Астрономический журнал, 2023, T. 100, № 10, стр. 898-917

3.1. Радиационные силы

Прямое световое давление, экспериментально открытое П.Н. Лебедевым [16], – это давление, которое оказывает световое (и вообще электромагнитное) излучение, падающее на поверхность тела. Возмущающее ускорение, вызванное влиянием светового давления, зависит не только от массы и положения облучаемого тела, но и от его размеров, формы, температуры и отражающих свойств его поверхности, а также от ориентации тела в световом потоке. Существенным параметром является так называемая “парусность”, т.е. отношение площади поперечного (к потоку лучей) сечения тела к массе последнего. Этот параметр достигает высоких значений, например, для мельчайших пылевых и микрометеоритных частиц Солнечной системы и для протяженных отражающих искусственных конструкций типа зеркальных солнечных парусов, околоземных спутников-баллонов, орбитальных отражателей и т.п.

Другим проявлением влияния радиационных сил является эффект Пойнтинга-Робертсона [16], благодаря которому происходит медленное вековое спиральное приближение частицы к Солнцу. Это вызывает ее выгорание и постепенное увеличение “парусности”. За этим следует резкое прямолинейное выметание остатков выгоревшей частицы из Солнечной системы под действием прямого давления солнечной радиации. Как показано в [17], этот эффект оказывается важным и для объектов КМ с умеренным и большим ОПМ, поскольку вызывает вековое уменьшение большой полуоси орбиты.

Согласно [18], в системе координат с началом в центре масс Солнца радиационные силы, действующие на КО сферической формы, можно представить в виде

где $c$ – скорость света, $\Phi $ – функция тени, P = = 4.56 × 10^–8 Н/м² – солнечная постоянная; $k$ – постоянная, характеризующая отражающие свойства объекта ($k = 1.0$ соответствует зеркальному отражению, $k = 1.44$ – полному диффузному рассеиванию); ${{a}_{E}}$ – большая полуось орбиты Земли; $A$ – площадь миделева сечения, отнесенного к плоскости, перпендикулярной x-вектору положения объекта относительно Солнца; |x| – расстояние между объектом и Солнцем; $m$ – масса исследуемого объекта. Первая составляющая в (1) отвечает за прямое световое давление (эффект Лебедева), вторая – за эффект Пойнтинга-Робертсона.

Поскольку в дальнейшем коэффициент $kA{\text{/}}m$ часто используется, введем обозначение $\gamma = kA{\text{/}}m$.

3.2. Интегратор

Для исследования влияния радиационных сил на движение объекта с большим ОПМ использован высокоточный программный комплекс “Численная модель движения систем ИСЗ” [19], разработанный в Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики Томского государственного университета (Н-ИИПММ ТГУ).

В модель сил комплекса [19] включены следующие составляющие: гравитационное поле Земли (модель EGM2008, гармоники геопотенциала до 30-го порядка и степени включительно), притяжение Солнца, Луны, всех планет и Плутона (с использованием фонда больших планет DE/LE421), гармоники селенопотенциала до 2‑го  порядка и степени включительно (модель LP150Q), приливы в теле Земли, океанические и полюсной приливы, радиационные силы, сопротивление атмосферы (модель атмосферы NRL-MSISE-00, коэффициент лобового сопротивления 2.0), релятивистские эффекты (шварцшильдовские возмущения, эффекты Лензе–Тирринговой прецессии, релятивистские квадрупольные члены). Уравнения движения проинтегрированы методом Эверхарта 19-го порядка с автоматическим выбором шага.

Со стороны радиационных сил комплекс [19] учитывает возмущения от светового давления и эффекта Пойнтинга-Робертсона, при этом используется конусная модель светового давления с тенью и полутенью, и принято, что тело имеет сферическую форму, т.е. отношение площади к массе $A{\text{/}}m$ постоянно.

Постоянство $A{\text{/}}m$ обычно обосновывается тем, что действие светового давления на объекты несферической формы (что практически всегда справедливо для больших ОПМ) на продолжительных интервалах времени усредняется. На малых временах это предположение не работает. Но моделирование тела в виде сферически-симметричного тела с постоянным отношением площади к массе должно приводить к максимальному проявлению эффектов со стороны радиационных сил, что следует из исследования [15], в котором приведено сравнение орбитальной эволюции трех моделей КО: гибкая деформируемая мембрана, твердое сферическое тело и плоская жесткая пластина, и получено, что орбитальная эволюция сферического тела демонстрирует самый высокий вековой тренд эксцентриситета и наибольшую амплитуду вариаций наклонения.

3.3. Численное моделирование орбит

При моделировании рассмотрены два варианта: с коэффициентом отражения поверхности спутника $k$, равным 1.0 и 1.44. Для каждого $k$ принимались значения $A{\text{/}}m$ из списка (0.01, 1.0, 10.0, 25.0, 50.0, 75.0, 100.0, 125.0) м²/кг, так как согласно [5] по наблюдениям 2016–2017 гг. имелись объекты с $A{\text{/}}m$ ~ 70 м²/кг, а по более новым данным [6] уже обнаружен объект с $A{\text{/}}m > 100$ м²/кг (рис. 1).

Таким образом, для каждого модельного объекта получены 16 вариантов прогнозируемых положений (координат и скоростей в инерциальной геоцентрической системе) с учетом радиационных сил (далее “возмущенное” положение) и 16 без их учета (“невозмущенное” положение) на интервале времени 1 год (с 0^h 0^m 0.0^s 1 июня 2018 г. по 0^h 0^m 0.0^s 1 июня 2019 г.) с шагом выдачи 5 мин.

Затем между соответствующими возмущенным и невозмущенным положениями объекта вычислено угловое расстояние $\theta $ для каждой точки, и найдены максимальные значения ${{\theta }_{{\max }}}$ в течение заданных периодов времени, а также количество дней, в течение которых $\theta $ не превышает $5\prime $, $45\prime $ и $3^\circ $, что соответствует полям зрения различных телескопов.

Угловое расстояние $\theta $ вычислялось относительно подспутниковой точки КО, находящегося в возмущенном положении. Все координатные преобразования и определение расстояний $\theta $ выполнялись с помощью средств библиотеки astropy.coordinates [20], при этом Земля принималась в виде эллипсоида WGS84. Кроме того, этот астрономический пакет позволил определить угловое расстояние между двумя точками с известными геоцентрическими координатами как проекциями на небесную сферу по дуге большого круга.

Также найдены максимальные в течение времени интегрирования изменения большой полуоси $a$, эксцентриситета $e$ и наклона $i$ орбиты под влиянием радиационных сил при различных значениях коэффициента $\gamma $.

3.4. Оценка ошибки округления

В процессе численного интегрирования накапливается ошибка округления, которая оценена путем интегрирования на 1 год вперед и обратно орбит 20 модельных объектов с наименьшим и наибольшим значениями эксцентриситета при данной ${{a}_{0}}$ (табл. 1) и, дополнительно, орбиты объекта № 54 – единственного объекта, для которого при $\gamma = 180.0$ м²/кг проведено интегрирование на протяжении 1 года.

Введем обозначения: $r$ – радиус-вектор модельного объекта от центра Земли; нижний индекс “0” соответствует невозмущенной орбите, “1” – возмущенной; верхний индекс “0” – исходное положение в начальный момент, “’1” – вычисленное положение в начальный момент после численного интегрирования на 1 год вперед и обратно, выполненном с параметрами $k = 1.0$, $A{\text{/}}m = 0.01$, “2” – то же при максимальном значении коэффициента $\gamma $, для которого интегрирование проведено на протяжении 1 года (это значение указано в последнем столбце табл. 3).

В начальный момент интегрирования возмущенной и невозмущенной орбит координаты и скорость объекта одинаковые, следовательно $r_{0}^{0} = r_{1}^{0}$, пространственное расстояние ${{D}^{0}} = 0$. При обратном интегрировании за счет накопления ошибок округления на начальный момент времени получены координаты и скорости, отличные от исходных. Сравним их и вычислим следующие величины: $dr_{0}^{1} = \left| {{\mathbf{r}}_{0}^{1} - {\mathbf{r}}_{0}^{0}} \right|$, $dr_{1}^{1} = \left| {{\mathbf{r}}_{1}^{1} - {\mathbf{r}}_{1}^{0}} \right|$, $dr_{0}^{2} = \left| {{\mathbf{r}}_{0}^{2} - {\mathbf{r}}_{0}^{0}} \right|$, $dr_{1}^{2} = \left| {{\mathbf{r}}_{1}^{2} - {\mathbf{r}}_{1}^{0}} \right|$, $d{{D}^{1}} = {{D}^{1}} - {{D}^{0}}$, $d{{D}^{2}} = $ $ = {{D}^{2}} - {{D}^{0}}$ (см. табл. 3). Поскольку $r_{0}^{1} = r_{0}^{2}$ (невозмущенное положение не зависит от $k$ и $A{\text{/}}m$), то $dr_{0}^{1} = dr_{0}^{2}$, поэтому в табл. 3 приведены значения только для $dr_{0}^{1}$.

Для оценки влияния ошибки округления на положение объекта на небесной сфере также вычислены угловые расстояния ${{\theta }^{1}}$, ${{\theta }^{2}}$, соответствующие расстояниям $d{{D}^{1}}$ и $d{{D}^{2}}$, относительно подспутниковой точки.

Анализируя табл. 3, получим, что максимально возможная ошибка вычисления углового расстояния составила $ \sim {\kern 1pt} 2.8''$, учитывая, что в результате интегрирования на 1 год вперед и обратно накопленная ошибка округления в 2 раза больше, чем при интегрировании только вперед. Таким образом, указанные параметры модели возмущающих сил обеспечивают необходимую для решения задачи точность прогнозирования движения объектов.

4.1. Эволюция большой полуоси, эксцентриситета и наклона

На рис. 2 приведены максимальные в течение времени интегрирования изменения (по модулю) большой полуоси a, эксцентриситета e и наклона i орбиты под влиянием радиационных сил при различных значениях коэффициента $\gamma $. При $\gamma \leqslant 50$ м²/кг прослеживается увеличение дрейфа $a$, $e$ и $i$ с ростом $\gamma $. Отсутствие дальнейшего роста дрейфа связано с уменьшением времени жизни на орбите объектов с большей парусностью. Наблюдается тенденция увеличения дрейфа большой полуоси и наклона с ростом ${{e}_{0}}$ при одинаковых значениях ${{a}_{0}}$. Зависимость амплитуды колебаний эксцентриситета от ${{e}_{0}}$ при малых $\gamma $ не так однозначна, но при больших $\gamma $ заметно уменьшение $\left| {d{{e}_{{\max }}}} \right|$ с ростом ${{e}_{0}}$.

Для всех объектов получен отрицательный дрейф большой полуоси (см. рисунки ниже). Скорость этого дрейфа разная для различных объектов, но для всех КО она растет с увеличением $\gamma $.

Изменение эксцентриситета под влиянием радиационных сил происходит согласно трем вариантам:

1. Сначала увеличение, затем уменьшение, при этом разность возмущенного и невозмущенного эксцентриситетов практически не переходит в область отрицательных значений (рис. 3, верхняя панель);

2. Похож на 1-й вариант, но возмущенный эксцентриситет может быть значительно меньше невозмущенного (рис. 3, средняя панель);

3. Сначала уменьшение, затем увеличение (рис. 3, нижняя панель).

Графики в левой части рис. 3 иллюстрируют простую реализацию, но в некоторых случаях может быть более сложный характер зависимости $de(t)$, как показано на рис. 3, справа. Первый вариант чаще всего реализуется в случае малого эксцентриситета в начальную эпоху. Во всех случаях изменение эксцентриситета тем значительней, чем больше $\gamma $. При достижении эксцентриситетом такого значения, при котором орбита пересекалась с плотными слоями атмосферы или Землей, интегрирование прерывалось.

Под действием радиационных сил происходит также изменение наклона орбиты (рис. 9, 10, 11). Небольшие вариации наклона (в пределах $5^\circ $) в течение времени интегрирования при всех значениях $\gamma $ продемонстрировали модели № 1, 2, 4, 6, 9, 10, 11, 17, 20, 24, 33, 60 и 77. В пределах $10^\circ $ изменяется наклон орбит объектов № 3, 5, 14, 15, 16, 19, 23, 34, 37, 44, 50, 58 и 67. При некоторых значениях $\gamma $ (как правило, $ \geqslant \,50$ м²/кг) амплитуда $di(t)$ превышает $10^\circ $, но менее $20^\circ $ у моделей с номерами 7, 8, 12, 13, 21, 27, 28, 29, 30, 35, 38, 39, 41, 45, 47, 53, 56, 66, 69, 74. У всех объектов с большими полуосями (a₀ = 10 000, 15  000 и 20  000 км) вариации наклона не превышают $15^\circ $ (рис. 2).

Для объектов № 18, 22, 25, 31, 40, 42, 43, 48, 49, 51, 55, 57, 61, 62, 63, 64, 65, 68, 70, 71, 75 и 78 $\left| {d{{i}_{{\max }}}} \right|$ в отдельных случаях (как правило, при $\gamma \geqslant 25$ м²/кг) принимает значения до $45^\circ $ (см. рис. 2). У ряда объектов (№ 26, 32, 36, 46, 59, 72, 76) при больших $\gamma $ изменение наклона достигает значительных величин, от $46^\circ $ до $85^\circ $, а для моделей № 52, 54 и 73 $d{{i}_{{\max }}} > 100^\circ $ при $\gamma = 180$ м²/кг. Это говорит о возможности флипов плоскости орбиты [14] (т.е. переходов от прямого движения с наклонением $i < 90^\circ $ к обратному с наклонением $i > 90^\circ $ и обратно), обусловленных световым давлением, даже на малых интервалах времени при $\gamma \geqslant 50$ м²/кг.

4.2. Поведение ${{\theta }_{{\max }}}$

Рисунки 4, 5 содержат информацию по всем 78 модельным объектам, расположенным в зависимости от начальных значений большой полуоси ${{a}_{0}}$ и эксцентриситета ${{e}_{0}}$ (табл. 2), для 16 значений $\gamma $. На рис. 4 приведены максимальные угловые расстояния ${{\theta }_{{\max }}}$ между положениями объектов, определенными с учетом и без учета возмущений со стороны радиационных сил, в течение одних, двух и трех суток. Рисунок 5 демонстрирует временны́е интервалы, в течение которых максимальное угловое расстояние ${{\theta }_{{\max }}}$ не превышает $5\prime $, $45\prime $ и $3^\circ $. В дальнейшем, при изложении результатов уделено большое внимание превышению ${{\theta }_{{\max }}}$ трех градусов, поскольку это сигнализирует о возможности выхода прогнозируемого положения КО за пределы поля зрения даже широкоугольных обзорных телескопов.

