Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 7-11

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КВАЗИТВЕРДЫХ СОСТОЯНИЙ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

А. А. Зеленина 1*, Л. М. Зубов 2**

1 Ростовский государственный университет путей сообщения
Ростов-на-Дону, Россия

2 Южный федеральный университет
Ростов-на-Дону, Россия

* E-mail: a.zelenina@gmail.com
** E-mail: zubovl@yandex.ru

Поступила в редакцию 11.12.2019
После доработки 08.02.2020
Принята к публикации 10.02.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена нелинейная теория квазитвердых состояний микрополярных упругих тел. Квазитвердые состояния являются трехмерным аналогом изгибания поверхностей и возможны только при наличии распределенных дислокаций. Найдены точные решения задач о сильном изгибе и кручении микрополярных тел в условиях квазитвердого состояния. Установлено, что нелинейная теория, в отличие от линейной, допускает существование самоуравновешенных квазитвердых состояний.

Ключевые слова: моментные напряжения, конечные вращения, распределенные дислокации, изгиб и кручение, универсальные решения, самоуравновешенные состояния

Квазитвердыми состояниями равновесия упругого микрополярного тела называются такие, в которых метрические деформации отсутствуют в каждой точке среды, а тензор изгибных деформаций не равен нулю тождественно. Здесь предполагается, что на тело действуют только массовые и поверхностные моментные нагрузки, а внешние силовые нагрузки отсутствуют. В квазитвердом состоянии каждый элементарный объем среды ведет себя как абсолютно твердое тело, а поле вращений неоднородно. Квазитвердые состояния можно считать трехмерным аналогом изгибания поверхностей, поскольку при изгибании, т.е. изометрической деформации, каждая элементарная площадка поверхности перемещается как абсолютно твердое тело. В трехмерных телах при обычных условиях изгибания (т.е. квазитвердые состояния) невозможны. Однако они становятся осуществимыми при наличии непрерывно распределенных дислокаций. Ранее [1] была построена линейная теория квазитвердых состояний микрополярных сред. В представленной работе развит нелинейный вариант теории. В нелинейной теории микрополярной упругости деформации и вращения не считаются малыми и могут принимать произвольные значения. Сформулирована нелинейная краевая задача, описывающая квазитвердое состояние микрополярного тела при больших локальных вращениях. Путем решения этой краевой задачи найдены квазитвердые состояния призматических стержней при сильном изгибе и кручении. В классе изотропных нелинейно упругих микрополярных материалов найден ряд универсальных решений о квазитвердых состояниях кругового цилиндра и шара. Установлено качественное отличие нелинейного подхода от линейной теории. Оно состоит в том, что нелинейная теория допускает существование самоуравновешенных (т.е. не требующих приложения внешних нагрузок) квазитвердых состояний микрополярных тел.

1. Микрополярным телом, или континуумом Коссера, называют сплошную среду с моментными напряжениями и вращательным взаимодействием частиц. Основные положения нелинейной теории континуума Коссера изложены в работах [27]. Нелинейная деформация микрополярного континуума определяется двумя кинематически независимыми полями перемещений и вращений

(1)
${\mathbf{R}} = {\mathbf{R}}({\mathbf{r}}) = {\mathbf{r}} + {\mathbf{u}}({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{H}} = {\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$
${\mathbf{r}} = {{x}_{s}}{{{\mathbf{i}}}_{s}},\quad {\mathbf{R}} = {{X}_{k}}{{{\mathbf{i}}}_{k}},\quad s,k = 1,2,3.$

Здесь ${{x}_{s}}$ и ${{X}_{k}}$ – декартовы координаты, соответственно, отсчетной и деформированной конфигураций тела, ${{{\mathbf{i}}}_{s}}$ – постоянные координатные орты, u – векторное поле перемещений, H – собственно ортогональный тензор, описывающий вращательные степени свободы частиц микрополярной среды и называемый тензором вращений. Система уравнений, описывающих большие статические деформации микрополярной упругой среды, включает в себя три группы соотношений [5, 6]:

уравнения равновесия для напряжений и моментных напряжений

(2)
${\text{div}}({\mathbf{P}} \cdot {\mathbf{H}}) + \rho {\mathbf{b}} = 0,$
(3)
${\text{div}}({\mathbf{K}} \cdot {\mathbf{H}}) + {{({{{\mathbf{F}}}^{T}} \cdot {\mathbf{P}} \cdot {\mathbf{H}})}_{ \times }} + \rho {\mathbf{l}} = 0,$
определяющие соотношения материала
(4)
${\mathbf{P}}({\mathbf{E}},{\mathbf{L}}) = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{E}}}},\quad {\mathbf{K}}({\mathbf{E}},{\mathbf{L}}) = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{L}}}},\quad W = W({\mathbf{E}},{\mathbf{L}})$
и геометрические соотношения

(5)
${\mathbf{E}} = {\mathbf{F}} \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}},{\mathbf{F}} = {\text{grad}}{\mathbf{R}},$
(6)
${\mathbf{L}} = \frac{1}{2}{\mathbf{I}}{\text{tr}}[{\mathbf{H}} \cdot {{({\text{rot}}{\mathbf{H}})}^{T}}] - {\mathbf{H}} \cdot {{({\text{rot}}{\mathbf{H}})}^{T}}.$

В (1)–(6) P – тензор силовых напряжений типа Кирхгофа, K – тензор моментных напряжений типа Кирхгофа, $\rho $ – плотность материала в отсчетной конфигурации, ${\mathbf{b}}$ и ${\mathbf{l}}$ – векторы массовых сил и моментов, $W$ – удельная энергия деформации, ${\mathbf{I}}$ – единичный тензор, ${\mathbf{E}}$ – мера деформации, ${\mathbf{L}}$ – тензор изгибной деформации, ${\mathbf{F}}$ – тензор дисторсии. Символами grad, div, rot обозначены операторы градиента, дивергенции и ротора в координатах отсчетной конфигурации тела, а символ ${{{\mathbf{T}}}_{ \times }} = {{t}_{{sk}}}{{{\mathbf{i}}}_{s}} \times {{{\mathbf{i}}}_{k}}$ означает векторный инвариант тензора второго ранга ${\mathbf{T}} = {{t}_{{sk}}}{{{\mathbf{i}}}_{s}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{k}}$. Если на границе тела действуют распределенная силовая нагрузка плотности f и распределенная моментная нагрузка плотности ${\mathbf{m}}$, то краевые условия имеют вид

(7)
${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{P}} \cdot {\mathbf{H}} = {\mathbf{f}},\quad {\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{K}} \cdot {\mathbf{H}} = {\mathbf{m}},$
где n – нормаль к поверхности тела в отсчетной конфигурации.

Граничные условия (7) согласованы с вариационной постановкой задачи о равновесии микрополярного упругого тела [5].

2. Если в теле распределены дислокации с тензорной плотностью $\alpha $, то поле перемещений ${\mathbf{u}}({\mathbf{r}})$ и векторное поле ${\mathbf{R}}({\mathbf{r}})$ не существуют, а второе равенство в (5) заменяется уравнением несовместности [8, 9]

(8)
${\text{rot}}{\mathbf{F}} = {\mathbf{\alpha }},$
в котором тензор α должен удовлетворять условию соленоидальности ${\text{div}}{\mathbf{\alpha }} = 0$. Ниже будет использоваться также модифицированный тензор плотности дислокаций ${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = {\mathbf{\alpha }} \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}}$. Учитывая (5), уравнение несовместности (8) можно записать иначе:

(9)
$\left[ {{\text{rot}}({\mathbf{E}} \cdot {\mathbf{H}})} \right] \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}} = {{{\mathbf{\alpha }}}_{0}}.$

Для дальнейшего будет полезна другая форма уравнений равновесия (2), (3), полученная ранее [9]:

(10)
${\text{div}}{\mathbf{P}} - {{({{{\mathbf{P}}}^{T}} \cdot {\mathbf{L}})}_{ \times }} + \rho {{{\mathbf{b}}}_{0}} = 0,$
(11)
${\text{div}}{\mathbf{K}} - {{({{{\mathbf{K}}}^{T}} \cdot {\mathbf{L}} + {{{\mathbf{P}}}^{T}} \cdot {\mathbf{E}})}_{ \times }} + \rho {{{\mathbf{l}}}_{0}} = 0,$
${{{\mathbf{b}}}_{0}} = {\mathbf{b}} \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}},\quad {{{\mathbf{l}}}_{0}} = {\mathbf{l}} \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}}.$

Будем считать микрополярный материал таким, что силовые напряжения в нем отсутствуют, если тензор метрических деформаций EI равен нулю:

(12)
${\mathbf{P}}({\mathbf{I}},{\mathbf{L}}) = 0.$

Свойство (12) выполняется, в частности, для модели физически линейной изотропной моментной среды, определяющие соотношения которой имеют вид [3, 5, 10]

(13)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{P}} = \lambda {\mathbf{I}}{\text{tr}}({\mathbf{E}} - {\mathbf{I}}) + (\mu + \beta )({\mathbf{E}} - {\mathbf{I}}) + (\mu - \beta )({{{\mathbf{E}}}^{T}} - {\mathbf{I}}),} \\ {{\mathbf{K}} = \nu {\mathbf{I}}{\text{tr}}{\mathbf{L}} + (\gamma + \eta ){\mathbf{L}} + (\gamma - \eta ){{{\mathbf{L}}}^{T}},} \end{array}$
где $\lambda $, $\mu $, $\beta $, $\eta $, $\gamma $, $\nu $ – материальные постоянные.

3. Предположим, что к телу приложены только моментные массовые и поверхностные нагрузки, а внешние силы ${\mathbf{b}}$ и ${\mathbf{f}}$, распределенные по объему и поверхности тела, отсутствуют. Будем разыскивать такие состояния нелинейно упругого микрополярного тела, в которых тензор метрических деформаций E = I равен нулю в каждой точке тела, но тензор ${\mathbf{L}}$ не равен нулю тождественно. Это возможно только при наличии непрерывно распределенных дислокаций. В самом деле, равенство E = I согласно (5) означает, что дисторсия ${\mathbf{F}}$ – ортогональный тензор. Поскольку уравнение (8) при α = 0 имеет в классе ортогональных тензоров только постоянные решения, тензор изгибной деформации ${\mathbf{L}}$ в силу (6) тождественно равен нулю. Значит случай, когда EI, ${\mathbf{L}} \ne 0$ при отсутствии дислокаций невозможен. Состояния тела с нулевыми метрическими деформациями называются квазитвердыми, так как удлинения и сдвиги в каждом элементарном объеме среды равны нулю и он ведет себя как абсолютно твердое тело. Поле вращений элементарных объемов неоднородно, а сами вращения в рамках нелинейной теории могут быть произвольно большими. Согласно (12) силовые напряжения в квазитвердом состоянии равны нулю. Следовательно, квазитвердое состояние можно называть также чисто моментным напряженным состоянием тела. Вырожденный случай, в котором поле вращений однородно (${\mathbf{H}} = {\text{const}}$), будем называть тривиальным квазитвердым состоянием. Этот случай соответствует движению всего тела как абсолютно твердого.

Не следует смешивать квазитвердые состояния [1] микрополярного упругого тела с состояниями, в которых поле перемещений тождественно равно нулю. В первом случае силовые напряжения равны нулю, а во втором случае тензор силовых напряжений Коши несимметричен и отличен от нуля.

В соответствии с (10)–(12) квазитвердое состояние нелинейно упругого микрополярного тела, занимающего область ${v}$ с границей $\partial {v}$, описывается следующей краевой задачей для тензорного поля вращений ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$:

(14)
${\text{div}}{\mathbf{K}} - {{({{{\mathbf{K}}}^{T}} \cdot {\mathbf{L}})}_{ \times }} + \rho {{{\mathbf{l}}}_{0}} = 0,$
(15)
${\mathbf{K}} = \Phi ({\mathbf{L}}) = \frac{{dW({\mathbf{I}},{\mathbf{L}})}}{{d{\mathbf{L}}}},$
(16)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{1}}{\text{:}}\,\,{\mathbf{H}} = {{{\mathbf{H}}}_{*}}({\mathbf{r}});\quad {{\sigma }_{2}}{\text{:}}\,\,{\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{K}} \cdot {\mathbf{H}} = {\mathbf{m}}({\mathbf{r}}); \\ \partial {v} = {{\sigma }_{1}} \cup {{\sigma }_{2}}. \\ \end{gathered} $

Здесь σ1 – часть поверхности тела, на которой задано поле вращений. На части границы ${{\sigma }_{2}}$ задана распределенная моментная нагрузка. Тензор ${\mathbf{L}}$ предполагается выраженным через неизвестную функцию ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$ по формуле (6). Тензорное поле плотности дислокаций, реализующее квазитвердое состояние, согласно (9) выражается через решение краевой задачи (14)–(16) следующим образом:

(17)
${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = ({\text{rot}}{\mathbf{H}}) \cdot {{{\mathbf{H}}}^{T}}.$

Квазитвердое состояние микрополярной среды существует не при любом тензорном поле модифицированной плотности дислокаций α0. Необходимое условие существования квазитвердого состояния получается путем исключения ортогонального тензорного поля H из уравнения (17) и имеет вид

(18)
$\begin{gathered} {\text{rot}}\left( {\frac{1}{2}{\mathbf{I}}{\text{tr}}{{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} - {\mathbf{\alpha }}_{0}^{T}} \right) + {\mathbf{\alpha }}_{0}^{2} - \\ - \;\frac{1}{2}{{{\mathbf{\alpha }}}_{0}}{\text{tr}}{{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} + \frac{1}{4}\left( {{\text{t}}{{{\text{r}}}^{2}}{{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} - \frac{1}{2}{\text{tr}}{\mathbf{\alpha }}_{0}^{2}} \right){\mathbf{I}} = 0. \\ \end{gathered} $

Можно проверить, что уравнение (18) влечет выполнение требования соленоидальности тензора ${\mathbf{\alpha }} = {{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} \cdot {\mathbf{H}}$. Уравнение (18) имеет очевидное решение ${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = 0$, которое соответствует тривиальному квазитвердому состоянию.

4. Сплошную среду, не обладающую моментными напряжениями и описываемую обычной моделью нелинейно упругого тела [11], принято называть простым, или неполярным, материалом. Квазитвердое состояние неполярной среды – это состояние с нулевой упругой энергией, нулевыми напряжениями и неоднородным полем вращений элементарных объемов. Примеры квазитвердых состояний неполярных упругих тел с конечными локальными вращениями приведены в [1214]. Указаны [12] простые распределения дислокаций, при которых призматический брус закручивается или изгибается без всякого сопротивления, т.е. без появления напряжений. В [13, 14] найдены сферически симметричные квазитвердые состояния неполярной среды. В случае неполярной среды уравнение (18) является не только необходимым, но и достаточным условием существования квазитвердого состояния.

5. Рассмотрим некоторые решения краевой задачи (14)–(16), описывающей квазитвердые состояния изотропного микрополярного тела. Условие изотропности накладывает [15] следующее ограничение на функцию отклика материала $\Phi ({\mathbf{L}})$ в (15):

(19)
$\Phi [({\text{det}}{\mathbf{Q}}){\mathbf{Q}} \cdot {\mathbf{L}} \cdot {{{\mathbf{Q}}}^{T}}] = ({\text{det}}{\mathbf{Q}}){\mathbf{Q}} \cdot \Phi ({\mathbf{L}}) \cdot {{{\mathbf{Q}}}^{T}},$
где Q – любой ортогональный тензор.

Будем искать тензорное поле вращений в виде ($a = {\text{const}}$)

(20)
${\mathbf{H}} = {{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{3}},$
$\begin{gathered} {{{\mathbf{e}}}_{2}} = {{{\mathbf{i}}}_{2}}{\text{cos}}a{{x}_{2}} - {{{\mathbf{i}}}_{3}}{\text{sin}}a{{x}_{2}}, \\ {{{\mathbf{e}}}_{3}} = {{{\mathbf{i}}}_{2}}{\text{sin}}a{{x}_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{\text{cos}}a{{x}_{2}}. \\ \end{gathered} $

При помощи (6), (20) вычислим тензор изгибной деформации: ${\mathbf{L}} = - a{{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}}$. На основании (19) методом [15] доказывается, что для любого изотропного однородного тела тензор моментных напряжений имеет вид ${\mathbf{K}} = {{K}_{{12}}}{{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes \,\,{{{\mathbf{i}}}_{2}} + {{K}_{{21}}}{{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes \,\,{{{\mathbf{i}}}_{1}}$. Здесь ${{K}_{{12}}}$ и ${{K}_{{21}}}$ – постоянные величины. Уравнение равновесия (14) при l0 = 0 удовлетворяется тождественно. Полученное решение описывает цилиндрический изгиб прямоугольной плиты, лицевые грани которой ${{x}_{3}} = {\text{const}}$ свободны от нагрузки. Изгиб происходит в плоскости ${{x}_{2}}{{x}_{3}}$. Согласно (17), (20) данное квазитвердое состояние обеспечивается равномерным распределением краевых дислокаций с плотностью ${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = a{{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{2}}$.

Другим примером однородного чисто моментного состояния может служить кручение призматического бруса произвольного поперечного сечения. В этом случае тензор вращений задается формулой ($\psi = {\text{const}}$)

(21)
$\begin{gathered} {\mathbf{H}} = ({{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{2}}){\text{cos}}\psi {{x}_{3}} + \\ + \;({{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{2}} - {{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}}){\text{sin}}\psi {{x}_{3}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}, \\ \end{gathered} $
которая описывает конечный поворот поперечного сечения стержня на угол $\psi {{x}_{3}}$ вокруг орта ${{{\mathbf{i}}}_{3}}$, направленного по оси стержня. Тензор изгибных деформаций, соответствующий полю вращений (21), имеет вид ${\mathbf{L}} = \psi {{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}$, а тензор моментных напряжений для любого изотропного материала имеет представление K = ${{K}_{1}}({{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{2}})$ + ${{K}_{3}}{{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}$, где K1 и K3 – постоянные. Уравнение равновесия (14) при отсутствии массовых моментов удовлетворяется для любого материала, подчиняющегося условию (19). Тензор плотности дислокаций, обусловливающих квазитвердое состояние кручения, имеет выражение ${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = \psi ({{{\mathbf{i}}}_{1}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{2}})$. Для реализации этого чисто моментного состояния на боковой поверхности бруса с нормалью ${\mathbf{n}}$ надо приложить в соответствии с (16) распределенную моментную нагрузку с плотностью m = = ${{K}_{1}}({\mathbf{n}}{\text{cos}}\psi {{x}_{3}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}} \times {\mathbf{n}}{\text{sin}}\psi {{x}_{3}})$, а на торцах стержня с нормалью $ \pm {{{\mathbf{i}}}_{3}}$ требуется приложить равномерно распределенную крутящую моментную нагрузку с плотностью ${\mathbf{m}} = \pm {{K}_{3}}{{{\mathbf{i}}}_{3}}$. В частном случае физически линейного материала согласно (13) имеем ${{K}_{1}} = \nu \psi $, ${{K}_{3}} = 2\gamma \psi $. В этом случае при ν = 0 для осуществления квазитвердого состояния кручения моментную нагрузку требуется приложить только к торцам бруса.

6. Приведем примеры квазитвердых состояний микрополярного тела в форме полого кругового цилиндра. Обозначим через ${{{\mathbf{e}}}_{r}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$, ${{{\mathbf{i}}}_{3}}$ единичные векторы, касательные к координатным линиям цилиндрической системы координат r, $\varphi $, z, и зададим тензорное поле вращений следующим образом ($t = {\text{const}}$):

(22)
$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {\mathbf{H}} = {{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{f}}}_{r}} + {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}} - {{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{f}}}_{\varphi }}, \hfill \\ {{{\mathbf{f}}}_{r}} = {{{\mathbf{e}}}_{r}}{\text{cos}}(tz - \varphi ) + {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}{\text{sin}}(tz - \varphi ), \hfill \\ \end{gathered} \\ {{{{\mathbf{f}}}_{\varphi }} = - {{{\mathbf{e}}}_{r}}{\text{sin}}(tz - \varphi ) + {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}{\text{cos}}(tz - \varphi ).} \end{array}$

На основании (6), (22) находим

(23)
${\mathbf{L}} = t{{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} - \frac{1}{r}{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}.$

При помощи (19), (23) доказывается, что для любого изотропного материала выполняется соотношение

(24)
${\mathbf{K}} = {{K}_{{\varphi z}}}(r){{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}} + {{K}_{{z\varphi }}}(r){{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}.$

В силу (23), (24) уравнение равновесия (14) при ${{{\mathbf{l}}}_{0}} = 0$ удовлетворяется тождественно. Тензорное поле плотности дислокаций, обеспечивающее данное квазитвердое состояние, имеет вид α0 = = ${{r}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$$t{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}$. Полученное решение удовлетворяет условию ${{{\mathbf{e}}}_{r}} \cdot {\mathbf{K}} \cdot {\mathbf{H}} = 0$. Это означает, что оно реализуется без приложения нагрузки на внешней (r = r0) и внутренней ($r = {{r}_{1}}$) поверхностях цилиндрической трубы, где ${{r}_{0}}$ и ${{r}_{1}}$ – любые положительные числа, такие, что ${{r}_{0}} > {{r}_{1}}$. Данное решение пригодно для всех изотропных микрополярных тел, т.е. универсально в этом классе материалов.

Таким же свойством универсальности и самоуравновешенности обладает другое квазитвердое состояние полого цилиндра, которое описывается следующими характеристиками:

(25)
$\begin{gathered} {\mathbf{H}} = {{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{r}} - {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} - {{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}}, \\ {\mathbf{L}} = - \frac{2}{r}{{{\mathbf{e}}}_{\varphi }} \otimes {{{\mathbf{i}}}_{3}},\quad {{\alpha }_{0}} = \frac{2}{r}{{{\mathbf{i}}}_{3}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}. \\ \end{gathered} $

7. Рассмотрим сферически симметричное решение краевой задачи (14)–(16). Введем сферические (географические) координаты $r$, $\varphi $ (долгота), $\theta $ (широта) и единичные векторы ${{{\mathbf{e}}}_{r}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\theta }}$, касательные к координатным линиям. Используя свойства сферически симметричных тензорных полей [13], будем искать тензорное поле вращений в виде, описывающем конечный поворот на угол $\omega (r)$ вокруг радиальной оси:

(26)
$\begin{gathered} H = \cos \omega (r)g + \sin \omega (r)d + {{e}_{r}} \otimes {{e}_{r}}, \\ g = {{e}_{\varphi }} \otimes {{e}_{\varphi }} + {{e}_{\theta }} \otimes {{e}_{\theta }},\quad d = {{e}_{\varphi }} \otimes {{e}_{\theta }} - {{e}_{\theta }} \otimes {{e}_{\varphi }}. \\ \end{gathered} $

Используя (6), (26), находим тензор изгибной деформации

(27)
${\mathbf{L}} = {{L}_{1}}(r){\mathbf{g}} + {{L}_{2}}(r){\mathbf{d}} + {{L}_{3}}(r){{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{r}},$
$\begin{gathered} {{L}_{1}}(r) = \frac{{{\text{sin}}\omega (r)}}{r},\quad {{L}_{2}}(r) = \frac{{{\text{cos}}\omega (r) - 1}}{r}, \\ {{L}_{3}}(r) = \frac{{d\omega (r)}}{{dr}}. \\ \end{gathered} $

На основании (27) методом [15] доказывается, что для любой изотропной среды тензор моментных напряжений типа Пиолы ${\mathbf{G}} = {\mathbf{K}} \cdot {\mathbf{H}}$ имеет представление

(28)
${\mathbf{G}} = {{G}_{1}}(r){\mathbf{g}} + {{G}_{2}}(r){\mathbf{d}} + {{G}_{3}}(r){{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{r}}.$

В силу (28) векторное уравнение равновесия (14) при ${{{\mathbf{l}}}_{0}} = l(r){{{\mathbf{e}}}_{r}}$ приводится к одному скалярному уравнению

(29)
$\frac{{d{{G}_{3}}}}{{dr}} + \frac{{2({{G}_{3}} - {{G}_{1}})}}{r} + \rho l(r) = 0.$

Моментные напряжения ${{G}_{1}}$, ${{G}_{2}}$, ${{G}_{3}}$ выражаются через функцию $\omega (r)$ и ее производную при помощи определяющих соотношений (15). Следовательно, уравнение равновесия (29) – это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции $\omega (r)$. В качестве граничных условий на внутренней и внешней поверхностях полого шара могут быть заданы значения угла вращения $\omega $ или плотность распределенного крутящего момента: ${{G}_{3}} = {{m}_{3}}$, где ${{m}_{3}} = {\mathbf{m}} \cdot {{{\mathbf{e}}}_{r}}$. Тензор плотности дислокаций, обеспечивающих сферически симметричное квазитвердое состояние, согласно (17), (26) записывается так:

(30)
${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = \left( {\frac{{d\omega }}{{dr}} + \frac{{{\text{sin}}\omega }}{r}} \right){\mathbf{g}} + \frac{{{\text{cos}}\omega - 1}}{r}{\mathbf{d}} + \frac{{2{\text{sin}}\omega }}{r}{{{\mathbf{e}}}_{r}} \otimes {{{\mathbf{e}}}_{r}}.$

При отсутствии внешних нагрузок, т.е. при l = 0, m3 = 0, краевая задача для функции $\omega (r)$ имеет тривиальное решение $\omega (r) \equiv 0$, которому соответствует нулевой тензор ${\mathbf{\alpha }}$0. Вместе с тем существует и нетривиальное решение ${\text{cos}}\omega (r) \equiv - 1$, описывающее квазитвердое состояние, в котором каждый элементарный объем среды совершает полуоборот (т.е. поворот на 180°) вокруг радиальной оси ${{{\mathbf{e}}}_{r}}$. В самом деле, при ${\text{cos}}\omega (r) \equiv - 1$ на основании (27) имеем L1 = 0, ${{L}_{2}} = - 2{{r}^{{ - 1}}}$, ${{L}_{3}} = 0$. При помощи (19) для произвольного изотропного материала доказываются соотношения ${{G}_{1}} = 0$, ${{G}_{2}} \ne 0$, ${{G}_{3}} = 0$. Значит, данное поле полуоборотов является решением уравнения равновесия (29) при l = 0, а также удовлетворяет краевым условиям ${{G}_{3}} = 0$, выражающим отсутствие поверхностной нагрузки на границах полого шара с произвольными значениями внутреннего и внешнего радиусов. Указанное чисто моментное напряженное состояние шара реализуется согласно (30) при наличии дислокаций, распределенных с плотностью ${{{\mathbf{\alpha }}}_{0}} = - 2{{r}^{{ - 1}}}{\mathbf{d}}$, и является универсальным решением уравнений равновесия в классе изотропных микрополярных тел. Это нетривиальное решение обладает свойством самоуравновешенности, т.е. существует при отсутствии внешних нагрузок. Существование нетривиальных самоуравновешенных квазитвердых состояний – характерная черта нелинейной теории микрополярной упругости. В рамках линейной теории самоуравновешенные квазитвердые состояния невозможны [1].

Список литературы

  1. Зеленина А.А., Зубов Л.М. // ДАН. 2017. Т. 472. № 2. С. 150–153.

  2. Toupin R.A. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. V. 17. № 2. P. 85–112.

  3. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука, 1988.

  4. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

  5. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. B.: Springer, 1997.

  6. Nikitin E.S., Zubov L.M. // J. Elasticity. 1998. V. 51. P. 1–22.

  7. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids. B.: Springer, 1999.

  8. Зубов Л.М. // ДАН. 2004. Т. 396. № 1. С. 52–55.

  9. Зубов Л.М. // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 3. С. 18–28.

  10. Пальмов В.А. // ПММ. 1964. Т. 28. В. 3. С. 401–408.

  11. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

  12. Зеленина А.А., Зубов Л.М. // ДАН. 2013. Т. 451. № 5. С. 516–519.

  13. Зубов Л.М. // ДАН. 2014. Т. 458. № 2. С. 161–164.

  14. Goloveshkina E.V., Zubov L.M. // Arch. Appl. Mech. 2019. V. 89. № 3. P. 409–424.

  15. Zubov L.M. // Math. Mech. Solid. 2016. V. 21. № 2. P. 152–167.

Дополнительные материалы отсутствуют.