Физика Земли, 2023, № 2, стр. 15-19

ВВЕДЕНИЕ

На поверхности Земли магнитное поле с точностью до 90% описывается полем геоцентрического диполя. Оставшаяся часть поля, недипольная, имеет убывающий пространственный спектр s(l) ~ exp(−0.1l), l > 1 [Lowes, 1974], где l – степень сферической функции. Вариации поля наблюдаются как в пространстве, чему собственно и соответствует спектр s(l), так и во времени, с характерными временами ${{\tau }_{l}}\sim {{535} \mathord{\left/ {\vphantom {{535} l}} \right. \kern-0em} l}$ на масштабе ${{d}_{l}} = {L \mathord{\left/ {\vphantom {L l}} \right. \kern-0em} l}$, L – масштаб жидкого ядра [Christensen, Tilgner, 2004]. Учитывая, что характерное время диполя ${{\tau }_{1}}\sim {{10}^{4}}$ лет, можно сделать вывод, что дипольное поле существенно отличается от недипольного характерным временем и амплитудой. Насколько недипольные вариации магнитного поля на поверхности Земли (или после несложного пересчета – для поверхности жидкого ядра), далекие от известных турбулентных скейлингов, отражают турбулентное состояние жидкого ядра, сказать сложно. С большей степенью уверенности можно утверждать, что структуры (${{d}_{l}}$, ${{\tau }_{l}}$) скорее соответствуют релаксационным процессам, чем строгим периодичностям, что подтверждается результатами вейвлет анализа [Бураков и др., 1998].

На палеомагнитных временах, много больших характерного времени вариации диполя ${{\tau }_{1}}$, вариации полного поля, включая дипольное, можно считать случайными. Последнее следует как из представления о случайном распределении инверсий геомагнитного поля, так и выше приведенных свойств недипольного поля. Более того, корреляция между вариациями для разных l также равна нулю [Hulot, Mouël, 1994]. С другой стороны, на небольших временах $ \sim \,{{10}^{3}}$ лет, например, во время инверсий, когда дипольное поле уменьшается в несколько раз, амплитуда более высоких гармоник магнитного поля увеличивается, т.е. существует антикорреляция дипольного и недипольного полей. Данный эффект следует из закона сохранения энергии магнитного поля и хорошо известен в моделях геодинамо. Помимо обмена энергиями между дипольной и недипольной компонентами, увеличение напряженности диполя приводит к подавлению гидродинамических флуктуаций максвелловскими напряжениями, и, как следствие, к дополнительному уменьшению недипольной составляющей.

Приведенная выше картина соответствует физическим представлениям о геомагнитных вариациях, согласующимся с теорией и подтверждаемым наблюдениями. По мере увеличения возраста изучаемых пород точность наблюдений ухудшается, и в наблюдениях происходит переход от покомпонентных записей магнитного поля к угловым элементам: наклонению I, склонению D, для которых абсолютная напряженность не важна, а также к записям полярности и положению виртуального геомагнитного полюса (ВГП). Фактически, задача палеомагнетизма редуцируется к восстановлению поведения дипольного магнитного поля в прошлом по измерениям, для которых недипольная компонента и ошибки измерения становятся неразличимыми. Поскольку упомянутый переход, диктуемый скудностью имеющейся информации, производится на основе нелинейного преобразования над компонентами магнитного поля, возможно появление неоднозначностей при интерпретации полученных результатов.

Ниже, в качестве примера влияния недипольных флуктуаций именно на расчет (!) положения ВГП, рассмотрен известный наблюдательный факт – широтная зависимость вариаций ВГП [Cox, 1970]. Напомним, что ВГП – это полюс магнитного поля, полученный по измерению в точке в предположении, что измеренное поле соответствует геоцентрическому диполю. Обратим внимание, что данная характеристика, часто используемая в палеомагнетизме, не отражает физическую связь дипольной и недипольных компонент, хотя бы потому, что при постоянном во времени положении диполя, широтная зависимость может меняться при изменении недипольной компоненты. В то же время, ценность оценки вариаций положения ВГП состоит в возможности отфильтровать большое по амплитуде дипольное поле от недипольного, и тем самым, увеличить точность измерения недипольной компоненты (или ошибки измерения). В работе рассмотрено при каких условиях широтная зависимость существует, какие еще вариации поля демонстрируют зависимость от широты. Для этой цели магнитное поле представлено в виде ансамбля случайных сферических функций с варьируемой амплитудой случайной компоненты. Увеличение амплитуды вариаций недипольного поля ассоциируется с уменьшением величины дипольного магнитного поля. Остается надеяться, что проведенные численные эксперименты будут полезны для понимания и интерпретации палеомагнитных наблюдений.

ВАРИАЦИИ ПОЛЯ

Геомагнитное поле B на поверхности Земли потенциально и может быть представлено в виде градиента скалярного потенциала B = −∇U. В свою очередь потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа и записывается в виде ряда по сферическим функциям:

где: $(r,\theta ,\varphi )$– сферические координаты; $P_{l}^{m}$ – присоединенные полиномы Лежандра; коэффициенты Гаусса (g, h) рассчитаны на поверхности Земли r = a, a = 6381 км; ${{l}_{{\max }}}$ – максимальный номер гармоники.

Коэффициенты Гаусса находятся из решения обратной задачи так, чтобы удовлетворить имеющимся наблюдениям магнитного поля на поверхности Земли. Использование интерполяции по времени коэффициентов позволяет вычислить магнитное поле в произвольной точке Земли в заданный момент времени. В настоящее время с разной степенью точности существуют ряды коэффициентов за последние 12 тыс. лет [Korte et al., 2011; Решетняк, 2020].

Наиболее простой характеристикой вариаций направления дипольного поля является угол отклонения магнитного диполя от оси вращения ${{\theta }_{d}} = {\text{arctg}}\frac{{\sqrt {{{{(g_{1}^{1})}}^{2}} + {{{(h_{1}^{1})}}^{2}}} }}{{g_{1}^{0}}}$. Среднее значение ${{\theta }_{d}}$ за 12 тыс лет составляет порядка 6°, максимальное – не превышает 10°, рис. 1а. Эта величина вдвое меньше угла между осью вращения и границей Тейлоровского цилиндра на поверхности Земли.

Более того, значение ${{\theta }_{d}}$ в несколько раз меньше типичных вариаций положения виртуального магнитного диполя в прошлом, находящихся в диапазоне 15–25° (см. подробнее историю вопроса в работах [Irving, Ward, 1964; Johnson, McFadden, 2007]).

Согласно определению ВГП, если измеряемое поле совпадает с осесимметричным диполем, то положение виртуального полюса совпадает с географическим. Если магнитное поле представляет собой геоцентрический диполь, то положение виртуального диполя вычисляется по значениям коэффициентов $g_{1}^{0},g_{1}^{1},h_{1}^{1}$ (как выше для ${{\theta }_{d}}$), и соответственно, зависимость от широты отсутствует. В общем случае, когда поле содержит недипольную компоненту, широта виртуального полюса определяется выражением:

где: $\phi $ – широта точки измерения поля; D и I – склонение и наклонение магнитного поля в этой точке: ${\text{tg}}D = - \frac{{{{B}_{\varphi }}}}{{{{B}_{\theta }}}},$ ${\text{ tg}}I = - \frac{{{{B}_{r}}}}{{\sqrt {B_{\theta }^{2} + B_{\varphi }^{2}} }}$. Как следует из анализа палеомагнитных наблюдений, достаточно учитывать только широтные вариации положения виртуального полюса ${{\phi }_{0}}$, пренебрегая долготными. Последнее следует из того, что на больших временах магнитный и географический полюса совпадают. В этом случае разброс (дисперсия) положения виртуального магнитного полюса запишется в виде: где $\bar {\phi }_{0}^{{}}$ – среднее значение, N – количество измерений. Выражение (3) является простейшим определением S, не учитывающим кластеризацию точек измерения, связанную со спецификой палеомагнитных наблюдений. Нашей задачей является выяснить как среднеквадратическое отклонение S зависит от широты точки измерения $\phi = 90 - \theta $.

Для решения поставленной задачи удобно использовать язык программирования, позволяющий быстро переключаться с аналитических операций, например дифференцирования, на численные алгоритмы. Выбор пал на легендарный язык Лисп в реализации SBCL, позволяющий экспериментировать в среде SLIME “на лету”.

На рис. 1б приведена широтная зависимость S, полученная путем осреднения данных по времени t с шагом в 40 лет, по которым был получен график для ${{\theta }_{d}}$. По пространству осреднение осуществлялось на сетке с шагом 5° по широте ϕ и долготе φ. Для каждой точки (t, φ, ϕ) по формулам (1)–(3) вычислялось значение ${{\varphi }_{0}}$, и далее S, как функция ϕ. Конечный результат был осреднен по северному и южному полушариям. Величина S оказывается порядка 10° и практически не зависит от широты. С одной стороны, этот результат ожидаем и сопоставим с отношением напряженности недипольного поля к дипольному, составляющим ~10%. С другой – полученное S близко к известным палеомагнитными оценками на экваторе, но не обладает широтной зависимостью, согласно которой, на полюсах S в полтора раза больше, чем на экваторе [Johnson, McFadden, 2007]. Здесь стоит обратить внимание, что какое-либо сравнение S с вариацией ${{\theta }_{d}}$ не имеет смысла, поскольку они имеют разный физический смысл: S – ответственно за недипольное поле, а вариации ${{\theta }_{d}}$ характеризуют дипольную компоненту.

Существование широтной зависимости, хоть и наблюдается в ряде работ, но не является палеомагнитной догмой. Поэтому далее представляется интересным не столько подгонка моделей под наблюдаемое значение, сколько исследование условий, при которых зависимость $S(\phi )$ может измениться. Такое изменение возможно, например, при увеличении как вариаций поля, так и ошибок измерения. Далее будет рассмотрен модельный расчет, в котором средний спектр магнитного поля постоянен, но каждый коэффициент Гаусса возмущается случайным шумом. Это отличается от численных экспериментов, проведенных в работе [Hulot, Gallet, 1996], в которых учитывались вариации во времени дипольных коэффициентов с $l = 1$ для подгонки профиля $S(\phi )$ для современного поля под палеомагнитные оценки за 5 млн лет. Такой подход к исследованию влияния шума на $S(\phi )$, конечно же, не единственный. Также можно было бы рассмотреть эволюционирующие во времени коэффициенты Гаусса. Предложенный выше более простой метод связан с тем, что точность измерений коэффициентов Гаусса за рассматриваемые 12 тыс. лет сильно менялась, и учет этого изменения строго провести сложно. С другой стороны, использование современных коэффициентов приводит к некоторой асимметрии потенциала U, имеющего отклонение от сферически симметричного распределения. Обратим внимание, что вариации диполя, большие по амплитуде вариаций недипольных компонент, могут оказывать существенное влияние на вараиции направления диполя [Hulot, Gallet, 1996]. В данной же работе предлагается сделать акцент на изменение формы $S(\phi )$, связанной исключительно с нелинейным преобразованием (2). Возвращаясь к теме данной работы, были взяты современные коэффициенты Гаусса с $0 < l < {{l}_{{\max }}},$ ${\text{ }}m \leqslant l$ со случайной добавкой, распределенной по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией $\sigma _{l}^{2} = \sigma _{l}^{{}}(1 + 2l)$ [Hulot, Mouël, 1994]. Далее, используя (1)–(3), была получена зависимость $S(\phi )$. После осреднения по φ и числу случайных реализаций с σ = 0.2 результаты вычислений $S(\phi )$ для ${{l}_{{\max }}} = 2$ приведены на рис.1б. Выбор значения σ связан с тем, что вблизи этого значения меняется характер зависимости $S(\phi )$ (см. рис. 2) для ${{l}_{{\max }}} = 6$. При меньших σ рост S слабо выражен, а при больших составляет порядка 14% (σ = 0.3), что сопоставимо с наблюдениями. Что еще примечательно, так это появление максимума у $S(\phi )$в средних широтах при увеличении σ, см. рис. 2 (σ = 0.9).

Уникальность S обусловлена выделением влияния недипольной компоненты поля, амплитуда которой на порядок меньше дипольной, на положение виртуального диполя. Величину S можно рассматривать как своеобразный фильтр, отделяющий дипольную компоненту от полного поля. На рис. 3 для сравнения приведена широтная зависимость среднеквадратического отклонения ${{S}_{I}}$ модуля наклонения I для тех же значений σ, что и на рис. 2. Как видно из рис. 3, поведение ${{S}_{I}}$ повторяет известное широтное поведение наклонения и не несет новой информации о недипольной компоненте поля. Изменение σ в 30 раз приводит к изменениям ${{S}_{I}}$, сравнимым по амплитуде с ошибкой измерения. Обратим внимание на существование области в районе $\phi \sim 30^\circ ,$ в которой ${{S}_{I}}$ (но не его производная по $\phi $) не зависит от σ.

Возвращаясь к S, которое чувствительно к малым по амплитуде вариациям недипольной компоненты поля, мы можем надеяться, что возможна идентификация смены режимов генерации магнитного поля как по амплитуде S, так и по форме кривой широтной зависимости.

ОБСУЖДЕНИЕ

Вариации геомагнитного поля являются проявлением процессов турбулентного динамо, генерирующего магнитное поле в ядре Земли. Ядро, как и вся Земля, эволюционировала во времени: менялся тепловой поток на границе ядро–мантия, появилось твердое ядро, за счет чего изменились геометрия конвективной зоны, а также энергобюджет планеты. Все эти факторы не могли не отразиться и на поведении вариаций геомагнитного поля на геологических временах, в том числе и на угловых вариациях ВГП. Разброс известных результатов по поведению S весьма велик – от быстро увеличивающихся с широтой значений S [McFadden et al., 1991] в интервале 10–17°, до медленно растущих значений или даже постоянных значений в работе [Biggin et al., 2008]. И более того, не ясно насколько палеомагнитные оценки применимы для современного поля, поскольку амплитуды S современного поля приблизительно в 1.5–2 раза меньше, чем для древнего. Последнее может быть связано как с уменьшением точности наблюдений, так и с объективным увеличением S на больших временах, в том числе, например, и за счет вклада экскурсов и инверсий, а также поправок на кластеризацию, приводящих к дополнительным трендам [Biggin et al., 2008]. В работе, на примере простейшего определения разброса положений виртуального полюса, была сделана попытка устранить возникшие противоречия путем введения дополнительного параметра – амплитуды случайной компоненты вековой вариации, которая в свою очередь, могла меняться на геологических временах. Использование случайных полей в геомагнетизме является нетривиальным само по себе, и для компенсации недостающих данных, требует специальных методов [Хохлов, 2012]. Обратим внимание, что выбор формы случайной функции, вообще говоря, не однозначен, и в приведенной выше модели был определен “физическими” предпочтениями¹¹, сводящимися к возмущению потенциала U [Hulot, Mouël, 1994], а не его нелинейных производных, используемых в палеомагнетизме, например, случайными поворотами вектора магнитного поля на малых масштабах [Baag, Helsley, 1974]. В результате удалось показать, что увеличение случайной составляющей, вводимой в виде флуктуаций коэффициентов Гаусса, приводит к изменению широтной зависимости S. Полученный в работе результат весьма неожиданный, поскольку, по иронии, он связан с тем же нелинейным преобразованием компонент вектора магнитного поля при вычислении вариаций положения ВГП. Существование нелинейности приводит к заметному изменению поведения $S(\phi )$ при изменении σ. Приведенные оценки изменения S могут быть полезными для диагностирования вариаций в зонах спокойного и прединверсионного или инверсионного геомагнитного поля. Обратим внимание, что переход от режима без инверсий к режиму частых инверсий в моделях динамо сопровождается изменением широтного поведения S от монотонно растущего к мало меняющемуся с широтой значению [Biggin et al., 2008].