На рис. 6 для каждого модельного объекта, расположенного в координатных осях ($\gamma $, ${{e}_{0}}$) при различных значениях ${{a}_{0}}$, приведено количество времени, в течение которого проводилось численное интегрирование. Если интегрирование было успешно в течение 1 года, то маркер на рис. 6 имеет темно-синий цвет. В остальных случаях работа программы была прервана в связи с падением объекта на Землю.

На рис. 4–6 цвет маркера соответствует интервалу значений, указанному на шкале справа, а размер маркера пропорционален иллюстрируемой величине, причем на верхней шкале (над рисунком) изображены соотношения размеров маркеров граничным значениям из правой (цветовой) шкалы. Единицы измерения значений обеих шкал совпадают и указаны на боковой шкале справа.

На рис. 7 приведены максимальные значения $\gamma $, при которых ${{\theta }_{{\max }}} \leqslant 3^\circ $ в течение одного, двух и трех дней.

4.2.1. Влияние коэффициента отражения k. Велико влияние коэффициента отражения $k$, которое покажем на примере модели № 13: при $A{\text{/}}m = 1.0$ м²/кг и $k = 1.0$ – ${{\theta }_{{\max }}} = 3.671\prime $, $6.468\prime $, $8.379\prime $ и $9.613\prime $ через 1, 2, 3 и 5 дней соответственно, а при $A{\text{/}}m = 1.0$ м²/кг и $k = 1.44$ – ${{\theta }_{{\max }}} = 47.558\prime $, $83.832\prime $, $108.631\prime $ и $124.707\prime $ (рис. 4).

Таким образом, неверное моделирование отражающих свойств поверхности объекта может сильно сказаться на достоверности прогнозируемого положения.

4.2.2. Сравнение ${{\theta }_{{max}}}$ при близких значениях γ. Также сравним ${{\theta }_{{\max }}}$ при близких значениях $\gamma $: 72.0 и 75.0 м²/кг, 100 и 108 м²/кг, отличие которых составляет 4.167 и 8.0% соответственно. В табл. 4 для об-ъектов № 26 (${{a}_{0}} = 30{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км, ${{e}_{0}} = 0.001$), № 30 (${{a}_{0}} = 30{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км, ${{e}_{0}} = 0.4$), № 70 (${{a}_{0}} = 55{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км, ${{e}_{0}} = 0.001$), № 74 (${{a}_{0}} = 55{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км, ${{e}_{0}} = 0.4$) и № 77 (${{a}_{0}} = 55{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км, ${{e}_{0}} = 0.7$) представлены значения ${{\theta }_{{\max }}}$ (в угловых минутах) в течение одних, двух, трех, пяти и семи суток (для каждой модели, 1, 2, 3, 4 и 5 строка соответственно), а также абсолютное $\Delta {{\theta }_{{\max }}}$ и относительное $\delta {{\theta }_{{\max }}}$ изменения ${{\theta }_{{\max }}}$ с ростом $\gamma $. Видим, что ${{\theta }_{{\max }}}$ увеличивается примерно на тот же процент, что и $\gamma $, но $\delta {{\theta }_{{\max }}}$ имеет тенденцию уменьшаться со временем, а также с ростом ${{e}_{0}}$.

Далее представлен комплексный анализ рис. 4, 5, 6 и 7 для каждого значения ${{a}_{0}}$. В скобках указаны номера моделей по табл. 2.

4.2.3. Большая полуось a₀ = 10 000 км (№ 1–4). При ${{e}_{0}} = 0.001$ время интегрирования (рис. 6) резко уменьшается для объектов с $\gamma \geqslant 100$ м²/кг, для которых под влиянием радиационных сил эксцентриситет быстро растет, в результате чего уменьшается перигейное расстояние, и объекты входят в плотные слои атмосферы. При $\gamma $ до 75 м²/кг имеет место волнообразное изменение эксцентриситета, причем амплитуда колебаний увеличивается с ростом $\gamma $ (вариант 1, см. п. 4.1). При ${{e}_{0}} = 0.1$ и 0.3 эксцентриситет под действием радиационных сил сначала уменьшается, а затем увеличивается (поведение 3-го типа), в то время как при ${{e}_{0}} = 0.2$ наблюдается рост разности эксцентриситетов $de$ орбит, вычисленных с учетом и без учета радиационных сил, в течение всего времени интегрирования (рис. 8, № 3).

Смещение возмущенного положения от невозмущенного быстро растет с увеличением $\gamma $ и со временем (рис. 4, 5). На рис. 7 видим, что если в течение первых суток ${{\theta }_{{\max }}}$ не превышает 3° при максимуме $\gamma $ от 14.4 м²/кг (для высокоэллиптических орбит с ${{e}_{0}} = 0.3$) до 75 м²/кг (при средних значениях ${{e}_{0}}$), то в течение трех суток ${{\theta }_{{\max }}} \leqslant 3^\circ $ для моделей с ${{e}_{0}} = 0.001$ и 0.3 при $\gamma \leqslant 1.44$ м²/кг, а с ${{e}_{0}} = 0.1$ и 0.2 при $\gamma \leqslant 14.4$ и 10.0 м²/кг соответственно. Таким образом, объекты на орбитах с большими и малыми эксцентриситетами требуют более частых наблюдений, чем при средних ${{e}_{0}}$. Кроме того, на рис. 6 видим, что время жизни на орбите объектов с $\gamma \geqslant 100$ м²/кг увеличивается с ростом ${{e}_{0}}$, т.е. при периоде обращения ~3 ч они могут многократно пересекать орбиты низкоорбитальных КО в ОКП, прежде чем сгорят в атмосфере Земли.

4.2.4. Большая полуось a₀ = 15 000 км (№ 5–10). Наибольшим временем жизни (рис. 6) обладают объекты при ${{e}_{0}} = 0.2$ и 0.3. При $\gamma \geqslant 14.4$ м²/кг и ${{e}_{0}} = 0.4$, 0.5 продолжительность интегрирования быстро убывает с ростом $\gamma $ и составляет менее 1 мес при $\gamma \geqslant 72.0$ м²/кг. При малых ${{e}_{0}}$ объекты с большой парусностью “живут” значительно дольше, чем в случаях высокоэллиптических орбит. В целом поведение $de$ протекает по первому варианту у объектов № 5 (рис. 3), 6, 9, по второму – у КО № 7 и 10, по третьему – у модели № 8.

Рисунок 7 демонстрирует ${{\theta }_{{\max }}}$ в пределах 3° через трое суток у моделей со средним эксцентриситетом (${{e}_{0}} = 0.2$ и 0.3) при $\gamma \leqslant 36.0$ м²/кг, в то время как у низкоэллиптических при $\gamma \leqslant $ ≤ 14.4 м²/кг, а у высокоэллиптических при $\gamma \leqslant $ ≤ 1.44 м²/кг. Таким образом, в данном случае объекты с большим временем жизни имеют также более медленный темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$.

4.2.5. Большая полуось a₀ = 20 000 км (№ 11–17). Согласно рис. 6 наиболее стабильными оказались орбиты с ${{e}_{0}} = 0.4$ (модель № 15), а самыми короткоживущими при ${{e}_{0}} = 0.6$ (№ 17), хотя изменение эксцентриситета для обеих моделей происходит по сценарию 2-го типа, но для объекта № 15 в начале периода интегрирования $e$ сначала растет, затем уменьшается, а потом снова растет. Эксцентриситет орбит объектов № 11, 13, 14 изменяется по первому варианту, у КО № 12 и 16 – по третьему.

Самый быстрый темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$ в зависимости от $\gamma $ наблюдается для объекта с ${{e}_{0}} = 0.3$, а самый медленный у модели с ${{e}_{0}} = 0.1$, у которой ${{\theta }_{{\max }}}$ остается в пределах $3^\circ $ в течение трех суток при $\gamma \leqslant 108.0$ м²/кг (рис. 7). Модели № 11 с $\gamma \leqslant 25.0$ м²/кг, № 13, 17 с $\gamma \leqslant 14.4$ м²/кг, № 15, 16 с $\gamma \leqslant 10.0$ м²/кг и № 14 с $\gamma \leqslant 1.44$ м²/кг также имеют ${{\theta }_{{\max }}} \leqslant 3^\circ $ в течение трех суток. В целом при данной ${{a}_{0}}$ низкоэллиптические модели смещаются под влиянием радиационных сил медленнее, чем средне- и высокоэллиптические.

4.2.6 Большая полуось a₀ = 25 000 км (№ 18–25). Изменение эксцентриситета 1-го типа наблюдается у моделей № 18, 19 и 20; вариант 2 – у КО № 21, 22 (рис. 3), 24; третий вид $de(t)$ – у объектов № 23 и 25. Во всех случаях наблюдается увеличение скорости дрейфа большой полуоси по сравнению с меньшими ${{a}_{0}}$, а также сокращение времени достижения ${{\theta }_{{\max }}} = 3^\circ $, особенно у моделей с высокоэллиптическими орбитами.

Анализ рис. 4, 5, 7 дает, что в течение трех суток ${{\theta }_{{\max }}}$ не превысит $3^\circ $ для моделей:

• с ${{e}_{0}} = 0.7$ при $\gamma \leqslant 0.0144$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.5$ при $\gamma \leqslant 1.44$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.4$ при $\gamma \leqslant 10.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.001,\;0.1,\;0.2$ и $0.6$ при $\gamma \leqslant 14.4$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.3$ при $\gamma \leqslant 25.0$ м²/кг.

Самый медленный темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$ в зависимости от $\gamma $ наблюдается для объекта с ${{e}_{0}} = 0.3$ (№ 21), а самый быстрый при ${{e}_{0}} = 0.7$ (№ 25). При этом у объекта № 25 наиболее стабильные орбиты (рис. 6), только при $\gamma \geqslant 125.0$ м²/кг интегрирование продолжалось менее 1 года. На рис. 8 (№ 25) показано, как изменяется эксцентриситет под действием радиационных сил, и видно, что при средних $\gamma $ (от 25 до 75 м²/кг) эксцентриситет значительно уменьшается, и при 50.0 м²/кг в середине периода интегрирования орбита становится практически круговой. Таким образом, за короткий промежуток времени высота над уровнем моря этих объектов изменяется в значительных пределах, захватывая области от низкоорбитальной до геостационарной.

4.2.7. Большая полуось a₀ = 30 000 км (№ 26–33). Рисунок 6 демонстрирует более длительное время жизни на орбите у объектов № 26, 27, 31 и 32. Это связано со сложной эволюцией эксцентриситета, зависимость от времени которого имеет либо фазу снижения, либо плато. У остальных объектов с продолжительностью интегрирования менее 1 года фаза снижения эксцентриситета либо отсутствует, либо очень короткая, в начале периода интегрирования, а затем быстрый рост. В целом по первому сценарию протекает эволюция эксцентриситета у объекта № 26; по второму – № 27, 29 и 33; по третьему – № 28, 30, 31 и 32. На рис. 9 показано, как изменяются большая полуось, эксцентриситет и наклон орбиты КО № 32 под действием радиационных сил при различных $\gamma $. Особенно примечательна эволюция элементов при $\gamma = 180.0$ м²/кг, так как для данного объекта продолжительность интегрирования составила 347 сут.

Снова прослеживается тенденция увеличения ${{\theta }_{{\max }}}$ с ростом ${{e}_{0}}$ для объектов с большой парусностью. Для моделей с ${{e}_{0}} \geqslant 0.3$ в пределах $3^\circ $ сохраняется ${{\theta }_{{\max }}}$ только при $\gamma \leqslant 1.44$ м²/кг, кроме объекта № 30 (${{e}_{0}} = 0.4$), для которого $\gamma \leqslant 10.0$ м²/кг. При меньших начальных эксцентриситетах, согласно рис. 7, отмечаются более высокие значения максимумов $\gamma $ (36, 50 и 14.4 м²/кг при ${{e}_{0}} = 0.001$, 0.1 и 0.2 соответственно).

4.2.8. Большая полуось a₀ = 35 000 км (№ 34–42). Как видно на рис. 6, наиболее стабильными являются орбиты с ${{e}_{0}} = 0.1$, 0.2 и 0.8 (№ 35, 36 и 42 соответственно). Поведение $de$ этих объектов, а также № 41, соответствует варианту 3. Модель № 36 выделяется большим временем жизни при $\gamma = 180.0$ м²/кг, картина зависимости $de(t)$ для нее качественно такая же, как у модели № 32 (рис. 9). По сценарию 2 изменяется эксцентриситет моделей № 37, 38 и 40; по первому сценарию – № 34 и 39.

Время достижения ${{\theta }_{{\max }}} = 3^\circ $ продолжает сокращаться. Темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$ в зависимости от $\gamma $ увеличивается с эксцентриситетом ${{e}_{0}}$. Для высокоэллиптических орбит с ${{e}_{0}} = 0.8$ смещение превысит $3^\circ $ через 3 дня при $\gamma \geqslant 1.0$ м²/кг, а с ${{e}_{0}} = 0.5$, 0.6 и 0.7 – при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг, в то время как при ${{e}_{0}} \leqslant 0.4$ на протяжении трех суток ${{\theta }_{{\max }}} \leqslant 3^\circ $ для моделей с $\gamma $ от 10.0 до 25.0 м²/кг (рис. 7).

Таким образом, объекты на орбитах с большим эксцентриситетом требуют постоянного мониторинга даже при малых ОПМ ~1 м²/кг, тем более что в данном случае они имеют довольно продолжительное время жизни.

4.2.9. Большая полуось a₀ = 40 000 км (№ 43–51). Наибольшее время жизни у модели № 48 с ${{e}_{0}} = 0.5$ (рис. 6), только при $\gamma \geqslant 125.0$ м²/кг интегрирование продолжалось менее 1 года. На рис. 3 можно заметить синусообразное поведение эксцентриситета орбит модели № 48 с небольшим затуханием амплитуды к концу периода интегрирования при $\gamma $ от 10 до 108 м²/кг, что может говорить о возможности более долгого времени жизни этих объектов. Зависимость $de(t)$ первого типа имеет объект № 43; второго типа – № 44, 47 и 50; третьего – № 45, 46, 48, 49 и 51.

Через 3 сут ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит 3°:

• при $\gamma \geqslant 1.0$ м²/кг для КО с ${{e}_{0}} = 0.8$;

• при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг для КО с ${{e}_{0}} = 0.5$, $0.6$ и $0.7$;

• при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг для КО с ${{e}_{0}} = 0.2$ и $0.3$;

• при $\gamma \geqslant 36.0$ м²/кг для КО с ${{e}_{0}} = 0.001,0.1$ и $0.4$.

Как и ранее, прослеживается тенденция уменьшения значений $\gamma $, при которых ${{\theta }_{{\max }}}$ достигнет $3^\circ $, с ростом ${{e}_{0}}$.

4.2.10. Большая полуось a₀ = 45 000 км (№ 52–60). Значения ${{\theta }_{{\max }}}$ в течение первых суток по сравнению с ${{a}_{0}} = 35\,000$ и 40 000 км уменьшаются, но скорость увеличения ${{\theta }_{{\max }}}$ значительно увеличивается с ростом ${{e}_{0}}$. Если в течение первых суток при ${{e}_{0}} = 0.8$ и $\gamma = 10.0$ м²/кг ${{\theta }_{{\max }}} = 3.253\prime $, то через два дня максимальное смещение этого объекта от невозмущенного положения достигло $15.5^\circ $.

Через 3 сут ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит $3^\circ $ для объектов:

• с ${{e}_{0}} = 0.8$ при $\gamma \geqslant 1.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.7$ при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.3$, 0.4 и 0.6 при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.001,0.2$ и $0.5$ при $\gamma \geqslant 36.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.1$ при $\gamma \geqslant 50.0$ м²/кг.

Под влиянием радиационных сил эксцентриситет изменяется по сценарию 1-го типа у модели № 52; 2-го типа – № 53, 58, 59 и 60; 3-го – № 54, 56 и 57. Поведение $de$ объекта № 55 сочетает в себе 2-й и 3-й варианты и показано на рис. 8 (№ 55). Более долгоживущими оказались КО с меньшими ${{e}_{0}}$ (рис. 6). Примечателен объект № 54 (${{e}_{0}} = 0.2$), орбита которого при $\gamma = 180.0$ м²/кг успешно проинтегрирована в течение всего года. Изменение его элементов орбиты показано на рис. 10. Модель № 60 (${{e}_{0}} = 0.8$) при $\gamma = 180.0$ м²/кг имеет самое короткое время интегрирования (4.25^d) среди всех рассмотренных моделей, поведение эксцентриситета для нее приведено на рис. 3.

4.2.11. Большая полуось a₀ = 50 000 км (№ 61–69). Максимальное смещение в течение первых суток меньше, чем при ${{a}_{0}} = 45\,000$ км, также уменьшается скорость увеличения ${{\theta }_{{\max }}}$ для высокоэллиптических орбит (рис. 4).

Через 3 дня ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит $3^\circ $ для объектов:

• с ${{e}_{0}} = 0.8$ и $0.7$ при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.2$ и $0.5$ при $\gamma \geqslant 14.4$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.1,0.3$ и 0.6 при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.001$ и 0.4 при $\gamma \geqslant 36.0$ м²/кг.

Время интегрирования убывает с ростом $\gamma $ и ${{e}_{0}}$. Самыми долгоживущими при всех $\gamma $ оказались объекты с ${{e}_{0}} = 0.001$, но для модели № 63 (${{e}_{0}} = 0.2$) интегрирование было выполнено в течение всего года при $\gamma \leqslant 108.0$ м²/кг, поведение $de$ для нее синусообразное (рис. 8, № 63) и происходит по второму сценарию, как и у моделей № 66, 67 и 69. Третий вариант поведения $de$ у объектов № 64, 65 и 68; первый – у моделей № 61 и 62.

4.2.12. Большая полуось a₀ = 55 000 км (№ 70–78). Среди почти всех моделей самые малые значения ${{\theta }_{{\max }}}$ в течение первых суток при всех $\gamma $ и ${{e}_{0}}$ получены для моделей с ${{a}_{0}}$ = 55 000 км (меньше только у моделей № 60 и 64), но величина ${{\theta }_{{\max }}}$ быстро нарастает со временем, особенно при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг, с увеличением ${{e}_{0}}$ темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$ также увеличивается.

В течение первых суток ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит $3^\circ $ только при ${{e}_{0}} = 0.3$ и $\gamma \geqslant 108.0$ м²/кг, но через двое суток максимальное смещение достигнет $3^\circ $ для объектов:

• с ${{e}_{0}} = 0.7$ и 0.8 при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг;

• c ${{e}_{0}} = 0.4$ при $\gamma \geqslant 14.4$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.2$, 0.5 и 0.6 при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг;

• с ${{e}_{0}} = 0.3$ при $\gamma \geqslant 36.0$ м²/кг;

• для остальных ${{e}_{0}}$ при $\gamma \geqslant 50.0$ м²/кг.

Через 3 дня ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит $3^\circ $ для всех объектов на высокоэллиптических орбитах с ${{e}_{0}} \geqslant 0.4$ при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг, а при ${{e}_{0}} < 0.4$ при $\gamma \geqslant 25.0$ м²/кг (рис. 7).

Наибольшее время интегрирования отмечено у моделей с ${{e}_{0}}$ от 0.1 до 0.4 при $\gamma \leqslant 50.0$ м²/кг, но объект № 76 продемонстрировал увеличение времени жизни при $\gamma \geqslant 125.0$ м²/кг. На рис. 11 показано, как изменяются элементы орбиты этого модельного объекта под действием радиационных сил (2-й тип). Также 2-й вариант поведения $de$ у моделей № 73, 75 и 77; 3-й тип – у объектов № 74 и 78; 1-й – у КО № 70, 71 и 72.

4.3. Резюме

Согласно рис. 6 для большинства моделей с $\gamma \geqslant 50.0$ м²/кг время интегрирования составило менее 1 года, поскольку из-за увеличения эксцентриситета и уменьшения большой полуоси перигейное расстояние уменьшается, и объект входит в плотные слои атмосферы Земли. Вероятно, это одна из причин малого количества таких фрагментов КМ, по статистике портала [6] их менее 1% (рис. 1). Таким образом, происходит самоочищение ОКП от объектов с большой парусностью, однако есть исключения. Выявлено несколько случаев продолжительного существования КО даже с $\gamma = 180.0$ м²/кг. Элементы орбит объектов с большими ОПМ претерпевают значительные и быстрые изменения, вследствие чего смещение ${{\theta }_{{\max }}}$ возмущенного под влиянием радиационных сил положения от невозмущенного быстро увеличивается со временем для всех моделей, особенно на ВЭО (рис. 4).

На рис. 5 видим, что вероятность попасть в поле зрения обзорного телескопа через двое суток у КО с $\gamma \geqslant 50.0$ м²/кг выше при ${{a}_{0}} = 55\,000$ км, в то время как при ${{a}_{0}} \leqslant 25\,{\kern 1pt} 000$ км и больших $\gamma $ ${{\theta }_{{\max }}}$ превысит $3^\circ $ за время менее 24 ч. При одинаковых $\gamma $ модели с ${{a}_{0}} \leqslant 40{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км имеют, как правило, большее максимальное в течение первых суток угловое расстояние, чем при ${{a}_{0}} = 45\,000$, 50 000 и 55 000 км, т.е. смещение за первый день уменьшается с ростом ${{a}_{0}}$, но темп роста ${{\theta }_{{\max }}}$ со временем при ${{a}_{0}} \leqslant 40{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ км ниже, чем у высокоорбитальных объектов.

Рисунок 4 демонстрирует увеличение ${{\theta }_{{\max }}}$ не только с ростом $\gamma $, но и ростом начального эксцентриситета ${{e}_{0}}$, причем эта тенденция более выражена для объектов с большими полуосями от 25 000 до 45 000 км. В основном, объекты на орбитах с большими эксцентриситетами требуют более частых наблюдений при $\gamma \geqslant 10.0$ м²/кг, но в случае высокоэллиптических орбит с большими полуосями от 25 000 до 45 000 км требуется постоянный мониторинг при $\gamma \geqslant 1.0$ м²/кг.

Опираясь на данные рис. 4, 5, 6 и 7, можно оценить временны́е интервалы, через которые необходимо повторить наблюдение объектов с большим ОПМ. Поскольку программный комплекс [19] предполагает форму объекта сферической, то, с учетом результатов [15], наши данные носят пессимистический характер и должны обеспечивать гарантированное обнаружение объекта.

4.4. Сравнение с наблюдениями

Сравним наблюденные и вычисленные координаты объекта 90 080, который на 31 января 2019 г. имел следующие орбитальные параметры: большая полуось $a = 43\,606.873$ км, эксцентриситет $e = 0.3418830$, наклон $i = 28.0140^\circ $, долгота восходящего узла $\Omega = 33.0376^\circ $, аргумент перицентра $\omega = 272.7548^\circ $, средняя аномалия $M = 49.3510^\circ $, время UTC, на которое рассчитаны элементы, ${{t}_{0}} = 31.01.2019$ 8 : 33 : 13.274, усредненное по архиву орбит значение ОПМ $A{\text{/}}m = 10.89979$ м²/кг.

Параметры орбиты и наблюдательные данные объекта 90080, полученные в КрАО РАН с 31 января по 3 апреля 2019 г., предоставлены В.В. Румянцевым (КрАО РАН) в частном порядке.

С помощью интегратора [19] вычислены эфемериды с учетом и без учета светового давления. Затем найдены угловые расстояния между полученными из наблюдений и вычисленными положениями. Рисунок 12 демонстрирует значительное отличие углового расстояния ($O{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{C}_{1}}$) от ($O{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{C}_{0}}$), достигающее со временем десяти и более градусов. Таким образом, расчет целеуказаний в предположении сферически-симметричной формы объекта может привести к большим ошибкам в прогнозе. Также заметен рост $\theta $ со временем, т.е. вероятность потерять объект без повторных наблюдений и уточнения параметров орбиты увеличивается.

На рис. 12 видно, что в большинстве случаев угловое расстояние $\theta $ между наблюдаемым положением и положением, вычисленным без учета светового давления ($O{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{C}_{0}}$), оказывается меньше, чем угловые расстояния ($O{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{C}_{1}}$) и (${{C}_{0}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{C}_{1}}$). Это подтверждает предположение о пессимистичности нашей оценки.