Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 493, № 1, стр. 38-41

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается плоское нестационарное сдвиговое течение вязкой жидкости вблизи СГП, текстура которой образована периодически расположенными двумерными прямоугольными кавернами шириной d, содержащими пузырьки газа (рис. 1). В силу периодичности расположения каверн задача сводится к расчету течения на масштабе одного периода L в окрестности одиночной каверны, содержащей газовый пузырек. Ставятся периодические граничные условия для скорости на левой и правой границах расчетной области u* = (k*y*, 0) при наложенных гармонических пульсациях давления p*(t*) = $P_{0}^{*}$ + P*sin(ω*t*), где P* и ω* – амплитуда и частота пульсаций (звездочки, где необходимо, отмечают размерные переменные). Линейный профиль скорости с высокой точностью удовлетворяет условиям периодичности и гладкости для полосчатых СГП с разреженной системой каверн (d/L ≤ 0.6) [1]. На внешней границе (y* = L) задана скорость u* = = (k*L, 0), на твердых стенках ставится условие прилипания, а на границе пузырька – условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. При наличии пульсаций давления происходит периодическое изменение объема пузырька, удерживаемого каверной. Диффузионные эффекты, связанные с растворимостью газа в жидкости, не учитываются, поэтому масса газа в каверне считается неизменной. Течение описывается в декартовой системе координат x*Oy* с началом в середине отрезка, проходящего через угловые точки каверны (рис. 1). Вводятся безразмерные переменные: x* = xL, u* = uU, t* = t/ω*, p* = pμ*U/L, где U = k*L – скорость на верхней границе, а μ* – динамическая вязкость жидкости.

Рис. 1.

Схема сдвигового течения жидкости в вязком подслое над каверной, содержащей газовый пузырек: сплошные линии – предельные формы пузырька, штрихпунктирные – промежуточные формы границы пузырька (а); мгновенные картины линий тока для предельных форм пузырька в каверне (б).

Для характерных значений L ~ 10^–5 м, U ~ 10^–3 м/с и ω* ~ 10³ с^–1, соответствующих практически важным случаям течений вдоль СГП, числа Рейнольдса настолько малы, что для описания локального течения жидкости применимо квазистационарное приближение Стокса: $\Delta u - \nabla p = 0$, $\nabla \cdot u$ = 0. Время входит как параметр в уравнение, описывающее форму и положение мениска в каверне. Форма мениска считается квазистатической (дуга окружности), при этом радиус мениска, смещенного внутрь каверны, определяется заданным углом смачивания, а для мениска, закрепленного в углах каверны, радиус определяется мгновенным объемом пузырька. Мгновенный объем газового пузырька находится из условия постоянства массы газа при наличии баротропии с учетом скачка давления на границе пузырька, связанного с поверхностным натяжением. За начальную форму поверхности пузырька и положение мениска принимается статическая форма поверхности, выпуклая внутрь каверны, и параметры СГП из [6] (см. рис. 1).

МЕТОД РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Ниже приводятся результаты расчетов для наиболее показательного случая изменения формы границы пузырька, совершающей периодические колебания между предельными положениями, показанными на рис. 1. При повышении давления выше значения, соответствующего начальной форме поверхности пузырька, радиус кривизны не меняется, газ сжимается, и точки закрепления мениска сдвигаются в каверну. Затем при понижении давления точки закрепления мениска движутся вверх, к углам каверны, и при достижении некоторого значения давления поверхность пузырька начинает выступать во внешний поток. Поскольку существует предельное положение мениска, выступающего в поток, при котором снижение осредненного трения сменяется его увеличением [7], в наших расчетах рассматривался лишь диапазон амплитуд давления, при которых снижение трения имеет место для всех положений мениска.

Для мгновенного положения мениска решается задача о стоксовом течении жидкости в области со смешанными граничными условиями: на части границы заданы обе компоненты скорости, а на другой части (поверхности пузырька) – нулевая нормальная скорость и отсутствие касательных напряжений. Для нахождения численного решения использовался вариант метода граничных интегральных уравнений [1, 2]. Указанный метод позволяет заменить решение уравнений Стокса решением системы граничных интегральных уравнений для “плотностей” фундаментальных решений оператора Стокса (“стокслетов” и “стресслетов”) [8]. Искомые значения данных плотностей находятся из решения методом коллокаций граничных интегральных уравнений, записанных для точек границы расчетной области, при удовлетворении исходным граничным условиям задачи. Разработанный алгоритм численного решения граничных интегральных уравнений позволяет проводить расчеты параметров течения с контролируемой точностью (детали см. в [1, 2]). После нахождения плотностей фундаментальных решений вычисляется поле скорости и скорость проскальзывания на поверхности пузырька. Осредненное по пространственному периоду касательное напряжение вычисляется из решения осредненной одномерной задачи о течении в эффективном плоском канале с условием скольжения на его нижней стенке. После вычисления мгновенных значений скорости скольжения и трения на нижней границе канала выполняется их осреднение по периоду пульсаций потока.

На рис. 2 представлены результаты расчетов мгновенных значений (осредненных по пространственному периоду L) относительной скорости скольжения u_w/u_w0 и относительного касательного трения на нижней стенке τ_w/τ_w0. Индексы ноль здесь относятся к исходным значениям в отсутствие наложенных пульсаций давления. Приведены расчеты для СГП с L = 200 мкм, H_c = 180 мкм, d/L = 0.5 и $P_{0}^{*}$ = 1 атм, T = 293 K [6]. Для заданного значения давления начальный статический угол смачивания выбирался как в [6]. Для выбранных параметров вычислялась масса воздуха, удерживаемого в каверне. Амплитуда пульсаций давления составляла 12% от $P_{0}^{*}$.

Рис. 2.

Зависимость u_w/u_w0 (а) и τ_w/τ_w0 (б) от t: 1 – мгновенные значения, 2 – значения, осредненные по времени.

Промежуток 0 ≤ t ≤ π соответствует увеличению давления и сжатию воздуха; t > π – уменьшению мгновенного значения давления и расширению воздуха. При сжатии газа снижается мгновенное проскальзывание жидкости на СГП и увеличивается осредненное трение, а при расширении пузырька – проскальзывание увеличивается до значения, соответствующего предельной форме пузырька, выступающего в основной поток, а трение понижается до значения, соответствующего прямолинейной поверхности пузырька и возрастает при дальнейшем выпячивании пузырька в поток.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные численные расчеты показали, что максимальные и минимальные значения осредненного по периоду текстуры касательного напряжения лежат между значениями, соответствующими стационарному течению над каверной с предельным положением поверхности пузырька, выпуклой вниз, и течению с плоской границей пузырька, закрепленной в углах каверны. Наиболее существенным результатом является демонстрация того, что наложенные колебания давления могут приводить к увеличению осредненного скольжения и снижению трения, т.е. в турбулентном пограничном слое над СГП трение может быть даже ниже, чем в ламинарном течении с аналогичными параметрами. Для выбранных значений параметров снижение среднего за период пульсаций трения на СГП составляет 10% по сравнению с течением вблизи гладкой плоской стенки.