Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 44-47

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТРИБОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАСЛОНАПОЛНЕННЫХ КОМПОЗИТОВ ПРИ ВИБРАЦИИ

Академик РАН В. И. Колесников 1, О. А. Беляк 1*, И. В. Колесников 1, Т. В. Суворова 1

1 Ростовский государственный университет путей сообщения
Ростов-на-Дону, Россия

* E-mail: o_bels@mail.ru

Поступила в редакцию 10.12.2019
После доработки 31.01.2020
Принята к публикации 01.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Трибологические свойства маслонаполненного композиционного материала изучены на основании решения динамической контактной задачи о вибрации штампа на гетерогенном полупространстве при учете трения в области контакта. Установлена осцилляция силы трения за период колебаний при учете тангенциальных перемещений в области контакта, зависящая от состава композита.

Ключевые слова: динамическая контактная задача, маслонаполненный композит

В последнее время для узлов и деталей триботехнического назначения интенсивно используются маслонаполненные нанокомпозиты, компоненты которых имеют вязкоупругие свойства и свойства вязкой жидкости [1, 2]. При конструировании таких новых композиционных материалов актуальной и практически не исследованной является задача изучения влияния динамических эффектов, возникающих за счет вибрации, на антифрикционные свойства трибосистемы. Для изучения закономерностей изменения напряженно-деформированного состояния трибосистемы решается динамическая контактная задача при учете трения в области контакта для основания, обладающего микроструктурой. Для описания микроструктуры основания, состоящего из изотропной вязкоупругой матрицы и наполнителя, обладающего свойствами вязкой аморфной жидкости, использованы уравнения гетерогенной среды Био [3], причем модуль Юнга и коэффициент Пуассона были определены экспериментально, в том числе с помощью наноиндентирования. Изменение механических модулей среды при росте пористости изучено с помощью методов микромеханики, конечно-элементных моделей со стохастически распределенными сферическими порами [4]. Отметим, что решение многочисленных задач, моделирующих поверхностные явления в трибологии, приведено в [5]. Динамические контактные задачи для упругих слоистых оснований решены в [6], в том числе в нетрадиционных постановках для трибологии [7]. Влияние скорости движения штампа, зависимость контактных напряжений от коэффициента трения для насыщенного пористоупругого основания на основе модели Био–Френкеля изучалось в работе [8], для этого же основания динамическая контактная задача о колебаниях жесткого штампа представлена в работе [9], где в предположении равенства скоростей твердой и жидкой фаз двухфазная среда заменена на эквивалентную однофазную. Прогнозирование упругих свойств композитов с микрокапсулами, наполненными смазкой, основанное на рассмотрении эквивалентной упругой среды, выполнено в работе [2]. Трибологические свойства маслонаполненных композитов экспериментально изучены в работе [10].

В отличие от вышеупомянутых работ здесь представлен новый подход к изучению поверхностного взаимодействия в зоне контакта при учете гетерогенности основания в рамках модели двухфазной среды Био–Френкеля и динамического воздействия. Установлено, что трибологический процесс характеризуют и тангенциальные смещения под штампом. Прочность и износостойкость композита зависит от энергетического воздействия в зоне контакта с трением, при этом необходимо учитывать не только нормальные, но и тангенциальные перемещения в области контакта.

ДИНАМИЧЕСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГЕТЕРОГЕННОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ УЧЕТЕ ТРЕНИЯ

Рассматривается контактная задача о колебаниях жесткого штампа с плоским основанием на поверхности гетерогенного полупространства ($\left| {{{x}_{1}}} \right| < \infty $, ${{x}_{2}} \leqslant 0$) под действием приложенной к нему силы, изменяющейся по гармоническому закону. В области контакта нормальные и касательные напряжения связаны законом Амонтона–Кулона, $\sigma _{{12}}^{s} = \mu \sigma _{{22}}^{s}$, где $\mu $ – коэффициент трения. Перемещения твердой фазы ${\mathbf{u}} = \{ {{u}_{1}},{{u}_{2}}\} $ и жидкой фазы ${\mathbf{v}} = \{ {{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}}\} $ удовлетворяют уравнениям Био–Френкеля:

(1)
$\begin{gathered} A\nabla \cdot \nabla {\mathbf{u}} + 2N\nabla \nabla \cdot {\mathbf{u}} + Q\nabla \nabla \cdot {\mathbf{v}} = \\ = \;{{\rho }_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{u}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + {{\rho }_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{v}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + b\left( {\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}}} \right), \\ Q\nabla \nabla \cdot {\mathbf{u}} + R\nabla \nabla \cdot {\mathbf{v}} = {{\rho }_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{u}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + {{\rho }_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{v}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} - b\left( {\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}}} \right), \\ \end{gathered} $
где A, N, Q, R, ${{\rho }_{{11}}}$, ${{\rho }_{{12}}}$, ${{\rho }_{{22}}}$ – механические характеристики двухфазной среды, Γij = $\sigma _{{ij}}^{s} + {{\delta }_{{ij}}}{{\sigma }^{f}}$, $i,j$ = = 1, 2, – полный тензор напряжений, $\sigma _{{ij}}^{s} = Ae{{\delta }_{{ij}}}$ + + 2Neij + Qεδij – тензор напряжений, действующий на вязко-упругий скелет, ${{\sigma }^{f}} = Qe + R\varepsilon $ – давления, действующие на жидкость в порах, ${{e}_{{ij}}}$, ${{\varepsilon }_{{ij}}}$, $i,j = 1,2$, − тензоры деформации, соответствующие векторам перемещений твердой фазы u и жидкой фазы v, $e = \nabla \cdot {\mathbf{u}}$, $\varepsilon = \nabla \cdot {\mathbf{v}}$ [3]. При формулировке граничных условий предполагаем, что штамп и граница полупространства непроницаемы для жидкой фазы. Считаем, что режим колебаний установившийся, при этом отделим временной множитель и изложение будем вести для безразмерных амплитудных значений соответствующих функций, при этом линейные размеры отнесены к полуширине штампа, а напряжения – к модулю сдвига $N$. Граничные условия при этом имеют вид
(2)
$\begin{gathered} {{u}_{2}}({{x}_{1}},0) = {{{v}}_{2}}({{x}_{1}},0),\quad \left| {{{x}_{1}}} \right| < \infty , \\ {{\sigma }_{{12}}}({{x}_{1}},0) = {{\sigma }_{{22}}}({{x}_{1}},0) = 0,\quad \left| {{{x}_{1}}} \right| > 1, \\ \sigma _{{12}}^{s}({{x}_{1}},0) = \mu \sigma _{{22}}^{s}({{x}_{1}},0),\quad {{u}_{2}}({{x}_{1}},0) = \delta ,\quad \left| {{{x}_{1}}} \right| \leqslant 1, \\ \end{gathered} $
где δ – осадка штампа. Будем разыскивать контактные давления $q({{x}_{1}}) = {{\Gamma }_{{22}}}({{x}_{1}},0)$ и тангенциальные смещения ${{u}_{1}}({{x}_{1}},0)$ под штампом при учете трения в области контакта. В результате применения к определяющим уравнениям (1) и граничным условиям (2) преобразования Фурье и удовлетворения граничных условий, решение задачи сводится к решению интегрального уравнения с разностным ядром:

(3)
$\begin{gathered} \int\limits_{ - 1}^1 {k({{x}_{1}} - \xi )q(\xi )} d\xi = \delta , \\ k({{x}_{1}} - \xi ) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\gamma ^{} {\left( {\mu {{K}_{{21}}}(\alpha ) + {{K}_{{22}}}(\alpha )} \right){{e}^{{i\alpha ({{x}_{1}} - \xi )}}}d\alpha .} \\ \end{gathered} $

Мероморфные функции в комплексной плоскости ${{K}_{{ij}}}(\alpha )$, $i,j = 1,2$, являются элементами матрицы Грина для гетерогенного основания и на бесконечности имеют поведение $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \infty } {{K}_{{ii}}}(\alpha ) = \frac{{{{d}_{{ii}}}}}{{\left| \alpha \right|}}$, $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \infty } {{K}_{{ij}}}(\alpha ) = {{( - 1)}^{i}}\frac{{{{d}_{{ij}}}}}{\alpha }$, $i \ne j$. Выделим в (3) логарифмическую особенность:

(4)
$\begin{gathered} k({{x}_{1}} - \xi ) = {{I}_{1}}({{x}_{1}} - \xi ) + \frac{{{{K}_{0}}(R\left| {{{x}_{1}} - \xi } \right|)}}{\pi }, \\ {{I}_{1}}({{x}_{1}} - \xi ) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\gamma ^{} {L(\alpha ){{e}^{{i\alpha ({{x}_{1}} - \xi )\alpha }}}d\alpha ,} \\ L(\alpha ) = \mu {{K}_{{21}}}(\alpha ) + {{K}_{{22}}}(\alpha ) - \frac{{{{d}_{{22}}}}}{{\sqrt {{{\alpha }^{2}} + {{R}^{2}}} }}, \\ \end{gathered} $
где K0(z) – функция Макдональда нулевого порядка. Интеграл ${{I}_{1}}({{x}_{1}} - \xi )$ в (4) является быстро сходящимся. Выбор $R \gg 1$ минимизирует вклад интегралов по разрезам $iR \leqslant \alpha < i\infty $, $ - iR \geqslant \alpha > - i\infty $ [9]. После дискретизации области контакта равномерно распределенными точками коллокации ${{x}_{{1i}}}$, ξi, i = = $1, \ldots ,N$, решение интегрального уравнения сводится к определению ${{q}_{n}} = q({{x}_{{1n}}})$, ${{x}_{{1n}}} < {{x}_{1}} < {{x}_{{1n + 1}}}$ из системы линейных уравнений $N$ порядка, быстро сходящейся и обладающей квазидиагональной матрицей:
$\begin{gathered} \sum\limits_{m = 1}^N {{{r}_{{mn}}}} {{q}_{n}} = \frac{\delta }{h};\quad n = 1,2,\; \ldots ,\;N, \\ {{r}_{{mn}}} = {{I}_{1}}({{x}_{{1m}}} - {{\xi }_{n}}) + {{d}_{0}}({\text{erf}}({{z}_{2}}) - {\text{erf}}({{z}_{1}}),\quad m \ne n, \\ {{d}_{0}} = \frac{{{{d}_{{22}}}{\text{sign}}({{x}_{{1m}}} - {{\xi }_{n}})}}{h}, \\ {{z}_{1}} = \sqrt {({{x}_{{1m}}} - {{\xi }_{n}})R} ,\quad {{z}_{2}} = \sqrt {({{x}_{{1m + 1}}} - {{\xi }_{n}})R} , \\ {{r}_{{nn}}} = {{I}_{1}}({{x}_{{1n}}} - {{\xi }_{n}}) + \frac{{2{{d}_{{22}}}{\text{erf}}(\sqrt {hR{\text{/}}2} )}}{h}, \\ \end{gathered} $
где erf(z) – интеграл вероятности.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Результаты расчетов приведены для композиционного материала с матрицей на основе фенилона, модифицированного нанодобавкой (алюмомагниевая шпинель) и наполнителем в виде цилиндрового масла [4, 10]. На рис. 1 приведены графики тангенциальных смещений под штампом при различных коэффициентах трения: µ = 0, µ = 0.1, µ = 0.2, µ = 0.3.

Рис. 1.

Тангенциальные перемещения под штампом при различных коэффициентах трения: µ = 0 (1), µ = = 0.1 (2), µ = 0.2 (3), µ = 0.3 (4).

Установлено, что зависимость нормальных и касательных контактных напряжений от пористости гетерогенного основания носит нелинейный характер, это иллюстрирует рис. 2, на котором представлены графики модуля касательных контактных напряжений при различной пористости m гетерогенного основания: m = 0.05, $m$ = = 0.1, m = 0.15, m = 0.2.

Рис 2.

Влияние пористости гетерогенного основания на распределение касательных контактных напряжений: $m = 0.05$ (1), m = 0.1 (2), m = 0.15 (3), m = 0.2 (4).

Экспериментально показано [11], что при возрастании частоты колебаний контактные напряжения уменьшаются, результаты численного анализа в настоящей работе также подтверждают этот факт. На рис. 3 приведены графики действительной части касательных напряжений в зависимости от частоты колебаний штампа: ω = 20 Гц, ω = 80 Гц, ω = 180 Гц, ω = 260 Гц.

Рис. 3.

Влияние частоты вибраций штампа на распределение касательных контактных напряжений (действительная часть): ω = 20 Гц (1), ω = 80 Гц (2), ω = 180 Гц (3), ω = 260 Гц (4).

Учет коэффициента трения, как в статическом [5], так и в квазистатическом случае [8], приводит к асимметрии напряжений под штампом. Изменение амплитуды силы трения за период колебаний играет ключевую роль. Износостойкость композита зависит от энергетического воздействия в зоне трения, при этом необходимо учитывать не только нормальные, но и тангенциальные перемещения в области контакта. Хотя увеличение частоты колебаний и приводит к уменьшению контактных напряжений на единицу времени, но при этом большая энергия генерируется в области контакта. На рис. 4 приведены графики изменения касательных контактных напряжений за период T при колебаниях штампа под действием силы P = = ${{P}_{0}}{\text{cos}}\omega t$ для значений ω = 50 Гц, m = 0.2: t = 0, $t = \frac{T}{4}$, $t = \frac{T}{2}$, $t\, = \,\frac{{3T}}{4}$. Сила трения за период колебаний изменяет знак, а ее амплитуда описывает плоскую фигуру, площадь которой пропорциональна энергии воздействия силы трения. На основании этого положения можно прогнозировать износостойкость композита.

Рис. 4.

Изменение касательных контактных напряжений в течение периода колебаний T: t = 0 (1), $t = \frac{T}{4}$ (2), $t = \frac{T}{2}$ (3), $t = \frac{{3T}}{4}$ (4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Контактные напряжения и тангенциальные перемещения под штампом для гетерогенного основания зависят не только от коэффициента трения в области контакта, но и существенным образом зависят от частоты колебаний, пористости и флюидонасыщенности среды. При вибрации изменение коэффициента трения имеет значительно большее влияние на контактные напряжения, чем в квазистатической задаче при движении штампа [8]. На основании численного анализа можно оценить энергетическое воздействие за период колебаний, от которого зависит износостойкость композиционного материала. При этом необходимо учитывать не только нормальные, но и тангенциальные перемещения в области контакта. Проведенные исследования позволяют найти оптимальное соотношение механических свойств композитного материала, работающего в условиях динамического нагружения.

Список литературы

  1. Долгополов К.Н., Колесников И.В., Мельников Э.Л. Применение антифрикционных полимерных самосмазывающихся материалов класса “Масляниты” в узлах трения скольжения // Ремонт. Восстановление. Модернизация. 2018. № 4. С. 23–26.

  2. Kolesnikov I.V., Bardushkin V.V., Myasnikov Ph.V. Calculation of Stress-Deformed Condition in Polymer Nanocomposites Filled with Microcapsules with Lubricant // J. Theoretical and Applied Mechanics. 2017. V. 47. № 4. P. 37–47.

  3. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Период. сб. переводов иностр. статей. 1963. № 82. Вып. 6. С. 103–134.

  4. Иваночкин П.Г., Суворова Т.В., Данильченко С.А. и др. Комплексное исследование полимерных композитов с матрицей на основе фенилона С-2 // Вестн. РГУПС. 2018. Вып. 4. С. 54–62.

  5. Горячева И.Г., Маховская, Ю.Ю., Морозов А.В. и др. Трение эластомеров. М.: ИПМ; 2017.

  6. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука; 1984.

  7. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Блочные элементы в контактных задачах с переменным коэффициентом трения // ДАН. 2018. Т. 480. № 5. С. 537–541.

  8. Беляк О.А., Суворова Т.В. Влияние микроструктуры основания на силы трения при движении плоского штампа // Экологич. вестн. научн. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2018. № 3. С. 25–31.

  9. Беляк О.А., Суворова Т.В. Учет трения в области контакта при колебаниях жесткого штампа на поверхности полуограниченной среды // Экологич. вестн. научн. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2019. Т.16. № 3. С. 33–39.

  10. Колесников В.И., Мясникова Н.А., Мясников Ф.В., Мантуров Д.С., Новиков Е.С., Данильченко С.А., Авилов В.В. Трибологические и физико-механические свойства маслонаполненных композитов на основе фенилона // Трение и износ. 2018. Т. 39. № 5. С. 462–470.

  11. Попов В.Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. М.: Физматлит; 2013.

Дополнительные материалы отсутствуют.