Астрономический вестник, 2021, T. 55, № 2, стр. 153-171

ВВЕДЕНИЕ

Звездообразование и формирование протопланетных газопылевых аккреционных дисков и экзопланет – это непрерывный процесс эволюции вещества во Вселенной. Наблюдения областей звездных сгущений свидетельствуют о всеобъемлющей связи волокон и магнитных полей с этими процессами. Эволюция газопылевой дисковой среды наиболее адекватно моделируется в рамках классической механики гетерогенных многокомпонентных турбулентных электропроводящих сред с учетом физико-химических свойств фаз, тепломассопереноса, вязкости, химических реакций, вариаций непрозрачности среды для звездного излучения, процессов коагуляции и др. Строгое математическое рассмотрение этой проблемы содержится, например, в работах (Колесниченко, 2011; 2016; 2017; Kolesnichenko, Marov, 2008; 2013; 2019; Marov, Kolesnichenko, 2013).

При условии, что хаотические турбулентные скорости пылевых частиц не превышают некоторого предела, в протопланетном диске развиваются разного рода гидродинамические неустойчивости, в частности, гравитационная (джинсовская) неустойчивость, соответствующая классическому сценарию Гольдрейха–Уорда формирования планетезималей (Goldrich, Ward, 1973). Гравитационная неустойчивость является фундаментальным процессом фрагментации гравитирующего космического вещества звездного протопланетного диска. Она вызывает формирование относительно устойчивых астрофизических объектов, таких как допланетные пылевые сгущения (пылевые кластеры), твердые планетезимали, астероиды, планетные кольцы, планеты и др. (см., Jeans, 1902; 2009; Чандрасекар, 1985; Сафронов, 1969; Горькавый, Фридман, 1994; Фридман, Хоперсков, 2011). Самогравитирующая дисковая среда становится гравитационно неустойчивой, если возникшие в ней сколь угодно малые флуктуации скорости и плотности вещества неограниченно растут со временем вследствие тяготения; при этом гравитационное равновесие нарушается, если соответствующие длинны волн возмущения превышают определенное значение. Проблеме гравитационной неустойчивости астрофизических дисков в последнее время посвящено большое число публикаций, среди которых можно выделить следующие работы (Chandrasekhar, Fermi, 1953; Bonnor, 1957; Hunter, 1972; Goldreich, Lynden-Bell, 1965; Low, Lynden-Bell, 1976; Shakura, Sunyaev, 1976; Camenzind и др., 1986; Cadez, 1990; Pandey, Avinash, 1994; Owen и др.,1997; Tsiklauri, 1998; Mace и др., 1998; Lima и др., 2002; Trigger и др., 2004; Sakagami, Taruya, 2004; Shukla, Stenflo, 2006; Tsintsadze и др., 2008; Masood и др., 2008; Cadez, 2010; Dhiman, Dadwal, 2012; Fridman., Polyachenko, 1984; 2012; Kaothekar, Chhajlani, 2013; Joshi, Pensia, 2017; Pensia и др., 2018; Kumar и др., 2018; Колесниченко, 2015; 2018; 2019; Makalkin, Ziglina, 2018; Makalkin и др., 2019). Во всех этих работах рассмотрены различные аспекты джинсовской неустойчивости самогравитирующих космических сред как в рамках классических уравнений Навье-Стокса и МГД-уравнений, так и на основе бесстолкновительного уравнения Больцмана (при наличии гравитационного поля) и уравнения Пуассона.

Вместе с тем, в работах (Колесниченко, 2016a; 2016б; 2017; Колесниченко, 2019; Колесниченко, Маров, 2015) было предложено рассматривать совокупность пылевых образований в дисковой среде, как особый тип сплошной среды – фрактальной среды, обладающей нецелой массовой размерностью, и применять для ее описания дробно-интегральную гидродинамику, в которой для учета фрактальности используются дробные интегралы, порядок которых определяется массовой размерностью фрактальных пылевых кластеров. Сложная пространственно-временная структура подобной среды приводит к нарушению принципа экстенсивности (аддитивности) для таких важнейших термодинамических характеристик, как энтропия или внутренняя энергия.

Исследования в области механики неэкстенсивных стохастических систем стали в последнее время предметом значительного интереса, что объясняется как новизной возникающих здесь общетеоретических проблем, так и важностью практических приложений. Начало систематического изучения в этом направлении связано с работой К. Тсаллиса (Tsallis, 1988), в которой был введен функционал энтропии ${{S}_{q}}(f){\kern 1pt} :\,\, = k{{(q - 1)}^{{ - 1}}}\left[ {1 - \int {{{f}^{q}}dz} } \right]$, зависящий от некоторого действительного числа $q$ (так называемого параметра деформации) и обладающий неаддитивностью для совокупности независимых аномальных систем. В пределе слабой связи $q \to 1$ энтропия Тсаллиса переходит в энтропию Больцмана–Гиббса. Важно при этом отметить в виду, что деформированная статистика Тсаллиса специально предназначена для описания поведения аномальных систем с сильным силовым взаимодействием и сильными корреляциями отдельных ее частей, а также с фрактальным характером фазового пространства.

Неэкстенсивная статистика, в настоящее время интенсивно развивается. Возникают многочисленные новые математические проблемы, требующие своего решения. В научной литературе доступны многочисленные коллекции миниобзоров (см., например, Tsallis, 1999; Abe, Okamoto, 2001; Grigolini и др., 2002; Kaniadakis и др., 2002; 2006; Kaniadakis, Lissia, 2004; Gell-Mann, Tsallis, 2004; Herrmann и др., 2004; Колесниченко, 2019). Статистика Тсаллиса успешно применяется ко многим природным системам, в частности, к ранней Вселенной (Pessah и др., 2001), к космической плазме (Lima и др., 2000), к астрофизическим проблемам (например, к трехмерной гравитационной проблеме N-тел), к космологическим проблемам (например, при толковании черных дыр, суперструн, темной материи (Leubner, 2005)) и так далее. Моделированию Бозе-газа и чернотельному излучению в рамках неэкстенсивной статистики также посвящено большое число публикаций (см., например, Tsallis и др., 1995; 1997; Plastino и др., 1995; Lenzi, Mendes, 1998; Wang, Le Méhauté, 1998; Wang и др., 1998; Büyükkilic., Demirhan, 2000; Anchrordoqui, Torres, 2001; Martinez и др., 2001; 2002; Chamati и др., 2006; Zaripov, 2009; Rovenchak, 2018; Ma и др., 2019; Kolesniсhenko, 2020). Тем не менее в настоящей работе предлагается вновь обсудить в рамках формализма Тсаллиса механизм чернотельного излучения применительно к задачам космологии. Основанием для подобного намерения является с одной стороны противоречивое конструирование деформированной термодинамики чернотельного излучения, присутствующее в ряде публикаций (см. ниже), а с другой стороны, неоспоримый экспериментальный факт, согласно которому существующее космическое фоновое излучение (находящееся в тепловом равновесии) несколько отличается от классического закона излучения черного тела Планка из-за влияния дальнодействующего гравитационного воздействия на больших расстояниях (Mather и др., 1994). Это влияние может быть отражением того отдаленного во времени факта, когда материя и свет были сильно взаимосвязаны между собой, или же оно является результатом еще более замысловатых природных явлений (Sistema, Vucetich, 2005).

В работе (Kolesnichenko, Chetverushkin, 2013) в рамках статистики Тсаллиса была сконструирована на основе модифицированного кинетического уравнения (с интегралом столкновений в форме Бхатнагара–Гросса–Крука) обобщенная гидродинамика (так называемая $q$-гидродинамика Навье–Стокса), пригодная для моделирования сред с фрактальной структурой. Именно на основе этой гидродинамики в серии работ (Колесниченко, 2015; 2016б; Kolesnichenko, Marov, 2008; 2014; 2016) была рассмотрена проблема гравитационной неустойчивости Джинса для протопланетного газопылевого диска с фрактальной структурой при учете радиации и воздействия вращательного движения диска на критическую длину волны возмущения, ведущей к неустойчивости. В этих работах проведено исследование влияния “классической” чернотельной радиации на гравитационную неустойчивость акреционных дисков, находящихся на начальной стадии своего образования. Точнее речь идет о центральной части дисков, в которой практически все излучение является длинноволновым, поскольку оно уже успело пройти через многократное поглощение и переизлучение частицами фрактальной дисковой среды. Именно там возможно существование локального термодинамического равновесия, при котором температура дискового вещества практически совпадает с температурой черного тела. Полученные при этом критерии, как правило, лучше отвечают условиям развития неустойчивости в радиационной дисковой среде с фрактальной структурой в фазовом пространстве.

В недавней работе автора (Kolesniсhenko, 2020), посвященной рассмотрению в рамках неэкстенсивной статистики Тсаллиса джинсовской неустойчивости звездного протопланетного диска с радиацией, термодинамические параметры чернотельного излучения использовались в обычной классической форме. В отличие от нее в данной работе предлагается воспользоваться модифицированным (в рамках формализма Тсаллиса) механизмом Планка для черного излучения (теплового фотонного газа) и исследовать его влияние на гравитационную неустойчивость протопланетного диска. Поскольку во всем космосе нет такого места, где не присутствуют магнитные поля, существенно изменяющие условия неустойчивости, то вполне уместно рассмотреть в рамках неэкстенсивной $q$-гидродинамики гравитационную неустойчивость электропроводящего протопланетного диска (плазменной дисковой среды) с учетом деформированных радиационных процессов.

Таким образом, целью работы является изложение с единых позиций обобщенной статистики Тсаллиса круга вопросов, связанных с выводом критерия гравитационной неустойчивости Джинса для неэкстенсивной дисковой электропроводной среды, при учете влияния на этот критерий чернотельного излучения, отвечающего модифицированной $q$-энтропии фотонного газа ($q$-энтропии световых квантов Бозе). При этом сконструирована деформированная термодинамика черного излучения, базирующаяся на свойствах универсального степенного $q$-распределения Бозе–Эйнштейна (негиббсового канонического ансамбля бозонных систем), полученного из вариационного принципа максимизации Джейнса (Jaynes, 1963) $q$-энтропии Бозе-газа. Этому распределению соответствуют обобщенные законы Планка, Рэлея–Джинса и Вина для фотонов теплового спектра, на основе которых в работе выведены модифицированные выражения для всех термодинамических параметров черного излучения.

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ q-ГИДРОДИНАМИКИ

Рассмотрим сначала динамическую неэкстенсивную протопланетную систему с нормированным распределением частиц $f({\mathbf{r,c}},t)$ в геометрическом пространстве ${\mathbf{r}}$ и в пространстве скоростей ${\mathbf{c}}$ с размерностью $D$. Предлагаемое Тсаллисом обобщение статистической механики (в случае статистики Курадо–Тсаллиса) лучше всего описывается следующими двумя аксиомами (Curado, Tsallis, 1991; Колесниченко, 2018):

Аксиома 1. Функционал энтропии, связанный с нормированным распределением функции вероятностей $f({\mathbf{z}},t)$ равен ${{S}_{q}}\left[ f \right]:\, = \frac{k}{{q - 1}}\int {d{\mathbf{z}}} \left\{ {f({\mathbf{z}}) - {{{\left[ {f({\mathbf{z}})} \right]}}^{{{\kern 1pt} q}}}} \right\}$, где $q$ – параметр деформации – число, связанное с фрактальной размерностью, а для неэкстенсивных систем, являющееся мерой их неаддитивности (Tsallis, 2009); здесь ${\kern 1pt} {\mathbf{z}} = ({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ,{\mathbf{c}})$ – элемент объема фазового пространства; $d{\kern 1pt} {\mathbf{z}}{\kern 1pt} :\, = d{\kern 1pt} {\mathbf{r}}{\kern 1pt} {{d}^{D}}{\mathbf{c}}$, где $D$ – нецелая размерность пространства скоростей; $k$ – постоянная Больцмана.

Аксиома 2. Экспериментально измеряемое значение любой макроскопической величины ${{\langle A\rangle }_{q}}$ (термодинамической макрохарактеристики $q$-системы) задается соотношением ${{\langle A\rangle }_{q}}:\, = \int {A({\mathbf{r}},t){{{\left[ {f({\mathbf{z}})} \right]}}^{{{\kern 1pt} q}}}} d{\mathbf{z}}$, где $A({\mathbf{r}},t)$ – соответствующая микроскопическая величина.

Важно подчеркнуть, что энтропия ${{S}_{q}}(\operatorname{A} \cup {\text{B}})$ двух независимых систем $\operatorname{A} $ и ${\text{B}}$ не является аддитивной переменной при $q \ne 1$, поскольку имеет место равенство (см. Tsallis, 2009)

Несмотря на это обстоятельство, в литературе было показано, что существует, тем не менее, значительное количество обычных статистических и термодинамических свойств, которые справедливы для любого $q$ (см. Bibliography/http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm).

ЭНТРОПИЯ БОЗЕ-ГАЗА В СТАТИСТИКЕ БОЛЬЦМАНА–ГИББСА

Прежде чем приступить к обсуждению проблемы чернотельного излучения в статистике Тсаллиса, сделаем следующее замечание. Осреднение микроскопических физических величин в $q$-статистике возможно с помощью трех распределений: $f({\mathbf{r}})$, ${{f}^{q}}({\mathbf{r}})$, ${{{{f}^{q}}({\mathbf{r}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}^{q}}({\mathbf{r}})} {\int {{{f}^{q}}({\mathbf{r}})} d{\mathbf{z}}}}} \right. \kern-0em} {\int {{{f}^{q}}({\mathbf{r}})} d{\mathbf{z}}}}$. Первое осреднение соответствует первоначальной статистике Тсаллиса (Tsallis, 1988), второе (ненормированное) осреднение – статистике Курадо–Тсаллиса (Curado, Tsallis, 1991; Зарипов, 2002; Колесниченко, 2018), третье нормированное (эскортное) осреднение – статистике Тсаллиса–Мендеса–Пластино (Tsallis и др., 1998). Различным способам осреднения соответствуют совершенно разные $q$-термодинамики. Именно по этой причине вопрос об использовании того или иного осреднения носит принципиальный характер в ряде физических приложений, поскольку различия в определении макроскопических параметров могут оказаться существенными при обработке экспериментальных данных. По мнению ряда авторов, получаемые при этом несоответствия могут быть благополучно устранены при использовании только нормированного эскортного распределения (см, например, Tsallis и др., 1998; Tsallis, 1999; Martinez и др., 2000).

Вместе с тем, существует и иная точка зрения (которой придерживается автор данной статьи), согласно которой единственно правильным осреднением в $q$-статистике Тсаллиса является осреднение с ненормированным распределением ${{f}^{q}}$, наличествующее в ее аксиоматическом обосновании (см. Havrda, Charvat, 1967; Daroczy, 1970). Именно это распределение не приводит к переопределению понятия температуры, которая в этой статистике является интенсивным параметром (т.е. абсолютной температурой $T$), а не функционалом (так называемой физической температурой ${{T}_{{ph}}}$, зависящей от энтропии ${{S}_{q}}$), как это происходит при иных определениях средневзвешенного осреднения. Отметим, что это и некоторые другие убедительные соображения в пользу использования осреднения Курадо–Тсаллиса приведены в монографиях (Зарипов, 2002; 2010).

Модификация чернотельного излучения рассматривалась в ряде работ (см., например, Tirnakli и др., 1997; Wang и др., 1998; Rovenchak, 2018), в которых в качестве отправной точки использовалось следующее обобщенное распределение Планка для собственных частот излучения фотонного газа: ${{p}_{0}}(\omega ) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left\{ {{{{\left[ {1 + (q - 1)\tfrac{{\hbar \omega }}{{kT}}} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(q - 1)}}} \right. \kern-0em} {(q - 1)}}}}} - 1} \right\}}}} \right. \kern-0em} {\left\{ {{{{\left[ {1 + (q - 1)\tfrac{{\hbar \omega }}{{kT}}} \right]}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(q - 1)}}} \right. \kern-0em} {(q - 1)}}}}} - 1} \right\}}}$. Легко можно убедиться в том (см. ниже), что это распределение получается из условия максимума модифицированной $q$-энтропии Бозе-газа (см. Büyükkilic, Demirhan, 2000; Зарипов, 2010) только в том случае, когда в качестве осреднения микроскопических физических величин используется распределение$p{{(\omega )}^{q}}$. Несмотря на это обстоятельство, авторы цитируемых выше работ, исходя из приведенного равновесного распределения ${{p}_{0}}(\omega )$, при выводе обобщенной $q$-термодинамики Бозе-газа систематически использовали осреднение с распределением $p(\omega )$, соответствующее оригинальной статистике Тсаллиса. В ряде других публикаций (см., например, Martinez и др., 2002; Ma и др., 2019) за исходное равновесное распределение неэкстенсивного фотонного газа принималось приведенное $q$-распределение ${{p}_{0}}(\omega )$, в котором, однако, вместо абсолютной температуры $T$ фигурирует физическая температура ${{T}_{{ph}}}$. Такая замена представляется совершенно не приемлемой, поскольку измерение ${{T}_{{ph}}}$ практически нереально, что связано с ее зависимостью от функционала энтропии ${{S}_{q}}$.

Бозе-газ состоит из бозонов – частиц, имеющих целый спин и подчиняющихся статистике Бозе–Эйнштейна²². Напомним классический вероятностно-статистический способ нахождения энтропии Бозе-газа. С этой целью рассматриваются различные равновероятные группы квантовых состояний $j = 1,2,...$, которыми может быть реализовано изучаемое макроскопическое состояние ансамбля из $N$ частиц Бозе-газа. $6N$-мерное фазовое пространство делится на $M$ ячеек безразмерного объема ${{g}_{j}}:\, = {{(2\pi \hbar )}^{{ - s}}}(\Delta {{{\mathbf{r}}}_{j}}\Delta {{{\mathbf{c}}}_{j}})$, который характеризует максимально возможное число микросостояний в $j$-й ячейке, содержащей ${{n}_{j}}$ Бозе-частиц (здесь $s$ – число степеней свободы элементарной частицы). Далее определяется величина $N = \sum\nolimits_j {{{n}_{j}}} $ – число всех возможных способов заполнения частиц по $M$ ячейкам. Данное число является по определению статистическим весом $\Delta \Gamma $, характеризующим вероятность макроскопического состояния системы. Если теперь каждую группу из ${{n}_{j}}$ частиц рассматривать как независимую подсистему и обозначить посредством $\Delta {{\Gamma }_{{{{n}_{j}}}}}$ ее статистический вес, то можно написать: $\Delta \Gamma = \prod\nolimits_j {\Delta {{\Gamma }_{{{{n}_{j}}}}}} $. В классической статистике энтропия выражается логарифмической мерой статистического веса $S: = k\ln \Delta \Gamma = k\ln \prod\nolimits_j {\Delta {{\Gamma }_{{{{n}_{j}}}}}} $. В случае статистики Бозе–Эйнштейна в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, так что статистический вес $\Delta {{\Gamma }_{{{{n}_{j}}}}}$ есть число всех способов, которыми можно распределить ${{n}_{j}}$ частиц по ${{g}_{j}}$ состояниям. Тогда, из условия, что в ячейке может находиться любое количество частиц, вытекает следующий вид статистического веса $\Delta {{\Gamma }_{{{{n}_{j}}}}} = \frac{{({{g}_{j}} + {{n}_{j}} - 1)!}}{{{{n}_{j}}!({{g}_{j}} - 1)!}}$. Логарифмируя это выражение и воспользовавшись для логарифмов всех трех факториалов приближенной формулой Стирлинга $\ln x! = x\ln ({x \mathord{\left/ {\vphantom {x e}} \right. \kern-0em} e})$, найдем:

Если записать эту формулу, используя среднее число ${{\bar {n}}_{j}} = {{{{n}_{j}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{j}}} {{{g}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{g}_{j}}}}$ частиц в каждом из квантовых состояний $j$-й группы, то получим известное выражение для энтропии неравновесного Бозе-газа в классическом случае (см. Ландау, Лифшиц, 1964):

Легко убедиться в том (см. Ландау, Лифшиц, 1964), что условие экстремальности энтропии ${{S}_{N}}$ приводит к дискретному распределению Бозе–Эйнштейна:

Заметим, что величина ${{\bar {n}}_{j}}$ есть дискретный аналог непрерывной функции распределения $p({\mathbf{r}},{\mathbf{c}})$ по фазовому пространству ${\mathbf{z}}: = \left\{ {{\mathbf{r}};{\mathbf{c}}} \right\}$. Переход от дискретного распределения ${{\bar {n}}_{j}}$ к непрерывному распределению $p = p({\mathbf{r}},{\mathbf{c}})$ Бозе-частиц осуществляется заменой суммирования по $j$ интегрированием по всему фазовому пространству, безразмерный элемент которого определяется соотношением $d{\mathbf{z}}: = g{{(2\pi \hbar )}^{{ - s}}}d{\mathbf{r}}{{d}^{D}}{\mathbf{c}}$ (здесь $g = 2S + 1$, $S$ – спин частицы; $d{\mathbf{r}}{{d}^{D}}{\mathbf{c}} = dV{{d}^{D}}{\mathbf{c}}$)^33.

В итоге получим следующее выражение для классической энтропии неравновесного Бозе-газа в случае непрерывных распределений:

Здесь $p = p({\mathbf{r}},{\mathbf{c}})$ – плотность распределения квантовых частиц в фазовом пространстве.

ЭНТРОПИЯ БОЗЕ–ГАЗА В СТАТИСТИКЕ ТСАЛЛИСА

Обобщенное выражение квантовой энтропии (8) для Бозе-газа, полученное в рамках неэкстенсивной статистики Тсаллиса в работах (Büyükkilic, Demirhan, 1993; 2000), имеет вид:

Энтропию (9) удобно записать в следующих двух эквивалентных формах:

где ${{\ln }_{q}}x: = \frac{{{{x}^{{1 - q}}} - 1}}{{1 - q}}\,\,(x \in {{R}^{ + }};\,\,q \in R)$ – так называемый “деформированный логарифм” (см., например, Tsallis, 2009; Колесниченко, 2019). При $q \to 1$ из (10) следует выражение (8) для классической энтропии неравновесного Бозе-газа для аддитивных систем. Используя (10), легко показать, что в статистике Тсаллиса энтропия Бозе-газа двух независимых систем также не обладает свойством аддитивности.

ЭНТРОПИЯ СВЕТОВЫХ КВАНТОВ БОЗЕ. ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии (так называемое черное излучение) можно рассматривать как фотонный газ. В силу целочисленности момента импульса фотонов этот газ подчиняется статистике Бозе–Эйнштейна. Поскольку фотоны не взаимодействуют друг с другом (принцип суперпозиции для электромагнитного поля), то состоящий из фотонов газ можно считать идеальным. Для возможности установления теплового равновесия в излучении необходимо наличие хотя бы небольшого количества материальной среды. Механизм, обеспечивающий установление равновесия, заключается при этом в поглощении и испускании фотонов веществом. Это обстоятельство приводит к существенной специфической особенности фотонного газа – число частиц $N$ в нем является переменной величиной и само должно определиться из условий теплового равновесия, что приводит к равенству нулю химического потенциала $\mu $ фотонного газа (см. Ландау, Лифшиц, 1964).

Следовательно, распределение фотонов по различным уровням энергии $\varepsilon : = \hbar \omega $ (где $\omega $ – собственная частота колебаний черного излучения в данном объеме $V$) определяется формулой (15) с $\mu = 0$:

Это есть так называемое обобщенное распределение Планка в статистике Тсаллиса.

Заметим, что в силу определения (16) экспоненты Тсаллиса, второе представление распределения ${{p}_{\omega }}$ в формуле (32) справедливо в том случае, когда при $q < 1$ имеет место неравенство ${{\hbar \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \omega } {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}} < {{(1 - q)}^{{ - 1}}}$, или когда при $q > 1$ и ${{\hbar \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \omega } {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}} \geqslant {{(1 - q)}^{{ - 1}}}$.

Для непрерывного распределения энергии фотонов, число квантовых состояний фотонов с частотами собственных колебаний в интервале частот между $\omega $ и $\omega + d\omega $ может быть задана как (см. Ландау, Лифшиц, 1964)

где $с$ – скорость света в вакууме, а $\omega $ – угловая частота. Умножив распределение (32) на эту величину, найдем число фотонов в данном интервале частот: а умножив еще на $\hbar \omega $, получим энергию излучения, заключенную в этом же участке спектра:

Формула (35) для спектрального распределения энергии черного излучения является обобщенной формулой Планка в статистике Тсаллиса.

Обобщенный закон Планка (32) описывает распределение электромагнитной энергии (или распределение плотности фотонов), излучаемой черным телом при данной температуре $T$. Закон Планка может быть представлен в различных вариантах, включающих такие параметры, как плотность потока или спектральное распределение. Два предельных случая, а именно, $\hbar \omega \ll kT$ и $\hbar \omega \gg kT$, заслуживают особого внимания.

В низкочастотном или высокотемпературном пределе ($\hbar \omega \ll kT$) из соотношения (35), при учете разложения $\mathop {{{{\exp }}_{{2 - q}}}(x}\limits_{x \to 0} ) \cong 1 + x + ...$, получим:

В статистике Тсаллиса эту формулу можно считать $q$-обобщением классической формулы Рэлея–Джинса

Она справедлива, если $1 > q \to - \infty $. Из (37) видно, что с уменьшением $q$ излучение черного тела излучает меньше энергии по сравнению со стандартным излучением закона Рэлея–Джинса.

В случае больших частот ($\hbar \omega \gg kT$) соотношение (36), при учете формулы ${{\exp }_{{2 - q}}}(x) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{\exp }}_{q}}( - x)}}} \right. \kern-0em} {{{{\exp }}_{q}}( - x)}}$ дает:

При написании (38) использовано свойство $\mathop {{{{\exp }}_{q}}( - x) = 0}\limits_{x \to - \infty } $ деформированной экспоненты Тсаллиса (Tsallis, 2009). Выражение (38) можно рассматривать как $q$-обобщение классического закона Вина. Заметим, что в пределе слабой связи $q \to 1$ формулы (37) и (38) восстанавливают свои классические выражения.

ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ $q$-ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ПРОПЛАНЕТНОГО АККРЕЦИОННОГО ДИСКА С РАВНОВЕСНЫМ $q$-ИЗЛУЧЕНИЕМ

В эволюции многих протопланетных аккреционных дисков, особенно на ранней стадии их возникновения, большую роль играет давление излучения, как фактор их гидростатического равновесия. Впервые анализ неустойчивости в аккреционных дисках относительно осесимметричных возмущений с учетом давления излучения был проведен в работе Шакуры и Сюняева (Shakura, Sunyaev, 1976). В последующих работах рассматривались общие политропные модели (Camenzind и др., 1986), учитывались неосесимметричные возмущения (McKee, 1990), звуковые и эпициклические колебания (Хопеpсков, Хpапов, 1995; Фридман, Хоперсков, 2011) и т.д.

Ниже мы используем приведенную выше систему уравнений $q$ – гидродинамики для моделирования неустойчивости околосолнечного допланетного толстого диска, вещество которого состоит из смеси вещества (находящегося в состоянии идеального $q$-газа) и чернотельного изотропного излучения при температуре $T,$ распространяющегося по всем направлениям. Будем предполагать, что протопланетный диск является оптически толстым и распределение поля излучения близко к равновесному. Подчеркнем также, что диск в значительной мере обладает осевой симметрией, что является следствием его вращения вокруг центральной звезды. Далее будем также предполагать, что диск является самогравитирующим, для которого вертикальная структура (вдоль оси вращения) определяется балансом сил давления и гравитации самого диска.

В случае пренебрежения гидродинамическими диссипативными процессами и нагревом космического вещества, обусловленным диссипацией и процессами ионизации и возбуждения, исходная система $q$-уравнений, состоящая из аналога уравнений Эйлера и уравнения Пуассона, имеет вид⁵⁵ (см., например, Колесниченко, 2019):

где соотношением ${{dA} \mathord{\left/ {\vphantom {{dA} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}:\, = {{\partial A} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial A} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}} + ({\mathbf{u}} \cdot \nabla )A$ определяется полная производная структурной величины $A({\mathbf{r}},t)$ по времени. Здесь – соответственно полное давление и полная внутренняя энергия (на единицу массы) смеси идеального $q$-газа и чернотельного излучения; ${{\rho dQ} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho dQ} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ – полная скорость выделения тепла за счет вязкой диссипации и энергия, уносимая теплопроводностью и излучением из элемента среды при его движении; ${{\varepsilon }_{q}}({\mathbf{r}},t) = {{c}_{{vq}}}T({\mathbf{r}},t)$ $ = \frac{D}{{2 + (1 - q)D}}\frac{{kT({\mathbf{r}},t){\kern 1pt} }}{m}$ – внутренняя энергия (на единицу массы газовой составляющей допланетного диска); ${{\varepsilon }_{{rad}}} = {{{{a}_{q}}{{T}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{q}}{{T}^{4}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }$ – удельная энергия излучения (в статистике Тсаллиса) черного тела, находящаяся в единице массы; ${{p}_{q}}({\mathbf{r}},t) = \frac{2}{{2 + (1 - q)D}}\frac{k}{m}T({\mathbf{r}},t)\rho ({\mathbf{r}},t) = \frac{2}{D}\rho {{\varepsilon }_{q}}$ – газовое давление в неэкстенсивной дисковой системе (аналог закона состояния в кинетической теории идеальных газов); $T$ – абсолютная температура; ${{P}_{{rad}}} \equiv {{{{a}_{q}}{{T}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{q}}{{T}^{4}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$ – лучевое давление; ${{a}_{q}}: = a{\kern 1pt} J_{q}^{{(3)}}$ – модифицированная постоянная излучения Стефана–Больцмана (см. (41)); $\psi ({\mathbf{r}},t) = - G\int_V {\frac{{\rho ({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ',t)}}{{\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|}}} d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$ – гравитационный потенциал, являющийся решением уравнения Пуассона (8) (интеграл здесь берется по всему объему $V,$ занимаемому допланетным облаком); ${{c}_{{vq}}} = \frac{D}{{2 + (1 - q)D}}\frac{k}{m}$ – удельная изохорная теплоемкость газовой составляющей смеси. Определим также показатель адиабаты газового вещества диска, как отношение ${{\gamma }_{q}} \equiv {{\gamma }_{{gas}}} = {{{{c}_{{pq}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{{pq}}}} {{{c}_{{vq}}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{{vq}}}}}$. Тогда

Уравнение для полной внутренней энергии (53) удобно переписать, используя уравнение неразрывности (50), в обычной форме первого начала термодинамики

выражающего скорость ${{dS} \mathord{\left/ {\vphantom {{dS} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ изменения энтропии $S$ (на единицу массы) дискового вещества и излучения при движении элемента среды вдоль его траектории. Здесь $v({\mathbf{r}},t) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \rho }} \right. \kern-0em} \rho }$ – удельный объем вещества протопланетного диска.

ДЖИНСКОВСКАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В НЕЭКСТЕНСИВНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Рассмотрим теперь простейшую задачу возникновения неустойчивости в бесконечной покоящейся сферически однородной среде. Напомним, что при рассмотрении гравитационной неустойчивости Дж. Джинс рассматривал однородное состояние самогравитирующей среды в состоянии покоя, что не совсем корректно, так как такое состояние не является состоянием равновесия. Тем не менее, его вывод критерия неустойчивости можно рассматривать как первое приближение, которое в наиболее простых случаях дает правильный порядок нижней критической длины волны возмущения, ведущего к неустойчивости (см., например, Сафронов, 1969; Фридман, Хоперсков, 2011).

Линеаризованные основные дифференциальные уравнения (50)–(53) для случая чисто радиального сферически симметричного движения с учетом допущений, что невозмущенное состояние является равновесным $(u = {{u}_{0}} + u{\kern 1pt} ',\,\,{{u}_{0}} = 0)$ и что уравнение Пуассона (52) можно применить лишь к возмущениям плотности (условие ${{\psi }_{0}} \cong 0$ называют иногда “мошенничеством” Джинса (см. Jeans, 1902)), имеют вид:

Уравнение (71) тривиально интегрируется. Выбирая постоянную интегрирования так, чтобы $P{\kern 1pt} ' = 0$ при $\rho {\kern 1pt} ' = 0$, получим

Допустим теперь, что характерная длина, связанная с пространственными изменениями величин ${{P}_{0}}$ и ${{\rho }_{0}}$ велика по сравнению с другими характерными длинами задачи (это так называемое приближение коротковолновой акустики), т.е. можно пренебречь производными ${{\partial {{P}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{P}_{0}}} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}}$ и ${{\partial {{\rho }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\rho }_{0}}} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}}$. При этих дополнительных упрощающих предположениях уравнение неразрывности, импульса и энергии легко объединить в одно уравнение для адиабатической звуковой волны⁷⁷ (см., например, Ландау, Лифшиц, 1964)

Здесь возмущенная производная давления ${{\partial P{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial P{\kern 1pt} '} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}}$ выражается, согласно (73), через возмущенную производную плотности ${{\partial \rho {\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \rho {\kern 1pt} '} {\partial r}}} \right. \kern-0em} {\partial r}}$ в виде

где – адиабатическая (или лапласова) скорость звука в дисковой среде. При написании (75) было учтено, что

Заметим, что в частном случае, когда $q = 1$ и $D = 3$, имеем классический идеальный газ излучением, ${{\gamma }_{1}} = {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}$. Отсюда следует, что

Когда излучение отсутствует (${{\beta }_{0}} = 1$), то ${{a}_{{S,0}}}: = {{a}_{{gas,0}}} \equiv {{({{{{\gamma }_{1}}k{{T}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\gamma }_{1}}k{{T}_{0}}} m}} \right. \kern-0em} m})}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ – адиабатическая скорость звука в идеальном газе.

Если $q \ne 1$ (идеальный $q$-газ) и излучение отсутствует (${{\beta }_{0}} = 1$), то

Уравнение (74) является линейным и однородным уравнением в частных производных, следовательно, к нему применим метод нормальных колебаний (метод мод). Решая уравнения (74) для возмущенной плотности в виде $\rho {\kern 1pt} ' \sim \exp ( - i\omega t + i{\mathbf{k}}r)$, описывающем волны с угловой частотой $\omega $, волновым вектором ${\mathbf{k}}$ в направлении $r$⁸⁸ и длиной волны ${{\lambda }_{r}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {\mathbf{k}}}} \right. \kern-0em} {\mathbf{k}}}$, получим следующее дисперсионное уравнение для бегущей волны

которое с учетом соотношений (40) и (41) принимает “стандартный” вид

Здесь адиабатическая скорость звука ${{a}_{{S,0}}}$ определяется формулой (75).

Для устойчивых волн с частотами $\omega $ имеем ${{\omega }^{2}} > 0$, тогда, как неустойчивость соответствует условию ${{\omega }^{2}} < 0$. Эти два класса разделяет случай нейтральной устойчивости ${{\omega }^{2}} = 0$, что соответствует модам с критической длиной волны возмущения

Из уравнения (80) следует, что граничное значение ${\mathbf{k}} = {{{\mathbf{k}}}_{{сr}}}$ разделяет устойчивые $({\mathbf{k}} > {{{\mathbf{k}}}_{{сr}}})$ и неустойчивые $({\mathbf{k}} < {{{\mathbf{k}}}_{{сr}}})$ пульсации плотности. При малых ${\mathbf{k}}$ (длинные волны) пульсации будут расти со временем и появляется нестабильность Джинса, а коротковолновые пульсации плотности (большие ${\mathbf{k}}$, малые длины волн) колеблются, т.е. распространяются в виде звуковых волн.

Таким образом, критическая длина волны возмущения, равная

является размером мельчайших “капель” рассматриваемой “фрактальной” газовой среды с излучением, которые могут удерживаться вместе собственным гравитационным притяжением. Следовательно, модифицированный в рамках неэкстенсивной кинетической теории критерий неустойчивости Джинса для смеси $q$-газа и чернотельной $q$-радиации будет выглядеть следующим образом: длина неустойчивой волны возмущения ${{\lambda }_{r}}$ должна удовлетворять неравенству

Заметим, что в традиционной литературе длину

соответствующую размеру области сжатия самогравитирующего газа, называют длиной Джинса. С учетом (83) критерий неустойчивости Джинса в неэкстенсивной кинетике может быть переписан в виде:

Отсюда следует:

1. Если $q = 1$ (при этом ${{\gamma }_{1}} = 1 + {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 D}} \right. \kern-0em} D}$), то фактор

Следовательно, критическая длина волны возмущения в рассматриваемом случае больше джинсовской, т.е. благодаря давлению излучения система стабилизируется.

2. Если $q \ne 1$, но излучение отсутствует ${{\beta }_{0}} = 1$, то фактор

В этом случае критерий гравитационной неустойчивости зависит от численных значений параметров деформации $q$ и нецелой размерности пространства скоростей $D$. При этом возможна ситуация, при которой гравитационно-устойчивое (на основе классической статистики Больцмана–Гиббса) облако газа, будет неустойчивым согласно неэкстенсивной статистики Тсаллиса (см. Колесниченко, Маров, 2014; Kolesnichenko, Marov, 2014; 2016).

Связанная с ${{\lambda }_{{cr}}}$ критическая масса (масса, содержащаяся внутри сферы диаметром ${{\lambda }_{{cr}}}$) определяется соотношением

где – критическая масса Джинса. Возмущения с массой ${{M}_{r}}$, превышающей критическую массу Джинса ${{M}_{J}}$ ($\Xi > 1$) могут расти, формируя гравитационно-ограниченные структуры, в то время как возмущения с массой ${{M}_{r}}$ меньше ${{M}_{J}}$ не растут и ведут себя как акустические волны. При этом для самогравитирующих неэкстенсивных сред с излучением критические значения длины волны и массы явно зависят от энтропийного индекса $q$, нецелой размерности пространства скоростей $D$ и коэффициента $\beta $, которые, являясь свободными параметрами, должны определяться в каждом конкретном случае эмпирическим путем из экспериментальных данных. Это позволяет при исследовании неустойчивости самогравитирующих космических объектов в рамках неэкстенсивной статистики более обосновано моделировать реально складывающуюся ситуацию.

Заметим, что дальнейшее развитие предложенного здесь подхода может быть связано с учетом влияния на джинсовскую неустойчивость вращения среды, магнитного поля, вязкости и других диссипативных эффектов.

ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДЖИНСА ДЛЯ НАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ С ЧЕРНОТЕЛЬНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

Исходные бездиссипативные уравнения намагниченной плазмы с радиационными процессами состоят из уравнений: уравнений Эйлера для идеальной $q$-жидкости, уравнения Пуассона и уравнения магнитной индукции в магнитной гидродинамике:

Здесь ${\mathbf{B}} = {{{\mathbf{B}}}_{0}} \equiv {{B}_{0}}{{{\mathbf{i}}}_{z}}$ − магнитное поле; $c$ − скорость света; ${\mathbf{j}} = ({c \mathord{\left/ {\vphantom {c {4\pi }}} \right. \kern-0em} {4\pi }})\nabla \times {\mathbf{B}}$ − сила тока; ${{\gamma }_{q}} - 1 = 1 - q + {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 D}} \right. \kern-0em} D}$.

Линеаризуем уравнения (90)–(94), предполагая, что невозмущенное состояние среды является однородным и равновесным $({\mathbf{u}} = {{{\mathbf{u}}}_{0}} + {\mathbf{u}}{\kern 1pt} ',\,\,{{{\mathbf{u}}}_{0}} = 0)$, и что ${{\psi }_{0}} \cong 0$; тогда, в случае цилиндрически симметричного движения (${\mathbf{r}} = {{{\mathbf{i}}}_{x}}x + {{{\mathbf{i}}}_{z}}z$), получим^99:

где

Получим теперь в рамках неэкстенсивной механики Тсаллиса дисперсионное уравнение для определения критерия неустойчивости однородной плазмы с учетом воздействия радиационного давления. Используем для этого метод нормальных колебаний, при условии экспоненциального возмущения всех пульсирующих параметров: $\rho {\kern 1pt} ',u,T{\kern 1pt} ',\psi {\kern 1pt} '$ и ${\mathbf{B}}{\kern 1pt} '$, т.е. когда они пропорциональны $ \sim \exp [i( - \omega t + {{{\mathbf{k}}}_{x}}x + {{{\mathbf{k}}}_{z}}z)]$. Здесь $\omega $ − частота гармонических колебаний, ${\mathbf{k}} = \sqrt {{\mathbf{k}}_{x}^{2} + {\mathbf{k}}_{z}^{2}} $ – волновое число. В результате будем иметь:

где − альфвеновская скорость плазмы.

Рассмотрим два простых случая:

1. Для поперечного распространения волн (когда ${\mathbf{k}}_{x}^{{}} = {\mathbf{k}}$, ${\mathbf{k}}_{z}^{{}} = 0$) уравнение (101) сводится к простой форме (сравни с (80))

для которого, с учетом формулы (75), критерий гравитационной неустойчивости самогравитирующей плазмы с магнитным полем и радиационным давлением принимает вид:

2. В случае продольного (к направлению магнитного поля) распространения пульсационных волн (для которых ${\mathbf{k}}_{z}^{{}} = {\mathbf{k}}$, ${\mathbf{k}}_{x}^{{}} = 0$) уравнение (101) сводится к следующим двум уравнениям:

Таким образом, в поперечном режиме распространения волны возмущения критерий неустойчивости Джинса для плазмы модифицируется магнитным полем и радиационным давлением. В случае продольного режима на джинсовский критерий не влияет магнитное поле, поскольку этот режим обеспечивает Альфвен-режим движения отдельно от гравитационного режима.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Экзопланеты образуются из протопланетных дисков в результате потери ими устойчивости. Гравитационная неустойчивость является фундаментальным процессом фрагментации гравитирующего космического вещества протопланетного диска. В конечном счете, именно с ней связано формирование экзопланет. Однако, полной ясности в том, какие физико-химические процессы идут при их формировании и какие из них доминируют, до сих пор нет. Большинство обнаруженных на сегодня протопланетных дисков вокруг солнечноподобных звезд значительно отличаются от протопланетного диска Солнца. По этой причине теория, которая используется для описания Солнечной системы, только одна из многих, и для описания эволюции звездных протопланетных дисков она может быть намного более сложной. Об этом, в частности, свидетельствует немалая коллекция обнаруженных во Вселенной экзопланет, которые весьма разнообразны. В связи со сказанным, существует необходимость в создании нестандартных моделей, объясняющих многообразие протопланетных дисков и протопланетных систем.

Имея в виду большое космологическое значение гравитационной неустойчивости в проблеме образования экзопланет, в представленной работе рассмотрена неустойчивость Джинса в рамках нетрадиционной статистики Тсаллиса, в рамках которой предлагается моделировать эволюцию протопланетных электропроводных дисков с фрактальной структурой и с учетом излучения. В работе выведены дисперсионные уравнения, на основе которых выполнен анализ осесимметричных колебаний протопланетных дисков с фрактальной структурой фазового пространства при учете чернотельного $q$-излучения.

В работе получен модифицированный критерий джинсовской гравитационной неустойчивости как для покоящейся бездиссипативной сферически однородной фрактальной среды, состоящей из идеального $q$-газа и чернотельного излучения, так и для намагниченной плазмы, подверженной воздействию радиационного давления. Для подобного самогравитирующего протопланетного диска найдены критические значения длин волн и масс, которые явно зависят от индекса нецелой размерности пространства скоростей и коэффициента, характеризующего долю излучения в полном давлении смеси. Полученные параметрические критерии неустойчивости Джинса позволяют более свободно моделировать эволюцию разнообразных аномальных протопланетных газо-пылевых дисков. Предложенный подход может быть распространен также и на другие процессы эволюции дисков, связанные, например, с исследованием гравитационных возмущений диссипативных дисков с излучением, с исследованием собственных частот колебаний вертикально неоднородных магнитных протопланетных дисков и др.

Следует отметить, что, численное значение параметра деформации $q$ играет при этом существенную роль. К сожалению, проблема его определения все-еще остается открытой. Вместе с тем, в настоящее время имеются серьезные успехи в гелиосейсмологии, которая исследует внутреннюю структуру и динамику Солнца (см. Gough, 2012). В солнечной атмосфере установлены и изучены почти 10 миллионов резонансных мод колебаний. Их частоты измерены с достаточно большой точностью, что позволяет исследовать внутреннюю структуру Солнца на больших глубинах (Gough, Hindman, 2010). Эти результаты поднимают ряд теоретических вопросов, ответы на которые необходимы для понимания того, как на самом деле эволюционирует обычная звезда с протопланетным диском. Поскольку гелиосейсмология приводит экспериментальные доказательства присутствия неэкстенсивных эффектов в недрах звезды (в частности, по найденным скоростям звука), т.е. надежда, что она также сможет в самое ближайшее время предоставить космологические экспериментальные данные по численным значениям параметра деформации $q$, отличным от единицы.

Автор признателен правительству Российской Федерации и Министерству высшего образования и науки РФ за поддержку по Гранту 075-15-2020-780 (N13.1902.21.0039).