Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 30-33

О ДВИЖЕНИИ НЕГОЛОНОМНОГО ШАРА ЧАПЛЫГИНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ, ЗАДАЧЕ ГРИОЛИ И ЭФФЕКТЕ БАРНЕТТА–ЛОНДОНА

А. В. Борисов 1, А. В. Цыганов 2*

1 Московский физико-технический институт
Московская область, Долгопрудный, Россия

2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: andrey.tsiganov@gmail.com

Поступила в редакцию 12.12.2019
После доработки 12.12.2019
Принята к публикации 16.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается движение неголономного шара Чаплыгина на плоскости в постоянном магнитном поле при учете диэлектрических и ферромагнитных свойств шара. Получено обобщение интегрируемого случая В.В. Козлова в задаче о движении симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле и предъявлен новый частный интегрируемый случай такого движения.

Ключевые слова: магнитное поле, неголономная механика, шар Чаплыгина, задача Гриоли, эффект Барнетта–Лондона

ВВЕДЕНИЕ

Пусть на фазовом пространстве $\mathcal{M}$, dim $\mathcal{M} = 6$, с координатами $\gamma = ({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})$ и M = $({{M}_{1}},{{M}_{2}},{{M}_{3}})$ заданы уравнения движения

(1)
$\begin{gathered} \dot {M} = (M + B\gamma + \alpha ) \times \omega + \left( {C\omega - \frac{{\partial V}}{{\partial \gamma }}} \right) \times \gamma , \\ \dot {\gamma } = \gamma \times \omega , \\ \end{gathered} $
где компоненты вектора $\omega = ({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}})$ произвольные пока функции от $\gamma $ и $M$, $B$ и $C$ – симметричные числовые матрицы, $\alpha $ – постоянный (числовой) вектор, а потенциал $V(\gamma )$ – функция от координат γ.

Если C = 0 и

(2)
$\omega = AM,\quad A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{1}}}&0&0 \\ 0&{{{a}_{2}}}&0 \\ 0&0&{{{a}_{3}}} \end{array}} \right),$
то уравнения (1) являются уравнениями Кирхгофа, т.е. гамильтоновыми уравнениями. В задаче Гриоли эти уравнения описывают динамику электрически заряженного твердого тела (диэлектрика), которое является гиростатом при $\alpha \ne 0$, вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле и в некотором потенциальном поле. В этом случае матрица $B$ описывает распределение зарядов [1, 2]. Эти же уравнения возникают и при описании динамики подводного движетеля, и в этом случае $B$ описывает плавучесть, см. [7].

Если $\alpha = 0$, B = 0 и

$\omega = AM,$
то уравнения (1) являются негамильтоновыми уравнениями, описывающими вращения твердого тела (ферромагнетика) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле c учетом эффекта Барнетта–Лондона и в потенциальном поле (см. [6, 8] и Приложение D в книге [2]). В этом случае матрица C описывает анизотропию ферромагнетика.

Если $\alpha = 0$ и $B = C = 0$ и

(3)
$\begin{gathered} \omega = {{A}_{\gamma }}M,\quad {{A}_{\gamma }} = A + \frac{{dA\gamma \otimes \gamma A}}{{{{g}^{2}}}}, \\ g = \sqrt {1 - d(\gamma ,A\gamma )} , \\ \end{gathered} $
где d > 0 – параметр, то уравнения (1) являются конформно-гамильтоновыми уравнениями, описывающими неголономное движение шара Чаплыгина по плоскости [3].

Естественным образом возникает вопрос о движении шара Чаплыгина в магнитном поле, когда шар сделан из диэлектрического $B \ne 0$ или ферромагнитного $C \ne 0$ материала.

В данной работе мы подставим $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ в уравнения (1) и посмотрим, какие свойства неголономных систем сохранятся при добавлении гиростатического момента, магнитного поля и учета эффекта Барнетта–Лондона. Эту подстановку $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ также можно рассматривать как наложение неголономных связей на известные динамические системы, описывающие движение твердого тела в магнитном поле.

