Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 62-65

О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Э. В. Теодорович^*

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

Поступила в редакцию 30.08.2019
После доработки 30.08.2019
Принята к публикации 01.11.2019

DOI: 10.31857/S2686740020010204

Аннотация

Рассматривается уравнение Навье–Стокса при наличии внешней регулярной и случайной силы. Статистическое решение описывается в терминах характеристического функционала, подчиняющегося уравнению в функциональных производных. Получены представления для поправок к вязкости и дисперсии внешних случайных сил за счет турбулентного перемешивания. Найдена связь между вершинами трех различных типов, позволяющая учесть вклад вершин всех типов в физические характеристики турбулентности.

Ключевые слова: характеристический фунционал, уравнение в функциональных производных, функция Грина, парная корреляционная функция поля скоростей, поправки к вязкости и дисперсии внешних случайных сил, вершины трех типов

1. Сформулированная в работе [1] теорема об эквивалентности статистической динамики классической системы некоторой квантовой теории поля позволяет использовать при построении статистической теории турбулентности мощные математические методы, развитые для описания квантованных полей вне рамок теории возмущений. В квантовой теории поля подобный подход был предложен Ю. Швингером [2], положившим в основу построения теории квантованных полей метод характеристического (производящего) функционала, получившего для него уравнение в функциональных (вариационных) производных, решение которого представимо в виде функционального интеграла (континуального интеграла, интеграла по траекториям), соответствующего усреднению классической величины по квантовым флуктуациям (см. [3]). В применении к теории турбулентности авторы в основном ограничивались формулировкой задачи в терминах характеристического функционала [4, 5]. В данной работе приводится дальнейшее развитие указанного подхода.

2. В основе рассмотрения лежит уравнение Навье–Стокса при наличии внешней случайной X(1) и регулярной f(1) силы, записанное в виде

(1)

$L[u]\, = \,{{L}^{{(0)}}}(1,2)u(2)\, + \,\frac{1}{2}V(1\,|\,2,3)u(2)u(3)\, = \,X(1)\, + \,f(1)$

(подробное пояснение обозначений см., например, в [6]). Внешняя случайная сила X(1), являющаяся аналогом силы Ланжевена в теории случайных процессов, моделирует возникновение стохастичности за счет развития неустойчивости крупномасштабных течений жидкости. Для этой силы принимается, что она подчиняется центрированному нормальному распределению с парной корреляционной функцией ${{D}^{{(0)}}}(1,2)$.

Характеристический функционал (ХФ) случайного поля скоростей определяется соотношением

(2)

$\Phi [\eta (1),f(1)] = \left\langle {\exp \{ \imath \eta (1) \cdot u(1;X,f)\} } \right\rangle ,$

где $u(1:X,f)$ – решение уравнения Навье–Стокса, а усреднение осуществляется по реализациям внешней случайной силы $X(1)$.

Далее выполним переход к новым функциональным переменным

(3)

$\hat {\eta }(1) = \frac{{\delta ln\Phi [\eta ,f]}}{{\imath \delta \eta (1)}},\quad \hat {f}(1) = \frac{{\delta ln\Phi [\eta ,f]}}{{\imath \delta f(1)}}.$

При $\eta \to 0$ получим $\hat {\eta }(1) \to \left\langle {u(1)} \right\rangle $.

Переход к новым функциональным переменным осуществляется с помощью функционального преобразования Лежандра путем введения нового функционала

(4)

$\Psi [\hat {\eta },\hat {f}] = - ln\Phi [\eta ,f] + \imath \eta \hat {\eta } + \imath f\hat {f}.$

В этом случае

(5)

$\begin{gathered} \frac{{\delta \Psi }}{{\imath \delta \hat {\eta }(1)}} = \eta (1),\quad \frac{{\delta \Psi }}{{\imath \delta \hat {f}(1)}} = f(1), \\ \frac{{\delta \hat {\eta }(1)}}{{\imath \delta \eta (2)}} = \frac{{{{\delta }^{2}}ln\Phi }}{{\imath \delta \eta (1)\imath \delta \eta (2)}} = C(1,2), \\ \frac{{\delta \hat {f}(2)}}{{\delta \eta (1)}} = \frac{{\delta \hat {\eta }(1)}}{{\delta f(2)}} = G(1,2), \\ \end{gathered} $

где C(1, 2) – парная корреляционная функция (дисперсия) поля скоростей, функция G(1, 2) описывает отклик среднего поля скорости в пространственно-временной точке 1 на действие силового источника, локализованного в точке 2, иными словами, является функцией (тензором) Грина.

Для дальнейшего анализа рассмотрим смешанные функциональные производные функционала $\Psi $

(6)

$\begin{gathered} \frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \eta (2)\imath \delta \hat {\eta }(1)}} = \frac{{\delta \hat {\eta }(3)}}{{\delta \eta (2)}}\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \hat {\eta }(3)\imath \delta \hat {\eta }(1)}} + \\ \, + \frac{{\delta \hat {f}(3)}}{{\delta \eta (2)}}\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(3)\imath \delta \hat {\eta }(1)}} = \delta (1 - 2), \\ \end{gathered} $

(7)

$\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \eta (2)\delta \hat {f}(1)}}\, = \,\frac{{\delta \hat {\eta }(3)}}{{\delta \eta (2)}}\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \hat {\eta }(3)\delta \hat {f}(1)}}\, + \,\frac{{\delta \hat {f}(3)}}{{\delta \eta (2)}}\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(3)\delta \hat {f}(1)}}\, = \,0.$

С учетом следующего из анализа диаграммных рядов теории возмущений равенства нулю функциональных производных функционала Ψ только по полям $\hat {\eta }$, из (6) получим

(8)

$\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\imath \delta \hat {f}(1)\delta \hat {\eta }(2)}} = {{G}^{{ - 1}}}(1,2),$

где G^–1 – обратная функция Грина.

Уравнение (7) примет вид $C(1,1{\text{'}}){{G}^{{ - 1}}}(1{\text{'}},2)$ – ‒ $G(1,1{\text{'}})D(1{\text{'}},2)$ = 0 или

(9)

$\begin{gathered} C(1,2) = G(1,1{\text{'}})G(2,2{\text{'}})D(1{\text{'}},2{\text{'}}), \\ D(1,2) = \frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\imath \delta \hat {f}(1)\imath \delta \hat {f}(2)}}. \\ \end{gathered} $

Это уравнение имеется в работе Швингера [2], а в статистической теории турбулентности уравнение (9) впервые было получено Уайлдом [7] путем анализа рядов теории возмущений с использованием техники фейнмановских диаграмм. Функцию D(1, 2) в уравнении Уайлда (9) следует интерпретировать как парную корреляционную функцию эффективных случайных сил.

3. До сих пор уравнения Навье–Стокса (1) нами не было использовано, а рассматривались только соотношения, вытекающие из возможности статистического описания системы в терминах характеристического функционала. Функционал $\Psi [\hat {\eta },\hat {f}]$ поля скоростей, подчиняющегося уравнениям (1), является решением уравнения в функциональных производных [6, 8]

(10)

$\begin{gathered} {{L}^{{(0)}}}(1,2)\hat {\eta }(2) + \frac{1}{2}V(1|2,3)\left[ {\hat {\eta }(2)\hat {\eta }(3) + \frac{{\delta \hat {\eta }(3)}}{{\imath \delta \eta (2)}}} \right] = \\ = \frac{{\delta \Psi }}{{\imath \delta \hat {f}(1)}} + \imath {{D}^{{(0)}}}(1,2)\hat {f}(2). \\ \end{gathered} $

Для нахождения уравнений для функций ${{G}^{{ - 1}}}$ и D подействуем на уравнение (10) оператором $\frac{\delta }{{\delta \hat {\eta }(2)}}$. Используя (8), получим

(11)

$\frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\imath \delta \hat {f}(1)\delta \hat {\eta }(2)}} = {{G}^{{ - 1}}}(1,2) = {{L}^{{(0)}}}(1,2) - \Sigma (1,2),$

где $\Sigma (1,2) = {{\Sigma }^{{(0)}}}(1,2) + {{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2)$,

(12)

$\begin{gathered} {{\Sigma }^{{(0)}}}(1,2) = - V(1\,|\,2,3)\hat {\eta }(3), \\ {{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2) = - \frac{1}{2}V(1\,|\,3,4)\frac{{\delta C(3,4)}}{{\delta \hat {\eta }(2)}}. \\ \end{gathered} $

Уравнение (11) можно переписать в виде

(13)

$G(1,2) = {{G}^{{(0)}}}(1,2) + {{G}^{{(0)}}}(1,1{\text{'}})\Sigma (1{\text{'}},2{\text{'}})G(2{\text{'}},2),$

где G⁽⁰⁾– функция Грина линейного уравнения

${{L}^{{(0)}}}(1,1{\text{'}}){{G}^{{(0)}}}(1{\text{'}},2) = \delta (1 - 2).$

Уравнение (13) является аналогом уравнения Дайсона в квантовой теории поля, а величина $\Sigma $ – аналогом “оператора собственной энергии”.

При действии на (10) оператором $\frac{\delta }{{\imath \delta \hat {f}(2)}}$ и учитывая (9), найдем

(14)

$\begin{gathered} \frac{{{{\delta }^{2}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(2)\delta \hat {f}(1)}} = D(1,2) = {{D}^{{(0)}}}(1,2) + {{D}^{{(1)}}}(1,2), \\ {{D}^{{(1)}}}(1,2) = - \frac{1}{2}V(1\,|\,3,4)\frac{{\delta C(3,4)}}{{\imath \delta \hat {f}(2)}}. \\ \end{gathered} $

Из (11) и (14) следует, что величины $\Sigma (1,2)$ и ${{D}^{{(1)}}}(1,2)$ необходимо интерпретировать соответственно как обусловленные влиянием турбулентного перемешивания поправки к вязкости жидкости и корреляционной функции внешних случайных сил.

Для нахождения явного вида величин ${{\Sigma }^{{(1)}}}$ и ${{D}^{{(1)}}}$ согласно (12) и (14) необходимо знать функциональные производные C по полям $\hat {\eta }$ и $\hat {f}$, что может быть осуществлено, если сначала найти производные функции Грина путем дифференцирования тождества $G(1,1{\text{'}}){{G}^{{ - 1}}}(1{\text{'}},2) = \delta (1 - 2)$ и затем использовать уравнение Уайлда (9). Соответствующий расчет дает

(15)

$\begin{gathered} {{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2) = V(1\,|\,3,4))\left[ {\mathop {G(3,3{\text{'}})C(4,4{\text{'}})\Gamma (3{\text{'}}\,|\,4{\text{'}},2) - }\limits_{_{{}}} } \right. \\ \, - \left. {\frac{1}{2}G(3,3{\text{'}})G(4,4{\text{'}})\Gamma (3{\text{'}},4{\text{'}}\,|\,2)} \right], \\ \end{gathered} $

(16)

$\begin{gathered} {{D}^{{(1)}}}(1,2) = V(1\,|\,3,4)\left[ {\mathop {G(3,3{\text{'}})C(4,4{\text{'}})\Gamma (2,3{\text{'}}\,|\,4{\text{'}}) - }\limits_{_{{_{{}}}}} } \right. \\ \, - \left. {\frac{1}{2}G(3,3{\text{'}})G(4,4{\text{'}})\Gamma (2,3{\text{'}},4{\text{'}})} \right], \\ \end{gathered} $

где были введены три новые функции

(17а)

$\begin{gathered} \Gamma (1\,|\,2,3) = \frac{{{{\delta }^{3}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(1)\imath \delta \hat {\eta }(2)\imath \delta \hat {\eta }(3)}} = \frac{{\delta {{G}^{{ - 1}}}(1,2)}}{{\imath \delta \hat {\eta }(3)}} = \\ \, = V(1\,|\,2,3) - \frac{{\delta {{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2)}}{{\imath \delta \hat {\eta }(3)}}, \\ \end{gathered} $

(17б)

$\begin{gathered} \Gamma (1,2\,|\,3) = \frac{{{{\delta }^{3}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(1)\delta \hat {f}(2)\imath \delta \hat {\eta }(3)}} = \frac{{\delta D(1,2)}}{{\imath \delta \hat {\eta }(3)}} = \\ \, = \frac{{\delta {{G}^{{ - 1}}}(1,2)}}{{\delta \hat {f}(3)}} = - \frac{{\delta {{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2)}}{{\delta \hat {f}(3)}}, \\ \end{gathered} $

(17в)

$\Gamma (1,2,3) = \frac{{{{\delta }^{3}}\Psi }}{{\delta \hat {f}(1)\delta \hat {f}(2)\delta \hat {f}(3)}} = \frac{{\delta {{D}^{{(1)}}}(1,2)}}{{\delta \hat {f}(3)}},$

называемые в диаграммной технике вершинами и интерпретируемые в квантовой теории поля как величины, описывающие соответственно процессы слияния двух квантов в один, распад одного кванта на два и порождение трех квантов внешним полем (вершины первого, второго и третьего типов). На необходимость учета вершин всех трех типов впервые было указано в работе [1] (см. также [6, 8]). Из формул (15), (16) можно видеть, что формула для ${{D}^{{(1)}}}$ может быть получена, если в формуле для $\Sigma (1)$ сделать замену $\Gamma (3{\text{'}}\,|\,4{\text{'}},2) \to \Gamma (2,3{\text{'}}\,|\,4{\text{'}})$ и $\Gamma (3{\text{'}},4{\text{'}}\,|\,2) \to \Gamma (2,3{\text{'}},4{\text{'}})$.

4. Система уравнений (9), (13), (15), (16) является точным следствием определения (12) и уравнения для ХФ (10). При выводе этих уравнений никакие приближения или дополнительные предположения феноменологического характера не были использованы. Однако эта система не является замкнутой, так как содержит три неизвестные функции $\Gamma $, для которых в свою очередь можно получить уравнения, содержащие моменты более высокого порядка (“четыреххвостые диаграммы”), т.е. возникает цепочка уравнений в чем-то аналогичная цепочке уравнений Фридмана–Келлера при традиционной формулировке статистической теории турбулентности в терминах статистических моментов и в рассматриваемом случае также возникает проблема замыкания системы полученных уравнений.

Функциональная формулировка позволяет исключить из системы вершины второго и третьего типов, выразив их через вершину первого типа.

Для нахождения дополнительных соотношений, связывающих вершины разных типов, подействуем на уравнения (6), (7) оператором функционального дифференцирования $\frac{\delta }{{\imath \delta \hat {f}(4)}}$ и получим

(18)

$C(2,3)\Gamma (4\,|\,3,1) + G(2,3)\Gamma (4,3\,|\,1) = 0,$

(19)

$C(2,3)\Gamma (4,1\,|\,3) + G(2,3)\Gamma (4,1,3) = 0.$

Используя уравнение Уайлда (9), приходим к представлению вершин второго и третьего типов через вершину первого типа

(20)

$\begin{gathered} \Gamma (4,1\,|\,2) = - \Gamma (4\,|\,1{\text{'}},2)G(1{\text{'}},1{\text{''}})D(1{\text{''}},1), \\ \Gamma (4,1,2) = - \Gamma (4,2\,|\,1{\text{'}})G(1{\text{'}},1{\text{''}})D(1{\text{''}},1) = \\ \, = \Gamma (4\,|\,1{\text{'}},2{\text{'}})G(1{\text{'}},1{\text{''}})D(1{\text{''}},1)G(2{\text{'}},2{\text{''}})D(2{\text{''}},2). \\ \end{gathered} $

Подстановка полученных соотношений в (15) и (16) дает

(21)

${{\Sigma }^{{(1)}}}(1,2) = \frac{3}{2}V(1\,|\,3,4))G(3,3{\text{'}})C(4,4{\text{'}})\Gamma (3{\text{'}}\,|\,4{\text{'}},2),$

(22)

${{D}^{{(1)}}}(1,2) = \frac{3}{2}V(1\,|\,3,4)C(3,3{\text{'}})C(4,4{\text{'}})\Gamma (2\,|\,3{\text{'}},4{\text{'}}).$

5. Простейшим способом замыкания системы уравнений (7), (12)–(14) является использование низшего приближения теории возмущений для вершин [1, 7–9]

(23)

$\Gamma (1\,|\,2,3) = V(1\,|\,2,3),\quad \Gamma (1,2\,|\,3) = \Gamma (1,2,3) = 0.$

Приближению (23) соответствует известное в квантовой теории поля и успешно применяемое в ряде других областей математической физики так называемое “однопетлевое приближение” (one-loop approximation), в котором учитывается вклад всех диаграмм теории возмущений, не содержащих пересекающихся петель. Однако в этом приближении согласно (16) оказывается, что поправка к корреляционной функции внешних случайных сил D⁽¹⁾ равна нулю, поскольку она выражается через вершины второго и третьего типов. Кроме того, в приближении (23) полученные строго соотношения для вершин (20) не выполняются. Учет вклада вершин всех трех типов приводит к уточнению значений коэффициентов в уравнениях для величин, определяющих статистические свойства турбулизованной жидкости.

Список литературы

Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. // Phys. Rev. A. 1973. V. 8. № 1. P. 427–437.
Schwinger J. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1951. V. 37. P. 452–455.
Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
Hopf E. // J. Ratl. Mech. Anal. 1952. V. 1. P. 87–123.
Lewis R.M., Kraichnan R. H. // Comm. on Pure and Appl. Math. 1962. V. XV. P. 397–411.
Теодорович Э.В. // Успехи механики. 1990. Т. 13. № 1. С. 81–121.
Wyld H.W. // Ann. Phys. 1961. V. 14. № 2. P. 143–165.
Teodorovich E.V. // J. Phys.: Conf. Ser. 2019. 1250. 012002.
Теодорович Э.В. // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 1. С. 27–37.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал