Расплавы, 2020, № 5, стр. 480-488
Кластерно-ассоциатная модель вязкости фторида натрия в сопоставлении с моделью Френкеля
А. М. Макашева a, В. П. Малышев a, *
a Химико-металлургический институт им. Ж. Абишева
Караганда, Казахстан
* E-mail: eia_hmi@mail.ru
Поступила в редакцию 09.08.2019
После доработки 04.03.2020
Принята к публикации 30.03.2020
Аннотация
Целью исследований является разработка температурной зависимости динамической вязкости для фторида натрия. Актуальность исследований связана с недостаточной изученностью природы вязкого состояния и течения жидкости, с разрозненностью температурных зависимостей вязкости, с фрагментарностью и узостью экспериментального определения этой характеристики и невозможностью ее отображения в полном температурном диапазоне жидкого состояния, особенно для расплавов. Научная новизна работы состоит в отображении температурной зависимости вязкости кластерно-ассоциатной вероятностной математической моделью, иерархическая структура которой адекватна физической природе агрегации частиц без учета их конкретного строения, но с учетом изменения степени их ассоциации с повышением температуры. Расчет данных проводился на основе нового кластерно-ассоциатного уравнения, которое было выведено в рамках концепции хаотизированных частиц. Приведены расчетные данные в температурном диапазоне от температуры плавления до точки кипения. Показано, что степень ассоциации кластеров при повышении температуры закономерно понижается, равная в среднем трех-четырехчастичной компоновке кластеров в ассоциате. Проведено сопоставление кластерно-ассоциатной модели с уравнением Френкеля в логарифмических координатах. Аппроксимация проводилась двумя прямолинейными зависимостями, пересекающимися в области температуры 1500 К. Высокий коэффициент корреляции френкелевской и кластерно-ассоциатной моделей указывает на функциональный характер взаимосвязи, взаимное соответствие и дополнительность этих моделей.
ВВЕДЕНИЕ
Авторами [1] на основе концепции хаотизированных частиц была разработана кластерно-ассоциатная модель вязкости жидкости в полном диапазоне от температуры плавления до точки кипения.
Согласно этой концепции, в соответствии с фундаментальным распределением Больцмана вязкое течение рассматривается как разрушение ассоциатов путем преодоления сил Ван-дер-Ваальсового притяжения между кластерами, что в принципе не противоречит существующим представлениям о вязком течении и подчиняется новой зависимости [2–4]:
(1)
$\eta = {{\eta }_{1}}{{\left( {{{{{T}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{1}}} T}} \right. \kern-0em} T}} \right)}^{a}},$(2)
$а = {{а}_{2}}{{\left( {{{{{Т}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{Т}_{2}}} Т}} \right. \kern-0em} Т}} \right)}^{b}},$(3)
${{a}_{2}} = \frac{{\ln \left( {{{{{\eta }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{2}}} {{{\eta }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\eta }_{1}}}}} \right)}}{{\ln \left( {{{{{T}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{1}}} {{{T}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{2}}}}} \right)}},$(4)
${{a}_{3}} = \frac{{\ln \left( {{{{{\eta }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{3}}} {{{\eta }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\eta }_{1}}}}} \right)}}{{\ln \left( {{{{{T}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{1}}} {{{T}_{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{3}}}}} \right)}},$(5)
$b = \frac{{\ln \left( {{{{{a}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{3}}} {{{a}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{2}}}}} \right)}}{{\ln \left( {{{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} {{{T}_{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{3}}}}} \right)}}.$Таким образом, общая форма двухуровневой иерархической модели будет представлена следующим образом:
(6)
$\eta = {{\eta }_{1}}{{\left( {{{{{T}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{1}}} T}} \right. \kern-0em} T}} \right)}^{{{{a}_{2}}{{{\left( {{{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} T}} \right. \kern-0em} T}} \right)}}^{b}}}}}.$При этом уравнение (6) можно определить как обобщенное полуэмпирическое, поскольку, сохраняя причастность к фундаментальному распределению Больцмана, в нем используются реперные значения (при T1, T2 и Т3).
Реперные точки целесообразно выбирать соответственно в начале, середине и в конце всего имеющегося экспериментального массива ηi, Ti. В этом случае можно ограничиться расчетом а2, а3 и b, не обрабатывая весь экспериментальный массив, с дальнейшим введением необходимых величин в модель (6) и вычислением η для сопоставления со всеми экспериментальными значениями по коэффициенту корреляции.
ПРОВЕРКА КЛАСТЕРНО-АССОЦИАТНОЙ МОДЕЛИ НА ПРИМЕРЕ ФТОРИДА НАТРИЯ
Фторид натрия (флюорит) является неорганическим бинарным соединением. NaF используется в качестве металлургического флюса, для защиты от окисления сплавов во время их переработки, а также в процессах брожения как ингибитор [5].
Вязкость фторида натрия представлена следующими сведениями [6]: температурой плавления – Tm = 1265 К и температурой кипения Тb = 1973 К.
Приведенный справочный массив данных ηi, Ti [6] состоит из трех точек, которые и были использованы в качестве реперных: Т1 = 1288 К, η1 = 1.85 мПа ⋅ с; Т2 = 1383 К, η2 = 1.41 мПа ⋅ с; Т3 = 1473 К, η3 = 1.14 мПа ⋅ с. По ним с помощью формул (3)–(5) рассчитаны значения a2 = 3.816, b = 0.893 и в соответствии с моделью (6) получено расчетное уравнение вязкости
(7)
$\eta = 1.85{{\left( {\frac{{1288}}{Т}} \right)}^{{3.816{{{\left( {{{1383} \mathord{\left/ {\vphantom {{1383} Т}} \right. \kern-0em} Т}} \right)}}^{{0.893}}}}}},\,\,\,\,{\text{мПа}} \cdot {\text{с}}{\text{.}}$Результаты расчета по этому уравнению вместе с вычислениями температурной зависимости степени ассоциации (2)
(8)
$a = 3.816{{\left( {{{1383} \mathord{\left/ {\vphantom {{1383} Т}} \right. \kern-0em} Т}} \right)}^{{0.893}}}$Таблица 1.
Справочные [6] и рассчитанные по (7) и (8) данные по динамической вязкости и степени ассоциации жидкого фторида натрия
Т, К | η [6], мПа ∙ с | η (7), мПа ∙ с | а(8) | Т, К | η (7), мПа ∙ с | а(8) |
---|---|---|---|---|---|---|
Tm = 1265 | – | 1.993 | 4.133 | 1600 | 0.894 | 3.351 |
1288 | 1.85 | 1.850 | 4.067 | 1650 | 0.825 | 3.260 |
1300 | – | 1.782 | 4.033 | 1700 | 0.767 | 3.174 |
1350 | – | 1.540 | 3.900 | 1750 | 0.717 | 3.093 |
1383 | 1.41 | 1.410 | 3.817 | 1800 | 0.674 | 3.016 |
1400 | – | 1.350 | 3.775 | 1850 | 0.637 | 2.943 |
1450 | – | 1.199 | 3.659 | 1900 | 0.605 | 2.874 |
1473 | 1.14 | 1.140 | 3.607 | 1950 | 0.577 | 2.808 |
1500 | – | 1.077 | 3.549 | Тb = 1973 | 0.566 | 2.779 |
1550 | – | 0.977 | 3.447 |
Рис. 1.
Зависимость динамической вязкости фторида натрия от температуры. Тm – температура плавления, Тb – температура кипения. Точки – справочные данные [6], линия – по уравнению (7).
![](/issues/raspl/2020/vol_2020/iss_5/Raspl2005006Makasheva/Raspl2005006Makasheva-F1.gif)
Как видно из табл. 1, предлагаемая модель (7) полностью согласуется со справочными данными в рассматриваемом диапазоне температур. По степени ассоциации кластеров а можно отметить, что при повышении температуры она закономерно понижается, варьируясь от а = 4.13 до а = 2.78 в точке кипения.
Среднеинтегральное значение степени ассоциации кластеров в интервале Tm – Tb, согласно формуле среднеинтегральной величины [7]:
где c и d – начало и конец интересующего интервала изменения х, выразится какСОГЛАСОВАНИЕ КЛАСТЕРНО-АССОЦИАТНОЙ МОДЕЛИ С УРАВНЕНИЕМ ФРЕНКЕЛЯ
Для сравнения кластерно-ассоциатной модели вязкости с моделью Френкеля необходимо представление полученных данных в логарифмических координатах. Результаты соответствующей обработки данных табл. 1 представлены на рис. 2.
Рис. 2.
Логарифмическая зависимость вязкости NaF от обратной температуры. Крестики – по справочным данным [6], точки – по кластерно-ассоциатной модели (7), сплошные прямые линии – аппроксимация по модели Френкеля, штриховые линии – экстраполяция в другую область температуры.
![](/issues/raspl/2020/vol_2020/iss_5/Raspl2005006Makasheva/Raspl2005006Makasheva-F2.gif)
Размещение точек по кластерно-ассоциатной модели (7) носит заметно нелинейный характер, и эти точки можно аппроксимировать двумя прямолинейными зависимостями, пересекающимися в области температуры 1500 К.
Строго говоря, кластерно-ассоциатная модель общего вида (6)
(9)
$\ln \eta = \ln {{\eta }_{1}} + {{a}_{2}}{{\left( {{{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} T}} \right. \kern-0em} T}} \right)}^{b}}\ln \left( {{{{{T}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{1}}} T}} \right. \kern-0em} T}} \right),$Напротив, модель вязкости Френкеля предписывает возможность определения энергии активации, по сути своей – барьера хаотизации, в нешироких температурных интервалах, что подтверждается обширными экспериментальными данными [9].
Таким образом, две сравниваемые модели оказываются взаимодополнительными: кластерно-ассоциатная модель способна описывать температурную зависимость вязкости в полном диапазоне жидкого состояния вещества, так как в ней учитывается закономерное уменьшение степени ассоциации кластеров, а модель Френкеля позволяет определять энергию активации вязкого течения по псевдопрямолинейным участкам на основе экспериментальных или экстраполированных данных с помощью кластерно-асоциатной модели.
Для прямолинейной аппроксимации данных на рис. 2 используем два множества точек для низкотемпературного (до 1500 К) и высокотемпературного (выше 1500 К) участков.
Для низкотемпературной области находим уравнение Френкеля
(10)
$\eta = 4.416 \cdot {{10}^{{ - 2}}}{{e}^{{\frac{{39\,909}}{{RT}}}}},\,\,\,\,{\text{мПа}} \cdot {\text{с}}.$Для высокотемпературной части уравнение Френкеля выразится как
(11)
$\eta = 7.746 \cdot {{10}^{{ - 2}}}{{e}^{{\frac{{32\,592}}{{RT}}}}},\,\,\,\,{\text{мПа}} \cdot {\text{с}}.$Сопоставление двух моделей Френкеля, (10) и (11) с кластерно-ассоциатной моделью (7) приведено в табл. 2.
Таблица 2.
Сопоставление температурных зависимостей вязкости фторида натрия по моделям Френкеля, (10) и (11), с кластерно-ассоциатной моделью (7) при температурах ниже и выше 1500 К
Т, К | η, мПа ∙ с | Т, К | η, мПа ∙ с | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
(7) | (10) | (11) | (7) | (10) | (11) | ||
Tm = 1265 | 1.993 | 1.963 | 1.717 | 1550 | 0.977 | 0.977 | 0.971 |
1288 | 1.850 | 1.834 | 1.625 | 1600 | 0.894 | 0.887 | 0.898 |
1300 | 1.782 | 1.772 | 1.580 | 1650 | 0.825 | 0.810 | 0.833 |
1350 | 1.540 | 1.546 | 1.413 | 1700 | 0.767 | 0.743 | 0.777 |
1383 | 1.410 | 1.420 | 1.318 | 1750 | 0.717 | 0.686 | 0.728 |
1400 | 1.350 | 1.362 | 1.274 | 1800 | 0.674 | 0.636 | 0.684 |
1450 | 1.199 | 1.210 | 1.157 | 1850 | 0.637 | 0.591 | 0.645 |
1473 | 1.140 | 1.149 | 1.109 | 1900 | 0.605 | 0.552 | 0.610 |
1500 | 1.077 | 1.083 | 1.057 | 1950 | 0.577 | 0.518 | 0.578 |
Тb = 1973 | 0.566 | 0.503 | 0.565 |
По данным табл. 2 и по рис. 2 заметно, что экстраполяция уравнений Френкеля за пределы линеаризованных областей температуры приводит к отклонениям от единой кластерно-ассоциатной модели, достигая на внешних границах экстраполяции 11–14%. В то же время в пределах линеаризованных областей коэффициент корреляции с кластерно-ассоциатной моделью в целом по всему массиву данных составляет величину R = 0.99968 при значимости tR = 6382 $ \gg $ 2 и детерминации D = R2 = 0.99935, что указывает на функциональный характер взаимосвязи кластерно-ассоциатной и френкелевской моделей вязкости.
На это же указывает взаимосвязь средней степени ассоциации кластеров в кластерно-ассоциатной модели ($\bar {a}$) с энергией активации по Френкелю (Е), отношение которых (Е/$\bar {a}$) дает инвариант ∼11 кДж/кластер в пределах диапазона 2–20 кДж/моль, характерного для энергии притяжения за счет Ван-дер-Ваальсовых сил [10], что согласуется с известными представлениями о доминировании именно таких сил при межчастичном взаимодействии в жидком состоянии вещества. В соответствии с этим вязкое течение должно сопровождаться преодолением самых слабых сил, и в рамках кластерно-ассоциатной модели вязкости сводится к разрушению ассоциатов без разрушения самих кластеров, в которых действуют насыщенные связи ближнего порядка в период виртуальной реализации этого порядка [7].
Среднеинтегральное значение степени ассоциации кластеров в уравнении общего вида (1) для любого интервала температур в пределах от нижнего (lower) значения Тl до верхнего (upper) Tu выразится как
(12)
$\bar {a} = \frac{{{{a}_{2}}T_{2}^{b}\left( {T_{{\text{u}}}^{{1 - b}} - T_{{\text{l}}}^{{1 - b}}} \right)}}{{\left( {1 - b} \right)\left( {{{T}_{{\text{u}}}} - {{T}_{{\text{l}}}}} \right)}}.$Для низкотемпературного интервала Тl = 1265 К, Tu = 1500 К, и согласно (8) находим
Для этого интервала Е = 39 909 Дж/моль и отношение Е/$\bar {a}$ = 10 433 Дж/кластер = = 10.4 кДж/кластер, что соответствует среднему значению энергии Ван-дер-Ваальсового притяжения.
В высокотемпературном интервале Тl = 1500 К, Tt = 1973 К и среднеинтегральное значение равно
Степень ассоциации кластеров, которая является специфическим атрибутом кластерно-ассоциатной модели вязкости, информативна еще и в том, что коррелирует с взаимосвязью структурного и теплового барьеров хаотизации. Первый из них характеризуется теплотой плавления ΔHm, которая затрачивается на разрушение структуры твердой фазы или виртуальных образований твердой фазы в жидкости, то есть кластеров, а второй – на преодоление теплового барьера, то есть уровня тепловой энергии при данной температуре RT.
Суммарная величина структурного и теплового барьеров хаотизации, ΔHm + RT, должна определять долю частиц, способных удержаться в кластерно-ассоциатном состоянии, по сравнению с долей частиц, обладающих только запасом тепловой энергии RT. Отношение этих величин (ΔHm + RT)/(RT) можно сопоставить со степенью ассоциации кластеров. Такое сопоставление приведено в табл. 3 с учетом ΔHm = 33 350 Дж/моль [11].
Некоторое расхождение сравниваемых величин наблюдается в области высоких температур, но даже в точке кипения оно составляет не более 10%. В целом же коэффициент нелинейной корреляции составил R = 0.9296 при значимости tR = 28.2 > 2 и степени детерминации D = R2 = 0.864, свидетельствующей о функциональной связи барьеров хаотизации со степенью ассоциации кластеров.
Таблица 3.
Сопоставление отношения (ΔHm + RT)/(RT) со степенью ассоциации кластеров для жидкого фторида натрия (8)
Т, К | а (8) | (ΔHm/RT) +1 | Т, К | а (8) | (ΔHm/RT) + 1 | Т, К | а (8) | (ΔHm/RT) + 1 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tm = 1265 | 4.133 | 4.171 | 1473 | 1.140 | 3.723 | 1800 | 3.016 | 3.228 |
1288 | 4.067 | 4.114 | 1500 | 1.077 | 3.674 | 1850 | 2.943 | 3.168 |
1300 | 4.033 | 4.086 | 1550 | 0.977 | 3.588 | 1900 | 2.874 | 3.111 |
1350 | 3.900 | 3.971 | 1600 | 3.351 | 3.507 | 1950 | 2.808 | 3.057 |
1383 | 3.817 | 3.900 | 1650 | 3.260 | 3.431 | Тb = 1973 | 2.779 | 3.033 |
1400 | 3.775 | 3.865 | 1700 | 3.174 | 3.360 | |||
1450 | 3.659 | 3.766 | 1750 | 3.093 | 3.292 |
ВЫВОДЫ
Таким образом, кластерно-ассоциатную модель температурной зависимости динамической вязкости фторида натрия рекомендуется использовать во всем диапазоне жидкого состояния с экстраполяцией как в область температуры кипения, так и плавления. Предлагаемую зависимость можно принять в качестве первого приближения до последующего уточнения по мере появления дополнительных экспериментальных данных.
Практическое совпадение данных по кластерно-ассоциатной модели вязкости с моделью Френкеля свидетельствует о взаимном соответствии и дополнительности этих моделей.
Работа выполнена в рамках проекта АР05130844/ГФ по грантовому финансированию МОН РК.
Список литературы
Малышев В.П., Бектурганов Н.С., Турдукожаева (Макашева) А.М. Вязкость, текучесть и плотность веществ как мера их хаотизации. М.: Научный мир. 2012.
Малышев В.П., Толымбеков М.Ж., Турдукожаева А.М., Кажикенова А.Ш., Акуов А.М. Течение расплавов – разрушение ассоциатов кластеров // Расплавы. 2010. № 6. С. 43–49.
Малышев В.П., Турдукожаева А.М. Уточнение кластерно-ассоциатной модели вязкости расплавов на основе учета влияния температуры на степень ассоциации кластеров // Расплавы. 2011. № 6. С. 72–79.
Малышев В.П., Турдукожаева А.М. Площадь поверхности кластеров в жидкости // Расплавы. 2013. № 4. С. 69–83.
Рипан Р., Четяну И. Неорганическая химия. Т. 1. Химия металлов. М.: Мир. 1971.
Рабинович В.А., Хавин З.Я. Краткий химический справочник. Л.: химия. 1972.
Malyshev V.P., Makasheva A.M., Bekturganov N.S. Viscosity, fluidity and density of substances. Aspect of Chaotization. Lambert: Academic Publishing (Germany). 2013.
Бронштейн М.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. 13-е изд., исправл. М.: Наука. 1986.
Шпильрайн Э.Э. Фомин В.А., Сковородько С.Н., Сокол Г.Ф. Исследование вязкости жидких металлов. М.: Наука. 1983.
Дикерсон Р., Грей Г., Хейт Дж. Основные законы химии. М.: Мир, 1982. Т. 1.
Волков А.И., Жарский И.М. Большой химический справочник. Мн.: Современная школа. 2005.
Дополнительные материалы отсутствуют.