Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 5-6
Динамика ударных волн в средах с продольной стратификацией
1 Научно-исследовательский институт механики, Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия
* E-mail: bogdanov@imec.msu.ru
Поступила в редакцию 27.09.2019
После доработки 27.09.2019
Принята к публикации 30.09.2019
Аннотация
Рассмотрены задачи динамики плоских ударных волн в средах с одномерной продольной стратификацией плотности. Обсуждаются обоснование, особенности и границы применимости метода Уизема расчета параметров процесса распространения волны. Получена зависимость скорости плоской ударной волны от плотности среды перед ее фронтом для любой интенсивности волны.
Рассмотрим плоскую ударную волну (УВ), входящую в область с одномерной, в направлении распространения УВ, стратификацией плотности и температуры при том, что давление постоянно, а среда покоится:
Стратификацию плотности можно рассматривать как последовательность тонких параллельных фронту УВ слоев, в каждом из которых изменение плотности мало. В этом случае в каждом тонком слое можно представить изменение скорости УВ при его прохождении в виде ряда по малому параметру – отклику на малое изменение плотности в слое $\delta {{\rho }_{0}}\left( x \right)$:
аналогично для соответствующих параметров течения газа за фронтом УВ:Для плоской УВ параметры до ее фронта и за ним связаны соотношениями
(2)
$\frac{{{{p}_{0}}}}{{\gamma - 1}}D = \left( {D - {{u}_{1}}} \right)\left( {\frac{{{{p}_{1}}}}{{\gamma - 1}} + \frac{1}{2}{{\rho }_{1}}u_{1}^{2}} \right) - {{p}_{1}}{{u}_{1}}.$Подставляя разложения (1) в соотношение (2), для членов первого порядка малости по $\delta $ получим
(3)
$\begin{gathered} 0 = \delta {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right){{u}_{1}} + {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}\left( {\delta D - \delta {{u}_{1}}} \right) + \\ + \,{{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right)\delta {{u}_{1}} + \delta {{p}_{1}}, \\ \end{gathered} $Дополнительное соотношение для замыкания системы (3) следует получить из системы уравнений, описывающих возмущенное течение за фронтом УВ:
(4)
${{\rho }_{1}}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{u}_{1}} + {{u}_{1}}\frac{\partial }{{\partial x}}\delta {{u}_{1}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{p}_{1}} = 0,$Система (4) описывает два акустических возмущения, распространяющихся от фронта УВ и к нему. Если принять, что приходящие на фронт УВ сзади возмущения отсутствуют, то за фронтом УВ имеет место связь
Разрешая систему (4), (5), можно получить
(6)
$\frac{{\delta D(x)}}{D} = - \frac{{{{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}{{D + {{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}\frac{{\delta {{\rho }_{0}}\left( x \right)}}{{{{\rho }_{0}}}}.$Разделив обе части уравнения (6) на малое приращение координаты $\delta x$ и переходя к пределу при $\delta x \to 0$, получим дифференциальную связь скорости УВ от значения плотности перед ее фронтом:
(7)
$\frac{1}{D}\frac{{dD}}{{dx}} = \beta \frac{1}{{{{\rho }_{0}}}}\frac{{d{{\rho }_{0}}}}{{dx}},\quad \beta = - \frac{{{{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}{{D + {{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}.$Параметры течения ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$ определяются по соотношениям (2). Поскольку ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$ есть функции D, ${{\rho }_{0}}$, (7) есть неявная зависимость $D = D\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$.
Для УВ большой интенсивности зависимость (7) существенно упрощается. Действительно, в этом случае имеем
Для β = const связь (7) легко интегрируется:
(8)
$\frac{{D\left( x \right)}}{{D\left( 0 \right)}} = {{\left( {\frac{{{{\rho }_{0}}\left( x \right)}}{{{{\rho }_{0}}\left( 0 \right)}}} \right)}^{\beta }},$Зависимость (8) была получена ранее [1], однако оригинальный способ ее вывода оставлял вопросы о ее справедливости (признаваемые и автором [1]).
Для слабых УВ $\left( {D \to a} \right)$ β также стремится к постоянному значению (равному 0.5). Таким образом, и в этом случае имеет место зависимость (8) с $\beta = - 0.5$.
Поскольку коэффициент $\beta $ отрицателен при любых значениях определяющих его величин D, ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$, то по зависимости (7) видно, что входя в область пониженной плотности, УВ ускоряется, а в среду с повышенной плотностью – замедляется.
Недостатком полученных зависимостей (7), (8) является то обстоятельство, что УВ “забывает” пересечение стратифицированных слоев, как только значение плотности перед ее фронтом принимает первоначальное значение ${{\rho }_{0}}\left( 0 \right)$. Этого следовало ожидать, поскольку в основе вывода зависимости (1) лежит учет только локального отклика движения УВ на изменение плотности перед ее фронтом.
Список литературы
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки