Астрономический вестник, 2021, T. 55, № 5, стр. 491-492

В первом приближении теории возмущений эволюция орбиты тела пренебрежимо малой массы определяется так называемой вековой частью W возмущающей функции ограниченной круговой задачи трех тел

где ${\mathbf{r}},{\mathbf{r}}{\kern 1pt} '$ – радиус-векторы возмущаемого и возмущающего тел, соответственно, $\lambda ,\lambda {\kern 1pt} '$ – их средние долготы. Эта функция берет свое начало в исследованиях К.Ф. Гаусса начала XIX века.

Система эволюционных дифференциальных уравнений в кеплеровских элементах допускает три первых интеграла в инволюции:

где а – большая полуось орбиты тела бесконечно малой массы, е – ее эксцентриситет, ω – аргумент перицентра, i – наклонение к плоскости орбиты возмущающего тела. Интегралы с₀ и с₁ являются следствиями специфики рассматриваемой задачи – ее автономности и осесимметричности, соответственно. Независимость функции W от долготы узла Ω делает задачу интегрируемой (Моисеев, 1945).

Исключение наклонения i из функции W с помощью интеграла с₁ сводит задачу к изучению динамической системы с одной степенью свободы и позволяет исследовать двухпараметрическую (с₀, с₁) структуру траекторий в фазовой плоскости (ω, е). Такие исследования были выполнены в начале 60-х годов прошлого века для различных приближений функции W относительно малого параметра $\alpha = {a \mathord{\left/ {\vphantom {a {a{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {a{\kern 1pt} '}} < 1$. В этом, так называемом, внутреннем варианте при учете в функции W лишь слагаемых ~α² в приближении Хилла выполнено полное качественное и аналитическое исследование задачи (Лидов, 1961; Lidov, 1962), в частности выявлены условия существования стационарных особых точек при с₁ < 3/5 и ω = ±π/2, а также условия либрации ω. Используя выражения для функции W совместно с интегралом с₁, М.Л. Лидов получил существенно более простую компактную форму для интеграла с₂

Исследования М.Л. Лидова были вызваны насущной необходимостью изучения орбитальной динамики искусственных спутников Земли и планет.

Практически одновременно с целью изучения орбитальной эволюции астероидных орбит Й. Козаи исследовал уточненный и более полный вариант задачи, получив выражение для функции W с точностью до α⁸, включительно (Козаи, 1962). В этом исследовании, в частности, было выявлено существование первого реального астероида (1373) Цинциннати с либрационным изменением ω. Впоследствии были получены выражения функции W для внутреннего варианта задачи (α < 1) с точностью до α¹⁴ и для внешнего варианта (α > 1) с точностью до 1/α¹⁵ (Ito, 2016).

Выполненное относительно недавно интереснейшее научно-историческое исследование (Ito, Ohtsuka, 2019a; 2019b), кроме сравнительного анализа работ Й. Козаи, М.Л. Лидова и Н.Д. Моисеева, выявило существенный вклад в исследование рассматриваемой задачи Х. фон Цейпеля и его, практически неизвестную ранее, работу начала прошлого века (Цейпель, 1910). В этой работе, связанной с эволюцией кометных орбит, описаны многие качественные особенности задачи, выявленные в более поздних работах вышеуказанных авторов. Кроме того, предложено асимптотическое выражение для функции W в случае так называемых “сцепленных” орбит, дополняющем внутренний и внешний варианты задачи.

Все вышеизложенное дает основание для предложений по изменению или уточнению некоторых терминов, используемых в небесно-механических работах, так или иначе связанных с ограниченной круговой двукратно осредненной задачей тех тел.

1. Интеграл с₁ существует в любой механической задаче с осесимметричным потенциалом, когда у вектора момента количества движения сохраняется его проекция на ось симметрии. Поскольку этот интеграл вытекает из общего закона механики, связывать его с чьим-либо именем представляется не вполне оправданным, хотя он и сыграл важную роль в исследованиях вышеупомянутых ученых.

2. Термином “интеграл Лидова” естественно называть интеграл с₂, как компактное соотношение между эксцентриситетом, наклонением и аргументом перицентра, выполняющееся в силу эволюционных уравнений двукратно осредненной задачи Хилла и полученное только в работах (Лидов, 1961; Lidov, 1962).

3. В общем случае произвольных значений α для соотношения $W\left( {{{c}_{0}},e,i,\omega } \right) = {{c}_{2}},$ на наш взгляд, следовало бы использовать термин “интеграл Цейпеля–Моисеева–Козаи”, учитывающий вклад всех трех ученых – небесных механиков в исследование проблемы вековых возмущений.

4. Термин “резонанс Лидова–Козаи” принято использовать лишь в данной задаче для условия $\tilde {\dot {\omega }} = \dot {\Omega }$, т.е. равенства производных по времени долготы перицентра и узла орбиты, а следовательно, равенства нулю производной аргумента перицентра $\dot {\omega } = 0$.

5. Представляется дискуссионной трактовка термина “эффект Лидова–Козаи” исключительно как колебательного изменения эксцентриситета и наклонения, противофазного для прямых орбит и синфазного для обратных. Очевидно, что подобные колебания, происходящие с удвоенной частотой изменения аргумента перицентра, имеют причиной все тот же интеграл с₁. Поэтому “эффект Лидова–Козаи” корректнее связывать не только и не столько с указанными колебаниями, сколько с существованием в фазовой плоскости (ω, е) стационарных особых точек, областей либрации аргумента перицентра при с₁ < 3/5, а также с возможностью резкого возрастания эксцентриситета и соударения спутника с поверхностью планеты конечного радиуса при с₁ ≈ 0 (i ≈ 90°). Весомым основанием для этого, на наш взгляд, являются архивные материалы Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, в котором М.Л. Лидов проработал всю свою жизнь. В одном из пунктов отчета о научной работе, cоставленного Михаилом Львовичем в 1961 г., говорится именно о выявлении эффекта падения спутника на поверхность планеты в случае почти ортогональной ориентации его орбиты относительно орбиты возмущающего тела. В выписке из протокола заседания Ученого совета 1970 г., на котором происходило выдвижение М.Л. Лидова в члены-корреспонденты АН СССР, содержится следующая формулировка одного из многих его научных достижений. “М.Л. Лидову принадлежит открытие неизвестного ранее эффекта – падения на центральное тело спутника, орбита которого наклонена к плоскости орбиты центрального тела под углом, близким к 90°”. В аналогичном документе 1992 г. о выдвижении М.Л. Лидова в академики АН СССР указано, что “На основе анализа ограниченной задачи трех тел М.Л. Лидовым установлена невозможность длительного существования спутников на орбитах с большим наклонением к плоскости орбиты возмущающего тела” ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Страницы памяти (keldysh.ru).

Сформулированные предложения открыты для научной дискуссии и, конечно, не исключают каких-либо изменений и дополнений.