1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО И ШАР ЧАПЛЫГИНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Уравнения движения (1) задают векторное поле $X$

$\frac{{d{{x}_{i}}}}{{dt}} = {{X}_{i}},\quad i = 1,2,\; \ldots ,\;6,\quad x = (\gamma ,M).$

Два геометрических первых интеграла поля $X$ зависят только от формы уравнений (1)

(4)
${{J}_{1}} = (\gamma ,\gamma ),\quad {{J}_{2}} = (\gamma ,M + \alpha ) + \frac{1}{2}(\gamma ,B\gamma )$
и не зависят от выбора функции $\omega $, потенциала $V$ и матрицы C.

При $\omega = AM$ векторное поле X (1) обладает инвариантной мерой

$\mu = d\gamma dM,$
только если

(5)
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{1}}}&0&0 \\ 0&{{{c}_{2}}}&0 \\ 0&0&{{{c}_{3}}} \end{array}} \right).$

При $\omega = {{A}_{g}}M$, т.е. в неголономном случае, инвариантная мера существует

$\mu = {{g}^{{ - 1}}}d\gamma dM,$
только если диагональные матрицы $A$ и $C$ связаны соотношением Клебша

(6)
$\frac{{{{c}_{2}} - {{c}_{3}}}}{{{{a}_{1}}}} + \frac{{{{c}_{3}} - {{c}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}} + \frac{{{{c}_{1}} - {{c}_{2}}}}{{{{a}_{3}}}} = 0.$

Таким образом, векторное поле X (1) обладает двумя первыми интегралами движения и инвариантной мерой только при наложении дополнительных условий на матрицу C.

Механическая энергия

$H = \frac{1}{2}(\omega ,M) + V(\gamma )$
и при $\omega = AM$, и при $\omega = {{A}_{g}}M$ сохраняется, если матрица B и вектор $\alpha $ произвольны
$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{{11}}}}&{{{b}_{{12}}}}&{{{b}_{{13}}}} \\ {{{b}_{{12}}}}&{{{b}_{{22}}}}&{{{b}_{{23}}}} \\ {{{b}_{{1,3}}}}&{{{b}_{{23}}}}&{{{b}_{{33}}}} \end{array}} \right),\quad \alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}});$
a матрица $C$ пропорциональна единичной матрице:

$C = \lambda E,\quad E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right),\quad \lambda \in \mathbb{R}.$

С точки зрения физики это вполне очевидно, так как в случае диэлектрика магнитные силы не совершают работу, и поэтому полная механическая энергия сохраняется. Для ферромагнетика это происходит только в изотропном случае $B = \lambda E$.

Подставляя полученные условия в первое из уравнений движения (1), после перестановки слагаемых получим стандартные уравнения Кирхгофа вне зависимости от выбора вектора $\omega $:

$\begin{gathered} \dot {M} = (M + B\gamma + \alpha ) \times \omega + \left( {C\omega - \frac{{\partial V}}{{\partial \gamma }}} \right) \times \gamma = \\ = \;(M + B\gamma + \alpha ) \times \omega + \left( {\lambda \omega - \frac{{\partial V}}{{\partial \gamma }}} \right) \times \gamma = \\ = \;(M + (B - \lambda E)\gamma + \alpha ) \times \omega - \frac{{\partial V}}{{\partial \gamma }} \times \gamma . \\ \end{gathered} $

Это приведение уравнений, описывающих динамику ферромагнетика, к стандартным уравнениям Кирхгофа было получено В.В. Козловым в [6].

Таким образом, если механическая энергия сохраняется, то уравнения Кирхгофа (1) при $\omega $ = AM являются гамильтоновыми, а при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ “неголономные уравнения Кирхгофа” (1) являются конформно-гамильтоновыми.

Квадрат кинетического момента, т.е. функция

${{M}^{2}} = (M,M) = M_{1}^{2} + M_{2}^{2} + M_{3}^{2}$
является первым интегралом уравнений (1) при $V({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})$ = 0, только если вектор α = 0, а матрицы A, $B$ и $C$ связаны друг с другом.

При $\omega = AM$ матрица $C$ должна удовлетворять условию (5), а матрица $B$ иметь вид

$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{a}_{2}}{{c}_{2}} - {{a}_{3}}{{c}_{3}}}}{{{{a}_{2}} - {{a}_{3}}}}}&0&0 \\ 0&{\frac{{{{a}_{3}}{{c}_{3}} - {{a}_{1}}{{c}_{1}}}}{{{{a}_{3}} - {{a}_{1}}}}}&0 \\ 0&0&{\frac{{{{a}_{1}}{{c}_{1}} - {{a}_{2}}{{c}_{2}}}}{{{{a}_{1}} - {{a}_{2}}}}} \end{array}} \right).$

При $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, т.е. в неголономном случае, матрица C должна удовлетворять условию (6), а матрица $B$ иметь вид

$B = \frac{{{{a}_{2}}{{c}_{2}} - {{a}_{3}}{{c}_{3}}}}{{{{a}_{2}} - {{a}_{3}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right)$
с точностью до перестановки индексов.

Таким образом, квадрат кинетического момента сохраняется только при условии существования инвариантной меры (5), (6) и при специальном виде матрицы B, описывающей распределение электрических зарядов.

В частном случае динамически симметричного тела, например, при ${{a}_{1}}$ = = a2, уравнения движения (1) с $\omega = AM$ обладают инвариантной мерой $\mu = d\gamma dM$, только если

(7)
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{11}}}}&{{{c}_{{12}}}}&0 \\ {{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{22}}}}&0 \\ 0&0&{{{c}_{{33}}}} \end{array}} \right).$

При $V = f({{\gamma }_{3}})$ уравнения движения (1) также обладают линейным по импульсам первым интегралом

$K = {{M}_{3}} - {{c}_{{13}}}{{\gamma }_{1}} - {{c}_{{23}}}{{\gamma }_{2}} + ({{c}_{{11}}} - {{b}_{2}}){{\gamma }_{3}},$
если вектор $\alpha = (0,0,{{\alpha }_{3}})$, матрица $C$ произвольна:
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{11}}}}&{{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{13}}}} \\ {{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{22}}}}&{{{c}_{{23}}}} \\ {{{c}_{{13}}}}&{{{c}_{{23}}}}&{{{c}_{{33}}}} \end{array}} \right),$
a матрица B имеет вид

$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{1}} + {{c}_{{22}}}}&0&0 \\ 0&{{{b}_{1}} + {{c}_{{22}}}}&0 \\ 0&0&{{{b}_{3}} + {{c}_{{33}}}} \end{array}} \right) - C.$

Таким образом, существование первого интеграла, линейного по M в общем случае, не связано с существованием инвариантной меры (7), в отличие от первых интегралов, квадратичных по M. При $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, т. е. в неголономном случае, первого интеграла, линейного по M, не существует.

В частном случае полностью динамически симметричного тела при ${{a}_{1}} = {{a}_{2}} = {{a}_{3}}$ поле X (1) обладает инвариантной мерой

$\mu = d\gamma dM$
и при $\omega = AM$, и при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, без ограничения на вид матрицы $C$.

При $\omega = AM = aM$, $\alpha = 0$ и $V = 0$ уравнения (1)

${{a}^{{ - 1}}}\dot {M} = B\gamma \times M + CM \times \gamma ,\quad {{a}^{{ - 1}}}\dot {\gamma } = \gamma \times M$
зависят от двух симметричных мaтриц B и C. Выбором координат приведем матрицу C к диагональному виду

$C = {\text{diag}}({{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}).$

В этом случае существует квадратичный первый интеграл

${{F}_{1}} = {{\lambda }_{1}}M_{1}^{2} + {{\lambda }_{2}}M_{2}^{2} + {{\lambda }_{3}}M_{3}^{2},$
который зависит от произвольных чисел ${{\lambda }_{k}} \in \mathbb{R}$ при условии

$B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\lambda }_{2}}{{c}_{3}} - {{\lambda }_{3}}{{c}_{2}}}}{{{{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}}}}&0&0 \\ 0&{\frac{{{{\lambda }_{1}}{{c}_{3}} - {{\lambda }_{3}}{{c}_{1}}}}{{{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{3}}}}}&0 \\ 0&0&{\frac{{{{\lambda }_{1}}{{c}_{2}} - {{\lambda }_{2}}{{c}_{1}}}}{{{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}}}} \end{array}} \right).$

При наложении дополнительных условий векторное поле $X$ остается интегрируемым в квадратурах, т.е. существует еще один интеграл движения.

В первом случае, который является обобщением случая В.В. Козлова [6], дополнительное условие имеет вид

$({{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}){{c}_{1}} + ({{\lambda }_{3}} - {{\lambda }_{1}}){{c}_{2}} + ({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}){{c}_{3}} = 0.$

Если, например,

${{c}_{1}} = \frac{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{3}}){{c}_{2}} - ({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}){{c}_{3}}}}{{{{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}}},$

то

$B = \frac{{{{\lambda }_{2}}{{c}_{3}} - {{\lambda }_{3}}{{c}_{2}}}}{{{{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right),$

а дополнительный первый интеграл равен

${{F}_{2}} = (M,M) - 2(M,C\gamma ) + \mathop {\left( {\frac{{{\text{tr}}(C - B)}}{{{\text{tr}}\Lambda }}} \right)}\nolimits^2 {\text{det}}\Lambda (\gamma ,{{\Lambda }^{{ - 1}}}\gamma ).$

При B = 0, т.е. когда ${{c}_{k}} = {{\lambda }_{k}}$, эти интегралы были найдены в работе [6], а в работе [5] найдено преобразование координат, связывающее данную систему с системой Клебша. При $B \ne 0$ подобное преобразование также существует.

Во втором случае интегрируемости в квадратурах дополнительное условие имеет вид

$({{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}){{\lambda }_{1}}{{c}_{1}} + ({{\lambda }_{3}} - {{\lambda }_{1}}){{\lambda }_{2}}{{c}_{2}} + ({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}){{\lambda }_{3}}{{c}_{3}} = 0.$

Если, например,

${{c}_{1}} = \frac{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{3}}){{\lambda }_{2}}{{c}_{2}} - ({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}){{\lambda }_{3}}{{c}_{3}}}}{{{{\lambda }_{1}}({{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}})}},$
то
$\begin{gathered} B = \frac{{{{\lambda }_{2}}{{c}_{3}} - {{\lambda }_{3}}{{c}_{2}}}}{{{{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right) + \\ + \;\frac{{{{c}_{2}} - {{c}_{3}}}}{{({{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{3}}){{\lambda }_{1}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}){{\lambda }_{3}}}&0 \\ 0&0&{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{3}}){{\lambda }_{2}}} \end{array}} \right), \\ \end{gathered} $
а второй интеграл движения при этом равен

${{F}_{2}} = (M,M) - 2(M,C\gamma ) + \frac{{{\text{tr}}(C - B)}}{{{\text{tr}}{{\Lambda }^{{ - 1}}}}}(C\gamma ,{{\Lambda }^{{ - 1}}}\gamma ).$

Можно предположить, что существует преобразование координат, связывающее этот второй случай интегрируемости со второй известной интегрируемой системой на алгебре e*(3), т.е. с системой Стеклова–Ляпунова. Исследованию этого нового случая интегрируемости будет посвящена отдельная публикация.

В неголономном случае, т.е. при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, аналогов квадратичных по M первых интегралов F1, 2 нет ни в случае В.В. Козлова, ни в полученном нами втором случае.

Итак, мы получили ряд новых результатов для движения шара Чаплыгина в магнитном поле в предположении, что шар сделан из диэлектрического $B \ne 0$ и ферромагнитного $C \ne 0$ материала. Аналогичным образом можно изучать и различные обобщения движения шара Чаплыгина [4, 9] и другие неголономные системы.

Список литературы

  1. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. M.: Наука, Гл. ред. мат. лит., 1991. 320 с.

  2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 384 с.

  3. Борисов А.В., Мамаев И.С., Цыганов А.В. Неголономная динамика и пуассонова геометрия // УМН. 2014. Т. 69. № 3. С. 87–144.

  4. Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. Different Models of Rolling for a Robot Ball on a Plane as a Generalization of the Chaplygin Ball Problem // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24. №. 5. P. 560–582.

  5. Веселова Л.Е. О двух задачах динамики твердого тела // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1986. Т. 5. С. 90–91.

  6. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 6. С. 28–33.

  7. Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to mechanics and symmetry. N.Y.: Springer-Verlag, 1994.

  8. Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. № 6. С. 32–34.

  9. Tsiganov A.V. Hamiltonization and Separation of Variables for a Chaplygin Ball on a Rotating Plane // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24. № 2. P. 171–186.

Дополнительные материалы отсутствуют.