ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2023, том 86, № 6, с. 691-726

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В ПРЯМОМ ПОИСКЕ ЧАСТИЦ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ

Поступила в редакцию 12.06.2023 г.; после доработки 12.06.2023 г.; принята к публикации 05.07.2023 г.

На основе предложенного ранее подхода к описанию рассеяния слабовзаимодействущих нереля-

тивистских массивных нейтральных частиц были получены явные выражения и сделаны оценки

для ожидаемой скорости счета событий прямого детектирования частиц темной материи (DM),

одновременно учитывающие упругий (когерентный) и неупругий (некогерентный) каналы взаимодей-

ствия DM-частицы с ядром-мишенью. Впервые в данном подходе при расчете вклада неупругих

процессов было учтено влияние энергии возбуждения ядра. Корреляции между энергией возбуждения

и допустимыми значениями кинетической энергии отдачи возбужденного ядра заметным образом огра-

ничивают возможности детектирования неупругого канала некоторыми ядрами. Помимо Стандартной

модели распределения темной материи вблизи Земли было рассмотрено влияние других моделей,

допускающих заметно большие скорости DM-частиц. С ростом энергии отдачи ядра T_A имеет место

плавный переход от доминирования упругого канала к доминированию неупругого канала DM-

ядерного взаимодействия. Если DM-детектор настроен на регистрацию (только) событий упругого

рассеяния, то он ничего не может регистрировать, когда энергия отдачи ядра оказывается ниже

порога регистрации. При возрастании T_A такой детектор теряет способность что-либо “видеть”,

поскольку упругие процессы быстро сходят на нет. Единственным возможным свидетельством

произошедшего взаимодействия становится излучение от снятия возбуждения ядра. В случае спин-

независимого взаимодействия с ростом T_A неупругий вклад достаточно быстро становится основным.

Дифференциальная скорость счета событий при этом уменьшается незначительно. Если DM-частица

взаимодействует с нуклонами только спин-зависимым образом, то на ядрах с нулевым спином

детекторы, традиционно ориентированные на регистрацию упругого спин-зависящего DM-сигнала,

ничего не смогут зарегистрировать, поскольку весь сигнал “идет” через неупругий канал. Получается,

что искомые взаимодействия DM-частиц вполне могут иметь заметную интенсивность, но прибор не

способен их обнаружить. Таким образом, следует планировать эксперименты по прямому детектиро-

ванию частиц темной материи в постановке, когда возможно детектирование двух сигналов — энергии

отдачи ядра и γ-квантов с определенной энергией от снятия ядерного возбуждения. Такой эксперимент

даст полную информацию о произошедшем DM-взаимодействии.

DOI: 10.31857/S0044002723060107, EDN: OUMUDA

1. ПРЯМОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ЧАСТИЦ

[13-18]. Длительное время одним из лучших кан-

ГАЛАКТИЧЕСКОЙ ТЕМНОЙ МАТЕРИИ

дидатов на роль такой частицы считалась Слабо

Взаимодействующая Массивная Частица (WIMP),

За прошедшие почти 100 лет присутствие тем-

поскольку, обладая массой в интервале от 1 ГэВ/c²

ной материи (dark matter, DM) в космическом

до 1 ТэВ/c², она достаточно естественным образом

пространстве вокруг нас не только хорошо под-

удовлетворяла космологическим требованиям ран-

тверждается разнообразными астрофизическими

ней Вселенной.

наблюдениями [1-6], но и стало одной из самых

Поиск WIMP-частиц велся в земных условиях

интригующих проблем фундаментальной науки [7-

в трех направлениях. Это так называемое прямое

12]. Согласно современным представлениям эта

детектирование, нацеленное на регистрацию ак-

дополнительная несветящаяся и небарионная ма-

тов взаимодействия DM-частиц с обычным веще-

терия, проявляющая себя пока только гравитаци-

ством, косвенное детектирование, которое направ-

онно, состоит из (микро) частиц неизвестного в

лено на обнаружение продуктов аннигиляции DM-

рамках Стандартной модели (СМ) происхождения

частиц внутри тех или иных космических объектов,

и поиск образования частиц кандидатов на роль

¹⁾Лаборатория ядерных проблем им. В.П. Джелепова,

ОИЯИ, 141980, Дубна, Россия.

DM в экспериментах на современных коллайдерах

^*E-mail: bedny@jinr.ru

достаточно высоких энергий [19].

691

692

БЕДНЯКОВ

На фоне практически всеобщего признания са-

выше два других пути поиска DM-частиц способны

мого факта существования темной материи резуль-

лишь обнаружить потенциального DM-кандидата,

тат этого поиска выглядит весьма противоречиво.

принадлежность которого к галактической темной

С одной стороны, считается, что ни в одном из

материи необходимо будет в дальнейшем доказать

проведенных экспериментов WIMP-частиц не бы-

путем регистрации вызванного им модуляционного

ло обнаружено [7, 12]. В течение нескольких де-

сигнала в эксперименте по прямому поиску DM.

сятилетий проводился интенсивный поиск WIMP-

Итак, несмотря на значительные технические

частиц — кандидатов на роль галактической тем-

трудности и серьезные систематические неопреде-

ной материи. На сечение их взаимодействия нук-

ленности²⁾, эксперименты по прямому поиску DM-

лонами было получено множество ограничений,

частиц играют исключительно важную, решающую

которые были приближены почти вплотную к ми-

роль в определении природы окружающей нас тем-

нимальному пределу — нейтринной подложке [20,

ной материи [7, 14, 19, 24, 28-32]. Без них это

21] — для DM-масс масштаба 1 ГэВ/c² [22].

сделать невозможно.

С другой стороны, никто до сих пор не смог

В ответ на длительное отсутствие положитель-

ных результатов широкого спектра уже имею-

опровергнуть результаты коллаборации DAMA,

щихся экспериментов по поиску WIMP-частиц

которая единственная в течение почти двух десяти-

летий наблюдала годовую модуляцию сигнала, со-

темной материи (за исключением результатов

ответствующую присутствию DM-частиц в нашей

DAMA/LIBRA) появилось множество новых,

галактике на уровне достоверности 13σ [8, 9, 13,

порой экзотических, альтернативных моделей и

23].

предложений как по возможному составу самой

темной материи [33-37] и ее необычным свойствам

Считается, что вращение Земли (с находящимся

[23, 38-44], так и в направлении более изощренных

на ней детектором) вокруг Солнца при движении их

методов ее детектирования [45-52].

обоих сквозь галактическую DM-среду вызывает

По существу, интерес сместился в сторону так

годовую модуляцию интенсивности DM-ядерного

называемой легкой темной материи, массы частиц

взаимодействия [24-27]. Когда движение Земли

которой сравнимы с массами электронов и/или

противоположно направлению движения Солнца,

нуклонов [53, 54]. Чувствительность к легким DM-

относительная скорость DM-частицы и детектора

частицам традиционных детекторов, нацеленных на

(и вероятность их взаимодействия) достигает ми-

прямой поиск WIMP-частиц, в силу измерения

нимального значения. Когда же Земля движется в

только энергии отдачи ядра очень сильно пада-

том же направлении, что и Солнце, относительная

ет вместе с уменьшением DM-массы. Например,

скорость и вероятность взаимодействия макси-

DM-частица с массой менее 1 ГэВ и типичной ки-

мальны. Это явление практически не зависит от ха-

нетической энергией в локальном гало не способна

рактера взаимодействия между частицами, и, если

вызвать отдачу ядра выше порога 1 кэВ, что и при-

взаимодействие в принципе возможно, оно опре-

водит к быстрому снижению чувствительности [42].

деляется распределением скоростей DM-частиц

в Галактике (а точнее, вблизи Солнца и Земли).

Эта проблема с легкой темной материей, во-

Хотя эта модулирующая составляющая сигнала

первых, потребовала новых идей и технологий в

заметно меньше усредненного по времени полно-

создании более чувствительных детекторов, как

го ожидаемого сигнала, ее значение трудно пере-

минимум с существенно пониженным энергетиче-

оценить. Она представляет собой единственную в

ским порогом [34, 51, 55-58]. Во-вторых, посколь-

настоящее время экспериментально достижимую

ку считалось, что легкие DM-частицы способны

сигнатуру, свидетельствующую именно о галакти-

выбить электрон отдачи с энергией, превышающей

ческой природе взаимодействующих с материалом

более низкий порог регистрации такого электро-

детекторов WIMP-частиц. Фактически только эта

на (около 0.186 кэВ для ксенона [59]), то было

сигнатура, а следовательно только эксперимент по

предложено регистрировать легкие DM-частицы

прямому DM-детектированию, позволяет доказать

за счет их взаимодействия с электронами из элек-

наличие темной материи в окружающем нас про-

тронных оболочек атомов [42, 59, 60]. В-третьих,

странстве [26].

²⁾Необходимы прецизионные низкофоновые и низкопоро-

В связи с результатами коллаборации DAMA

говые детекторы, нужна защита от множества разнооб-

следует подчеркнуть два важных факта. Во-

разных фоновых процессов. Имеет место маленькая веро-

первых, модуляция, которая наблюдалась в этом

ятность взаимодействия и малая скорость счета событий.

эксперименте, имеет фазу, амплитуду и период,

Статистику надо набирать годами. Велика неопределен-

ность распределения DM-частиц как в галактике, так и

очень хорошо соответствующие именно галак-

непосредственно в области Земли. Взаимодействие DM-

тической темной материи. Во-вторых, до сих

частиц с одним типом мишени не гарантирует взаимодей-

пор никакой другой коллаборации не удалось

ствия с другим, например из-за различного нуклонного и

наблюдать эту модуляцию. Более того, упомянутые

спинового состава, и т.д. и т.п.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

693

эта проблема стала стимулом поиска разумных

на наличие высокоскоростной DM-субструктуры,

каналов увеличения энергии легких DM-частиц.

скорости частиц в которой могут достигать вели-

Один вариант такого увеличения энергии лег-

чин 800 км/с при заметном увеличении локальной

ких частиц-DM-кандидатов основан на примене-

плотности ρ_DM.

нии ускорительных комплексов не столько высокой

Подчеркнем, резюмируя вводную часть, крити-

энергии, сколько высокой интенсивности, на кото-

ческую значимость экспериментов по прямому по-

рых предполагается достаточно обильное образо-

иску темной материи, и обратим внимание на то, что

вание легких DM-частиц, например, напрямую в

в настоящее время в этих экспериментах область

пучках лептонов или протонов, в распадах мезонов

возможных значений кинетических энергий DM-

и барионов, путем тормозного излучения и т.п. [47,

частиц (как малых, так и больших масс) значи-

54, 61].

тельно расширена за пределы стандартной модели

DM-гало, в основе которой лежит распределение

Другой вариант опирается на “естественные”

механизмы образования почти релятивистских

Максвелла-Больцмана с наиболее вероятной ско-

DM-частиц в современной Вселенной, которые

ростью 220 км/с и скоростью покидания галактики

не противоречат наблюдательным и эксперимен-

540 км/с.

тальным ограничениям. Как правило, считается,

В свете вышесказанного представляется

что потоки таких ускоренных DM-частиц менее

несколько преждевременным в силу исключитель-

интенсивны, но более энергичны, что позволяет

ной значимости [19, 26, 29, 85] предавать забвению

преодолевать ограничения чувствительности низ-

традиционный путь прямого детектирования мас-

копороговых детекторов [62].

сивных слабовзаимодействующих частиц темной

Так, например, стало понятно, что легкие DM-

материи без критического анализа общепринятых

частицы могут быть ускорены до релятивистских

в этом методе основополагающих предположений

или почти релятивистских скоростей за счет

и деталей.

упругого рассеяния космическими лучами в гало

Такой анализ на базе подхода [86-89] был на-

Млечного Пути [63-69]. Был предложен новый

чат в работе [90], где было показано, что c ро-

механизм ускорения DM-частиц, называемый

стом энергии отдачи ядра T_A имеет место хорошо

блазарно-усиленной темной материей (Blazar-

контролируемый переход от доминирования упру-

Boosted DM), когда за счет рассеяния на протонах

гого χA-взаимодействия к доминированию χA-

высоких энергий в струе блазара DM-частицы

неупругого взамодействия при рассеянии массив-

могут разгоняться до высоких скоростей и иметь

ной нейтральной нерелятивистской χ-частицы на

достаточно большие локальные плотности [39, 42,

ядре. В такой ситуации прибор, настроенный на

70]. Были предложены и другие механизмы форми-

поиск только упругого χA-рассеяния, при воз-

рования так называемых boosted DM-популяций

растании T_A начинает “слепнуть”, так как число

[42,

71-77]. Например, модель гравитационно

упругих процессов становится все меньше и мень-

взаимодействующей темной материи

[78], так

ше, им на смену приходят неупругие χA-процессы,

называемой HYPER DM-модели [79] и ускорения

которые такой прибор не способен “видеть”. В

темной материи (millicharged) за счет ударных волн

работе [90] на уровне χA-сечений продемонстри-

при взрывах суперновых звезд [80, 81].

ровано, что это “явление” в наиболее критическом

виде может проявляться как раз в эксперименте по

Наконец, был придуман механизм, позволяю-

прямому поиску темной материи, результаты кото-

щий легким нерелятивистским DM-частицам про-

рого обычно интерпретируются в терминах спин-

изводить вполне регистрируемые энергии ядер от-

независимого и спин-зависимого взаимодействия

дачи в том случае, когда модель, лежащая в основе

DM-частицы с нуклонами. Важно подчеркнуть, что

темного сектора, допускает большую разницу масс

оба эти взаимодействия лежат за рамками СМ

между DM-частицами в начальном и конечном

и могут иметь совершенно неожиданный характер

состояниях (неупругое рассеяние) [23, 35, 38, 40,

[90]. Упомянутое выше расширение области значе-

43, 82-84]. Понятно, что такие энергичные “вто-

ний T_A, в силу допустимого возрастания скорости

ричные” DM-частицы будут рассеиваться в детек-

DM-частиц до уровня |v|/c = 10-2-10-1, только

торах и передавать достаточную энергию ядрам-

мишеням, генерируя сигналы, превышающие порог

усугубляет эту ситуацию.

обнаружения, что позволяет понизить нижний пре-

Помимо сказанного заметим, что если после

дел на регистрации в прямом DM-эксперименте

χA-рассеяния энергия отдачи ядра оказыва-

DM-массы до уровня сотен кэВ [76].

ется ниже порога регистрации детектора, т.е.

Помимо этого, в работе [30] было обнаружено,

T_A < TminA, то упругий сигнал вообще невозможно

что распределение скоростей в галактоцентриче-

обнаружить. При таких “невидимых” T_A един-

ской системе отсчета имеет сильные отклонения

ственным свидетельством произошедшего χA-

от формы Максвелла-Больцмана, что указывает

взаимодействия становится излучение от снятия

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

694

БЕДНЯКОВ

(

√

возбуждения ядра, т.е. неупругий сигнал, хотя

= P0m = ε_m + m2A + q²,-|k^′|sinθ,

его интенсивность при T_A < TminA может быть на

)

порядок меньше интенсивности упругого сигнала

0, |k| - |k^′| cos θ ,

[90]. В целом, когда регистрируется только энергия

отдачи ядра T_A, невозможно понять, какой про-

где m_A — масса ядра A, а ε_m — энергия воз-

цесс, упругий или неупругий, имел место быть [7,

буждения m-го уровня (состояния) этого ядра. Пе-

15, 19-21], т.е. непонятно, какие формулы следует

реданный ядру 4-импульс q = (q₀, q) следующим

применять при анализе данных.

образом связан с этими величинами:

(

)

Таким образом, задача данной работы состоит

q² ≡ (k - k^′)² = 2

m2χ - (kk^′)

(2)

в поиске и исследовании на основе подхода [86-

√

(

90] таких областей параметров (кинематических и

m2χ - (m2χ + |k^′|²)(m2χ + |k|²) +

физических), где скорость счета полезных собы-

)

тий (event rate), обусловленная неупругим (некоге-

+ |k||k^′| cos θ

рентным) процессом χA → χA^∗, может составлять

q₀ = k₀ - k′0 = P0m - P0n = Δε_mn + T_A,

заметную конкуренцию скорости счета полезных

событий, вызванных упругим (когерентным) χA →

q² = (k - k^′)² = (-|k^′|sin θ)² +

→ χA рассеянием. Наличие именно таких областей

+ (|k| - |k^′| cos θ)² = |k|² + |k^′|² - 2|k||k^′| cos θ.

параметров в силу нестандартного характера иско-

мого χA-взаимодействия может послужить объяс-

Кинетическая энергия движения ядра отдачи T_A

нением “слепоты” детекторов темной материи, на-

определяется в виде

строенных на прямой поиск событий χA-рассеяния

√

только в упругом канале.

T_A = m2A + q² - m_A.

(3)

Закон сохранения энергии, т.е. равенства k₀ +

2. КИНЕМАТИКА И СЕЧЕНИЕ УПРУГОГО

+ P0n = k′0 + P0m, можно переписать в виде

И НЕУПРУГОГО χA-РАССЕЯНИЯ

√

В случае взаимодействия двух частиц с образо-

k₀ + m_A - Δε_mn = m2χ + |k^′|² +

(4)

ванием двух частиц (процесс 2 → 2):

√

+ m2A + |k^′|² + |k|² - 2|k||k^′|cosθ,

χ(k) + A(P_n) → χ(k^′) + A(∗)(P^′m),

(1)

4-импульсы падающего и уходящего нейтраль-

где разность энергий ядерных |m〉 и |n〉 состояний

обозначена следующим образом:

ного массивного лептона (χ-частицы) обозначе-

ны как k = (k₀ = E_χ, k) и k^′ = (k′0 = E^′χ, k^′), а

Δε_mn ≡ ε_m - ε_n.

(5)

4-импульсы начального и конечного состояния

Из сохранения энергии выражения (4) также сле-

ядра соответственно как P_n = (P0n, P_n) и P^′m =

дует, что

= (P0m, P_m) (см. рис. 1а). Полная энергия ядерного

T_A(|k^′|,cos θ) = k₀ - k′0 - Δε_mn =

(6)

состояния |P_n〉 равна P0n = E_P + ε_n, где εn —

√

внутренняя энергия n-го квантового состояния яд-

= m2χ + |k| - m2χ + |k^′|² - Δε_mn.

ра. Если χ-частица с массой m_χ и импульсом k

налетает вдоль z-оси на покоящееся ядро A и

В стандартной модели Гало [16, 17, 27, 91] оцен-

улетает под углом θ к z-оси с импульсом k^′ (y-ось

ка скорости движения DM-частиц вблизи Зем-

всегда можно выбрать перпендикулярной плоско-

ли составляет примерно 10-3 от скорости света,

сти рассеяния), то 4-импульсы можно записать в

т.е. |v| = |k|/m_χ ≃ 10-3c ≃ 350 км/с, при макси-

следующем виде:

мальном значении порядка 550 км/с. Согласно

(

√

)

упомянутым во Введении работам максимальная

k = k₀ = m2χ + |k|²,0,0,k_z = |k| ,

скорость может достигать заметно больших значе-

(

)

ний, приближающихся к 1000 км/с. Тем не менее

P_n = P0n = m_A + ε_n,0,0,0 ,

кинетическая энергия DM-частиц, налетающих на

(

√

покоящееся ядро-мишень,

k^′ = k′0 = m2χ + |k^′|²,

)

|k|²

|v|²m_χ

m_χc²

T₀ ≡

≃ 10-(6-4)

(7)

k^′x = |k^′|sin θ,0,k^′z = |k^′|cos θ ,

2m_χ

(

остается в области десятков МэВ, что замет-

P^′m = P0m = ε_m +

но меньше массы покоя DM-частицы m_χ, хо-

√

)

тя по другим оценкам эта энергия может дости-

+ m2A + (P^xm)² + (P^zm)²,P^xm,0,P^z

гать ГэВ-ного уровня. В традиционных задачах

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

695

(T₀)

Z q

P_x

P_n

A*(T_A)

P_z

Рис. 1. “Внешний вид” χA-взаимодействия за счет обмена, например, нейтральным Z-бозоном (а). Кинематика этого

процесса в лабораторной системе отсчета, где ядро A покоится (б).

прямого детектирования темной материи обычно

где

m_A ≥ 10 ГэВ/c², энергии отдачи ядер не превы-

dσs′s_inc

шают 200 кэВ, типичная разность энергий воз-

= c_A(T₀,m_A,m_χ)g_inc ×

(11)

dT_A

буждения ядер находится в области нескольких

[

∑

сотен кэВ. Иным словами, имеются характерные

[1 - |F_f (q)|²] A^f

масштабы величин

|(l_s′_s, hη,fr′+)|2 +

f=p,n

r^′=±

10 ≤ m_A ≤ 100 ГэВ/c²,

(8)

]

∑

1 < m_χ < 10⁴ ГэВ/c²,

1 кэВ ≤ T₀ ≤ 1 ГэВ,

+A^f-

)|²

|(l_s′_s, hη,fr′-

T_A ≤ 200 кэВ,

|q| ≤ 0.2 - 0.3 ГэВ/c,

r^′=±

Δε_mn ≤ 1 МэВ.

dσs′s_coh

= c_A(T₀,m_A,m_χ) ×

dT_A

Поэтому в последующем изложении будет доста-



∑

точно использовать нерелятивистское приближе-



×g_coh

ние, т.е. когда

Ff (q)[A⁺(ls′s, h+,+) +



f=p,n

|k|



k₀ = (m2χ + |k|²)1/2 ≃ m_χ +

=m_χ +T₀,



2m_χ



+ A^f-(l_s′_s,h^η,f--)]



√



|k^′|²

m2χ + |k^′|² ≃ m_χ +

2m_χ

и A^f± — число нуклонов f-типа (f = p,n) с проек-

цией спина ±1 на выделенное направление (напри-

мер, направление прилета χ-частицы). В экспери-

T_A(|k^′|,cos θ) ≃

(9)

ментальной ситуации (или при расчетах) исходной

2m_A

внешней величиной является энергия отдачи T_A.

|k^′|² + |k|² - 2|k||k^′| cos θ

Угол вылета χ-частицы в лабораторной системе

2m_A

отсчета как функции T_A, Δε_mn и T₀ имеет вид [90]

cos θ(T_A) =

(12)

Наблюдаемое дифференциальное сечение процес-

са χA → χA(∗) представляет собой сумму двух

m_χ(2T₀ - Δε_mn) - T_A(m_χ + m_A)

√

слагаемых — некогерентного и когерентного [90],

2m_χ

T₀(T₀ - Δε_mn - T_A)

которые выражаются через скалярные произведе-

В формулах (11) введен универсальный общий

ния (l_s′_s, hp/nr′r^{)взаимодействующихлептонногои}

множитель

нуклонного токов:

c_A ≡ c_A(T₀,m_A,m_χ) ≡

(13)

dσ_s′s

(χA → χA(∗)) =

(10)

G2F m_A

dT_A

≡

2⁶πm²(2T₀m_χ)

4π

2⁴m²|k^lχ|²

^′s

dσsin

dσs′s_coh

(χ_sA → χ_s′ A^∗) +

(χ_sA → χ_s′ A),

где m — масса нуклона, и явно выделена зави-

dT_A

симость от начальной энергии T₀ падающей на

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

696

БЕДНЯКОВ

[

]₂

покоящееся ядро χ-частицы. Интенсивность гипо-

∑

(

)

m2χ

ΔA_f

тетического взаимодействия χ-частицы с нукло-

Ff (q)Af αf ± δf

|k^lχ|²

A_f

нами (пропорциональная G2F ) “спрятана в недрах”

f=p,n

соответствующих скалярных произведений токов.

dσ∓±coh(q)

θG2Fm_A

Скалярные произведения лептонного (χ-частицы)

= sin²

g_cohdT_A

4π

и нуклонного токов для любых значений проекций

[

]₂

спинов нуклона (r^′, r = ±1) и χ-частицы (s^′, s =

∑

(

)

m2χ

ΔA_f

= ±1), отвечающие взаимодействию массивной

Ff (q)Af αf ∓ δf

|k^lχ|²

A_f

нейтральной χ-частицы с нуклоном по каналу ней-

f=p,n

трального слабого тока, определены следующим

dσ^totalcoh(q)

1^∑

dσs′s_coh

образом [92]:

g_cohdT_A

(l^ws′_s, h

) = α_f(l^vs′s h^vr′_r) +

(14)

s^′s

^′r

([

]₂

∑

+ β_f(l^vs′s h^ar′_r) + γ_f(l^as′s h^vr′_r) +

G2F m_A m^χ

α_f A_fF_f (q)

+ δ_f(l^as′s h^ar′_r),

4π

|k^lχ|2

f=p,n

где

[

]₂)

∑

α_f = χ_V h^fV = +g^fV , β_f = χ_V h^fA = -g^fA,

δ_f ΔA_fF_f (q)

f=p,n

γ_f = χ_Ah^fV = -g^fV , δ_f = χ_Ah^fA = +g^fA.

Аналогичный набор сечений некогерентного χA-

Правые равенства в этих выражениях дают зна-

рассеяния таков:

чения констант для нейтрино Стандартной модели

(поскольку у нейтрино χ_V = -χ_A = 1). Индекс f

dσ∓∓inc(q)

G2F m_A m^χ

(19)

обозначает нейтрон или протон. В нерелятивист-

g_incdT_A

4π

|k^lχ|²

ском приближении скалярные произведения имеют

{

∑

[

]

вид

1 - F2f(q)

A_f cos²

α2f +

(l^w±±, h^w,f±± ) = m2c(α_f - δ_f ),

(15)

f=p,n

(

θ⁾

(l^w±±, h^w,f∓∓ ) = m2c(α_f + δ_f ),

+ 1 + sin²

δ2f ±

[

]}

(l^w±∓, h^w,f∓± ) = -2m2cδ_f ,

2ΔA_f

δ_f cos²

α_f + sin²

δ_f

A_f

(l^w±∓, h^w,f∓∓ ) = ±m2se^∓iφ(α_f - δ_f ),

dσ∓±inc(q)

G2F m_A m^χ

(l^w±∓, h^w,f±± ) = ±m2se^∓iφ(α_f + δ_f ),

g_incdT_A

4π

|k^lχ|²

(l^w±±, h^w,f±∓ ) = ∓2m2se^∓iφδ_f ,

∑

[

]

{

(l^w±±, h^w,f∓± ) = (l^w±∓, h^w,f±∓ ) ≃ 0.

1 - F2f(q)

A_f sin²

α2f +

f=p,n

Здесь введены используемые далее обозначения

(

θ⁾

+ 1 + cos²

δ2f

∓

m2c ≡ 4m_χmcos

m2s ≡ 4m_χmsin

(16)

[

]}

2ΔA_f

∓

δ_f sin²

α_f + cos²

δ_f

Формулы (11) удобно переписать в терминах пол-

A_f

ного числа нуклонов f-типа A_f и разности числа

dσ^totalinc(q)

1^∑

dσs′s_inc

нуклонов ΔA_f , имеющих положительную и отри-

цательную проекцию спина на выделенное направ-

g_incdT_A

s^′s

ление:

∑

[

][

]

G2F m_A m^χ

A^f± =1(Af ± ΔAf ),

(17)

A^f

1 - F2f (q)

α2f + 3δ

4π

|k^lχ|²

f=p,n

где A_f ≡ Af+ + A^f- и ΔA_f ≡ Af+ - A^f-.

Наконец, измеряемое полное сечение χA-рассея-

В результате для нерелятивистского взаимодей-

ния за счет взаимодействия слабых лептонного и

ствия слабых токов набор когерентных χA-сечений

нуклонного токов в нерелятивистском приближе-

имеет вид

нии получается в виде

dσ∓∓coh(q)

θG²

m_A

dσ^weaknonrel

G2F m_A

= cos²

(18)

(χA → χA^∗) =

(20)

g_cohdT_A

4π

dT_A

4π

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

697

{

m2χ

∑

[

][

]

Здесь 〈v〉 и ρ_DM — средняя скорость и плотность

g_inc

A^f

1 - F2f (q)

α2f + 3δ2f

DM-частиц с массой m_DM у Земли, σ — сечение

|k^lχ|²

f=p,n

взаимодействия DM-частицы с нуклоном, N_Av =

([

]₂

∑

= 6.02 × 10²³ моль-1 — число Авогадро.

+g_coh

α_f A_fF_f (q)

Интегральная скорость счета полезных событий

f=p,n

определяется выражением

[

]₂)}

∑

∫

δ_fΔA_f F_f(q)

R(TminA) = n_χ N_A f(v)dv ×

(22)

f=p,n

v_min

Здесь использовано, что

max

G2F m_A

v dσ

c_A(4m_χm)² = (4m_χm)²

(21)

(v, T_A) dT_A.

2⁶πm²|k^lχ|²

min

G2F m_A m^χ

Зависимость скорости счета от (регистрируемой)

4π

|k^lχ|²

энергии отдачи ядра T_A ∈ (TminA, TmaxA) имеет вид

∫

3. СКОРОСТЬ СЧЕТА СОБЫТИЙ

dR(TminA)

v dσ

=n_χN_A

f (v)

(v, T_A) dv.

(23)

РЕГИСТРАЦИИ χ-ЧАСТИЦ

dT_A

v_min

Как известно (см., например, [19, 27, 91, 93-

95]), в экспериментах по прямому детектированию

Здесь N_A

— полное число рассеивающих χ-

DM-частиц измеряемой величиной является так

частицу центров (число ядер A-типа) в мишени

называемая скорость счета событий или число по-

N_Av

детектора. Если масса мишени 1 г, то N_A =

;

лезных событий в единицу времени (event counting

rate). Эта величина пропорциональна произведе-

n_χ ≡ ρ_χ/m_χ — плотность числа χ-частиц, где ρ_χ ≃

нию скорости взаимного столкновения частиц и

≃ 0.35 ГэВ/см³ — плотность гало вокруг Земли

сечения их взаимодействия, vσ(v, ...), проинтегри-

(состоящего по предположению полностью из χ-

рованному по всем допустимым значениям этой

частиц темной материи), TminA — это минимальная

относительной скорости v с соответствующим ве-

энергия отдачи ядра (нижний порог по энергии),

сом в виде некоторой функции распределения f(v),

v_min — минимальная относительная скорость χ-

которая определяет вероятность иметь данное зна-

частицы и A-ядра, при которой еще возможна

чение скорости v в момент взаимодействия DM-

отдача ядра TminA:

частицы с детектором.

√

Для DM-частиц (с массой 100 ГэВ/c²) “клас-

(m_A + m_χ)²

2TminA

сическая” оценка скорости счета опирается на до-

v_min = T^min

(24)

2m_Am2χ

m_χμ_A

вольно большое значение ожидаемого потока DM-

частиц через Землю [94]:

4m_χm_A

где μ_A ≡

[

]

ρ_DM

(m_χ + m_A)²

Φ_DM =

〈v〉=6.6×10

m_DM

см² с

0.3 ГэВ/см³

При относительных скоростях v < v_min регистра-

]

^[ 100 ГэВ^][

〈v〉

ция событий уже невозможна. Далее, v_max = v_esc —

m_DM

220 км/с

максимально возможная скорость DM-частиц для

данного DM-распределения. Тогда максимальная

и для мишени с атомным номером A = 100 и ти-

кинетическая энергия DM-частицы и максималь-

пичным сечением на уровне 10-38 см² составляет

но возможная кинетическая энергия отдачи ядра,

весьма незначительную величину:

возникающая в результате упругого столкновения

N_Av

DM-частицы с массой m_χ с ядром-мишени M_A,

R=σ

Φ_DM =

соответственно определяются выражениями

]

ρ_DM

m_χv^2max

= 0.13 событий[100 г/моль][

Tmaxχ =

(25)

кг год

0.3 ГэВ/см³

][

]

^[ 100 ГэВ^][

〈v〉

q^2max

2m_Av^2maxm2χ

и TmaxA =

=Tmaxχμ_A.

m_DM

220 км/с

10-38 см²

2m_A

(m_A + m_χ)²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

698

БЕДНЯКОВ

Согласно стандартной модели гало (SHM)

(v_⊕ + v_str). Последнее означает, что по аналогии с

[23, 83, 96], скорости DM-частиц вблизи детек-

формулой (27) можно записать:

тора определяются распределением Максвелла-

f_str(w)dw ≡ f_str(y)dy,

(29)

Больцмана:

]

inh(2yξ)

^[-(w - v_⊕)

где f_str(y) =

f_SHM(w) =

exp

(26)

√πy2e-(y2+ξ2)^s

2yξ

(πv²⁰)3/2

v²

∫

f_str(y)dy = 1,

км

v_esc = |v|_max = |w + v_⊕|_max ≃ 550

где y =

— безразмерная скорость DM-

ϵv₀

где v₀ ≃ 220 км/с. Обычно считается [27], что ско-_√

частицы (принадлежащей внешнему потоку) от-

рость движения Солнца v_⊙ ≡ v_Sun ≃ v₀ = v

≃

|v_⊕ + v_str|

носительно Земли, а ξ =

— безраз-

≃ 232 ± 20 км/с, где v — дисперсия скоростей в

ϵv₀

мерная сумма скоростей Земли и скорости потока

гало (≃ 270 ± 25 км/с). Скорость движения Земли

относительно гало Галактики (в пренебрежении их

относительно гало Галактики v_⊕ = 0.

зависимостью от времени). Для простоты будем

Для одномерной функции распределения DM-

v_⊕ + v_str

η_str

частиц по скоростям w = |w| относительно Земли

считать, что ξ =

≡

. Полное одномер-

ϵv₀

(и относительно покоящегося на ней детектора)

ное нормированное на единицу распределение DM-

было получено [27]

частиц по скоростям относительно Земли тогда

f_SHM(w)dw ≡ f_SHM(x)dx,

(27)

имеет вид

inh(2xη)

f_SHM+str(w)dw =

где f_SHM(x) =

[(

]

√πe-(x2+η2)^s

2xη

ρ_str )

ρ_str

∫

f_SHM(w) +

f_str(w) dw ≡

f_SHM(x)dx = 1.

(

)

str

ρ_str

≡ 1-

f_SHM(x)dx +

f_str(y)dy.

Здесь x =

— безразмерная скорость DM-

v₀

η_str

Это выражение с учетом y =

и ξ=

можно

v_⊕

частицы относительно Земли, η =

— безраз-

переписать в окончательном виде

v₀

мерная скорость Земли относительно гало Галак-

f (x)dx ≡ f_SHM+str(w)dw =

(30)

тики. Она зависит от времени η = η(t), поскольку

= γ₁f_SHM(x)dx + γ_ηf_str(x)dx,

Земля имеет годовое обращение вокруг Солнца,

при этом 〈η(t)〉_year = η₀ ≃ 1.05.

где уже

В настоящее время считается, что SHM-

x² + η^2str

распределение (26) недостаточно точно описывает

4x²

sinh(2xη_str/ϵ²)

f_str(x) =

ϵ²

распределения DM-частиц в Галактике. Имеются

√πe

2xη_str

анизотропные структуры типа потоков DM-частиц,

обусловленные воздействием ближайших галактик

В формуле (30) введены веса распределений,

[97]. В дальнейших оценках будем использовать

сумма которых равна единице, γ₁ + γ_η = 1.

следующее “упрощенно-обобщенное” выражение

Итак, функцию f(v), входящую в формулу для

из [97]:

скорости счета событий (23) и определяющую ве-

f_str(w) =

(28)

роятность DM-частице иметь скорость w ≡ |w| в

π3/2(ϵv₀)³

момент ее взаимодействия с покоящимся ядром

(

[

)₂ ]

мишени, будем далее использовать в виде выраже-

w - (v_⊕ + v_str)

× exp

ния (30).

(ϵv₀)²

Измеряемое полное (просуммированное по всем

где

|v_str| ≃ 300 км/с.

спиновым индексам χ-частицы) дифференциаль-

ное сечение, входящее в (22) и (23), согласно (10)

Это распределение “внешнего DM-потока” име-

и (20), представляет собой сумму когерентного и

ет в ϵ раз более “широкий купол” (множитель

некогерентного вкладов в χA-сечение:

(ϵv₀)2 стоит вместо v20) по сравнению со SHM-

распределением из (26), а роль скорости Зем-

dσ

dσ_total

(v, T_A) ≡

(χA → χA(∗)) =

ли v_⊕ в нем играет векторная сумма скоростей

dT_A

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

699

dσ_i(nc)

dσ_c(oh)

w^strmax

v_esc + v_⊕ + v_str

v_esc

(χ_sA → χ_s′ A^∗) +

(χ_sA → χ_s′ A).

xmaxη =

+ η,

dT_A

v₀

v_⊕ + v_str

Тогда полная (интегральная) скорость счета собы-

где η =

тий (22) в интервале энергий отдачи ядра TminA ≤

v₀

≤ T_A ≤ TmaxA может быть представлена как сумма

отвечают максимальным скоростям столкновения

когерентной и некогерентной скоростей счета со-

DM-частиц c детектором, когда скорости поки-

бытий:

дания Галактики и движения Солнца (вместе со

скоростью внешнего DM-потока) складываются в

R(TminA, TmaxA) ≡ R_coh(TminA, TmaxA) +

(31)

противоположном направлении.

+ R_inc(TminA,TmaxA),

Если считать, что фундаментальное взаимодей-

где

ствие массивного χ-лептона с нуклонами ядра

представимо как слабое взаимодействие общего

∫

dR(T_A)_coh/inc

вида (14), то измеряемое полное сечение χA-

R_coh/inc(TminA,TmaxA) ≡

dT_A

рассеяния в нерелятивистском приближении дает-

T^min

ся формулой (20), содержащей в явном виде коге-

рентный и некогерентный вклады в χA-сечение:

dR(T_A)_coh/inc

dσ^weakinc(x, T_A)

G2F m_A

(34)

dT_A

4π

{

∑

[

][

]}

∫

dσ_coh/inc(xv₀, T_A)

g_inc

A^f

1 - F2f (q)

α2f + 3δ²

= n_χv₀N_A f(x)xdx

x²v²

inc

dT_A

f=p,n

x_min

dσ^weakcoh(x, T_A)

Далее для дифференциальных скоростей счета со-

dT_A

бытий имеется

{

[

]₂

∑

G2F m_A

dR(T_A)_coh/inc

g_coh

α_f A_fF_f (q)

(32)

4π x²v²

n_χv₀N_AdT_A

f=p,n

[

]₂}

∫

[

]

∑

γ₁f_SHM(x) + γ_ηf_str(x) xdx ×

δ_f ΔA_fF_f (q)

f=p,n

coh

x_min

(xv₀, T_A)

dσ_coh/inc

Здесь учтено, что в нерелятивистском приближе-

нии импульс налетающего на покоящееся ядро χ-

dT_A

m2χ

∫

лептона |k^lχ|² = m2χw², и, следовательно,

xdσ_coh/inc(x, T_A)

|k^lχ|²

=γ₁

f_SHM(x)dx

dT_A

x_min

. При этом вся зависимость этих выраже-

x²v²

xmaxη

∫

ний от параметра x сосредоточена только в этом

xdσ_coh/inc(x, T_A)

+ γ_η f_str(x)dx

множителе. В результате дифференциальные ско-

dT_A

рости счета событий когерентного и некогерентного

x_min

взаимодействия (32) принимают вид

Здесь согласно (24)

dR(T_A)_coh/inc

]1/2

w_min

^[TminA

n_χv₀N_AdT_A

x_min =

(33)

v₀

T⁰

∫

xdσ_coh/inc(x, T_A)

m_χv²⁰

=γ₁

f_SHM(x)dx

где T⁰

≡μ_A

min

w^SHMmax

v_esc + v_⊕

v_esc

xmaxη

x^max1 =

+η₁,

∫

v₀

xdσ_coh/inc(x, T_A)

v_⊕

+ γ_η f_str(x)dx

где η₁ =

≃1

dT_A

v₀

x_min

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

700

БЕДНЯКОВ

[

∫

взаимодействия xmaxη, согласно (25) и (33), опре-

}

G2F m_A

xdx^{

деляет максимальную энергию отдачи ядра как

γ₁

f_SHM(x)

4πv²

x²

coh/inc

функцию максимальной скорости данного DM-

x_min

распределения

xmaxη

]

∫

}

m_χ(v₀xmaxη)²

xdx^{

T^max

=μ_A

=μ_ATmaxχ,η

(39)

+ γ_η f_str(x)

A,η

x²

coh/inc

x_min

В случае неупругого χA-столкновения, когда

[ x^max1∫

Δε_mn > 0, максимальную энергию отдачи ядра

{

}

G2F m_A

можно получить, подставив максимальную энер-

γ₁

f_SHM(x)

4πv²⁰

coh/inc

гию DM-частицы (25) в формулу (12), и учесть, что

x_min

падающая на ядро χ-частица “отражается” строго

xmaxη

]

в противоположном направлении, т.е. из условия

∫

+ γ_η f_str(x)

cos θ(T^∗A) =

x_min

m_χ(2Tmaxχ - Δε_mn) - T^∗A(m_χ + m_A)

{

}

√

= -1.

Или окончательно с учетом

-скобок из

coh/inc

2m_χ Tmaxχ(Tmaxχ - Δε_mn - T^∗A)

(34) и обозначений (33):

Решение этого уравнения дается в виде

dR(T_A)_coh/inc

(35)

(40)

dT_A

^∗,η(r,Δεmn⁾⁼

{

}

[

√

]

= R₀(A,χ) g_coh/inc...

μ_A

(r + 1)Δε_mn

coh/inc

=T^max

χ,η

[

]

Tmaxχ,η

× γ₁S₁(x_min,x^max1) + γ_ηS_η(x_min,xmaxη,ϵ) .

rΔε

−

где r ≡

m_χ .

Здесь введены вспомогательные обозначения, за-

r+1

m_A

дающие масштаб скорости счета и вклады от рас-

Если Tmaxχ,η ≫ (r + 1)Δε_mn (или Δε_mn = 0), то

пределений DM-частиц:

(r, Δε_mn) переходит в (39)³⁾. Решение (40)

G2F m_A n_χN_A

^∗,η

R₀(A,χ) ≡

(36)

существует только тогда, когда

4π

v₀

(

)

Tmaxχ,η ≥

+ 1 Δε_mn

(41)

S₁(x_min,x^max1) ≡

(37)

m_A

(

v²

m_A )Δε_mn

∫

или (xmaxη)²

≥ 1+

≡ f_SHM(x)

= S(x_min,η₁,1) - S(x^max1,η₁,1),

m_χ m_A

x_min

При равенстве Tmaxχ,η = (r + 1)Δε_mn достигается

S_η(x_min,xmaxη,ϵ) ≡

минимальное значение энергии отдачи:

μ_A

xmaxη

∫

^∗,η(r,Δεmn)=Tχ,η

≡ f_str(x)

= S(x_min,η,ϵ) - S(xmaxη,η,ϵ),

Это единственное значение энергии отдачи ядра,

x_min

при котором еще возможно возбуждение ядра с

а также единая функция распределения:

энергией Δε_mn. Иными словами, если для яд-

ра массы m_A, минимальная энергия возбужде-

⁽x+η⁾

⁽x-η⁾

erf

- erf

ния которого Δεminmn, и DM-частицы с массой m_χ,

S(x, η, ϵ) ≡ ϵ

(38)

максимальная кинетическая энергия которой Tmaxχ,η,

2η

x+η

условие (41) не выполняется, то неупругий процесс

∫ϵ

не может иметь место. В такой ситуации DM-

e-t2 dt.

частице не хватает энергии для возбуждения ядра

√πη

x-η

³⁾Действительно, так как μA =

то Tm∗xA =

(1 + r)²

Общее значение x_min из (33) пропорционально

(

2rΔεmn

Δεmn (r + 1)⁾

= TmaxχμA -

=T^max

μA 1 -

≃

квадратному корню из порога регистрации энер-

1+r

гии отдачи ядра TminA. В случае упругого χA-

≃ TmaxχμA.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

701

и последующего его движения, поскольку в си-

Будем далее считать, что поправочные коэф-

лу закона сохранения импульса возбуждение ядра

фициенты с достаточной точностью равны единице

ударом сопровождается возникновением импульса

g_coh = g_inc ≃ 1 [98] и ядерные формфакторы одина-

движения возбужденного ядра, т.е. энергией его

ковы для протонов и нейтронов:

отдачи.

F (q) ≡ F_p(q) = F_n(q).

(43)

С учетом введенных обозначений формулы

(35) для скорости счета событий когерентного и

Тогда после введения обобщенных слабых зарядов

некогерентного нерелятивистского слабого χA-

ядер

взаимодействия как функции T_A распадаются

Q_coh(A) ≡

(44)

на два слагаемых, отвечающих разным DM-

[

]₂

[

]₂

распределениям с разными допустимыми макси-

∑

мальными энергиями отдачи ядер:

≡

α_fA_f

δ_fΔA_f

f=p,n

dR(T_A)_coh

∑

[

]

(42)

g_cohR₀dT_A

и Q_inc(A) ≡

A^f

α2f + 3δ²

{[

]₂

f=p,n

∑

= γ₁S₁(x_min,x^max1)

α_f A_fF_f (q)

и T_A-зависящих когерентной и некогерентной

f=p,n

ядерно-формфакторных функций

[

]₂}

∑

Φ(T_A)_coh ≡ |F(q)|²

(45)

δ_f ΔA_fF_f (q)

Θ(TmaxA,η

-T_A) +

f=p,n

и Φ(T_A)_inc ≡ 1 - |F(q)|²,

{[

]₂

∑

общие выражения (42) для скоростей счета собы-

+ γ_ηS_η(x_min,xmaxη)

α_fA_f F_f (q)

тий принимают вид

f=p,n

dR(T_A)_coh/inc

[

]₂}

= R₀(A,χ)Q_coh/inc(A) ×

(46)

∑

dT_A

δ_f ΔA_fF_f (q)

Θ(TmaxA,η - T_A),

× Φ(T_A)_coh/incC_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A),

f=p,n

где

dR(T_A)_inc

= γ₁S₁(x_min,x^max1) ×

g_incR₀dT_A

C_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A) ≡

{

}

∑

[

][

]

≡ γ₁S₁(x_min,x^max1)Θ(TmaxA/A∗,1 - TA) +

A^f

1 - |F_f(q)|²

α2f + 3δ2f

+ γ_ηS_η(x_min,xmaxη,ϵ)Θ(TmaxA/A∗_,η - TA).

f=p,n

- T_A) + γ_ηS_η(x_min,xmaxη) ×

Поскольку xmaxη > x^max1 и, следовательно, TmaxA,η >

^∗,η₁

{

}

> TmaxA,1 , то при возрастании энергии отдачи T_A

∑

[

][

]

A^f

1 - |F_f(q)|²

α2f + 3δ2f

будет возрастать роль второго слагаемого, и в

f=p,n

конечном итоге при TmaxA,1 < T_A < TmaxA,η останется

только его вклад.

- T_A).

^∗,η

Отношение некогерентной дифференциальной

Здесь T^max

определены формулой (40), а T_A —

скорости счета к когерентной дифференциальной

A(∗),η₁,η

это измеряемая энергия отдачи как возбужденного

скорости счета событий из (46) получается в виде

ядра, так и невозбужденного ядра. Она связана с

dR_inc

dR_coh

переданным ядру импульсом движения формулами

(47)

dT_A

(6) и (9) или q² ≃ 2m_AT_A. Напомним, что детектор,

Q_inc(A)Φ(T_A)_inc C_inc(x_min,η,ϵ,T_A)

нацеленный на регистрацию только энергии отдачи

ядер, не способен отличить “упругую” отдачу ядра

Q_coh(A)Φ(T_A)_coh C_coh(x_min,η,ϵ,T_A)

T_A от “неупругой” отдачи T_A∗.

Полные скорости счета событий (31) в случае

Формулы (42) представляют собой наиболее

нерелятивистского слабого χA-взаимодействия

общие выражения для дифференциальных скоро-

после интегрирования дифференциальных скоро-

стей счета событий слабого χA-взаимодействия в

стей счета событий (42) принимают вид

нерелятивистском приближении для двух различ-

ных распределений частиц темной материи в нашей

R(TminA)_coh

= γ₁S₁(x_min,x^max1) ×

(48)

Галактике.

g_cohR₀(A,χ)

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

702

БЕДНЯКОВ

{[

]₂

Отметим, что при достаточно значимых энергиях

TmaxA,1∫

∑

возбуждения ядра Δε_mn, т.е. когда не выполня-

dT_A

α_f A_fF_f (q)

ется условие Tmaxχ,η ≫ (r + 1)Δε_mn, интегрирование

f=p,n

T^minA

некогерентных вкладов проводится по более узко-

[

]₂}

му интервалу возможных значений энергии отдачи

∑

δ_f ΔA_fF_f (q)

+ γ_ηS_η(x_min,xmaxη) ×

<TmaxA,η.

^∗,η

f=p,n

В приближении (43) с учетом (44) и (45) эти

{[

]₂

TmaxA,η∫

∑

формулы упрощаются:

dT_A

α_f A_fF_f (q)

f=p,n

R(TminA)_coh/inc

(49)

T^min

[

]₂}

= R₀(A,χ)γ₁S₁(x_min,x^max1)Q_coh/inc(A) ×

∑

δ_f ΔA_f F_f(q)

T^max

∫

f=p,n

dT_AΦ(T_A)_coh/inc +

R(TminA)_inc

= γ₁S₁(x_min,x^max1) ×

min

g_incR₀(A,χ)

TA∗

+ R₀(A,χ)γ_ηS_η(x_min,xmaxη)Q_coh/inc(A) ×

{

}

∫

∑

[

][

]

max

dT_A

A^f

1 - F2f(q)

α2f + 3δ2f

∫

f=p,n

T^min

dT_AΦ(T_A)_coh/inc.

+ γ_ηS_η(x_min,xmaxη) ×

T^minA

TA∗

,η

{

}

∫

Тогда отношение полных скоростей счета как

∑

[

][

]

dT_A

A^f

1 - F2f(q)

α2f + 3δ2f

функция порога регистрации TminA таково:

f=p,n

T^min

R_inc

Q_inc(A)

(TminA) =

(50)

R_coh

Q_coh(A)

max

∫T^max

∫T_A

max

A∗,1

∗,η

γ₁S₁(x_min,x

)

dT_AΦ(T_A)_inc + γ_ηS_η(x_min, xmaxη)

dT_AΦ(T_A)_inc

TminA

T^min

∫_Tmax

A,1

A,η

γ₁S₁(x_min,x^max1)

dT_AΦ(T_A)_coh + γ_ηS_η(x_min, xmaxη)

dT_AΦ(T_A)_coh

TminA

T^min

Из приведенных выше формул следует, что как

движения (отдачи) ядра T_A. Именно эта энергия

для когерентой, так и для некогерентной скоростей

совпадала с энергией ΔE_χ, переданной ядру пада-

счета событий имеет место зависимость от одного

ющей на него χ-частицей (ею потерянной), только

и того же значения TminA — энергетического порога

эта энергия отдачи ядра T_A = ΔE_χ “производи-

регистрации событий или минимально возможной

лась”, и только ее можно было пытаться реги-

энергии отдачи ядра, при которой в детекторе

стрировать. Иными словами, при T_A < TminA всегда

еще вызывается поддающийся регистрации эффект

когерентная скорость счета событий R_coh(TminA) =

(например, ионизация или выделение тепла). При

= 0, собственно именно в этом и состоял смысл

T_A < TminA такой эффект просто не виден на уровне

аргумента TminA в левой части формулы R_coh(TminA).

фона и никаким другим образом нельзя зареги-

Однако в случае некогерентной скорости счета

стрировать событие χA-взаимодействия.

R_inc(TminA) помимо энергии движения отдачи ядра

Эта логика была полностью применима в случае

T_A, регистрируемой или даже не регистрируемой

когерентного (или упругого) χA-взаимодействия,

выше порога TminA, другой, вообще говоря, обяза-

когда единственным потенциальным источником

тельной и потенциально регистрируемой (хотя и

информации о произошедшем взаимодействии (по

не связанной напрямую с T_A) сигнатурой некоге-

каналу нейтральных слабых токов) была энергия

рентного (неупругого) события будет процесс сня-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

703

v_esc

300

тия возбуждения ядра [86, 88, 89]. Это снятие

и xmaxη =

+ η₁ + η_str = 3.5 +

≃ 4.9,

возбуждения ядра может проявляться по-разному,

v₀

220

например, в виде испускания γ-квантов или дру-

v_⊕

v_str

где η₁ =

≃1 и η≡η_str =ξϵ=

≃ 1.4. На-

гих (массивных) частиц с энергией Δε_mn, равной

v₀

разности m- и n-уровней энергии возбуждения

помним, что вклады DM-распределений в ожида-

конкретного ядра-мишени, которая может состав-

емую скорость счета событий (35) задаются фор-

лять заметную долю от всей энергии, потерянной

мулами (37) и имеют вид

падающей частицей.

S₁(x_min,x^max1) = S(x_min,1,1) - S(x^max1,1,1),

Данное наблюдение — другая сигнатура собы-

тия — кардинальным образом изменяет (усили-

S_η(x_min,xmaxη,ϵ) = S(x_min,η,ϵ) - S(xmaxη,η,ϵ),

вает) роль некогерентной скорости счета собы-

где была введена общая вспомогательная функция

тий R_inc(TminA). Во-первых, снимается ограниче-

(38):

ние на полное отсутствие регистрируемого сигнала

ϵ [

⁽x+η⁾

⁽x-η^)]

R_inc(TminA) = 0, когда энергия отдачи ядра ниже

S(x, η, ϵ) =

erf

- erf

(52)

2η

порога ее регистрации T_A < TminA, поскольку энер-

гия снятия возбуждения ядра Δε_mn может быть

На рис. 2 представлена функция (52) в зависи-

зарегистрирована тем или иным другим способом.

мости от x, η и ϵ. Поскольку x^max1 ≡ xmaxη=1 ≃ 2.5 +

Во-вторых, величины этой энергии снятия воз-

+ 1, а xmaxη = 2.5 + η, то на графиках максимально

буждения строго характерны для каждого ядра и,

допустимые значения xmaxη как функции η таковы:

как правило, больше максимально допустимой для

{3.5; 4.5; 5.5; 6.5}.

регистрации (в том или ином конкретном DM-

Видно, что при x ≤ 1 функция (синяя кри-

детекторе) энергии движения ядра отдачи T_A ≤

вая) S(x_min ≤ 1, 1, 1) ≥ 0.5, в то время как при

≤ 150-200 кэВ.

x ≃ 3.0 ≤ x^max1 функция S(x_max > 3,1,1) ≤ 0.001.

Последнее означает, что регистрация Δε_mn,

Поэтому в силу монотонного убывания этой функ-

специфической для данного ядра-мишени энер-

гии снятия возбуждения за пределами энергети-

ции можно пренебречь ее вкладом при значени-

ческого интервала, традиционно доступного для

ях x > x^max1 = 3.5, т.е. считать, что S(x > x^max1 =

= 3.5, 1, 1) ≃ 0. Следовательно, всегда будет спра-

DM-детекторов (типа T_A ≤ 150 кэВ)⁴⁾, есть, по-

существу, новый способ прямого детектирования

ведливо приближение:

DM-частиц на Земле. Иными словами, традици-

S₁(x_min,x^max1) = S(x_min,1,1).

онный низкофоновый DM-детектор надо окружить

Как видно из рис. 2, функция S(x, η, ϵ) при

прецизионными детекторами, способными доста-

точно точно регистрировать гамма-кванты, спектр

η,ϵ = 1 не обращается так стремительно в нуль,

энергий которых отвечает характерным для данно-

как S(x > 3.5, 1, 1). Поэтому будем далее, когда

го ядра энергиям снятия возбуждения Δε_mn. При

η > 1, использовать выражение

этом никакого внешнего источника возбуждения

S_η(x_min,xmaxη,ϵ) =

(53)

ядер мишени (типа пучка электронов или космиче-

= S(x_min,η,ϵ) - S(2.5 + η,η,ϵ) ≡ ΔS(x_min,η,ϵ),

ских лучей) не должно быть.

Годовая вариация (модуляция) такого, снима-

которое при η,ϵ = 1 превращается в S(x_min,1,1).

ющего возбуждение сигнала [99, 100], была бы

Тогда формула (46) для дифференциальной ско-

характерной сигнатурой некогерентного взаимо-

рости счета событий принимает вид

действия DM-частиц с соответствующим образом

dR(T_A)_coh/inc

подобранным детектором.

= R₀(A,χ)Q_coh/inc(A) ×

(54)

dT_A

× Φ(T_A)_coh/incC_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A),

4. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ

СЧЕТА СОБЫТИЙ И ОБСУЖДЕНИЯ

где

C_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A) =

4.1. Распределения темной материи и кинематика

{

Для дальнейшего анализа сделаем численные

= γ₁S(x_min,1,1)Θ(TmaxA/A∗,1 - TA) +

оценки величин из (33). Всегда x_min > 0 и, как

}

правило, x_min ≤ 1. Далее

+ γ_ηΔS(x_min,η,ϵ)Θ(TmaxA/A∗_,η - TA)

v_esc

550 + 220

x^max1 =

+η₁ ≃

= 3.5

(51)

Входящие

“космические”

множители

v₀

220

C_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A) явные выражения для мак-

симальных энергий отдачи ядра приведены ниже в

⁴⁾Где скорость счета когерентных событий, R_coh, на доста-

точно массивных ядрах уже полностью отсутствует.

формуле (66).

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

704

БЕДНЯКОВ

1.0

S(x, 1, 1)

S(x, 3, 0.5)

0.8

S(x, 3, 1)

S(x, 1, 1)

S(x, 3, 2)

0.6

S(x, 1, 0.5)

0.6

S(x, 3, 3)

S(x, 1, 2)

0.4

S(x, 1, 3)

0.4

erf(x)

0.2

1.0

S(x, 1, 1)

S(x, 2, 0.5)

S(x, 4, 0.5)

0.8

S(x, 2, 1)

S(x, 4, 1)

S(x, 2, 2)

S(x, 4, 2)

0.6

S(x, 2, 3)

S(x, 4, 3)

0.4

0.2

Рис. 2. Зависимость от x функции ошибок erf(x) и функции (52) при η = {1; 2; 3; 4} и ϵ = {0.5; 1; 2; 3}. При этом

xmaxη(η) = {3.5; 4.5; 5.5; 6.5}.

]1/2

Аналогично, для полных скоростей счета собы-

^[TminA

. Поскольку согласно (33)⁵⁾

тий из (49) получается:

T⁰

)₂

m_χv²⁰

4r m_χc

⁽v₀

≡μ_A

≃

(1 + r)²

R(TminA)_coh/inc

(55)

4r²0.269^[ m_A ]

R₀(A,χ)

≃

кэВ,

(1 + r)²

1 ГэВ

= γ₁S(x_min,1,1)Q_coh/inc(A) ×

то безразмерная минимальная скорость DM-

T^max

частицы (относительно покоящегося ядра) равна:

∫

dT_AΦ(T_A)_coh/incΘ(T^max

-T_A) +

min ]

A(∗),1

[ T

T^min

1 кэВ

x_min ≃

(56)

√ 1.076r² [ m_A ] ^≃

+ γ_ηΔS(x_min,η,ϵ)Q_coh/inc(A) ×

(1 + r)²

1 ГэВ

T^max

∫

min

]

[ T

dT_AΦ(T_A)_coh/incΘ(T^max

- T_A).

(1 + r)

A(∗),η

≃

[ m

1.037r

T^min

1 ГэВ

Сравнивая рис. 3 с рис. 2, можно заключить, что

Это выражение для скоростей счета событий (или

при весьма малых m_χ и достаточно больших m_A

числа событий в данном детекторе за единицу вре-

)₂

]₂

mχc² (v0

1^[ mχ^][

220 км/с

⁵⁾Так как

мени) явным образом зависит от порога регистра-

1 ГэВ

300 × 10³ км/с

[ rmA ^]

ции ядер отдачи TminA через соотношение x_min =

× 10⁶ кэВ ≃ 0.269

кэВ.

1 ГэВ

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

705

x_min

а также величины

1 фм = (0.197 ГэВ)-1, G_F =

= 1.166 × 10-5/ГэВ² и m = 0.938 ГэВ.

¹⁹F

min

Согласно определению (14) скалярного произ-

T_A

= 1.0 кэВ

⁴⁰Ar

ведения для слабых токов [92] в нерелятивистском

⁷³Ge_9/2

приближении следующие эффективные константы

¹³¹Xe

связи не равны нулю:

α_p = +

- 2sin²

θ_W = -γ_p ≃ 0.02,

(58)

g_A

δ_p =

= -β_p ≃ 0.64;

α_n = -

= -γ_n = -0.5,

g_A

δ_n = -

= -β_n ≃ -0.64.

10⁰

10¹

10²

m , ГэВ

Здесь их численные значения даны для примера в

СМ с учетом sin² θ_W = 0.23865 и g_A = 1.27. Эти

Рис. 3. Зависимость xmin от mA и mχ при пороговом

параметры определяют обобщенные слабые заря-

значении TminA = 1 кэВ. При фиксированных mA и mχ

ды ядер из (44):

величина xmin пропорциональна квадратному корню из

TminA согласно (56).

Q_coh(A) =

(59)

[

]₂

[

]₂

∑

α_f A_f

δ_f ΔA_f

практически при всех разумных значениях пара-

f=p,n

метров функция S(x, η, ϵ) из (52) обращается в

[

]₂

[

]₂

нуль (фактически из-за большого значения x =

α_pA_p + α_nA_n

δ_pΔA_p + δ_nΔA_n

= x_min ≥ 8). Последнее означает, что все диффе-

∑

[

]

ренциальные скорости счета как когерентных, так

Q_inc(A) =

A^f

α2f + 3δ2f

и некогерентных событий обращаются в нуль, со-

f=p,n

[

]

[

]

гласно формулам (54).

=A^p

α2p + 3δ2p

+Aⁿ

α2n + 3δ2n

Выражение (55) для полных скоростей счета

событий также зависит от максимальных значе-

В системе покоя ядра при вычислениях сечений

ний безразмерных скоростей DM-распределений

и их отношений варьируются только кинетическая

x^max1 ≃ 3.5 и xmaxη = 2.5 + η (т.е. от скорости потока

(регистрируемая) энергия отдачи ядра T_A в интер-

η) через соотношения (39) и (40).

вале от TminA > 0 до некоторого максимального для

данного ядра значения TmaxA, которое определяется

Итак, для вычислений скоростей счета событий

по формулам (54) и (55) необходимо задать следу-

для каждого из принятых DM-распределений из

условия (40).

ющие параметры: m_χ, n_χ = ρ/m_χ, v²⁰, γ₁, γ_η, η, ϵ,

В приближении (43) с учетом (44), (45) и “кос-

а также m_A, N_A, TminA и Δε_mn. Для оценки T_A-

мических” множителей из (54):

зависящих когерентной и некогерентной формфак-

торных функций (45)

C_inc/сoh(x_min,η,ϵ,T_A) =

(60)

-T_A) +

Φ_c(T_A) ≡ |F(q)|²

^∗ /A,1

и Φ_i(T_A) ≡ 1 - |F(q)|²,

- T_A),

^∗/A,η

где q² ≃ 2m_AT_A,

отношение (47) некогерентной дифференциальной

скорости счета к когерентной дифференциальной

далее используется вид ядерного формфактора

скорости счета событий принимает вид

Хельма [101] для нуклонов:

R_I(A,T_A) =

(61)

(sq)²

j₁(qR₀)

dR_inc

dR_coh

F (q) = 3

(57)

= R_I(A)R_A(T_A)R_C(x_min,η,ϵ,T_A),

qR₀

dT_A

sin x

cos x

где

j₁(x) =

x²

AQ_inc(A)

1 - |F(T_A)|²

R_In(A) =

R_A(T_A) =

s = 0.9 фм, R₀ = 1.14A1/3 фм,

Q_coh(A)

A|F(T_A)|²

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

706

БЕДНЯКОВ

том (44) и (45) отношение (50) некогерентной пол-

C_inc(x_min,η,ϵ,T_A)

R_C(x_min,η,ϵ,T_A) =

(62)

ной скорости счета событий к когерентной полной

C_coh(x_min,η,ϵ,T_A)

Аналогичным образом в приближении (43) с уче- скорости счета событий получается в виде

R_inc

Q_inc(A)

(TminA) =

Θ(T_A - TminA) ×

(63)

R_coh

Q_coh(A)

TA∗

∫

,η

γ₁S(x_min,1,1)

dT_AΦ_inc(T_A) + γ_ηΔS(x_min, η, ϵ)

dT_AΦ_inc(T_A)

T^min

TmaxA,1∫

TmaxA,η∫

γ₁S(x_min,1,1)

dT_AΦ_coh(T_A) + γ_ηΔS(x_min, η, ϵ)

dT_AΦ_coh(T_A)

T^min

Отношения R_A(T_A) из (61) не зависят от характера

и согласно сноске 5)

взаимодействия и для каждого конкретного яд-

(

)₂[rmA ]

ра A полностью определяют всю T_A-зависимость

Tmaxη = (xmaxη)²T0χ ≃ 0.27

2.5 + η

кэВ.

1 ГэВ

формулы (61). Тем не менее, в отличие от рас-

смотренного в [90] отношения нерелятивистских

Видно, что при прочих равных условиях макси-

дифференциальных сечений некогерентного и коге-

мально возможная энергия отдачи ядра в упругом

рентного χA-рассеяния:

столкновении всегда больше аналогичной вели-

чины в неупругом столкновении. В формуле (66)

dσ^totalinc

безразмерная скорость DM-потока η ≥ 1.

(χA → χA^∗)

dT_A

= R_In(A)R_A(T_A),

(64)

Формула

(66) имеет смысл, т.е. значение

dσ^total

(r, Δε_mn) существует как действительное

^coh (χA → χA)

^∗,η

dT_A

(неотрицательное) число, только при условии (41),

отношения скоростей счета событий из (61) имеют

записанном в виде⁶⁾

смысл только для энергий отдачи ядра в интервале

Δε_mn

ω = (r + 1)

≤1

(67)

(r, Δε_mn).

(65)

Tmaxη

^∗,η

]

^[Δε_mn

Вне этой области как дифференциальная неупру-

(

)

(

)

гая, так и полная неупругая скорости счета событий

1 кэВ

или

0.27

2.5 + η

² ≥ 1+

[

m_A ]^.

равны нулю (неупругие процессы невозможны). В

1 ГэВ

явном виде правая часть условия (65) с учетом

m_χ

обозначения r =

и того, что “упругая” энергия

Случай ω = 1 означает, что только максималь-

m_A

но возможной (при данном DM-распределении)

отдачи ядра имеет вид

энергии DM-частицы, Tmaxη, хватает для перевода

4Tmaxηr

ядра-мишени на возбужденный уровень с энергией

(r, Δε_mn = 0) =

^∗,η

(r + 1)²

Δε_mn, если отношение масс DM-частицы и ядра

равно r. Причем эта максимальная энергия од-

выражается следующим образом:

нозначным образом определяется как раз данной

(66)

энергией возбуждения ядра Tmaxη = (r + 1)Δε_mn.

^∗,η(r,Δεmn⁾⁼

Или, наоборот, если ядру-мишени “посчастли-

1 - ω/2 +

^√1 - ω

= TmaxA,η (r,0)

≤ TmaxA,η (r,0),

вилось” иметь уровень возбуждения с энергией

, строго связанной с максимальной энерги-

Δε_mn

где

ей DM-частиц формулой Δε_mn = Tmaxη/(r + 1), то

(r + 1)Δε_mn

ω≡

⁶⁾Если ω > 1, то некогерентный процесс при таких mA, mχ,

Tmaxη

η и Δεmn невозможен.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

707

Таблица 1. Характеристики некоторых ядер-мишеней (Z = A_p, N = A_n и ΔA_p ≡ ΔZ = Z₊ - Z_-, ΔA_n ≡ ΔN =

= N₊ - N_-; величины R_SM(A) из формулы (71) получены при эффективных константах связи (58))

^AЯдро(Z, N)

Z₊ Z_- ΔZ N₊ N_-

ΔN

Δϵ, кэВ

R_SM(A)

⁴He⁰⁺(2, 2)

20210⁰⁺, 210100-, 218402-

23.44

⁶Li¹⁺(3, 3)

2186³⁺, 3563⁰⁺, 4310²⁺

23.44

¹²C⁰⁺(6, 6)

4438²⁺, 7654⁰⁺, 96413-

23.44

¹⁹F² +(9, 10)

110² -, 197² +, 1346² -, 1459² -

20.69

²³Na² +(11, 12)

440² +, 2076² +, 2391² +

21.18

³⁵Cl² +(17, 18)

1220² +, 1763² +, 2693² +

21.06

⁴⁰Ar⁰⁺(18, 22)

1461²⁺, 2121⁰⁺, 2524²⁺

19.22

⁴⁸TI⁰⁺(24, 24)

984²⁺, 2296⁴⁺, 2421²⁺

19.84

⁶⁹Ga² -(31, 38)

319² -, 574² -, 872² -, 1029² -

19.14

⁷³Ge² +(32, 41)

13.3² +, 67² -, 69² +, 354² -

17.00

⁷⁴Ge⁰⁺(32, 42)

596²⁺, 1204²⁺,1483⁰⁺

18.00

¹²⁷I5/2+(53, 74)

58² +, 203² +, 375² +, 418² +

17.01

¹²⁹Xe² +(54, 75)

40, 236, 318² +, 322² +, 412² +

17.13

¹³¹Xe² +(54, 77)

80² +, 164

⁺, 365²+, 405²+

16.72

¹³³Cs² +(55, 78)

81, 161² +, 384² +437² +, 633

16.72

²⁰⁷Pb² -(82, 125)

570² -, 898² -1633

⁺, 2340²-

15.86

возможно возбуждение ядра на этот “уникальный

отдачи возбужденного ядра Tω∗1A,η из (68), возможно

уровень”. Тогда кинетическая энергия отдачи ядра,

лишь в пределе бесконечно большой массы m_χ ≃

неизбежно сопровождающая возбуждение именно

≃ ∞. Иными словами, ни при каких m_χ такой

этого уровня ядра, согласно (66) равна:

процесс не идет.

TmaxA,η(r, 0)

На рис. 4 показано поведение выражения (66)

(r) =

(68)

для максимально возможной энергии отдачи воз-

T,ω=1A∗

]₂

, как функции отношения

[ r

(

)₂[mA ]

^∗,η

0.27

2.5 + η

кэВ.

масс DM-частицы и ядра, r, для некоторых ти-

r+1

1 ГэВ

пичных максимальных энергий DM-частиц, Tmaxη,

Из формулы (68) находится “пороговое” значение r

и энергий возбуждения ядерных уровней ΔE. Вид-

(и m_χ), при котором имеет место описанный выше

но, что при прочих равных условиях максимально

процесс “уникального возбуждения”:

возможная энергия отдачи возбужденного ядра,

]

, достигается при “оптимальной кинематике”,

[ m_A

^∗,η

√

(

)

когда массы DM-частицы и ядра совпадают (r =

1 ГэВ

0.27

2.5 + η

-1

(69)

= 1). С дальнейшим ростом отношения r макси-

⁼√

[ Tω=1A∗_,η ]

мально возможная энергия отдачи возбужденного

1 кэВ

ядра весьма быстро уменьшается (примерно в 5

m_A

раз) и входит в зону регистрации энергии упругой

или mminχ(T^∗A) =

√

0.27(2.5 + η)

отдачи ядра.

√

-1

Резкое падение ряда кривых в нуль происходит

[ Tω=1A∗_,η ][ m_A ]-1

(r + 1)Δε_mn

в момент, когда ω =

из (67) возрас-

1 кэВ

1 ГэВ

Tmaxη

тает и достигает единицы. Например, когда Tmaxη =

Обращение знаменателя последнего выражения в

нуль означает, что возбуждение ядра на уровень

= 250 кэВ и ΔE = 50 кэВ это происходит при r =

= 4. Имеются заметные области параметров r и

Δε_mn = T^max

, сопровождающееся энергией

Tmaxη (например, при достаточно больших энергиях

^η r+1

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

708

БЕДНЯКОВ

250

E = 0 кэВ

max

= 250 кэВ

E = 50 кэВ

200

E = 100 кэВ

150

E = 200 кэВ

E = 500 кэВ

100

500

E = 0 кэВ

max

= 500 кэВ

E = 50 кэВ

400

E = 100 кэВ

300

E = 200 кэВ

E = 500 кэВ

200

100

E = 0 кэВ

max

= 750 кэВ

E = 50 кэВ

600

E = 100 кэВ

E = 200 кэВ

400

E = 500 кэВ

200

1000

E = 0 кэВ

max

= 1000 кэВ

E = 50 кэВ

800

E = 100 кэВ

600

E = 200 кэВ

E = 500 кэВ

400

200

r = m /m_A

Рис. 4. Теоретическая зависимостьмаксимально возможнойэнергииотдачи возбужденногоядра,Tm∗xA,η (выражение (66))

от отношения масс DM-частицы и ядра, r, для четырех “пробных” максимальных энергий DM-частиц, Tmaxη, и пяти

возможных энергий возбуждения ядерных уровней ΔE.

возбуждения ядерных уровней, ΔE ≥ 200 кэВ), где

частицы при некоторых значениях безразмерной

“положено” равным

скорости DM-потока η для ряда типичных ядер-

^∗,η

нулю, что отражает полное отсутствие возможно-

мишеней (с конкретными значениями их масс и

сти возбуждения ядра. На рис. 5 зависимость (66)

энергий возбуждения первых уровней, приведен-

ных в табл. 1).

показана в “практической плоскости”. Здесь мак-

симально возможная энергия отдачи возбужденно-

Видно, что в случае Стандартной модели DM-

го ядра представлена в виде функции массы DM- гало (η = 1) только на тяжелых ядрах йода и

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

709

1000

¹⁹F

800

⁶⁹Ga

⁷³Ge_9/2

⁷⁴Ge

= 1

600

127

¹³¹Xe

400

200

400

600

800

1000

¹⁹F

800

⁶⁹Ga

⁷³Ge_9/2

= 2

⁷⁴Ge

600

¹²⁷I

¹³¹Xe

400

200

400

600

800

1000

¹⁹F

800

⁶⁹Ga

⁷³Ge_9/2

= 4

⁷⁴Ge

600

¹²⁷I

¹³¹Xe

400

200

100

125

150

175

200

m , ГэВ

Рис. 5. “Практическая” зависимость максимально допустимой энергии отдачи возбужденных ядер Tm∗xA,η(r,Δεmn)

из (66) от DM-массы mχ для типичных ядер-мишеней и скоростей DM-потока η = 1; 2; 4. Случай η = 1 отвечает

Стандартной гало модели (SHM).

ксенона (в силу относительно небольших энер-

буждения DM-частицы, подчиняющиеся SHM-

гий возбуждения их первых уровней) возможны

распределению, не способны вызвать неупругий

процесс ни при каких значениях m_χ.

неупругие процессы возбуждения этих ядер DM-

частицами любых масс. При этом значения энергии

При относительно слабом DM-потоке (η = 2)

отдачи этих (возбужденных) ядер возможны вплоть

ситуация меняется незначительно. Заметно воз-

до МэВ-ного масштаба. Для более легких ядер,

растает лишь масштаб энергий отдачи для тяжелых

таких как фтор, галлий и германий, несмотря на

ядер, и открывается неупругий канал на галлиевой

заметное различие в энергиях их уровней воз-

мишени при достаточно больших массах m_χ.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

710

БЕДНЯКОВ

Наконец, в случае достаточно сильного DM-

за большой энергии возбуждения первого уровня

потока (η = 4) энергии DM-частиц вполне хватает

(равной 596 кэВ).

для возбуждения всех ядер с весьма заметными

“Обращение” соотношения

(66) дает T_A∗ -

энергиями отдачи, быстро растущими с ростом m_χ-

зависимость минимально допустимого значения

массы. Небольшое исключение составляет фтор,

где рост энергии отдачи в силу малости массы ядра

масс DM-частицы, mminχ, начиная с которого

фтора не такой “быстрый”, и германий, для кото-

становится возможно возбуждение A-ядра, со-

рого неупругий канал χA-реакции открывается при

провождающееся энергией отдачи ядра T_A∗ . Эта

несколько б ´ольших DM-массах (m_χ ≥ 90 ГэВ) из-

зависимость имеет вид

m_AT_A

mminχ(T_A∗ ,A,η) =

√

(70)

2m_AT_A(xmaxη)²v²⁰ - (T_A + Δε_mn)

m_A

√[mA ][TA

]-1

√

∗

Δε_mn

2(2.5 + η)

0.27

-1-

1 ГэВ

1 кэВ

T_A

Для нескольких ядер и четырех вариантов DM-

в указанных на графиках интервалах). При возрас-

распределений с максимальными скоростями DM-

тании максимальной скорости DM-потока (фиоле-

потока η = 1 (зеленая кривая), η = 2 (красная кри-

товая и черная кривые) уже становится возможным

вая), η = 3 (фиолетовая кривая) и η = 4 (черная

возбуждение ядра¹⁹F в сопровождении энергии

кривая) зависимость (70) показана на рис. 6 и

отдачи T_A в интервале 25-575 кэВ (40-320 кэВ)

рис. 7. Из рис. 6 на примере ядра¹³¹Xe видно,

при η = 4(3) соответственно. При этом для до-

что при максимальной скорости DM-потока η = 2

стижения энергии отдачи ядра T_A∗ на краях этих

(красная кривая) энергию отдачи (у возбужденно-

интервалов необходима бесконечная кинетическая

го) ядра¹³¹Xe, равную T_A ≃ 50 кэВ, могут вызвать

энергия DM-частиц, что эквивалентно m_χ ≃ ∞.

только DM-частицы, массы которых превышают

Об этом свидетельствуют резкие полюсные пики

значение ≃ 25 ГэВ/c². При максимальной скорости

кривых и запрещенные области для T_A вне этих

DM-потока η = 1 (зеленая кривая — SHM) та

пиков как при малых T_A, так и при больших T_A. Эти

же энергия отдачи ядра T_A ≃ 50 кэВ может быть

(в данном случае два) полюса отвечают обращению

вызвана только DM-частицами, массы которых

в нуль знаменателя в формуле (70). Аналогичное

больше ≃ 40 ГэВ/c². В целом, для этих ядер (за

полюсное поведение можно заметить на рис. 6 для

исключением, быть может, малых T_A) практически

¹²⁹I и¹³¹Xe в области очень малых значений T_A

отсутствуют серьезные ограничения на возможные

(которую можно обрезать, введя большее значение

значения m_χ, при которых открываются неупругие

TminA).

каналы взаимодействия.

На рис. 7 показаны аналогичные зависимости

Возбуждение ядра⁶⁹Ga “открывается” уже при

η = 2 и тоже возможно лишь в ограниченных ин-

для легкого ядра¹⁹F (Δε_mn = 110 кэВ) и ядра

тервалах значений энергии отдачи ядра. Однако,

⁶⁹Ga (Δε_mn = 319 кэВ). По сравнению с рис. 6

как видно из рис. 7, в отличие от¹⁹F, эти раз-

имеется заметное отличие в поведении кривых⁷⁾.

решенные интервалы T_A практически полностью

При η = 1 (SHM) для обоих ядер зеленая кривая

лежат при (очень) больших значениях T_A, где ко-

“лежит” полностью при нулевых значениях m_χ (ее

герентный (упругий) вклад давно уже равен нулю,

не видно на рисунке). Это означает, что ни при

о чем свидетельствует обращение в нуль квадрата

каких значениях DM-массы m_χ в этом случае ядра

формфактора.

¹⁹F и⁶⁹Ga не поддаются возбуждению (с образова-

нием хоть какого-нибудь значения энергии отдачи

Итак, на примере¹⁹F и⁶⁹Ga видно, что область

возможных значений энергии отдачи, T_A∗ , сопро-

⁷⁾Оно фактически обусловленно меньшей величиной отно-

вождающих возбуждение этих ядер на их первые

шения

для¹⁹F и⁶⁹Ga, чем для¹³¹Xe и⁷³Ge, соот-

уровни, во-первых, ограничена, а во-вторых, ее

Δεmn

ветственно, несмотря на относительно малую разность по

ширина зависит от максимально допустимой ско-

энергии возбуждения первого уровня.

рости DM-частиц.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

711

1.0

120

= 58.0 кэВ

¹²⁷I

min

T_A

= 1.0 кэВ

mminпри

= 1

100

0.8

mminпри

= 2

mminпри

= 3

0.6

mminпри

= 4

0.4

0.2

100

125

150

175

200

T_A, кэВ

1.0

120

= 80.0 кэВ

¹³¹Xe

min

T_A

= 1.0 кэВ

mminпри

= 1

100

0.8

mminпри

= 2

mminпри

= 3

0.6

mminпри

= 4

0.4

0.2

100

125

150

175

200

T_A, кэВ

1.0

= 13.3 кэВ

140

⁷³Ge_9/2

min

T_A

= 1.0 кэВ

mminпри

= 1

0.8

120

mminпри

= 2

mminпри

= 3

100

0.6

mminпри

= 4

0.4

0.2

100

150

200

250

300

T_A, кэВ

min

Рис. 6. Минимально допустимые значения масс m

как функции энергии отдачи, TA, (возбужденных) ядер¹³¹Xe,

¹²⁷I и⁷³Ge показаны (правая вертикальная ось) для DM-распределений с максимальными скоростями потока η = 1

(зеленая кривая), η = 2 (красная кривая), η = 3 (фиолетовая кривая) и η = 4 (черная кривая). Левая вертикальная ось

иллюстрирует поведение квадрата модуля формфактора соответствующего ядра.

Иными словами, если на ядре-мишени из¹⁹F

масса DM-частицы, вызвавшей такое излучение,

регистрируются γ-кванты с характерной энергией

превышает 100 ГэВ/c² и имеет место интенсивный

≃ 110 кэВ совместно с энергией отдачи этого ядра,

например, при T_A∗ ≃ 370 кэВ, то это означает, что DM-поток, максимальная скорость которого нахо-

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

713

“чисто ядерной некогерентности” и полностью

некогерентного вклада, т.е. числителя этого отно-

задается поведением квадрата формфактора ядра с

шения и самого отношения.

ростом T_A. Из формулы (61) видно, что выражение

Влияние множителя R_C (x_min, η, ϵ, T_A) на пове-

R_A(T_A) имеет полюс, когда |F(T_A)|² ≃ 0. Именно

дение полного отношения некогерентной скорости

из этого условия были выбраны максимальные

счета событий к когерентной скорости счета со-

значения энергии отдачи ядра TmaxA на графиках.

бытий (61) заметно только для достаточно малых

Ядерный множитель R_A(T_A) определяет возмож-

значений m_χ = 10-35 ГэВ/c². В целом это влияние

ность использования того или иного ядра-мишени

практически полностью исчезает с ростом m_χ и η.

(c конкретными m_A и Δε_mn) для регистрации

Конкретные специальные случаи отдельных ядер

неупругого процесса возбуждения этого ядра при

(m_A и Δϵ_mn) и значений m_χ, где это не так, требуют

взаимодействии с ним DM-частиц. Зависимость

более внимательного анализа. По существу, отсут-

дифференциального “эффекта некогерентности”,

ствие заметного влияния фактора R_C (x_min, η, ϵ, T_A)

т.е. отношения некогерентной скорости счета к

означает, что с ростом m_χ и η кинетической энергии

когерентной скорости счета событий, от характера

DM-частиц становится достаточно, чтобы начать

взаимодействия χ-частицы с нуклонами полностью

возбуждать низколежащие уровни ядер мишени в

задает первый, “зарядово-ядерный”, множитель из

сопровождении с достаточно большими (и хоро-

формулы (61), записанный в виде

шо измеряемыми) значениями энергий отдачи этих

ядер, T_A. Это делает неупругую скорость счета

Q_inc(A)

R_In(A) = A

(71)

событий постоянно присутствующей компонентой

Q_coh(A)

взаимодействия DM-частиц с ядрами, в отличие от

упругой компоненты, которая с ростом T_A быстро

)]

(A_p + A_n)[A^p(α2p + 3δ2p) + Aⁿ(α2n + 3δ2n

исчезает.

(α_pA_p + α_nA_n)² + (δ_pΔA_p + δ_nΔA_n)²

Ограничимся в дальнейшем учетом только од-

ного типа распределения DM-частиц вблизи по-

В рассматриваемом нерелятивистском случае он

верхности Земли с возможными максимальными

определяется только эффективными константами

безразмерными скоростями η = 1, 2, 4 и весом γ_η =

связи лептон-нуклонных слабых токов α_p,n и δ_p,n,

= 1. Тогда “космические” множители (60) стано-

“взвешенными” с соответствующими им парамет-

вятся одинаковыми по величине и различаются

рами протон-нейтронной структуры конкретного

только “протяженностью” по T_A:

ядра. Множитель R_In(A) может как усиливать,

так и ослаблять “чистый” эффект ядерной струк-

C_coh/inc(x_min,η,ϵ,T_A) =

туры, представленный на рис. 8. Значения этого

= C(x_min,η,ϵ)Θ(TmaxA/A∗,η - TA),

множителя в рамках СМ для ряда ядер-мишеней

приведены в табл. 1. Видно, что наличие “зарядово-

. (см.

^∗,η

ядерных” факторов R_SM(A) из (71) приводит к

рис. 9). Здесь введено обозначение

более чем 10-кратному усилению “эффекта неко-

C(x_min, η, ϵ) ≡ S(x_min, η, ϵ) - S(2.5 + η, η, ϵ).

(72)

герентности”. Доминирование неупругого вклада

начинается почти при вдвое более низких энерги-

Полная (сумма когерентного и некогерентного

ях отдачи T_A, т.е. возбуждение (низших) уровней

вкладов) дифференциальная скорость счета собы-

этих ядер может сопровождаться энергиями отдачи

тий (54) принимает в результате вид

T_A, как правило, уже близкими к традиционному

dR(T_A)

m_A

интервалу регистрации сигналов DM-детекторов

= C(x_min,η,ϵ)

(73)

T_A ≤ 50 кэВ (для тяжелых ядер).

Rw0dT_A

Am_χ

× [Q_coh(A)Φ_coh(T_A)Θ(TmaxA,η - T_A) +

Третий, “космический” множитель в формуле

(61), т.е. отношение R_C (x_min, η, ϵ, T_A) из (62), все-

^∗,η -TA)],

гда равно единице, если принимается во внимание

G2F ρ_χN_Av

событий

только одна возможность для DM-распределения

где Rw0 ≡

= 10³

(74)

по скоростям (например, SHM). Когда учиты-

4π v₀

кг кэВ год

ваются, как это представлено в формуле (62),

Отношения (61) и (63) также упрощаются (т.к.

одновременно два возможных DM-распределения

^∗,η

(SHM и η > 1), то отношение R_C (x_min, η, ϵ, T_A)

также практически во всей доступной области па-

R(A, T_A, TminA) =

(75)

раметров равно единице или нулю. Обращение его

dR_inc

^∕ dR_coh

Q_inc(A) 1 - |F(T_A)|²

в нуль происходит тогда, когда увеличивающееся

dT_A dT_A

Q_coh(A)

|F(T_A)|²

, но все еще

^∗,η

меньше TmaxA,η, что приводит к обращению в нуль

^∗,η -TA),

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

714

БЕДНЯКОВ

R_inc

В изоскалярном случае, когда α_p = α_n, зависи-

R(A, TminA) ≡

(TminA) =

R_coh

мость от констант полностью сокращается, и эта

TA∗

формула с ростом T_A ведет себя как “чисто ядерное

∫ ,η

отношение” R_A(T_A), т.е. R_I(A) = 1:

dT_A[1 - |F(T_A)|²]

Q_inc(A)

R^isoScalar(A,T_A) = R_A(T_A)Θ(T_A - TminA) ×

(78)

Θ(T_A - TminA)^TAin

Q_coh(A)

TmaxA,η∫

^∗,η(r,Δεmn)-TA).

dT_A|F(T_A)|²

T^min

Если один из параметров значительно меньше дру-

гого, например, как это имеет место в СМ, где α_p ≪

Полная, интегральная скорость счета событий как

≪ α_n (или, для простоты, α_p ≃ 0), то

функция энергетического порога TminA, массы ядра-

мишени A и энергии первого уровня возбуждения

Rαp=0Scalar(A,T_A) =

этого ядра, а также в зависимости от параметров

A_p + A_n

1 - F2A(T_A)

m_χ, η, γ_η, ϵ получается в виде

= R_A(T_A)

A_n

A_nF2A(T_A)

R_inc+coh(TminA) = C(x_min,η,ϵ) ×

(76)

[

TA∗

что также не зависит от α_n и отличается от R_A(T_A)

∫

,η

только множителем порядка 2.

× Q_inc(A)

dT_AΦ_inc(T_A) +

Для⁷³Ge и¹²⁷I отношение (78) показано на

T^minA

рис. 10 вместе с соответствующими дифферен-

]

циальными полными (когерентный плюс некоге-

TmaxA,η∫

рентный) скоростями счета событий, вычислен-

+ Q_coh(A)

dT_AΦ_coh(T_A) .

ными на основе формул (73) с равными скаляр-

ными константами связи a_p = a_n = 0.5. В дан-

T^min

ном случае скалярное неупругое (некогерентное)

Формулы (73), (75) и (76) являются основными для

χA-взаимодействие практически не дает заметного

дальнейшего рассмотрения.

вклада в суммарную дифференциальную скорость

Как известно, результаты “классических” экс-

счета событий. Отношение R^isoScalar(A, T_A) практи-

периментов по прямому поиску частиц темной ма-

чески везде меньше единицы.

терии [8, 12, 16, 18, 28, 31, 32, 90, 93, 94, 102-

В антиизоскалярном варианте, когда как и в СМ

104] обычно интерпретируются в терминах спин-

имеет место α_n = -α_p, получается

независимого и спин-зависимого сечений взаи-

модействия DM-частицы с нуклонами, поэтому

R^SMScalar(A,T_A) =

остановимся подробнее именно на этих двух ти-

A_pα2p + A_nα2n

пах χA-взаимодействия. Случай нерелятивистско-

= R_A(T_A)(A_p + A_n)

го лептон-нуклонного слабого (V ± A) взаимодей-

(A_pα_p - A_nα_n)²

ствия Стандартной модели рассмотрен в [105].

)₂

⁽p+1

= R_A(T_A)

где p =

p-1

A_p

4.2. Спин-независимые скорости счета событий

Из табл. 1 видно, что для самых легких ядер

Скалярное, в терминологии прямого поиска

в данном случае когерентный вклад отсутствует,

темной материи спин-независимое, взаимодей-

поскольку число протонов совпадает с числом

ствие в нерелятивистском приближении подхода

нейтронов и p = 1. Для фтора, натрия и хло-

[86-88] имеет такой же вид, как и чисто векторное,

ра когерентный (упругий) вклад сильно подав-

когда в общей формуле для скалярного произве-

лен, неупругий зарядовый множитель на порядки

дения (14) отличными от нуля остаются только

превышает упругий. И далее, чем тяжелее ядро-

эффективные константы связи α_p и α_n [90]. Тогда

мишень, тем больше величина p, и тем меньше

обе аксиальные константы связи следует взять

отличие R^SMscalar(A, T_A) от R_A(T_A), представленного

нулевыми δ_p = δ_n = 0 в выражении (71), и формулу

на рис. 10.

(61) можно записать в виде

Рис. 11 иллюстрирует данный случай на при-

R_Scalar(A,T_A) =

(77)

мере ядер⁷³Ge и¹²⁷I. Полная, интегральная, ско-

A_pα2p + A_nα2n

рость счета событий как функция m_χ для ядер

= R_A(T_A)A

(A_pα_p + A_nα_n)²

⁷³Ge и¹²⁷I в приближении (76) и чисто скалярного

взаимодействия СМ представлена на рис. 12, где

^∗,η(r,Δεmn)-TA).

для простоты взято α_n = -α_p, R₀ = 1.0.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

715

1.0

= 13 кэВ

⁷³Ge_9/2

T_A

min

= 1 кэВ

= 1

0.8

x_min

= 0.435

= 2

m = 25 ГэВ

= 3

= 1.0

0.6

1 = 0.0

= 4

= 1.0

0.4

0.2

100

150

200

250

300

T_A, кэВ

1.0

= 0 кэВ

⁷³Ge_9/2

min

T_A

= 1 кэВ

= 1

0.8

x_min

= 0.435

= 2

m = 25 ГэВ

= 3

= 1.0

0.6

1 = 0.0

= 4

= 1.0

0.4

0.2

100

150

200

250

300

T_A, кэВ

1.0

⁷³Ge_9/2

= 1

0.8

= 2

= 3

0.6

= 4

min

0.4

T_A

= 1 кэВ

0.4

x_min = 0.435

m = 25 ГэВ

= 1.0

0.2

1 = 0.0

= 1.0

100

150

200

250

300

T_A, кэВ

Рис. 9. На примере ядра

⁷³Ge

показано

поведение “космических” множителей и множителя

RC (xmin, η, ϵ, TA) в

случае одного DM-распределения с различными параметрами η. Синей пунктирной кривой показан квадрат ядерного

формфактора |FA(TA)|².

Из рис. 10 и 11 видна основная тенденция:

тегральную скорость счета событий доминирует с

с ростом T_A происходит плавная смена “напол-

увеличением m_χ (m_χ > 30-50 ГэВ/c²).

нения” измеряемой скорости счета событий —

Если детектор настроен на регистрацию толь-

упругий вклад в скорость счета событий заменяет-

ко упругого рассеяния, то при возрастании T_A

ся неупругим (некогерентным) вкладом. При этом

он начинает терять возможность вообще что-либо

суммарная скорость счета событий уменьшается,

регистрировать, поскольку упругих процессов ста-

однако не более чем на порядок величины. Из

новится все меньше и меньше. Одновременно за-

рис. 12 видно, что неупругий вклад в полную ин-

метно растет число неупругих процессов, которые

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

716

БЕДНЯКОВ

2.0

m = 10 ГэВ

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

10²

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

min

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

1.5

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

1.5

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

10¹

= 1.0

1.0

= 1.0

1.0

10¹

0.5

10⁰

R0 = 1.0

10⁰

R0 = 1.0

ap = 0.50

an = 0.50

0.5

an = 0.50

0.5

p = 0.00

10¹

n = 0.00

1.0

10¹

1.0

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

2.0

m = 10 ГэВ

⁷³Ge3/2

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

10²

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

m = 75 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

1.5

m = 75 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

1.5

m = 150 ГэВ

= 2.0

m = 150 ГэВ

= 2.0

10¹

m = 300 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

1.0

= 1.0

1.0

10¹

0.5

10⁰

R0 = 1.0

ap = 0.50

an = 0.50

0.5

an = 0.50

0.5

10¹

p = 0.00

n = 0.00

10¹

n = 0.00

1.0

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

2.0

m = 10 ГэВ

⁷³Ge9/2

10²

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

min

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

1.5

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

1.5

10¹

m = 150 ГэВ

= 4.0

m = 150 ГэВ

= 4.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

10¹

= 1.0

1.0

= 1.0

1.0

10⁰

0.5

10⁰

R0 = 1.0

10¹

ap = 0.50

an = 0.50

0.5

an = 0.50

0.5

10¹

p = 0.00

n = 0.00

1.0

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

Рис.

10. Для⁷³Ge и¹²⁷I представлены отношения R^isoScalar(A, TA) из (78) некогерентной к когерентной скорости счета

событий (правая ось) и (левая ось) полная дифференциальная скорость счета событий (73) (в относительных единицах,

события

пропорциональных

) как функции энергии отдачи ядра TA в случае скалярного χA-взаимодействия c αp =

кэВ год кг

= αn = 0.5.

такой прибор не способен “видеть” (скажем, он

заметный вклад в неупругие χA-процессы (см.

не может регистрировать фотоны от девозбужде-

рис. 11-12).

ния ядер). Его способность зарегистрировать DM-

частицы достаточно большой массы также силь-

но падает. Получается ситуация, когда искомые

4.3. Спин-зависимые скорости счета событий

χA-взаимодействия потенциально возможны, но

типовой детектор их не может зарегистрировать.

Обратимся к чисто аксиал-векторному χA-

Отметим, что в отличие от утверждений авто-

взаимодействию, которое в терминологии прямого

ров работ [99, 106], скалярное χA-взаимодействие

поиска темной материи носит название спин-

в рассмотренном варианте вполне может давать

зависимого. Тогда в формуле

(71) векторные

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

717

m = 10 ГэВ

20.0

⁷³Ge9/2

ap = 0.500

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

10⁰

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

an =

0.500

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

17.5

m = 75 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

p = 0.000

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

m = 150 ГэВ

= 1.0

n = 0.000

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

15.0

R0 = 1.0

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

ap = 0.500

= 1.0

an =

0.500

12.5

10⁰

p = 0.000

n = 0.000

10.0

7.5

5.0

10¹

2.5

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

10⁰

m = 10 ГэВ

20.0

⁷³Ge9/2

ap = 0.500

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

an =

0.500

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

m = 75 ГэВ

17.5

min

= 0.000

m = 75 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

m = 150 ГэВ

= 2.0

n = 0.000

m = 150 ГэВ

= 2.0

m = 300 ГэВ

15.0

= 1.0

10⁰

m = 300 ГэВ

= 1.0

R0 = 1.0

= 1.0

ap = 0.500

12.5

an =

0.500

p = 0.000

10.0

n = 0.000

7.5

10¹

5.0

2.5

10²

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

m = 10 ГэВ

20.0

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

17.5

m = 75 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

m = 150 ГэВ

= 4.0

15.0

10⁰

m = 150 ГэВ

= 4.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

R0 = 1.0

= 1.0

ap = 0.500

12.5

ap = 0.500

an =

0.500

10¹

an =

0.500

p = 0.0000

10.0

p = 0.000

n = 0.00

n = 0.000

7.5

5.0

2.5

100

120

140

160

180

T_A, кэВ

Рис. 11. То же, что и на рис. 10, но для скалярного χA-взаимодействия с αp = -αn = 0.5.

эффективные константы связи протона и нейтрона

протона и нейтрона связаны соотношением δ_n = -

α_p = α_n = 0, и отношение (61) принимает вид

-δ_p, то отношение

R_Axial(A,T_A) =

(79)

3R_A(T_A)A²

R^SMAxial(A,T_A) =

3A(A^pδ2p + Aⁿδ2n)

(ΔA_p - ΔA_n)²

= R_A(T_A)

(δ_pΔA_p + δ_nΔA_n)²

не зависит от значения самой аксиальной кон-

станты связи δ_p и, что более значимо, не только

^∗,η(r,Δεmn)-TA).

не подавлено величиной A, а, наоборот, прямо

Видно, что для ядер с нулевым спином (точнее,

пропорционально ей, при условии, что ΔA_p = ΔA_n

когда ΔA_p/n = 0) когерентный вклад в полное се-

(см. рис. 13). В противном случае отношение (79)

чение от чисто аксиал-векторного взаимодействия

теряет смысл.

отсутствует, и это отношение теряет смысл. По-

Полная интегральная скорость счета событий

скольку в СМ аксиальные эффективные константы

(76) на ядрах⁷³Ge и¹²⁷I как функция m_χ для

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

718

БЕДНЯКОВ

R0 = 1.0

= 13.3 кэВ

= 58.0 кэВ

ap = 0.5

Некогерентный ⁷³Ge9/2

ap = 0.5

Некогерентный ¹²⁷I

min

an =

0.5

Когерентный ⁷³Ge9/2

= 1.0 кэВ

an =

0.5

Когерентный ¹²⁷I

= 1.0 кэВ

= 1.0

p = 0.0

Суммарный ⁷³Ge9/2

p = 0.0

Суммарный ¹²⁷I

= 1.0

n = 0.0

= 1

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

Некогерентный ⁷³Ge9/2

Некогерентный ¹²⁷I

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

Суммарный ⁷³Ge9/2

Суммарный ¹²⁷I

= 2

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

Некогерентный ⁷³Ge9/2

Некогерентный ¹²⁷I

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

Суммарный ⁷³Ge9/2

Суммарный ¹²⁷I

= 4

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

m , ГэВ

события

Рис. 12. Интегральная скорость счета событий (в единицах

) на ядах ⁷³Ge и¹²⁷I как функция массы mχ и других

год кг

“космических характеристик” в случае скалярного χA-взаимодействия c αp = -αn = 0.5. Показаны также когерентный

и некогерентный вклады в полную скорость счета событий.

аксиал-векторного взаимодействия СМ (когда

ствия, когда δ_n = δ_p (а также R₀ = 1.0), представ-

δ_n = -δ_p и для простоты R₀ = 1.0) представлена

лена на рис. 16.

на рис. 14. Из этих рисунков видно, что доля коге-

Из рис. 13 и 15 упомянутая выше для случая

рентного вклада либо очень мала, либо полностью

отсутствует.

скалярного взаимодействия “общая тенденция” в

балансе когерентности и некогерентности стано-

Когда δ_n = δ_p, из отношения (79) также полно-

вится ярко выраженной. Действительно, если χ-

стью выпадает зависимость от конкретного значе-

частица взаимодействует с нуклонами ядра только

ния аксиальной константы связи, и оно принимает

аксиал-векторным образом, то на мишени, со-

похожий вид:

стоящей из ядер с нулевым спином, невозможно

3R_A(T_A)A

обнаружить взаимодействие этой частицы по коге-

R^spinAxial(A,T_A) =

рентному (упругому) каналу. Его просто нет. Един-

(ΔA_p + ΔA_n)²

ственный путь регистрации DM-частицы лежит

где ΔA ≡ ΔA_p + ΔA_n играет роль полного спина

через обнаружение ее неупругого (некогерентного)

ядра A. Этот случай можно считать полным ана-

взаимодействия с нуклонами. Более того, даже

логом традиционного спин-зависимого взаимодей-

если мишень состоит из ядер с ненулевым спи-

ствия χ-частицы (темной материи) с веществом

ном, то когерентный (упругий, пропорциональный

детектора, поскольку когерентное сечение здесь

квадрату спина ядра) вклад в ожидаемую полную

пропорционально квадрату спина ядра. На рис. 15

скорость счета полезных событий “не виден” на

представлены отвечающие этому случаю графики.

фоне некогерентного (неупругого, пропорциональ-

Полная интегральная скорость счета событий (76)

ного атомной массе ядра A) вклада практически

для ядер⁷³Ge и¹²⁷I как функция m_χ в слу-

во всем интервале возможных значений энергии

чае изоскалярного аксиал-векторного взаимодей-

отдачи ядра мишени T_A.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

719

100

1000

m = 10 ГэВ

⁷³Ge9/2

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

= 1.0

m = 75 ГэВ TA

min

= 1.0 кэВ

10⁰

= 0.00

m = 150 ГэВ

= 1.0

800

an = 0.00

m = 300 ГэВ

= 1.0

= 0.64

= 1.0

n =

0.64

600

10¹

R0 = 1.0

¹²⁷I

ap = 0.00

m = 10 ГэВ

= 58.0 кэВ

an = 0.00

m = 25 ГэВ

min

= 1.0 кэВ

p = 0.64

m = 75 ГэВ

400

n =

0.64

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

200

10¹

10³

100

120

140

T_A, кэВ

100

1000

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

min

10⁰

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

= 2.0

800

10⁰

m = 150 ГэВ

R0 = 1.0

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 0.00

= 1.0

10¹

= 0.00

600

p = 0.64

¹²⁷I

= 0.64

10²

= 58.0 кэВ

m = 10 ГэВ

min

R0 = 1.0

= 1.0 кэВ

m = 25 ГэВ

400

ap = 0.00

= 2.0

an = 0.00

m = 75 ГэВ

= 1.0

p = 0.64

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

n =

0.64

200

10⁴

100

120

140

T_A, кэВ

100

1000

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

10⁰

min

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

10⁰

= 4.0

800

m = 150 ГэВ

= 1.0

m = 300 ГэВ

= 1.0

600

ap = 0.00

10¹

= 0.00

¹²⁷I

p = 0.64

m = 10 ГэВ

R0 = 1.0

= 58.0 кэВ

n =

0.64

m = 25 ГэВ

min

400

ap = 0.00

= 1.0 кэВ

10¹

an = 0.00

m = 75 ГэВ

= 4.0

p = 0.64

m = 150 ГэВ

10²

= 1.0

= 0.64

m = 300 ГэВ

= 1.0

200

100

120

140

T_A, кэВ

Рис. 13. Отношение R

Axial

(A, TA) (79) полной некогерентной к когерентной скорости счета событий (правая ось) и

дифференциальная полная скорость (левая ось) счета событий (73) как функции энергии отдачи ядра TA в случае

аксиал-векторного взаимодействия, когда δn = -δp для⁷³Ge и

¹²⁷I (в относительных единицах, пропорциональных

события

кэВ год кг

Таким образом, в случае чисто аксиал-вектор-

темной материи, обладают максимальной чувстви-

ного χA-взаимодействия зависящий от ненулевого

тельностью в области энергетического порога ре-

спина ядра упругий канал рассеяния, на который

гистрации энергии отдачи ядра. У них нет, как

традиционно ориентируются детекторы в поиске

правило, возможности адекватно регистрировать

спин-зависимого сигнала темной материи, обречен

высокоэнергичное (по сравнению с указанным по-

ничего “не увидеть” практически при всех T_A, по-

рогом) излучение, обусловленное снятием возбуж-

скольку все “сигналообразующее” взаимодействие

дения ядер, вызванного неупругой природой χA-

идет через неупругий канал [107], к которому такого

сорта детекторы, как правило, нечувствительны.

взаимодействия. Опять вполне возможна ситуа-

Обычно детекторы, нацеленные на прямой поиск

ция, когда искомые взаимодействия могут иметь

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

720

БЕДНЯКОВ

R0 = 1.0

175

= 13.3 кэВ

= 58.0 кэВ

ap = 0.0

Некогерентный ⁷³Ge9/2

250

ap = 0.0

Некогерентный ¹²⁷I

min

= 1.0 кэВ

min

= 1.0 кэВ

150

an = 0.0

Когерентный ⁷³Ge9/2

an = 0.0

Когерентный ¹²⁷I

p = 0.6

Суммарный ⁷³Ge9/2

= 1.0

200

p = 0.6

Суммарный ¹²⁷I

= 1.0

125

= 1.0

n =

0.6

n =

0.6

100

150

= 1

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

175

250

Некогерентный ⁷³Ge9/2

Некогерентный ¹²⁷I

150

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

200

125

Суммарный ⁷³Ge9/2

Суммарный ¹²⁷I

100

= 2

150

= 2

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

140

Некогерентный ⁷³Ge9/2

200

Некогерентный ¹²⁷I

120

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

100

Суммарный ⁷³Ge9/2

150

Суммарный ¹²⁷I

= 4

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

m , ГэВ

события

Рис. 14. Интегральная скорость счета событий (в единицах

) на ядах⁷³Ge и¹²⁷I как функция массы mχ и

год кг

других “космических характеристик” в случае аксиал-векторного χA-взаимодействия при δn = -δp. Показаны также

когерентный и некогерентный вклады в полную скорость счета событий.

заметную (потенциально регистрируемую) интен-

фотонов определяется структурой уровней воз-

сивность, но прибор, используемый для их поиска,

буждения ядра и строго фиксирован для каждого

просто не способен их обнаружить.

конкретного ядра-мишени. Эти фотоны вполне

способны производить детектируемый сигнал [109],

Итак, в заключение данного раздела отметим

который, вообще говоря, будет скоррелирован со

следующее. Если переход на возбужденное состоя-

временем облучения мишени, если источником χ-

ние ядра энергетически возможен и имел место, т.е.

лептонов является, например, ускоритель. Соглас-

произошло именно неупругое взаимодействие⁸⁾,

но приведенным выше рисункам (см., например,

то рано или поздно ядро должно возвратить-

рис. 15) перспектива регистрации заметного (для

ся в свое исходное (основное) состояние. Это

аксиал-векторного случая, подавляющего) числа

неизбежное снятие возбуждения ядра должно

событий с γ-квантами от некогерентного χA-

сопровождаться выделением энергии, например,

взаимодействия не выглядит бесперспективной,

в виде γ-излучения. Примечательно, что воз-

при условии, что само χA-взаимодействие будет

можность регистрации гамма-квантов от такого

иметь регистрируемую современными детекторами

интенсивность.

неупругого взаимодействия была предложена еще

1975

г.

[109]. Энергетический спектр таких

Подчеркнем, что для каждого конкретного

ядра-мишени эти фотоны будут характеризо-

⁸⁾Не следует путать этот “классический” неупругий подход

ваться тремя важными параметрами. Во-первых,

с “неупругостью”, вызванной переходом падающего на

их энергия во многих случаях заметно больше

ядро χ1-лептона (темной материи) в более массивный χ2-

кинетической энергии ядра отдачи (T127_I ≤ 20 кэВ

лептон (тоже из темного сектора). При этом ядро считает-

ся неизменным, т.е. взаимодействующим когерентно. См.,

на рис.

15). Во-вторых, испускание фотонов

например, [23, 24, 35, 38, 40, 43, 44, 108].

с энергией, определенной разностью уровней

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

721

100

8000

m = 10 ГэВ

⁷³Ge9/2

m = 25 ГэВ

= 13.3 кэВ

min

7000

= 1.0

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

10⁰

= 0.00

m = 150 ГэВ

= 1.0

6000

an = 0.00

m = 300 ГэВ

= 1.0

= 0.64

= 1.0

m = 10 ГэВ

n = 0.64

5000

m = 25 ГэВ

10¹

R0 = 1.0

127

m = 75 ГэВ

= 0.00

= 58.0 кэВ

4000

m = 150 ГэВ

an = 0.00

min

= 1.0 кэВ

m = 300 ГэВ

p = 0.64

= 1.0

3000

n = 0.64

= 1.0

10²

= 1.0

2000

1000

10¹

10³

100

120

140

160

T_A, кэВ

100

8000

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

min

10⁰

7000

= 1.0 кэВ

m = 75 ГэВ

= 2.0

10⁰

m = 150 ГэВ

6000

R0 = 1.0

= 1.0

m = 300 ГэВ

ap = 0.00

= 1.0

m = 10 ГэВ

10¹

m = 25 ГэВ

5000

an = 0.00

p = 0.64

m = 75 ГэВ

= 0.64

m = 150 ГэВ

4000

10²

m = 300 ГэВ

= 1.0

¹²⁷I

3000

ap = 0.00

= 58.0 кэВ

= 0.00

min

10³

= 1.0 кэВ

2000

10¹

p = 0.64

= 2.0

n = 0.64

= 1.0

1000

= 1.0

10⁴

100

120

140

160

T_A, кэВ

100

8000

⁷³Ge9/2

m = 10 ГэВ

= 13.3 кэВ

m = 25 ГэВ

min

7000

10⁰

= 1.0 кэВ

10⁰

m = 75 ГэВ

= 4.0

m = 150 ГэВ

= 1.0

6000

m = 300 ГэВ

= 1.0

5000

ap = 0.00

10¹

an = 0.00

m = 10 ГэВ

¹²⁷I

4000

p = 0.64

m = 25 ГэВ

= 58.0 кэВ

n = 0.64

min

m = 75 ГэВ

= 1.0 кэВ

R0 = 1.0

3000

10¹

m = 150 ГэВ

= 4.0

ap = 0.00

m = 300 ГэВ

= 1.0

10²

an = 0.00

2000

= 1.0

p = 0.64

n = 0.64

1000

100

120

140

160

T_A, кэВ

Рис. 15. То же, что и на рис. 13, но для аксиал-векторного взаимодействия, когда δn = δp.

возбуждения ядра будет сдвинуто по времени

выделения из фона искомого неупругого χA-

(относительно тем или иным способом заданного

взаимодействия представляется, однако, темой

начала взаимодействия) на характерное для уровня

отдельного рассмотрения.

конкретного ядра время снятия возбуждения. В-

Вопрос о точности оценки сечения (а зна-

третьих, скорость счета таких γ-квантов будет

чит, и скорости счета событий) неупругого χA-

пропорциональна отношению N_inc/N_coh, где

взаимодействия, в том числе с учетом обосно-

ванности использования параметризации Хельма

∫

dσ_inc/coh

(57), обсуждался в работе [90]. Было отмечено, что

N_inc/coh = dE_νΦ(E_ν)

dT_A

ε(T_A),

использованное неупругое сечение представляет

собой верхнюю границу для вкладов в полное

dT^min

сечение χA-взаимодействия всех допустимых

и ε(T_A) — эффективность детектора. Возможность

(в данной кинематической области) неупругих

конструктивного использования этих свойств для

подпроцессов. Этот верхний предел следует только

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

722

БЕДНЯКОВ

R0 = 1.0

175

= 13.3 кэВ

= 58.0 кэВ

ap = 0.0

Некогерентный ⁷³Ge9/2

250

ap = 0.0

Некогерентный ¹²⁷I

min

= 1.0 кэВ

min

= 1.0 кэВ

150

an = 0.0

Когерентный ⁷³Ge9/2

an = 0.0

Когерентный ¹²⁷I

p = 0.6

Суммарный ⁷³Ge9/2

= 1.0

200

p = 0.6

Суммарный ¹²⁷I

= 1.0

125

= 1.0

n = 0.6

100

150

= 1

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

175

250

Некогерентный ⁷³Ge9/2

Некогерентный ¹²⁷I

150

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

200

125

Суммарный ⁷³Ge9/2

Суммарный ¹²⁷I

100

= 2

150

= 2

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

140

Некогерентный ⁷³Ge9/2

200

Некогерентный ¹²⁷I

120

Когерентный ⁷³Ge9/2

Когерентный ¹²⁷I

100

Суммарный ⁷³Ge9/2

150

Суммарный ¹²⁷I

= 4

100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

m , ГэВ

Рис. 16. То же, что и на рис. 14, но для аксиал-векторного χA-взаимодействия, при δn = δp.

из правила сохранения вероятности, когда сумма

взятых неупругих каналов рассеяния получается

вероятностей всех неупругих подпроцессов и

путем вычитания из единицы вероятности одного

вероятности упругого процесса равна единице.

упругого канала реакции.

Полнота “насыщения” этого совокупного неупру-

Отметим, что прецизионные расчеты неупру-

гого сечения отдельными неупругими каналами

гого сечения (и скорости счета событий) в рам-

(вкладами от переходов на различные разрешенные

ках современных ядерных моделей не позволя-

уровни) зависит от структуры уровней возбуждения

ют (пока) количественно контролировать переход

конкретного ядра и энергии падающей частицы.

от “когерентности к некогерентности”. Например,

Понятно, что такое насыщение не может быть

если “условие когерентности” удовлетворяется “с

численно воспроизведено со 100%-ой точностью.

хорошей точностью”, то можно уверенно исполь-

Было также отмечено, что примененная в данной

зовать “когерентные формулы”. В противном слу-

работе формула Хельма заметно отличается от

чае можно уверенно использовать “некогерентные

прецизионных расчетов в современных ядерных

формулы”. При этом никто не знает, что делать,

моделях [110] лишь в области достаточно больших

если “условие когерентности” выполняется “с пло-

энергий отдачи ядра, где абсолютные величины

хой точностью”. В формализме [86-88] нет необ-

квадратов ядерных формфакторов не превышают

ходимости в проверке “условия когерентности”,

значений 0.001, что делает это различие совер-

поскольку имеет место плавный переход от одного

шенно несущественным. Видно, что использование

режима к другому.

современных ядерных моделей для вычисления

неупругих сечений дает результат, который всегда

меньше полученных в данной работе оценок. При-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

чина, как уже отмечалось, в том, что формализм

[86-88] дает верхнюю границу полного неупругого

Кратко сформулируем основные результаты.

сечения (т.е., где учтены все возможные неупру-

Напомним, что формализм

[86-88], впервые

гие каналы), поскольку вероятность всех вместе

предложенный для описания нейтрино-ядерного

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

723

взаимодействия, был обобщен в работе [90] на слу-

невозможно понять, какой процесс, упругий или

неупругий, имел место.

чай нерелятивистского⁹⁾ слабого взаимодействия

массивной нейтральной частицы (χ-лептона) с яд-

В наиболее критическом виде это явление может

ром как составной системой. Это взаимодействие

проявляться в задаче прямого поиска темной ма-

параметризовано в виде четырех эффективных

терии, результаты которого обычно представляют

констант связи, определяющих вклады в амплитуду

в терминах спин-независимого и спин-зависимого

вероятности процесса Четырех различных типов

сечений взаимодействия частицы темной материи с

скалярных произведений лептонных и нуклонных

нуклонами.

токов.

В настоящей работе общие положения из [90]

Благодаря прямому учету условия полноты

были трансформированы в конкретные предска-

квантовых состояний ядра независимо от конкрет-

зания для задачи прямого поиска частиц темной

ных деталей ядерной модели в рамках подхода [86-

материи в земных условиях. При этом в иллюстра-

88, 90] удается получить единое описание упругих

(когерентных) и неупругих (некогерентных) про-

тивных целях помимо Стандартной модели рас-

цессов взаимодействия нейтрального χ-лептона с

пределения темной материи вблизи Земли (SHM)

ядром.

было рассмотрено влияние других модельных рас-

пределений, обладающих более высокими макси-

Поведение когерентного и некогерентного вкла-

мальными скоростями частиц темной материи. В

дов в скорость счета событий искомого χA-

отличие от работы [90] впервые в формализме

взаимодействия определяется зависимостью от

[86-88] при расчете вклада неупругих процессов

переданного ядру импульса нуклонных формфак-

χA-взаимодействия было явным образом учтено

торов ядра F_p/n(q). Эти формфакторы регулируют

влияние ненулевого значения энергии возбужде-

плавный переход от режима упругого к режиму

ния (первого уровня) ядра-мишени. Возникающая

неупругого взаимодействия. С ростом энергии

жесткая кинематическая корреляция между этой

отдачи ядра T_A имеет место хорошо контроли-

энергией возбуждения и допустимыми значениями

руемый переход от доминирования упругого χA-

кинетической энергии отдачи возбужденного яд-

взаимодействия к доминированию неупругого χA-

ра заметным образом ограничивает возможности

взаимодействия при нерелятивистском рассеянии

детектирования неупругого канала рядом ядер-

массивной χ-частицы на ядре. Иными словами, с

мишеней.

ростом T_A регистрируемые события будут менять

свое “происхождение”. Если прибор настроен на

Рассмотрены два основных варианта взаимо-

регистрацию событий только упругого рассеяния,

действия частицы темной материи с нуклонами

то при возрастании T_A он начинает терять воз-

[90]. Для спин-независимого скалярного взаимо-

можность вообще что-либо регистрировать, так

действия частиц темной материи, одинакового для

как упругих процессов становится все меньше и

протонов и нейтронов, упомянутая выше плавная

меньше. При этом заметно растет число неупругих

смена “наполнения” полной измеряемой скорости

процессов, которые такой прибор не способен

счета событий с ростом T_A представлена рис. 10.

детектировать. Например, если он не может реги-

Она в этом (изоскалярном) случае не выглядит до-

стрировать фотоны от снятия возбуждения ядер,

минирующей. Более интересным оказывается ска-

или если энергия этих фотонов лежит вне зоны

лярное χA-взаимодействие, где константы связи

чувствительности детектора. Получается ситуация,

протона и нейтрона отличаются только знаком.

когда есть искомые взаимодействия, но прибор их

Здесь, согласно рис. 11, плавная смена “наполне-

“не замечает”.

ния” измеряемой скорости счета событий с ростом

Возможна иная ситуация. Если после χA-

T_A хорошо видна. Неупругий вклад уже полностью

рассеяния энергия отдачи ядра оказывается ниже

доминирует при T_A ≥ 50-60 кэВ. При этом сум-

порога регистрации детектора, т.е. T_A < TminA,

марная дифференциальная скорость счета событий

то упругий сигнал невозможно обнаружить. При

уменьшается незначительно. Это доминирование,

таких “невидимых” T_A единственным свидетель-

особенно с ростом m_χ, хорошо видно на графиках

ством произошедшего χA-взаимодействия ста-

полных скоростей счета событий на рис. 12.

новится излучение от снятия возбуждения ядра,

т.е. неупругий сигнал, хотя его интенсивность

Если частица темной материи взаимодействует с

нуклонами ядра только спин-зависимым (аксиал-

(при T_A < TminA) может быть на порядок меньше

векторным) образом, то на ядрах с нулевым спи-

интенсивности упругого сигнала. В целом, когда

ном невозможно обнаружить взаимодействие этой

регистрируется только энергия отдачи ядра T_A,

частицы по упругому каналу. Единственный путь

⁹⁾Релятивистский вариант такого описания рассмотрен в

регистрации лежит через обнаружение ее неупру-

работе [98].

гого взаимодействия с нуклонами. Более того, даже

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

724

БЕДНЯКОВ

если ядро имеет ненулевой спин, то упругий (про-

И.В. Титковой за обсуждения, важные замечания и

порциональный квадрату спина ядра) вклад в ско-

помощь в оформлении рукописи.

рость счета событий слабо виден на фоне неупру-

гого (пропорционального атомной массе ядра A)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

вклада практически во всем интервале возможных

значений T_A (см. рис. 13 и 15). Для суммарных

T. Bringmann and C. Weniger, Phys. Dark Univ. 1,

интегральных скоростей счета событий, зависящих

194 (2012); arXiv: 1208.5481.

только от массы частицы темной материи m_χ,

Y. Sofue, arXiv: 1504.05368.

когерентный вклад практически не играет здесь

R. Feldmann and D. Spolyar, Mon. Not. Roy.

Astron. Soc. 446, 1000 (2015); arXiv: 1310.2243.

никакой роли (рис. 16). Таким образом, в случае

M. Madhavacheril et al., Phys. Rev. Lett. 114,

чисто аксиал-векторного χA-взаимодействия де-

151302 (2015); arXiv: 1411.7999.

текторы, традиционно ориентированные на реги-

J. L. Feng, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 48, 495

страцию упругого спин-зависимого сигнала тем-

(2010); arXiv: 1003.0904.

