Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 66-70
Асимптотика спектров одномерных собственных колебаний в средах, состоящих из твердых и жидких слоев
А. С. Шамаев 1, В. В. Шумилова 1, *
1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: v.v.shumilova@mail.ru
Поступила в редакцию 24.12.2019
После доработки 03.03.2020
Принята к публикации 04.03.2020
Аннотация
Исследованы спектры одномерных собственных колебаний двухфазных слоистых сред с периодической структурой. В качестве первой фазы рассмотрен изотропный твердый (упругий или вязкоупругий) материал, а в качестве второй фазы – вязкая сжимаемая или несжимаемая жидкость. Установлено, что точками указанных спектров являются корни трансцендентных уравнений, число которых равно числу периодов, содержащихся в данном образце слоистой среды. Описано множество начальных приближений, используемых при численном решении этих уравнений для многослойных сред.
Исследование спектров собственных колебаний микронеоднородных сред, состоящих из твердого материала и жидкости, является актуальной задачей механики гетерогенных сред. Ее актуальность обусловлена, прежде всего, широким распространением подобных сред в природе и технике (водонасыщенные грунты, нефтеносные пласты, фильтры, суспензии и т.д.). Знание точек указанных спектров позволяет находить, в частности, такие важные динамические характеристики сред, как собственные частоты колебаний и коэффициенты затухания собственных колебаний.
Стоит отметить, что математическое описание динамики микронеоднородных сред часто основано на предположении о наличии у них периодической структуры. Если обозначить через ε сторону периодически повторяющейся ячейки, то исследование спектров собственных колебаний таких сред можно свести к спектральному анализу краевых задач для однородных систем дифференциальных уравнений с ε-периодическими коэффициентами. При численном поиске дискретной части спектров в качестве начальных приближений естественно принять собственные значения краевых задач, выведенных при $\varepsilon \to 0$ и описывающих спектры собственных колебаний соответствующих усредненных (эффективных) сред. В данной работе на примере четырех моделей слоистых сред, состоящих из твердого материала и вязкой жидкости, дается ответ на вопрос, насколько полным и точным является множество таких начальных приближений.
Рассмотрим неограниченную полосу 0 < $x < L$, заполненную двухфазной средой, состоящей из периодически повторяющихся твердых и жидких слоев. В качестве твердой фазы берется изотропный упругий материал или вязкоупругий материал Кельвина–Фойгта, а в качестве жидкой фазы – вязкая сжимаемая жидкость. Предполагается, что все слои параллельны плоскости $Oyz$, $M$ – общее число всех жидких слоев, а $\varepsilon h$ – толщина одного жидкого слоя, где $\varepsilon = \frac{L}{M}$, $0 < h < 1$. Обозначим через ${{\Omega }_{{1\varepsilon }}}$ (${{\Omega }_{{2\varepsilon }}}$) объединение всех твердых (соответственно жидких) слоев. В дальнейшем будем считать, что
Математическая модель, описывающая одномерные колебания в слоистой среде вдоль оси Ox, имеет вид
(1)
${{\rho }_{s}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{{\partial {{\sigma }^{\varepsilon }}}}{{\partial x}} + f(x,t),\quad x \in {{D}_{{s\varepsilon }}},\quad s = 1,2,$(2)
${{u}^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0,t) = {{u}^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0,t),$(3)
${{\sigma }^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0,t) = {{\sigma }^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0,t),$(4)
${{u}^{\varepsilon }}(0,t) = {{u}^{\varepsilon }}(L,t) = 0,\quad {{u}^{\varepsilon }}(x,0) = \frac{{\partial {{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial t}}(x,0) = 0,$(5)
$\begin{gathered} {{\sigma }^{\varepsilon }} = - {{p}^{\varepsilon }} + ({{\zeta }_{2}} + 2{{\eta }_{2}})\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x\partial t}}, \\ {{p}^{\varepsilon }} = - \gamma \frac{{\partial {{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x}},\quad x \in {{D}_{{2\varepsilon }}}. \\ \end{gathered} $Здесь ${{\lambda }_{1}}$ и ${{\mu }_{1}}$ – параметры Ламе твердого материала; ${{\kappa }_{s}} = {{\zeta }_{s}} + \frac{2}{3}{{\eta }_{s}}$ и ${{\eta }_{s}}$ – коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости в ${{\Omega }_{{s\varepsilon }}}$ [1]; ${{p}^{\varepsilon }}(x,t)$ – давление в жидкости; γ – объемный модуль упругости жидкости [2]. В частности, если твердой фазой является упругий материал, то полагается ${{\zeta }_{1}} = {{\eta }_{1}}$ = 0.
Применяя преобразование Лапласа ${{u}^{\varepsilon }}(x,t)$ → → $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$, запишем задачу (1)–(4) при $f(x,t) \equiv 0$ в изображениях Лапласа:
(6)
${{\lambda }^{2}}{{\rho }_{s}}u_{\lambda }^{\varepsilon } = \frac{{\partial \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }}}{{\partial x}},\quad x \in {{D}_{{s\varepsilon }}},\quad s = 1,2,$(7)
$\begin{gathered} u_{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0) = u_{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0), \\ \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0) = \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0), \\ \end{gathered} $(8)
$u_{\lambda }^{\varepsilon }(0) = u_{\lambda }^{\varepsilon }(L) = 0,\quad s = 1,2;\quad m = 0,\; \ldots ,\;M - 1,$В дальнейшем под спектром собственных колебаний слоистой среды, перпендикулярных ее слоям, понимается множество ${{S}_{\varepsilon }}$ всех комплексных значений λ, при которых задача (6)–(8) имеет нетривиальные решения $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$. При этом множество Fε = {ω: $\omega = \left| {\operatorname{Im} \lambda } \right|,\lambda \in {{S}_{\varepsilon }}\} $ представляет собой спектр собственных частот колебаний слоистой среды вдоль оси Ox.
Чтобы найти элементы множества ${{S}_{\varepsilon }}$, сначала зафиксируем целое число m ($0 \leqslant m \leqslant M - 1$). Выписывая решения $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$ уравнений (6) при $x \in (\varepsilon m,\varepsilon {{h}_{{1m}}})$, $x \in (\varepsilon {{h}_{{1m}}},\varepsilon {{h}_{{2m}}})$ и $x \in (\varepsilon {{h}_{{2m}}},\varepsilon (m + 1))$, а затем используя условия непрерывности перемещений и напряжений (7) на границах слоев, получаем
(9)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\lambda }^{\varepsilon }((m + 1)\varepsilon )} \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }((m + 1)\varepsilon )} \end{array}} \right) = \frac{1}{4}W_{\lambda }^{\varepsilon }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\lambda }^{\varepsilon }(m\varepsilon )} \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(m\varepsilon )} \end{array}} \right),$Так как элементы матрицы $W_{\lambda }^{\varepsilon }$ не зависят от числа m, то из (8) и (9) получаем равенство
Таким образом, точками спектра ${{S}_{\varepsilon }}$ являются корни следующих M трансцендентных уравнений:
(10)
$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}}}{\lambda }} \operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{( - 1)}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }) = \\ = \frac{{2{{Q}_{{1\lambda }}}{{Q}_{{2\lambda }}}}}{\lambda }\operatorname{sh} K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }, \\ \end{gathered} $(11)
$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^2 {{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}\operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{{( - 1)}}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon })} = \\ = 4{{B}_{{1\lambda }}}{{B}_{{2\lambda }}}\cos \frac{{\pi k}}{M}, \\ \end{gathered} $Исследование поведения корней этих уравнений показывает, что если $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ – корни уравнения (10) и $\lambda (\varepsilon ) \to {{\lambda }_{0}} < \infty $ при $\varepsilon \to 0$, то
Если же $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ – корни k-го уравнения (11) и $\lambda (\varepsilon ) \to {{\lambda }_{k}} < \infty $ при $\varepsilon \to 0$, то ${{\lambda }_{k}}$ совпадает с одним из корней ${{\lambda }_{{ik}}}$ ($i = 1,2,3$) уравнения
(12)
$\begin{gathered} {{\lambda }^{3}} + \frac{{{{a}_{{12}}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}}{{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}}{{\lambda }^{2}} + \\ + \,\,\frac{{({{a}_{1}}{{b}_{2}} + {{a}_{2}}{{b}_{1}}){{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}}\lambda + \frac{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}} = 0, \\ \end{gathered} $Для прояснения механического смысла пределов ${{\lambda }_{k}}$ выпишем математическую модель одномерных колебаний усредненной среды вдоль оси Ox:
В дальнейшем через $S$ мы будем обозначать спектр собственных колебаний усредненной среды вдоль оси Ox, определяемый аналогично спектру ${{S}_{\varepsilon }}$. Согласно результатам работы [4], спектр $S$ в точности состоит из объединения корней ${{\lambda }_{{ik}}}$ кубических уравнений (12) при всех $k \in \mathbb{N}$. Интересно отметить, что структура спектра S зависит от того, равен нулю коэффициент β в уравнении (12) или нет. Если исходная среда состоит из упругих и жидких слоев, то β = 0 и спектр S содержит бесконечную невещественную часть, а значит, спектр $F = \{ \omega {\text{:}}\;\omega = \left| {\operatorname{Im} \lambda } \right|,\lambda \in S\} $ собственных частот колебаний усредненной среды вдоль оси Ox – бесконечное множество [5]. Если же среда состоит из вязкоупругих и жидких слоев, то $\beta > 0$ и спектр $S$ является либо полностью вещественным, либо содержит только конечную невещественную часть [5, 6]. Следовательно, для такой среды спектр F – конечное множество (в частности, оно может быть пустым).
Полученные результаты совместно с теоремой Руше означают следующее:
1) для любой точки $\lambda \in S$ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to \lambda $ при $\varepsilon \to 0$;
2) для точки –ξ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to - \xi $ при $\varepsilon \to 0$;
3) все конечные пределы последовательностей ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ принадлежат $S \cup \{ - \xi \} $.
Тем самым доказано, что имеет место сходимость по Хаусдорфу ${{S}_{\varepsilon }} \to S \cup \{ - \xi \} $ [7]. Это означает, в частности, что при численном поиске точек спектра ${{S}_{\varepsilon }}$ (например, с помощью принципа аргумента) в качестве начальных приближений следует брать не только точки спектра $S$, но и отрицательную вещественную точку –ξ.
Аналогично исследуется спектр ${{S}_{\varepsilon }}$ одномерных собственных колебаний слоистой среды, отличающейся от рассмотренной только тем, что ее жидкой фазой является вязкая несжимаемая жидкость. В этом случае исходная математическая модель также записывается в виде задачи (1)–(4), но вместо условий (5) выполняются условия
Переходя к изображениям Лапласа и повторяя приведенные выше рассуждения, можно показать, что спектр ${{S}_{\varepsilon }}$ состоит из корней M трансцендентных уравнений
(13)
$\frac{1}{\lambda }\operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) + \frac{{{{\rho }_{2}}\varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}}\operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) = \frac{{{{\rho }_{2}}\varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}},$(14)
$\begin{gathered} \operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) + \frac{{{{\rho }_{2}}\lambda \varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}}\operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) = \cos \frac{{\pi k}}{M}, \\ k = 1,\; \ldots ,\;M - 1. \\ \end{gathered} $Исследование корней этих уравнений показывает, что последовательности корней $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ уравнений (13) не имеют конечных пределов при $\varepsilon \to 0$, в то время как конечными пределами последовательностей корней $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ уравнений (14) при фиксированном k являются корни квадратных уравнений
Объединение корней этих уравнений при всех $k \in \mathbb{N}$ представляет собой спектр $S$ собственных колебаний вдоль оси Ox соответствующей усредненной среды [8]. Нетрудно видеть, что в случае упругих слоев спектр $S$ состоит из бесконечной невещественной части, а в случае вязкоупругих слоев невещественная часть спектра S либо отсутствует, либо конечна. Таким образом, в первом случае спектр F собственных частот колебаний – бесконечное, а во втором случае – конечное множество.
Привлекая теорему Руше, получаем следующий результат:
1) для любой точки $\lambda \in S$ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to \lambda $ при $\varepsilon \to 0$;
2) все конечные пределы последовательностей ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ принадлежат S. Тем самым установлена сходимость по Хаусдорфу ${{S}_{\varepsilon }} \to S$ при $\varepsilon \to 0$.
Анализируя результаты, полученные для четырех моделей слоистых сред, мы обнаруживаем следующий интересный факт. В случае несжимаемой жидкости предел спектров ${{S}_{\varepsilon }}$ по Хаусдорфу в точности совпадает с “усредненным” спектром S. Подобное предельное поведение спектров ранее было установлено в работе [9] для упругих композитов, т.е. микронеоднородных сред без диссипации. В случае же сжимаемой жидкости предел спектров ${{S}_{\varepsilon }}$ по Хаусдорфу “шире” усредненного спектра S за счет добавления дополнительной отрицательной вещественной точки –ξ. Отметим также, что для всех четырех моделей слоистых сред ${{F}_{\varepsilon }} \to F$ по Хаусдорфу при $\varepsilon \to 0$.
В заключение численно сравним точки спектров ${{F}_{\varepsilon }}$ и $F$ для двух образцов слоистой среды, занимающих полосу $0 < x < L$ при $L = 0.3$ м и отличающихся друг от друга только числом и толщиной слоев. Взятые образцы состоят из упругих слоев и слоев вязкой сжимаемой жидкости. Для первого образца принимаем $M = 5$, $\varepsilon = 0.06$, для второго – M = 10, ε = 0.03. Остальные их числовые характеристики берем следующие: $h = 0.1$, ${{\rho }_{1}}$ = = 2000 кг/м3, ${{\rho }_{2}} = $ 850 кг/м3, ${{\lambda }_{1}} = $ 2.5 ГПа, ${{\mu }_{1}} = $ 1.1 ГПа, ${{\eta }_{2}} = $ 1.1 Па ⋅ с, ${{\zeta }_{2}} = $ 1.8 Па ⋅ с, $\gamma = $0.9 ГПа.
В табл. 1 приведены первые три собственные частоты ${{\omega }_{k}}$ усредненной среды. Для этого были вычислены невещественные корни ${{c}_{k}} \pm i{{\omega }_{k}}$ уравнений (12) при k = 1, 2, 3. Далее, с помощью принципа аргумента и начальных приближений ${{c}_{k}} \pm i{{\omega }_{k}}$ находятся корни $c_{k}^{{(M)}} \pm i\omega _{k}^{{(M)}}$ трансцендентных уравнений (11) при k = 1, 2, 3. Значения собственных частот $\omega _{k}^{{(M)}}$ слоистой среды, состоящей из M периодов, выписаны в табл. 1.
Таблица 1
ωk, Гц | $\omega _{k}^{{(5)}}$, Гц | $\omega _{k}^{{(10)}}$, Гц | $\Delta \omega _{k}^{{(5)}}$, % | $\Delta \omega _{k}^{{(10)}}$, % | |
---|---|---|---|---|---|
k = 1 | 13865.6 | 13841.2 | 13859.6 | 0.176 | 0.043 |
k = 2 | 27731.2 | 27515.4 | 27682.4 | 0.784 | 0.176 |
k = 3 | 41596.7 | 40709.8 | 41425.2 | 2.179 | 0.414 |
В табл. 1 также приведены относительные погрешности $\Delta \omega _{k}^{{(M)}}$ собственных частот ${{\omega }_{k}}$, принимаемых в качестве приближенных значений собственных частот $\omega _{k}^{{(M)}}$. Как видно из табл. 1, увеличение числа периодов в 2 раза приводит к довольно значительному повышению точности приближенных значений ${{\omega }_{k}}$. Кроме того, $\omega _{k}^{{(5)}} < \omega _{k}^{{(10)}}$ < ωk, т.е. при увеличении числа периодов M значения $\omega _{k}^{{(M)}}$ приближаются к ${{\omega }_{k}}$ слева.
Список литературы
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.
Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Труды МИАН. 2016. Т. 295. С. 218–228.
Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Изв. РАН. МЖГ. 2013. № 1. С. 17–25.
Шумилова В.В. // Проблемы мат. анализа. 2013. Т. 73. С. 167–172.
Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Проблемы мат. анализа. 2012. Т. 63. С. 189–192.
Жиков В.В. // Мат. сб. 2000. Т. 191. № 7. С. 31–72.
Shumilova V.V. // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2013. V. 6. № 3. P. 349–356.
Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки