Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 66-70

Асимптотика спектров одномерных собственных колебаний в средах, состоящих из твердых и жидких слоев

А. С. Шамаев 1, В. В. Шумилова 1*

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: v.v.shumilova@mail.ru

Поступила в редакцию 24.12.2019
После доработки 03.03.2020
Принята к публикации 04.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследованы спектры одномерных собственных колебаний двухфазных слоистых сред с периодической структурой. В качестве первой фазы рассмотрен изотропный твердый (упругий или вязкоупругий) материал, а в качестве второй фазы – вязкая сжимаемая или несжимаемая жидкость. Установлено, что точками указанных спектров являются корни трансцендентных уравнений, число которых равно числу периодов, содержащихся в данном образце слоистой среды. Описано множество начальных приближений, используемых при численном решении этих уравнений для многослойных сред.

Ключевые слова: спектр, собственные колебания, двухфазная среда, усредненная среда

Исследование спектров собственных колебаний микронеоднородных сред, состоящих из твердого материала и жидкости, является актуальной задачей механики гетерогенных сред. Ее актуальность обусловлена, прежде всего, широким распространением подобных сред в природе и технике (водонасыщенные грунты, нефтеносные пласты, фильтры, суспензии и т.д.). Знание точек указанных спектров позволяет находить, в частности, такие важные динамические характеристики сред, как собственные частоты колебаний и коэффициенты затухания собственных колебаний.

Стоит отметить, что математическое описание динамики микронеоднородных сред часто основано на предположении о наличии у них периодической структуры. Если обозначить через ε сторону периодически повторяющейся ячейки, то исследование спектров собственных колебаний таких сред можно свести к спектральному анализу краевых задач для однородных систем дифференциальных уравнений с ε-периодическими коэффициентами. При численном поиске дискретной части спектров в качестве начальных приближений естественно принять собственные значения краевых задач, выведенных при $\varepsilon \to 0$ и описывающих спектры собственных колебаний соответствующих усредненных (эффективных) сред. В данной работе на примере четырех моделей слоистых сред, состоящих из твердого материала и вязкой жидкости, дается ответ на вопрос, насколько полным и точным является множество таких начальных приближений.

Рассмотрим неограниченную полосу 0 < $x < L$, заполненную двухфазной средой, состоящей из периодически повторяющихся твердых и жидких слоев. В качестве твердой фазы берется изотропный упругий материал или вязкоупругий материал Кельвина–Фойгта, а в качестве жидкой фазы – вязкая сжимаемая жидкость. Предполагается, что все слои параллельны плоскости $Oyz$, $M$ – общее число всех жидких слоев, а $\varepsilon h$ – толщина одного жидкого слоя, где $\varepsilon = \frac{L}{M}$, $0 < h < 1$. Обозначим через ${{\Omega }_{{1\varepsilon }}}$ (${{\Omega }_{{2\varepsilon }}}$) объединение всех твердых (соответственно жидких) слоев. В дальнейшем будем считать, что

${{\Omega }_{{s\varepsilon }}} = {{D}_{{s\varepsilon }}} \times {{\mathbb{R}}^{2}}\quad (s = 1,2),\quad {{D}_{{1\varepsilon }}} = (0,L){\backslash }\overline {{{D}_{{2\varepsilon }}}} ,$
${{D}_{{2\varepsilon }}} = \bigcup\limits_{m = 0}^{M - 1} {(\varepsilon {{h}_{{1m}}},\varepsilon {{h}_{{2m}}})} ,\quad {{h}_{{sm}}} = \frac{{1 + {{{( - 1)}}^{s}}h}}{2} + m.$

Математическая модель, описывающая одномерные колебания в слоистой среде вдоль оси Ox, имеет вид

(1)
${{\rho }_{s}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{{\partial {{\sigma }^{\varepsilon }}}}{{\partial x}} + f(x,t),\quad x \in {{D}_{{s\varepsilon }}},\quad s = 1,2,$
(2)
${{u}^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0,t) = {{u}^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0,t),$
(3)
${{\sigma }^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0,t) = {{\sigma }^{\varepsilon }}(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0,t),$
(4)
${{u}^{\varepsilon }}(0,t) = {{u}^{\varepsilon }}(L,t) = 0,\quad {{u}^{\varepsilon }}(x,0) = \frac{{\partial {{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial t}}(x,0) = 0,$
$s = 1,2;\quad m = 0,\; \ldots ,\;M - 1,$
где ${{u}^{\varepsilon }}(x,t)$ – смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу x в момент времени t; ${{\rho }_{s}} = {\text{const}} > 0$ – плотность среды в ${{\Omega }_{{s\varepsilon }}}$; $f(x,t)$ – внешняя сила, действующая вдоль оси Ox,

${{\sigma }^{\varepsilon }} = ({{\lambda }_{1}} + 2{{\mu }_{1}})\frac{{\partial {{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x}} + ({{\zeta }_{1}} + 2\eta {}_{1})\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x\partial t}},\quad x \in {{D}_{{1\varepsilon }}},$
(5)
$\begin{gathered} {{\sigma }^{\varepsilon }} = - {{p}^{\varepsilon }} + ({{\zeta }_{2}} + 2{{\eta }_{2}})\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x\partial t}}, \\ {{p}^{\varepsilon }} = - \gamma \frac{{\partial {{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x}},\quad x \in {{D}_{{2\varepsilon }}}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\lambda }_{1}}$ и ${{\mu }_{1}}$ – параметры Ламе твердого материала; ${{\kappa }_{s}} = {{\zeta }_{s}} + \frac{2}{3}{{\eta }_{s}}$ и ${{\eta }_{s}}$ – коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости в ${{\Omega }_{{s\varepsilon }}}$ [1]; ${{p}^{\varepsilon }}(x,t)$ – давление в жидкости; γ – объемный модуль упругости жидкости [2]. В частности, если твердой фазой является упругий материал, то полагается ${{\zeta }_{1}} = {{\eta }_{1}}$ = 0.

Применяя преобразование Лапласа ${{u}^{\varepsilon }}(x,t)$ → → $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$, запишем задачу (1)–(4) при $f(x,t) \equiv 0$ в изображениях Лапласа:

(6)
${{\lambda }^{2}}{{\rho }_{s}}u_{\lambda }^{\varepsilon } = \frac{{\partial \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }}}{{\partial x}},\quad x \in {{D}_{{s\varepsilon }}},\quad s = 1,2,$
(7)
$\begin{gathered} u_{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0) = u_{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0), \\ \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} - 0) = \sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(\varepsilon {{h}_{{sm}}} + 0), \\ \end{gathered} $
(8)
$u_{\lambda }^{\varepsilon }(0) = u_{\lambda }^{\varepsilon }(L) = 0,\quad s = 1,2;\quad m = 0,\; \ldots ,\;M - 1,$
где

$\sigma _{\lambda }^{\varepsilon } = ({{a}_{s}} + \lambda {{b}_{s}})\frac{{\partial u_{\lambda }^{\varepsilon }}}{{\partial x}},\quad x \in {{D}_{{s\varepsilon }}},\quad {{a}_{1}} = {{\lambda }_{1}} + 2{{\mu }_{1}},$
${{a}_{2}} = \gamma ,\quad {{b}_{s}} = {{\zeta }_{s}} + 2{{\eta }_{s}}.$

В дальнейшем под спектром собственных колебаний слоистой среды, перпендикулярных ее слоям, понимается множество ${{S}_{\varepsilon }}$ всех комплексных значений λ, при которых задача (6)–(8) имеет нетривиальные решения $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$. При этом множество Fε = {ω: $\omega = \left| {\operatorname{Im} \lambda } \right|,\lambda \in {{S}_{\varepsilon }}\} $ представляет собой спектр собственных частот колебаний слоистой среды вдоль оси Ox.

Чтобы найти элементы множества ${{S}_{\varepsilon }}$, сначала зафиксируем целое число m ($0 \leqslant m \leqslant M - 1$). Выписывая решения $u_{\lambda }^{\varepsilon }(x)$ уравнений (6) при $x \in (\varepsilon m,\varepsilon {{h}_{{1m}}})$, $x \in (\varepsilon {{h}_{{1m}}},\varepsilon {{h}_{{2m}}})$ и $x \in (\varepsilon {{h}_{{2m}}},\varepsilon (m + 1))$, а затем используя условия непрерывности перемещений и напряжений (7) на границах слоев, получаем

(9)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\lambda }^{\varepsilon }((m + 1)\varepsilon )} \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }((m + 1)\varepsilon )} \end{array}} \right) = \frac{1}{4}W_{\lambda }^{\varepsilon }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\lambda }^{\varepsilon }(m\varepsilon )} \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(m\varepsilon )} \end{array}} \right),$
где $W_{\lambda }^{\varepsilon }$ – квадратная матрица 2-го порядка,
$\begin{gathered} {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{11}}} = {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{22}}} = \\ = \sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}}}{{{{B}_{{1\lambda }}}{{B}_{{2\lambda }}}}}} \operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{( - 1)}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{12}}} = \sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}}}{{\lambda B_{{1\lambda }}^{2}{{B}_{{2\lambda }}}}}} \times \\ \times \;\operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{( - 1)}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }) - \frac{{2{{Q}_{{1\lambda }}}{{Q}_{{2\lambda }}}}}{{\lambda B_{{1\lambda }}^{2}{{B}_{{2\lambda }}}}}\operatorname{sh} K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }, \\ \end{gathered} $
${{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{21}}} = {{\lambda }^{2}}B_{{1\lambda }}^{2}{{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{12}}} + \frac{{4\lambda {{Q}_{{1\lambda }}}{{Q}_{{2\lambda }}}}}{{{{B}_{{2\lambda }}}}}\operatorname{sh} K_{{2\lambda }}^{\varepsilon },$
где

${{Q}_{{n\lambda }}} = {{B}_{{2\lambda }}} + {{( - 1)}^{n}}{{B}_{{1\lambda }}},\quad {{B}_{{s\lambda }}} = \sqrt {{{\rho }_{s}}({{a}_{s}} + \lambda {{b}_{s}})} ,$
$K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } = \varepsilon \lambda (1 - h)\sqrt {\frac{{{{\rho }_{1}}}}{{{{a}_{1}} + \lambda {{b}_{1}}}}} ,\quad K_{{2\lambda }}^{\varepsilon } = \varepsilon \lambda h\sqrt {\frac{{{{\rho }_{2}}}}{{{{a}_{2}} + \lambda {{b}_{2}}}}} .$

Так как элементы матрицы $W_{\lambda }^{\varepsilon }$ не зависят от числа m, то из (8) и (9) получаем равенство

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(L)} \end{array}} \right) = \frac{1}{{{{4}^{M}}}}H_{\lambda }^{\varepsilon }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\sigma _{\lambda }^{\varepsilon }(0)} \end{array}} \right),\quad H_{\lambda }^{\varepsilon } = {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}^{M}},$
из которого следует, что точками спектра Sε являются корни уравнения ${{(H_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{12}}} = 0$. Выражая ${{(H_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{12}}}$ через элементы матрицы $W_{\lambda }^{\varepsilon }$, можно показать, что последнее уравнение разбивается на M уравнений [3]

$\begin{gathered} {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{12}}} = 0,\quad {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{11}}} + {{(W_{\lambda }^{\varepsilon })}_{{22}}} = 8\cos \frac{{\pi k}}{M}, \\ k = 1,\; \ldots ,\;M - 1. \\ \end{gathered} $

Таким образом, точками спектра ${{S}_{\varepsilon }}$ являются корни следующих M трансцендентных уравнений:

(10)
$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^2 {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}}}{\lambda }} \operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{( - 1)}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }) = \\ = \frac{{2{{Q}_{{1\lambda }}}{{Q}_{{2\lambda }}}}}{\lambda }\operatorname{sh} K_{{2\lambda }}^{\varepsilon }, \\ \end{gathered} $
(11)
$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^2 {{{{( - 1)}}^{n}}Q_{{n\lambda }}^{2}\operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon } + {{{( - 1)}}^{n}}K_{{2\lambda }}^{\varepsilon })} = \\ = 4{{B}_{{1\lambda }}}{{B}_{{2\lambda }}}\cos \frac{{\pi k}}{M}, \\ \end{gathered} $
$k = 1,\; \ldots ,\;M - 1.$

Исследование поведения корней этих уравнений показывает, что если $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ – корни уравнения (10) и $\lambda (\varepsilon ) \to {{\lambda }_{0}} < \infty $ при $\varepsilon \to 0$, то

$\begin{gathered} {{\lambda }_{0}} = - \frac{{{{a}_{{12}}}}}{{{{b}_{{12}}}}},\quad {{a}_{{12}}} = {{a}_{1}}h + {{a}_{2}}(1 - h), \\ {{b}_{{12}}} = {{b}_{1}}h + {{b}_{2}}(1 - h). \\ \end{gathered} $

Если же $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ – корни k-го уравнения (11) и $\lambda (\varepsilon ) \to {{\lambda }_{k}} < \infty $ при $\varepsilon \to 0$, то ${{\lambda }_{k}}$ совпадает с одним из корней ${{\lambda }_{{ik}}}$ ($i = 1,2,3$) уравнения

(12)
$\begin{gathered} {{\lambda }^{3}} + \frac{{{{a}_{{12}}} + {{b}_{1}}{{b}_{2}}{{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}}{{\lambda }^{2}} + \\ + \,\,\frac{{({{a}_{1}}{{b}_{2}} + {{a}_{2}}{{b}_{1}}){{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}}\lambda + \frac{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{C}_{k}}}}{{{{b}_{{12}}}}} = 0, \\ \end{gathered} $
${{C}_{k}} = \frac{{\pi k}}{{\rho {{L}^{2}}}},\quad \rho = {{\rho }_{1}}(1 - h) + {{\rho }_{2}}h.$

Для прояснения механического смысла пределов ${{\lambda }_{k}}$ выпишем математическую модель одномерных колебаний усредненной среды вдоль оси Ox:

$\begin{gathered} \rho \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \alpha \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \beta \frac{{{{\partial }^{3}}u}}{{\partial {{x}^{2}}\partial t}} - \\ - \;q{{e}^{{ - \xi t}}} * \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + f(x,t),\quad x \in (0,L), \\ \end{gathered} $
$u(0,t) = u(L,t) = 0,\quad u(x,0) = \frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,0) = 0,$
где символ “*” означает операцию свёртки по переменной t,

$\begin{gathered} \alpha = \frac{{{{a}_{1}}b_{2}^{2}(1 - h) + {{a}_{2}}b_{1}^{2}h}}{{b_{{12}}^{2}}},\quad \beta = \frac{{{{b}_{1}}{{b}_{2}}}}{{{{b}_{{12}}}}}, \\ q = \frac{{h(1 - h)}}{{b_{{12}}^{3}}}{{({{a}_{1}}{{b}_{2}} - {{a}_{2}}{{b}_{1}})}^{2}},\quad \xi = - {{\lambda }_{0}}. \\ \end{gathered} $

В дальнейшем через $S$ мы будем обозначать спектр собственных колебаний усредненной среды вдоль оси Ox, определяемый аналогично спектру ${{S}_{\varepsilon }}$. Согласно результатам работы [4], спектр $S$ в точности состоит из объединения корней ${{\lambda }_{{ik}}}$ кубических уравнений (12) при всех $k \in \mathbb{N}$. Интересно отметить, что структура спектра S зависит от того, равен нулю коэффициент β в уравнении (12) или нет. Если исходная среда состоит из упругих и жидких слоев, то β = 0 и спектр S содержит бесконечную невещественную часть, а значит, спектр $F = \{ \omega {\text{:}}\;\omega = \left| {\operatorname{Im} \lambda } \right|,\lambda \in S\} $ собственных частот колебаний усредненной среды вдоль оси Ox – бесконечное множество [5]. Если же среда состоит из вязкоупругих и жидких слоев, то $\beta > 0$ и спектр $S$ является либо полностью вещественным, либо содержит только конечную невещественную часть [56]. Следовательно, для такой среды спектр F – конечное множество (в частности, оно может быть пустым).

Полученные результаты совместно с теоремой Руше означают следующее:

1) для любой точки $\lambda \in S$ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to \lambda $ при $\varepsilon \to 0$;

2) для точки –ξ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to - \xi $ при $\varepsilon \to 0$;

3) все конечные пределы последовательностей ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ принадлежат $S \cup \{ - \xi \} $.

Тем самым доказано, что имеет место сходимость по Хаусдорфу ${{S}_{\varepsilon }} \to S \cup \{ - \xi \} $ [7]. Это означает, в частности, что при численном поиске точек спектра ${{S}_{\varepsilon }}$ (например, с помощью принципа аргумента) в качестве начальных приближений следует брать не только точки спектра $S$, но и отрицательную вещественную точку –ξ.

Аналогично исследуется спектр ${{S}_{\varepsilon }}$ одномерных собственных колебаний слоистой среды, отличающейся от рассмотренной только тем, что ее жидкой фазой является вязкая несжимаемая жидкость. В этом случае исходная математическая модель также записывается в виде задачи (1)–(4), но вместо условий (5) выполняются условия

${{\sigma }^{\varepsilon }} = - {{p}^{\varepsilon }},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\varepsilon }}}}{{\partial x\partial t}} = 0,\quad x \in {{D}_{{2\varepsilon }}}$
(здесь второе уравнение есть следствие условия несжимаемости жидкости).

Переходя к изображениям Лапласа и повторяя приведенные выше рассуждения, можно показать, что спектр ${{S}_{\varepsilon }}$ состоит из корней M трансцендентных уравнений

(13)
$\frac{1}{\lambda }\operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) + \frac{{{{\rho }_{2}}\varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}}\operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) = \frac{{{{\rho }_{2}}\varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}},$
(14)
$\begin{gathered} \operatorname{ch} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) + \frac{{{{\rho }_{2}}\lambda \varepsilon h}}{{2{{B}_{{1\lambda }}}}}\operatorname{sh} (K_{{1\lambda }}^{\varepsilon }) = \cos \frac{{\pi k}}{M}, \\ k = 1,\; \ldots ,\;M - 1. \\ \end{gathered} $

Исследование корней этих уравнений показывает, что последовательности корней $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ уравнений (13) не имеют конечных пределов при $\varepsilon \to 0$, в то время как конечными пределами последовательностей корней $\lambda = \lambda (\varepsilon )$ уравнений (14) при фиксированном k являются корни квадратных уравнений

${{\lambda }^{2}} + \frac{{{{b}_{1}}{{C}_{k}}}}{{1 - h}}\lambda + \frac{{{{a}_{1}}{{C}_{k}}}}{{1 - h}} = 0.$

Объединение корней этих уравнений при всех $k \in \mathbb{N}$ представляет собой спектр $S$ собственных колебаний вдоль оси Ox соответствующей усредненной среды [8]. Нетрудно видеть, что в случае упругих слоев спектр $S$ состоит из бесконечной невещественной части, а в случае вязкоупругих слоев невещественная часть спектра S либо отсутствует, либо конечна. Таким образом, в первом случае спектр F собственных частот колебаний – бесконечное, а во втором случае – конечное множество.

Привлекая теорему Руше, получаем следующий результат:

1) для любой точки $\lambda \in S$ найдется последовательность ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ такая, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} \to \lambda $ при $\varepsilon \to 0$;

2) все конечные пределы последовательностей ${{\lambda }_{\varepsilon }} \in {{S}_{\varepsilon }}$ принадлежат S. Тем самым установлена сходимость по Хаусдорфу ${{S}_{\varepsilon }} \to S$ при $\varepsilon \to 0$.

Анализируя результаты, полученные для четырех моделей слоистых сред, мы обнаруживаем следующий интересный факт. В случае несжимаемой жидкости предел спектров ${{S}_{\varepsilon }}$ по Хаусдорфу в точности совпадает с “усредненным” спектром S. Подобное предельное поведение спектров ранее было установлено в работе [9] для упругих композитов, т.е. микронеоднородных сред без диссипации. В случае же сжимаемой жидкости предел спектров ${{S}_{\varepsilon }}$ по Хаусдорфу “шире” усредненного спектра S за счет добавления дополнительной отрицательной вещественной точки –ξ. Отметим также, что для всех четырех моделей слоистых сред ${{F}_{\varepsilon }} \to F$ по Хаусдорфу при $\varepsilon \to 0$.

В заключение численно сравним точки спектров ${{F}_{\varepsilon }}$ и $F$ для двух образцов слоистой среды, занимающих полосу $0 < x < L$ при $L = 0.3$ м и отличающихся друг от друга только числом и толщиной слоев. Взятые образцы состоят из упругих слоев и слоев вязкой сжимаемой жидкости. Для первого образца принимаем $M = 5$, $\varepsilon = 0.06$, для второго – M = 10, ε = 0.03. Остальные их числовые характеристики берем следующие: $h = 0.1$, ${{\rho }_{1}}$ = = 2000 кг/м3, ${{\rho }_{2}} = $ 850 кг/м3, ${{\lambda }_{1}} = $ 2.5 ГПа, ${{\mu }_{1}} = $ 1.1 ГПа, ${{\eta }_{2}} = $ 1.1 Па ⋅ с, ${{\zeta }_{2}} = $ 1.8 Па ⋅ с, $\gamma = $0.9 ГПа.

В табл. 1 приведены первые три собственные частоты ${{\omega }_{k}}$ усредненной среды. Для этого были вычислены невещественные корни ${{c}_{k}} \pm i{{\omega }_{k}}$ уравнений (12) при k = 1, 2, 3. Далее, с помощью принципа аргумента и начальных приближений ${{c}_{k}} \pm i{{\omega }_{k}}$ находятся корни $c_{k}^{{(M)}} \pm i\omega _{k}^{{(M)}}$ трансцендентных уравнений (11) при k = 1, 2, 3. Значения собственных частот $\omega _{k}^{{(M)}}$ слоистой среды, состоящей из M периодов, выписаны в табл. 1.

Таблица 1
  ωk, Гц $\omega _{k}^{{(5)}}$, Гц $\omega _{k}^{{(10)}}$, Гц $\Delta \omega _{k}^{{(5)}}$, % $\Delta \omega _{k}^{{(10)}}$, %
k = 1 13865.6 13841.2 13859.6 0.176 0.043
k = 2 27731.2 27515.4 27682.4 0.784 0.176
k = 3 41596.7 40709.8 41425.2 2.179 0.414

В табл. 1 также приведены относительные погрешности $\Delta \omega _{k}^{{(M)}}$ собственных частот ${{\omega }_{k}}$, принимаемых в качестве приближенных значений собственных частот $\omega _{k}^{{(M)}}$. Как видно из табл. 1, увеличение числа периодов в 2 раза приводит к довольно значительному повышению точности приближенных значений ${{\omega }_{k}}$. Кроме того, $\omega _{k}^{{(5)}} < \omega _{k}^{{(10)}}$ < ωk, т.е. при увеличении числа периодов M значения $\omega _{k}^{{(M)}}$ приближаются к ${{\omega }_{k}}$ слева.

Список литературы

  1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

  2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

  3. Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Труды МИАН. 2016. Т. 295. С. 218–228.

  4. Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Изв. РАН. МЖГ. 2013. № 1. С. 17–25.

  5. Шумилова В.В. // Проблемы мат. анализа. 2013. Т. 73. С. 167–172.

  6. Шамаев А.С., Шумилова В.В. // Проблемы мат. анализа. 2012. Т. 63. С. 189–192.

  7. Жиков В.В. // Мат. сб. 2000. Т. 191. № 7. С. 31–72.

  8. Shumilova V.V. // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2013. V. 6. № 3. P. 349–356.

  9. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.