Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 34-36

О линейных инвариантных соотношениях в задаче о движении связки двух тел

А. А. Буров 12*

1 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

2 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

* E-mail: jtm@narod.ru

Поступила в редакцию 21.02.2020
После доработки 21.02.2020
Принята к публикации 22.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача о свободном движении двух тел, соединенных парой сферических шарниров. Указываются условия существования инвариантных соотношений, аналогичных интегралу Гесса.

Ключевые слова: динамика систем твердых тел, инвариантные соотношения, частные интегралы, интеграл Гесса

Основные обозначения и уравнения движения. Рассматривается пара твердых тел 𝒜 и ℬ , имеющих пару общих точек – P и Q, в которых помещены идеальные сферические шарниры (рис. 1). Пусть A и B – центры масс этих тел, Aa1a2a3 и Bb1b2b3 – связанные с соответствующим телом системы координат, оси которых направлены вдоль его главных центральных осей инерции, ωa = (ωa1, ωa2, ωa3) и ωb = (ωb1, ωb2, ωb3) – векторы угловых скоростей соответствующих тел, A = diag(A1, A2, A3) и B = diag(B1, B2, B3) – главные центральные тензоры инерции, ma и mb – массы тел 𝒜 и ℬ, rAP = $\overrightarrow {AP} $, rAQ = $\overrightarrow {AQ} $, rBP = $\overrightarrow {BP} $, rBQ = $\overrightarrow {BQ} $. Здесь и далее для каждой подсистемы уравнений все векторы даются в проекциях на оси подвижной системы координат, связанной с соответствующим телом. Пусть va и vb – скорости центров масс рассматриваемых тел, Fa и Fb – равнодействующие приложенных к соответствующим телам активных сил, Ma и Mb – моменты внешних активных сил, действующих на тела, относительно их центров масс, RP и RQ – реакции в точках P и Q. Реактивные моменты в этих точках предполагаются пренебрежимо малыми.

Рис. 1.

Описание движения тела 𝒜 сводится к описанию движения его центра масс A и движения вокруг его центра масс. Динамические уравнения в осях, связанных с этим телом, записываются как

(1)
${{m}_{a}}\left( {\frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{v}}}_{a}} - {{{\mathbf{v}}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}}} \right) = {{{\mathbf{R}}}_{P}} + {{{\mathbf{R}}}_{Q}} + {{{\mathbf{F}}}_{a}},$
(2)
$\frac{d}{{dt}}A{{{\mathbf{\omega }}}_{a}} = A{{{\mathbf{\omega }}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}} + {{{\mathbf{r}}}_{P}} \times {{{\mathbf{R}}}_{P}} + {{{\mathbf{r}}}_{Q}} \times {{{\mathbf{R}}}_{Q}} + {{{\mathbf{M}}}_{a}}.$

Эти уравнения, как обычно, должны быть дополнены кинематическими уравнениями Эйлера и Пуассона:

(3)
$\frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{r}}}_{a}} = {{{\mathbf{v}}}_{a}} + {{{\mathbf{r}}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}},$
(4)
$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{\alpha }}}_{a}} = {{{\mathbf{\alpha }}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}},\quad \frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{\beta }}}_{a}} = {{{\mathbf{\beta }}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}}, \\ \frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{\gamma }}}_{a}} = {{{\mathbf{\gamma }}}_{a}} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{a}}, \\ \end{gathered} $
где ra = $\overrightarrow {AO} $ – радиус-вектор точки A относительно начала абсолютной системы координат Ox1x2x3, αa, βa, γa – единичные векторы этой системы координат, заданные своими проекциями на связанные с телом 𝒜 подвижные оси. Уравнения движения для тела ℬ получаются из (1)–(4) заменой индекса a на индекс b.

Таким образом, имеется система с семью степенями свободы. В зависимости от действующих на нее внешних сил и моментов она может обладать теми или иными первыми интегралами. В дальнейшем для упрощения изложения предполагается, что внешние силы и моменты отсутствуют: Fa = Fb = 0, Ma = Mb = 0. В этом случае сохраняется вектор количества движения, центр масс системы в целом движется равномерно и прямолинейно. Без нарушения общности можно выбрать такую абсолютную систему отсчета, в которой положение центра масс остается неизменным. Кроме того, в этом случае сохраняется вектор момента количества движения, что позволяет выбрать абсолютную систему отсчета так, что направление вектора момента количеств движения совпадает с одной из ее осей. Наконец, сохраняется полная энергия системы. Таким образом, для интегрирования уравнений движения недостает, вообще говоря, одного дополнительного интеграла. Если одно из тел динамически симметрично и ось динамической симметрии совпадает с осью PQ, то система называется гиростатом. В этом случае, согласно Н.Е. Жуковскому и В. Вольтерра [1, 2], уравнения движения вполне интегрируемы.

Частные интегралы уравнений движения. Пусть оси связанной с телом 𝒜 подвижной системы отсчета Aa1a2a3 направлены по его главным центральным осям инерции. Обозначим A1, A2, A3 его главные центральные моменты инерции. Без нарушения общности можно считать, что $A_{1}^{{ - 1}}$ > $A_{2}^{{ - 1}}$ > $A_{3}^{{ - 1}}$. Рассмотрим функции

(5)
$\begin{gathered} {{F}_{\varepsilon }} = {{(A_{1}^{{ - 1}} - A_{2}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{A}_{1}}{{\omega }_{{a1}}} + \varepsilon {{(A_{2}^{{ - 1}} - A_{3}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{A}_{3}}{{\omega }_{{a3}}}, \\ \varepsilon = \pm 1. \\ \end{gathered} $

Утверждение.

(6)
${{\left[ {\frac{{d{{F}_{\varepsilon }}}}{{dt}}} \right]}_{{(2)}}} = 0$
на поверхности
(7)
${{F}_{\varepsilon }} = 0$
при выполнении условий
(8)
$\begin{gathered} \varepsilon {{(A_{1}^{{ - 1}} - A_{2}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{p}_{1}} - {{(A_{2}^{{ - 1}} - A_{3}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{p}_{3}} = 0,\quad {{p}_{2}} = 0, \\ \varepsilon {{(A_{1}^{{ - 1}} - A_{2}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{q}_{1}} - {{(A_{2}^{{ - 1}} - A_{3}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{q}_{3}} = 0,\quad {{q}_{2}} = 0, \\ \end{gathered} $
т.е. Fε = 0 – частные интегралы уравнений движения, аналогичные интегралу Гесса [3].

Доказательство сводится к непосредственному вычислению.

Соотношения (8) задают пару фиксированных в теле 𝒜 осей, описываемых уравнениями

(9)
$\begin{gathered} {{a}_{1}} = {{(A_{2}^{{ - 1}} - A_{3}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{\lambda }_{\varepsilon }},\quad {{a}_{2}} = 0, \\ {{a}_{3}} = \varepsilon {{(A_{1}^{{ - 1}} - A_{2}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{\lambda }_{\varepsilon }},\quad {{\lambda }_{\varepsilon }} \in {\mathbf{R}}. \\ \end{gathered} $

Замечание 1. Добавление внешнего силового поля силовых полей доставляет условие

(10)
${{(A_{1}^{{ - 1}} - A_{2}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{M}_{1}} + \varepsilon {{(A_{2}^{{ - 1}} - A_{3}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}{{M}_{3}} = 0,$
дополнительное по отношению к условию (8).

Замечание 2. В приведенном рассуждении ничего не изменится, если заменить тело 𝒜 на тело ℬ. Таким образом, частные интегралы вида (7) при выполнении условий вида (8) как для каждого из тел 𝒜 и ℬ по отдельности, так и для обоих тел сразу. В последнем случае одна из осей (9) для тела 𝒜 должна совпадать с одной из осей (9) для тела ℬ.

Замечание 3. Равенство (7) означает, что вектор кинетического момента Ka тела 𝒜, вычисленный относительно центра масс этого тела, во все время движения ортогонален вектору fa = = (($A_{1}^{{ - 1}}$$A_{2}^{{ - 1}}$)1/2, 0, ($A_{2}^{{ - 1}}$$A_{3}^{{ - 1}}$)1/2)T, фиксированному в теле 𝒜. При выполнении надлежащих условий такое же замечание справедливо и для тела ℬ.

Замечание 4. Для системы тяжелых твердых тел, связанных в цепочку, частные интегралы типа Гесса найдены в [4] (см. также [5]). Неинтегрируемость уравнений движения изучаемой связки двух тел доказана в [6].

Замечание 5. Случаи существования инвариантных соотношений представляют интерес как с чисто математической точки зрения [710], так и с точки зрения его приложений в механике [1115].

Список литературы

  1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. I, II, III // Журн. Русского физ.-хим. об-ва. 1885. Т. 17. С. 81–113, 145–199, 231–280.

  2. Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta Math. 1899j. V. 22. P. 201–358.

  3. Hess W. Über die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue paticuläre Lösung des problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Mathematische Annalen. June 1890. Bd. 37. H. 2. S. 153–181.

  4. Горр Г.В., Рубановский В.Н. Об одном новом классе движений системы тяжелых шарнирно связанных тел // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 5. С. 707–712.

  5. Буров А.А. О частных интегралах в задаче о движении тела, подвешенного на струне // Известия АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 84.

  6. Ивин Е.А. К вопросу об интегрируемости задачи о движении по инерции связки двух твердых тел // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1986. № 2. С. 63–66.

  7. Dragović V., Gagić B. An L-A pair for the Hess–Apel’rot system and a new integrable case for the Euler-Piisson equations on SO(4) × SO(4) // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. 2001. V. 131. № 4. P. 845–855.

  8. Беляев А.В. Аналитические свойства решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Гесса // Укр. матем. вестн. 2005. Т. 2. № 33. С. 297–317.

  9. Беляев А.В. Об общем решении задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Гесса // Матем. сб. 2015. Т. 206. № 5. С. 5–34.

  10. Бизяев И.А., Борисов А.В., Мамаев И.С. Случай Гесса–Аппельрота и квантование числа вращения // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 3. С. 433–452.

  11. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 6. С. 1298–1300.

  12. Довбыш С.А. О сепаратрисе неустойчивого положения равновесия волчка Гесса–Аппельрота // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 632–642.

  13. Żołądek H. Perturbations of the Hess–Appelrot and the Lagrange cases in the rigid body dynamics // J. Geometry and Physics. 2019. V. 142. P. 121–136.

  14. Бизяев И.А., Борисов А.В., Мамаев И.С. Система Гесса–Аппельрота и ее неголономные аналоги // Тр. МИАН. 2016. Т. 294. С. 268–292.

  15. Burov A., Guerman A., Nikonov V. Asymptotic Invariant Surfaces for Non-Autonomous Pendulum-Type Systems, Regular and Chaotic Dynamics. 2020. V. 25. № 1. P. 121–130.

Дополнительные материалы отсутствуют.