Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 30-33
О ДВИЖЕНИИ НЕГОЛОНОМНОГО ШАРА ЧАПЛЫГИНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ, ЗАДАЧЕ ГРИОЛИ И ЭФФЕКТЕ БАРНЕТТА–ЛОНДОНА
А. В. Борисов 1, А. В. Цыганов 2, *
1 Московский физико-технический институт
Московская область, Долгопрудный, Россия
2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: andrey.tsiganov@gmail.com
Поступила в редакцию 12.12.2019
После доработки 12.12.2019
Принята к публикации 16.12.2019
Аннотация
Рассматривается движение неголономного шара Чаплыгина на плоскости в постоянном магнитном поле при учете диэлектрических и ферромагнитных свойств шара. Получено обобщение интегрируемого случая В.В. Козлова в задаче о движении симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле и предъявлен новый частный интегрируемый случай такого движения.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть на фазовом пространстве $\mathcal{M}$, dim $\mathcal{M} = 6$, с координатами $\gamma = ({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})$ и M = $({{M}_{1}},{{M}_{2}},{{M}_{3}})$ заданы уравнения движения
(1)
$\begin{gathered} \dot {M} = (M + B\gamma + \alpha ) \times \omega + \left( {C\omega - \frac{{\partial V}}{{\partial \gamma }}} \right) \times \gamma , \\ \dot {\gamma } = \gamma \times \omega , \\ \end{gathered} $Если C = 0 и
(2)
$\omega = AM,\quad A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{1}}}&0&0 \\ 0&{{{a}_{2}}}&0 \\ 0&0&{{{a}_{3}}} \end{array}} \right),$Если $\alpha = 0$, B = 0 и
то уравнения (1) являются негамильтоновыми уравнениями, описывающими вращения твердого тела (ферромагнетика) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле c учетом эффекта Барнетта–Лондона и в потенциальном поле (см. [6, 8] и Приложение D в книге [2]). В этом случае матрица C описывает анизотропию ферромагнетика.Если $\alpha = 0$ и $B = C = 0$ и
(3)
$\begin{gathered} \omega = {{A}_{\gamma }}M,\quad {{A}_{\gamma }} = A + \frac{{dA\gamma \otimes \gamma A}}{{{{g}^{2}}}}, \\ g = \sqrt {1 - d(\gamma ,A\gamma )} , \\ \end{gathered} $Естественным образом возникает вопрос о движении шара Чаплыгина в магнитном поле, когда шар сделан из диэлектрического $B \ne 0$ или ферромагнитного $C \ne 0$ материала.
В данной работе мы подставим $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ в уравнения (1) и посмотрим, какие свойства неголономных систем сохранятся при добавлении гиростатического момента, магнитного поля и учета эффекта Барнетта–Лондона. Эту подстановку $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ также можно рассматривать как наложение неголономных связей на известные динамические системы, описывающие движение твердого тела в магнитном поле.
1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО И ШАР ЧАПЛЫГИНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Уравнения движения (1) задают векторное поле $X$
Два геометрических первых интеграла поля $X$ зависят только от формы уравнений (1)
(4)
${{J}_{1}} = (\gamma ,\gamma ),\quad {{J}_{2}} = (\gamma ,M + \alpha ) + \frac{1}{2}(\gamma ,B\gamma )$При $\omega = AM$ векторное поле X (1) обладает инвариантной мерой
только если(5)
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{1}}}&0&0 \\ 0&{{{c}_{2}}}&0 \\ 0&0&{{{c}_{3}}} \end{array}} \right).$При $\omega = {{A}_{g}}M$, т.е. в неголономном случае, инвариантная мера существует
только если диагональные матрицы $A$ и $C$ связаны соотношением Клебша(6)
$\frac{{{{c}_{2}} - {{c}_{3}}}}{{{{a}_{1}}}} + \frac{{{{c}_{3}} - {{c}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}} + \frac{{{{c}_{1}} - {{c}_{2}}}}{{{{a}_{3}}}} = 0.$Таким образом, векторное поле X (1) обладает двумя первыми интегралами движения и инвариантной мерой только при наложении дополнительных условий на матрицу C.
Механическая энергия
и при $\omega = AM$, и при $\omega = {{A}_{g}}M$ сохраняется, если матрица B и вектор $\alpha $ произвольныС точки зрения физики это вполне очевидно, так как в случае диэлектрика магнитные силы не совершают работу, и поэтому полная механическая энергия сохраняется. Для ферромагнетика это происходит только в изотропном случае $B = \lambda E$.
Подставляя полученные условия в первое из уравнений движения (1), после перестановки слагаемых получим стандартные уравнения Кирхгофа вне зависимости от выбора вектора $\omega $:
Это приведение уравнений, описывающих динамику ферромагнетика, к стандартным уравнениям Кирхгофа было получено В.В. Козловым в [6].
Таким образом, если механическая энергия сохраняется, то уравнения Кирхгофа (1) при $\omega $ = AM являются гамильтоновыми, а при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$ “неголономные уравнения Кирхгофа” (1) являются конформно-гамильтоновыми.
Квадрат кинетического момента, т.е. функция
является первым интегралом уравнений (1) при $V({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})$ = 0, только если вектор α = 0, а матрицы A, $B$ и $C$ связаны друг с другом.При $\omega = AM$ матрица $C$ должна удовлетворять условию (5), а матрица $B$ иметь вид
При $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, т.е. в неголономном случае, матрица C должна удовлетворять условию (6), а матрица $B$ иметь вид
Таким образом, квадрат кинетического момента сохраняется только при условии существования инвариантной меры (5), (6) и при специальном виде матрицы B, описывающей распределение электрических зарядов.
В частном случае динамически симметричного тела, например, при ${{a}_{1}}$ = = a2, уравнения движения (1) с $\omega = AM$ обладают инвариантной мерой $\mu = d\gamma dM$, только если
(7)
$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}_{{11}}}}&{{{c}_{{12}}}}&0 \\ {{{c}_{{12}}}}&{{{c}_{{22}}}}&0 \\ 0&0&{{{c}_{{33}}}} \end{array}} \right).$При $V = f({{\gamma }_{3}})$ уравнения движения (1) также обладают линейным по импульсам первым интегралом
Таким образом, существование первого интеграла, линейного по M в общем случае, не связано с существованием инвариантной меры (7), в отличие от первых интегралов, квадратичных по M. При $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, т. е. в неголономном случае, первого интеграла, линейного по M, не существует.
В частном случае полностью динамически симметричного тела при ${{a}_{1}} = {{a}_{2}} = {{a}_{3}}$ поле X (1) обладает инвариантной мерой
и при $\omega = AM$, и при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, без ограничения на вид матрицы $C$.При $\omega = AM = aM$, $\alpha = 0$ и $V = 0$ уравнения (1)
В этом случае существует квадратичный первый интеграл
который зависит от произвольных чисел ${{\lambda }_{k}} \in \mathbb{R}$ при условииПри наложении дополнительных условий векторное поле $X$ остается интегрируемым в квадратурах, т.е. существует еще один интеграл движения.
В первом случае, который является обобщением случая В.В. Козлова [6], дополнительное условие имеет вид
Если, например,
то
а дополнительный первый интеграл равен
При B = 0, т.е. когда ${{c}_{k}} = {{\lambda }_{k}}$, эти интегралы были найдены в работе [6], а в работе [5] найдено преобразование координат, связывающее данную систему с системой Клебша. При $B \ne 0$ подобное преобразование также существует.
Во втором случае интегрируемости в квадратурах дополнительное условие имеет вид
Если, например,
Можно предположить, что существует преобразование координат, связывающее этот второй случай интегрируемости со второй известной интегрируемой системой на алгебре e*(3), т.е. с системой Стеклова–Ляпунова. Исследованию этого нового случая интегрируемости будет посвящена отдельная публикация.
В неголономном случае, т.е. при $\omega = {{A}_{\gamma }}M$, аналогов квадратичных по M первых интегралов F1, 2 нет ни в случае В.В. Козлова, ни в полученном нами втором случае.
Итак, мы получили ряд новых результатов для движения шара Чаплыгина в магнитном поле в предположении, что шар сделан из диэлектрического $B \ne 0$ и ферромагнитного $C \ne 0$ материала. Аналогичным образом можно изучать и различные обобщения движения шара Чаплыгина [4, 9] и другие неголономные системы.
Список литературы
Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. M.: Наука, Гл. ред. мат. лит., 1991. 320 с.
Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 384 с.
Борисов А.В., Мамаев И.С., Цыганов А.В. Неголономная динамика и пуассонова геометрия // УМН. 2014. Т. 69. № 3. С. 87–144.
Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. Different Models of Rolling for a Robot Ball on a Plane as a Generalization of the Chaplygin Ball Problem // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24. №. 5. P. 560–582.
Веселова Л.Е. О двух задачах динамики твердого тела // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1986. Т. 5. С. 90–91.
Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 6. С. 28–33.
Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to mechanics and symmetry. N.Y.: Springer-Verlag, 1994.
Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. № 6. С. 32–34.
Tsiganov A.V. Hamiltonization and Separation of Variables for a Chaplygin Ball on a Rotating Plane // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24. № 2. P. 171–186.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки