1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Астрономический журнал
  4. T. 97, № 7, 2020

Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 7, стр. 531-537

Транзиенты экзопланет: возможные изменения коэффициентов потемнения к краю затмеваемых звезд на коротких временны́х интервалах

М. К. Абубекеров 1, *, Н. Ю. Гостев 1, **

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга
Москва, Россия

* E-mail: marat@sai.msu.ru
** E-mail: ngostev@mail.ru

Поступила в редакцию 27.02.2020
После доработки 30.03.2020
Принята к публикации 30.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выполнена интерпретация высокоточных транзитных кривых блеска двойных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b для трех разных эпох. Продемонстрировано, что значения коэффициентов потемнения звезды к краю для каждой из эпох значимо отличаются, в то время как геометрические параметры для каждой из эпох в пределах ошибок хорошо согласуются между собой. Показано, что для надежного определения коэффициентов потемнения к краю требуются методы, “очищающие” наблюдаемые транзитные кривые блеска от эффектов, вызванных неоднородностью поверхности.

1. ВВЕДЕНИЕ

Транзитные кривые блеска содержат важную информацию не только о геометрических параметрах двойной (радиус звезды, радиус планеты, наклонение орбиты), но и коэффициенты потемнения к краю, которые косвенно содержат важную информацию об атмосфере звезды. При этом часто встает вопрос об адекватности классической модели потемнения к краю наблюдательным данным, в частности, из-за различных неоднородных структур на поверхности звезды.

Авторы в рамках решения этой задачи получили для разных эпох эмпирические значения коэффициентов потемнения к краю материнских звезд хорошо изученных двойных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b и Kepler-7b. Эмпирические значения коэффициентов потемнения к краю получены на основе транзитных кривых блеска двойных систем из работ [1–3]. Расчет значений коэффициентов потемнения выполнен для квадратичного закона потемнения диска звезды к краю.

Исходные анализируемые транзитные кривые блеска содержат около 2100 значений блеска, полученных в течение 44 сут. Авторы разделили эти данные на три равных сета по $ \sim {\kern 1pt} 15$ сут в каждом. Каждый такой наблюдательный сет содержал около 700 значений блеска двойной. Результаты интерпретации показали, что геометрические параметры каждой двойной, полученные на основе наблюдательных данных каждого сета, хорошо согласуются между собой. В то же время значения коэффициентов потемнения к краю значимо отличаются.

2. МЕТОД ИНТЕРПРЕТАЦИИ

Метод интерпретации наблюдаемых транзитных кривых блеска двойной системы с экзопланетой основан на алгоритме высокоточного вычисления блеска при транзите планеты по диску звезды, описанному в цикле работ [4–9].

Использовалась модель двух сферических звезд на круговой орбите в отсутствие эффектов отражения и эллипсоидальности. Относительный радиус полости Роша в десятки раз больше радиуса планеты [10]. Поэтому наше предположение о сферичности планеты вполне обосновано. То же самое можно сказать и об оптической звезде.

При расчете кривой блеска в качестве функций распределения яркости по диску звезды использовался квадратичный закон потемнения к краю диска,

(1)
$I(\rho ) = {{I}_{0}}\left[ {1 - x\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}}}{{r_{s}^{2}}}} } \right) - y\mathop {\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{{\rho }^{2}}}}{{r_{s}^{2}}}} } \right)}\nolimits^2 } \right].$
Здесь $\rho $ – полярное расстояние от центра диска звезды, ${{I}_{0}}$ – яркость в центре диска, а ${{r}_{s}}$ – радиус диска звезды. Яркость в центре планеты и соответственно яркость в любой точке ее диска предполагается равной нулю. Планета в орбитальной фазе $\theta = \pi $ затмевает звезду. Единицей длины в наших моделях является расстояние между центрами масс звезды и планеты $a$ ($a = 1$), орбита считается круговой. “Третий свет” в модели отсутствует. Радиус планеты обозначен как ${{r}_{p}}$. Искомыми параметрами модели являются радиусы звезды и планеты ${{r}_{s}}$ и ${{r}_{p}}$, угол наклона орбиты $i$, коэффициент потемнения к краю $x$, в случае квадратичного закона потемнения к краю также и коэффициент потемнения $y$.

Полный блеск системы предполагается известным, в используемой нормировке он равен единице. Считаем, что наблюдаемые значения блеска распределены по нормальному закону. Также предполагаются известными стандартные отклонения наблюдаемых значений блеска $\sigma $.

3. НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

В работе выполнен анализ высокоточных транзитных кривых блеска двойной системы с экзопланетой Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b из работ [1–3]. Кривые блеска были получены на космической обсерватории Kepler c 1 мая по 14 июня 2009 г.

Звездные системы Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b являются объектами $ \sim {\kern 1pt} {{13}^{m}}$ звездной величины. Кривые блеска получены в фотометрическом фильтре $r$ фотометрической системы Ганна (ugriz). Центральная длина волны полосы пропускания ${{\lambda }_{0}} = 6550$ Å, полуширина полосы пропускания $\Delta \lambda = 900$ Å. Транзитные кривые блеска каждой исследуемой системы включают в себя около 2100 индивидуальных значений ее блеска, большинство которых приходится на внезатменную часть кривой блеска.

Точность транзитных кривых блеска двойных систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b в интенсивностях составила $\sigma = 1.3759 \times {{10}^{{ - 4}}}$, $\sigma = 1.2874 \times {{10}^{{ - 4}}}$, $\sigma = 1.0248 \times {{10}^{{ - 4}}}$ соответственно. Относительная ошибка (по отношению к глубине затмения) исследуемых в работе транзитных кривых блеска составляет $ \sim 1\% $. Наблюдаемые транзитные кривые блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b представлены на рис. 1–3 соответственно.

Рис. 1.

Наблюдаемая кривая блеска двойной системы с экзопланетой Kepler-5b, полученная в фильтре $r$ из работы [1]. Сплошная линия – оптимальная теоретическая кривая, полученная в предположении квадратичного закона потемнения диска звезды к краю.

Рис. 2.

Наблюдаемая кривая блеска двойной системы с экзопланетой Kepler-6b, полученная в фильтре $r$ из работы [2]. Сплошная линия – оптимальная теоретическая кривая, полученная в предположении квадратичного закона потемнения диска звезды к краю.

Рис. 3.

Наблюдаемая кривая блеска двойной системы с экзопланетой Kepler-7b, полученная в фильтре $r$ из работы [3]. Сплошная линия – оптимальная теоретическая кривая, полученная в предположении квадратичного закона потемнения диска звезды к краю.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТРАНЗИТНЫХ КРИВЫХ БЛЕСКА

В астрофизических исследованиях возникает необходимость в учете потемнения звездного диска к краю. Коэффициенты потемнения к краю в предположении различных законов потемнения уже неоднократно вычислены в рамках различных теоретических одномерных моделей тонких звездных атмосфер (например, ATLAS и PHOENIX). Однако высокоточные транзитные кривые блеска дают возможность получения эмпирических значений коэффициентов потемнения звезды к краю непосредственно из наблюдательного материала.

Авторы данной работы поставили задачу выяснить, насколько надежно значение коэффициентов потемнения к краю, вычисляемых на основе высокоточной транзитной кривой блеска. Для этого использовались кривые блеска двойных звездных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b. Как уже отмечено выше, каждая транзитная кривая блеска включала в себя около 2100 индивидуальных значений блеска, полученных в течение 44 сут. Авторы разделили 44‑х суточную кривую блеска на три наблюдательных сета. Первый сет включал в себя индивидуальные значения блеска, полученные с 1-го дня наблюдения по 15-й (${{t}_{1}}$). Второй сет – с 15-го по 30-й день (${{t}_{2}}$). Третий – с 30-го по 44-й (${{t}_{3}}$). В каждый наблюдательный сет вошло около 700 значений кривых блеска. В работе выполнено определение параметров двойной на основе транзитных кривых блеска указанных наблюдательных сетов. Также выполнена интерпретация полной транзитной кривой блеска (${{t}_{4}}$), включающей в себя $ \sim {\kern 1pt} 2100$ индивидуальных значений блеска.

Вычисление коэффициентов выполнено в предположении квадратичного закона потемнения диска звезды к краю согласно (1). Минимизация невязки производилась одновременно по всем параметрам. Искомыми параметрами являлись радиус звезды ${{r}_{s}}$, радиус планеты ${{r}_{p}}$, наклонение орбиты $i$, линейный $x$ и квадратичный $y$ коэффициенты потемнения звездного диска к краю согласно (1).

Результаты интерпретации отдельных сетов кривой блеска и полной кривой блеска двойной системы Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b представлены в табл. 1–3. Ошибки искомых параметров получены методом Монте–Карло.

Таблица 1.  

Результаты интерпретации кривых блеска двойных звездных систем с экзопланетой Kepler-5b в эпохи ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$, ${{t}_{4}}$ и теоретические значения коэффициентов потемнения к краю из работы [11]

Параметры ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{15}^{d}}$ (${{t}_{1}}$) ${{15}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{30}^{d}}$ (${{t}_{2}}$) ${{30}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{3}}$) ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{4}}$) Теория
$x$ $0.256 \pm 0.26$ $ - 0.270 \pm 0.42$ $ - 0.343 \pm 0.33$ $ - 0.0632 \pm 0.18$ 0.279
$y$ $0.297 \pm 0.36$ $1.041 \pm 0.66$ $1.241 \pm 0.57$ $0.744 \pm 0.27$ 0.363
${{r}_{s}}$ $0.2069 \pm 0.0046$ $0.2129 \pm 0.0056$ $0.2029 \pm 0.0063$ $0.2091 \pm 0.0029$ –
${{r}_{p}}$ $0.0172 \pm 0.00056$ $0.0174 \pm 0.00070$ $0.0163 \pm 0.00074$ $0.0172 \pm 0.00036$ –
$i$, град $82.03 \pm 0.47$ $81.64 \pm 0.62$ $82.65 \pm 0.74$ $81.91 \pm 0.33$ –
${{\chi }^{2}}$ 1.165 0.980 0.999 1.049 –
Таблица 2.  

Результаты интерпретации кривых блеска двойных звездных систем с экзопланетой Kepler-6b в эпохи ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$, ${{t}_{4}}$ и теоретические значения коэффициентов потемнения к краю из работы [11]

Параметры ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{15}^{d}}$ (${{t}_{1}}$) ${{15}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{30}^{d}}$ (${{t}_{2}}$) ${{30}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{3}}$) ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{4}}$) Теория
$x$ $0.319 \pm 0.28$ $0.382 \pm 0.22$ $0.748 \pm 0.23$ $0.386 \pm 0.24$ 0.366
$y$ $0.440 \pm 0.44$ $0.314 \pm 0.35$ $ - 0.144 \pm 0.33$ $0.374 \pm 0.32$ 0.314
${{r}_{s}}$ $0.1801 \pm 0.0025$ $0.1780 \pm 0.0026$ $0.1949 \pm 0.0027$ $0.1785 \pm 0.0016$ –
${{r}_{p}}$ $0.01795 \pm 0.00040$ $0.01769 \pm 0.00042$ $0.02023 \pm 0.00044$ $0.0177 \pm 0.00029$ –
$i$, град $82.98 \pm 0.27$ $83.11 \pm 0.0029$ $81.64 \pm 0.30$ $83.15 \pm 0.18$ –
${{\chi }^{2}}$ 1.051 1.015 1.47 1.073 –
Таблица 3.  

Результаты интерпретации кривых блеска двойных звездных систем с экзопланетой Kepler-7b в эпохи ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$, ${{t}_{4}}$ и теоретические значения коэффициентов потемнения к краю из работы [11]

Параметры ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{15}^{d}}$ (${{t}_{1}}$) ${{15}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{30}^{d}}$ (${{t}_{2}}$) ${{30}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{3}}$) ${{1}^{d}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{44}^{d}}$ (${{t}_{4}}$) Теория
$x$ $0.511 \pm 0.21$ $0.0428 \pm 0.75$ $0.104 \pm 0.30$ $0.226 \pm 0.15$ 0.316
$y$ $0.0384 \pm 0.28$ $0.657 \pm 1.0$ $0.658 \pm 0.50$ $0.435 \pm 0.22$ 0.344
${{r}_{s}}$ $0.1710 \pm 0.0028$ $0.1734 \pm 0.0046$ $0.1701 \pm 0.0038$ $0.1711 \pm 0.0019$ –
${{r}_{p}}$ $0.01453 \pm 0.00037$ $0.01448 \pm 0.00058$ $0.01407 \pm 0.00054$ $0.01433 \pm 0.00025$ –
$i$, град $83.24 \pm 0.29$ $83.14 \pm 0.45$ $83.46 \pm 0.44$ $83.3 \pm 0.19$ –
${{\chi }^{2}}$ 0.919 1.0693 1.20 1.054 –

В последнем столбце “Теория” табл. 1–3 приведены теоретические значения коэффициентов потемнения звезды к краю из работы [11], полученные в предположении квадратичного закона потемнения звезды к краю. Теоретические значения коэффициентов потемнения к краю приведены для фильтра $r$ (фотометрической системы ugriz).

Наиболее чувствительной частью кривых блеска к значениям коэффициентов потемнения к краю является область кривой блеска вблизи минимума. На рис. 4–6 представлены части оптимальных теоретических кривых блеска для наблюдательных данных эпох ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$ и ${{t}_{4}}$. Из рисунков видно, что разброс значений оптимальных кривых блеска разных эпох вблизи минимума составляет сотые и тысячные доли процента.

Рис. 4.

Фрагменты оптимальных кривых блеска двойной системы Kepler-5b, полученные по наблюдательным данным в эпохи ${{t}_{1}}$ (мелкая штриховая (красная) линия), ${{t}_{2}}$ (штриховая (зеленая) линия), ${{t}_{3}}$ (штрих-пунктирная (синяя) линия) и ${{t}_{4}}$ (сплошная (черная) линия).

Рис. 5.

То же, что на рис. 4, для двойной системы Kepler-6b.

Рис. 6.

То же, что на рис. 4, для двойной системы Kepler-7b.

5. ОБСУЖДЕНИЕ

Из приведенных выше таблиц, содержащих значения коэффициентов потемнения к краю и значения геометрических параметров, видно, что значения геометрических параметров для разных наблюдательных сетов хорошо согласуются друг с другом. В то же время значения коэффициентов потемнения к краю значительно отличаются друг от друга. Также следует отметить, что в подавляющем большинстве случаев коэффициенты потемнения к краю, полученные на основе кривых блеска разных эпох, значимо отличаются и от теоретических значений из работы [11].

Коэффициенты потемнения к краю оказываются весьма чувствительны к неоднородностям транзитной кривой блеска. Неоднородности могут быть связаны с различными физическими процессами как на поверхности звезды, так процессами в двойной системе.

Прежде всего неоднородности кривой блеска могут быть вызваны пятнами на поверхности звезды. Так, например, в работе [12] на основе четырехлетнего анализа кривой блеска звезды класса K Kepler-210 были выявлены модуляции активности звезды и их сезонность. Показано, что модуляции активности развиваются по определенной схеме, напоминающей изменения от солнечных пятен во время солнечного магнитного цикла. Авторы работы [12] в предположении дифференциального вращения оценили время жизни пятна звезды Kepler-210 в 60–90 дней. Выполненные в [13] работы по картированию поверхности звезд поздних спектральных классов с температурой на поверхности 3000–6500 K по транзитным кривым блеска уверенно подтверждают наличие пятен на поверхности этих звезд.

Мы обоснованно можем предположить, что значение радиуса и периода вращения звезд Kepler-5, Kepler-6 и Kepler-7 близки к радиусу и периоду вращения Солнца. Несколько пятен или десятков пятен среднего размера (~10 000–30 000 км) на Солнце дают вариации блеска Солнца в несколько сотых и тысячных долей процента.

Аналогичное поведение кривых блеска на временах в полпериода вращения Солнца вокруг своей оси мы наблюдаем и у звезд Kepler-5, Kepler-6 и Kepler-7. Как отмечено выше, оптимальные кривые блеска для эпох ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$ отличаются друг от друга (см. рис. 4–6) на тысячные и сотые доли процента (или ${{10}^{{ - 5}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{ - 4}}}$ в величинах относительной интенсивности). Таким образом, наблюдаемые вариации кривых блеска вблизи минимума на временах $ \sim {\kern 1pt} 15$ сут являются косвенным указанием на наличие пятен на поверхности звезд Kepler-5, Kepler-6 и Kepler-7.

Отметим, что неоднородность в транзитную кривую блеска также может привносить и планета, форма которой может быть отлична от сферической (несмотря на то, что планета не заполняет полость Роша). Трехмерное газодинамическое моделирование показывает, что атмосфера горячего Юпитера, в силу близости к звезде, активно истекает [14]. Картина истечения горячего Юпитера многократно усложняется ударной волной, образуемой при столкновении звездного ветра и атмосферы планеты, а также взаимодействием магнитных полей звезды и планеты, вследствие чего аппроксимация планеты сферой может быть все-таки недостаточно корректной [15].

Не исключено, что расхождение между теоретическими и наблюдаемыми коэффициентами потемнения к краю, обнаруженное в работах [6, 16], вызвано именно физическими процессами, остающимися за рамками модели, используемой для интерпретации двойной системы. Для ответственных выводов о значениях наблюдаемых коэффициентов потемнения к краю транзитные кривые блеска должны быть максимально “очищены” от возможного влияния неоднородностей поверхности звезды. Требуются наблюдения в периоды минимальной активности звезды.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Значимое различие коэффициентов потемнения к краю указывает на наличие активных физических процессов на поверхности звезд. Определение точных значений коэффициентов потемнения к краю на основе транзитной кривой затруднено. Требуется использование специальных методов, компенсирующих и учитывающих влияние неоднородной поверхности звезды на транзитную кривую (напр., [17]).

Или же определение значений коэффициентов потемнения к краю должно происходить на массиве наблюдательных данных, охватывающем несколько периодов вращения звезды. Массив наблюдательных данных, содержащий значения блеска за несколько периодов вращения звезды, статистически усреднит и тем самым минимизирует влияние пятен при определении коэффициентов потемнения звезды к краю.

Подчеркнем еще раз, что транзитные кривые блеска являются источником не только информации о геометрических параметрах двойной системы (радиуса звезды и планеты, наклонения орбиты), но и являются уникальным источником информации о потемнении к краю звезд разных спектральных классов. С этой точки зрения двойная система с экзопланетой представляет собой уникальную возможность проверки достоверности нашего понимания физики звездных атмосфер и формирования эффекта потемнения диска звезды к краю.

Список литературы

  1. D. G. Koch, W. J. Borucki, J. F. Rowe, N. M. Batalha, et al., Astrophys. J. 713, L131 (2010).

  2. E. W. Dunham, W. J. Borucki, D. G. Koch, N. M. Batalha, et al., Astrophys. J. 713, L136 (2010).

  3. D. W. Latham, W. J. Borucki, D. G. Koch, T. M. Brown, et al., Astrophys. J. 713, L140 (2010).

  4. М. К. Абубекеров, Н. Ю. Гостев, А. М. Черепащук, Астрон. журн. 85, 121 (2008).

  5. М. К. Абубекеров, Н. Ю. Гостев, А. М. Черепащук, Астрон. журн. 86, 778 (2009).

  6. М. К. Абубекеров, Н. Ю. Гостев, А. М. Черепащук, Астрон. журн. 87, 1199 (2010).

  7. M. K. Abubekerov and N. Yu. Gostev, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 432, 2216 (2013).

  8. M. K. Abubekerov and N. Yu. Gostev, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 459, 2078 (2016).

  9. M. K. Abubekerov and N. Yu. Gostev, Astron. and Aтыstrophys. 633, id. A96 (2020).

  10. Н. Ю. Гостев, Астрон. журн. 88 (7), 704 (2011).

  11. A. Claret, Astron. and Astrophys. 428, 1001 (2004).

  12. P. Ioannidis and J. H. M. M. Schmitt, Astron. and Aтыstrophys. 594, id. A41 (2016).

  13. E. Aronson and N. Piskunov, Astrophys. J. 155 (5), id. 208 (2018).

  14. A. A. Cherenkov, D. V. Bisikalo, and A. G. Kosovichev, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 475, 605 (2018).

  15. T. Matsakos, A. Uribe, and A. Konigl, Astron. and Aтыstrophys. 578, id. A6 (2015).

  16. A. Claret, Astron. and Astrophys. 506, 1335 (2009).

  17. E. Aronson and N. Piskunov, Astron. and Astrophys. 630, id. A122 (2019).

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Астрономический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал