Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 24-29

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ

К. Н. Анахаев 1*

1 Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук
Нальчик, Россия

* E-mail: anaha13@mail.ru

Поступила в редакцию 04.06.2019
После доработки 25.12.2019
Принята к публикации 10.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

При решении многих задач механики и геофизики возникает необходимость использования эллиптических интегралов, аналитическое выражение которых представляет собой трудоемкую задачу. В работе приведены новые и усовершенствованные аналитические зависимости в элементарных функциях для определения эллиптических интегралов 1 и 2 рода, значения которых достаточно близко (∼1–2%) согласуются с результатами известных точных решений, совпадая с ними для граничных условий. В качестве элементарного практического примера использования полученных формул дано решение нелинейной задачи по определению длины дуги синусоиды (косинусоиды), что позволило выявить в ней участки с нелинейным и линейным характером изменения ее длины.

Ключевые слова: эллиптические интегралы, комплексная переменная, конформные отображения, нелинейная задача, синусоида (косинусоида), длина дуги синусоиды

При решении многих задач механики и математической физики, моделировании различных геофизических процессов нередко возникает необходимость использования эллиптических интегралов, не выражающихся через элементарные функции [14]. Аналитическое вычисление их значений представляет собой трудоемкую задачу, в связи с чем до настоящего времени наряду с программными продуктами широко используются специальные графики и таблицы с нелинейной интерполяцией их значений [1, 2, 58] (впервые составленные еще А.М. Лежандром в 1830-х гг. [7, с. 668]). При этом известные аппроксимации указанных интегралов [9, 10] не охватывают область значений комплексной переменной амплитуды и представлены достаточно громоздкими приближенными формулами с большим числом интервалов разбиения и т.д. Результаты численных решений, обеспечивая практически точные значения рассматриваемых интегралов в отдельных точках, ограничены в возможностях выявления внутренних взаимосвязей исходных факторов и оценке их влияния на промежуточные и итоговые результаты, что обусловливает актуальность и востребованность дальнейшего развития и совершенствования аналитических методов их исследований.

Так, при исследованиях различных нелинейных задач механики и геофизики достаточно часто используются эллиптические интегралы: полные 1-го и 2-го рода – $K$, $K\,{\text{'}}$ и $E$, $E\,{\text{'}}$ и неполный 2-го рода – $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$, при модуле интеграла $\lambda = \sin \alpha $ и дополнительном модуле $\lambda {\kern 1pt} ' = \sqrt {1 - {{\lambda }^{2}}} $ [16, 11], в которых $\alpha $ – модулярный угол и $\varphi $ – амплитуда интеграла (верхний предел интегрирования).

В общем виде амплитуда $\varphi $ имеет комплексное значение $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$ (где ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$ – вещественная и мнимая координаты комплексной полуплоскости, рис. 1г), при котором комплексный эллиптический интеграл 2-го рода $E(\varphi ,\lambda ) = {{E}_{1}} + i{{E}_{2}}$ конформно отображает область 1-го квадранта с “вырезанной” горизонтальной полулентой (четырехугольник ABCD, рис. 1а) на 1-й квадрант комплексной области $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$ (рис. 1г) [4, 12].

Рис. 1.

Конформное отображение четырехугольника ABCD области $E(\varphi ,\lambda ) = {{E}_{1}} + i{{E}_{2}}$ на 1-й квадрант области $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$: а – четырехугольник ABCD комплексной области с “вырезанной” горизонтальной полулентой; б – комплексная область $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}}$ с “вырезанной” эллиптической частью ABF; в, г соответственно, комплексные области $\zeta = \xi + i\eta $ и $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$.

Ниже приводится приближенно-гидромеханическое решение по выражению комплексного эллиптического интеграла $E(\varphi ,\lambda ) = {{E}_{1}} + i{{E}_{2}}$ в элементарных функциях. Для этого заданную в четырехугольнике АBCD (рис. 1а) комплексную область продолжим по линиям DA и CB вниз до бесконечности (точка F). Полученный таким образом треугольник FCD конформно отобразится на комплексную область 1-го квадранта $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}}$ (рис. 1б) функцией интеграла Кристоффеля–Шварца [4, 1213]:

(1)
$E(t) = \frac{{2l}}{\pi }\left( {\sqrt {{{t}^{2}} - 1} + \arcsin \frac{1}{t}} \right) + ih,$
где величины h и $l$ (рис. 1а) находятся по формулам $h = K\,{\text{'}} - E\,{\text{'}}$ и $l = E$.

В результате указанного отображения горизонтальный участок АВ в области $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}}$ получает очертание, близкое к эллиптическому с полуосями на мнимой и вещественной осях а и b, определяемыми из соответствия точек А и В (рис. 1а, б):

(2)
$\begin{gathered} a = {\text{s}}{{{\text{h}}}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{{\pi (K\,{\text{'}} - E\,{\text{'}})}}{{2E}} + \sqrt {1 + {{a}^{2}}} } \right]; \\ b = {\text{c}}{{{\text{h}}}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{{\pi (K\,{\text{'}} - E\,{\text{'}})}}{{2E}} + \sqrt {1 - {{b}^{2}}} } \right]. \\ \end{gathered} $

Комплексную область $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}}$ с вырезанной четвертью эллипса ABF (рис. 1б) конформно отобразим на комплексную область $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$ (рис. 1г) с использованием вспомогательной области ζ = = $\xi + i\eta $ (рис. 1в) функциями [11, 12]:

(3)
$\begin{gathered} t = {{(a + b)}^{{ - 1}}} \cdot \left[ {b\zeta + a\sqrt {{{\zeta }^{2}} - {{{(a + b)}}^{2}}} } \right]; \\ \zeta = \varphi (a + b). \\ \end{gathered} $

Подставляя значения t из (3) в (1) с учетом значений h и l, преобразовывая и разделяя вещественную и мнимую части, окончательно получим

(4)
$\begin{gathered} E\left( {{{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}},\lambda } \right) = \\ = {{E}_{1}} + i{{E}_{2}} = \frac{{2E}}{\pi }\left( {{{A}_{1}} + \arcsin \frac{{2{{A}_{2}}}}{M}} \right) + \\ + \;i\left[ {(K{\text{'}} - E{\text{'}}) + \frac{{2E}}{\pi }\left( {{{B}_{1}} - {\text{Arch}}\frac{M}{2}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где
$M = \sqrt {{{{\left( {1 + {{A}_{2}}} \right)}}^{2}} + B_{2}^{2}} + \sqrt {{{{\left( {1 - {{A}_{2}}} \right)}}^{2}} + B_{2}^{2}} $
(если В2 = 0, то при А2 > 1 М = 2А2, а при А2 ≤ 1 М = 2)
${{A}_{1}} = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt {A_{3}^{2} + B_{3}^{2}} + {{A}_{3}}}}{2}} ;\quad {{B}_{1}} = \sqrt {\frac{{\sqrt {A_{3}^{2} + B_{3}^{2}} - {{A}_{3}}}}{2};} $
$\begin{gathered} {{A}_{2}} = \frac{{{{t}_{1}}}}{{t_{1}^{2} + t_{2}^{2}}};\quad {{B}_{2}} = \frac{{{{t}_{2}}}}{{t_{1}^{2} + t_{2}^{2}}}; \\ {{A}_{3}} = t_{1}^{2} - t_{2}^{2} - 1;\quad {{B}_{3}} = 2\,{{t}_{1}}{{t}_{2}}; \\ \end{gathered} $
(5)
${{t}_{1}} = \frac{{a{{A}_{4}} + b\xi }}{{a + b}};\quad {{t}_{2}} = \frac{{a{{B}_{4}} + b\eta }}{{a + b}};$
${{A}_{4}} = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt {A_{5}^{2} + B_{5}^{2}} + {{A}_{5}}}}{2}} ;\quad {{B}_{4}} = \sqrt {\frac{{\sqrt {A_{5}^{2} + B_{5}^{2}} - {{A}_{5}}}}{2}} ;$
${{A}_{5}} = {{\xi }^{2}} - {{\eta }^{2}} - {{(a + b)}^{2}};\quad {{B}_{5}} = 2\xi \eta ;$
$\xi = {{\varphi }_{1}}(a + b);\quad \eta = {{\varphi }_{2}}(a + b).$
(Примечание. В приведенных формулах ${{\varphi }_{1}}$ выражает синус амплитуды, а знаки (+) и (–) для А1 и А4 применяются, соответственно, при ${{\varphi }_{1}} \geqslant 0$ и ${{\varphi }_{1}}$ < 0).

Полученное гидромеханическое решение позволяет выразить неполный комплексный эллиптический интеграл 2-го рода $E(\varphi ,\lambda ) = {{E}_{1}} + i{{E}_{2}}$ элементарными функциями как на единичном интервале $AB$ ($0 \leqslant {{\varphi }_{1}} \leqslant 1$, φ2 = 0), так и на всей вещественной числовой оси и верхней полуплоскости $\varphi = {{\varphi }_{1}} + i{{\varphi }_{2}}$ в зависимости от трех переменных, причем при ${{\varphi }_{1}}$ < 0 решение получается симметричным.

В целях наиболее полного аналитического выражения эллиптического интеграла $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$ через элементарные функции и упрощения вычислений по (2)–(5) величины полных эллиптических интегралов ($K$, $K\,{\text{'}}$; $E$, $E\,{\text{'}}$) и коэффициентов (а, b) представлены формулами (6) и (7) в зависимости от модуля λ [8, 14, 15]:

$K\,{\text{'}} = \frac{{2K}}{\pi }{\text{Arch}}\frac{{1 + \sqrt {1 - {{\lambda }^{2}}} }}{\lambda }$ (для $0 \leqslant \lambda \leqslant 0.45$);
$K\,{\text{'}} = \frac{\pi }{2} + \frac{{\ln \lambda }}{{\ln \left[ {0.35\,(1 - 0.2\,\lambda )} \right]}}$ (для $0.45 < \lambda \leqslant 1$);
(6)
$K = \frac{\pi }{2} + \frac{{\ln \sqrt {1 - {{\lambda }^{2}}} }}{{\ln \left[ {0.35\,\left( {1 - 0.2\sqrt {1 - {{\lambda }^{2}}} } \right)} \right]}};$
$E = \ln \sqrt {{{e}^{\pi }} - ({{e}^{\pi }} - {{e}^{2}}){{\lambda }^{2}}} ;$
$E\,{\text{'}} = \ln \sqrt {{{e}^{\pi }} - ({{e}^{\pi }} - {{e}^{2}})(1 - {{\lambda }^{2}})} ,$
(7)
$a = \frac{{1 - \sqrt {1 - {{\lambda }^{{\left( {1 - 0.7\lambda } \right)}}}} }}{{1.5}};\quad b = 0.92(1 - \sqrt {1 - \lambda } ).$

Как видно из рис. 2а, 2б, значения интегралов $K$, $K\,{\text{'}}$ и $E$, $E\,{\text{'}}$ практически полностью согласуются [8, 15] с графиками точных решений [5, 6].

Рис. 2.

Графики зависимостей эллиптических интегралов: а – полных интегралов 1-го рода $K$, $K\,{\text{'}}$; б – полных интегралов 2-го рода $Е$, $Е\,{\text{'}}$; в – неполного интеграла 2-го рода. 1 – графики точных решений [4, 5]; 2 – расчетные точки по предложенным зависимостям (6), (8).

Итоговое сравнение комплексных значений $E(\varphi ,\lambda ) = {{E}_{1}}$ + iE2, подсчитанных по предложенным элементарным зависимостям (3)–(7), с известными базовыми данными [1, 46] показало весьма близкое их совпадение (∼1–2%).

Следует отметить, что при решении прикладных задач механики, математической физики и геофизики эллиптические интегралы практически всегда используются, как правило, для единичного участка вещественной оси (см. рис. 1а). В связи с этим ниже приводятся усовершенствованные и новые расчетные формулы для нахождения значений $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$ на указанном участке в зависимости от заданных величин модулярного угла α и амплитуды интеграла $\varphi $ (в радианах):

$\begin{gathered} {\text{при}}\,\,\,0 \leqslant \varphi \leqslant 1\,\,\,E(\varphi ,\lambda ) = \varphi - (\varphi - \sin \varphi )\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{90^\circ }}; \\ {\text{при}}\,\,\,1 < \varphi \leqslant \frac{\pi }{2} \\ E(\varphi ,\lambda ) = \left[ {2E + \left( {1 - 0.1\pi \frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{180^\circ }}} \right)\frac{{\pi - 2\varphi }}{{\varphi - 1}}} \right]\frac{{\varphi - 1}}{{\pi - 2}}, \\ \end{gathered} $

где E – полный эллиптический интеграл 2-го рода, определяемый по (6); ${{\alpha }_{0}}$ – модулярный угол (в градусах), равный ${{\alpha }_{0}} = \frac{\alpha }{\pi } \cdot 180^\circ $.

Значения $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$ = $E\left( {{{\varphi }_{0}},{{\lambda }_{0}}} \right)$, полученные по зависимостям (8), близко (∼1–2%) согласуются как с графиком точного решения [5, 6] (рис. 2в амплитуда ${{\varphi }_{0}}$ в градусах), так и с результатами интегралов: $E(39^\circ 21{\text{'}}30{\text{''}},\;52^\circ 11{\text{'}}31{\text{''}})$ = 0.65545 и $E\left( {\frac{\pi }{3},0.2} \right)$ = = 1.04102, аналитически рассчитанных А.М. Журавским [2, с. 24–26] методами интерполяции таблиц Лежандра и разложения в тригонометрический ряд. Для указанных интегралов предложенные формулы (8) дают значения 0.65633 и 1.02758 (с погрешностями +0.1% и –1.3%), что вполне приемлемо для прикладных исследований. Для граничных значений $\left( {\frac{{}}{{}}} \right)$при ${{\alpha }_{0}} = 0$; $\frac{\pi }{2}$ и $\varphi = 0;$ $\left. {\frac{\pi }{2}} \right)$ зависимости (8) полностью совпадают с точными формулами [5, 6], соответственно: $E(\varphi ,0)$ = φ; $E(\varphi ,1)$ = sinφ и $E\left( {0,\lambda } \right) = 0$; $E\left( {\frac{\pi }{2},\lambda } \right)$ = E.

В качестве практического использования полученных расчетных зависимостей (8) в области механики рассмотрим элементарный пример решения нелинейной задачи по определению длины дуги синусоидальной $y = \sin \varphi $ (и косинусоидальной $y = \cos \varphi $) кривой, где $y$ и $\varphi $ – текущие координаты (рис. 3, кривые 1, 2). Последним соответствуют очертания различных природных геофизических объектов (склонов гор, урезов воды озер, профилей дна водоемов, каналов и др.), траекторий движений естественных и искусственных тел, а также множества форм гармонических колебаний различных систем, на основе которых решаются многие теоретические и прикладные задачи механики и математической физики. Вместе с тем существующие в настоящее время аналитические методы определения отдельных нелинейных параметров таких кривых (длины дуги синусоиды и др.) представлены “неберущимися” эллиптическими интегралами 1-го и 2-го рода, что создает затруднения при их использовании в прикладных инженерных задачах.

Рис. 3.

Расчетная схема определения длины кривой синусоиды (косинусоиды): 1, 2 – графики функций $y = \sin \varphi $ и $y = \cos \varphi $; 3 – график зависимости длины синусоиды ${{l}_{i}} = f\left( \varphi \right)$ с нелинейным OM и линейным MN участками.

Учитывая периодичность (в $2\pi $) синусоиды рассмотрим функцию $y = \sin \varphi $ (рис. 3, кривая 1) на начальном участке $OAB$ – в пределах “арки” синусоиды $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi $. Текущая длина синусоиды ${{l}_{i}}$ – от начала координат до рассматриваемой $i$-й точки $\left( {\frac{{}}{{}}} \right)$на участке $0 \leqslant \varphi \leqslant \left. {\frac{\pi }{2}} \right)$ определится известной зависимостью

(9)
$\begin{gathered} {{l}_{i}} = \int\limits_0^\varphi {\sqrt {1 + {{{\left( {y{\text{'}}} \right)}}^{2}}} } dx = \sqrt 2 \int\limits_0^\varphi {\sqrt {1 - 0.5{{{\sin }}^{2}}\varphi } d\varphi = } \\ = \;\sqrt 2 \int\limits_0^\varphi {\sqrt {1 - {{\lambda }^{2}}{{{\sin }}^{2}}\varphi } } d\varphi = \sqrt 2 E\left( {\varphi ,\lambda } \right), \\ \end{gathered} $
где $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$ – неполный эллиптический интеграл 2-го рода с амплитудой (аргументом) синусоиды $\varphi $ и модулем $\lambda $, равным $\lambda = \sin \alpha = \sqrt {0.5} $. Из последнего получим значение модулярного угла α = = ${\text{arcsin}}\sqrt {0.5} $, равного ${{\alpha }_{0}} = 45^\circ $ (в градусах).

Подставляя в формулу (9) значения $E\left( {\varphi ,\lambda } \right)$ из (8) с учетом значения модулярного угла ${{\alpha }_{0}} = 45^\circ $ и преобразовывая, окончательно получим расчетные зависимости для определения текущих значений длины синусоиды ${{l}_{i}}$ в виде:

при $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$ ${{l}_{i}} = \sqrt 2 E\left( {\varphi ,\lambda } \right) \approx \frac{{\varphi + \sin \varphi }}{{\sqrt 2 }};$
(10)
при $1 < \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}$ ${{l}_{i}} = \sqrt 2 E\left( {\varphi ,\lambda } \right) \approx 0.2 + 1.095\varphi ,$
из которых следует как нелинейный (на OF при $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$), так и линейный $\left( {\frac{{}}{{}}} \right)$на $FA$ при $1 < \varphi \leqslant \left. {\frac{\pi }{2}} \right)$ характер изменения длины кривой синусоиды (рис. 3).

На участке $OA$ длина “полуарки” синусоиды ${{L}_{{OA}}}$ $\left( {\frac{{}}{{}}} \right)$при $\varphi = \left. {\frac{\pi }{2}} \right)$ равна ${{L}_{{OA}}} = 1.9101$ (в усл. ед.), а длина полной “арки” ${{L}_{{OAB}}}$ на $OAB$ (при φ = π)

${{L}_{{OAB}}}$ = 2LOA = 3.8202.

Текущие значения длины синусоиды ${{l}_{{ABi}}}$ на участке AB, отсчитываемые от начала координат, для значений угла $\frac{\pi }{2} \leqslant {{\varphi }_{{AB}}} \leqslant \pi $ определяются по формуле (рис. 3)

(11)
${{l}_{{ABi}}} = {{L}_{{OAB}}} - {{l}_{i}},$
в которой величина ${{l}_{i}}$ находится по (10) при значениях угла $\varphi $, равных $\varphi = \pi - {{\varphi }_{{AB}}}$.

Сравнение результатов подсчета длины кривой синусоиды по формулам (10), (11) достаточно близко (∼1%)согласуются с точными значениями по [5, 6].

На рис. 3 (кривая 3) представлен график зависимости длины синусоиды от угла $\varphi $ ${{l}_{i}} = f\left( \varphi \right)$ с нелинейным $OM$ и линейным $MN$ участками.

Длина дуги между двумя произвольно расположенными точками синусоиды находится как разность между значениями длин кривых, отсчитываемых от начала координат для каждой из этих точек в отдельности.

Текущие значения длины косинусоиды $y$ = = cosφ, отсчитываемые от оси ординат (точки $C$) до участков CD и $DE$ (${{l}_{{CDi}}}$, ${{l}_{{DEi}}}$) при соответствующих значениях углов $0 \leqslant {{\varphi }_{{CD}}} \leqslant \frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2} \leqslant {{\varphi }_{{DE}}} \leqslant \pi $ (рис. 3, кривая 2), определяются по формулам

(13)
${{l}_{{CDi}}} = \frac{1}{2}{{L}_{{CDE}}} - {{l}_{i}};\quad {{l}_{{DEi}}} = \frac{1}{2}{{L}_{{CDE}}} + {{l}_{i}},$
в которых ${{l}_{i}}$ находится по зависимостям (10) при углах $\varphi $, принимаемых равными для каждого участка $\varphi = \frac{\pi }{2} - {{\varphi }_{{CD}}}$, $\varphi = {{\varphi }_{{DE}}} - \frac{\pi }{2}$. При этом длина “арки” косинусоиды ${{L}_{{CDE}}}$ равна по величине “арке” синусоиды ${{L}_{{CDE}}} = {{L}_{{OAB}}} = 3.8202$.

Длина дуги между двумя произвольно выбранными точками косинусоиды находится как разность между значениями длин кривых, отсчитываемых от оси ординат (точки $C$) до каждой из этих точек в отдельности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении многих прикладных (инженерных) задач механики и геофизики часто возникает необходимость практического использования эллиптических интегралов, аналитическое выражение которых представляет собой трудоемкую задачу. Численные решения имеют, в ряде случаев, ограничения в возможностях выявления внутренних взаимосвязей исходных факторов в рассматриваемых задачах и оценке их влияния на итоговые результаты. В работе приведены новые и усовершенствованные аналитические зависимости для определения эллиптических интегралов 2-го рода, выраженные в элементарных функциях, значения которых достаточно близко (∼1–2%) согласуются с данными известных точных решений, совпадая с ними для граничных условий. В качестве элементарного примера прикладного использования их приводится решение нелинейной задачи по определению длины дуги синусоиды (косинусоиды), что позволило выявить участки с нелинейным и линейным характером их изменений.

Список литературы

  1. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций с приложениями к механике. М.; Л.: 1936. 365 с.

  2. Журавский А.М. Справочник по эллиптическим функциям. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1941. 235 с.

  3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

  4. Волковинский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975. 319 с.

  5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 342 с.

  6. Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И.Стиган М.: Наука, 1979. С. 401–441.

  7. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1973. 743 с.

  8. Anakhaev K.N. On methods of calculating potential (Seepage) flows on the basis of Jacobi elliptic integrals // Power Technology and Engineering. 2008. V. 42. № 5. P. 273–276.

  9. Антонюк В.М., Ульшин В.А. Расчет взаимной индуктивности двух круговых контуров с помощью приближенных формул для эллиптических интегралов // Изв. вузов. Электромеханика. 1977. № 10. С. 1073–1076.

  10. Пархомовский Я.М. Приближенные формулы для эллиптических интегралов и примеры приложения их к двум задачам нелинейной статики упругих балок // Учен. записки ЦАГИ. 1978. Т. 9. № 4. С. 75–86.

  11. Лаврик В.И., Фильчакова В.П., Яшин А.А. Конформные отображения физико-топологических моделей. Киев: Наукова думка, 1990. 374 с.

  12. Анахаев К.Н. Эллиптические интегралы в инженерных задачах // Строительство и архитектура. 2014. Т. 2. В. 1(2). С. 58–63.

  13. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Киев: Наукова думка, 1970. 252 с.

  14. Анахаев К.Н. О совершенствовании гидромеханических методов расчета потенциальных (фильтрационных) потоков // Инженерные системы. 2009. Тр. междунар. научн.-практ. конф. Т. 2. М.: РУДН, 2009. С. 588–595.

  15. Анахаев К.Н. О полных эллиптических интегралах 3-го рода в задачах механики // ДАН. 2017. Т. 473. № 2. С. 151–153.

Дополнительные материалы отсутствуют.