Программирование, 2023, № 1, стр. 61-68

ПАКЕТ ПРОЦЕДУР И ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ И ОБРАЩЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ С ЕДИНИЧНЫМ ЯКОБИАНОМ

Т. М. Садыков^a, *

^a Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
117997 Москва, Стремянный пер., 36, Россия

Поступила в редакцию 19.05.2022
После доработки 01.08.2022
Принята к публикации 22.08.2022

EDN: GSGRBF
DOI: 10.31857/S0132347423010077

Аннотация

Множество полиномиальных отображений из n-мерного комплексного пространства в себя с постоянным ненулевым определителем матрицы Якоби является необозримо обширным для любой размерности n > 1. Известная гипотеза о якобиане утверждает, что любое такое отображение является полиномиально обратимым. В то время как вычисление определителя матрицы Якоби хорошо реализовано в современных системах компьютерной алгебры, обращение полиномиального отображения представляет собой задачу весьма высокой вычислительной сложности. В работе представлен пакет процедур и функций JC на языке программирования Wolfram для алгоритмического построения и обращения полиномиальных и некоторых более общих аналитических отображений с единичным определителем матрицы Якоби для заданной размерности пространства переменных и заданной степени компонент отображения. Программный код, наборы данных для его тестирования и результаты вычислительных экспериментов размещены в свободном доступе по адресу https://www.researchgate.net/publication/358409332_JC_Package_and_Datasets.

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $f = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}}):{{\mathbb{C}}^{n}} \to {{\mathbb{C}}^{n}}$ – аналитическое отображение с n комплексными переменными $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{C}}^{n}},$ заданное в непустой области $D \subset {{\mathbb{C}}^{n}}$. Будем называть отображение f якобиевым, если определитель его матрицы Якоби есть ненулевая постоянная:

(1.1)

$\begin{gathered} J(f;x)J({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}};{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}): = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}}& \ldots &{\frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ {\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{x}_{n}}}}}& \ldots &{\frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial {{x}_{n}}}}} \end{array}} \right| \in \\ \, \in \mathbb{C}{\kern 1pt} * \equiv \mathbb{C}{{\backslash }}\{ 0\} . \\ \end{gathered} $

В настоящей работе этот определитель называется якобианом отображения f.

Обращением отображения f называется аналитическое отображение ${{f}^{{ - 1}}}:{{\mathbb{C}}^{n}} \to {{\mathbb{C}}^{n}},$ такое, что $f \circ {{f}^{{ - 1}}} = {{f}^{{ - 1}}} \circ f = {\text{Id}}$ в некоторой непустой области в пространстве ${{\mathbb{C}}^{n}}$. Область, в которой имеют место данные равенства, вообще говоря, существенным и сложным образом зависит от отображения f и области D. Все рассматриваемые в настоящей работе отображения задаются либо целыми функциями, либо функциями, допускающими аналитическое продолжение во все $n$-мерное комплексное пространство, за исключением некоторой особой гиперповерхности $\mathcal{H}$. Согласно теореме единственности для аналитических функций любое такое отображение (вообще говоря, многозначное) определяется любым своим ростком в окрестности произвольной неособой точки, который может быть аналитически продолжен в ${{\mathbb{C}}^{n}}{{\backslash }}\mathcal{H}$.

Разработка методов и алгоритмов для поиска решений уравнений и их систем различного типа в заданных классах функций (в частности, в кольце многочленов или в поле рациональных функций над заданными числовыми полями) представляет собой актуальную задачу современной компьютерной алгебры [1]. В настоящей работе представлен пакет процедур и функций JC на языке программирования Wolfram для алгоритмического построения и обращения полиномиальных и некоторых более общих аналитических отображений с постоянным ненулевым определителем матрицы Якоби для заданной размерности пространства переменных и заданной степени компонент отображения.

В одномерном случае (то есть, при n = 1) любое отображение, удовлетворяющее равенству (1.1), является аффинным, то есть, имеет вид $ax + b$ для некоторых $a \in \mathbb{C}{\kern 1pt} *$, $b \in \mathbb{C}$. Обратное к нему отображение также аффинно. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что $n \geqslant 2.$

Известная гипотеза о якобиане, остающаяся открытой на протяжении длительного времени (см. [7]), утверждает, что отображение f = = $({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}}),$ заданное многочленами ${{f}_{j}} \in \mathbb{C}[{{x}_{1}}$, ..., x_n], является якобиевым в том и только том случае, когда обратное к нему отображение также является полиномиальным. В любой размерности $n \geqslant 2$ семейство всех полиномиальных отображений $f:{{\mathbb{C}}^{n}} \to {{\mathbb{C}}^{n}}$ с единичным якобианом чрезвычайно обширно и обладает весьма сложной структурой (см. [3], главы 3.5, [8] и ссылки на литературу в этих работах). Построение полиномиальных автоморфизмов заданного пространства – важное направление исследований, которому посвящены многочисленные работы, в частности, [4–6, 10].

Многочисленность безрезультатных попыток доказать гипотезу о якобиане или построить контрпример к ней, предпринимавшихся на протяжении более чем восьми десятилетий, обуславливает необходимость систематического изучения множества отображений с единичным якобианом в произвольной размерности с помощью методов и технических средств современной компьютерной алгебры. В настоящей работе представлен один из возможных подходов к разработке программного обеспечения для решения этой задачи на основе алгоритмического поиска параметризаций семейств якобиевых отображений.

Согласно фундаментальной теореме Дружковского [2] для обоснования или опровержения гипотезы о якобиане достаточно изучить ее истинность в весьма частном случае кубических отображений вида

(1.2)

$\begin{gathered} \left\{ {\mathop {({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}}):}\limits_{_{{_{{}}}}}^{^{{^{{}}}}} } \right.\;{{\mathbb{C}}^{n}} \to {{\mathbb{C}}^{n}}, \\ {{f}_{j}}(x) = {{x}_{j}} + {{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{a}_{{jk}}}{{x}_{k}}} \right)}^{3}},\;\left. {\mathop {j = 1, \ldots ,n}\limits_{_{{_{{}}}}}^{^{{^{{}}}}} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Здесь (a_jk) – квадратная матрица размера n с комплексными элементами.

В настоящей работе изучается более широкое семейство аналитических отображений, каждое из которых задается выбором квадратной матрицы $A = ({{a}_{{jk}}})$ размера $n \geqslant 2$ и функции одного комплексного переменного $\varphi (\zeta ) \in \mathcal{O}(\Omega ),$ аналитической в непустой области $\Omega \subset \mathbb{C}$. Данное семейство состоит из отображений вида

(1.3)

$\begin{gathered} f = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}}):{{\mathbb{C}}^{n}} \to {{\mathbb{C}}^{n}}, \\ f[A,\varphi ](x): = x + \varphi (Ax) \\ \end{gathered} $

с координатами

${{f}_{j}}:x \mapsto {{x}_{j}} + \varphi \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{a}_{{jk}}}{{x}_{k}}} \right),\quad j = 1, \ldots ,n,$

якобиан которых тождественно равен ненулевой постоянной для всех x из пересечения областей определения функций ${{f}_{j}}(x).$ В частном случае, когда $\varphi (\zeta ) = {{\zeta }^{3}},$ отображение (1.3) является отображением Дружковского (1.2).

При изучении отображений вида (1.3) достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда линейная часть функции $\varphi ( \cdot )$ равна нулю. В этом случае линейная часть отображения (1.3) задается единичной матрицей и оно может быть якобиевым лишь в том случае, если его якобиан тождественно равен единице. Всюду в дальнейшем мы будем говорить, что матрица A и аналитическая функция $\varphi (\zeta ),$ определяющие в совокупности отображение (1.3) с единичным якобианом, образуют хорошую пару. Процедуры и функции пакета JC позволяют вычислять хорошие пары матриц и функций, исследовать их свойства и, при некоторых дополнительных условиях, обращать определяемые ими аналитические отображения вида (1.3).

Пусть U – квадратная матрица, такая, что якобиан отображения $f[U,\varphi ](x)$ есть ненулевая постоянная для любого $x$ из области определения и, вдобавок, для произвольной аналитической функции $\varphi \in \mathcal{O}(\Omega ).$ Всюду в дальнейшем матрицы, обладающие данным свойством, будут называться универсальными.

Многочисленные компьютерные эксперименты с помощью процедур и функций пакета JC позволяют предполагать, что универсальная матрица размера n задается выбором целочисленного разбиения $p = ({{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{m}})$ размерности n на m слагаемых и перестановкой длины m однозначно с точностью до перестановочного подобия матриц и выбора значений алгебраически независимых комплексных параметров.

В настоящей работе действие аналитической функции одного переменного $\varphi ( \cdot ) \in \mathcal{O}(\Omega )$ на векторе комплексных переменных ξ = (ξ₁, ..., ${{\xi }_{n}}) \in \Omega \times \ldots \times \Omega \subset {{\mathbb{C}}^{n}}$ определяется покоординатным образом: $\varphi ({{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{n}}): = (\varphi ({{\xi }_{1}}), \ldots ,\varphi ({{\xi }_{n}})).$ Для всех $d = 2,3, \ldots $ существует n-параметрическое семейство квадратных матриц $H(s),s \in {{\mathbb{C}}^{n}}$, таких, что для произвольной универсальной матрицы U отображение $x + {{\left( {(U \odot H(s))x} \right)}^{d}},$ определенное произведением Адамара (то есть, поэлементным произведением) $U \odot H(s),$ является якобиевым. Любое такое отображение является полиномиально обратимым, а обратное к нему отображение может быть построено с помощью рекуррентного процесса. В настоящей работе якобиевы отображения исследуются с помощью алгоритмов, реализованных в пакете процедур и функций JC.

Все рассмотренные в настоящей работе полиномиальные отображения являются полиномиально обратимыми. Более того, для любой универсальной матрицы U и произвольной аналитической функции $\varphi (\zeta )$ обращение отображения $f[U,\varphi ]$ есть конечная суперпозиция $\varphi (\zeta )$ и арифметических операций с аргументами x = (x₁, ..., ${{x}_{n}}) \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ (ср. с основным результатом работы [9]). Однако, обращение якобиева отображения $x + \varphi (Ax),$ заданного аналитической функцией $\varphi (\zeta )$ и не универсальной матрицей A, не обладает, вообще говоря, этим свойством. С помощью функций пакета JC в настоящей работе построен пример якобиева отображения вида f[A, ln](x) := := $x + \ln (Ax),$ заданного матрицей Тёплица A, для которого обратное отображение $f{{[A,\ln ]}^{{ - 1}}}$ не допускает представления в виде конечной суперпозиции логарифмической функции и арифметических операций (см. раздел 4.3).

2. ЯКОБИЕВЫ УРАВНЕНИЯ И ИХ ОДНОРОДНОСТИ

В свете фундаментального результата Дружковского [2] важный класс якобиевых отображений вида (1.3) образуют отображения, заданные мономиальной функцией $\varphi (\zeta ) = {{\zeta }^{d}}.$ Этот класс состоит из полиномиальных отображений вида $x + {{(Ax)}^{d}},$ где $d \in \mathbb{N}$, $x\, = \,({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{C}}^{n}}$, $A = ({{a}_{{jk}}})$ – квадратная матрица размера n. Координаты данного отображения имеют вид

(2.1)

${{x}_{j}} + {{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{a}_{{jk}}}{{x}_{k}}} \right)}^{d}},\quad j = 1, \ldots ,n.$

При d = 0 или d = 1 отображение (2.1) является (аффинно) линейным, а его якобиан равен определителю соответствующей матрицы. В дальнейшем мы не рассматриваем эти тривиальные частные случаи.

Отображение (2.1) имеет единичный якобиан в том и только том случае, когда элементы матрицы A удовлетворяют некоторой системе алгебраических уравнений, зависящей от размерности n пространства переменных и степени d определяющих его многочленов. Всюду в дальнейшем мы будем использовать следующее определение.

Определение 1. Под системой якобиевых уравнений в размерности $n \geqslant 2$ для степени d, $d \in \mathbb{N}$ понимается система алгебраических уравнений с переменными ${{a}_{{jk}}},$ чьи решения определяют матрицы $A = ({{a}_{{jk}}}),$ $j,k = 1, \ldots ,n,$ для которых якобиан отображения $x + {{(Ax)}^{d}}$ тождественно равен 1.

Например, система якобиевых уравнений в размерности 2 для степени 3 имеет вид

(2.2)

$\left\{ \begin{gathered} a_{{11}}^{3} + a_{{21}}^{2}{{a}_{{22}}} = 0, \hfill \\ {{a}_{{11}}}a_{{12}}^{2} + a_{{22}}^{3} = 0, \hfill \\ {{a}_{{12}}}a_{{11}}^{2} + {{a}_{{21}}}a_{{22}}^{2} = 0, \hfill \\ a_{{12}}^{2}a_{{22}}^{2}\det A = 0, \hfill \\ a_{{11}}^{2}a_{{21}}^{2}\det A = 0, \hfill \\ {{a}_{{12}}}{{a}_{{22}}}\det A \cdot {\text{perm}}{\kern 1pt} A = 0, \hfill \\ {{a}_{{11}}}{{a}_{{21}}}\det A \cdot {\text{perm}}{\kern 1pt} A = 0, \hfill \\ \det A(a_{{12}}^{2}a_{{21}}^{2} + 4{{a}_{{11}}}{{a}_{{12}}}{{a}_{{22}}}{{a}_{{21}}} + a_{{11}}^{2}a_{{22}}^{2}) = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Здесь ${\text{perm}}{\kern 1pt} A = {{a}_{{11}}}{{a}_{{22}}} + {{a}_{{12}}}{{a}_{{21}}}$ – перманент матрицы $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}} \\ {{{a}_{{21}}}}&{{{a}_{{22}}}} \end{array}} \right).$

Общая система якобиевых уравнений имеет труднообозримую структуру. Число образующих ее уравнений и их степень быстро растут с увеличением размерности пространства переменных и степени полиномиального отображения (2.1). Несмотря на это, любая система якобиевых уравнений содержит некоторую подсистему, образованную уравнениями, структура которых весьма прозрачным образом зависит от n и d. А именно, пусть $A = ({{a}_{{jk}}})$ – квадратная матрица размера $n \geqslant 2.$ Для любого $d = 2,3, \ldots $ система якобиевых уравнений в размерности n для степени d содержит подсистему простых якобиевых уравнений:

(2.3)

${{({{A}^{T}})}^{{ \odot (d - 1)}}}{\kern 1pt} {\text{diag}}{\kern 1pt} A = 0.$

Здесь A^T обозначает транспонированную матрицу, ${\text{diag}}{\kern 1pt} A$ – вектор диагональных элементов матрицы A. Например, в двумерном случае для степени 2 подсистема простых якобиевых уравнений образована первыми двумя уравнениями в системе (2.2).

Под однородностями якобиева отображения $x + {{(Ax)}^{d}}$ мы будем всюду в дальнейшем понимать произвольную квадратную матрицу H того же размера, что и матрица A, такую, что отображение $x + {{(A \odot H)}^{d}}$ также является якобиевым. Здесь через $A \odot H$ обозначается произведение Адамара (то есть, поэлементное произведение) матриц A и H.

3. ОБЗОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПАКЕТА JC

Пакет JC для системы компьютерной алгебры Mathematica содержит функции для построения, параметризации, обращения и изучения свойств аналитических отображений с единичным якобианом. Исходный код этих функций, а также библиотека наборов данных для их тестирования и данных, полученных в результате многочисленных компьютерных экспериментов, размещены в репозитории https://www.researchgate.net/publication/358409332_JC_Package_and_Datasets.

Пакет состоит из трех основных блоков процедур и функций. Первый из них образуют функции, реализующие операции и объекты линейной алгебры, не поддержанные стандартными функциями ядра системы: функции выявления перестановочного подобия числовых и символьных матриц, вычисления главных миноров квадратной матрицы и сумм этих миноров, функции для построения матриц Вандермонда и циркулянтов, умножения матриц по Адамару и подобные им.

Функции из второго блока обеспечивают алгоритмическое построение полиномиальных и аналитических отображений с единичным якобианом. Одна из центральных функций данного блока позволяет строить общую универсальную матрицу в заданной размерности, определенную целочисленным разбиением этой размерности и перестановкой, чья длина равна мощности разбиения. Второй блок содержит также функции для вычисления системы якобиевых уравнений для заданных размерности и степени, построения матриц, определяющих однородности данной системы, построения подсистемы простых якобиевых уравнений, а также уравнений, чьи решения образуют хорошие пары с логарифмической функцией.

Третий блок функций пакета позволяет обращать полиномиальные и аналитические отображения вида $f(x) = x + \varphi (Ax)$ с единичным якобианом, заданные квадратной матрицей A и аналитической функцией одного переменного $\varphi (\zeta ).$

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ЯКОБИЕВЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОИСК ХОРОШИХ ПАР И ОБРАЩЕНИЕ ЯКОБИЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Настоящий раздел иллюстрирует возможности процедур и функций пакета JC для построения якобиевых отображений в различных размерностях. Разработанный программный код позволяет строить как полиномиальные, так и более общие якобиевы отображения, заданные аналитическими функциями. Сложность структуры множества полиномиальных якобиевых отображений весьма быстро растет как с увеличением размерности пространства переменных, так и с ростом степени определяющих их многочленов. Результаты расчетов могут быть представлены в статье лишь в случае достаточно низкой размерности, так как с ее ростом они становятся необозримо громоздкими. По этой причине мы в первую очередь рассматриваем здесь кубические отображения четырех независимых комплексных переменных и отсылаем читателя к процедурам и функциям пакета, а также библиотеке наборов данных и результатов компьютерных экспериментов в более высоких размерностях.

Обозначим через $A = ({{a}_{{jk}}}),$ $j,k = 1, \ldots ,4$ произвольную квадратную матрицу размера 4 × 4 и через $d = 3$ – степень многочленов, определяющих отображение

(4.1)

$\begin{gathered} f = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{4}}):{{\mathbb{C}}^{4}} \to {{\mathbb{C}}^{4}}, \\ f(x): = x + {{(Ax)}^{3}}. \\ \end{gathered} $

С помощью функции JEquations[A,d] вычисляем систему якобиевых уравнений, которой элементы матрицы A удовлетворяют в том и только том случае, когда якобиан отображения (4.1) тождественно равен 1. Вычисление данной системы однородных алгебраических уравнений с неизвестными ${{a}_{{jk}}}$ занимает 268.43 секунды. Система содержит 294 уравнения и не может быть полностью помещена в настоящей статье. Наибольшая из степеней входящих в нее уравнений по совокупности переменных ${{a}_{{jk}}}$ равна 48.

4.1. Подсистема простых якобиевых уравнений

Используя функцию simpleJEquations[A,d], находим следующую подсистему простых якобиевых уравнений в размерности 4 для степени 3:

(4.2)

$\left\{ \begin{gathered} a_{{11}}^{3} + a_{{21}}^{2}{{a}_{{22}}} + a_{{31}}^{2}{{a}_{{33}}} + a_{{41}}^{2}{{a}_{{44}}} = 0, \hfill \\ {{a}_{{11}}}a_{{12}}^{2} + a_{{22}}^{3} + a_{{32}}^{2}{{a}_{{33}}} + a_{{42}}^{2}{{a}_{{44}}} = 0, \hfill \\ {{a}_{{11}}}a_{{13}}^{2} + {{a}_{{22}}}a_{{23}}^{2} + a_{{33}}^{3} + a_{{43}}^{2}{{a}_{{44}}} = 0, \hfill \\ {{a}_{{11}}}a_{{14}}^{2} + {{a}_{{22}}}a_{{24}}^{2} + {{a}_{{33}}}a_{{34}}^{2} + a_{{44}}^{3} = 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В то время как структура множества решений полной системы якобиевых уравнений является, судя по имеющимся в настоящий момент данным, весьма сложной в любой размерности, превосходящей 2, многочисленные компьютерные эксперименты с использованием алгоритмов, реализованных в пакете JC, позволяют предполагать, что антидиагональные элементы матрицы $({{a}_{{jk}}})$ могут быть выражены через остальные ее элементы. Результаты этих экспериментов являются частными случаями следующего утверждения.

Гипотеза 1. Множество решений простых якобиевых уравнений в размерности $n$ для степени $d$ имеет размерность ${{n}^{2}} - n$ и допускает алгебраическую параметризацию, в которой независимыми параметрами являются элементы матрицы $({{a}_{{jk}}}),$ не лежащие на ее антидиагонали. Для четных размерностей n при $d = 2$ данная параметризация является рациональной.

Например, множество решений простых якобиевых уравнений (4.2) в размерности 4 для степени 3 допускает следующую алгебраическую параметризацию:

${{a}_{{14}}} = - i\frac{{\sqrt {a_{{44}}^{3} + {{a}_{{22}}}a_{{24}}^{2} + {{a}_{{33}}}a_{{34}}^{2}} }}{{\sqrt {{{a}_{{11}}}} }},$

(4.3)

$\begin{gathered} {{a}_{{23}}} = - i\frac{{\sqrt {a_{{33}}^{3} + {{a}_{{11}}}a_{{13}}^{2} + a_{{43}}^{2}{{a}_{{44}}}} }}{{\sqrt {{{a}_{{22}}}} }}, \\ {{a}_{{32}}} = - i\frac{{\sqrt {a_{{22}}^{3} + {{a}_{{11}}}a_{{12}}^{2} + a_{{42}}^{2}{{a}_{{44}}}} }}{{\sqrt {{{a}_{{33}}}} }}, \\ \end{gathered} $

${{a}_{{41}}} = - i\frac{{\sqrt {a_{{11}}^{3} + a_{{21}}^{2}{{a}_{{22}}} + a_{{31}}^{2}{{a}_{{33}}}} }}{{\sqrt {{{a}_{{44}}}} }},$

в которой все элементы матрицы A, за исключением антидиагональных (то есть, те элементы ${{a}_{{jk}}},$ для которых $j + k \ne 5$), играют роль алгебраически независимых параметров, $i = \sqrt { - 1} $. Непосредственная проверка показывает, что элементы любой квадратной матрицы размера 4, заданные в виде (4.3), удовлетворяют соответствующей системе простых якобиевых уравнений (4.2).

Гипотеза 1 проверена с помощью функций пакета JC для всех значений размерности пространства переменных и степени определяющих отображение многочленов $n,d \leqslant 10.$ Решая простые якобиевы уравнения (2.3) относительно антидиагональных элементов матрицы A, можно построить семейства алгебраических или рациональных решений полной системы якобиевых уравнений. Например, утверждение гипотезы в размерности 4 позволяет сделать вывод о том, что матрица

$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&t&{ - t - 1} \\ 0&1&{ - t - 1}&t \\ { - \frac{t}{{2t + 1}}}&{ - \frac{{t + 1}}{{2t + 1}}}&1&0 \\ { - \frac{{t + 1}}{{2t + 1}}}&{ - \frac{t}{{2t + 1}}}&0&1 \end{array}} \right),$

зависящая от параметра $t \in \mathbb{C}$, образует хорошую пару с функцией $\varphi (\zeta ) = {{\zeta }^{2}}.$ Непосредственная проверка с помощью функции JMatrDeg[M,2] показывает, что это на самом деле так.

4.2. Универсальные матрицы, однородности и вычисление обратных отображений

Вычисление однородностей якобиевых уравнений в размерности 4 для степени 3 с помощью команды HomogeneitiesOfJEquations [4, 3 ] пакета JC дает матрицу

${{H}_{{4,3}}}({{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{4}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s_{1}^{3}{{s}_{2}}{{s}_{3}}{{s}_{4}}}&{s_{2}^{4}{{s}_{3}}{{s}_{4}}}&{{{s}_{2}}s_{3}^{4}{{s}_{4}}}&{{{s}_{2}}{{s}_{3}}s_{4}^{4}} \\ {s_{1}^{4}{{s}_{3}}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}s_{2}^{3}{{s}_{3}}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}s_{3}^{4}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}{{s}_{3}}s_{4}^{4}} \\ {s_{1}^{4}{{s}_{2}}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}s_{2}^{4}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}{{s}_{2}}s_{3}^{3}{{s}_{4}}}&{{{s}_{1}}{{s}_{2}}s_{4}^{4}} \\ {s_{1}^{4}{{s}_{2}}{{s}_{3}}}&{{{s}_{1}}s_{2}^{4}{{s}_{3}}}&{{{s}_{1}}{{s}_{2}}s_{3}^{4}}&{{{s}_{1}}{{s}_{2}}{{s}_{3}}s_{4}^{3}} \end{array}} \right).$

Используя функцию allUniversalMatrices пакета JC, находим, что существует 49 различных (для параметров общего положения) универсальных матриц размера 4 (см. таблицу 3). Обозначим через p целочисленное разбиение (2, 2) размерности n = 4 и через $\varepsilon = (1,2)$ тривиальную перестановку на множестве из двух элементов. С помощью функции universalMatrix[p, ε] вычисляем соответствующую универсальную матрицу, которую, переобозначая ее элементы для исключения громоздких индексов, можно представить в следующем виде:

$U = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - a}&b&c \\ a&{ - a}&b&c \\ u&{ - u}&v&{ - v} \\ u&{ - u}&v&{ - v} \end{array}} \right).$

Данная матрица нильпотентна: ${{U}^{3}} = 0.$ Непосредственная проверка показывает, что ее элементы удовлетворяют системе якобиевых уравнений в размерности 4 для степени 3 и, в частности, ее подсистеме (4.2).

С помощью команды allSumsOfPrincipalMinors[U] мы убеждаемся в том, что сумма главных миноров любого порядка $k = 1, \ldots ,4$ матрицы U равна нулю. Команда universalMatrixQ[U] позволяет проверить, что матрица U действительно является универсальной, то есть, что якобиан отображения

(4.4)

$\begin{gathered} f = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{4}}):{{\mathbb{C}}^{4}} \to {{\mathbb{C}}^{4}}, \\ f(x): = x + \varphi (Ux) \\ \end{gathered} $

тождественно равен 1 для произвольной аналитической функции одного переменного $\varphi (\zeta ),$ такой, что координаты отображения (4.4) корректно определены. Отметим, что время непосредственного вычисления якобиана отображения $x + {{(Ux)}^{d}}$ быстро растет с увеличением степени d, см. таблицу 1.

Несмотря на это, запуск функции NewtonInverseGeneral позволяет заключить, что обращение отображения (4.4) может быть представлено в виде

(4.5)

$x(f) = f - \varphi (f - \varphi (Uf)).$

Заметим, что непосредственное обращение отображения (4.4) с помощью стандартной функции Solve в системе компьютерной алгебры Mathematica является задачей высокой вычислительной сложности, см. таблицу 2.

4.3. Случай аналитических отображений

Процедуры и функции пакета JC позволяют вычислять матрицы, образующие хорошие пары с заданными неполиномиальными аналитическими функциями, а также с произвольными аналитическими функциями одного переменного. Например, результатом работы команды JEquationsLOG[A] является следующая система из 35 однородных алгебраических уравнений с неизвестными ${{a}_{{jk}}},$ решения которой определяют всевозможные матрицы A, образующие хорошие пары с логарифмической функцией, то есть, такие, для которых отображение $x + \ln (Ax)$ имеет единичный якобиан. Одно из семейств решений данной системы уравнений состоит из нильпотентных матриц вида

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}}&{ - 1} \\ {{{a}_{{21}}}}&1&{ - 1}&{ - {{a}_{{21}}}} \\ {{{a}_{{21}}}}&1&{ - 1}&{ - {{a}_{{21}}}} \\ 1&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}}&{ - 1} \end{array}} \right),$

где ${{a}_{{12}}},\;{{a}_{{13}}}$ и ${{a}_{{21}}}$ – произвольные комплексные параметры.

Многочисленные компьютерные эксперименты показывают, что другое важное семейство матриц, образующих хорошие пары с логарифмической функцией, состоит из матриц Тёплица некоторого специального вида. Сужая систему уравнений, построенную с помощью команды JEquationsLOG[A], на случай матриц Тёплица (то есть, предполагая, что ${{a}_{{jk}}} = {{a}_{{pq}}}$ для всех $j,\;k,\;p$ и q, таких, что $j - k = p - q$) и дополнительно предполагая, что ${{a}_{{11}}} = 0,$ мы приходим к выводу, что любая матрица в данном семействе, образующая хорошую пару с логарифмической функцией, пропорциональна матрице

${{T}_{{\ln }}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1 + i}&{ - i} \\ { - i}&0&1&{ - 1 + i} \\ { - 1 + i}&{ - i}&0&1 \\ 1&{ - 1 + i}&{ - i}&0 \end{array}} \right)$

или же комплексно сопряженной с ней матрице. Здесь $i = \sqrt { - 1} .$

Соответствующее якобиево отображение x + + $\ln ({{T}_{{\ln }}}x)$ не допускает элементарного обращения. В частности, в отличие от всех рассмотренных выше случаев, обратное отображение не является конечной суперпозицией логарифмической функции и арифметических операций. Отметим, что $T_{{\ln }}^{3} + 8i{{T}_{{\ln }}} = 0.$ Применение функции permuteRowsAndColumns позволяет заключить, что любая матрица, перестановочно подобная матрице ${{T}_{{\ln }}},$ также образует хорошую пару с логарифмической функцией. Вопрос об алгоритмическом описании множества всех матриц Тёплица, образующих хорошую пару с заданной аналитической функцией, является, по-видимому, открытым.

Отметим, что в трехмерном случае матрица

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 1} \\ { - 1}&0&1 \\ 1&{ - 1}&0 \end{array}} \right)$

образует хорошую пару с логарифмической функцией. Обращение соответствующего якобиева отображения требует решения трансцендентной системы уравнений

${{\left( {\frac{\eta }{\zeta }} \right)}^{\xi }} = s,\quad {{\left( {\frac{\zeta }{\xi }} \right)}^{\eta }} = t,\quad {{\left( {\frac{\xi }{\eta }} \right)}^{\zeta }} = u$

относительно переменных $\xi ,\;\eta ,\;\zeta .$

4.4. Многомерный случай: семейство матриц ранга 2, образующих хорошие пары с функцией возведения в квадрат

Параметризация множества всех якобиевых отображений вида $x + {{(Ax)}^{d}}$ в произвольной размерности n и для произвольной степени d (здесь, как и ранее, $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{C}}^{n}}$ – вектор комплексных переменных, A – квадратная матрица размера n) находится, по-видимому, далеко за пределами современных возможностей компьютерной алгебры. Несмотря на это, процедуры и функции пакета JC позволяют строить и изучать свойства семейств якобиевых отображений в произвольной размерности, удовлетворяющих ряду дополнительных предположений.

Для целого положительного $\ell $ введем обозначения $\bar {s} = ({{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{\ell }}) \in {{\mathbb{C}}^{\ell }},$ $\bar {t} = ({{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{\ell }}) \in {{\mathbb{C}}^{\ell }}$ и положим ${\text{|}}\bar {s}{\text{|}}: = {{s}_{1}} + \ldots + {{s}_{\ell }}.$ С помощью функций JacobianEquations и allPrincipalMinors, входящий в пакет JC, сформируем следующую квадратную матрицу размера $\ell + 2{\text{:}}$

$M(\bar {s},\bar {t}): = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; - \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}}&{ - \frac{{{\text{|}}\bar {s}{\text{|}}({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}{{{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}}}}&{\bar {s}} \\ { - \frac{{{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}{{{\text{|}}\bar {s}{\text{|}}}}}&{ - {\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; - \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}}&{\bar {t}} \\ { - \frac{{{{{({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}^{2}}}}{{{\text{|}}\bar {s}{\text{|}}}}}&{ - \frac{{{{{({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}^{2}}}}{{{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}}}}&{\bar {s} + \bar {t}} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ { - \frac{{{{{({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}^{2}}}}{{{\text{|}}\bar {s}{\text{|}}}}}&{ - \frac{{{{{({\text{|}}\bar {s}{\text{|}}\; + \;{\text{|}}\bar {t}{\text{|}})}}^{2}}}}{{{\text{|}}\bar {t}{\text{|}}}}}&{\bar {s} + \bar {t}} \end{array}} \right).$

Последние $\ell $ строк матрицы $M(\bar {s},\bar {t})$ одинаковы и равны сумме первых двух ее строк. Команда JMatrDeg позволяет осуществить непосредственную проверку того факта, что матрица $M(\bar {s},\bar {t})$ образует хорошую пару с функцией $\varphi (\zeta )$ = ζ². Соответствующее якобиево отображение $x + {{(M(\bar {s},\bar {t})x)}^{2}}$ может быть обращено с помощью функции NewtonInverse, однако результат ее работы слишком громоздок для включения в текст статьи. Мы отсылаем читателя к результатам компьютерных экспериментов, представленных на сайте пакета JC.

5. ОБОРУДОВАНИЕ, ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ОЦЕНКА СКОРОСТИ РАБОТЫ ПРОГРАММНОГО КОДА

Представленные в настоящей работе расчеты выполнены в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica 11.3 на рабочей станции HP Z Workstation с центральным процессором Intel Xeon Gold 6146 с тактовой частотой 3.20 ГГц и 128 Гб оперативной памяти.

Число различных универсальных матриц быстро растет с увеличением размерности. В таблице 3 приведены результаты компьютерных экспериментов с функцией allUniversalMatrices для всех $n \leqslant 10.$ Каждая из найденных универсальных матриц определяет n-параметрическое семейство якобиевых отображений вида (2.1), полученных путем взятия произведения Адамара с матрицей однородностей, которая может быть построена с помощью команды HomogeneitiesOfJEquations. В следующей таблице время обращения якобиева отображения, заданного универсальной матрицей в степени d = 2, с помощью функции NewtonInverse пакета JC сравнивается с временем, которое требуется стандартной функции Solve системы компьютерной алгебры Mathematica 11.3 для решения этой же задачи. Универсальная матрица здесь определяется целочисленным разбиением p размерности пространства переменных и тождественной перестановкой. Время работы узкоспециализированного алгоритма, учитывающего ключевые свойства якобиева отображения, ожидаемо значительно меньше времени, которое требуется для решения этой задачи с помощью функции общего назначения.

Таблица 1.

Время вычисление якобиана отображения $x + {{(Ux)}^{d}}$

d	10	11	12	13	14
Время, с.	1.67	2.57	4.07	5.51	7.54

Таблица 2.

Время обращения отображения (4.4) с помощью функции `Solve` СКА `Mathematica`

d	3	4	5	6	7
Время, с.	1.65	13.26	71.1	287.67	991.23

Таблица 3.

Количество и время вычисления всех универсальных матриц размера $2 \leqslant n \leqslant 10$

Размерность n пространства переменных	Число всех унив. матриц размера n	Время расчета, с.
2	3	<0.01
3	11	<0.01
4	49	<0.01
5	261	0.06
6	1631	0.45
7	11 743	4.67
8	95 901	52.37
9	876 809	610.57
10	8 877 691	9551.02

Таблица 4.

Время обращения якобиева отображения с помощью функций `Solve` и `NewtonInverse`

Разбиение p	Время работы функции `Solve`, с.	Время работы функции `NewtonInverse`, с.
{1, 2}	0.04	0.01
{1, 3}	0.23	0.04
{1, 4}	1.48	0.31
{2, 2}	0.26	0.10
{2, 3}	1.34	0.07
{2, 4}	7.48	0.35
{2, 5}	21.56	1.21
{3, 5}	68.23	4.34
{1, 1, 2}	0.28	0.01
{1, 1, 3}	9.68	0.10
{1, 1, 4}	184.28	1.04
{1, 2, 2}	12.68	0.09
{1, 2, 3}	322.23	1.00
{2, 2, 2}	182.17	3.64

Список литературы

Абрамов С.А. Поиск рациональных решений дифференциальных и разностных систем с помощью формальных рядов // Программирование. 2015. № 2. С. 69–80.
Dru$\dot {z}$kowski L.M. An effective approach to Keller’s Jacobian Conjecture // Math. Ann. 1983. № 264. P. 303–313.
van den Essen A. Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture. Birkhäuser, 2000.
van den Essen A. and Washburn S. The Jacobian Conjecture for symmetric Jacobian matrices // Journal of Pure and Applied Algebra. 2004. № 189. P. 123–133.
Fernandes F. A new class of non-injective polynomial local diffeomorphisms on the plane // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2022. № 507. 125736.
Grigoriev D. and Radchenko D. On a tropical version of the Jacobian Conjecture // Journal of Symbolic Computation. 2022. № 109. P. 399–403.
Keller O.H. Ganze Cremona-Transformationen // Monatshefte für Mathematik und Physik. 1939. № 47. P. 299–306.
Peretz R. The 2-dimensional Jacobian Conjecture: A computational approach // Algorithmic Algebraic Combinatorics and Gröbner Bases. 2009. P. 151–203.
Stepanova M.A. Jacobian conjecture for mappings of a special type in ${{\mathbb{C}}^{2}}$ // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2018. № 11(2.3). P. 776–780.
Truong T.T. Some new theoretical and computational results around the Jacobian Conjecture // International Journal of Mathematics. 2020. № 31(4.1). 2050050.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Программирование

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал