Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 5-6

Динамика ударных волн в средах с продольной стратификацией

А. Н. Богданов 1*

1 Научно-исследовательский институт механики, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: bogdanov@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 27.09.2019
После доработки 27.09.2019
Принята к публикации 30.09.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены задачи динамики плоских ударных волн в средах с одномерной продольной стратификацией плотности. Обсуждаются обоснование, особенности и границы применимости метода Уизема расчета параметров процесса распространения волны. Получена зависимость скорости плоской ударной волны от плотности среды перед ее фронтом для любой интенсивности волны.

Ключевые слова: ударные волны, газовая среда, неоднородная среда, стратификация, асимптотические методы

Рассмотрим плоскую ударную волну (УВ), входящую в область с одномерной, в направлении распространения УВ, стратификацией плотности и температуры при том, что давление постоянно, а среда покоится:

${{\rho }_{0}} = {{\rho }_{0}}\left( x \right),\quad {{T}_{0}} = {{T}_{0}}\left( x \right),\quad {{p}_{0}} = {\text{const,}}\quad {{u}_{0}} = 0.$

Стратификацию плотности можно рассматривать как последовательность тонких параллельных фронту УВ слоев, в каждом из которых изменение плотности мало. В этом случае в каждом тонком слое можно представить изменение скорости УВ при его прохождении в виде ряда по малому параметру – отклику на малое изменение плотности в слое $\delta {{\rho }_{0}}\left( x \right)$:

$D = D\left( 0 \right) + \delta D\left( x \right) + {{\delta }^{2}}D\left( x \right) + \ldots ,$
аналогично для соответствующих параметров течения газа за фронтом УВ:

${{p}_{1}} = {{p}_{1}}\left( 0 \right) + \delta {{p}_{1}}\left( x \right) + {{\delta }^{2}}{{p}_{1}}\left( x \right) + \ldots ,$
${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{1}}\left( 0 \right) + \delta {{\rho }_{1}}\left( x \right) + {{\delta }^{2}}{{\rho }_{1}}\left( x \right) + \ldots ,$
${{u}_{1}} = {{u}_{1}}\left( 0 \right) + \delta {{u}_{1}}\left( x \right) + {{\delta }^{2}}{{u}_{1}}\left( x \right) + \ldots $

Для плоской УВ параметры до ее фронта и за ним связаны соотношениями

${{\rho }_{0}}D = {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right),\quad {{p}_{0}} = {{p}_{1}} + {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right),$
(2)
$\frac{{{{p}_{0}}}}{{\gamma - 1}}D = \left( {D - {{u}_{1}}} \right)\left( {\frac{{{{p}_{1}}}}{{\gamma - 1}} + \frac{1}{2}{{\rho }_{1}}u_{1}^{2}} \right) - {{p}_{1}}{{u}_{1}}.$

Подставляя разложения (1) в соотношение (2), для членов первого порядка малости по $\delta $ получим

$\delta {{\rho }_{0}}D + {{\rho }_{0}}\delta D = \delta {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right) + {{\rho }_{1}}\left( {\delta D - \delta {{u}_{1}}} \right),$
(3)
$\begin{gathered} 0 = \delta {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right){{u}_{1}} + {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}\left( {\delta D - \delta {{u}_{1}}} \right) + \\ + \,{{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right)\delta {{u}_{1}} + \delta {{p}_{1}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{{{p}_{0}}}}{{\gamma - 1}}\delta D = \frac{1}{2}\delta {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right)u_{1}^{2} + \left( {\delta D - \delta {{u}_{1}}} \right) \times \\ \times \;\left( {\frac{1}{2}{{\rho }_{1}}u_{1}^{2} + \frac{{{{p}_{1}}}}{{\gamma - 1}}} \right) + {{\rho }_{1}}\left( {D - {{u}_{1}}} \right){{u}_{1}}\delta {{u}_{1}} - \delta {{p}_{1}}{{u}_{1}} - {{p}_{1}}\delta {{u}_{1}}. \\ \end{gathered} $

Дополнительное соотношение для замыкания системы (3) следует получить из системы уравнений, описывающих возмущенное течение за фронтом УВ:

$\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{\rho }_{1}} + {{u}_{1}}\frac{\partial }{{\partial x}}\delta {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{1}}\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{u}_{1}} = 0,$
(4)
${{\rho }_{1}}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{u}_{1}} + {{u}_{1}}\frac{\partial }{{\partial x}}\delta {{u}_{1}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{p}_{1}} = 0,$
$\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{p}_{1}} + {{u}_{1}}\frac{\partial }{{\partial x}}\delta {{p}_{1}} + a_{1}^{2}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}\delta {{\rho }_{1}} + {{u}_{1}}\frac{\partial }{{\partial x}}\delta {{\rho }_{1}}} \right) = 0.$

Система (4) описывает два акустических возмущения, распространяющихся от фронта УВ и к нему. Если принять, что приходящие на фронт УВ сзади возмущения отсутствуют, то за фронтом УВ имеет место связь

(5)
$\delta {{p}_{1}} = - {{\rho }_{1}}{{a}_{1}}\delta {{u}_{1}}.$

Разрешая систему (4), (5), можно получить

(6)
$\frac{{\delta D(x)}}{D} = - \frac{{{{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}{{D + {{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}\frac{{\delta {{\rho }_{0}}\left( x \right)}}{{{{\rho }_{0}}}}.$

Разделив обе части уравнения (6) на малое приращение координаты $\delta x$ и переходя к пределу при $\delta x \to 0$, получим дифференциальную связь скорости УВ от значения плотности перед ее фронтом:

(7)
$\frac{1}{D}\frac{{dD}}{{dx}} = \beta \frac{1}{{{{\rho }_{0}}}}\frac{{d{{\rho }_{0}}}}{{dx}},\quad \beta = - \frac{{{{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}{{D + {{a}_{1}} - \frac{{\gamma - 1}}{2}{{u}_{1}}}}.$

Параметры течения ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$ определяются по соотношениям (2). Поскольку ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$ есть функции D, ${{\rho }_{0}}$, (7) есть неявная зависимость $D = D\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$.

Для УВ большой интенсивности зависимость (7) существенно упрощается. Действительно, в этом случае имеем

${{u}_{1}} = \frac{2}{{\gamma + 1}}D,\quad {{a}_{1}} = \frac{{\sqrt {2\gamma \left( {\gamma - 1} \right)} }}{{\gamma + 1}}D$
и коэффициент $\beta $ в дифференциальной связи (7) есть постоянная величина $\beta = - \frac{1}{{2 + \sqrt {\frac{{2\gamma }}{{\gamma - 1}}} }}$.

Для β = const связь (7) легко интегрируется:

(8)
$\frac{{D\left( x \right)}}{{D\left( 0 \right)}} = {{\left( {\frac{{{{\rho }_{0}}\left( x \right)}}{{{{\rho }_{0}}\left( 0 \right)}}} \right)}^{\beta }},$
здесь D(0), ${{\rho }_{0}}\left( 0 \right)$ – начальные данные задачи (скорость УВ и плотность перед ее фронтом до входа в область стратификации). При $\gamma = \frac{1}{4}$, $\beta \approx - 0.21525$.

Зависимость (8) была получена ранее [1], однако оригинальный способ ее вывода оставлял вопросы о ее справедливости (признаваемые и автором [1]).

Для слабых УВ $\left( {D \to a} \right)$ β также стремится к постоянному значению (равному 0.5). Таким образом, и в этом случае имеет место зависимость (8) с $\beta = - 0.5$.

Поскольку коэффициент $\beta $ отрицателен при любых значениях определяющих его величин D, ${{u}_{1}}$, ${{a}_{1}}$, то по зависимости (7) видно, что входя в область пониженной плотности, УВ ускоряется, а в среду с повышенной плотностью – замедляется.

Недостатком полученных зависимостей (7), (8) является то обстоятельство, что УВ “забывает” пересечение стратифицированных слоев, как только значение плотности перед ее фронтом принимает первоначальное значение ${{\rho }_{0}}\left( 0 \right)$. Этого следовало ожидать, поскольку в основе вывода зависимости (1) лежит учет только локального отклика движения УВ на изменение плотности перед ее фронтом.

Список литературы

  1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки