Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 3, стр. 87-96
Построение математической модели функционирования пенсионных фондов в рамках задачи оценки их устойчивости
А. А. Белолипецкий a, М. А. Лепская b, *
a ВЦ ФИЦ ИУ РАН
Москва, Россия
b МФТИ (ГУ)
Москва, Россия
* E-mail: maria.lepskaya@gmail.com
Поступила в редакцию 22.11.2018
После доработки 25.12.2018
Принята к публикации 28.01.2019
Аннотация
Рассматривается задача моделирования деятельности пенсионных фондов и оценки их финансовой устойчивости. Взяв за базовую стандартную модель Крамера–Лундберга, авторы работы модифицируют ее в результате задания параметров поступления и выплат в фонд в виде случайных величин. При этом имитационное решение задачи функционирования пенсионной схемы и оценки ее устойчивости рассматривается на данных российских реалий, где начальные демографические значения полагаются равными соответствующим значениям на 2018 г., а прогнозные данные и результаты функционирования пенсионной схемы, в том числе исследование ее на устойчивость, – с 2018 по 2036 г. Имитационное моделирование проводится с учетом прогнозируемой динамики ожидаемых показателей смертностей с учетом половозрастной структуры населения.
Введение. В основе проблематики находится поиск вероятности разорения пенсионной схемы на конечном временном интервале и оценка эффективности набора экономических стратегий повышения устойчивости пенсионных схем с учетом возможных сценариев развития демографической обстановки в долгосрочном периоде.
Математическая модель функционирования пенсионных фондов, положенная в основу этой статьи, была детально изложена в предыдущей работе данных авторов [1]. Исследования устойчивости пенсионных схем, нашедшие отражение в настоящей публикации, также базируются на модифицированной модели Камера–Лундберга с учетом задания параметров поступлений и выплат в фонд в виде случайных величин. В качестве случайных величин в модели могут быть рассмотрены время смерти участников пенсионной схемы, количество участников схемы, индексация пенсий, доходность резервов, заработная плата участников пенсионной схемы и прочие экономические параметры. В качестве случайных факторов в постановке задачи приводятся количество человек, вступающих в пенсионную схему в год рассмотрения, и случайная смертность.
В виду долгосрочного характера функционирования пенсионной схемы при описании финансовых потоков пенсионного фонда необходимо учитывать изменения основных демографических параметров общества: уровней рождаемости и ожидаемой продолжительности жизни.
Для рассмотрения долгосрочной динамики этих показателей на российских реалиях предлагается использовать прогноз Росстата [2], представленный в трех сценариях: пессимистичном, среднем и оптимистичном. Половозрастная структура населения Российской Федерации (в расчете на 1 млн. чел.) по состоянию на 2018 г. представлена в левой части рис. 1, в правой части рис. 1 – три сценария прогноза Росстата на 2036 г.
Рис. 1.
Текущий и прогнозный половозрастной состав населения Российской Федерации (в расчете на 1 млн. чел.)
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F1.gif)
Текущие значения состояния общества показывают, что в ближайшие 20 лет будет наблюдаться сильное увеличение доли пенсионеров в виду неравномерного распределения по возрастным группам населения страны (левая часть рис. 1). Правая же часть рис. 1 говорит о прогнозном увеличении средней продолжительности жизни. Из этого можно сделать предположение, что в течение последующих 20 лет возможны несколько экономических сценариев и/или их комбинаций для обеспечения потенциальной устойчивости пенсионной схемы: повышение нагрузки выплат на рабочее население, недоиндексация пенсий и отставание роста доходов пенсионеров, повышение пенсионного возраста.
Особенно чувствительными к колебаниям демографического состава участников оказываются негосударственные пенсионные фонды, обладающие большей дисперсией финансовых результатов.
В настоящей работе ставится задача оценки эффективности вышеописанных стратегий повышения устойчивости пенсионных схем с учетом возможных сценариев развития демографической обстановки в долгосрочном периоде.
1. Постановка задачи и математические модели. 1.1. Моделирование демографического состава участников пенсионной схемы. В произвольный момент времени $t$ возрастной состав общества может быть представлен в виде вектора
Первый элемент этого вектора соответствует числу новорожденных, которое в каждый год t мы будем считать случайной величиной с некоторым известным распределением
Рассмотрим группу $N(t,x)$ людей, которые в год $t$ находятся в возрасте $x$ лет. В год t + 1 их возраст составит соответственно x + 1 лет, а их число может быть представлено следующим образом:
где сумма берется по всей рассматриваемой группе, а величины ${{\xi }_{i}}(t,x)$ являются индикаторами события, состоящего в том, что $i$-й член рассматриваемой группы пережил прошедший годЗдесь сделано предположение об однородности членов заданной возрастной группы, выражающейся в фиксированный год t в равенстве вероятностей $p(t,x)$ пережить x + 1 год жизни для всех членов группы. С учетом такого определения величин ${{\xi }_{i}}(t,x)$ выражение (1.1) представляет из себя сумму числа успехов в $N(t,x)$ одинаковых испытаниях Бернулли, а величина $N(t + 1,x + 1)$ имеет биномиальное распределение
Зависимость вероятности пережить $x + 1$ год жизни $p(t,x)$ от времени отражает в себе изменение ожидаемой продолжительности жизни в долгосрочном периоде.
В результате обобщения вышесказанного для всех возрастных групп возрастной состав общества в $t + 1$ год может быть представлен как
(1.2)
${{{\mathbf{N}}}_{{t + 1}}} = \left[ \begin{gathered} N(t + 1,0) \\ N(t + 1,1) \\ ... \\ N(t + 1,x) \\ ... \\ N(t + 1,R) \\ \end{gathered} \right] \sim \left[ \begin{gathered} n(t) \\ Bin(N(t,a),p(t,1)) \\ ... \\ Bin(N(t,х - 1),p(t,x - 1)) \\ ... \\ Bin(N(t,R - 1),p(t,R - 1)) + Bin(N(t,R),p(t,R)) \\ \end{gathered} \right].$Таким образом, зная возрастной состав общества в произвольный год $t$, можно спрогнозировать его динамику в течение любого временного промежутка.
1.2. Математическая модель пенсионной схемы. Введем следующие предположения относительно рассматриваемой пенсионной схемы:
1) участники вступают в пенсионную схему и начинают платить взносы в возрасте $a$ лет;
2) достигнув возраста $r$ лет, участник выходит на пенсию и начинает получать пенсионные выплаты;
3) число людей возраста a, вступающих в пенсионную схему в $t$-й год, пропорционально совокупному числу членов общества возраста $a$ с коэффициентом пропорциональности $k$;
4) вступление и выход из пенсионный схемы в возрасте, отличном от $a$, невозможны.
Тогда возрастной состав участников пенсионной схемы в произвольном году $t + 1$ может быть представлен следующим вектором
(1.3)
${{{\mathbf{M}}}_{{t + 1}}} = \left[ \begin{gathered} M(t + 1,a) \\ ... \\ M(t + 1,x) \\ ... \\ M(t + 1,r) \\ ... \\ M(t + 1,R) \\ \end{gathered} \right] \sim \left[ \begin{gathered} kN(t + 1,a) \\ ... \\ Bin(M(t,х - 1),p(t,x - 1)) \\ ... \\ Bin(M(t,r - 1),p(t,r - 1)) \\ ... \\ Bin(M(t,R - 1),p(t,R - 1)) \\ \end{gathered} \right],$Умножая вектор ${{{\mathbf{M}}}_{t}}$ на квадратную матрицу E+ соответствующей размерности с единицами на первых $r$ диагональных элементах, получим вектор ${\mathbf{M}}_{t}^{ + }$, содержащий только работающую часть участников пенсионной схемы. Аналогично умножением ${{{\mathbf{M}}}_{t}}$ на квадратную матрицу E– соответствующей размерности с единицами на последних $R - r$ диагоналях получим вектор ${\mathbf{M}}_{t}^{ - }$, характеризующий число пенсионеров.
Введем в рассмотрение функцию $s(x)$, характеризующую средний размер заработной платы, получаемый работником возраста $x$. Будем считать, что средний уровень заработных плат ежегодно изменяется на $\Theta $ процентов.
Начальная годовая ставка пенсионных выплат является долей f от последней ставки заработной платы перед выходом на пенсию. Таким образом, для участника схемы, выходящего на пенсию (т.е. достигающего возраста $r$) в момент времени $t$, прогнозируемая годовая ставка пенсионных выплат составит $fs(r){{e}^{{\theta t}}}$, где ${{e}^{\theta }} = 1 + \Theta $.
Введем поправочный коэффициент $h(x)$, применяемый к исходной ставке пенсионных выплат размера $fs(r){{e}^{{\theta (t - (x - r))}}}$ тем лицам, которые вышли на пенсию $x - r$ лет назад. Заметим, что $h(r)$ = 1. Например, $h(x)$ может быть экспоненциальной функцией ${{e}^{{\omega (x - r)}}}$, где $\omega $ – постоянный коэффициент прироста, определяемый уровнем ежегодной индексации пенсий $\Omega = {{e}^{\omega }} - 1$.
Таким образом, для пенсионера возраста $x$ в момент времени $t$ прогнозируемая годовая ставка пенсионных выплат будет определена следующим выражением:
(1.4)
${{b}_{t}} = fs(r){{e}^{{\theta (t - (x - r))}}}{{e}^{{\omega (x - r)}}} = fs(r){{e}^{{\theta t}}}{{e}^{{(\omega - \theta )(x - r)}}} = {{e}^{{\theta t}}}F(x).$Взносы работающих участников пенсионной схемы будем считать долей $z$ от получаемой ими заработной платы, таким образом, взнос участника возраста $x$ в момент времени $t$ составит
1.3. Математическая модель процесса накопления и расходования средств пенсионного фонда. Составим вектор следующего вида:
Тогда, с учетом выражения (1.5), совокупный годовой объем взносов всех работающих в пенсионный фонд в год $t$ может быть найден как
а совокупный годовой объем всех пенсионных выплат с учетом выражения (1.4) составит где вектор Mt представляет собой вектор (1.3), характеризующий возрастной состав участников пенсионной схемы.Сумма этих двух показателей представляет собой приращение объема пенсионного фонда в t-м году и определяется как
(1.6)
$\Delta {{H}_{t}} = {{Q}_{t}} + {{B}_{t}} = {{e}^{{\theta t}}}{{{\mathbf{V}}}^{{\text{T}}}}{{{\mathbf{M}}}_{t}}.$Здесь учтен тот факт, что сумма матриц ${{E}^{ + }}$ и ${{E}^{ - }}$ дает единичную матрицу, вследствие чего произведение векторов становится скалярным.
С учетом выражения (1.6) объем средств пенсионного фонда в произвольный момент времени $t$ может быть найден следующим образом:
(1.7)
${{{\mathbf{H}}}_{t}} = {{H}_{0}} + \sum\limits_{j = 1}^t {{{e}^{{\theta j}}}{{{\mathbf{V}}}^{{\text{T}}}}{{{\mathbf{M}}}_{t}}} ,$Предположим также, что по результатам каждого финансового года средства фонда, оставшиеся после всех выплат, размещаются на финансовом рынке с фиксированной средней ставкой доходности $i$ процентов. Тогда выражение (1.6) для приращения объема фонда в t-м году должно быть переписано с учетом инвестиционного дохода от размещения средств, накопленных к концу предыдущего периода:
а выражение для процесса (1.7) может быть представлено как(1.8)
${{H}_{t}} = {{H}_{0}}{{(1 + i)}^{t}} + \sum\limits_{j = 1}^{t - 1} {{{e}^{{\theta (t - j)}}}{{{(1 + i)}}^{j}}{{{\mathbf{V}}}^{T}}{{{\mathbf{M}}}_{{t - j}}}} .$Важно отметить, что в силу линейности процесса (1.8) относительно вектора состава участников Mt рассмотрение пенсионных схем с возможностью вступления/выхода в произвольном возрасте, отличном от $a$, равно как и схем с неоднородным (например, по половому признаку) составом участников, может быть произведено через суперпозицию соответствующих процессов (1.8).
Так, процесс накопления и расходования средств пенсионного фонда с учетом различия социально-демографических характеристик по половому признаку может быть представлен в виде следующего выражения:
(1.9)
${{{\mathbf{H}}}_{t}} = {{H}_{0}}{{(1 + i)}^{t}} + \sum\limits_{j = 1}^{t - 1} {{{e}^{{\theta (t - j)}}}{{{(1 + i)}}^{j}}[{{{\mathbf{V}}}^{{\text{T}}}}({{r}_{w}}){\mathbf{M}}_{{t - j}}^{w} + {{{\mathbf{V}}}^{{\text{T}}}}({{r}_{m}}){\mathbf{M}}_{{t - j}}^{m}]} ,$В качестве меры устойчивости пенсионного фонда на конечном временном промежутке [0, T] будем использовать вероятность его разорения, определенную следующим образом:
Процесс (1.9) не является Марковским в силу того, что его значения зависят от всей предыстории развития процессов (1.3) и (1.4). Благодаря этому факту, а также общей сложности рассматриваемых взаимосвязей решение задачи нахождения вероятности (1.18) в аналитическом виде представляется затруднительным. В такой ситуации представляется целесообразным использование методов имитационного моделирования.
2. Имитационное моделирование. 2.1. Постановка эксперимента. Рассмотрим пенсионный портфель при фиксированных параметрах $a$ и $R$. Имитационный эксперимент поставим следующим образом: для $t = \overline {1,T} $ будем последовательно генерировать потоки случайных величин $n(t)$ и $\{ N(t,x)\} _{{x = 0}}^{R}$, на основании которых сформируем выборки значений процесса изменения возрастного состава участников фонда Mt.
Далее, для фиксированных значений параметров $i$, $\Theta $ и $\Omega $, а также пенсионных возрастов ${{r}_{w}}$ и ${{r}_{m}}$ с использованием полученных значений Mt рассчитаем динамику финансовых потоков пенсионного фонда и составим выборку значений процесса его накопления (1.9). На основе полученных выборок вероятность разорения фонда определяется как отношения числа реализаций соответствующего процесса, содержащих значения $H(t) < 0$, к общему числу проведенных экспериментов. Далее, повторяя описанную последовательность действий при различных значениях параметров, получим оценку влияния этих параметров на устойчивость пенсионного фонда.
В качестве распределения величины $n(t)$ – числа новорожденных в $t$-м году – используем распределение Пуассона, описывающее число независимых событий, произошедших на конечном временном интервале. Параметр распределения $\lambda (t)$ будем описывать прогнозируемой Росстатом численностью новорожденных в период 2019–2036 гг. [2].
Вероятность индивида пережить $x + 1$ год своей жизни $p(t,x)$, определяющая распределения случайных величин $\{ N(t,x)\} _{{x = 0}}^{a}$ и $\{ M(t,x)\} _{{x = a}}^{R}$, может быть оценена как отношение прогнозной численности группы населения возраста $x + 1$ в год $t + 1$ к численности группы возраста $x$ в год $t$. При моделировании динамики ожидаемых уровней рождаемости и смертности рассмотрим все три представленных в прогнозе Росстата сценария.
В качестве параметра $k$, определяющего долю населения, который участвует в пенсионном фонде, используем значение 10–3, примерно соответствующее негосударственному пенсионному фонду средних размеров [3]. Начальное распределение участников пенсионной схемы по возрастам и полу будем считать соответствующим социально-демографическому распределению населения в 2018 г.
Долю забортной платы, подлежащей отчислению в пенсионный фонд, положим равной 22%, в соответствии со значением основного тарифа страховых взносов на обязательное пенсионное страхование Пенсионного фонда Российской Федерации. Для моделирования зависимости заработной платы от возраста работника $s(x)$ воспользуемся статистикой средних уровней заработной платы по различным возрастным группам в первом квартале 2018 г., представленной в статистических сборниках Росстата [4]. На основании данных Росстата о среднем уровне назначенных пенсий за первый квартал 2018 г. [4] рассчитаем показатель f (отношение первой полученной пенсии к последней зарплате) как отношение среднего уровня назначенной пенсии к среднему уровню заработной платы в предпенсионной возрастной группе, который по указанным данным оказывается равным 40.87%. За единицу измерения денежных средств принимается пиковый уровень средней по стране годовой заработной платы, приходящийся на промежуток 30–35 лет и равный 510 тыс. руб.
В каждом проведенном эксперименте были использованы 103 реализаций модели. Возраст вступления в пенсионную схему полагается равным a = 18 лет, старшая возрастная группа соответствует возрастам $R \geqslant 85$ лет. Если не оговорено иное, темп роста заработных плат $\Theta $ соответствует уровню 2018 г. и равен 4.1%, уровень индексации пенсий $\Omega = $ 2.5%, доходность резервов определена на характерном для банковских вкладов уровне i = 8%. Пенсионный возраст, по умолчанию, полагается равным 60 и 55 лет для мужчин и женщин соответственно. Период прогнозирования $T$ определяется наличием данных и составляет 18 лет [5, 6].
2.2. Результаты экспериментов. Рассмотрим распределения конечного объема фонда к 2036 г. при нулевом начальном объеме и описанных выше экономических параметрах, представленных на рис. 2.
Рис. 2.
Эмпирические распределения объема пенсионного фонда к 2036 г. для различных демографических сценариев
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F2.gif)
Видно, что наилучший финансовый результат пенсионного фонда достигается при реализации пессимистичного демографического сценария, а наихудший – в случае оптимистичного. Такое положение дел объясняется заметным увеличением средней продолжительности жизни в среднем сценарии по сравнению с пессимистичным при значительно меньших различиях в количестве работающего населения. Оптимистичный сценарий включает в себя также существенное увеличение старшей возрастной группы, создающей дополнительную нагрузку на пенсионный фонд.
Эмпирические распределения на рис. 2 позволяют оценить уровень неопределенности результатов фонда, который при разумных экономических параметрах оказывается сопоставим с абсолютными объемами фонда. Данный факт, иллюстрирующий существенную зависимость итогов деятельности фонда от случайных колебаний демографического состава его участников (характерную для пенсионных фондов с относительно небольшим числом участников, составляющим порядка 105–106 чел.), подтверждает обоснованность стохастического подхода к моделированию финансовой деятельности негосударственных пенсионных фондов [7].
Рассмотрим характер влияния основных параметров модели на ожидаемые результаты деятельности фонда. Минимальным требованием к успешной пенсионной схеме является неуменьшение реальных доходов пенсионеров, которое в рамках настоящей модели может быть интерпретировано как превышение темпами индексации пенсий Ω темпа роста заработных плат Θ [8].
На рис. 3 показана ожидаемая динамика объема пенсионного фонда в среднем демографическом сценарии при темпе индексации пенсий Ω, равном темпу роста заработных плат Θ = 4.1% и различных параметрах доходности резервов i и начального объема фонда ${{H}_{0}}$. Видно, что выполнение требования сохранения реальных доходов пенсионеров неизбежно приводит к более раннему или позднему разорению пенсионного фонда. Увеличение параметров i и ${{H}_{0}}$ в разумных пределах может оттянуть этот срок, но не изменить характер зависимостей. Таким образом, доходность и объем резервов имеют достаточно ограниченное воздействие на устойчивость пенсионной схемы.
Для сравнения уменьшение уровня индексации пенсий в 2 раза, при прочих равных, приводит к принципиальному изменению картины (рис. 4). В этих условиях ожидаемый объем фонда неограниченно растет. Характер этого роста в зависимости от совокупности параметров i и ${{H}_{0}}$ может варьироваться от логарифмического до экспоненциального [9].
Схожего результата можно добиться за счет увеличения порога пенсионного возраста. Так, при используемых значениях параметров увеличение пенсионного возраста для мужчин и женщин на один год позволяет обеспечить уровень индексации пенсий равный темпам роста заработной платы (рис. 5).
Рис. 5.
Ожидаемая динамика объема пенсионного фонда при Ω = Θ = 4.1%, ${{r}_{m}} = $ 61, ${{r}_{w}} = $ 56
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F5.gif)
Описанная картина наблюдается в независимости от абсолютных значений параметров Ω и Θ. Таким образом, при фиксированном пороге пенсионного возраста и уровне нагрузки на работающее население соотношение темпа индексации пенсий и темпа роста заработных плат является основным параметром, определяющим устойчивость пенсионной схемы. На рис. 6 представлены значения максимального уровня темпа индексации пенсий, обеспечивающего 95% уверенность в неразорении пенсионного фонда на рассматриваемом временном промежутке, в зависимости от наблюдаемого уровня темпов роста заработной платы (используется средний демографический сценарий).
Рис. 6.
Зависимость максимального темпа индексации пенсий, обеспечивающего 95%-ную вероятность неразорения фонда, от темпа роста заработной платы при различных уровнях пенсионного возраста
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F6.gif)
Видно, что максимальный достижимый уровень индексации пенсий прямо пропорционален темпу роста заработной платы. Расстояние от прямой до начала координат при этом определяется в первую очередь порогом пенсионного возраста. Таким образом, в рамках рассматриваемой модели для заданного порога пенсионного возраста существует максимально достижимое соотношение уровня индексации пенсий и темпа роста заработной платы.
В частности, из рис. 6 видно, что при порогах пенсионного возраста 60 и 55 лет для мужчин и женщин соответственно при определенных ранее параметрах модели по умолчанию уровень индексации пенсий, больший или равный темпам роста заработной платы, оказывается недостижим.
При соотношениях Ω и Θ, близким к критическим, важную роль начинают играть иные параметры модели. Так, на рис. 7 показана характерная зависимость вероятности разорения пенсионного фонда от доходности резервов и реализации различных демографических сценариев при Ω = Θ и порогах пенсионного возраста 61 и 56 лет для мужчин и женщин соответственно.
Рис. 7.
Зависимость вероятности разорения пенсионного фонда от ставки доходности резервов в различных демографических сценариях
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F7.gif)
Наконец, при заданных значениях доходности резервов и ожидаемых демографических показателей может быть оценен минимальный уровень пенсионного возраста, позволяющий с достаточной уверенностью обеспечить требуемый уровень роста благосостояния пенсионеров.
Так, на рис. 8 показаны минимальные уровни пар порогов пенсионного возраста $({{r}_{m}},{{r}_{w}})$, позволяющие обеспечить тот или иной уровень индексации пенсий с 95%-ной вероятностью неразорения фонда при прочих параметрах, взятых по умолчанию (средний демографический сценарий).
Рис. 8.
Минимальные уровни пенсионного возраста, обеспечивающие 95%-ную вероятность неразорения фонда
![](/issues/teorsist/2019/vol_2019/iss_3/TeorSist1903003Belolipetskii/TeorSist1903003Belolipetskii-F8.gif)
В частности, из графиков на рис. 6 и рис. 8 следует, что повышение порогов пенсионного возраста до уровня 65 и 55 лет для мужчин и женщин соответственно должно обеспечить возможность индексации пенсий на уровне, в 1.73 раза превышающем темп роста заработных плат.
Заключение. Стохастический характер финансовых потоков пенсионных фондов требует применения при их рассмотрении теоретико-вероятностного подхода. В рамках такого подхода факторами неопределенности должны выступать как параметры страхового портфеля фонда, так и колебания макроэкономических параметров. В виду сложности рассматриваемых закономерностей для оценки устойчивости пенсионного фонда эффективным оказывается применение методов имитационного моделирования.
Подобный подход к моделированию деятельности негосударственных пенсионных фондов на реальных демографических и экономических данных Российской Федерации при минимальном количестве исходных предположений позволил получить достаточно обоснованные результаты, хорошо соотносящиеся с действительным положением дел.
В частности, анализ финансовых потоков пенсионного фонда, основанный на текущих демографических прогнозах при разумных значениях актуальных экономических параметров (уровень инфляции, индексации заработной платы и пр.) подтвердил невозможность обеспечения роста реальных доходов пенсионеров в долгосрочном периоде при сохранении порогов пенсионного возраста на уровне 60/55 лет. В то же время реализуемое в рамках пенсионной реформы повышение пенсионного возраста при сохранении значений прочих параметров должно обеспечить возможность индексации пенсий на уровне, более чем в 1.5 раза превышающем темпы роста заработной платы.
Предложенные имитационные алгоритмы могут быть использованы для оценки влияния на устойчивость пенсионных фондов параметров формирования пенсионных взносов и выплат, а также стратегий управления резервами, исследования чувствительности результатов деятельности фонда к изменениям внешних факторов и макроэкономических показателей.
Список литературы
Belolipetskii A.A., Lepskaya M.A. A Mathematical Model of Pension Fund Operation and Methods of Fund Stability Analysis // Computational Mathematics and Modeling. 2018. V. 29. Iss. 2. P. 233–243.
Предположительная численность населения Российской Федерации до 2035 года: Статистический бюллетень. М.: Росстат, 2018. 331 с.
Обзор ключевых показателей негосударственных пенсионных фондов: информационно аналитическое издание // Центральный банк Российской Федерации. 2-й квартал, 2017. М.: Центральный банк РФ, 2017. 19 с.
Социально-экономическое положение России. № 9. Январь–сентябрь 2018 года: Статистический сборник. М.: Росстат, 2018. 366 с.
Демографический ежегодник России. 2017: Статистический сборник / Под ред. Г.К. Оксенойта, С.Ю. Никитана, Е.М. Андреева и др. М.: Росстат, 2017. 265 с.
Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007. 542 с.
Виноградов О.П. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. Т. 5. Вып. 1. С. 134–149.
Бойков А.В. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями // Теория вероятностей и ее применение. 2002. Т. 47. Вып. 3. С. 549–553.
Глухова Е.В., Змеев О.А., Ливщиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2004. 180 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Теория и системы управления