Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 11, стр. 929-934

1. ВВЕДЕНИЕ

Неоднородности межзвездной плазмы рассеивают радиоизлучение космических источников. Интенсивные исследования эффектов рассеяния начались с открытия пульсаров, поскольку пульсары являются сверхкомпактными объектами, которые обеспечивают когерентность излучения, и влиянием структуры источника можно пренебречь. Проявления рассеяния – это размытие изображения, уширение импульса, модуляция интенсивности по времени и частоте (мерцания) и искажение радиоспектров. Параметрами, характеризующими эти явления, являются угол рассеяния ${{\theta }_{{{\text{sc}}}}}$, время рассеяния ${{\tau }_{{{\text{sc}}}}}$, характерное время мерцания ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$ и характерная полоса декорреляции ${{f}_{{{\text{scint}}}}}$. Теоретические рассмотрения эффектов рассеяния установили определенные соотношения между параметрами рассеяния (см., напр., [1–3]). Их необходимо сравнивать с параметрами, измеренными в радиоастрономических наблюдениях пульсаров.

При анализе мерцаний принято рассматривать три режима усреднения значений наблюдений: режим моментального снимка, режим усреднения и режим усреднения по ансамблю. 1) Режим моментального снимка соответствует времени усреднения ${{T}_{{{\text{obs}}}}} \ll {{t}_{{{\text{scint}}}}}$, т.е. время усреднения существенно меньше характерного времени мерцаний. 2) Анализ в режиме усреднения соответствует противоположному случаю ${{T}_{{{\text{obs}}}}} > {{t}_{{{\text{scint}}}}}$. Здесь под временем мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$ мы подразумеваем время дифракционных мерцаний, которое в большинстве случаев составляет от нескольких секунд до десятков минут на метровых и дециметровых волнах. 3) Существуют также рефракционные мерцания с характерным временем ${{t}_{{{\text{ref}}}}}$ в несколько недель и месяцев [4]. Анализ наблюдаемых параметров на таких интервалах времени называется усреднением по ансамблю [5]. В этом исследовании мы проанализируем мерцания в режиме нормального усреднения, ${{T}_{{{\text{obs}}}}} > {{t}_{{{\text{scint}}}}}$.

Мы будем использовать данные наблюдений, полученные в ходе реализации научной программы наземно-космического интерферометра “Радиоастрон”. Эти данные уже использовались ранее в других исследованиях [6–8]. Будут проанализированы динамические спектры $S(f,t)$ и двумерные корреляционные функции $CF(\Delta f,\Delta t)$.

2. НАБЛЮДЕНИЯ

Исследования пульсаров были важной частью научной программы наземно-космического интерферометра “Радиоастрон”. Наблюдения проводились в основном на частоте 324 МГц и в некоторых случаях на частоте 1668 МГц. Полосы частот приемника составляли 16 и 32 МГц соответственно. Эти исследования были в основном направлены на изучение свойств и пространственного распределения межзвездной плазмы. Были определены расстояния до эффективных рассеивающих экранов путем сравнения углового уширения ${{\theta }_{{{\text{sc}}}}}$ с характерным временем рассеяния импульса ${{\tau }_{{{\text{sc}}}}}$ [6–9]. Список выбранных для нашего исследования пульсаров с их параметрами приведен в табл. 1. В этой статье мы будем использовать определенные ранее для других целей динамические спектры $S(f,t)$ пульсаров. Подробности, касающиеся построения динамических спектров, приведены в цитированных выше публикациях. Индивидуальный спектр для данного времени $t$ калибруется как

где ${{S}^{{{\text{ON}}}}}(f,t)$ и ${{S}^{{{\text{OFF}}}}}(f,t)$ – спектры, полученные во временных окнах на импульсе и вне импульса пульсара соответственно. Каждый динамический спектр содержит ${{N}_{f}} \times {{N}_{t}}$ значений, где ${{N}_{f}}$ – количество частотных каналов, а ${{N}_{t}}$ – количество спектров в данной наблюдательной выборке. Обычно интервал времени между последовательными спектрами равен периоду пульсара, но в некоторых случаях выполнялось усреднение по нескольким периодам, чтобы сгладить собственные вариации интенсивности пульсара от импульса к импульсу. Все эти параметры приведены в табл. 1. В нашем списке два пульсара (В1749–28 и В1933+16) наблюдались на частоте 1668 МГц, а остальные – на частоте 324 МГц.

3. МЕТОДИКА АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ

Для состоятельной оценки параметров рассеяния мы анализировали динамические спектры на временном интервале ${{T}_{{{\text{obs}}}}} > {{t}_{{{\text{scint}}}}}$, как уже было отмечено во Введении. Для этого вычислялись на всем интервале наблюдения двумерные корреляционные функции от динамических спектров. Двумерная корреляционная функция $CF(\Delta f,\Delta t)$ рассчитывалась как

здесь $\Delta f$ и $\Delta t$ – частотные и временны́е запаздывания, а $\Delta S(f,t) = S(f,t) - \left\langle {S(f,t)} \right\rangle $, где Затем мы использовали нормализованные корреляционные функции $NCF(\Delta f,\;\;\Delta t)\;\; = $ $ = CF(\Delta f,\Delta t){\text{/}}CF(0,0)$. Наша задача состояла в том, чтобы оценить характерное время мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$. Следуя Кордесу [5], мы попытались определить значение времени мерцания из временного сечения двумерных корреляционных функций от динамических спектров $CF(\Delta f,\Delta t)$, взятых с нулевым запаздыванием по частоте. Традиционно [5] это сечение аппроксимируется Гауссианой, а полуширина этой функции на уровне $1{\text{/}}e$ и принимается за время мерцания ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$. Другие исследователи, использующие корреляционные функции для анализа данных [2, 10, 11], указывали на отклонения этих функций от гауссовой формы. Мы предлагаем использовать более универсальную функцию для аппроксимации временного сечения $NCF$, а именно экспоненциальную функцию с произвольным показателем степени вида: Здесь $A$ – амплитуда, а $B$ – параметр, характеризующий ширину $NCF$, при этом ${{W}_{e}}$ – полуширина на уровне $1{\text{/}}e$ – определяется как ${{W}_{e}} = {{t}_{{{\text{scint}}}}} = {{B}^{{1/\alpha }}}$. Параметры $A$, $\alpha $, $B$ определялись в результате аппроксимации вычисленных $NCF$ функцией (4) для положительных сдвигов с отступлением от $\Delta t = 0$ на 2 отсчета для исключения шумового пика.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА

Результаты проведенного анализа приведены в табл. 2. В первом столбце таблицы дано обозначение пульсара, во втором – величина отношения времени, на котором получен динамический спектр (${{T}_{{{\text{obs}}}}}$), к характерному времени мерцаний (${{t}_{{{\text{scint}}}}}$), в третьем приведена величина характерного времени мерцаний (${{t}_{{{\text{scint}}}}}$), определенная по соотношению ${{W}_{e}} = {{B}^{{1/\alpha }}}$. В двух следующих столбцах таблицы сравниваются значения среднеквадратических уклонений (RMS) для двух вариантов аппроксимации вычисленных $NCF$: традиционной Гауссианой и экспонентой с произвольным показателем, в последнем столбце приведен этот показатель. Числа в скобках дают величину формальной среднеквадратической ошибки определения данного параметра в результате аппроксимации по методу наименьших квадратов. Эти ошибки относятся к последним значащим цифрам измеренных величин. На самом деле эти параметры меняются со временем в значительно большем интервале значений.

Кордс и соавт. [12] обратили внимание на так называемую “относительную ошибку” в своих оценках полосы декорреляции $\Delta {{\nu }_{{iss}}}$, возникающую при анализе корреляционных функций. Они оценили относительную ошибку величиной $1{\text{/}}\sqrt N $, где $N$ – общее количество мерцательных деталей (сцинтелей) в спектре, $N = \tfrac{{{{T}_{{{\text{obs}}}}}{{B}_{f}}}}{{\Delta {{\nu }_{{iss}}}{{t}_{{{\text{scint}}}}}}}$, а ${{B}_{f}}$   – полоса пропускания приемника. Такая ошибка при определении $\Delta {{\nu }_{{iss}}}$ из CCF обычно составляет 10–20%. Обращаем внимание на то, что при определении ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$ наряду с такими случайными ошибками, как указанная относительная ошибка, появляется и систематическая ошибка, также связанная с ограничениями на время наблюдения и полосу пропускания приемника. Эта ошибка возникает из-за обрезания отдельных сцинтилей, что обусловлено ограниченной продолжительностью наблюдательного скана по времени и частоте (${{T}_{{{\text{obs}}}}},{{B}_{f}}$). Мы предлагаем ввести “параметр усечения” $R$, который связан с количеством сцинтелей, усеченных краями поля наблюдения по времени. В качестве такого параметра усечения мы будем использовать величину отношения длительности наблюдательного скана к величине характерного времени мерцаний $R = {{T}_{{{\text{obs}}}}}{\text{/}}{{t}_{{{\text{scint}}}}}$; значения $R$ приведены в столбце 2 табл. 2. Для сравнения качества приближений вычисленных $NCF$ простыми гауссианами и экспонентами с произвольным показателем степени в табл. 2 приведены остаточные уклонения для этих случаев. Видно, что эти остаточные уклонения всегда заметно меньше (от 1.5 до 8.8 раза) для способа аппроксимации экспонентами с произвольным показателем степени. На рис. 1 приведены примеры сравнения этих способов аппроксимации для двух пульсаров: В1237+25 и В2016+28. В верхней части рисунка различными линиями показаны вычисленные $NCF$ и две аппроксимирующие функции. В масштабе такого рисунка усмотреть различие между аппроксимациями затруднительно. Поэтому в нижней части рисунка показаны уклонения наблюдательных данных от аппроксимирующих функций: темная (сплошная) кривая соответствует способу аппроксимации экспонентами с произвольным показателем степени, а более светлая (штриховая) кривая соответствует способу аппроксимации гауссианами. Наглядно видно, что способ аппроксимации экспонентами с произвольным показателем степени значительно лучше отражает наблюдаемые NCF.

5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Межзвездное рассеяние тесно связано со свойствами межзвездной рассеивающей среды (ISM), так как эффекты мерцаний вызваны флуктуациями электронной плотности в ISM. Анализ большого количества наблюдательных данных по пульсарам показал, что мерцания пульсаров статистически хорошо согласуются со степенным спектром пространственных неоднородностей с показателем степени $n = 3.67$ (т.е. Колмогоровский спектр) в очень широком диапазоне пространственных масштабов [13, 14]. Структурная функция колебаний фазы радиоизлучения пульсаров связана с пространственным спектром электронной плотности, который описывается соотношением $\Phi (q) = C{{q}^{{ - n}}}$, где $q$ – пространственная частота, а $C$ характеризует степень турбулентности.

Анализ структурных функций некоторых пульсаров показал, что спектр для различных локальных направлений в Галактике может отличаться от Колмогоровского спектра [8, 15]. В нескольких публикациях [3, 16, 17] обсуждалась связь между индексом спектра неоднородности $n$ и показателем $\alpha $ во временнóй зависимости структурной функции. В работе Шишова и соавт. [3] показано, что для степенного спектра в режиме насыщенных мерцаний временнáя структурная функция $D(\Delta t)$ имеет вид $D(\Delta t) = {{(\Delta t{\text{/}}{{t}_{{{\text{scint}}}}})}^{\alpha }}$ для $\Delta t \ll {{t}_{{{\text{scint}}}}}$ и $\alpha = n - 2$. Структурная функция $D(\Delta t)$ может быть выражена через нормированную корреляционную функцию $NCF$ как $D(\Delta t) = $ $ = 2(NCF(0) - NCF(\Delta t))$. Для случая аппроксимации корреляционной функции $NCF$ экспонентой получим при малых запаздываниях выражение: $D(\Delta t) = 2(NCF(0) - NCF(\Delta t) = {{(\Delta t)}^{\alpha }}{\text{/}}B$. Таким образом, для малых запаздываний структурная функция является степеннóй с показателем степени $\alpha $, а показатель степени спектра пространственных неоднородностей межзвездной плазмы при таком рассмотрении будет $n = \alpha + 2$. Показатели степени $\alpha $ приведены в последнем столбце табл. 2. Числа в скобках соответствуют ошибкам вписывания степеннóй функции.

Оказалось, что из 11 пульсаров нашего списка в направлении трех пульсаров (B0329+54, B0823+26 и B1929+10) показатель степени n спектра пространственных неоднородностей межзвездной плазмы очень близок к значению Колмогоровского спектра ($n = 3.67$). Самое высокое значение $n = 3.86$ получилось в направлении на пульсар В1133+16, а наименьшее значение ($n = 3.18$) – в направлении на пульсар В1933+16. Следует отметить, что правильная аппроксимация (степеннáя) корреляционной функции дает корректное значение показателя n. Можно отметить также, что отличие корреляционной функции от гауссианы показывает, что внутренний масштаб турбулентности меньше характерного пространственного масштаба мерцаний.

Как было указано в предыдущем параграфе, систематическую ошибку в определении характерного времени мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$ и в определении показателя $\alpha $ может вносить влияние ограниченного наблюдательного времени, на котором получены динамические спектры. Это влияние мы предлагаем характеризовать параметром $R = {{T}_{{{\text{obs}}}}}{\text{/}}{{t}_{{{\text{scint}}}}}$; значения $R$ приведены в столбце 2 табл. 2. Это влияние мы обсудим, основываясь на данных, представленных на рис. 2. На этом рисунке шкала абсцисс приведена в логарифмическом масштабе, а шкала ординат оставлена в натуральных величинах. Кружками обозначены значения показателя $\alpha $, полученные методом аппроксимации корреляционной функции. Для основной группы точек можно заметить некоторую тенденцию увеличения показателя $\alpha $ с увеличением параметра $R$. Чтобы проверить эту тенденцию, мы для трех пульсаров, у которых исходное значение $R$ превышает 100, провели обработку с искусственным ограничением наблюдательного времени. Штриховая линия, проходящая через квадратики, относится к пульсару В1133+16 (верхняя линия). Для этого пульсара полное число импульсов составляет $N = 6000$, и мы выполнили обработку данных для значений $N$, равных 6000, 4000, 2000, 1000, 500, 200 и 100. Из рисунка видно, что при малых значениях параметра $R$ наблюдается заметное уменьшение значений показателя $\alpha $. Пунктирная линия, проведенная через треугольники, относится к пульсару В0823+26. Тенденция уменьшения $\alpha $ с сокращением времени наблюдений подтверждается и для этого пульсара. Просматривается эта тенденция и для пульсара В1933+16 (штрихпунктирная линия, проходящая через черные кружки), хотя для этого пульсара показатель $\alpha $ имеет самое низкое значение, выпадающее из общей группы точек на рисунке. Этот пульсар имеет самое большое значение меры дисперсии ($DM = 158\;{\text{кпк/с}}{{{\text{м}}}^{3}}$) и находится на значительном удалении (3.7 кпк). Отметим также, что RMS для Гауссианы по отношению к RMS для степеннóй функции увеличивается с уменьшением параметра $R$.

Продолжительность наблюдательного сеанса влияет и на определение характерного времени мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$. На рис. 3 приведено сравнение временны́х сечений $NCF$ для полного (7000 с) и усеченного (100 с) наблюдательного скана: видно, что с уменьшением $R$ изменяется форма сечения и уменьшается ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$. Эффект будет тем больше, чем меньше $R$. По-видимому, причиной зависимости оценок показателя степени и характерного времени мерцаний от относительной длины выборки является недостаточно большое число дифракционных пятен в анализируемом динамическом спектре, чтобы получить статистически правильную оценку параметров. При небольшом отношении ${{T}_{{{\text{obs}}}}}{\text{/}}{{t}_{{{\text{scint}}}}}$ часть дифракционных структур обрезается как по времени, так и по частоте, если ${{f}_{{{\text{dif}}}}}$ только в несколько раз меньше полосы приемника.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен анализ нормированных двумерных корреляционных функций $NCF$ от динамических спектров для 11 пульсаров по архивным данным проекта “Радиоастрон”. Временны́е сечения этих функций аппроксимировались экспоненциальными функциями c показателем $\alpha $. Показано, что эти функции существенно лучше описывают форму $NCF$, чем гауссовские функции. Определены показатель $\alpha $ и характерное время мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$ для всех источников.

2. Из 11 пульсаров нашего списка в направлении трех пульсаров (B0329+54, B0823+26 и B1929+10) показатель степени спектра пространственных неоднородностей межзвездной плазмы оказался очень близким к значению для Колмогоровского спектра ($n = 3.67$). Для других пульсаров он находится в пределах от 3.18 (PSR B1933+16) до 3.86 (PSR B1133+16). Среднее значение этого показателя по всему списку за исключением пульсаров В2016+28 и В1933+16 составляет величину 3.62.

3. Показано, что на измеряемые параметры мерцаний заметное влияние оказывает продолжительность сеанса наблюдений, выраженная в единицах характерного времени мерцаний (параметр $R$). Если этот параметр меньше 10, могут получаться смещенные оценки параметров: уменьшение значений показателя $\alpha $ и характерного времени мерцаний ${{t}_{{{\text{scint}}}}}$. Из нашего списка в эту категорию определенно попадает пульсар В2016+28.