Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 12-17
К РАСЧЕТУ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ СЛАБОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
1 Институт космических исследований
Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: vkrasov@iki.rssi.ru
Поступила в редакцию 16.01.2020
После доработки 16.01.2020
Принята к публикации 22.02.2020
Аннотация
Представлены анализ и решение интегрального уравнения Больцмана для определения функции распределения электронов в слабом электрическом поле. Решение, основанное на простой модели столкновений с нейтральными частицами газа, сопоставляется с известным решением соответствующего приближенного дифференциального уравнения Фоккера–Планка. Существенное отличие двух подходов проявляется в поведении электронной функции распределения при скоростях электронов, сравнимых с тепловой скоростью атомов газа. В результате проведенных расчетов определены ядра интегральных уравнений Больцмана, необходимые для решения подобных и других задач физической кинетики в рамках принятой модели столкновений.
Определение проводимости слабоионизованного газа на основе кинетической теории предполагает расчет функции распределения электронов в электрическом поле.
Вид распределения заряженных частиц по скоростям находится путем решения кинетического уравнения, причем интеграл столкновений электронов с нейтральными частицами обычно аппроксимируется дифференциальным выражением в рамках диффузионного приближения Фоккера–Планка [1–9]. Существует, однако, важная в практическом отношении и довольно простая модель элементарного акта соударения электрона с атомом или молекулой газа, для которой применимость диффузионного приближения оправдана не в полной мере. Это хорошо известная модель столкновений жестких упругих сфер [1–9]. При соударении электрона с тяжелой нейтральной частицей энергия и абсолютная величина скорости электрона мало изменяются из-за малого отношения масс $\frac{m}{M} \ll 1$. Малость изменения физической величины лежит в основе приближения Фоккера–Планка. Однако несмотря на малое изменение модуля скорости, изменение направления движения электрона вовсе не обязательно мало [3], что, строго говоря, противоречит условиям применимости диффузионного приближения. Поэтому представляет интерес сравнить решение кинетического уравнения Фоккера–Планка с интегралом столкновений в виде дифференциального выражения [2–9] с решением кинетического уравнения Больцмана с интегралом столкновений более общего вида. Как известно, расчет интеграла столкновений Больцмана в общем случае влечет за собой большие математические трудности [6–9]. Вместе с тем, как показано ниже, в рамках модели “упругих сфер” расчет интеграла столкновений, а с ним и решение уравнения Больцмана, значительно упрощается.
В работе представлено решение кинетического уравнения Больцмана для электронов в газе при наличии слабого электрического поля и проведено сравнение с соответствующим решением, основанным на фоккер-планковском приближении [1–9]. В стационарном состоянии функция распределения электронов $f({v},\theta )$ в постоянном однородном электрическом поле ${{E}_{0}}$ определяется решением кинетического уравнения вида (см., например, [6, 7])
(1)
$ - \frac{e}{m}{{E}_{0}}\left( {z\frac{{\partial f}}{{\partial {v}}} + \frac{{1 - {{z}^{2}}}}{{v}}\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = St = {{S}^{ + }}({v},z) - {{S}^{ - }}({v},z),$(2)
$[{v}] = [V] = {{V}_{T}},\quad [f] = {{n}_{0}}{\text{/}}V_{T}^{3},\quad [F] = N{\text{/}}V_{T}^{3},$(3)
${{F}_{M}}(V) = {{\left( {\frac{1}{{2\pi }}} \right)}^{{3/2}}}\exp \left( { - \frac{{{{V}^{2}}}}{2}} \right),$(4)
$ - \frac{E}{\mu }\left( {z\frac{{\partial f}}{{\partial {v}}} + \frac{{1 - {{z}^{2}}}}{{v}}\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) + {{S}^{ - }} = {{S}^{ + }}.$Здесь напряженность поля характеризуется безразмерным параметром $E = \frac{{e\lambda {{E}_{0}}}}{T}$, а интегралы S± определены выражениями [6–9]
(5)
${{S}^{ - }} = \int {{{d}^{3}}V} \int {\left( {\frac{{d\Omega }}{{4\pi }}} \right)} \,uf(v)F(V),$(6)
${{S}^{ + }} = \int {{{d}^{3}}V} \int {\left( {\frac{{d\Omega }}{{4\pi }}} \right)} \,uf(v{\text{'}})F(V{\text{'}}).$Хотя эти выражения многократно описаны в литературе, стоит все же пояснить еще раз смысл переменных, входящих в интегралы. Здесь v и V – скорости электрона и нейтральной частицы после столкновения, а v' и V' – соответствующие значения до столкновения. Внутренний интеграл представляет собой усреднение по углам рассеяния $d\Omega = d\alpha d\beta \sin \alpha $, где α – угол между векторами u = v – V и u' = v' – V', а величина под знаком интеграла $u$ равна модулю вектора u. Нелишне вспомнить также, что законы сохранения импульса и энергии при упругом ударе дают лишь четыре уравнения для шести неизвестных, определяющих векторы v и V при шести известных значениях v' и V' до удара. Однако дефицит двух связей компенсируется усреднением в (5) и (6) по двум переменным $\alpha $ и $\beta $, связанным со скоростями.
В правой части (5) функцию f можно вынести за знак интеграла. Благодаря этому вычисление S– сильно упрощается по сравнению с расчетом интеграла S+, который требует значительно больших усилий. Убыль электронов S– не зависит от углов рассеяния. Поэтому интеграл по телесному углу Ω равен единице. В результате выражение (5) сводится к виду
(7)
$\begin{gathered} {{S}^{ - }} = f({v},\theta )\int\limits_0^\infty {dV\,{{V}^{2}}} F(V)\int\limits_0^\pi {d\xi } \sin \xi \times \\ \times \;\int\limits_0^{2\pi } {d\eta \sqrt {{{{v}}^{2}} + {{V}^{2}} - 2{v}V[\cos \theta \cos \xi + \sin \theta \sin \xi \cos (\eta - \psi )]\,} } , \\ \end{gathered} $Внутренний двойной интеграл не зависит от параметра $\theta $, благодаря чему интегрирование становится элементарным, если положить θ = 0 (можно воспользоваться также известной формулой интегрирования по телесному углу, приведенной в справочниках по интегралам). В итоге получаем
(8)
${{S}^{ - }}({v},\theta )\, = \,\left( {\frac{{2\pi }}{{3{v}}}} \right)f({v},\theta )\int\limits_0^\infty {dV\,VF(V)} \left[ {{{{({v}\, + \,V)}}^{3}}\, - \,{{{\left| {{v}\, - \,V} \right|}}^{3}}} \right].$Наконец, подставляя максвелловское распределение (3) для функции распределения частиц нейтрального газа, приходим к окончательному результату
(9)
$\begin{gathered} {{S}^{ - }}({v},\theta ) = \left( {\frac{{4\pi }}{{v}}} \right)f({v},\theta ) \times \\ \times \left( {{v}F({v}) + \left( {\frac{1}{{4\pi }}} \right)(1 + {{{v}}^{2}}){\text{erf}}\left( {\frac{{v}}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $Процедура решения уравнения (4) предполагает разложение левой и правой частей по полиномам Лежандра [1–3]:
(10)
$f({v},z) = {{f}_{0}}({v}) + {{f}_{1}}({v})z + \sum\limits_{n = 2}^\infty {{{f}_{n}}} ({v}){{P}_{n}}(z),$(11)
${{S}^{ \pm }}({v},z) = S_{0}^{ \pm }({v}) + S_{1}^{ \pm }({v})z + \sum\limits_{n = 2}^\infty {S_{n}^{ \pm }} ({v}){{P}_{n}}(z),$(12)
$\begin{gathered} G({v}) \equiv \frac{{{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}^{{1/2}}}{{{v}}^{2}}}}{{{v}{{e}^{{ - {{{v}}^{2}}/2}}} + (1 + {{{v}}^{2}})I({v})}}, \\ I({v}) \equiv \int\limits_0^{v} {dx\exp \left( { - \frac{{{{x}^{2}}}}{2}} \right),} \\ \end{gathered} $Тогда с учетом (9) уравнение (4) переходит в простое по виду интегральное уравнение для функции ${{f}_{1}}({v})$, т.е. для соответствующего коэффициента в разложении (10),
где первый член в левой части является источником возмущения функции распределения в слабом поле. Анализ решения этого уравнения, обсуждаемый ниже, показал, что его правая часть мала. Физически это означает, что приток электронов в некоторую точку пространства скоростей $S_{1}^{ + }$ не играет существенной роли в общем балансе числа частиц в этой точке. Учитывая это и полагая $S_{1}^{ + } = 0$ в (13), приходим к очень простому результату(14)
$\begin{gathered} {{f}_{1}}({v}) = - E{{f}_{M}}({v})G({v}) = \\ = - E{{\left( {\frac{\mu }{{2\pi }}} \right)}^{{3/2}}}\exp \left( { - \frac{{\mu {{{v}}^{2}}}}{2}} \right)G({v}). \\ \end{gathered} $Эта функция распределения отличается дополнительным множителем $G({v})$ как от формулы (17) из статьи Давыдова [3], так и от соответствующих выражений из других литературных источников [5–9]. Отличие хорошо видно на рис. 2, где показаны зависимости от скорости соответствующих функций при частном значении параметра µ = $\frac{1}{{1836}}$, для простоты без постоянного коэффициента $ - E{{\left( {\frac{\mu }{{2\pi }}} \right)}^{{3/2}}}$. В отличие от [3], при ${v} = 0$ функция ${{f}_{1}}({v})$ обращается в нуль согласно (14), как и должно быть, поскольку находящийся в состоянии покоя электрон не может давать вклад в плотность потока (или в плотность тока). Вместе с тем наличие дополнительного множителя $G({v})$ в (14) малосущественно при расчете плотности тока путем интегрирования, по крайней мере, в пределе $\mu \to 0$,
(15)
$\frac{j}{{e{{n}_{0}}{{V}_{T}}}} = - \frac{{4\pi }}{3}\int\limits_0^\infty {d{v}{{{v}}^{3}}} {{f}_{1}}({v}),$(16)
$j = {{j}_{0}} = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \left( {\frac{{e\lambda {{E}_{0}}}}{T}} \right)(e{{n}_{0}}{{{v}}_{T}}).$Рассмотрим теперь насколько оправдано пренебрежение правой частью в (13). При решении этого интегрального уравнения удобно оперировать не самой функцией распределения ${{f}_{1}}({v})$, а вспомогательной функцией ${{y}_{1}}({v}) \equiv \frac{{{{f}_{1}}({v})}}{{{{f}_{M}}({v})}}$.
Попутно заметим, что при решении интегральных кинетических уравнений (или интегро-дифференциальных в более общем случае в приложении к другим задачам кинетической теории в рамках принятой модели столкновений) удобнее записывать уравнения для функции $y({v},\theta ) \equiv \frac{{f({v},\theta )}}{{{{f}_{M}}({v})}}$, что связано, в частности, с математической техникой расчета интеграла ${{S}^{ + }}({v},\theta )$.
Для решения уравнения (13) необходимо привести интеграл $S_{1}^{ + }({v})$ к более простому виду. С этой целью в интеграле (6) следует перейти от интегрирования по углам рассеяния к интегрированию по аргументам функции распределения электронов $f(v{\text{'}})$ = $f(v{\text{'}} \equiv A,\cos \theta {\text{'}} \equiv q)$. Закон сохранения энергии при абсолютно упругом ударе позволяет перейти от функции $f(A,q)$ к $y(A,q)$ под знаком интеграла. При этом вместо $F(V{\text{'}}) = F(V\,{\text{'}})$ в интеграл (6) будет входить $F(V) = {{F}_{M}}(V)$. Далее путем изменения порядка интегрирования вычисления интегралов от алгебраических функций, не зависящих от переменной A, и замены функции распределения частиц газа на максвелловское распределение (3) пятикратный интеграл (6) сводится к обыкновенному. Здесь, опуская подробные математические выкладки, достаточно привести окончательный результат расчета коэффициента $S_{1}^{ + }$ первой гармоники в разложении по полиномам Лежандра (11), который необходим для решения уравнения (13):
(17)
$S_{1}^{ + }({v}) = \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\frac{{{{f}_{M}}({v})}}{{{{{v}}^{2}}}}\int\limits_0^\infty {dA{{y}_{1}}(A)} {{K}_{1}}(A,{v}).$В пределе $\mu \to 0$ ядро K1 имеет вид
(18)
$\begin{gathered} {{K}_{1}} = bF(a)({{b}^{2}} + 3{{a}^{2}} + 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}) - aF(b) \times \\ \times \;({{a}^{2}} + 3{{b}^{2}} + 2{{a}^{2}}{{b}^{2}})\, - \,ab(3{{a}^{2}} + 3{{b}^{2}} + 2{{a}^{2}}{{b}^{2}})Z(a,b), \\ \end{gathered} $Чтобы исключить из (13) постоянный множитель E, далее используется функция
${{g}_{1}}({v}) \equiv - \frac{{{{y}_{1}}({v})}}{E}$ = $ - \frac{{{{f}_{1}}({v})}}{{E{{f}_{M}}({v})}}$,
для которой это уравнение в комбинации с (17) принимает вид
(19)
${{g}_{1}}({v}) = G({v})\left[ {1 + \left( {\frac{{2\pi }}{{3{{{v}}^{3}}}}} \right)\int\limits_0^\infty {dA{{g}_{1}}(A){{K}_{1}}(A,{v})} } \right].$Это интегральное уравнение не содержит параметров E и $\mu $. Его решение определяет возмущение функции распределения электронов слабым электрическим полем $\delta f({v},\theta ) = - E{{f}_{M}}({v}){{g}_{1}}({v}){\text{cos}}\theta $ как малую анизотропную добавку к равновесному изотропному распределению в пределе E → 0, $\mu \to 0$. Решение без интегрального члена уже рассмотрено выше. Выясним, насколько велики поправки, обусловленные наличием интеграла в (19).
Простейший способ решения интегральных уравнений – метод итераций. Применительно к уравнению (19) он приводит к решению в виде ряда
где(21)
${{J}_{1}}({v}) = - \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\frac{1}{{{{{v}}^{3}}}}\int\limits_0^\infty {dAG(A){{K}_{1}}(A,{v})} ,$(22)
$\begin{gathered} {{J}_{2}}({v}) = {{\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{{{v}}^{3}}}}\int\limits_0^\infty {dAG(A){{K}_{1}}(A,{v})} \times \\ \times \;\frac{1}{{{{A}^{3}}}}\int\limits_0^\infty {dxG(x){{K}_{1}}} (x,A). \\ \end{gathered} $Хотя такой подход в общем случае не всегда ведет к успеху, как оказалось, ряд (20) быстро сходится. Интегрирование в (21) и (22) с ядром (18) проведено с помощью вычислительной техники. Как результат, поведение функций ${{J}_{1}}({v})$ и ${{J}_{2}}({v})$, увеличенных в 10 и 100 раз соответственно, показано на рис. 3. Максимальное значение первой поправки равно ${{J}_{1}}(0) = 0.0894$. Максимум функции J2 намного меньше. Если скорость электрона значительно превышает тепловую скорость частиц газа (${v} \gg 1$ с принятой единицей измерения VT), то поправки к единице в (20) столь малы, что ${{g}_{1}} = G$ c очень высокой точностью. При скоростях, сравнимых с тепловой скоростью атомов (или молекул газа), т.е. в узкой области в масштабе тепловой скорости электронов ${{{v}}_{T}} = \frac{{{{V}_{T}}}}{{{{\mu }^{{1/2}}}}}$, суммарная поправка не превышает 9%, т.е. ${{g}_{1}} \approx G$. Если необходимо добиться большей точности, в формуле (14) функцию G следует заменить на функцию g1 с учетом поправок ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$ в (20).
Таким образом, вид функции ${{f}_{1}}({v})$ с хорошей точностью определен равенством (14). Это выражение является основным результатом расчета функции распределения в линейном приближении по полю в рамках принятой модели столкновений частиц как упругих шариков. Оно служит основой и для построения нелинейной теории методом малых возмущений, в частности, для расчета квадратичных по полю поправок к изотропной части распределения. Поэтому в качестве дополнения уместно привести аналог формулы (17) для изотропной части функции распределения ${{f}_{0}}({v}) = {{f}_{M}}({v}){{y}_{0}}({v})$:
Резюмируя, отметим, как основной результат решения уравнения Больцмана, что анизотропная часть функции распределения электронов линейного приближения по полю отличается от соответствующего хорошо известного выражения [2–9] поведением при скоростях электронов, сравнимых с тепловой скоростью нейтральных частиц. С целью коррекции формулы для анизотропной добавки к равновесному распределению, рассчитанной с использованием приближения Фоккера–Планка [2–9], достаточно умножить ее на функцию $G({v})$, определенную выражением (12), что предполагает малость и отбрасывание интегрального члена в уравнении Больцмана. При необходимости большей точности, функцию G следует заменить на решение ${{g}_{1}}({v})$ интегрального уравнения (19), хотя это приводит лишь к относительно небольшой дополнительной коррекции. Подчеркнем еще раз основные допущения, использованные в расчетах, обсуждаемых выше. В интеграле столкновений учтены только соударения электронов с нейтральными частицами в рамках модели упругих шариков. Формула для возмущения функции распределения электронов электрическим полем получена в линейном приближении и, по существу, представляет собой предельное выражение, когда оба безразмерных параметра задачи E и $\mu $ стремятся к нулю. Наконец, конкретный вид функции $G({v})$ согласно ее определению (12) является в значительной степени проявлением максвелловского распределения нейтральных частиц, на которое электрическое поле не оказывает никакого влияния.
Список литературы
Лорентц Г.А. Теория электронов. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956.
Druyvesteyn M.J. // Physica. 1930. V. 10. P. 61; 1934. V. 14. P. 1003.
Давыдов Б.И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. № 5. С. 463.
Шкаровский И., Джонстон Т, Бачинский М. Кинетика частиц плазмы. М.: Атомиздат, 1969. Гл. 4. 396 с.
Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа. М.: Наука, 1972. 416 с.
Гуревич А.В., Шварцбург А.Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М.: Наука, 1973. 272 с.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.
Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1979. 592 с.
Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. СПб: Лань, 2011.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки