Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 499, № 1, стр. 3-7

1. МОДИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ–ЛИФШИЦА КВАНТОВЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ МАГНИТНОГО МОМЕНТА

В качестве отправной точки рассмотрим квазиклассическую систему, динамика которой описывается уравнением ЛЛ, когда магнитный момент M вращается вокруг магнитного поля H c частотой ${{\omega }_{H}} = \gamma H$, зависящей от гиромагнитного отношения γ (рис. 1). В системе с сильными взаимодействиями указанная картина будет модифицироваться сильными магнитными флуктуациями, в результате которых траектория конца вектора M будет иметь сложный случайный характер (рис. 1). Уширение траектории определяется флуктуациями магнитного момента ΔM, которые могут быть сопоставлены флуктуациям магнитного поля $\Delta M = \left( {\frac{{\partial {{M}_{0}}}}{{\partial H}}} \right) \cdot \Delta H$. В свою очередь, флуктуации поля ΔH будут пропорциональны ширине линии, причем коэффициент пропорциональности будет зависеть от формы линии. Такой подход, очевидно, не зависит от конкретного механизма спиновой релаксации, нарушающего когерентность вращения спина и приводящего к флуктуациям ΔM. При этом не ясно, как именно спиновые флуктуации можно включить в релаксационный член, и в результате связь ширины линии ЭПР и флуктуаций остается на качественном уровне. Отметим, что рассмотрение лишь флуктуаций магнитного момента не приведет к изменению резонансной частоты (или g-фактора), поскольку для небольших отклонений от равновесия, характерных для ЭПР-экспериментов, частота вращения не зависит от величины M.

Ситуация существенно изменяется, если флуктуации намагниченности имеют квантовую природу. Для описания квантовых флуктуаций можно использовать соотношения неопределенности Гейзенберга. Поскольку мы рассматриваем квазиклассическую систему, гейзенберговские неравенства должны соответствовать минимальному значению произведения неопределенностей и вырождаются в равенства [7–9].

В квазиклассическом пределе соотношение неопределенностей для физической величины $\varphi $ имеет вид [8]

где ΔE – неопределенность энергии рассматриваемой системы E. Если φ – угол вращения вокруг магнитного поля, то

Неопределенность угла Δφ связана с неопределенностью связанного механического момента L [8]:

В геометрии рис. 1 система вращается вокруг оси z и, следовательно, ΔL соответствует неопределенности z-компоненты механического момента. Умножая обе части (3) на e/2mc, находим связь между неопределенностями магнитного момента и угла:

Здесь e и m обозначают заряд и массу электрона и c – скорость света. Исключая Δφ из (4) и (2), с учетом ΔE = ħΔω находим

(здесь и далее магнитный момент и его флуктуации рассматриваются в расчете на один магнитный ион). Таким образом, в случае квантовых флуктуаций неопределенности частоты вращения и магнитного момента оказываются пропорциональны друг другу и флуктуации намагниченности ΔM и частоты Δω будут связаны между собой, в результате чего коррелятор $\left\langle {\Delta \omega \Delta M{}_{z}} \right\rangle $ будет отличен от нуля.

Рассмотрим теперь вид усредненного уравнения ЛЛ в присутствии квантовых флуктуаций. Примем, что векторы M и Н имеют вид

Здесь M₀ обозначает величину магнитного момента в постоянном внешнем магнитном поле H₀, направленном вдоль оси z; вектор m(t) соответствует усредненной осциллирующей намагниченности и h ∼ exp(–iω ⋅ t) – переменное магнитное поле, возбуждающее магнитные колебания. В геометрии ЭПР векторы m и h ортогональны k и находятся в плоскости х–у. В уравнении ЛЛ

флуктуации частоты учтем путем замены γ → γ + Δγ, где Δγ соответствует флуктуациям гиромагнитного отношения, имеющим квантовую природу. Из предыдущего анализа следует, что 〈ΔγΔM〉 = = 〈ΔγΔM_z〉k. В силу условия m $ \ll $ M₀ примем, что

1) ΔM_x, ΔM_y $ \ll $ ΔM_z, поскольку флуктуации магнитного момента в плоскости x – y соответствуют флуктуациям малой осциллирующей части намагниченности,

2) корреляторы 〈ΔM_xΔM_z〉, 〈ΔM_yΔM_z〉 и 〈ΔM_xΔM_y〉 равны нулю.

Далее ограничимся линеаризованным вариантом уравнения ЛЛ, когда членами ∼h² можно пренебречь, а зависимость релаксационного члена от переменной компоненты магнитного поля не учитывается. При усреднении учтем, что 〈Δγ〉 = 0 и 〈ΔM〉 = 0. Тогда уравнение ЛЛ для компонент усредненной осциллирующей части намагниченности принимает вид системы из двух уравнений:

где параметр $a = \left\langle {\Delta \gamma \Delta {{M}_{z}}} \right\rangle {\text{/}}\gamma {{M}_{0}}$ определяет поправку, обусловленную квантовыми флуктуациями магнитного момента, и $\nu \approx \alpha \gamma {{H}_{{res}}}$ – частота релаксации, соответствующая полю магнитного резонанса H_res. Интересно, что квантовые флуктуации привели не только к перенормировке релаксационного члена, как и ожидалось из вышеприведенного качественного рассмотрения, но и повлияли на параметр, задающий влияние переменного магнитного поля. При этом собственная частота спиновой прецессии ${{\omega }_{H}} = \gamma {{H}_{0}}$ не зависит от флуктуаций.

Система (7) легко решается методом комплексных амплитуд, в рамках которого форма линии ЭПР будет определяться поглощенной мощностью $P\sim \operatorname{Im} \{ m \cdot h{\text{*}}\} $ [10]. Несложно показать, что

Здесь $\chi = {{M}_{0}}{\text{/}}{{H}_{0}}$, $h_{0}^{2} = h_{x}^{2} + h_{y}^{2}$ и $\omega $ – квадрат амплитуды переменного магнитного поля и его частота соответственно. Если пренебречь сдвигом резонансной частоты, обусловленным релаксацией, то формула (8) приводится к лоренцевскому виду

2. ФИЗИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ

Рассмотрим некоторые следствия найденного решения. Из формул (8) и (9) видно, что максимальная амплитуда поглощения $P\sim \frac{1}{2}\chi \cdot h_{0}^{2}\frac{\omega }{\nu }$ и не зависит от влияния квантовых флуктуаций, в то время как флуктуационный вклад будет влиять на интегральную интенсивность. С помощью формулы (9) легко показать, что интегральная интенсивность

увеличивается в 1 + a раз и относительное изменение интегральной интенсивности, вызванное квантовыми флуктуациями, будет равно $\Delta {{I}_{{QF}}}{\text{/}}I$ = a. Как следует из формулы (5), величина a может быть оценена как $a\sim 2\Delta M_{x}^{2}{\text{/}}{{\mu }_{{\text{B}}}}{{M}_{0}}$. Поскольку интегральная интенсивность часто интерпретируется как магнитная восприимчивость или осциллирующая часть намагниченности, то квантовые флуктуации приведут к кажущемуся росту этих параметров, рассчитанных из ЭПР-экспериментов. В результате “кажущаяся” осциллирующая часть намагниченности может оказаться даже больше статической. Именно такое поведение наблюдалось в гексабориде церия CeB₆ при T ∼ 2.5 K для кристаллографического направления [100], которое характеризуется наиболее сильными спиновыми флуктуациями с амплитудой, увеличивающейся при понижении температуры [11]. Отметим, что указанный эффект не имел до настоящей работы удовлетворительного объяснения.

Из формулы (8) следует, что поле резонанса может быть оценено из условия $\omega _{H}^{2}\, - \,{{\omega }^{2}}\, + \,{{\nu }^{2}}{{(1\, + \,a)}^{2}}\, \approx \,0$, а для ширины линии можно использовать выражение $\nu (1 + a)$. Поскольку в оба выражения входит одна и та же величина $a = \left\langle {\Delta \gamma \Delta {{M}_{z}}} \right\rangle {\text{/}}\gamma {{M}_{0}}$, сдвиг поля резонанса $\delta {{H}_{{QF}}}$ и вклад в ширину линии $\Delta {{H}_{{QF}}}$, обусловленные квантовыми флуктуациями, будут связаны некоторыми универсальными соотношениями. Действительно, из (8) находим

Из (11) вытекают два возможных универсальных соотношения между шириной линии и сдвигом частоты

первое из которых не зависит от квантовых флуктуаций, а второе – не зависит от частоты релаксации. Формулу (13) можно использовать для оценки ожидаемой величины квантовых флуктуационных эффектов, характерных для СКЭС в ЭПР-экспериментах. Для этого удобно перейти от сдвига   частоты   к   относительному   изменению g-фактора: $\Delta {{g}_{{QF}}}{\text{/}}g \approx a{{\nu }^{2}}{\text{/}}{{\omega }^{2}}$ и рассмотреть ширину линии ЭПР, отнесенную к полю резонанса $\Delta {{H}_{{QF}}}{\text{/}}{{H}_{{res}}} \approx \Delta {{H}_{{QF}}}\gamma {\text{/}}\omega $. Тогда (13) преобразуется к виду

С учетом формулы (10) можно найти общую связь между шириной линии, g-фактором и интегральной интенсивностью в исследуемом случае:

Отметим, что из литературы известны некоторые соотношения, связывающие между собой изменение g-фактора и ширину линии ЭПР [12, 13], однако они существенно отличаются от формул (12)–(15), полученных в настоящей работе.

Интересно также рассмотреть случай сильных квантовых флуктуаций, когда $\Delta {{M}_{z}}\sim {{\mu }_{{\text{B}}}}$. Тогда с точностью до численного коэффициента отношения $\frac{{{{{(\Delta {{H}_{{QF}}}{\text{/}}{{H}_{{res}}})}}^{2}}}}{{\Delta {{g}_{{QF}}}{\text{/}}g}}$ и $\frac{{\Delta {{I}_{{QF}}}}}{I}$ будут порядка ~μ_B/M₀ ~ ~ $1{\text{/}}\left\langle {{{S}_{z}}({{H}_{{res}}})} \right\rangle $, где $\left\langle {{{S}_{z}}} \right\rangle $ – средняя спиновая поляризация СКЭС в поле магнитного резонанса. Таким образом, для выделения вклада в ЭПР, обусловленного квантовыми флуктуациями, в некоторых случаях может оказаться полезным исследование частотных зависимостей ширины линии, g-фактора и интегральной интенсивности.

ВЫВОДЫ

Предложенное в настоящей работе модифицированное квантовыми флуктуациями магнитного момента уравнение Ландау–Лифшица предсказывает ряд новых эффектов в ЭПР сильно коррелированных электронных систем, в частности, увеличение интегральной интенсивности и появление универсальных соотношений, связывающие вклад в ширину линии, сдвиг поля резонанса и интегральную интенсивность. Ожидается, что величина квантовых поправок будет зависеть от единственного безразмерного параметра $\sim 2\Delta M_{z}^{2}{\text{/}}{{\mu }_{{\text{B}}}}{{M}_{0}}$, где ΔM_z и M₀ – амплитуда флуктуаций и среднее значение магнитного момента в расчете на магнитный ион соответственно.