ной материи, ничего не смогут зарегистрировать,

B. Famaey, arXiv: 1501.01788.

поскольку все потенциально “сигналообразующее”

S. Cebri ´an, J. Phys.: Conf. Ser. 2502, 012004

взаимодействие возможно только через неупругий

(2023); arXiv: 2205.06833.

канал, к которому такого сорта детекторы, как

R. Bernabei et al., Prog. Part. Nucl. Phys. 114,

правило, нечувствительны. Здесь не исключена

103810 (2020).

ситуация, когда искомые взаимодействия вполне

R. Bernabei, Physics

15,

(2014); arXiv:

могут иметь заметную (потенциально регистрируе-

1412.6524.

мую) интенсивность, но прибор, используемый для

10.

N. Arkani-Hamed, D. P. Finkbeiner, T. R. Slatyer,

их поиска, к ним нечувствителен.

and N. Weiner, Phys. Rev. D 79, 015014 (2009);

Истинный характер взаимодействия частиц

arXiv: 0810.0713.

11.

B. Hoeneisen, arXiv: 1502.07375.

темной материи с протонами и нейтронами лежит

12.

M. Livio and J. Silk, Nature 507, 29 (2014); arXiv:

вне рамок Стандартной модели, и его еще только

1404.2591.

предстоит экспериментально определить. Поэтому

13.

R. Bernabei et al., Int. J. Mod. Phys. A 37, 2240015

помимо рассмотренных “классических” двух типов

(2022).

этого взаимодействия с константами связи α_p/n

14.

T. R. Slatyer, SciPost Phys. Lect. Notes 53,

и δ_p/n вполне допустимы иные варианты взаимо-

(2022); arXiv: 2109.02696.

действия, способные обеспечивать доминирование

15.

J. Cooley, SciPost Phys. Lect. Notes 55, 1 (2022);

неупругого вклада в полную скорость счета собы-

arXiv: 2110.02359.

16.

G. Bertone, D. Hooper, and J. Silk, Phys. Rept. 405,

тий. Они также могли бы представлять интерес с

279 (2005); hep-ph/0404175.

точки зрения регистрации темной материи.

17.

A. K. Drukier, K. Freese, and D. N. Spergel, Phys.

Итак, по вышеприведенным причинам следует

Rev. D 33, 3495 (1986).

планировать эксперименты по прямому детекти-

18.

G. B. Gelmini, arXiv: 1502.01320.

рованию частиц темной материи в такой поста-

19.

V. A. Bednyakov, Phys. Part. Nucl. 47, 711 (2016);

новке, когда возможно одновременно детектирова-

arXiv: 1505.04380.

ние двух сигналов. Первый сигнал — это энергия

20.

C. Boehm, D. G. Cerdeo, P. A. N. Machado,

отдачи ядра T_A от упругого взаимодействия, вто-

A. Campo, D. Olivares, and E. Reid, JCAP 1901,

рой — γ-кванты с вполне определенной энергией

043 (2019); arXiv: 1809.06385.

от снятия ядерного возбуждения в сопровождении

21.

D. K. Papoulias, R. Sahu, T. S. Kosmas,

c энергией отдачи (возбужденного) ядра T_A∗, кото-

V. K. B. Kota, and B. Nayak, Adv. High Energy

рая, как правило, заметно больше, чем T_A. Резуль-

Phys. 2018, 6031362 (2018); arXiv: 1804.11319.

тат такого эксперимента даст наиболее полную ин-

22.

W. H. Dai et al., arXiv: 2209.00861.

23.

M. J. Zurowski, E. Barberio, and G. Busoni, JCAP

формацию о произошедшем χA-взаимодействии.

12, 014 (2020); arXiv: 2005.10404.

Напомним также, что решающее значение для

24.

A. Aboubrahim, L. Althueser, M. Klasen, P. Nath,

действительной регистрации взаимодействия ча-

and C. Weinheimer, arXiv: 2207.08621.

стиц темной материи из нашей галактики с ядерной

25.

F. Kahlhoefer, F. Reindl, K. Sch ¨affner, K. Schmidt-

мишенью имеет положительная сигнатура этого

Hoberg, and S. Wild, JCAP 05, 074 (2018); arXiv:

процесса [19, 29], выраженная сегодня только в

1802.10175.

виде годовой модуляции наблюдаемого сигнала,

26.

V. Bednyakov, Phys. Part. Nucl. 44, 220 (2013);

причем в контексте настоящего обсуждения как его

arXiv: 1207.2899.

27.

K. Freese, J. A. Frieman, and A. Gould, Phys. Rev.

упругого (когерентного), так/или его неупругого

D 37, 3388 (1988).

(некогерентного) вкладов [99, 100].

28.

N. Spooner, J. Phys. Soc. Jap. 76, 111016 (2007);

Автор выражает глубокую благодарность

arXiv: 0705.3345.

Д.В. Наумову, Е.А. Якушеву, Н.А. Русаковичу и

29.

V. A. Bednyakov, arXiv: 2003.09422.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

О ЗНАЧИМОСТИ НЕУПРУГОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

725

30.

G. E. Lawrence, A. R. Duffy, C. A. Blake, and

59.

E. Aprile et al., Phys. Rev. Lett. 123, 251801 (2019);

P. F. Hopkins, arXiv: 2207.07644.

arXiv: 1907.11485.

31.

P. Cushman, C. Galbiati, D. McKinsey,

60.

C. Cheng et al., Phys. Rev. Lett. 126, 211803

H. Robertson, T. Tait, et al., arXiv: 1310.8327.

(2021); arXiv: 2101.07479.

32.

T. Saab, arXiv: 1203.2566.

61.

D. Kim and K. T. Matchev, Phys. Rev. D 98, 055018

33.

N. Hurtado, H. Mir, I. M. Shoemaker, E. Welch,

(2018); arXiv: 1712.07620.

and J. Wyenberg, Phys. Rev. D 102, 015006 (2020);

62.

J. Berger et al., arXiv: 2207.02882.

arXiv: 2005.13384.

63.

T. Bringmann and M. Pospelov, Phys. Rev. Lett. 122,

34.

P. Du, D. Egana-Ugrinovic, R. Essig, and

171801 (2019).

M. Sholapurkar, Phys. Rev. X 12, 011009 (2022);

64.

Z.-H. Lei, J. Tang, and B.-L. Zhang, Chin. Phys. C

arXiv: 2011.13939.

46, 085103 (2022); arXiv: 2008.07116.

35.

M. Baryakhtar, A. Berlin, H. Liu, and N. Weiner,

65.

C. Xia, Y.-H. Xu, and Y.-F. Zhou, Nucl. Phys. B 969,

JHEP 2206, 047 (2022); arXiv: 2006.13918.

115470 (2021); arXiv: 2009.00353.

36.

A. Majumdar, D. K. Papoulias, and R. Srivastava,

66.

C. V. Cappiello and J. F. Beacom, Phys. Rev. D

arXiv: 2112.03309.

100, 103011 (2019); arXiv: 1906.11283; Phys. Rev.

37.

G. Afek, D. Carney, and D. C. Moore, Phys. Rev.

D 104, 069901 (Erratum) (2021).

Lett. 128, 101301 (2022); arXiv: 2111.03597.

67.

Y. Ema, F. Sala, and R. Sato, Phys. Rev. Lett. 122,

38.

G. F. Giudice, D. Kim, J.-C. Park, and S. Shin,

181802 (2019); arXiv: 1811.00520.

Phys. Lett. B 780, 543 (2018); arXiv: 1712.07126.

68.

J. B. Dent, B. Dutta, J. L. Newstead, and

39.

J.-W. Wang, A. Granelli, and P. Ullio, Phys. Rev.

I. M. Shoemaker, Phys. Rev. D 101, 116007 (2020);

Lett. 128, 221104 (2022); arXiv: 2111.13644.

arXiv: 1907.03782.

40.

J.-C. Feng, X.-W. Kang, C.-T. Lu, Y.-L. S. Tsai,

69.

X. Cui et al., Phys. Rev. Lett. 128, 171801 (2022);

and F.-S. Zhang, JHEP 2204, 080 (2022); arXiv:

arXiv: 2112.08957.

2110.08863.

70.

P. Gondolo and J. Silk, Phys. Rev. Lett. 83, 1719

41.

T. Emken, J. Frerick, S. Heeba, and F. Kahlhoefer,

(1999); arXiv: astro-ph/9906391.

Phys. Rev. D

105,

055023

(2022); arXiv:

71.

K. Agashe, Y. Cui, L. Necib, and J. Thaler, JCAP 10,

2112.06930.

062 (2014); arXiv: 1405.7370.

42.

A. Granelli, P. Ullio, and J.-W. Wang, arXiv:

72.

C. Kouvaris, Phys. Rev. D 92, 075001 (2015); arXiv:

2202.07598.

1506.04316.

43.

A. Filimonova, S. Junius, L. Lopez Honorez,

73.

H. An, M. Pospelov, J. Pradler, and A. Ritz, Phys.

and S. Westhoff, JHEP 2206, 048 (2022); arXiv:

Rev. Lett. 120, 141801 (2018); arXiv: 1708.03642;

2201.08409.

Phys. Rev. Lett. 121, 259903 (Erratum) (2018).

44.

N. F. Bell, J. B. Dent, B. Dutta, J. Kumar, and

74.

T. Emken, C. Kouvaris, and N. G. Nielsen, Phys.

J. L. Newstead, arXiv: 2208.08020.

Rev. D 97, 063007 (2018); arXiv: 1709.06573.

45.

S. Tsuchida, N. Kanda, Y. Itoh, and M. Mori, Phys.

Rev. D 101, 023005 (2020); arXiv: 1909.00654.

75.

C. Xia, Y.-H. Xu, and Y.-F. Zhou, arXiv:

2206.11454.

46.

A. Coskuner, T. Trickle, Z. Zhang, and K. M. Zurek,

76.

R. Xu et al., arXiv: 2201.01704.

Phys. Rev. D

105,

015010

(2022); arXiv:

77.

S. Bhowmick, D. Ghosh, and D. Sachdeva, arXiv:

2102.09567.

2301.00209.

47.

E. E. Boos, V. E. Bunichev, and S. S. Trykov, arXiv:

78.

W. Wang, L. Wu, J. M. Yang, H. Zhou, and B. Zhu,

2205.07364.

JHEP 2012, 072 (2020); arXiv: 1912.09904; JHEP

48.

V. V. Flambaum, B. T. McAllister, I. B. Samsonov,

2102, 052 (Erratum) (2021).

and M. E. Tobar, arXiv: 2207.14437.

79.

G. Elor, R. McGehee, and A. Pierce, arXiv:

49.

X. Fan, G. Gabrielse, P. W. Graham, R. Harnik,

T. G. Myers, H. Ramani, B. A. D. Sukra,

2112.03920.

S. S. Y. Wong, and Y. Xiao, arXiv: 2208.06519.

80.

P.-K. Hu, A. Kusenko, and V. Takhistov, Phys. Lett.

50.

C. Blanco, R. Essig, M. Fernandez-Serra,

B 768, 18 (2017); arXiv: 1611.04599.

H. Ramani, and O. Slone, arXiv: 2208.05967.

81.

L. Singh et al., Phys. Rev. D 99, 032009 (2019);

51.

J. Billard, M. Pyle, S. Rajendran, and H. Ramani,

arXiv: 1808.02719.

arXiv: 2208.05485.

82.

Y. Cui, D. E. Morrissey, D. Poland, and L. Randall,

52.

H. M. Ara ´ujo et al., arXiv: 2207.08284.

JHEP 0905, 076 (2009); arXiv: 0901.0557.

53.

D. Bardhan, S. Bhowmick, D. Ghosh, A. Guha, and

83.

S. Kang, S. Scopel, and G. Tomar, Phys. Rev. D 99,

D. Sachdeva, arXiv: 2208.09405.

103019 (2019); arXiv: 1902.09121.

54.

G. Krnjaic et al., arXiv: 2207.00597.

84.

N. F. Bell, J. B. Dent, B. Dutta, S. Ghosh, J. Kumar,

55.

A. Fuss, M. Kaznacheeva, F. Reindl, and F. Wagner,

J. L. Newstead, and I. M. Shoemaker, Phys. Rev. D

arXiv: 2202.05097.

104, 076020 (2021); arXiv: 2108.00583.

56.

E. Armengaud et al., arXiv: 2203.03993.

85.

J. L. Feng, arXiv: 2212.02479.

57.

H. Lattaud et al., PoS V.EPS-HEP2021,

153

86.

V. A. Bednyakov and D. V. Naumov, Phys. Rev. D

(2022).

98, 053004 (2018); arXiv: 1806.08768.

58.

E. Armengaud et al., Phys. Rev. D 99, 082003

87.

V. A. Bednyakov and D. V. Naumov, Phys. Part.

(2019); arXiv: 1901.03588.

Nucl. Lett. 16, 638 (2019); arXiv: 1904.03119.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023

726

БЕДНЯКОВ

88.

V. A. Bednyakov and D. V. Naumov, Phys. Part.

100. R. Sahu, V. K. B. Kota, and T. S. Kosmas, Particles

Nucl. 52, 39 (2021); arXiv: 2021.0000.

4, 75 (2021); arXiv: 2009.10522.

89.

V. A. Bednyakov, D. V. Naumov, and I. V. Titkova,

101. R. H. Helm, Phys. Rev. 104, 1466 (1956).

Phys. At. Nucl. 84, 314 (2021).

90.

V. A. Bednyakov, Phys. Part. Nucl. 54, 273 (2023);

102. P. F. Smith and J. D. Lewin, Phys. Rept. 187, 203

arXiv: 2023.11201.

(1990).

91.

J. D. Lewin and P. F. Smith, Astropart. Phys. 6, 87

103. V. Bednyakov and H. Klapdor-Kleingrothaus, Phys.

(1996).

Part. Nucl. 40, 583 (2009); arXiv: 0806.3917.

92.

V. A. Bednyakov, Phys. Part. Nucl. 52, 847 (2021).

93.

J. D. Vergados, J. Phys. G 22, 253 (1996); hep-

104. R. Bernabei et al., arXiv: 2209.00882.

ph/9504320.

105. V. A. Bednyakov, arXiv: 2305.02050.

94.

L. Baudis, Phys. Dark Univ. 1, 94 (2012); arXiv:

106. C. McCabe, JCAP

05,

033

(2016); arXiv:

1211.7222.

95.

M. Tanabashi et al., Phys. Rev. D 98, 030001

1512.00460.

(2018).

107. L. Baudis, G. Kessler, P. Klos, R. F. Lang,

96.

N. W. Evans, C. A. J. O’Hare, and C. McCabe, Phys.

J. Men ´endez, S. Reichard, and A. Schwenk, Phys.

Rev. D 99, 023012 (2019); arXiv: 1810.11468.

Rev. D 88, 115014 (2013); arXiv: 1309.0825.

97.

C. A. J. O’Hare, C. McCabe, N. W. Evans,

G. Myeong, and V. Belokurov, Phys. Rev. D 98,

108. E. Aprile et al., Phys. Rev. D 103, 063028 (2021);

103006 (2018); arXiv: 1807.09004.

arXiv: 2011.10431.

98.

V. A. Bednyakov, Phys. Part. Nucl. 54, 803 (2023);

109. T. W. Donnelly and J. D. Walecka, Ann. Rev. Nucl.

arXiv: 2303.10943.

Part. Sci. 25, 329 (1975).

99.

R. Sahu, D. K. Papoulias, V. K. B. Kota, and

110. B. Dutta, W.-C. Huang, J. L. Newstead, and

T. S. Kosmas, Phys. Rev. C 102, 035501 (2020);

arXiv: 2004.04055.

V. Pandey, arXiv: 2206.08590.

ON IMPORTANCE OF THE INELASTIC INTERACTIONS

IN THE DIRECT DARK MATTER SEARCH

V. A. Bednyakov¹⁾

¹⁾Dzhelepov Laboratory of Nuclear Problems, JINR, 141980, Dubna, Russia

Based on the previously proposed description of weakly interacting massive particles’ scattering off nuclei

explicit expressions are obtained for the event rates expected in experiments aimed at direct detection

of dark matter (DM) particles. These expressions allow one to estimate the rates taking into account

simultaneously elastic (coherent) and inelastic (incoherent) channels of DM particle interaction with target

nucleus. For the first time in this approach nonzero nuclear excitation energies are used in the calculation

of the inelastic scattering contributions. A strong correlation between the excitation energy and the recoil

energy of the excited nucleus limits the possibility of the inelastic channel detection with a number of

nuclei. Together with the standard model of the DM distribution in the Galaxy some other models are

considered, which allow higher velocities of the DM particle. As the recoil energy of the nucleus, T_A,

increases, the dominance of the elastic interaction channel is smoothly replaced by the dominance of the

inelastic one. Therefore, if a DM detector is set up to detect only elastic scattering events, it starts to lose

capability of “seeing” anything. The only way to “notice” the interaction remains the γ radiation from

the deexcitation of the target nucleus. In the case of spin-independent DM interaction, as T_A increases,

the inelastic contribution quickly dominates, while the observable differential event rate decreases quite

insignificantly. If the DM particle interacts with (zero-spin) nuclei only spin-dependently, the detectors

focused on registration of the elastic spin-dependent DM signal will see nothing, since the entire signal

“goes through” the inelastic channel. It looks like the desired DM interaction could have a noticeable

intensity, but the DM detector is unable to detect it. Therefore, a setup aimed at the direct DM detection

should register two signals. The first is the nuclear recoil energy and the second is the γ-quanta with a

certain energy from the target nucleus deexitation. The experiment will provide the complete information

about the DM interaction.

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА том 86

№6

2023