

мени жизни мюона стало возможно в настоящее

https://www.caen.it/products/

время благодаря развитию методов точного изме-

J. Allison, K. Amako, J. Apostolakis, P. Arce,

рения времени и аппаратуры для набора необхо-

M. Asai, T. Aso, E. Bagli, A. Bagulya, S. Banerjee,

димой статистики ≈10¹⁴ распадов без искажений.

G. Barrand, B. R. Beck, A. G. Bogdanov, D. Brandt,

Показано, что можно достичь точности (G_F)/G_F =

J. M. C. Brown, H. Burkhardt, Ph. Canal, et al., Nucl.

Instrum. Methods Phys. Res. А 835, 186 (2016).

= 0.1 × 10-6. В данном предложении нового экспе-

10.

S. Liao, R. Erasmus, H. Jivan, C. Pelwan, G. Peters,

римента отсутствует систематическая ошибка из-

and E. Sideras-Haddad, J. Phys.: Conf. Ser. 645,

за мертвого времени системы регистрации собы-

012021 (2015).

тий. В работе [2] эта систематическая ошибка пре-

11.

S. S ´anchez Majos, P. Achenbach, and J. Pocho-

вышала 0.02 × 10-6. Для дальнейшего улучшения

dazalla, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 594,

точности измерения G_F потребуется, помимо улуч-

351 (2008).

шения точности τ_μ, экспериментальное улучшение

12.

https://www.psi.ch/en/smus/pie3

точности массы мюона m_μ (в настоящее время

13.

G. G. Myasishcheva, Yu. V. Obukhov, V. S. Roganov,

σ(m_μ)/m_μ = 0.02 × 10-6 [1] и вклад в точность

and V. G. Firsov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 56, 1199 (1969).

GF составляет 0.05 × 10-6) и улучшение временной

14.

M. Renschler, W. Painter, F. Bisconti, A. Haungs,

калибровки (вклад 0.03 × 10-6 [2]). В настоящее

T. Huber, M. Karus, H. Schieler, and A. Weindl, arXiv:

1804.00897v1 [astro-ph.IM].

время точность вычислений G_F составляет 0.14 ×

15.

T. Prokscha, Isis Muon Training Course, 25th-Feb-

× 10-6 [3] в рамках Стандартной модели взаимо-

2005, https://www.psi.ch/en

действий элементарных частиц. Основные ошибки

16.

B. Markovic, D. Tamborini, S. Bellisai, A. Bassi,

приведены в табл. 4.

A. Pifferi, F. Villa, G. M. Padovini, and A. Tosi,

Для варианта отбора все_μ + все_e суммарная

in Proceedings of SPIE, 2013, San Francisco,

ошибка σ(G_F)/G_F не превышает 0.13 × 10-6. При

California, United States, Vol. 8631, 86311F,

обработке результатов доступны для анализа все

https://doi.org/10.1117/12.2005537

варианты отбора, введение любых мертвых вре-

17.

T. Prokscha, E. Morenzoni, K. Deiters, F. Foroughi,

мен между любыми частицами и выбор спектра

D. George, R. Kobler, A. Suter, and V. Vrankovic,

с антисовпадениями или без них между любыми

Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 595,

317

сцинтилляторами. Анализ вариантов и объяснение

(2008).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№4

2023